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8/17/2019 Numero Real 1
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1. Los números racionales.
#os números racionales se caracteri!an por'ue pueden e+presarse comocociente de dos números enteros. s decir/
b
a xb Z baQ x =≠∈∃⇔∈ /)0(,
0ambién* los números racionales* se caracteri!an por su e+presión decimal/
⇔∈
Periódica Decimal Expresiónunatiene x
ó
enteroes x
Q x
2. Los números irracionales.
1a conocemos* de los cursos de SO* 'ue 2a números 'ue no se puedenponer como cociente de dos enteros* es decir* 2a números no racionales."sí* por ejemplo* 2 no se puede escribir como cociente de dos enteros/Demostración %reducción al absurdo&Supongamos 'ue sí se puede llegaremos a una contradicción.
22
2
2
222 abb
a
b
a operandocuadradoelevando
= → = → =
Como2
b es un cuadrado perfecto* contiene el factor $3& un número par deveces. 4or tanto 22b contendr) el factor $3& un número impar de veces* locual es imposible pues 222 ab = 2a es un cuadrado perfecto.
#os números no racionales se les llaman #rracionales."cabamos de ver 'ue 2 es irracional en general/
Irracional es p Z p y Z pSi nn ⇒∉∈
'(emplo.
Son irracionales/ ...9;127;12;5;3;6 3343 −
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Sin embargo son racionales/ 433 81;8;9;27 −
De este modo* como vemos* podemos obtener un número no inito denúmeros irracionales. "2ora bien también conocemos de cursos anteriores
otros números $con una denominación específica por su importancia& 'ue sontambién irracionales. 5ui!) el m)s famoso de éstos sea el número/ π 'ue es
la relación entre la longitud de una circunferencia su di)metro/r
L
2=π
Otro número irracional $importante& es el llamado φ $número )ureo&.
Observa 'ue en el rect)ngulo "6CD si
suprimimos el cuadrado "MC7 $rojo&obtenemos el rect)ngulo M67D 'ue essemejante al rect)ngulo "6CD.Si la longitud de AB es l $ ABl = & ellado del cuadrado "MC7 es 8 $ 1= AC &entonces de la semejan!a de losrect)ngulos "6CD M67D tenemos/
011
1
1
2 =−−⇒−
=⇒= l l l
l
BM
BD
AC
AB
"l resolver esta ecuación de segundo grado tenemos como solución positiva/.....61803,1
2
15≈
+=l
"l número anterior se le denomina número )ureo se escribe2
15 +=φ
Cuando la relación entre los lados del rect)ngulo "6CD es2
15
1
+=== l l AC
AB
o sea si φ = AC
AB * se dice 'ue el rect)ngulo "6CD es un rect)ngulo )ureo.
Otro número irracional importante es el llamado número $e&* en 2onor alinsigne matem)tico $#. uler&.s 'ui!) el número m)s importante en matem)ticas superiores* aparece ennumerosos procesos de crecimiento $bacteriano* de una masa forestal*9&*aparece también en los procesos físicos de la desintegración radiactiva* enla descripción de la curva catenaria $curva 'ue describe una cadena&* enotras muc2as curvas como la 'ue describe la distribución del car)cter,talla de una población estadística $llamada distribución 7ormal&.n el tema de sucesiones veremos 'ue el número $e& se obtiene como límite
de la sucesión/n
nn
a
+= 11 o sea/
n
n ne lm
+=
∞→
11
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l valor decimal apro+imado de este número es/......718281.2=e
#os números irracionales se caracteri!an por su e+presión decimal diciendo
'ue son decimales ininitos no periódicos."sí podríamos determinar infinitos números irracionales. 4or ejemplo/ a& .......11121211211121.3 b& ......51601112131411234567891.1
3. Los números reales. La recta real
"l conjunto formado por los números racionales e irracionales se ledenomina conjunto de los números reales se designa por ℜ .4odemos pues recordar en un diagrama* la relación entre los distintos tipos
de números 'ue 2emos estudiado a lo largo de estos cursos/
( )
Φ
−
−
−
−ℜ
........................º,,,6,5,2:)(
.,.........7
5,
3
2,25.1:
,.......8,7
49
,4:
.,.........5
50,64,5,1,0:)(
)(
)(:
3
3
!ureone I s Irracinale
ios "raccionar
#e$ativos Enteros
# #aturales
Z Enteros
Q %acionales
π
"ctividades.- observa la siguiente lista de números reales colocacada uno en el recuadro correspondiente $observa 'ue puede estar un mismonúmero en m)s de un recuadro&/
5;8;9;2;10;10;001.0;2.43;43;6
84;
3
5;
5
3;3.0;13;1.0;11.0;11 333 −−−−−− −
7aturales$7&nteros$:&
;acionales$5&
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#a palabra/ ,";
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Semirrecta
( )a,∞−{ }a x x
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5. Radicales. Propiedades.
Easta a2ora conocemos bien las raíces cuadradas $de índice dos&." partir de a2ora debemos conocer bien las raíces de cual'uier índice tendremos 'ue trabajar con ellas mediante su e+presión decimal $e+acto o
apro+imado&* o sin efectuar la raí! $conociendo las propiedades&.#lamamos raí! n-ésima de un número a* se escribe n a a un número ,b 'uecumple la siguiente condición/
ab siba nn ==
,a recibe el nombre de radicando ,n de índice de la raí!.
Si 0≥a A n a e+iste cual'uiera 'ue sea el valor de ,n.Si 0
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a& nn aa1
= * pues* aaaa nn
n
n ===
11
b& nmn m aa = * pues*mn
nmn
nm
aaa ==
.
jemplo.- +presa en forma de potencia las raíces siguientes/
;3;;;5;27;8;5;4 33
623 33
a
aa
*ol.$
21
44 = * efectivamente pues ( ) 22224 122
21
221
====
4ropiedades de los ;adicales.-#os radicales tienen una serie de propiedades 'ue debes conocer paratrabajar con ellos con soltura. 0odas estas propiedades son consecuenciainmediata de las propiedades de las potencias $compruébalo tú* al lado&
8. n pn p aa =. efectivamente/ n pn p
pn p aaa1
.. == nn aa1
=
3. nnn
baba .. =
F.n
n
n
b
a
b
a=
G. ( ) n p pn aa =
H. mnn m aa .=
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Ea otras dos propiedades importantes de los radicales 'ue usar)s conmuc2a frecuencia/I. #os radicales distintos solamente se pueden sumar obteniendo$previamente& su e+presión decimal apro+imada.
65,324,241,152 =+=+ JOjoK 752 ≠+ Observa como se pueden sumar radicales idénticos/ 53525 =+
L. eneralmente conviene operar las fracciones sin raíces en losdenominadores* para ello 2a 'ue multiplicar denominador numerador porla e+presión adecuada $esta operación recibe el nombre de ;acionali!ación&jemplo.
a&5
5
5
5
5.5
5.1
5
1 3
3 3
3
33 2
3
3 2===
b& ( )( )( ) ( ) 2235
325
35
35
35
3535
35.1
35
12
2
+=−
+=−+=
+−+=
−
6. Notación cientíica.
Diremos 'ue un número est) escrito en notación científica cuando/• 0iene una parte entera formada por una sola cifra 'ue no es cero.• l resto de las cifras significativas forman la parte decimal• ?na potencia de base 8 'ue nos da el orden de magnitud del número.
Si ,n es un e+ponente positivo* el número 7 es ,grande.Si ,n es un e+ponente negativo* el número 7 es ,pe'ue@o.4ara operar números en notación científica utili!aremos la calculadora enmodo científico $SC
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Calcula tú* en notación científica* las siguientes operaciones indicadas/
=+
=−
78
135
10.43,110.35,2)
)10.84,1).(10.832,7)(
b
a
4ara designar órdenes de magnitud grande o pe'ue@a e+isten algunos
prefijos 'ue debemos conocer/
iga Mega Nilo Eecto Deca deci centi mili micro nano9
10 610
310
210 110 110− 210− 310− 610− 910−
(íjate especialmente en los órdenes siguientes/iga $mil millones&/ 910Mega $un millón&/ 610
Micro $una millonésima&/ 610−
7ano $una milmillonésima&/910−
#os dem)s órdenes de magnitud a los conocemos por usarlos2abitualmente en el manejo del SMD.
!. Lo"aritmos. Propiedades.
Definimos ,* logaritmo dun número ,+ en base ,a* escribimos x y alog= como el número , al 'ue 2a 'ue elevar ,a para obtener ,+* o sea/ xa y =.;esumiendo $de modo analítico&/
xa x y ya =↔= log
jemplo.-( ) ( ) ( ) 813481log;3313log;273327log 431333 =↔==↔==↔=( ) ( ) ( ) 11010log;10001031000log;100102100log 010
3
10
2
10 =↔==↔==↔=
l logaritmo en el 'ue la base es die! se llama ,decimal resulta ser el m)sutili!ado en matem)ticas$aparece en el teclado de la calculadora como/ log &
l logaritmo en el 'ue la base es el número irracional$e& se denomina,neperiano $en 2onor al matem)tico 'ue los inventó apellidado Neper&* resultan ser enormemente importantes en matem)ticas superiores.n la calculadora aparece en la tecla/ ln "sí/ ( ) ( ) 3lnlog 33 == eee
4;O4
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( ) ( )2121 loglog x x x xSi aa ≠⇒≠
• l logaritmo de la base vale 8* es decir/
( ) 1log =aa• l logaritmo de 8 es cero cual'uiera 'ue sea la base* es decir/
( ) 01log =a#a demostración de las dos últimas propiedades es evidente a partir de ladefinición de logaritmo* las propiedades de las potencias de los números.
• l logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de loslogaritmos de los factores. s decir/
( ) ( ) ( )2121 loglog.log x x x x aaa +=+emostración.
Si ( ) 111 1log xa y x ya =⇒= si ( ) 222 2log xa y x ya =⇒=
n consecuencia/2121
.. 21 y y y y
aaa x x +
== por tanto/( ) ( ) ( ) ( )212121 logloglog.log 21 x x y ya x x aa y yaa +=+== +
• l logaritmo de un cociente de dos números es igual a la resta dellogaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
( ) ( )212
1 logloglog x x x
xaaa −=
+emostración.Si ( ) 111 1log xa y x ya =⇒= si ( ) 222 2log xa y x ya =⇒=
n consecuencia/ 212
1
2
1 y y
y
y
aa
a
x
x −== por tanto/
( ) ( ) ( )21212
1 loglogloglog 21 x x y ya x
xaa
y y
aa −=−==
−
• l logaritmo de una potencia es igual al producto del e+ponente por ellogaritmo de la base de la potencia.
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( ) ( ) xn x ana log.log =+emostración.
6asta tener en cuenta 'ue/ x x x x xvecesn
n ........= aplicar la propiedad dellogaritmo de un producto.
• l logaritmo de una raí! es igual al logaritmo del radicando divididopor el índice de la raí!.
( ) ( )n
x x ana
loglog =
+emostración.
6asta tener en cuenta 'ue/ nn
x x
1
= aplicar la propiedad del logaritmode una potencia.
• ,ambio de base. l logaritmo en base a de un número real x sepuede obtener a partir de logaritmos en otra base b mediante/
a
x x
b
ba
log
loglog =
+emostración.
Si ( ) xa y x y
a =⇒=log A ( ) xb & x &
b =⇒=log A ( ) abt a t
b =⇒=log Sustituendo en la igualdad/ xa y = las otras dos tenemos/
( )a
x x
t
& y & yt bbbb xa
b
b
a
& yt & yt y
log
loglog.. =⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=
jemplo.-Calcula usando la calculadora el cambio de base $cuando sea necesario&.
=125log5 =04.0log5 =128log 2
=1log2 =300log5 =532log7
=100log3 =004.0log8 =740log 2jercicio.
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jercicio.
jercicio.
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