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140 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números
El sistema de los números reales que ahora conocemos, fue obtenido después de muchas
reflexiones por parte del hombre.
Desde el comienzo de nuestra civilización, ya se conocían los números enteros positivos,
o sea 1, 2,3, ... Los números enteros tan grandes como 100,000 se utilizaban en Egipto en
épocas tempranas, como es 300 A.C.
La aritmética que desarrollaron los antiguos Egipcios y Babilonios con los números
enteros positivos mediante los cuáles podían efectuarse las operaciones de adición y
multiplicación, aunque la división no se desarrollo por completo.
En estos dichos pueblos usaron ciertas fracciones, es decir que los números racionales
también aparecieron en una templana etapa de nuestra civilización (un numero racional es
cociente de dos enteros).
Los que tuvieron mas éxito en el desarollo de la aritmética y el álgebra fueron los
babilonios, ellos tenían una notación para los números, muy superior al de los Egipcios,
esta notación, análoga a nuestro sistema decimal, excepto por el hecho de que su base es
60 en lugar 10, una buena notación es el pre - requisito para el desarrollo de los
matemáticos.
Nuestro sistr
introducirlo
Sin ernbargr
más tarde fu
siglo XVI se
En contradi
satisfaccíón
los números
fundamenta(
sistema de a
axiomas pod
Esto es el r
proposición
axiomas se ¡
Llamaremos
adición (+) ,
denotado po
1' LEY DE
Además deb,
4 Cerradr
At Conmu
4 Asociat
Sistema de Números Reales t41
Nuestro sistema decimal de los números llamados anáiogos fue creado por los Hindúes e
introducido en Europa Occidental en el siglo XII mediante la traducción de textos Arabes.
Sin embargo, esta notación demoro demasiado en una aceptación generalizada, mucho
más tarde fue la aceptación de los números negativos, que se prolongo hasta finales del
siglo XVI se descartaba las raíces negativas de las ecuaciones.
En contradicción de la geometría que desarrollaron los Griegos solamente para su
satisfacción intelectual y en su modelo del sistema lógico, con el desarrollo del calculo,
los números irracionales tales como Jl , n, fi, tuvieron que sustentarse sobre una
fundamentación lógica, esto se logró en la ultima parte del siglo XIX,. Ahora tenemos un
sistema de axiomas, que describen completamente los números reales partiendo de estas
axiomas podemos deducir todas las propiedades de los números reales.
Esto es el método usado en la Geometría Euclideana, se acepta un cierto numero de
proposición a los que se llama axiomas o posfulados o hipótesis y basiíndose en esos
axiomas se prueban todas las Teoremas de la Geometría.
Llamaremos sistema de los números reales a un conjunto R, provisto de dos operaciones
adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna), y una relación de orden
denotado por "<" y el axioma del supremo, es decir:
1' LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA:
Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
,\ Cerradura: Va,be R = a+b€ R
a+b=b+a , Va,be R
(a+b) +c= a+ (b + c), V a,b,c e R
,4,
A,
Conmutatividad:
Asociatividad:
tt¡ir¡d!|l!i"
r42 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Á
ü Identidadaditiva; Vae:R; 3 Oe'R/a+0=0+a=a
A4 OpuestoAditivo: Vae R, I -ae R, yesúnico,talque: a+(-a)=(-a)+a=0
f'- *---"----*- -*-:r'13"3. AXTOVíA D.
2'LF,Y DE COMPOSICIÓN INTERNA:
Además debe cumplirse los axiomas siguientes:
i::.Ri,R++iR{atD,, ,4,$;
Si ayb pertei
sus¡ituir al eiem,
a) a.(b + c)
b) (a + b).c
TEORsM¡
Sía=bentonc
1" a=b. pot
20 a+c=a-
3" a*c=b-
3.6¡, TEOREEÍÁ
Sía=bentonc(
a=b por
a.c = a.c, l
a.c = b.c,
Mo Cerradura:
M, Conmutativa:
M, Asociativa:
V a,be R =+ a.be R
a.b=b.a, Va,be R
(a.b).c = a.(b.c), V a,b,c e R
M, IdentidadMultiplicativa: VaeR,l l+0, 1e R, talque: l.a=a
Mo InversoMultiplicativo: Y a+0, 1 a-t e R, tal que: q.a-t =a-t.a=I
3'RELACIÓNDE ORDEN:
01 V a,b e Runay solamenteunade lasrelaciones se cumple acb, a=b, b < a (ley de
tricotomía).
Oz Sí a<b y b<c entonces a<c (transitiva).
Oj Sia<b = a+c<b+c, Va,b,ce R.
04 Sía<b, c>0 entonces a.c<b.c
OBSERVACIÓN:
i) Alosnúmeros a y b losllamaremossumando,yalnúrmero a+b sumadegyb.
ii) En a.b; a los números e y b los llamaremos factores y al número a.b producto de a y
b.
iii) El opuesto es único, así nlismo el inverso es único.
1"
20
30
1q
2"
Sean a,b,c e R
a+c=b+
a+c+(-c)
Sistemq de Números Reales 143
Si ayb pertenecen a un conjuntoBsustituir al elemento a por el elemento
si a = b, entonces en toda reiación te puedesin que altere el significado de la relación.
v
b
a)
b)
10
20
30
a.(b + c) = a.b + a.c, V a, b, c e
(a+b).c =a.c + b.c, V a, b, c e
distributiva a izquierda
distributiva a derecha
R
R
Sía = b entonces a + c =b + c, para todo a, b, c e R
Demostración
a = b. por hipótesis.
a + c = a + c, propiedad reflexiva.
a+ c =b + c, 1o, 2 y axioma I.3
10
2"
J_
Sí a = b entonces a.c = b.c, para todo a, b, c e R
Demostración
a=b porhipótesis.
a.c = ?.c, propiedad reflexiva.
a.c = b.c, 1o,2" y axioma 1.3
Sean a,b,ce R; Sía+c=b+c entonces a=.b
Demostracién
a + c = b + c. porhipótesis.
a+c+(-c)=b+c+(-c), 1o y teorema 1.4
1q
20
144 Eduardo Espinoza Ramos Sistemn de Números t
3o a+ (c + (-c)) =b + (c + (-c)), 2" y 44 a+0=b+0, 3" axioma Ao
5o a=b, 4" axioma 4l
3.1I. EJERCIC]
Para cada núr
Seana,b,ce R; Sía.c=b.c y c*0, entoncesa =b
Demostración
1" a= a.l
2 a+a=a
3o a+a=a
40 a+ a= a.
50 a* a=2¿
Para cada núm
lo a.0 = a.0 .
2" a.0 = a.0 -
3" a.0 - (a.0
40 a.0 - (a.0
5o a.0 = a(0 r
6" a.0 = a.l +
7" a.0=a+(
8o a.0=0
Para cada númer
Basta demostra¡
1o a.c = b,c,
2o ct0,
3o r 1= R/(a.c).1 =@.c).1ccc
4o a.@.!¡ = u.(r.!) .c
a.1 = b.l,
a=b.
DEFINICIÓN..
... porhipótesis.
... por hipótesis
) ...2",1" y axioma Mo
.".3o y axioma M,
axioma Ma
axioma M,
Para cualquier números reales a,b e R, definiremos a la sustracción
de números reales por:
DEFINICIÓN.- Para cualquier números reales a,b e R, donde b * 0, definiremos al
cociente de números reales por;
Sistema de Números Reales
Para cada número real a e R, demostrar qüe a + a = Za
10 a = a.l
2o a+a=a.1+a.l
3o a+a=a.(1+1)
4" a+a=a.2
5o a+ a=2a
Demostración
... Por M,
... 1o y axioma 1.4
...2 y axioma1.3.a
... 3" y por M,
... 4o y por M,
Para cada número real a e R, demostrar que a.0 = 0
Demostración
1" a.0 = a.0 + 0 ... Por A,
2 a.0=a.0i(a+(-a)) ... lo y por Ao
3" ¿.9 = (a.0 + a) + (-a) ... 2 y por A,
4o a.0 - (a.0 + a.1) + (-a) ... 3" y por M,
5" a.0 = a(0 + 1) + (-a) ... 4" y por axioma 1.3.a
6" a.0=a.1 +(-a) ... 5o y por A.
'7" a.0 = a + (-a) ... 6o y por M,
8o a.0=0 ...7" y por Ao
Para cada número real a e R, demostrar que: -¿ = (-1).a
Demostración
Basta demostrar que a + (-l)a = 0, porque (-1).a, y -a son inversos aditivos de a por
146 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Númentl
Luego a+(-1)a= 1.a+(-1)a,
a+(-1)a=(1+(-l))a,
a+(-1)a=0.a,
a+(-1)a=0,
_¿ = (_l)a
Para cada número real a e R, demostrar que -(-a) = ¿
1" a+(-a)=0
2" (-a) + (-(-a)) = 0
3o (-a)+(-(-a))=a+(-a)
4o -(-a) = a
Para cada número real a,b e
1o (-a).(-b) = [(-i)a][(-1)b]
2" (-a).(-b) = (-1)[a((-1)b)]
3" (-a).(-b) = (-1)[(-1)a].b
4" (-a).(-b) = (-1)[(-a)].b
5o (-a).(-b) = [(-1)(-a)].b
6o (-a).(-b)=a.U
V a,b e R, demostrar que a.(-b) = -(a.b)
por axioma 1.3
por axioma 1.3.b.
por Ao
por ejercicio 2.
Demostración
... por Ao
... Por Ao
... l" ,20
... 3o y por teorema 1.6
R, demostrar que (-a).(-b) = ¿.f
Demostración
2o a.(-b) = ¡
3o a.(-b) = ¡
40 a.(-b) = (
5o a-(-b) = -
6" -(a-b) = ¡
7o -(ab) = 1¡
8" -(ab) = (-
9o a(b) = 1
V a,b e R, der
1o a.(b - c) =
2o a.(b - c) =
3" a.(b - c) =
4" a.(b - c) =
Paraae R,de
1o a-t =(a
a-t =1.(,
-r 1a'=-a
... por el ejercicio 3
... l" y Mz
... 2o y Mt, Mz
... 3" y ejercicio3
... 4" y Mz
...5" y ejercicio4
lo a.(-b) = a.((-1).b)
Demostración
... por ejercicio 3
20
30
Sistema de Números Reales
2o a.(-b) = (a.(-1)).b
3o a.(-b) = ((-1)a).b
4" a.(-b) = (-lXa.b)
5o a.(-b) = -(a.b)
6o -(a-b) = (-tXa.b)
7" -(ab).= ((-1)a).b
8o -(ab) = (-a).b
9o a(-b) = -(ab) = (-a).b
1o y por M,
2" y por M,
3o y por M,
4o y ejercicio 3
Por el ejercicio 3
6" y por M,
7" y ejercicio 3.
5oy8o
V a,b e R, demostrar que a.(b - c) = a.b - a.c
lo a.(b - c) = a.(b + (-c))
2o a.(b - c) = a.b + a.(-c)
3" a.(b - c) = a.b + (-(a.c))
4o a.(b - c) = a.b - a.c
Para a e R, demostrar sí a * 0, entonces o-t =!a
Demostración
q-1 = 1a-t).7
a-t =|.(a-r)
-r 1a '=-a
Demostracién
... definición de sustracción
lo
2"
30
... 1'y axioma 1.3.a
... 2' ejercicio6
... 3" definición de sustracción
... por M,
... r" y Mt
... 2o definición de división
148 Eduardo Bspinoza Ramos Sistema de Números Á
V a,b e R, a.b * 0, demostrar qule (ab)-r - o-r.b-1
Demostración
(ab\. | =I' ' (ab)
(ab).(ab)-t =t
(ab).@-t b-t ) -- (a).(a)-l .(b).(b-t )
(ab).(a-t b-t¡ = 1a.1¡.1¡.1¡ab
(ab).(a-l b-l¡ = 1t¡1t¡ = t
(ab).(a-t b-1)=1
(ab).(ab)-t = lab¡(a-l .b t)
(a.b)-l - o-t b-l
Demostración
V a,b,c,d e R, b +0, d*0, demostrar que: g +c- =a'd-+!'cbd b.d
... por Mo
1' y definición de división
por M,
... 3", M z y definición de división.
4o y Mq
de 5o
de2o y 6"
7o y teoremal.T
... por definición de división
... 1' y por Mo
... 2" y definición por división.
4ac_I_
-bd
ac_¿_-/b'd-'
ac--L--tb'd*'
ac(--¡-_-_bd
50
60
lo
30
4"
50
60
7"
8"
Entre los núncorrespondencii
Si sobre una re
cada punto de u
real le correspor
de la recta se le
--------f-
-3
NOTACIÓN PI
lo
3"
Sistema de Números Reales
4" i.: = @.d).(b-t .d-t¡ + 10.c1.1u-t .a-t¡
= (a.d).(b.d)-t + (b.c).(b.d)-l
'.' 3o, Mz
... 4o y ejercicio 9
... de 5' y axioma 1.3.b.
... 6' y definición de división
ac-+-bd
6"
70
AC-a+l - (a.d +b.c\"(bd\-lbd
a c a.d +b.c-T--bd bd
Entre los números reales y los puntos de una recta se puede establecer unacorrespondencia, es decir:
si sobre una recta se fija su origen "o", una unidad, y un sentido positivo, entonces, a
cada punto de una recta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número
real le corresponde un único punto de la recta, al número real correspondiente a un punto
de la recta se le llama abscisa del punto.
-3-2-101234
NOTACIÓN PARA LOS CONJUNTOS DE NÚMEROS..
150 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números tr
CONJUNTO DE LOS
a
racionales
NÚMEROS REALES
lN = 1t.2,....n...1Zi =1 enteroDositivo" lNo = 10.1.2,...,n,...1
Z- enterosnegativos
3.13.a DEF
i)
ii)
3.13.b DEFI
Llam¡
meno
3.T4. AXIOMA IV a,b,c e R., s
Ot Orden de
a=b v ¿
O" Orden trat
03 Orden de
04 Orden Mu
En base a estos
I3.I5. DEFINICIÓ
i) a<b er
iii) a<b c+
a<c
a+b<b+
Decimales periódicos =o.ob, =ob'999
Rabcde - ab
Decimales periódico mixto = O.abcde = g9900
Decimales exactos = o.abc - abc
1000
Q=l!t a,beZ. b*ol'b
I i propios: Jr, Jl ,
Inacionalesl trascendentes = {e, n,...}
La correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta pueden usarse para
dar una interpretación geoméffica de la relación de orden entre los nútmeros reales.
La relación a < b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al
número "a", que se encuentra a la izquierda del punto B conespondiente al número "b".
El símbolo < se lee "Es menor que". También usaremos los símbolos siguientes:
A
lo
2
Sistema de Números Resles 151
!l
l
:
!
3.13.a DEFINICIéN.-
i) Un número real
ii) Un número real
3.13.b DEFINICIÓN..
"a" es positivo sí, a > 0.
"a" es negativo sí, a < 0.
Llamaremos desigualdad a una expresión que indica que un número es mayor o
menor que otro. Por ejemplo: 5 < 9"
le,,' ¡xlonrn Dr.rA,
V a"b,c e R., se tiene:
Or Orden de tricotomía: una y sólo una de las siguientes posibilidades se cumpie:
a=b v acb v a>b
Oz Ordentransitivo: sía<b n b<c + acc
03 Ordendeadición: sía<b + a+c<b+c
04 OrdenMultiplicativo: sía<byc>0 + a.c<b.c
En base a estos axiomas daremos las siguientes definiciones:
3.i5: ,ffiFÍi,{reióñ;.
i) a<b
iii) a<b
t6. ',TE{}REII[A;;
V a,b,c,d e R; Sí a < c
1" a<c
2" a+b<b+c
b-a espositivo.
a=b v a<b
ii)
iv)
€?
<+
a>b
a>b
€ a-b espositivo.
a>b v a=b
¡b<d (+ a+b<c+d
Demostración
por hipótesis
, l"y O3.
Eduordo Espinoza Ramos Sistema de Números )
b<d
b+c<c+d
a+b<c+d
1o a<b
2" c<0
3" -c>0
4" -a.c<-b.c
5o a.c > b.c
por hipótesis
3"y oz
2o,4o y Ot
2" y definición 1.14.i)
1", 3" y Oo y eiercicio 6
4o y teorema 1.16
3"
4"
5"
Para a e R,
a*0
a>0 v
3o sí a>0
4" o2 >0
5o sí a<0
6o (-aX-a):
7" oz >0
Para
i)
1" a>
aoLU
3o a.a
4" l<
a
6" Sí
Su derno
l"
2a
Para a,be R, sia<b = -a>-b
Demostración
1o a<b porhiPótesis
2o b-a>0 1'Ydefinición1.14i.
3o (b-a)+(-b)>0+(-b) 2"YOz
4o -a+(b+(-b))>-b 3o, AzY 4
5o ra+O>-b 4"y A+
6o -a>-b 5oyÁ:
Sí a, b, c e R, donde a<b ¡ c<0 + a.c>b.c
Demostración
por hipótesis
por hipótesis
ae R,a
Sí a>0
ii)
1&
Sistema de Números Reales 153
Paraae R,a*0 + o2>O
1o a+0
2 a>0 va<0
3o sía>0 =+ a.a>0.a
4" oz'>O
5o sí a<0 = -a>0
6 (-aX-a) > 0.(-a)
7" o2 >o
Demostración
por hipótesis
loy o,
2"y o+
3" y ejercicio 2
2' y definición 1.15i
5"yoq
6',ejercicio2y5
Para a e R, a # 0 entonces .a-l tiene el mismo signo que "a" es decir:
i) Sí a>0 = o-t >0 ii) Sí a<0 =+ o-1 <O
i) 1o a>0
2o o-1 <0
3o o.o-t <0
40 1<0
5o o-1 >0,
6" Sía>0=+ a-'>0 10y5"
ii) Su demostración es en forma similar.
Demostración
por hipótesis
hipótesis auxiliar
I",2" y teorema 1.18
3"y Mq esabsurdo
por2 y 4"
t54 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números
trr::4 tl r:r'::-:::rtn[t]¡g¡lf llila:,,rtttrtt.I:lrurw de (a) y (F)
de donde a2
Sía,b>0 y
Como a y b tienen el mismo signo entonces se tiene dos casos:
i) a>0¡b>0 iD a<0nb<0 porhipótesis
i) 1o a<b PorhiPótesiscomo a>0,
20'a>0nb>0 PorhiPótesis
3" o-r > 0 ,. b-r > O 2", teorema 1.20 de (u) y (B)
4" o.a-l <b.a'r 3" y rol' oo
Para a,be R,dondeaybtienenelmismosigno, sí acb = o-t >b-l
Demostración
5" (a.a-t)b-t <(b.a-t)b-t 3" y 4"; oo
6o 1a.a-1¡b-1 <(b.b-l)a-t 5o y Mz
7" lb-t <l.a-t 6y Mq
go b-| <a-r j"y Mz
9" sía<b= o-\>b-1 l"y8o
ii) Su demostración es en forma similar.
G Si a ) b > 0, Demostrar que: oz > b2, donde a,b e R.
Demostración
Porhipótesissetiene a>b>0 + a>0 ¡ b20
Comci a>b= a+b>2b>0 = a+b>0
a>b = a-b>0
... (cr)
...(p)
@ Si a,b,c,d > o
^acComo ->-bd
Además c > 0
Sumando c.d:
@ Si b>a>o
Como b>a>
b>a )
en (2) sumand
b.(a+c)>a.(l
Sistema de Números Reules 155
de (a) y (B) se tiene: (a + b)(a - b) > 0.(a - b)
dedonde o2-b2>0 =) az>bz Sía>b>0=+ az>bz
Sía,b>0 y o'>bz =a>bDemostración
Porhipótesissetiene az >bz 1 ot -bz >0 dedonde (a+bXa-b)>0 ... (ct)
comoa>0¡ b>0 + a+b>O,dedonde -ltO ...(p)a+b
de(o) y (B) setiene @+b)(q.-b) >0, dedonde a-b>0 entonces a>b.a+b
Si b>a>0 y c>0.Demoso*, ffiriDemostración
Comob>a>0 = a.b>0
b>a y c>0 =+ b.c>a.c
en (2) sumando a.b > 0 en ambos lados. a.b + b.c > a.b + a.c
b.(a+c)>a.(b+c) , dedonde: 1*'r!b+c b
Si a,b,c,d rO v !t! D.rnortar o+'>''b d b+d d
Demostración
Como {>9, dondeb,d>0 =+ a.d >b.cbd
Además c>0, d>0 entoncesc.d>0
Sumando c.d > 0, a ambos miembros en (l):
...(1)
... (2\
...(r)
a.d+c.d>b.c+c.d
156 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rt
d.(a+ c) > c.(b + d), de donde, #, ;
Para a,b,c númerosreales. Demostrar qae az +bz +c2 2ab+a.c+b.c
V a,be R, (a-b)z
Y a,ce R, (a-c)z
Yb,ce R, (b-c)z
Denqestración
a2 +b2 -2a.b>o+ oz +12 -2a.c>o
bz +c2 -2b.c>o
Z(az + bz + c2 ¡ - 21o.b + a.c + b.c) > 0
de donde a2 +b2 + c2 > ab+ a.c+b.c
V a,b e R+ , demostr ar que !i! > J ob'2
Solución
Como a,b e R+ + Já-l6 e n
sí J;-Jb e R + tJi-Jul' >0, de donde a+b-zJáJu>o
a+b r'=_> alab2
Demostrar que sí a < b, Entonce, o.oJ!. b
Demostración
Como acb =+ a+a<a+b + 2a<a+b
a<b + a+bcb+b + a+b<2b
de ( 1 ) y (2) por transitividad se tiene: 2a < a + b < 2b
>01
>0[
=oJ
+ a+b>zJab
Va,ce R, (¿z-
Vb,de R, (á-
sumando (1) y (
V a,b,c,d E R+
a,be R* =+ ¿
(a" -b")z > o
c,deR+=r¿
qc" -d'¡? >o
Sumando (I) y (t
('[a"ü -¡c"n
o2'+b2'+c2, +
Si a+b+c=1,
Como a,b,c>0 =
Demostrarquesi, a2 +b2 =1, c2 +d2 =1 ,entonces: l Za.c+b.d,paraa,b,c,d€ R
Sistems de Números Reales t57
Va,ce R, (a-c)2 >0 =+
Vb,de R, (b-ü2 >0 =+
sumando (1) V (2) se tiene:
Demostración
o2 +c2 >2a.,
b2 +d2 >2b.d
...(1)
... (2\
az +bz +c2 +dz >2(a.c+b.d)
2> 2(a.c +b.d) ... I > a.c +b.d
V a,b,c,d e Rn y ne Z*, demostrar que: o2" +b2, +cLn +d2, > 4(abcd)r/2
Demostración
a,be R* + e',bn e R* ,pero a" -b" e R, entonces:
(a'-bn)2 >o = o2n +b}n )za'bn
c,d e R* = c',dn e R+, pero c' -dn e R, entonces:
(r"-dn)z >o + ,2n+d2n)2cnd"
Sumando (1) y (2) se tiene: o2' + bzn + c2" + d2" > 2(a" b" + c" d" )
(W -'[rU")2 >0 + a'bn +cndn >z,[¿uUU"
eZn +b2' + rzn + d2' > 4,,[7u'tu,
a7, +b2n +r2" +d2" > 4(abcd)"t2
Si a+b+c = 1, dondea,b,c >0, Demostrarque (1 -axl -bXl _c) > gabc
Demostrabién
como a,b,c>o =+ J;.JE.J;>o enronces:
...(1)
...(2)
...(3)
...(4)
158 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R
lJu-J; e R lu+,>zJa,lJ;-J; e R = lo+r>zJil_t_[Jo-Ja e n la+b>zJab
Factorizando d
De (1) y (2) se
De donde por t
Si a,b,c y d, sor
(b+c)(a+c)(a+b)28abc
{l-a=b+cPero sí a+b+c=l + )t-u=a+c
I
ll-c+a+b
Reemplazando (2) en (l) se tiene:
...(1)
... (2)
(1-aXl-bxl-c)>8abc
Si a,b,c,d € R* , Demostrar que: (ab + cd)(ac + bd) > 4abcd
Demostración
Como a,b,c,d e R* = ab ) 0, cd > 0, ac > 0, bd > 0
Dedonde Jrb-JA e R,y J*-Jbd e R, entonces:
ldou-"r¿>'>o fab+cd>2Jabcd<4\
ItJi-Juf >o lac+bd >2Jabcd
multiplicando se tiene: (ab + cdXac + bd) > 4abcd
Seana,b,c,d e R* tal g", ;.9,d"*oroarque: i.#.;
Dernostracié-n
Como ! .!. + a.d < b.c por que b,d e R* a.d < b.c, sumando a.b, a ambosbd
Como a,b,c,d e
[a2 -uz e n
lcz -a2 e n
de donde al efer
miembros ad + ab < bc + ab, factorizando
a(b + d) < b(a + c), de dondetEtrlI n b+41
En ad < bc sumando cd, a ambos miembros ad + cd < bc + cd,
...(1)
Sumando (1) y r
aa +ba +c4 +t
Como ab, cd e
ozbz +rzd2 >
de (3) y (4) por I
Si a>0,ae R,
Como a>0 =
Sistema de Números Reales
Facrorizando d(a + c) < c(b + d). de donde, kl93lb+d dl
De(1)y(2)setiene: ;.# " #.;
De donde por transitividad se tiene: o . o *' .'b b+d d
Si a,b,c y d, son números reales cualesquiera. Demostrat que:
Demostración
Como a,b,c,de R = o2,bz,c2,dz e R, además:
[a2 -uz e n (o2 -br), , o<3lc2 -a2 e R kz -d')'>o
de donde al efectuar se tiene: aa +ba > Zazbz
aa +ba +ca +d4 > 4abcd.
...(3)
de donde
... (4)
ca +da >zczd2
Sumando (I) y (2) miembro a miembro se tiene:
aa +ba +ca +d4,>21azbz +c2d?¡
Como ab, cd e R + ab - cd e R, entonces: (ab_cd)z 20
ozbz +rzdz >2abcd + 2qazbz +czdz¡> 4abcd
de (3) y (4) por transitividad se tiene: aa +ba +ca +da 24abcd
Si a>0,ae R.demostrarque: d *!rZa
Demostración
Como' a > 0 =+ Ji rO, de donde J; -+ e R por lo ranto:Ja
160 Eduardo Espinoza Rumos Sistema de Númercs R
Irlad;- )2 > 0 , desarrollando se tiene: o-z+!> 0 de donde
ao*Lrz
a
Ia+b+l a+l
multipiicando
aaa+b+1 b+
Sumado estas <
Sia,be R,b*
Completando c
Como a,b e R
3b2Sumando _
4
Ahora de (1) y
o' + ob+b' ,:
Si a>0y b<l
Comoa>0, b.
a+b.a<a, de<
Como a>0 =
Obteniéndose j
Si a,b,c, e R* , demostrar que: +-T.+> a+b+ c
Pe¡qaslraelal
Por hipótesis se tiene que a,b,c > 0, entonces
! 2 g , L, o , !> 0 entonces aplicando el ejercicio 14).bcc
Se tiene: 9*L>2. !+9>z, !+!>z ... (t)bacbca
Ahora a (1) multiplicamos por c,a,b respecdvamente.
ac bc
-+->'¿cba4*!9>zo = z!!+z!!+2"b ¿2c+2a+2bcbbac9*!9rzuca
2(b' *o' *ob )22(a+b+csabc
Si a > 0, b > 0, demostrar que:a+b a b
<
-+-a+b+l b+l a-tl
bc ac ab+-+- > a+b+cabc
Demostración
Como a>0,b>0, entonces a+l >1, b+1>1 luegosetiene;
la+l>l (a+b+l> b+1J+)fa+t>t - la+b+l>a+l
ahora invirtiendo cada una de las desigualdades: -1- = +a+b+1 b+7
Sistema de Números Reales 161
multiplicando a las desigualdades por a y b respectivamente.
aabb/_ /_a+b+l b+l' q+b+l a+l
Sumado estas dos desigualdades se tiene: o!-u , a-"-¡-!-
a+b+1 b+l a+l
Si a,b e R, b * 0, demostrar Our' .-f " = 4' e'+ab+b¿ - 3b2
Demostracién
Completando cuadrado en o2 + ab + bz se tiene: o2 + ob + b2 = u +*f *1L ... 1r¡
Como a,b e R + o *! .R. de donde @+!s2 >o
2 4 "
22
^,2Sumando " ," ti"rr",
4
Ahora de (1) V (2) se tiene.
. , ,r 3b' I 4a' + ab + b' > -" como b * 0 inverti¡¡¡os ------
--- (- 4 a2 +ab+b2 - 3b2
Como a>0 + #rO, ahoramultiplicamosa(1)por
obteniéndose "(u!') . "" simplificandoa' a'
b " 3b2 3b2(a+-1'* o a o
...(2)
Si a>oy b<o,Demostrarqo", !11.1aa
Demostración
Comoa> 0, b <0 * ab <0, sumando "a" aambosmiembros se tiene:
a + b.a < a, de donde a(b + 1) < a ... (1)
I2a
b+l 1. _¿_aa
t62 Eduordo Espinoza Ramos Sistema de Números R,
Si a>0,b>0 talque a*b=1, demostrarque:
Demostración
Corno a>0,b>0 + a-be R.dedonde:
(a-b)z > 0 ==l az -2ob+bz > 0 sumando 4ab.
a2 +2ab+bz > 4ab dedonde: (a+b)z >4ab
pero conio á * b = 1, se tiene I > 4ab, por 1o tanto oU <!
Si a>o,b>0,3a+5t i¡t,. demosrrar que: #.*r,
Demostracién
Como 3a * 5b + 3a - 5b +0 y 3a- 5b e R entonces
Desarrollando se tiene: gaz -30ab +25b2 > O
Sumando 30ab, a ambos miembros: 9a2 + 25bz > 3oab
9a2 +25b2 3oab
l5ab l5ab
Iab 1-
4
(3a-5b)z >0
Imultiolicando nor
l5ab
Siaybdosnú
Vae R, a*0
Si a,b,c e R* ,
Si a,b e R, der
Si a,b,c e R, dr
Si 0<a<l,de
Si a,b,c so
d d+e+fa a+b+c
Demostrar que
{a+b+c)(az +
Si a,b,c son
(a+b+c)(a-t +
Siaybo2 rcb2- . +- ^_+24)b' a'
Si az +b2 =l.
Sug. (r-y)2 2
Si a+b=c, a)
Si a+b>c>0,
@
@
o@
@
@
3a 5b_+_> ¿5b 3a
3.23. E.TERCICIOSI,PROPTffiS?OS.-
Si a y b son números reales positivos, demostrar que:
Si a,b,c son números reales positivos, demostrar que:
Si a,b,c,d son números reales1111(-+-+-+-)(a + b + c + d) > 16abcd
11*1lto +b\> 4ab
tlol*111o+b+c\>gabc
positivos, demostrar que;@
@
Sistema de Números Reales
@
@
@
@
@
@
@
Si a y b dos números reales positivos tal que a > b, demostrar que:
V a e R. a # 0. demostrar que: o' *)>Oo-
Si a,b,c e R* , demostrar que: (b + cXa + c)(a + b) > gabc
Si a,b e R, demostrar que: a3 b + ab3 s aa + ba
Si a,b,c e. R, demostrar que: a2 +b2 +cz +3>2(a+b+c)
a3b b2-+-- ) "
+3oaa'
Si 0<a< 1, demostrarque az <a
Si a,b,c son números reales positivos y
d d+e+f f-< ' <:_a a*b+c c
Demostrar que si a,b,c son números positivos(a+ b + c)(a2 + b2 + cz ¡ > gabc
Demostrar
y no iguales entre si,
def-<-<:_abc
Si a,b,c son números positivos y no iguales entre(a+b+c)(a-l +á*1+c-r¡ > 9
Si a y b son números reales diferentes de cero.
4*E{.24>8o *32bb"atba
Si az +b2 = I . Demostrar que: -J, < a+b <J,
Sug. (*- y)2 > 0 + 2(x2 + y2)> (*+ y)z
Si a+b=c, a>0,b>0,demostrar que: o2/3+b2/3 >c2/3
Si a+b>c>0, demostrarque: :-.+>j-- l+a l+b l+c
Demostrar que:
Demostrar
@
@
r64 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Si a,b,c > 0, demostrar que: 3abc < a3 +b3 + c3
Si c > 0, d > 0, 2d t 3c, demostrar que: *rt-*
Si a > 0, b > 0, a * b, demostrar qu", $*S r,tlb "la
Si a,b,ce R, demostrarque: b2cz +cza2 +azb2 > abc(a+b+c)
Sea a + b = 2, donde a y b son númerosreales, demostrar qu", o4 +ba > 2
Si a2 +b2 +c2 =1 y x2 +y2 +22 =1 , demostrarque: ax+by +cz< 1
Si a > 0, b >0, demostrar que: +. +- 1* +b'a'aD
Si 0<a<1, demostrarque: a2<a
Si a,b > 0, demostrar que: J* ,?4
a3 +b3 , .a*b.3Si a>0,b>0,demostrarque: 2
>\, )"
Si a > 0, a+ l demostrar que, o3 *lt o' *4o
Sia>0 y b>0,demostrarque: 4(a3 +b3)>@+b¡3
Si a y b son números reales, demostrar que:
Si a,b,c € R*, demostrar que: (a+á+c)3
Si a,b,c y d son números reales cualesquiera.
(a+c)2 +(b+d)z S
> 27 abc
Demostrar (ab+cd)z <(az +cz)(b2 +d2)
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Si
Si
Si a,b e R, d,
Si a >0 y
Si a>0, b>
a,b,c,d e
a,be R t
Si a,be R
Si a,b,c,d e
Si a¡,a2,...,
demostrar qu
Demosffar qu
Si -a>0 y
Si a,be R,
Sia>0, b>
Si x1 ,.r2,...,
B<cr.
Si a,b,c,m,n,1
"2 +b2
Sistema de Números Reales
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Si a.b e R, demosrar que: aa + ba >!@ + b)^
Si a >0 y b>0, demostrarquc: g+!¡2 +ú+!f >-!r(a+b\2.+4rzb 2' a+b
Si a>0, b>0 talque a+b=1, demostrarque: (d*1)t*@+!¡za2ab2
Si a,b,c,d e R, demostrar que: ac + bd <
Si a,be R talque a+b=l,demostrar que: o4+bo>\8
Si a,b e R tal que a + b = 3, demostrar que: oo *bo >+8
Si a,b,c,d € Rn, demostrar que: !6+b+c+d)r- *lobrd
Si a1,a2,...,en , 4,b2,...,b- e R tal que: "¡2
+ "l +...+ of,
demostrar que: arb, + arb, *...* arbn 1l
Demostrar que si -1 < a < 0 entonces o3 > o
Si -a > 0 y (a-b)z > (a+b)z, entonces b >0
Si a, b e R, tal que 2a +4b = l, Demostrar que: az +b2
Sia>0, b>0 + a3 +b3 >o2b+obz
Si xr, x2,...,xn€ R y six, + -r^ + x- +...+ xn
y a= t L J
n
B<cr.
Si a,b,c,m,n,p € R/m>0,n>0,p>0:
+ul + =1,
1
20
abcmnp
a b+a+c c
nI m+n+ p p
+bz)(cz +d2)
166 Eduurdo Espinoza Ramos Sistemq de Números Rt
@
@
@
@
@
@
@
@@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Probarquesi ar <a2<...1e, entonces oraWaonn
Demostrar que si 0< a<b < c entonces Í :t-,<a+b+ c3c(b - a)
Probar que: o4 +b4 +c4 +d4 > labcd i para a'b,c,de R
Si a,b,c > 0, demostrar que: 2(a3 + b3 +c3 ) > bc(b + c)+ ac(c + a) + ab(a + b)
Demostrar que: azbz +bzc2 +o2cz > abc(a+b+c) V a,b,c e R
Vxe R ynpar,demostrarque: i-=i
Demostrarquesi r>0ya<b entonces u o.ff.u
Si a y b son números positivos y distintos, demostrar W", fr*S':.I
Consideremos x, y, z, w números reales, dernostrar que:
2*' + yt + z' + *' a i,@ + xz+ xw + yz+ Yw+ zw)
o2 b2Si a y b son números desiguales positivos demostrar que: a+b <
b *;
Sia,bycsonnúmerospositivosdistintos.Demosirarque: (a +'b+c¡2 <3(oz +bz +c2¡
Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: 1a3 +b3¡¡a+b)> (az +bz)z
Si x,y son números distintos, demostrar que: 1xa + ya 11x2 + y2 ) > (*t + yt )'
Si x,y,z son números positivos distintos, demostrar que:
xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) > 6xYz'
Demosffar que
Sean a,b,c,x,y,
qaz +b2 + c2¡
Demostrar que
Sí0<d<c =
Si x>0,y>(
a) xyz=l :
b) xyz=l r
Demostrar que
Demostrar parr
Si xeye R, ,
Si x,, x2,...,x,
Si a,b e R, der
Si a>0, prob
Si a,b,c e R+ ,
Si a>0, b >l
Sistema de Números Reales 167
I
ti
l
t
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Demostrarque: a<b<l = !:2<!:2a-l b-l
Sean a,b,c,x,y,z números positivos distintos, demostrar que:
(az +b2 +c2¡1"2 +y2 +72¡>1ax+by+cz)z
Demostrarque: ocdcc + + +>d2(c-d)
sío <d<.c :+ a31c-a¡.+-+ <121r-d¡
Si x > 0, y > 0, z > 0, demostrar que:
a) x!z=1 :+ x+y+z>3
b) xyz=l ^x+y*z=3 <+ x=y=z=I
Demostrarque: x>0, y>0, z>O + 1+/+1>Zyzx
Demostrar para todo a y b real { "u = !1["+ *<12
(sug: 1/ z =1 yejercicio 64)yzx
:.
Si
Si
Si
xey€ R, demuestreque: lxl+lyl> l^+yl
x1,x2,...,xn e R* tal que \.x2...x, =l.EntonceS \+x2*...*xnll
a,b e R, demostrar que: (a+b)a <8(aa +ba)
Si a > 0, probar que:
Si a,b,c e R* ,y si a2
xz +l+ a:>a*lIz.\l x +a
+ bz + cz = 8 , demos[ar que: a3 + b3 + c3 >16
Sia>0,b>0,demos I I 'Lrar que: <i*:-)(ot +bz)> 4
168 Edusrdo Espinoza Ramos Sistema de Números R,
@
@
@
@
@
@
Demostrar que sí a,b,c nos números reales positivos entonces a + b + c >W
J
SíVa,be R ralque a>0 ¡b>0 y a<x2 <b = Já<*.Juu-Ju.xs-ü
Si x1 , x2;...; xn € R, talque xt.xz....xn =1. Demostrarque ;r1 +xz+..'+xn)n
Si a,be R+, Demostrar que (a2 +b2¡1a+b)z >\azbz
a + b + c = 0, Demostrar que: t1*l*1i' =4*1*4abca'b'c'
118-+-oz b2 - (a+b)z
c)
d)l
e)l
I
Si
Si a,be R+, Demostrar que
ü#u,t'''t"t'
3.24.1 DEFINICION.- Una inecuación es una desiguaidad en las que hay una o más
cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica
para determinados valores de la incógnita o incógnitas.
Ejemplo.- La desigualdad: 2x + I > x + 5, es una inecuación por que tiene una
incógnita "x" que se verifica para valores mayores que 4'
3.24.2 INTERVALOS.- Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que
sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos
intervalos sé representan gráficamente en la recta numérica real.
Consideremos los siguientes tipos de intervalos:
a) Intervalo cerrado.- a < b
la,bl={xeR/alx<b}
b) Intervalo abierto.- a < b
<a,b¡= {xe R/a<x<b}
ab
Nota.- @
Ejemplo.-
x e [2,4] =
Sí 7 < 2x+3:
Por lo tanto, si
Sistema de Números Reales
c) Intervalo cerrado en a y abierto en b.-
[a,b>= ixe R/a<x<b]
Intervalo abierto en a y cerrado en b.-
<a,bl ={xe R/acx<b}
Intervalo infinitos.-
[a,+->- {xe R/x>a}
(Í¡*m>- {xe R/x>a}
<--,bl-{xe R/xlb}
1--,b)- {xe R/xcb}
<-€,+€>={x/xeR}
@abd)
e)
Nota.-@ @Ejemplo.- Demostrar que: sí x eI2,4l entonces 2x + 3 e [7,IIl
Solución
x e 12,41 + 23x<4, multiplicandopor2
4<2x < 8, sumando 3
'l<2x+3<11
Sí7<2x+3<lI * 2x+3e [7,11]
Porlotanto, síxel2,4l + 2x+3e [7,11]
170Eduardo Espinoza Rsmos Sistema de |r{úmeros R
Ejempto.- Demostrarque: Sí 2x-6e <-4,4> + xe <1'5>
Solución
2x-6e <-4,4> - -4<2x-6<4' sumando6
2 <2x < 10 dividiendo entre 2
1<x<5, entonces xe <1,5>
Porlotanto, sí 2x-6e <-4,4> + xe <1,5>
Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la
verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado'
Luego la solur
Ejemplos.-
3x-4<x+6
Las inecuacior
en la forma:
En un sólo mi
3x-x<6+4
3(x-4)+4x.
Poniendo en u
3x-12 +4x
esta desigualc
conjunto de ta
5x-4(x+5).
En forma anál
en el otro mier
Como la desil
verifique que
2 < 5 -3x311
Aplicando la tr
El resolver una inecuación consiste en
intervalo donde están los valores que
inecuación.
hallar un conjunto solución; es decir,
puede tomar la incógnita Para que
encontrar el
verifique la
para resolver estas inecuaciones se debe considefaf a> 0, es decir, sí a > 0' entonces:
bx>-- Oa
Su representación gráfica ", -/tbxa
bx<--a
\\
x _ba
3.27. INEeUn-CION DE PRI1\,TEN:' ENÁDO EÑ'UNATNCéEÑITA.'
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma:
Sistema de Números Reales t71
Luego la solución es dado en Ia forma:
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.
3x-4<x+6Solución
Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación
en la forma:
En un sólo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir:
3x-x<6+4, simplificandosetiene: x<5, esdecir: x€ <--,5>
@ Lasoluciónes: xe (--,5)5
3(x-a) +4x<7x+2Solución
Poniendo en un sólo miembro la incógnita y en el otro miembro los números:
3x-12 +4x<7x+2 = 3x+4x-7x<2+12 simplificando O<I4
esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada , es el
conjunto de todos los números reales (x e R).
5x-4(x +5)<x-24Solucién
En forma análoga a los ejemplos anteriores en un sólo miembro ponemos las incógnitas y
enel otromiembrolosnúmeros: 5x-4x -x < -24+ 20 simplificando 0< - 4
Como la desigualdad obtenida no es corecta, entonces no hay ningún valor de x, que
verifique que ia inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacío (Q).
2<5-3x<11Solución
Aplicandolapropiedaddetransitividad: a<b<c {+ a<b nb<c
^u.-9,*-t óa
bx€ <-6,--->a
Eduqrdo Espinoza Ramos Sistemu de Números Ret72
2<5- 3x< 1l
x€
2<5-3x ¡ 5-3x<11
3x<5-2 ¡ 5- 11 <3x
x(l¡-2<x <------é-. ,: -l p
iii) Cuan
(x-;
del cr
2o Caso.-
3" Caso.-
NOTA.-
b) RESOLUI
Para reso
2,ax +Dx+
primero se
raíces se pl
1o Caso.-
La solución es: <-2,11
donde a,b,c e R, siendo a * 0, la solución de estas inecuaciones, se obtiene mediante las
propiedades de los números reales o también por medio de la naturaleza de las raíces del
trinomio axL +bx+c=0.
A) CARÁCTER DE LAS RAICES DEL TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO'
Consideremos el ffinomio de segundo grado
,,¿ I,a 6¡1¿= O, con,a,j ... (1)
alartalizarel valor numérico de la ecuación (1) dando valores reales a x se presentan
tres casos:
1o caso.- Si a= b2 -4ac>0, entonceshay dosvaloresreales diferentes \<r2que anulan al üinomio axz +bx+c =0 '
Es decir: a(x_r,)(x_r)= 0, si se hace variar x a lo largo de larecta real resulta:
i) cuando x toma valores menofes que t,los factores (x-1) y (x-r2) son
negativos, luego el trinomio axz +bx+c, tiene el mismo signo del coeficiente
de "a".
ii) cuando x toma valores intermedio entre t y 12 ; entonces el factor (x - 1) es
positivo y el factor (x - r) es negativo, luego el trinomio axz + bx + c ' tiene
signo opuesto del coeficiente de "a"'
i) Silailos va
ii) Si la i
lo val
Las inecuaciones de segundo grado en una incógnita son de la forma:
Sistemq de Números Reales 173
iii) cuando x toma valores mayores qtre rz, entonces los factores (x-r),(x-12) son positivos, luego el trinomio axz +bx+c, tiene el mismo signo
del coeficiente de "a".
2o caso.- Si a = b2 -4ac = 0 , entonces hay un sóro valor real rr = rz =r, que
anulan el trinomio axz +bx+c, luego como (x-r)2 es positivo, el
signo del trinomio axz +bx+c es el mismo del coeficiente de..a".
3ocaso.- si L=bz-4ac<0, entonces se tiene dos valores no reales
\=a+Fi y rz=a-Fi queanulan elfrinomio axz+bx+c,ypara
cualquier valor de x, el trinomio: axz + bx+ c tiene el mismo signo del
coeficiente de"a".
NOTA.-
b) RESOLUCIÓN ON UNA INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO..
Para resolver una inecuación cuadrática de las formas axz +bx+c>O 6
axz +bx+c<0, donde a,b,c e R, a * 0, por medio de la naturalezade las raíces
primero se resuelve la ecuación ax2 +bx+ c = 0 , y de acuerdo alanaturaleza de las
raíces se presenta tres casos:
loCaso.- Si la ecuación axz +bx+c=O, tiene dos raíces reales diferentesrl 1 12.
--' --\ r- -\ r----rl lz
i) Si la inecuación es de laforma axz +bx+c >0, con a > 0, ra soluciónes todos
los valores de x que pertenecen al intervalo ( -€, rl > U < r2,** ) .
ii) Si la inecuaciónes de laforma axz +bx+c<0 con a > 0, lasoluciónes todos
lo valores de x que pertenece al intervalo 1 r11r2 ) .
t'74 Eduardo Espinoza Ramas Sistema de Números A
2o Caso.- Silaecuación axz +bx+c=0, tiene unaraízreal única 11 = rz=r '
*---T--Y-- f-- ,r
i) Si la inecuación es de la forma: axz ¡-bx+c > 0 ' con a > 0'
La solución es todos los valores de x t r, es decir: * 6 4-e,r) U <r,+->
ii) Si la inecuaciónes de laforma: aí + bx+c<0, con a > 0'
. No se verifica para ningún valor real de x; la solución es el Q
3o Caso.- Si la ecuación ax2 +bx+c = 0 , tiene dos raíces no reales.
i) Sila inecuaciónes de laforma: axz +bx+c >0, con a> 0'
La solución es todos los valores reales de x'
ii) Si la inecuación es de la forma: ax2 +bx+ c < 0 , con a > 0'
No se verifica para ningún valor real de x; la solución es el Q
RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO.
Forma de la InecuaciónRaíces de la Ecuación
ax2 +bx+c=0Conjunto Solución
axz +bx+c>0, a>0Raíces diferentes
rt1f2(-€,/l )U <rr,+*>
Raíz Real Unica r R {rJ
Raíces no reales R
ax2 +bx+c<0. a>0
Raíces diferentes
rt1r21\,r2 )
Raíz Real Unica 0
Raíces no reales a
Ejemplos.-
2xz -x-10>
Resolveremos
2xz -x-10>
(x+2)(2x-5',
(}--
<---€)--2
La solución es
Otra forma dt
2xz - x-10 =
de acuerdo al c
.x e < -*,-2>
xz +8x_ 65 <
Usando propie<
completando cr
Sistemq de Números Reales
Ejemplos.- Resolver las siguientes inecuaciones.
2x2 -x-10>0Solucién
Resolveremos Ia inecuación usando propiedades de los números reales:
:ái.b';t'& :. :Wl>OX't,.b.>t,$*{a,<,$¡d.6¿
2xz -x-10>0 = (x+2)(2x-5) >0
(x+2)(2x-5)>0 <+ (x+2>0 ¡2x
<+ (x > -2 nx> 512)
o-- ----G- --- ---->
^A!
-2
La solución es: x €
-5>0)v(x+2<0¡2x-5<0)
v (x<-2¡x<5/2)
<--------o
V52
5<--*,-/>U<-,+->2
Otra forma de resolver esta inecuación, es por la naturaleza de sus raíces de la ecuación
2xz -x-I0=0, de donde r, - _2, r2=1, lu"go rt1r2 y como 2x2 -¡-10>0,2
de acuerdo al cuadro la solución es:
5.X€ <-a,-)>U<1-,+*>
2
x2 +8¡-65 < 0
ffi
52
52
-2
-2
Solución
Usando propiedades de los números reales.
completando cuadrados en *2 +8x-65 < 0, se tiene:
t76 Eduardo Espinoza Ramos Sistemu de Números l
¡2 +8¡+16 < 65+16 = (x+4)z < 81 , aplicando la propiedad
1-r+4¡2 < 81 (+ -..ñT. r+4 < J81
(+ -9<x+4<9 € -13<x<5
La solución es x e <-i3,5>
Ahora resolveremos la inecuación por medio de la naturaleza de las raíces de
x2 +8x-65 =0,esdecir: (x+ 13Xx-5)=0 dedonde \=-I3, rz=5
Ahora resolvr
de donde r
acuerdo al cu
donde ao,ar,
a) RESOL
Una ine<
a Ia natl
sencilla'
Para
P(x) = 6
n raíces,
1" CAS(
-\/tvfn-
de acuerdo al cuadro es: x € <-13,5>
¡2 +20x+100>0Solucién
#-13 5
Mediante propiedad de los números reales se tiene:
xz +20x+100>O + (x+10)2 >0 entonces:
Vxe R; x+-10, (x+10)2 >0,porlotantolasoluciónes; x€ R-{-10}
Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces: x2 +20x+100=0= r = -10,
multiplicidad 2, y como xz +20x+I00 > 0 , de acuerdo al cuadro de solución es:
xeR-{-10}
,t*3**9 .o5 100
Solución
Aplicando la propiedad de los números reales: V x e R, ,2 >-O
lueso *'*3"* 9.0 + ("+3)2<0 p"ro ("+a)2>0,entoncesnoexiste----o- 5 too 10' 10'
ningún valor real para x que verifique a la inecuación, es decir: Q.
a) En
P(x
al ir
Sistema de Números Reales 177
a)
Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las raíces de la ecuación "' + 3
" + 9
= 0 .5 100
de donde ,=-1 de multiplicidad rlos, pero se tiene que *'*2rn*<0 y de10 i r00
acuerdo al cuadro la solución es: 0.
Una inecuación polinómica en una incógnita, es de la forma siguiente:
donde ao, a1,..,,an son constantesy an +0, ne Z*
RESOLUCIÓN NN UNA INECUACIÓN POLINÓMICAS..
Una inecuación polinómicas de la forma P(x) > 0 o P(x) < 0, se resuelve de acuerdo
a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0, en una forma
sencilla y rápida, considerando an )0 .
Para esto hallaremos primero las raíces del polinomio
P(x) = anxn +...+ arx+ a0 = 0, y como éste polinomio es de grado n entonces tiene
n raíces, los cuáles pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales.
1" CASO.- Cuando las raíces de la ecuación polinómica p(x) = 0, son reales
diferentes. Es decir: \ 1 rz 1 ...1 rn_r 1 tn
a) En los intervalos consecutivos determinados por las raíces del polinomio
P(x) = 0, se alternan los signos (+" y *-4 empezando por asignar el signo (+)
al intervalo 1 r,,* ) .
fn-3 ln-2 fn-t fn
178 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Re
b)
c)
Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x)= enx'+...+a1x+a0>0,
a n ) O; al conjunto solución será la unión de los intervalos a los cuales se le
ha asignado el signo "+".
Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x)=anx'+...+tf,rx*ao<0,
e n ) 0; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le
ha asignado el signo "-".
2x3 -3xz -ll
Hallaremos las
a
6
Como la inecu
donde aparecer
2" CASO
2-3-4 1
NOTA.- Explicar el método de Ruffini
Ejemplo: Resolverlasinecuacionessiguientes:
xs +3xa -5x3 -15x2 +4x+12>o
Solución
Expresamos el 1o miembro de la inecuación en forma factorizada
(x + 3Xx + 2Xx - 1Xx + 1Xx -2) = O
-15 4 t2-1 -16 -t2
r3-5l44-l2126 11
-1 -5
56-2 -6
J
22 12
6
-6
Luego las raíces son:
\=-3, t2=-2, 13=-1,
ro=1, rr-)
Ejemplo.-
Cuar
es pi
inter
Cuar
P(x)
los ir
R
(x -l)z (x + 2)(
Resolviendo la
h =I, de mult
a)
b)
- I -\,,- -; -\- -- -tu. ; -\. -_- -\/- -; --3 -2 -1 12
Como P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+).
Esdecir: x e <-3,-2> U <-l,l> U <2,+->
-1
I
0
Sistema de Números Reqles 179
2x3 *3x2 -ll¡+6<0Solución
Hallaremos las raíces de la ecuación 2x3 -3xz *llx+6 =0
Luego las raíces del polinomio son:
^lh = -2, ft =1, tr =32"----i /_---\ /----\ r---'-V'frl-rr*
-2 1/2 3
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0,
donde aparecen el signo (-). Es decir: x €
la solución es la unión
q-a,-/>u <!,2>de los intervalos
2'CASO.- Si algunas de las raíces del polinomio p(x) = 0 son reales de
multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene:
a) cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio p(x) = Q
es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de losintervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del 1o caso.
b) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomioP(x) = 0, es impar, en este caso a la níz se considera para la determinación delos intervalos y para dar la solución se sigue er mismo proceso del 1o casó.
Ejernplo.- Resolver las inecuaciones siguientes.
(x-l)2 (x+2X¡+4) > 0
Solución
Resolviendo la ecuación (x-I)z(x+2)(x+4)=0, de donde
4 =1, de multiplicidad 2.
\=-4, rz=-2, y
180 Eduardo Espinoza Rumos Sistema de Números R
-+ -iur----r'r-;-- ,-4-21
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (+), es decir: x € <--,-4> U <-2,+-> - {l }
(2x + l)(3x - 2)3 (z¡- s) < o
Resolviendo la ecuación
'rmultiolicidad 3- n=L,)
Solucién
(2x+l)(3x-2)3 (Zx-S) = 0, de donde
--_--\,r;-\' r-_--\' r-;- >
l2li=--, fo=- d?'2'3
-112
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la
donde aparecen el signo (-). Es decir:
solución es la unión de los intervalos
I .. 25x€ <-@!-->u <-.->2 32
5/2213
11+ x+ x2¡(2-
La inecuación
ahora resolviel
-t +.,6tt2
Como la inecu
donde aparecen
Una i¡ecuación
donde P(x) y Q(
Para resolver un
P(¡) P(
QQ) Q(
P(x).Q(x) > 0 ó
sr p(")r0
=QQ)
si P(") .0 =QG)
Ejemplo.- Re
(x2 -lXx+3X¡(.r-5)(x+7)
3'CASO.- Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales, en
este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los
intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los
casos anteriores.
Ejemplo.- Resolverlas siguientes inecuaciones.
(xz -7)(xz +r6)(xz -16)(x2 + 1) < o
Solución
Resolviendo la ecuación: 1xz -l¡1x2 +16)(xz -16)(x2 +1) = g, de donde
rt=-4, rz=-J1 , ,z=J1 , 14=4, rr=-4i, ru=4í, h =i, rs=-í
-;-\vr -_- -\vr; -\vr -_- -\vr; - >-4 -{7 n7 4
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es de la unión de los intervalos
donde aparecen el signo (-), es decir: xe <*4,-$>u<J1,+>
Sistema de Números Reales
(1+x+ *2¡12-x-*z¡>0Solución
La inecuación la expresaremos así: (xz + x+I)(x2 + x-2) S0
ahora resolviendo la ecuación (x2 +x+l)(x2 +x-2)=0 de donde: rt=-2, 12 =I ,
-;-\\ r --* -\\ /- -; - >-2 1
P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos
x e [-2,1]
-t+,l-z¡ -t- J1¡,t=--2 , t'4=--
Como la inecuación es de la forma
donde aparecen el signo (-), es decir:
sí P(t)to +QQ)
si P(t) .0 ::'QG)
Una inecuación fraccionaria en una incógnita es de la forma:
donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferente de cero.
Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones:
l\.n. rg o i('¿ < 0, son equivatenres a las inecuacionesQQ) Q@)
P(x).Q(x)>0 ó P(x).Q(x)<0 esdecir: sí e(x) *0= ez(x)>0, dedondeseriene:
Ejemplo.- Resolverlasinecuaciones siguientes:
(x2 -lX¡+3)(x-2)(x-5Xx+ 7)
r82 Eduurdo Espinoza Ramos Sistema de Números Re
(xz -t)(x+3)(x-2)
Solucién
> 0, es equivalente a la siguiente inecuación.
la solución es
x x-l_+_<_x-l x )
La inecuación ci
x2(-r+1)+(x-(.
2x2 * x+l .(x-l)"r(x+ 1)
(2xz - x+l)(x-
ahora encontran
rl=-1 , rZ=A
Como la inecua
donde aparecen
1331. TNECUACT(
Las inecuaciont
La inecuación(¡ - 5)(¡+ 7)
1x2 -t¡1x+3)(x-2)(x-5)(¡+7) > 0, para x + -7,5
ahorahallaremos las raíces de la ecuación (.x2 -lX;+3)(x-2)(.x-5X-r+7) = 0.
Dedonde \=-7, rz=-3, h=-I , r¿,=1, rs=2, 16=5,quesonrealesdiferentes.
---\ r-- -\ /----\ r---\ r-- -\ r---\ a*'V'-'v*.V-v*V-v*-7 -3 -1 1
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos
QQ)donde aparecen el signo (+) es decir: * . 4--,-7) U <-3,-1> U <1,2> U <5,+->
x-2 ¡*1x+3 x
Solución
La inecuación dada se expresa en la fbrma, mayor que cero o menor que cero, es decir:
x-2 x+l__<0 :+x+3 x
x(x-2) - (x+ 1)(x + 3) <0, de donde:x(x+3)
-6x-3 2x+l ^< 0 :+ ^ > U, que es equlvalente a:x(x+3) x(x+3)
(2x + lXx + 3)x > 0, para x + -3,0 ahora encontramos las raíces de la ecuación.
(2x+lXx+3)x=0, dedonde rt=-3, ,r=-!, 13=02
{ -:-\vr-;-\vr----\vr;-
>
-3 -112 0
Como la inecuación es de ia forma: (2x + lXx + 3)x > 0,
Sistema de Números Reales 183
Las inecuaciones exponenciales en una incógnita son de la forma:
I
2xz - x+l(x-l)x(x+l)
la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir:
x€ <-3,+>U<0,+*>2
x x-l 2x_+_x-l x x-lI
Solución
La inecuación dada expresaremos en la forma:
xz (x + l) + (x- 1)(; - 1)(x + t) - zxz (x -I)< 0 , simplificando(x- l)x(x + 1)
x x-l 2x_<ox-l x x+l
!!"] .0 , la solución es ta unión de los intervalosQQ)
x e <--,-1) U <0, 1>
(2xz - x +l)(x-l)x(x+1) < 0, para x + -1,0,1
ahora enconffamos las raíces de (2x2 - x +l)(¡ - l)¡(x + 1) = 0 , de donde sus raíces son:
\=*lo 12=0, ry=7, ro1*J1¡ t-J7¡
t t< ---4
---\ r-- -\ /----\ r--a-v*v-'v*,
-1 01
Como la inecuación es de la forma
donde aparecen el signo (-), es decir:
184 Eduardo Espinoza Rqmos Sistems de Números R
donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a e R* , a + 1.
Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos:
l" CASO.- Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el
mismo sentido prefijado, es decir:
Sí
si
':,6{\*:t;'sJ¡
' ;,/(*)"<,a{qi
.:friirt si¡l
ffx¡i g(il
2" CASO.- Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en
sentido contrario al prefijado, es decir:
comoa=0.2<
efectuando ope
equivalente a:
Ahora hallando
39-..m11 -
Como la inecua
donde aparece e
Las inecuacione¡
donde Pr(x),p,
Para que la solr
P,(x)2A, i = 2,
constituirá el un¡
que Jr¡9, q,
expresamente con
i) V P(x)>0
22
sr :"rGt),.g?*::t,- n {x¡,1gii)
Si of Ix\ . os(x\ c+ f(x) > g/x)
Resolver las siguientes inecuaciones:
Jfr*t),tSolución
5¡+l 3(tllLa inecuación dada es equivalente a: 3 e < 9 l0 9
comoa =3>1 entonces 5¡+la6x+6
910
5¡+1 6x+6
3 e <3 l0
50¡+10<54x+54 + 44<4x = x>-11 = xe <-11,+->
La soluciónes: x e <-11,+->
1-
[(0. 2)( {*l'rr-2']* t 1q3aSolución
La inecuación dada se puede escribir en la forma;
e,DE:52 ¡ 10'912e;b{ dedonde: ro,z¡q152 > (0,2),2,-4,
4",,
Sistema de Números Reqles185
como a = 0.2 < 1, se tiene: (x +r)(x -z) <12- 4
x*3(x +l\( x -2\:+ -i2x+4<0x-3
efectuando operaciones y simplificando tenemc llxz -39x+14ts: --l_J- > 0, esta inecuación es
equivalente a: (Llx2 -39x+14)(x-3) > 0 para x É 3.
Ahora hallando las raíces de : (l lxz -39x+I4)(x_3) = 0, de donde:
__39-Jsos . 39+rffi5"r'r ' r n.L. 1!
\. ¡----f a-- -1 7--\r+ti-ri+
22 --ncomo la inecuación es de la forma +2 r0 , la solución es la unión de los intervalos
QQ)
donde aparece el signo (+) es decir: x € <39-.Fw ,3>U <21p.,**,
Las inecuaciones irracionales en una incógnita son de la forma:
donde Pr (x), PzQ),...,P, (-r) son monomios o polinomios diferentes de cero.
Para que la solución de la inecuación sea válida debe resolverse antes lá condiciónP,(x)20, i = 2,3,...,n en las expresiones con una radical par, cuyo conjunto soluciónconstitufuá el universo o denfro del cuál se resuelve la inecuación dada. Debe observarseque tlF@, quiere decir, (+JP("")) y si se desea la raíz negativa se escribirá
expresamenre como 1-./F(x)) ; es decir:
i) Vp(x)>0 Jrt"l=o ii) JP(, = o (+ P(x) = e
186 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R
Como Jx+5
=) U = [-5,+*
J**l ro
como JiTT:
Además ''/¡"
Luego el conju
JF5<o
Como 1fi-5.0<JrL<0,
Jx-8 < 0
Como fif[.
.6+s >0
Co-o J"+9:conjunto solucir
Jea*.ú3
El conjunto unir
J8-2* <Jt3
conjunto soluci(
para resolver las
propiedades:
@ osx<y €
@ o<x<y <+
inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes
o<J;<..F @ ocxcy <+ 0.Ji..,6
a) \[P(x)=g <+ P(x)=Q
") \[P@)<{Oli <+ olP(x)<Q(x)
ii) Si n es entero Positivo imPar.
br) dr1*¡ >o
ur¡ dF@ <o
<á P(x) > 0
€ P(x)<0
o < J;..5
@ D Si n es un entero positivo par.
a)Y P(x)>0 .'. dPtrl>o <+ P(x)>0
b) dPf¡<\[Q@ <+ P(x)<Q(x)
Las propiedades b1), br) indican qo" dflr; tienen el mismo signo que P(x) si n es
impar.
OBSERVACIÓN.- Cuando en una expresión existen k radicales par entonces se
calculanlosuniversosrelativosUr,Uz,"',U¡patacadaradical
yeluniverso general set6 lJ =Ut¡Uza...nUo'
Daremos algunos ejemplos de ilustración de estas propiedades, para después estudiar las
diversas formas de inecuaciones irracionales'
Ejemplos.- Resolverlassiguientes inecuaciones
J'.*s, -z
Sistema de Números Reales t87
Solución
Como J"+5>-2 esválidaparatodox tal que xeU: x+5)0.+ x>-5J U = [-5,+->, luego el conjunto solución es [-5,+-¡
Jr.+l ,oSolución
Co-o J"+Z > 0entonces el conjunto universal es x + 7 > 0 +
Además. J"+Z tO <+ x+7>0 + xe <-7,+->.
Luego el conjunto solución es x € f-7,+*> A <-7,+¿o>
GJ <oSolución
Como JiJ(O,elconjuntouniversales x-5>0 = x>5 + {J=[J;+-> ycomo
0 S \ñ= < 0 <+ J¡-5 = 0 + x-5 =0 = x = 5 e U, luego el conjunro solución es {5 }.
Ji-s <o :
Solución
Como J¡ - 8 < 0 es absurdo entonces la solución es Q.
J*+g > o
Solución
Co-o Ji+9>0 esverdadero V xe U: x+9>0 esdecir U=l-9,+->. luegoel
conjunto solución es x € [-9,+->.
"Á-2" ' Ji¡ solución
Elconjuntouniversales 8-2x>0 + x14 dedonde U=<--,41.
Js-2*.J13 (+ 8_ 2x<13 =+ "=-: dedonde ,.¡-1.+->. Luegoel2 -2conjunto solución es: u nf-1,+- t= t-1,+l-2' '2
x> -7 + [J = [-1,+->
188 Edaardo Espinoza Ramos Sistemu de Números Re,
Ji+¡+ J4-x>-3 sohción
Calculando los universos relativos.
(Jr: x+3>0 = x2-3 = xe [-3'+->
U.r: 4-x>0 =+ xS4 = xe<--:41
(J =(I t f\lJ 2 =[-3,+- > n < -*,4] =l-3,41
como la suma de dos positivos es siempre mayor que un negativo'
J*a3¡-ta-¡>-3 esvalido V x€ U=[-3,4].
'[r-l ,zQolucién
Sea U: x-7> 0 = x>7 + xe [7,+->
^[;- >3 c+ x-'l >9 = x> 16 :+ x€ <16,+*>
elconjuntosoluciónes x€ U n <16,+->=<16,+->
-J"-s t oSolución
-J;-5 > 0 e 'f;- < 0 el conjunto solución es Q.
Jx2 -x-12<tlxt -6x+5Solucién
Calculando los universos relativos.
(Jt: x2-x-12>O + (x-4Xx+3)>0 ---\ r---\ r*'v-v*t
U =UtñU2=
de donde 5x <
Luego el conjur
1[¡ ar'-z)2(¡+4)3(¡3 +t
como 1l*' -¿x+4entoncesl
trfS a6-z)2(r+4)3(r3 +8
Como Vxe R,
1xz -+¡qx-z¡z(x+4)(x3 +8-
(x+2)(x-2)(x(x+ 4)(x -Z)
(¡+2X¡-lX¡-(x+6)(x+4)
Luego el conjun
(Jr=1-*,-3lU I4,+*>
Uzt x2-6x+.520 + (x-5Xx-1)>0
U 2 =<.-*,ll U [5,+* >
xz - x-12 <.
Sistema de Números Reales 189
xz - x-12 <
U =Ut^Uz- <---31 U [5,+*¡
J"t'6"+5 x2 - x-12< xz _ 6x+S
dedonde 5x<rl =) *<! = ,..--.11,)5
i
Luego el conjunto solución es:
4[¡ J6-2)zG3 -t3x+tz)1x+4¡3¡x3 +8x2 +4x-4g)
^F.:-Como 7lr' -4x+4entoncesla
6)(x+ 41
> 0, para
xe(J n.-*,Tr= <--,-31
1xz - 4¡qx - z)2 (x3 -t3x + L2)rr---il x' - 4t x -2)i (xr - l 3r + 12) _
@z
Como VxeR, (x-2)2 >0 entonces
(x2 -4)(x -2)2({3 _ l3x+12\ ,o é+
(x+4)(x3 +8x2 +4x-48)
>0
Solución
tiene el mismo signo que ,7 -4 y (x+4)3 tieneelmismosignoque
inecuación dada es equivalente.
0<+ >0(x+ 4)(x3 +8xz + 4x- 48)
(x2 -4)(x3 -t3x+I2\(x+4)(x3 +8x2 +4x-48)
>0
(x +2)(x -2)(x -l)(xz + x -12\ > 0 , pa.ra x*2,-4(x+ 4)(x-2)(x+
(x + 2)(x -l)(x -3) x*2, - 4(x + 6)(x+ 4)
---\ t--- -\ r---\ /--:-\ r-- -\ r----V+v-rr*\/-\/+-4-213
Luego el conjunto solución es: x e <-6,-4> ,¿ [ 2,1] u [3,+->
-6
190 Eduardo Espinoza RamosSistews de Nú.weros Re
Para
a)
3o Para
a)
40 Para la
h) JP(
'[4-las in
JP(,
.[4'
,[Pr'
.Rlas int
JF(,
JP('
,t¡A
,t'Alne(
2"
b)
b)
Jrr¡ *J
Jrr"t *.,1
5" Para las ine
..,Fr"l *Jr
,-Ft't *Ji
OBSERVACIÓ
Consideremos ot
lliJl G +z)a (x +rtrl xz -'7 x + 12 Vto-{6+ qt* - s)3 (*3 -27)(*' -1 4x + 48)
<0
' Solución
Losradicalespafesnosdaeluniversou. 10-x>0 A x+9>0 =+ xl10 A x>-9
x e <-9,101 + u = <-9,101 (no se incluye el -9 por que anula al denominador)''' :
como los'radicales pares son positivos la inecuación es equivalente a:
1l x+7 (x+2)a1x+3)Vx' -'7 x+I2 V10-x -,,tffit" - sl3 (x3 - 27 )(*2 - l4x + 48) (¡ -s)3 (.f - 27)(*z -l4x + 48)
como los radicales impares tienen el
entonces:
(x+1)(x+2)a (x+3)(x2 -7 x +12)
rnismo signo que las cantidades subradicales
( 0, como para todo x e R (x+2)4 >0
(¡+7Xx+3)(x-3)(¡-at+ < 0, para x * 3, 8 simplificando tenemos(x-8)'(x-3X¡-6Xx-8)
-i -r,r- - I arr- -i -t.r- -_- -tu- -:+(x+7)(x+3)(x-4) < 0, x É 3,8
x-6
xe [-7,-3] w14,6> luegoelconjuntosoluciónes: xe U n (t-7'-3lu[4'6>)
xe [-7,-3]u[4,6>v{-21
ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando
criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional.
1o Para las inecuaciones irracionales de las formas:
a) OA > QQ). La solución se obtiene así:
.,FG) >e@)<+ (P(x)>0 A I0(¡)<0 v (P(x)>0 A P(x) rQ'Q\l)
-7 -3
1,,,
Sistewa de Nú*w.eyas Realet 191
-t-
b) JP(,, > QQ); la solución se obriene así:
.F(r) >e@) <+ [F(x)>0 A (g(x)<0 V [p(r)>0 A p(x) >ete)l)]
2o Para las inecuaciones irracidnales de las formas:
a) JF(") < Q(x); la solución se obriene así:
s,lF@ < QG) <+ [(P(x) > 0 tt (Qe) > 0 A p¡r])$< e'OD)
b) . JP(") <QQ); la solución se obriene así:
.rtrt <ee) <+ p(x)>0 A te(-x)>0 A p(x) <e'e)l
Para las inecuaciones irracionales de la forma:
a) .[P@ + JO\.) > 0 ; La solución se obriene así:
,[pA*JgA>O =r (p(x)>0 A e(x)>0) v (p(x)>0 A e(x)>0)
b) ,[pA *.lgA > 0; La solución se obriene así;
,[pr.>+Jaa>>o + Ptx))o Ae(x)>o
4" Para la inecuación irracional de la forma:
,[pO> * JgA> K, K > 0; La solución se obtiene así:
,lpa*rfolr>> K I t(p(x) > o r. e@)>0) n p(x) >(tr-"[eGD'l
5o Para las inecuaciones irracionales de la forma:
,[P@ + J01i l0; La solución se obtiene así:
"[pa*Jaa¡<o + P(x)=o Ae(x)=o
OBSERVACIÓN.-
Consideremos otros casos más generales.
r92 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Re
1o Caso.- Si n es impar positivo mayor que uno.
a) P(i\[Q@ >o (+ P(x).Q@) , oR(x) R(x)
b) P(x) . g €+ P(x) < o' RG)\\QG) R(x)o(x)
c) <lP@<{O@ {+ P(x)< Q(x)
2o Caso.- Si n es par positivo
a) dPe)Q@)>o <+ P(x) >o
b) <[pAnQOl<o <+ P(x) >o
A
A
Q(x) > o
Q(x) < o
,t.'z -Ar+13
Aplicando Ia pe
,tr'-14.+13
Er-8 E:l-! l-
V x-t 'Vr*
c) -:IgI->o e e(x)>o A !1"]=oVQ(*ln(") fi('Y)
d) .-&f--ro e o(xl>o A P(x)<o' Vot*xt") R(x)
e) 4F@>ee) e (p(x)>-o A to(x)<0v (O(x)>0A P(x)>Q"@))l
r) \pe <ee) <+ p(x)>0 A to(x)>0) A P(¡)< Q"@)l
Eiemplo.- Resolverlassiguientesinecuaciones
^f-; -u.+r3 > x-3Solución
.[* '14t.13> x-3 e *2 _14*+13>0 A [x-3<0 v
(x2 -14x+I320 A x2 -l4x+I3>(r-3)2)l
e *2 -14*+1320 ¡ [x<3 v (xz -l4x+13>0,.. "<]ll
Sistema de Números Reule¡; t93
xz -I4x+13>0 A x<3
(x-13Xx-1)>0 A x<3
xe <--,llu[13,+-> A x<3 .'. x e <--,1]
< x+lSolución
Aplicando Ia parte b) del 1' caso:
^[t -l4r+n < r+1(+ (x2 -I4x+13> 0 A [x+1> 0) A (x2 -I4x+13< (¡+l)2])
<+ ((x-13)(x-l) >0 Alx>-1) A ((r-13X¡-1) < (¡+1)21)
<+
(* x2 -14x+13>0 n[x(3 v re<--,1] U[13,*> r, rr]l
<+ xz -l4x+!3>0 n [r <Z u ,<])
c+ ((¡-l3Xx-1)>0 ^ [x>-rl ^ x>J1
<t x € <-1,11 u [13,+->n"t]t
<á r€<i,t, r[13,+->
E;4 F;I ,..-t *{r*, =u
Solución
Aplicandolaparteb), del3o caso: rfr|l*r[gtx) >0 <+ P(x)>0 A Q(x)>0
Er-gl-r{ x-t
l-)-f
{"*, =u2x-8 5-x
e)x-l x+3
-14x+13
t94 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Números A
e (x-4)(x*1)>0, x*1 A (5-xXx+3)>0,x+3
(:) (x-4Xx- l)>0,x+ 1 A (x-5Xx+3)<0. x+-3
Luego la solut
Ejemplo.- R,
De acuerdo a .
xz -9 y que
resulta equival
(x2 -9Xx3 +8
(x + 4)(x3 -
(x+ 3X¡- 3X;
(x+ 4)(x-
ntt+x u [-6,-4]
OBSERVACI
@ d(t<I
Ejemplo.- ./,\t
Aplicando la ol
- . -\ r--- -\ r-;-* r¡ - r/ t :
14
mismo signo #ro, de donde
-3
@
@
^. 4--,1)U [4,*> A xe <-3,5]
---o-3 145o--- ----a
La solución es: x e <-3,1> U i4'51
OBSERVACIÓN.- Si n es un numero positivo impar, entonces:
<lf@ <d0@ e+ P(x) < Q(x) U't¡ " @o <+ P(x) < Q(x)
{FG, >do$) <* P(x) > Q(r)
Ejemplo.- Resotver la inecuación ffir,
o
Solución
El conjunto de referencia o conjunto universal se obtiene del radical par -v diierente de
cero: *2 -l>0, dédonde ¡2 >1 ::) x> 1 v x < -1 * E 4--,-i) tl <1'+->
luego el radical par resulta positivo y puede simplificar quedando la inecuación
7 f:-"! 1- * > 0 - oue de acuerdo a ias observaciones, las expresiones dei subradical tiene el
Vx+ 5 *--\ r-- -\ f*--+'v-v+>
@
@
-t-3---<o¡+5 -5
x e <-5.3>
---\ t--- -\ r--A * v ---:-,--¡l--l-->
Sistema de Números Reales 195
Luego la solución de la inecuación es: x e <-5,3> ñ (<-*,-1> u <1,+*>)
"'. xe <-5,-1>u<1,3>
)ñ--Ejemplo.- Resolver la inecuación t/x2 -9'(xr t8x2 +4¡-48) t o
(.r+4)s(x3 -t3x+12)
Solución
resulta equivalente a la inecuación:
(x2 -g)(x3 +8xz +4x-9 > 0 factorizando el numerador y el denominador@
(x+3Xx-3)(x-2Xx+6¡(x+4¡_^ (x+3Xx-2t{x+6)(x+4)_(x+4)(x-lx"+4x"-3) >0 <e
ffi>o' x*3
(x+3Xx-2Xx+6Xx+4) >n -- -\ /--;-\ /--- -\U/--;-\U/-----\ r-;-
x-r -'v -6 -4 -3 1 2
x u [-6,-4] u [-3,1> u [2,+*> - {3}
OBSERVACIÓN.- Si n es un numero positivo par, entonces:
@ rfpa¡s+[oG) <+ o<P(x)<e(x) @ <f¡A . <[gA> e+ o sP(x)< Q(x)
De acuerdo a las observaciones indicadas se tiene qu" 17 -e tiene el mismo signo que
*2 -g y que (x+4)5 tiene el mismo signo que x + 4, por lo tanto la inecuación dada
Ejemplo.- >J;Solución
Aplicando la observación a) se tiene:
?)-)v0<x<
x+2
7,1 _1-x>0 n ¡(
x+2
32-2xx+2
t96 Eduardo Espinoza Ramos Sisteme de Números R
32 -2r(+ x>0 /\ .r-"- -,'<0x+2
- ,2 +4x_ 32<+ x)0 ¡ " '" --10
x+2
xs +lxa +12.
Aplicaremos e
181
191
T7-6
l1
Luego las raíct
Como la inecu
donde aparece
l2x4 -56x3 +
Encontrando Ia
l2x4 -56x3 +
l2xz -56x+85
Sea ¿ = r+!x
Reemplazando
12(22 -z)-s6
donde r=-1. r,=3'2-2-l-\,r--- -\,rr;-
-112 312
Como la inecuación es de la forma 4x2 -4x-3<0, la solución es la unién de los
r--i3lintervalos donde aparece el signo (-), es decir:
lr." -t- ,1
<+ x>0¡ xe<-*,-81 v<-2,41
<+ x>0 n (x+8Xx-4) <0 -:-\g/--;-\Ur----\Ur;-x+2 -B -2
.'. x e [0,4]
Resolver la inecuación cuadrática: - 4x? + 4x+3 > O
Solución
La inecuación dada expresaremos en la forma : 4x2 - 4x - 3 < 0
factorizando (2x + l)(2x- 3) < 0, aplicando la propiedad de números reales:
(2x+I)(2x-3)<0 e (2x+1>0 tt2x-3<0) V (.2x+l <0 A 2x-3>0)
<+ (x>-! t\ x<)> v <r.-L t' ,rlt
-112 312
t3La solución es: x e < --.->
----c G---V -"---_i--------f----->-112 q 3/2
Ahora resolvemos mediante la naturaleza de las taíces la ecuaci(ln 4xz *Ax-3=0, de
Sistema de Números Reales r97
xs +8xa +12x3 -xz -gx-lz>0Solucién
Aplicaremos el criterio de las raíces de la ecuación: x5 +gx4 +r2x3 - xz -gx -rz = o
l8t2-1_8_t2192120129212012-2 -14 -t4 -12
Luego las raíces reales son: \ = -6 , 12 = -2, ,,
- - -\,rt-;-\,t----\
-6 -2
Como la inecuación es de la forma P(x)
donde aparece el signo (+), es decir:
La ecuación que queda es:
),x'+x+l=0, cuyasraíces
-1t\6,2
776-6 -6 -6
-1
rr*1
> 0, la solución es la unión de los intervalos
r2x4 -56x3 +89x2 -56x+12<0Solución
Encontrando las raíces de la ecuación
l2x4 -56x3 +89x2 -56x+12=0 dividiendoentre¡2
t2xz -56x+8g-X*3=0 = rztx2 +1)_s61_r+1¡+sl=oxxtxtx
z2=x2+1+z = .r2x'
... (1)
Sea e=t+1 :+x
Ix
21
Reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
12(22 -Z)-562+89=0, enronces: t2z2 -562+65=0 :+ (tz-B)(22-5)=0
Eduurdo Espinoza Ramos198
Sistema de Números Ret
Como la inecua
donde aparecen
t <{_1l-x 2-x
La inecuación d
x x-3-- ----- < t
l-x 2-x
l.*](l- x)(2- x)
4:1 - 2(x-r)(x-2)
(2x-3)(x-1)(:
(2x-3Xx-lX:
corno la,inecua
donde aparecen
x-2 x+I_ <_x+3 x
La inecuación d
135dedonde ,=i, ,=t
13 1- - 13 + 6x2 -l3x+6= o, de donde 4 =Para z=l - '*; 6
para z=1 - t*!=1 * 2x2-5x+2=0'dedonde rr=12xz
ordenando las raíces en la recta numérica
--\ r.---\ r-:-\ /----\;--:-'+'.r'-rl*V-V+
Sea z=2x2 -3x + z(z-2)-63=O
z' -2z-63 =O + (z-9)(z+ 7) = 0 , de donde
Para z= 9 = 9 =2x2 -3x ¿ zxz -3x-9 =O '
322''3
, rq=2
112 213
ComotrainecuaciónesdelaformaP(x)<0,lasolucióneslaunióndelosintervalos
donde aparece el signo (-), es decir:
x(2x + lXx - 2X2x -3)> 63 Sohción
Hallaremos las raíces de la ecuación:
x(2x + 1Xx-2X2x-3)-63 =0, entonces x(2x-3)(2x+ lXx-2)-63 =0
(2x2 -3x)(2x' -3*-2)-63 = o
Para z=-7 á -7 =2xz -3x
z=9, z= -7, entonces:
Jde donde: \ = -: , rz =3
¿
txJ+t¡r=4+ 2x2 -3x+7 =0, dedonde:
tut -,--\- -i--312
Sistemq de Números Reales t99
Como la inecuación es de la forma
donde aparecen el signo (+), es decir:
_i_ < {_1l-x 2-x
Solución
La inecuación dada se escribe en la forma:
x x-3_-<o :+l-x 2-x*-:l\<--?IL 4 ro, simpliricando
(L- x)(2- x)
2x-3> 0. entonces la inecuación(x-rt(x-2)
P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos
+
es equivalente a la inecuación
(2x * 3Xx - lXx - 2) > 0 para x * 1,2 encontrando las raíces de la ecuación
(2x - 3Xx - lxx - 2) = 0, se tiene: r, =1, r, -). ,, =Z
_ - _\ t--- -\ r---\ r--+\/-rr*1
como la,inecuación es de la forma
donde aparecen el signo (+), es decir:
x-2 x+lx+3 x
P(x) -0, la solución es la unión de los intervalosQQ)
3/2 2
Salue!óD
La inecuación dada se escribe en la forma:
200 Eduqrdo Espinoza Ramos Sistema de Números R
x-2 -r+l_-_<0x+3 x
-6x-3 <(l =x(x+ 3)
inecuación (2x +
ecuación: (2x+
Como la inecuación
signo (+) es decir:
xz -5x +6^-)0x' + x-42
2x+1 2x+l-- > 0, entonces la inecuación > 0 es equivalente a lax(x+3) x(x+3)
l)x(x + 3) > 0, para x + -3,0, ahora encontraremos las raíces de la
l)(x + 3)x = 0, de donde r, - -3 , b = -). ,, =0.
---\ r---\ r---\ r--
x(x-2)-(x+1)(x+3)< 0, simplificando
x(x+3)
-3 -112 0
P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el
La inecuación
x3 - x2 -22x.x(x+7)
La inecuación
(x-2Xx-4X¡
ahora encontra
(x-2Xx-4X¡
Solucién
x2 -5x+6 to € lx-?-l\x-3.-120, esra inecuación es equivalenre a:
x2 +x-42 (x+7)(x-6)
(x-2Xx-3Xx + 7Xx - 6) > 0 para x * -'l ,6, ahora encontraremos las raíces de la ecuación
(x*2Xx-3Xx+7Xx-6)=0,donde \ =-7, 12=2, rr=3, ro =$'
- * -\,r- - ] -\,ra -i -t,ra -_- -\rr- -i -
b
la solución es la unión de los intervalosQ@)
donde aparecen el signo (+), es decir:
-*3 + "2
+22r_ 40
->fl
x(x +7)
Como la inecu
donde aparecer
, 24-4xI*=;--x" -2x -I5
-7
La inecuación c
pero (x-3)2 >
1
(;r-5)(x+3)
ahora encontrari
Como la ecuación es de la forrnu P(")
> 0
,l - [2,3)v: ;+'¿,
Sistema de Números Reales 20t
Solución
La inecuación dada escribiremos en la forma:
x3 - xz -22x+40<0 + (x-2X.r-4Xx+5) .Ox(x+7) x(x+1)
La inecuación (x-2X¡-4X¡+5)
< 0 , es equivalente a:x(x +7)
(x - 2Xx- 4)(x + 5)x(x + 7 ) < 0, parax * -7,0
ahora encontramos las raíces de la ecuación
(x-2)(x-4)(x+5)x(x+7)=0dedonde: r, =-7, rr--5, 12=0, r+=2, r,-4---\ r-:-r r---\ r---\ r---\ r----u+g-u+'u-'u+
-7-502
Como la inecuación es de la forma {!2 =
0, la solución es la unión de los intervalosQ(.x)
donde aparecen el signo (-). es decir:
- 24-4xl*--- > 0x" -2x-75
Solución
La inecuacióndadaescribiremosenlaforma: I -6x+9 to €+ ("-3)' >o
x'-2x-15 (x-5Xx+3)
pero (x-3)2 >0, xt3, entonces. (¡-3)2
>0 e+ I >0 oara x*(x- 5)(x + 3) (x - 5)(x+ 3)
,.=)0, x +-3,5 € (x-5Xx+3)>0, para x *-3,5,(x-5Xx+3)
ahora encontraremos las raíces de (x- 5Xx + 3) = 0, de donde r, = -3, rz =5 .
---202 Eduardo Espinoza Ramos Sisterno de Números Rea
Luego las raíces
Como la inecua<
donde aparecen r
(l- x- xz)(Z- t(3- x)(2- ¡
(l- x- xz)(2- tt(3- x)(2- t
(xz + x-l)(xz +
(x-3)(x-2
ahora encontram
\ =-2, 12=J
---\ r-*v-2
Como la inecuac
donde aparecen e
*s -l ,5 -2
-(xa +I xa +2
---\ r---\+\/-v r---+
-3
donde aparecen el signo (+), es decir:
3x+5 - ^
-<J2x+l
solucién
A la inecuación dada escribirernr¡s en la forma:
Como la inecuación es de la for,nu P(") r o,Q@)
-3x+2 .O €, 3x-2 r,Zx+I 2x+l
la solución es la unión de los intervalos
3t*5-3=o <+
2x+I
3x-2 rO2x+1
€ (3x-2)(2x+ 1) =>0' Para ,*-|
(2x2-8x+8Xx+3)rO (+
c+ (x+3)(x+6)>0, Para x+-6
ahora encontramos las raíces de: (3x-2) (2x + 1) = 0, donde f2=
- l-t,r- -_- -tu-; -
-112 213
Como la inecuación es de la ror-u {9 > 0, la solución es la unión de los intervalosQQ)
donde aparecen el signo (+), es decir:
(2x2 -8x+8Xr+3),Ox+6
x+6
:á t*3 >ox+6
Solución
2(x-2)2(x+3) 20, (x-Z)z >0, Vxex+6
2;J
I\= 2,
R
1r---
Sistemo de Números Reales 203
Luegolasraícesde(x+ 3)(x+ 6)=0 son t =-6, rz=-3
i-trrt --- -trr- -i -
como la inecuación es de la forma P('L > 0, ra solución es la unión de los intervalos
Q(x)
donde aparecen el signo (+), es decir:
(l* x- x2¡(2- x- x2) ---(3:;ó:->oSolución
(x2 +x-I)(xz +x-2)G-Lt:)Q-_x4>o(3- x)(2- x)
>0(x -3)(x -Z)
(xz + x-l)(xz + x-2) -
ffi>0<+(x2+x_l)(x2+x_2)(x_3)(x_2)>0,parax*2,3
ahora encontramos las raíces de: ¡xz + x-I)(x2 + x -2)lx -3)(x -2) = 0 , dé donde
^ -t -".6 -t*.6\=-¿. rz=--í, rt= Z , 14=1,rr=2.ru=3
-;-\v- -_- -\v- ; -\vr -_- -\vr; -\vr --- -\vr + -
-2 -1 -v5 -1 +\F 1 2 3
Como la inecuación es de la forma !i") t 0, la solución es la unión de los intervalosQQ)
donde aparecen el signo (+), es decir:
*s -r xs -2xa +1 xa +2
204 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Ret
Solución
V x e R, xa +l>0, xa +2>0, entonces la inecuación dada se puede escribir en la
forma: (xs -lxx4 +2) < (x5 -2)(xa + i) , efectuando operaciones y simplificando se
tiene: xa (;u + l) < 0 , luego encontrando las raíces de
xa(x+1)=0 setiene r, --1 , rz=0, multiplicidad4.
-1 0I Punto critico de'---------|> - multiplicidad par.
x+5 x-lx-6 x-3
x+5 x-7_<_x-6 x-3
3x-7(x- 6Xx- 3)
ahora encontran
(3x-7Xx-6X;
Como la inecua
donde aparece e
(x-3)(x+2)z (.
x(x+2)(xz -
(x+2)z > 0, p
(¡-3Xr-(x+2)x(x+3X.
(x- 3)(x+ 1)(r-
ahora encontran
(x+2)(x-3)(x
Como la inecuación es de la forma p(x) < 0, la soiucií.¡n es: t]lgE;]( x2 -2x + 4\( x*l\' " '<0
(2x+l)(x+ 4)
Solucién
(x2 -2x+4X-r-l)La inecuación ' ' '/\-- '/ < 0, es equivalente a:(2x+llT+4)
(x? -2x+4)(¡-1X2x+1) (x+4)< 0 , para xi -4,-!2
ahora encontramos 1as raíces de la ecuación.
(xz -2x + 4)(x-1)(2x+1)(x + 4) =0, de donde.
rt = -4 , ,, = -l , 13 =7 , r¿, =l+ ^13í, rs = 1- .f3¡'
¿
---\ r-: -\ /_---\ r:--rr+\/-\/+-4 -112 1
Como la inecuación es de la forma P(x) <0, la solución es la unión de los intervalosQG)
donde aparece el signo (-), es decir:
Sistema de Números Reales 205
r+5 x-lr-6 x-3
:r+5 x*7x-6 x-3
3x -7 <0(x-6)(x-3)
7t3
Como la inecuación es de la forma
donde aparece el sigllo (-), es decir:
Sqluq¡én
+-+ < 0, efecruando operaciones se tiene:x-6 x-3
€+ (3x - 7)(x - 6Xx- 3) < 0, x+3,6
ahora encontramos las raíces de la ecuación
(3x-7)(x-6Xx-3)=0. dedonde 4 =1, ,r=3, rz=6J
--\ r---\ r-- -\ r--'v*v-v*36
l(x) .0, la solución es la unión de los intervalosQQ)
"..;,11 u<3,6>
(¡ - 3X¡ + 2)z (x -v l)(x - 4¡
x(x+2)(xz-3)(x+3)SolUción
(x+2)2 > 0 , para x + -2,1a inecuación dada es equivalente.
(x-3X¡+lX¡+4)> 0, la cual es equivalente a:
(r + 2).r(-r + 3Xr + \BXr - \6)
(x - 3)(-r + lX x - 4) x(x t-3)(¡ +.,6X¡ -.6)(x + 2) > 0, x * O, -3, -2, J1, _-J?
ahora encontramos las raíces de la ecuación,
(¡+2Xx-3X x+l)(.x-4)x(x+3X-r+16¡1"r-16) = 0, de donde
>0
206 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rea
t =-1 " r2=--l
Como la solució
donde aparecen I
2x2 -6x+3--;- > Ix'-5x+4
2x2 -6x+3---;-x" -5x+4
2,x -x-l-;-x'-5x+4
ahora hallaremos
(x2 - x-l)(x2 -
Como la inecuac
donde aparecen e
2x-l xx+4 x+4 :
\=-3, rz=-2, rz=-J1, 14=-L, rs=0, % =Jl, r, =3, rs=4
- i - \rra - ] -\,r- -i -t,r- - -- -\,r- -i -\,r- - _- -\,ra -* -\,r- - -- -t.r- l--3 -2 -V3 -1 o Jd s 4
Como la inecuación es de la for*u f(t) > 0 , la solución es la unión de los intervalosQQ)
donde aparecen el signo (+), es decir:
x-2 xZ
x+2 x'+2
x-2 ,2x+2 x2 +2
4xz +2x-4(x+2)(x2 +2)
x+4 xx-7 x+l
l2x+4_>0(x-7)(x+l)
V xeR, Zxz -x+2rO y *' +2>0, entonces se simplifica la inecuación -J- tgx+2
1
Luego : > 0 (+ x + 2> 0,para x* -2. La solución es:x+¿
x+4 xx-7 x+1
Solución
v-) "2^ '- :' <o,dedondex+2 x'+2
2xz - x+2(+ ; >0(x+2)(x'+2)
Solución
x+4- x >o.dedondex-7 x+1
e+ (3x + lXx - 7Xx + 1) > 0, para x+ -I,7
<0
ahora encontramos las raíces de la ecuación (3x + 1)(x - 7Xx + l) = 0, de donde
Sistema de Números Reales 201
\=-l , fz =7 - I -\u- -i -trr- - - _ - - f,r- l--3 -1/3 7
Como la solución es de la ¡e¡¡1¿ {x] ¡ 6, la solución es la unión de los intervalosQlx)
donde aparecen los intervalos donde aparece el signo (+), es decir:
2x2 -6x+3_-;- > lx'-5x+4
Solución
2xz -6x+3 2x2-6x+3--;->l <+ l>0, dedondex'-5x+4 x'-5x+4
z,x -x-l#>0 <=+ (xz -x-l)(xz -5x+4¡>0 para x+r,4;x" *5x+4
ahora hallaremos las raíces de la ecuación.
(x2-x-lXx2 -5x+4¡=0. dedonde 4 =+ , r2=t, u=+. 14=4
- l-tu- --- -tu- I rrrr -_- -\.r- l- -
Como la inecuación es de la fonou 42 > 0, la solución es la unión de los intervalosQG)
donde aparecen el signo (+), es decir:
2x-l x x+Ixt4 x+4 x+4
1fi =--
J
1-\F2
1*Vl2
Solución
7
208 Eduardo Espinoza Rumos Sistema de Números Reat
La inecuación da<
comoa=0.8<1,
3x-4 4x-4t6 40
3x-4 x-I=85
Aplicando la propr
,Rf <ee) €
6x-4 2x-(0.2s) : .(0.5) 4
24-2x-x2 <x
24-2x- x2
2x-l x x+l 2x-l x x x* I
-a-
ai a
-¿ -x+4 x+4 x+4 x+4 x+4 x+4 x+4
2x-l x .x. x*l
---/Il
A
--
<f]x+4 x+4 x+4 x+4
ecuaciones son equivalentes a:
(x*lXx+4)< 0 A x+4>0, para
ecuaciones, (x-2Xx+4)=0 A x+4=0,
-l-\,,--_--\.,.;--4
de acuerdo a la forma de la
Solución
de donde "-l .ox-4
x * -4 ahora encontraron
de donde rt = 4 , 12 =l_ _ _\
.l_ _L_ _
Av'-4
las raíces de las
lt rt =4
xe <-4,1> A xe [-4,+->
A 1 )0. estasx+4
inecuación la solución es:
tffi:-Tlll.:{;x &""¿-4-1>,1I ;':'; ;:," ' l
Aplicandolapropiedad: ,lF@ <QQ) e (P(¡)>0 A IO(¡)>0) A (P(x)< Q'@)l)
ttt -.-, <5-x <e (x2 -x-2>0 A [5-x >O L xz -x-2< (5-r)2])
e (x2 -x-2)20 A [5-x>0 A x2 -x-2<25-l}x+xzf)
a (x-2)(x+i)>0 A (x<5 A x<3)
-----"1
------o
-1 235---€
La solución es:
x€
x'-x-¿ <5-.x
Sistema de Números Reales 209
Solucién
3x-4 4x*4La inecuación dada es equivalente a: (0.8) 16 > (0.g) 40
como a = 0.8 < 1, entonces los exponentes son desiguales en sentido contrario, es decir:
3x-4 4x-416 40
<_x
<x (+
<+
€)
(0.25) .(0 s)2x-3 3u4 4x-24 <(0.ooz5) ó .10.lzs¡-
Solución
6x-43
3x-4 x-l t2 f--l;lg . 5 + *.7,Ia solución es:
| ¡e< *,:: >l
Solución
Aplicando la propiedad siguiente:
.,F(") <ee) <+ (p(x)>0 A t0(¡)20 A p(x) .e2 (r)))
(24-2x-x2 >0 A [x >0 L 24-2x-x2 <x2l)
(xz +2x<24 L [¡>0 A Zx2 +2x>24])
((x+l)2 <25 A [x>o A ("*l)t ,f:1,2' 4"(-6<x14 lt,fx>0 A (x>3 V x<-4)l)
xe [0,4] A x€ <--,-4>U<3,+*>
24-2x- x2
24-2x- x2
2t0 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rea,
.,/i;<s+"
Ji; < Vs+"
G;5 á t-x e
(+
ahora (2) en (1) se
$x+7 -Jx1>
Calculando el cam
por lo tanto x e [2
La inecuación dada es equivalente a: (0.5) ,(0.5)
6x-8 4x-2
< (0.5) 3 .(0.5) 3
p1_8-*2x-3 6x-8*4x-2
Operandotenemos: (0.5) 3 1 <(0.5) 3 3
Como a = 0.5 < 1, entonces los exponentes son desiguaies en sentido contrario a la
. 12x-8 2x-3 6x-8 4x-2rnecuacrón.esdecu: 3
* 4
t ,
* ,
i2x-83
?:14
l2x-8 2x-3 l0x-10 2x+2 2x-3 ^ 8x+8 +6x-9343^34t2
r4x-l>o =+ ,r-L r-.l--tl. ... Á; la solución.t' I tl *
I
3z¿rr > (42x.8x_3)zts
Solución
J+l
La inecuación dada es equivalente a: 25.2 z > (20'.23'-n )2/5 , de donde
r+ll 14:-18
2 2 >2 5 , como a=2> 0, entonces:
+rql, + 5x+55>28x-36 = *.2!. Lasotució" FWtrSi 1< x < 1, Demostrar que:
x+2 1':--:= I - (se obtiene dividiendo)x+3 x+3
1.r.1 =+ !<x+3<422
3x+268 ¡+3 7
Solución
112= -<-<-4x+37
Sistema de Números Reales
211__<__<__7x+34
5x+237x+34
211=+ 1-:<l-'<l--7x+34
35x+23687x+347
../i;< +ls+.
Jt-x<15+r c+ (1-xt0 A ¡+5>0)A tJt-*¡2 <(lx+j)z
€ (xSt A .r>-5) A (l-x<J"+Sl
J;5>l-¡ c+ [(x+520 A l-x<0) v (r+5>0 A x+5>(t-*)2]
(+ [(x>-5 A .r>1)v(x2-5 A ¡+5 >l-2x+x2¡7
(+ [(¡>-5 A -r>t)v("r2-5 tt x2 -3x-+<O¡7
(+ [(x>-5A ¡)1)v(x>-5 A.re [-1,4])l
(+ [(¡)-5¡\¡>1)v -re I-La]l
(+ [x>-5A x>-1] =+ x>-l =) xe [-1,-¡
ahora(2)en(1)setiene: (x< I A x>-5)Axe [-1,+*>
xe[-5, l]A xe[-1,+->
$*¡7 -JvazgSolución
Calculando el campo de existencia 3x+7 > 0 ¡ x-2> 0
por lo tanto x e [2,+*> es el campo de existencia
*>-7 A3
... (1)
2t2 Eduardo Espinozn Ramos Sistema de Números Ret
&x+1 >9+Jx-2
simplificando
xel2,+*> L
xef2,'+* > ,l\
xe [2,+- > A
(+ xef2,+*> lt^
l3x+7 <81+18JiJ +x-21
(x-36<gJxJl
x2 -753x+1458 < 0
153., 17577(x__)'' 2' 4
xz + x-9 <0
l.n 37(x+-)' < -'24
Luego la solucir
Jl**<z .€
.6; >_x_l
J*nt*,[lz rnJg- *' -J ' Sorución
Calculando el camPo de existencia
(x-1)0 n x -2>O) t (9-x2 20 ¡ x>0)
(x>1nx>2)a(*2<9nx>0)
(x>1 n x>2) ¡ (-3lx<3 r' x>0)
x22 ¡ 0l x 13, de donde ffi es el campo de existencia'
como JxJJ*Jli>o, vxe [2,3]
W2o + J;*t*'14 +__->0.---1--ñ-J; 'w - 'lg-*'-J; ''t**T*ffi=*¡;*¡;-
2o <+ Jl-* -JiroJg-*'-J;
dedorrde Ji.Jg-r' + x<9-x2
2-J3+x <^
Sistema de Números Reales
x2 + x-9 <0 - A*|l' .l (completando cuadrados)
37 hi t J37 Ji +t Jtt -ta--4 2 2 2 2 2
l"(x+ -')'2
Luego la solución es:Jtt +t Jv -txe<-:::--:-:,7, n t2,31
.'. 'ru tz.JT,l!," :- -"e7
x2-3 n [x>-2 v (r2 -z n Q*lf .]ll
<+ x2-3 n lx>-2v (x2* ^ -fti'.*.{}r,
€' x2-3 ¡ l.r>-2 v xe< -f# újrt
16+ 3¡>_3 n xe<__:__,+@>
2
... (t)
Solución
J;:ffi .Jli (+ e-$+ x>0 A 4+x20) A Q-$+x <4+x¡
<+ (.6;32 lv x>-4) A (J3+r >-x-2)
JZ+ " <Z <- (3+x > 0 A 3+x l4)
(+ (x2-3 A x<1) + xe[-3,1]
J3+; >-x-2 <4 x+320 A [-¡-2<0 V (¡+320 A x+3 >(x+z)z)]
(+ x>-3 A íx>-2 V (x> -3 It' xz +3x+1<0)l
2t4 Eduardo Espinoza Rumas Sistema de Números A
como la ecuac
aparecen los s
3l
-+- >
x-l x+I
La inecuación
31-+__x-l x+I
como Vxe I
x2 +2x+3x(r-1)(x+l)
Ix(x-l)(x+1)
Ahora resolvie
Como la inecr
donde aparece
r:{)+Jjl"€< - '+€ >1
Luego de (2), (3) en (1) se tiene:
...(3)
J5 +3(+ (xe [-3,1] ¡ x2-4) r' r€< ---1+e>
.6 +¡/\ f€<-
2 .**,<+ ¡e [-3,1]
313 1
-<-+x 4(x-l) 4x+12Solución
A 1a inecuación dada expresaremos así:
l1 I 3 A ^r^^¡,o¡¿rn ^^arqninr^' llx+3)x+r(x-l)-12(x-lXx+3) to" +', -" >0, efectuandooperaciones -*
4(.-D' 4(x+3) ¡ - "' -^--'--^^-- -r---:- 4(¡-1X¡+3)x
l3x2 +39x+ x' - r-I2(*:3.:2 2 0, simplificando
@=v''r¡rr
Z*'*I4tjE>O =
x2 +7x+I\ nO
4x(x-I)(x+3) x(¡-1Xx+3)
v x e R, x2 +'7 x+18> 0 entonces' ]t * l,i1tl, e
x(x-lXx+3)
I = 0 (+ x(¡-1X¡+3) > 0, Para x + 1, -3, 0
x(x -1X¡+ 3)
t =ox(.x-lX¡+3)
resolviendo la ecuación x(x - lXx + 3) = Q, de donde, rt = -3 ' f2=0, f3=1
2-Jr¡i .J++ *
Sistemq de Números Reales 215
\ r---\ r-:-\++
-3
como la ecuación es de la forrnu P(") > 0 la solución es Ia unión de los intervalos donde
Q$)
aparecen los signos (+), es decir:
313
-+->-x-l x+l xSolucirón
La inecuación dada escribiremos en la forma:
313
-r---
> l_l --x-l ¡+1 x
3xz +3x+ x2 - x-3x2 +3>0¡(¡- 1)(x + 1)
.r2 +2x+3_>0r(¿-lX¡+1)
como VxeR, xz+2x+3>0, entonces
x2 +2x+3 I_\ll _>r)x(¡-lX¡+l) ¡(x-1)(x+1.)
---! ^ >O (+ x(x- lXx+ 1)>0, para xt-1,0,1x(x-1)(x+1)
Ahora resolviendo x(x - lXx +
*--\ r
de donde
r---\-1
Como la inecuación es de la fbrma
donde aparecen el signo (+.¡, es decir:
01
P(x) ao h solución es laQQ}
12 =0 ' ¡", -l
unión de los intervalos
1)=0,
-;-\
\ =-7,
+
216 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rt
Por medio de l¿
IG-l)-(x+2[(x -2) - (x +l
-3(2x+l\' ,>0-3(2x-l)
enconffando la
Como la inecu
donde aparecer
xa +5x3 -zoxx3 +2x2 -l3x
Factorizando ta
(x-2)(x+2)(t(x+5)(x-l
la inecuación d
(x-2Xx+2Xr
(x-2)2 (x+2)t
comoVxe R,
(x+2)(x+1)(;
enconffando lar
2x-25 2x+11 1L-\-
2G2 +2x-3) 2(xz -l) x+3Solución
La inecuación dada escribiremos en la forma:
2x-25 2x+II I ^.+ ' ^ - ' >0,factorizandoeneldenominador
2(x2 +2x-3) 2(x¿ -l) x+3
2x-25 * 2x+ll --1- > 0, efectuando operaciones
2(x+3Xx-l) 2(x-lXx+l) x*3
(2 x - 25)(x + l) + (2 x + I 1)(x + 3) - 2(x - l)(x + 1) > 0, simplificando se tiene:
2(x-lX¡+lX¡+3)
x2 -3x+5 > 0, como V x e R, x2 -3x+5 > 0, entonces:(x-lX¡+lXx+3)
a-x' - 3x+J >0 <+(¡-lXx+1X¡+3)
1
(x-1Xx+lX¡+3)
>0 <+ (x-l)(x+1)(x+3)>0, x * -3,-I,l(x - 1Xx + lXx+ 3)
encontrando las raíces de (x - 1)(x + 1)(x + 3) = 0, donde r, - -3''z = -I'r3 =l
- I -\,r- -i -trr- -_- -tu. -i
>0
-3
Como la inecuación es de la forma
donde aparece el signo (+), es decir:
(x-l)2 -(x+2)z ,n(*-2)2 -(x+l¡z -
"
-1 1
P(x) >0 la solución es la unión de los intervalosQQ)
Solución
l_-_.1
Sistems de Números Reales 217
Por medio de la diferencia de cuadrados
[(x- 1) - tx+ 2)l[(x- l) + (x+ 2)l > o .
[(x-2)- (x+ 1)][(¡ - 2) + (x+ l)]
-l!1"*l]ro a (2x+ r)(2x-i)>o-3(2x -l)
se tiene:
simplificando.
1DArA X +-,2
encontrando las raíces de (2x + 1X2x - l) = 0, de donde,1
I a' z
---\ t--- -\ r---*rt-\/+-112 112
Como la inecuación es de la forma P(¡) - 0 la solución es la unión de los intervalosQ@)
donde aparecen el signo (+), es decir:
xa +5x3 -2ox-16x3 +2x2 -13¡+10
<0
Solución
Factorizando tanto en el numerador y denominador.
(x -2)(x + 2)(x +l)(x + 4) < 0, para x + _5,r,2
(x+ 5)(x - 2)(x- 1)
la inecuación dada es equivalente a:
(x-2Xx+ 2Xx + 1)(x+4)(x+5)(x-2Xx- 1) S0 para x+-5,1,2
(x - 2)z (x + 2X¡ + lXx + 4)(x + 5)(x + l) < 0 para x * -5,1,2
comoVxeR, x*2, (x-2)2 >0 entonces
(x+ 2Xx + lXx +4)(x+ 5)(x- 1) <0, para x* -5,1,2
encontrandolasraíces de (x + 2)(x + 1)(x+4)(x + sXx- 1) =0, dedonde:
1
2
2t8 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R,
2x3 -2x2 + x3
2x(e
*3 -rL*+x(x-3)(x-2)t
para x *3set
Como la inecu¡
donde aparece e
I x-32_<_<_5 ¡+1 3
Aplicaremos la
lx-32_<_<_5¡+13
rt =*5,
donde aparecen el signo (-), es decir:
rz=-4, h=-2, 14=-l , rr=l
- I -\vr-;-\vr-: -\vr-;-\vr ----\vr -; -
-4-5 -2 -1
i{r3tl;"ztig;*:#
la solución es la unión de los intervalosComo la inecuación es de la forma !!t] = o
QQ)
-2x-1 n4-xJ .J , ¡32x+l¡(x-2)
-6x-lSolución
La inecuación dada expresalemos en la forma
3zx-t+4- x-6x+1, 3(2x+t)(x-2), de donde: 3-5x+4 t 32x2 -3 x-2
como a=3>0 + -5x+4>2x2 -3x-2, dedonde
2x2 -2x-6<0 e x2 + x-3<0, completandocuadrados " 1-1x'+x+-<3+-44
. 1.r 13(-r+-)- < -'2-4Jr3 i Ji3
(J222
J¡+r ú3 I
- .n,;-,
x l- 2x
f -Sx+O' 2x 3-4x+x2Solución
A la inecuación dada expresaremos en la forma
x 1 )t
-*
-- '^ ; > 0, efectuando las operaciones:
x2 -5x+6 2x 3-4x+ x'
2x2 (x - t) + (x - 2)(x . 3)(x - r) - 4xz (x - 2) ) 0, desarrollando:Zx(x -3)(x - 2)(x -I)
t"*,
,t:ii::
Sistema de Números Reules 219
i
zx3 -zxz + x3 -6*2 +llx-6-4x3 +gx2Zx(x -3)(x - 2)(x -I)
> 0, simplificando
x3 -lLx+6x(x-3)(x-2Xx-1)
('-¡x"+1:@xr+11JR)<O ¿3 " " ¿l
x(x-3)(x-2Xx-1)
1"+1:@¡t'* 3*{lParax*3setiene 2 " 2 '<O
x(x-2)(x-t)
---\ r---\ r---\ r-.--\ t----\ r---- ' i-\tr----\"rl- u - u +-3-\F -3+V7---z- -T-
Como la inecuación es de la for-u !(t) < 0 la solución es la unión de los intervalosQQ)
donde aparece el signo (-) es deci
l¡-32_<_<_5¡+13
Solución
Aplicaremoslapropiedadsiguiente: a<b<c <+ acb A b<c
lx-321x-3x-325¡+135¡+1x+|3
(+ "-3-lto A *-3-2.0x+l 5 x+l 3
(+ 5x-15-x-lrO A 3x-9-Zx-2.05(x + l) 3(x+ 1)
*-4 uo A "-11.0H x+l .r+l
220 Eduardo Espinoza Ramos
<á (x-4)(x+1)>0, x*-1 A (x-11Xx+1)<0, x+-1
ahora encontrando las raíces de (x - 4)(x + 1) = 0' de donde \ =*1 , r2=4,
rz=-I , 14=11
**-\ r---\ /--_--\./r;-
Sistema de Números R
(x-9)2" (1- x
Para xf9, (t
Entonces a la it
Factorizando
como Vxe R
entonces (x-1
ahora encontral
de donde: rt =
Como la inecui
donde aparece t
-
13.34. EJERCTCT(
R.esolver las sig
5x-2<10x+i
-1= ¡"- 1
=-l5 4:
x3x--I_a7 -b2
' a+b
?!*^>7+z3a 6b
+- +-\*rr
-'1 4
de acuerdo a la forma de la inecuación la solución es:
-1 11
-1 4 11O--- ---{
*4 5x2 +36
*a -lG *a -16Solución
A la inecuación dada escribiremos en la forma
__--:_---o
*4 5x2 +36
---<u*a -16 *a -16
(x2 -g)(xz +q) .o(x2 -4)lx2 +4)
ta -5*2 -16e ffi<g, facrorizando
,2 -9<- ^ -(Ux':4
(x+3)(r-3)' ' <u e (x+3Xx-3)(x+2)(x-2)<0,patax*-2,2(x +2)(x -2)
ahora encontrando las raíces de:
(x+3Xx-3Xx+ 2)(x-2)=0 dedonde rt=-3, r2=-2''t =2' r+ =3
---\ /-*- -\ r-:-\ r---\ r-*'v'-'v'*-v-v*
como la inecuación es de la for-u {9 < 0, la solución es la unión de los intervalosQQ)
I.
o@
o@
-3
donde aparecen los signos (-), es decir:
Sistemq de Números Reales 22t
(x-9)2" (l- *3)'"nt (*o -g) < 0, si n > l, n e N
Solución
Para x +9, (x-9)2" >0, ql-xt)r, r0, parax* l.
Entonces a la inecuación dado se puede simplificar, es decir: (l- x3 )(x4 -9) < 0
Factorizando (x -t)(xz +¡+1Xx-r6 )e+ J1)G2 +3) > 0, x * t,9
como V.xe R, x2+x+1>0, xz +3>0
entonces (¡-1Xx-.6Xx+.6) > 0, x * 1,9
ahora encontrando las raíces de: (x-lXx-rEX¡+16) = O
de donde: rt = -Jl , 12 =1, ru =,fj- I -\rr. -i -r*r- --- -\.r- l-
-/5 1 /5-
unión de los intervalosComo la inecuación es de la forma
donde aparece el signo (+), es decir:
Resolver las siguientes inecuaciones
5x-2< lOx+8 <2x+16
1_ 11--<Jx--<-5 43
x3x5---:-----;- +
-ct'-bt a+b a-b
2!++rI{*2x. a>b>o3a 6b
P(x) > 0, la solución es la
Rpta. <-2,1>
Rpt".r*,*r
I.
@
@
o@
Rpta.
Rpta.
5a+5bl+3a -3b
24ab<-6 '5a+l2ab-4b
Eduqrdo Espinoza Rqmos
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Sistema de Números Re¿
x(3x+2) < (x+
4xz *8x+l<A
5x2 -l4x+9 <l
x2 +3x+2>o
1-2x-3xz > 0
3x2 -sx-2>o
(xz +2x)(x2 -I)
x(x-3)(x-l)(x
xa +2x3 -*2 +,
qxz + x-6¡14x-
2x3 +3xz -llx-
*3 -3*z -l3x+
x4 -4*3 -x2 +7
xs +3xa -5x3 -
*5 -6*4 -x3 +2
-l -Rpta. < --.--
@
@
@
@il.
@
2**6-3*.44
!*!rt+!, c>b>a>oabc
3x+82x_6<_5
3(x - 5) * 4(4 - 3x)>-2(7 - x) - 3(x - 5)
Resolver'las inecuaciones siguientes:
2xz -6x+3<0
2x2 +6x-9 <0
9x2 +54x> -76
-4x2 +4x+3>0
4x2 +9x+9 <O
4x2 -4x+7 >0
n4 -z*2 -8 < o
-4xz -8<-r2x
x2 -2J1x-2>o
3x?-lx+tl>4(x-l)
3x2 -l0x+3<0
Rpta. < -*,2)
abcRpta. <---+,+- >
ac+bc-ah
Rota. < --.4 t,7
Rpta. <3,+->
Rpta.<+,+,
Rpta. < -z:"1-z ,-z+:Ji 's+..6 .6-s
Rpta. < >u<-'+€>
Rota. < -1.1t' 2'2
Rpta. Q
Rpta. C.S. = R
Rpta. <-2,2>
Rpta. <--,1) \) 12,+*2
Rpta. < -*,.6-.F > u <.F+",6,+- >
Rpta. Vxe R
IRpta. <:,3 >
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I
tt ".t
,::1.,i:.::
Sistema de Números Reales 223
@
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@
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@
x(3x+2) <(x+2)2
4xz -8x+l<A
5xz -l4x+g <o
xz +3x+2>0
l-Zx-3xz >O
3xz -5x-2>o
(x2 +2,x)(x2 -l)-24>O
x(x-3)(x-1)(x+2)>16
x4 +2x3 -xz +4x-6<0 , l
(xz +x-6)(4x-4-xz¡<0'I
2x3 +3x2 -11¡-6>0
*3 _3*2 -13x+15 > 0
xa -4*3 -x2 +r6x-12>o
xs +3xa -5x3 -15x2 +4x+12>0
xs -6*a -x3 +29x2 +8¡-15<o
Rpta. <-1,2>
Rpta. < +Rpta. tl:l
z+Jj2
Rpta. <--,-2) LJ (-1,+->
IRpta. [-1,;l
J
1
Rpta. <--.-;>u<2.+->3
Rpta. <--,-3) \J (2,+-¡
Rota. < --- l-tEJ t, , - l*J.
2 J1-,*x)
Rpta. <-3.1>
Rpta. <--,-31 tr [2,+->
IRpta. [-3.- ^] u 12,+- >
¿
Rpta. <-3,1> U (5,+rc¡
Rpta. <--,-2> v <1,2> U (3,+-¡
Rpta. <-3,-2> u <- l.l> u <2,+->
Rpta. < -*,-tt* ;,¡. -i.:1Jf > u < 3,5 >
224 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R
1r2 -2x-sXx2 - 2r- l),^2 - 2x-4) > o
Rpta. < -*, 1 - 2Jl > w< r - Jt, r -.6 r" r*, < I +.v5" i + "ut? t u < 1 + 2J ?-, +* >
Rpta. < --,-l t u.1,l tJ
xa -3x2 *6x
x5 -6xa -r7¡
_1_Rpta.
xa -2*2 +gr-
4 ^ I -1x -¿x- -5x'
(x-7)(x-3)(x
(x+9)(x-3)(x
Resolver las ine
.r+l x2-x 3+x
1143x-1 - 3-2x
x*2 , x2 +2x-2 *2
x-2u xx+4 x-2
*3 -4 *3 -zx2+2'x2+7
x-1= 2x _ ;
x x*l x.
x2 +2 xz +l
-xa +l xa +I
@
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@III.
o@
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o
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@
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@
@
-r5 -2t4 -15x3 > o
(¡3 -5x2 +i x-3)(2- :,2a
(x-a)(x-bXx-cXx-d) <0, si a<b < c < d
(x2 +6x-l)(*3 -2rz -2x+4)(x+5)5 > 0
(6x + 3)z (x2 -l)3 (3¡ -5)7 < o
(3- x)3 \*2 -l)2 (1- x)5 x > o
"a -zx2 -3x-2>o
*a -3xt +5x2 -z7x-36<o
*4 <*2
(2x2 - 4x -l)(3xz - 6x + 4)(x2 + 4x - 2) > 0
Rpta.
x5 +8x4 +12x3 -xz -8x-12>o
(xz -L)(xz + 9X¡ + 4Xx - 5) > 0
(x + 2Xx + 3)(x - 4)(x - 5) > 44
x6 +6x4 +9xz +4>0
' r' '-&.-r*G t t, .'* & ,**,< --.-2-{6 >w<-.-l+{o >v<-
Rpta. <-0,1> \J (3,+*>
Rpta. <-*,-11 u [2,+->
Rpta. <-1,4>
Rpta. <-l,l> - {0}
Rpta. <-6,-2) U (1,+-¡
Rpta. <-*,-4> u <-1,1> (J (5,+*>
Rpta. Vxe B
Rptár V x e
Rpta" <-3,0> u <5,+*>
Rpta. [2.,?l
Rpta. <a,b> u <c,d>
Rpta. <-*,-3-ú0 >u< -5,-JZ >u<-3+ú0,Ji r u <2,+*>
R.
Sistema de Números Reales 225I
@
@
@
@
@
@üI.
o@
@
o
@
@
@
Rpta. .+,+>u<4-JG,r'u<4+JG,+->
xa -3*2 -6x-2<o
*5 -6*o -17x3 +l'Ixz +6x-1>o
*a -2"2 +8x-3>o
*a -z*3 -5x2 +lo¡-3 < o
(x - 7)(x- 3)(x + 5)(x + 1) > 1680
(x + 9Xx - 3Xx - 7)(x + 5) < 385
Resolver las inecuaciones siguientes:
x+l x2-x 3+x
I3x-7 3-2x
x+2 x2 +2x-2- *2
x-2 xx+4 x-2
*3 -4 *3 -2--;-<---;_-x'+2 x'+l
*-la2x _ xx x+l x-l
xz +2 xz +Ixa +l xa +l
Rpta. < t-Ji¡+Jz >
Rpta. < -*,-l- Jt > u < -1+ J2, +- >
npta. ¡:!-@,rf,' rt$,Lf,Rpta. <--,-71u [9,+->
Rpta. t-1- rhl,-41 w tz,-r+ Jil
Rpta. <--,-3) u <2,+-¡
1/Rpta. <i,rlu<-,+€>
Rpta. <2,+*>
1
Rpta. < *,-4 >u[-.2>'2
Rpta. <-2,0> U (0,+*¡
Rpta. <--,-1 >u<0,1>
Rpta. Vxe R
226 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rt
(xz + x-6)(x:
1x2 -4yx:
x2 -2x+3-;-x'-4x+3
5tx+3 x-l
Z>3r*l rlxx
xz -Zx+3___;_ ) _.x" -4x+3
Zxa +7i -
6x5 +17 xa +23
Rpta. -5-<-2
76
-_ =
q/x-l xt -1
lzxs -35x4 ----:-xo+15x)+78;r'
Rpta. ( €,
2x-I x+2_+_ >.x+4 3-x
l+ x3........_t(1 -x'Xl-x)
Rpta. < *€,-a '.
*2 -2, x+8x-4- 2
1 3x+1_<_<4xx
x2 +8 5¡-8
x+4 x-2-;--- ) --;--x'+4x+4 x'-4
12x+1 3x-l
| 2xz-3¡+32 (x-2)(2x+3)
2x-l 3x-l x-7_r_ / /LL_r+1 x+2 x-t
x x-3x2 +4- x2 +x+4
(xz -2)(x+5Xx-3)x(x2 +2)(x+3)
(6x+3)2(x2 + l)3(3x_-5)7 > o
(x+6)2 (2x+3)t7
(4x+2)2(x2 +2¡s12x-8)q - ^@'"x+4 x-2x-5 x+3
'tl
-+-<-¿x-4 x+2
RPta. <-*,4>
Rpta. <-*,0> u <1,+*>
Rpta" <-4,6)
Rpta. Vxe R*{-2,2}
Rpta. < -x'-l ¡.r.1., tJ
Rpta. < -*.-1' r.0,2 ) U( 2,+- ¡
Rpta. .-r.-1> u < -l,l > LJ ( 5,+- ¡
Rpta. Q
Rpta. < *,-5 > v < 4,-Jl> u < 0,J7 ) r.J < 3,+- >
Rpta. < -*,-g, u. -6,-1t r.!,** t
Rpta. < -1,q, -a,-f,¡
Rpta. < --,-J t ..r. -1,5 t
Rpta. <-3,-2> v <7,4>
x+4
>0
Sistema de Números Reales 227
(xz + x-6)(xz - *-6)>0 Rpta. <-e,-J >v<-Jr,J, >u<3,+*>
qxz -+¡1x2 -z¡
x2 -2x+3--;-x'-4x+3
51_ +_ >'2x+3 x-l
z>3**!rlxx
x2 -2x+3-;- > -3x'-4x+3
Rpra. .t-{ ,-i > u < ; -:' r.:l'@.*- '76
___ <. \
x-l 12-7 -*
r2xs -35x4 -53x3 +53x2 +35x-12
Rpta. <-o.l ¡ u.l,r>u<3,- >'2'
Rpta. <-3,-1> \J <1,2>
Rpta. [-1,0>
aRpta. < *,1 > v < :.2> t¡ < 3,+- >')
Rpta. <--,-1 tra-1,, )\)<2,+*2
2xa +7x3 +lxz +6x+76xs +17xa +23x3 +l8xz +':.x+1
¡6 +15¡5 +78xa +155¡3 +".8x2 +15x+1
2x*I x+2 x-1x+4 3=x x+3
I+x3 *-r2+,4*r5
--:-_-
> _--_.--:---- r 9(l-x'Xl-¡) (l-x)-(l+xl
>0
<0
Rpta. . -*,-t-f ,..-:,-1, u..!f,z-Jt >v <r,2+Ji >
Rpta. <--,-4> u <-3,3>
Rpta. <*-,-l-r,5 > u<-1+16,t>u<1.2> i-r< Z,+*>
228 Eduardo Espinoza RamosSistema de Números Rea
4x4 -zoxz +8 .r*4 -5*2 +4
(-r-1)2(.t2 -1)(.r4 -1) > o(xa +l)(x-Z)
(f *sr*6)(/ -6G -a*-D .o@*r;Rpta. .q *,-3 rv.-2,!> v <1,2> u< 6,+- >
4x-244-x 5 x
3x2 +'7x+5 .,x2 +3x+2
(x2 + x-6)(xz - x-6) .O(x2 -+)(x? -t6)
(1+ x+ x2)(2- r- *217ra -2x2 -3x-z)Qi -q*-g(3xz -6x+4)(x2 +4x-2)(*2 -l)
Rpta. < *,-J1, u . -t -{9, -21 u I-L -G + 2 > w . f -t,, > vl2, Ji t u' G + 2,+* s
512Rota. < .- >' 1'1
x( x + 2)(xz - 3)(x +3)(x2 + 4)
Rpta. <-*,-31 v<-2,-J1>u [-1,0tu..6,¡] u [4,+- >
x 12 x*l
-<x+1 19 x+2
(x - 3)(x + 2)z (x + 1)(x - 4)
Rpta. < -Jo,-z>u<-1,1 >w<2,J6>
Rpta. <2,+->
Rpta. <0,2> u <4,+-¡
Rpta. <-2,-1>
Rpta. <-4,-31u [3,4>
1Rpta. < -*,-1> \J < 2,+* >
>0
23x_-+_->_x+I x-l i-
x2,? -sr+6-,313-<-+_x 4(x-l) 4:
(xz +4x+4)(x-(ll- x)(x2 +!
313
-+->_x-l x+I x
x-l_<1x+2
1x2 -5¡1x2 +
(xz + x+I)(xz -
3x-;-x' - x-6
xz -3x+2 .,xz -4x+3
- -
2x-25-----;-2(x" +2x-3)
x2 +4x+4_>o.*2 -4*-5-
"
2x-x2 -l
-(0
24x -x(2x2 -8x+8)(x.2x2 -3x+3 , _1
(x-2)(2x+l)- 2 x+6
Sistema de Números Reales 229
23x+5_-+-x*1 x-1- 1- x2
x22x
-\x2 -5x+6 2- x- (3-¡Xl-¡)
313 l-<-+x 4(x-I) 4x+12
(x2 +4x+4)(x-9)2 .O(1 1- ¡X¡" + 5)
313
-+- >
x-l x*I x
x-l
-<lx+2
(x2 -s)(xz +l)(xz +x+l)(xz -3x+2¡
3x--;--x' - x-6
xz -3x+2 - n
f 4*+3-'
2x-25 2x+11
2(x2 +2x-3) 2(*2 _l) x+3
x2 +4x+4
-->o.
*2 -4t-5- -
2x-x2 -l----;------;- < 0x -x
nptu. ¡-1ll@,-, t ..r,9-",0 > u < 1,+- >
Rpta. <tr,+->
Rpta. <--,-6)v <2,3>
Rpta. <11,+-> u {-2,9}
Rpta. <-1,0> \J (1,+*¡
Rpta. <-2,+->
Rpta. < --,-..61 v <1,2> u [16,+- >
Rpta. < -2,2- ",f10> u < 3,2+ Ji6 >
Rpta. <--,3> u <4,+-> - {1}
Rpta. <-3,-1) rJ (1,+*¡
Rpta. 4--,-1) \J <5,+-¡
Rpta. <-1,0> u <0,1>
Rpta. <--,-6> U [-3,+-> .
>0
(2x2 -8x+8)(x+3)x+6
>0
230
I
E duar ilo E s pino za Ramo s
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IV.
@
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@
Sistema de Números Rc
x-2 u2x-3x+2 4x-1
63x-l x+I x
xa -3*3 -6,4O+ (x-t)(x-l
730_+_ <_x-4 x+2 )
3x2 +7x-6 3\-x'-x-6
2x--;---_-)_2x" +7x+5 x
x2 -3x+2.-;- > 0x'+3x+2
3xz *4-------:- < x+6x-6
Resolver las inecr
4x-3
(0.s) z > (0.06
27 x-t agx+3
2x+I
(0.2) 2 < (0.001
25x+8 a16x+5
32x-3 34-.r-lt-t >(3"^-
xz -zx+r , ox-7
2x+l - ^
-25x+l
xz +4x+9 .O*2 -4*-5
xz + x+2 .ox(x2 - x-2)
233x-2 x+2
1?,x2 -4*
2+x.-,xz. rox2 -zx1l
xj * i? -8,x+I2 aOx2'+5x-14
xz +8x-12- x3 ,_O
7x-x2 -6
Rpta. <1,+->
Rpta. [-2,-1>
Rpta. <-1,5>
Rpta. <--,-1> u <0,2>
)10Rpta. < -r,trr.-.,¡ a J" ,ae >
Rpta. [-4,-2>u <2,6]
Rpta. [-1,1> v <I,2]
Rpta. <--,-7>vf-3,2>
Rpta. [-3,1> u <6,+-> U {2}
Rpta. <--,-2>o <0,2>
Rpta. <-3,-2> u <-1,1>
Rpta. <*,-l t u.0,1> u< l,+- >
Rpta. <-2,+->
x-2 x+2
x2 +3x+2 x-2x-2 x+2
-l
l-x
xz +8x+24 ,fx+2
Sistema de Números Reales231
*-2_r2x-3x+2 4x-l
637 _-<ox-l x+l x+2
xa -3*3 -6xz -2gx-244O + (x -l)(x -3)(x + 4)(x + 6)
7307_+_x-4 x*2 )c+l
3x2 +7x-6 3x? +l6x-12--;----1--
x- - x-6 x' -4x-12
2xx----;....=....- ¿ -=-2x'+7x+5 x¿ +6x+5
x2 -3x+2-;->0x'+3x+2
3x2 -4 < x+6x-6
Resolver las inecuaciones siguientes:
4x-3 3x-2(0.s) z >(0.0625) 5
27 x-l <gx+3
2x+t ZL2(0.2) 2 <(0.0016) s
25r+8 < 16r+5
¡2x-3 ¡4-,t, =.r, >(32x+I\\x_2j.)x-l
-t
I< -x.-) ¡ L.¡ q:.ll u[4.+* >
5. -r,-;> L/ < -l.l > L.¡ < 5,+- >
3x_;->1x'-x-6
_+_<2x-2 x*4
^ ¡-2 x-3¿__x-I x-2
x2 +l}x +16_.------>10x-I
2
" *4>¡+10x-2
- l-8x1+ "_ l0x'+4x+3
Rpta.
Rpta.
rv.
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Rpta. .+- >
Rpta. <--,9>
Rpta. < *,1t2
Rpta. <--,12>
Rpra. < -1-J33. -1+J33 >44
1
4
232 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Números Ret
*4[q,- >'.]12,
'{{onr¡'- s.
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@ Jó-.#""ffi
t(o.tl (0.5;e ,"'-' <6'l?58'
" o3-xg(x-l)' ,
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^tr^ <{;*'
J81"* .Jzn*6^. ^.2Jta !)
Q56)t; t 2et'2-et2.33x+1.2565tx2- l6r
Tzg"t .243* 2436.275*-6
gl2" 274^
Rpta. Vxe R
Rpta. Vxe R
Rpta. <-*.-l) U <1.+->
2lR.pta. < --.-Tj
Rpta. <110,+*>
Jn%+n Jzzm_zt ,Rpta. <-- * , g6
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131Rnta. < -€--- >' 2r7
Rpta.
Rpta.
Rpta.
1(--.-l>u<1.->J
Vxe R
434
-,{e )
94
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@
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3^' .32' > zj
x-5 x-9
22 >93
5¡+3
(0.216) 4 >
5
@2¡*-t > (64)*1
[(0.3; {'-tlt'-zl
, '-3
fr00032f- .
> [(o.og;"'-+ r--'-n
Sístema de Números Reales 233
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( J-".iñ J 6)'6r r'.do lz,
"
ee )+ ."F.16 3¡4s,u
*ilo.oo8r" >,-t[604r", Rpta. <1,2> u [3,5]
Rpta. <-3,0> :rt),zl
Rpta. < -#,-r>u<5,+->
*{ft0r4)'-' > tfuzf
*doror6¡* ' "-{[6t'.'
*l[+.* >*+!*
"1ft0-orr- <'.{o.rF-
, da.zP
*t a,1 rr+z¡ I
,*2-:,5 625
"-ireF=".ffi
\22*-3 ¡72+-"¡ _ *,,r[f,114__---;----;--\v¿2rA-l
r,"-{ooo632¡- . "drJr,'-'
l---------]----T-¡------]-_.r/t0.5)0"-3 r fto.625)3*-t
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
<-l,Zlw < 5,+* >
<-3,-1> u [3,+->
<-3,0 ru.!3,
< --, -21 u [ -!,** ,
Rpta. <-3,3>
Rpta. <--,-3> v <-2,-ll
Rpta.
@
@
I( -1,a-, -{-r}
(0.1)'-3 < lo'*3
[(0.5)"' .(0.5;o 1{"2-:r > Q'12})3
8'
234 Eduardo Espinoza Ramos Sist¿ma de Númelos Rea
J"-: + Jf-,
GJ+J'_s>
@
@
.^. r--__:A9 ,'!+-,lt-x -Ji
+t6rs-,¿:l-*3 -z*
> G+tI---_--r/x -1
8.6!;x+2x-l
v.
o@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Resolver las ecuaciones siguientes:
G-stl;+118 > o
x+2<t/r'.8
G--!6;>1
tl*2 -t < Jr+t
Jrx-g <3- x
J;.-t -8(x2 -Bx+12¡
(x- 4)
x2 +2
"p -2*a5 ¿ *¡1
Jtr4 > -J4x-r2
$"-3-J"-1¡6
Jat;-o-J; ,_ox-1
> V"-10
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Rpta. < --,1-.6 > u < 1+16,* > -{itG}
Rpta. [0,4>
I
Rpta. [:.1>
RPta. [0,+*>
Rpta. <-2,0>
xvta. g,{P1
Rpta. [1,2>
Rpta. Q
Rpta. [2,6] U {1,8}
Rpta. <--,41
Rpta. <--,-31
RPta. [3,+*>
RPta. [1,+->
Rpta. [64,+*>
Rpta. [7,8> u {0}
l
tL*
*+Ju-t
xz -2x+2
tl*'-6*-J*
Sistema de Númetos Reales 235
@
@
Jx-: +J6-;. J"+r
Jx_l+Jx4 t Jr+1
RPta. <3,+*>
Rpta. < iJ,s1J
r,i Rpta. [e, +Jf.i.
nPtu' ¡-2.@:!1L'' 2
t
- -r/Jx -¡ +Je -J*
f-{{x +1
r-'---'---':€t J+-Jr-" -Jz-,>o
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1---_-r/x -1
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' 1: '""l
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Rpta. <--,31
Rpta. [-25,-2] t-.¡ <-l,tr>_,.u {25 }
Rpta. Q
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It
--Jx2 -q.1lx+4 ^:(u.
4l*2 -+r+3
r-:-I'lx+4 +2 - A
\2-Jx+q
i'.¡,
-l4xi13i2 xj-3
xz +3x+4
-l4x-13 < x+I
236 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Re,
Jf 4. <^lzt-,
'la-ú- x -J:
r;-- - rVx'-óx-r/_r
8-¡
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T-_-_^tl24-2x - x'
x
E;4 E;l-+ l_\ x+z '!x+l
l-
I'l*'-+*-s -tli-5'J;' -*-nG-
xz - x-12(x-
*2 -16
xz -3x+2 > 2
tl x' -5x -J3:
xz -5x+4 -
@ ffi*.,
@ ffi.a
@
@
@
@
@
lxx-2x-2 x+4 x+I
lxz -gl-zx .olx+51+5
4 x+4x-4 x-4
3x+a 13x-a -1) < 3' -81
Rpta. <8,+*>
Rpta. < Jro -r, t+Jto >
Rpta. <18,+*>
Rpta. <0,4>
Rpta. <-5,-21u [4,5>
Rpta. [-a,-1] u {a}
Rpta. [0,4]
Rpta. [-4,-2] v Í2,31
Rpta. x = 5
Rpta. <--,11 u <5,+->
Rpta. [-5,3]
Rpta. [-3,0] v <2,5)
Rpta. <2,41
> x-5
'[t -6.+s +'[t -i*to =o
,[7 4-+s +^[7 -7*+ro ro
tla-^lx+tlcJ¡+5
1t.' - r. -ts(x3 - 6xz + 9 x)
(x-l)4 (x-2)s<0
Sistema de Números Resles 237
@
@
@
@
@
@
*2 -L6
ll^
Itlx" -6x-'lx! 8-"
ñ.,x
h4. <^[l+4r-]
,[7 -.-n(x-5)(zx2 -3x_ 2) <o
> {fi-lo
) ¡-10
@ ffi2x-6,k- . -fz(x - 5)(2x2 - 3x - 2) < o
> x-4
> x-6
Rpta. [-2,1]
Rpta. <-*,-31u [4,5]
Rpta.
Rpta.
Rpta. <2,+->
Rpta. [7,8> u {0}
Rpta. [-6,3]
Rpta. <-2,1> u [3,5]
Rpta. [8,9> u {0}
Rpta. [-5,-3] u {5}
Rpta. <--,-31u [4,5]
Rpta. < -zJl,-z1w lt,zJ, >
Rpta. [-2,0] u [4,5]
-3x+2 > 2- x
-tlx' -5x -J3x
,[; ¡*a¡3
-5x+4 -2
238 t Eduurdo Espinoza Ramos Sistemo de Números Re
Demostraremos
la+blz= lqa+
< lol'
la+ul2 < 1l alt
@ lal=o e
@ lal=u €
@ lal=lbl,
@ Sí b>0, e
i) lu l.
@ Si a,be R
i) lu It
@ D lal=^
La demostración
Ejemplo.- Resc
l4x+31=7 a
(+
Luegopará x=1
@ ff.rffi-o
'[f *tG'-4x+r)4x+ 4
.,/I+¡+ J;¿>G;
^'2;t +Jz*-i > J4xi + Jfx -4
Jzxn+JiJ-.,1r.+s <&.
x-9+- > (.)
x-8
@
@
@
@
@
@
>0
'Rpta. <-3,1> u [4r5]
Rpta. < -./3,r/3 >
Rpta. < -1,?-J5 tu < 2+!5,- ¡
' J7;2* *.[-' +4- rt
a>0
Ejemplo.- ll l=1, l-l l=-1-11=l
b) PROPIEDADESDELVALOR
@
@
@
lul>0, Vae R
lal=l-al
t9-¿!!). b + o'b' lbl
ABSOLUTO..
@ lul>u vae R
@ lab l= lu llu I
@ | a+b I s I a | + lb | (desigualdadtriangular)
@
@
@
a) DEFINICIÓN.- Al valor absoluto del número real x denotaremos por I x l, y se
define por la regla.
xz -zx*15 > x+7
rF.tJIf ,n
-Ja*xz -Jx
lolrl-16-.{2
Sistemq de Números Reules
@ i) l"l=^[7
i
I)emostraremos la 6o propiedad, las demás dejamos para el lector.
la+bl2= l¡a+b¡2 | =(a+b)z = o2 +2ab+bz
< l " l' +zl all b l + l b l' = ( o l + l b l>,
la+blzs(lol+lál)2 entonces la+bl<lal+lbl
lal=O (=l a=0
lal=U <+ [b>0 n (a=b v a=-b)]
lal=lUl o u=b v a=-b
Sí b>0, entonces:
i) lal<b <+ -b<acb
Si a,be R severifica
i) lultb <+ a>bva<-b
ii) lal<b <+ -b<a<b
ii) lul>b ¡:a ¿)bva<-b
ii) lol'=o'
@
@
@
@
La demostración de estas propiedades dejamos para el lector.
Ejemplo.- Resolver la ecuación l4x + Z | = 7
Solución
l4x+31=7 e¿ 4x+3=7 v 4x+3=-'l
<+ x=l v *=-52
Luego para x = 7, x =- t-
ron soluciones parala ecuación dada.2',
240 Eduardo Espinoza RamosSistema de Números )
Ejemplo.- Resolver la ecuación l2x + 2l = 6x - 18
Solución
l2x+21=6x-18 <+ [6x-1820 A (2x+2=6x-18 v 2x+2=-6x+18)]
<+ [x>3 A (x=5 v x=2)]
Luego la solución de la ecuación es x = 5.
Ejemplo.- Resolver laecuación l* -21= | 3 -2x I
Solución
lx-21= 13 - 2x l <+ x-2=3 -2x v x-2=-3 +2x
Ejemplo.- R
lZx + 2l= gy
Luego la soluc
Ejemplo.- Re
lx-21=l:-
Ejemplo.- Hd
lax+11-l¡x
5*=i v x=1,5
la solución es: {1, }3
l4x+tl-l*-11x
Ejemplo.- Hallar el valor de la expresión:
Solución
l+x+
si xe
I +'*t_l-t
l-+x-t
),1> +
lax+Il-
1x)--4
Ix<--4
l'-11x>7x<7
f*-l ,
l.t-*,lo,
l+x+tl=]l-<,t
si xe <0,1> =
, l4x+lLuego:
l4x+
l"-11
<0
I
1l=4x+1, l*-11=1-x
4x+I-(l- x) 5x- -{x
, para xe <0,1>
Luego:x
l4x+tl-1"-tl -x
23
Sistema de Números Reales241
Ejemplo.- Resoiver la ecuación l2x + 2l = 6x _ 1g
Solución
lZx+21=6x-18 (+ [6x-1g20 A (2x +2=6x
<+ [x23 A (x=5 v x=2)l
-18 v 2x+2=-6x+1g)l
235Luego la ¡iolución de la ecuación es x = 5.
Ejemplo.- Resolver la ecuación l^ _2|= | 3 _ 2x
I
l*-21=13 -2xl
Solución
<+ x-2=3-2x v x-2=-3+2x
v x = 1, la solución es' ff,ll
Ejemplo.- Hallarel valor de laexpresión: lax+l l-lx-l l, sí x e <0,1>
Solución
5(+ x=-3
| +*+t, ">-1l4x+t | =l 4
l-q*-t . ".-1l4, l"-r l={:-t
ll -¡, ¡>l, ¡<l
si xe<0,1> = l4x+11=4x+1, lx-ll=1_x
Luego: la¡+ll-lx-11 - 4x+1-(1-¡) =
t" =,
lax+l1-lx-ll=5, para xe <0,1>
242 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Números
Para calcular
encuentran a
mayor de todr
De donde [l.r
Ejemplo.- H
De donde [13.
Si x se encuen
Entonces:
Ejemplo.- Sí
NOTA.- Co
itq
OBSERVACI(
Ejemplo.-tlx ll
Ejemplo.-tlx ll
Ejemplo.- Resolver la inecuación lZx - S | < I
Solución
lzx-sl<: e -3 <2x-5<3 e 2<2x<B
<e 1<x<4 a xe <1,4>
Luego la solución es x e <1,4>
.>--<Ejemplo.- Resolverla inecuaciónt l-1.3
Solución
t-_<l::_41<z <+r-6
2x-5
-<Jx-6
^ 2x-5 ^ 2r-5--1,
q-al <+ -3<-'" " Ax-6 x-6
5x -23 x -13_>0 _\ >0x-6 x-6
€ (5x-23)(x-6)>0 ^
\.r- --- -\rrt a- -
23/5
(x- l3)(x -6)>9, x*6
---\ t--- -\ /----
13
G---
A13
23xe<--,J>u<6,+-> A <--,6>U<13,+*>5
2315 6
------oLa solución es: x e< -*'2 > u < 13'+- >
5
Si x es un número real, el máximo entero de x representaremos por Il " ll y es el mayor
de todo los entero menores o iguales a x, es decir:
Sistema de Números Reales 243
Para calcular el máximo entero de un número real x, se observa todos los enteros que seencuentran a la izquierda de x (o que coinciden con x, en caso que x sea entero) y elmayor de todos ellos es el máximo entero [l x l] , por ejemplo:
De donde [1" l] = Z
Ejemplo.- Hallar [13.7l]
De donde tl:.2 ll = g -1 012Si x se encuentra entre dos enteros consecutivos de la forma:
x n+1
Entonces:
Ejemplo.- Sí [lxl1 =5 c+ 5<x<6
NOTA.-
Ejemplo.-[lx l] = -4 <+
Ejemplo.-[l xl] =z.tS,
ll"ll =-s <+ -5<x<-4
como se podrá observar siempre se toma él número entero más próximo a laizquierda.
OBSERVACIÓN.- Por definición de máximo enrero se riene:
[l xl]=n <+ n(x<n +1, teZ
(+ xe [n,n+l>, ne Z
-4Sx<-3 :+ x€ [-.1,-3>
es absurdo, puesto que todo m¿íximo entero es un número entero.
244 Eduardo Espinoza Rsmos Sistema de Números R
tl* ll e Z, por definición
V x e R, tl ^ ll
< x, por definición
0<x-tlxll<1, VxeR
[lx+nl]=tl"lf +n, neZ
Enefecto: sea[l xl]=tt,te Z,entonces ksx<
= k+n(x+n<(k+n)+i
=+ [l x+ n11 =k+n= tl x l] +n
tlxll<n €t x <rt+I, neZ @
tlxll>n(+x)n,neZ,xeR @Vx,ye R, sí x<y <+ tlxll<tlVll
llx+yll>tl*ll+tlvll(flxll=m m1x<m+l
En efecto: Sean {'i l- =ltlYll= n n3Y<n+l
m+n(x+Y<(m+n)+2
entonces tl x+yll=**n o m+n+1
porlotantotl*+yll>-n" .'. tl
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
k+1
tl*llcn
llxll>n
c+ x<n, nez
<+ x>n+1
ll^ll=xexezll*ll<x<[lxl]+t, VxeR
tl tlx ll ll = tlr ll, v x eR
@ si *= n
@ si uyu,
D aS[
iii) a< [
Ejemplo.-
Resolver la ecu
[l3x+111=2
Resolver la inec
¡l5xll<3 =+
[l2xl]<x
Sí x<0 + 2
Es decir [l2x l]
Sí 0<"<12
Es decir [l2x l]
ISr ¡>- + 22
J =q -*,0 )
@ tt nez* + [lnxl]>"tl*ll
Enefecto: Sea [l xl]=* =+ mlx<m+1
= nm(nx<urn+n
+ [lnx l] ) nm
x+yll>tlxll+tlyll
.'. [lnxi]>ntlxll
Sistemq de Números Reales 245
@ ttxeRy neZ* , entonces il Ikll ll = tl{ llnn
qj) Si aybe Z, xe R, entoncessecumple:
i) a<¡lxllsb
iii) a<[lxl]<b
Ejemplo.-
Resolver la ecuación [l 3x + 1 l1 = 2
Solución
[l3x+1 l]=z + 2<3x+t<3 + !rr.?33
Resolver la inecuación tl 5x ll < 3
Solución
tl5^ll<3 + 5x<3 =)
[l2xl]<xSoIución
Sí x< 0 + 2x<x =+ tl2^ll< 2x<x
Es decir [l 2x ll < x
Sí 0<x<1 * O <2x<l =+ tl2xll=gq"2
Es decir [l 2x l] < x
ISi x>; =+ 2x>r + tl2xll>t esdecir: tlzxll*x2
,S -< --,0 t u. O,f >2
t2entonces ". [t,r t
ii) a<[l^l].5 *a<x<ba<x<b+1
a+1<x<b
Jx<-5
Jx€( --,; )5
246 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Re
a) Si x<2
-(x - 2)(x
b) Sí 2<x<
c) Si x>3 =
S, = [3,+.
S = <-1,2> r
qx3 -t¡1r2 +t;,
llxll-x>0, er
Vxe R + [1.
Luego resolvere
(tl*-2tlxllll)
tlx-2tlxllll=
i) Si x<0, =
(x - 1)(x +
ii) Si 0<x<
iii) Si x>1 =
rlfii=z
tl 2x ll < tlax llSolución
sea [l4xi]=p e P<4x<P+1 * t=z..t*+<!+t
Ptl2x ll < tlax ll = -< P +
-rI:+ 6r=¡1,*-t
tl-sx ll < tlx ll
o<r<! +5
S, =< 0.1>r '5
Sí .x>l - -5*.*5
pn
= ll2xll=i A LeZ22
O.i =+ 0<P =+ O<llaxll2
4x21
[o<5x<1
t,t' t, = oSí
Solución
+ -1 <-5x<0 + tl-Sx11 =-1 Y -1 <0
+ tl -sx ll < tl* ll
tlx-tll<tlxll
.'. $ = (0,+*¡
Solución
Sí x > 1; supongamos que: [l x l] = t
+ [lx- 1l] =k- 1 <t= [lx l] dedonde,Sr =[1,+->
Sí x<1, entonces tl*-1ll<g ^ tl*ll<0
entonces tl ^ - 1 ll < Il x ll .'. ,92 =< --,1>
(tlx ll - 2)(x-2)(x + 1) > 0Solución
S=R
Sistema de Números Reales 247
a)
b)
c)
ii)
iii)
i
Si x<2 + Ilx ll-2<0, luegoresolveremos
-(x-2Xx+1)>0 esdecir (x-2)(x+1)<0 dedonde S,
Sí 2<x<3, entonces [lxll-Z-0 dedonde Sz=Q
Si x>: = tlxE-Z>0 luegoresolveremos (x-2Xx+
=<-1,2>
1)>0
53 = [3,+- >
S=Z*
1x3 -1¡1x2 +t¡/[ffi12sSolución
tl * ll -x 2 0, entonces [l x l] > x, pero pordefinición se riene: tl x ll < *,
Vxe R + [lxl]=^eZ
Luego resolveremos (x3 -t)(xz + 1) > 0 =+ x > 1
(tl x-2 tl x ll 11) (x- 1)(x + t) z 0Solución
tl x-2tlx ll ll = Il * ll -2tl x 11 =- tl * ll
i) Si x < 0, =+ -tl x 11 > g, entonces resolveremos
(x-lXx+1)>0
Si 0<x< I =+ [lxl] =0 entonces 52 =[0,1>
Si x>1 + [l xl]>0, entoncesresolveremos (x-lXx+1)S0 53 = {1}
- t')tl=ll=2.x+J
Solución
Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R¡
Por definición r
tll x l-zx ll = o
ahora por la prr
se tiene: 2x <
además se cono
1o Si x>0
2x<0 A
La primeri
2" x<0 =
2x<-x A
la segunda
Por lo tanto la s
Para el estudio r
En primer lugar
En segundo lugt
a) lo96 AB =
il#l]='4:'
Seconoceque [l xl]+n €+n<x<n+1
z<**2 .3 (+ 2<t- | <3x+3 x+3
t<-l .z <+ t<- 1 A -! .zx+3 x+3 x+3
1+1<oA2+r>ox+3 x+3
,*4<0 A 2**7 rOx+3 x+3
[(x+4)(x+3)10 A (2x+7Xx+3) >0], x*-3
xe [-4,-3 > A *..-*,-!>(J <-3,+*>'2
Solucién
Luego la solución es: *el-+,-f,>
Resolver la inecuación f l$ tf > +
Solucién
Aplicando la propiedad siguiente: Sí y e Z, llxll> y c+ x 2 y
4ez,lllol-tl]=* (+ l*L-r>+ €) lxi-r>zoLl sll 5
c+ lx l> Zt <á x>21 Y x< -27
La solución es: x € <-*,-21f u [21,+->
Resolver la inecuación tllx l-Z¡ ll = O
Sistema de Nútneros Fleatres -),40
Por definición de máximo entero se tiene:
lll.rl-z¡l]=o e+ 0<lxl-2x<1 €+ Zx<lxl<t+2x
ahoraporlapropiedadtransitiva (a<b<c <3 a<b A bcc)
setiene: 2x<lxl< i +2x e 2x<l*l nlxl< t +2x
ademásseconoceque: l"l =f *' *-:[-x, x<0
1o Si x > 0 + lx l= x reemplazando en (1) se tiene:
2x<0 A x<1+2x = x<0 A x>-1 = xe <-1,01
La primera parte de la solución es: x e [0,+*> A <-1,0]
2" x<0 = l*l=-" reernplazandoen(1)setiene:
2x(-x A -x< 7+2x = x<0 A "t-f = *..-1.0,3 3-
la segunda parte de la solución es: x e <--,0> n < - ]- , Ol -3
...(1)
:9 x=0
Ixe < --,U >
J
Por lo tanto la solución de [llr l-2rl]= 0 es:
3.39. INECUACIONES LOGAR.ÍTMICAS.-
Para el estudio de ias inecuaciones logarítmicas es necesario recordar lo siguiente:
En primer lugar Ia definición de logaritmo es decir:
loguN=.{, ++,N=bx, N>0 n tr!0
En segundo lugar las propiedades del logaritmo
a) logu AB = logu A + logu B
"..-1,0>u{o} =.-1,0,
b) beo*=bg A-toga B
250 Eduardo Espinaza RamosSistemq de lVúmeros Re,
2" CASO.- CuZ
i) I-,os númer
ii) Los númer
R* se tiene
sí 0<b<
de donde d
Sí x>0, (
Sí x>0, C
OBSERVACIÓ
Iog6 a>logu c
1og,,a>c é
Ejemplo.- Rer
Iogr(2x+ 4) > lo
Calculando ei car
2x+4 >0 ¡ 5x
como la base es
log.r(2x+4)>Loi
c) log¡, A" =nlogt A d)1
logu\lA = llog¿ An
e) logrl=0 f) lográ=1
g) logoN=log, N
logu a
En tercer lugar se observa la gráfica y=logü ¡ cuando b > I y 0 < b < l. También
dentro del campo de los números reales, sólo tiene logaritmo los números reales positivo:
ahora gratificamos la ecuación y =logo x .
Al observar la gráfica se tiene los siguientes casos:
1' CASO.- Cuando la base es b > 1, en la gráfica podemos observar:
i) Los números mayores que 1 tiene logaritmo positivo.
ii) Los números entre 0 y 1 tiene logaritmo negativo, entonces
\,x2€ R+ se tiene
Síb> 1 y 0<¡r <xz e logr;rt <logux,
De donde deducimos las relaciones siguientes:
a) Síx>O,b>l; NeR + logrx>N <+ x>b"
b) Six>0,b>1;NeR = logux<N <+ x<bn
para cualquier
Sistema de Números Reales 251
2' cASo.- cuándo la base es 0 < b < 1, en ia gráficapodemos observar:
i) Los números rnayores que 1 tiene logaritmo negativo.
ii) Los números entre 0 y 1 tiene logaritmo positivo, entonces para cualquier xr,x, de
R' se tlene:
Sí0<b<1 y 0<xt(xz <+ loguxr>logux,
de donde deducimos las relaciones siguientes:
Síx>0,0<b<1yNe R = logrx>N <+
Síx>0,0<b<1yEeR + logr.r<N €+
0<¡<bN
x>bN
OBSERVACIÓN.- Resumiendo, parala solución de las inecuaciones
obtiene de la siguiente manera:
logarítmicas se
logu a>log, c (+
. la>b' si b>llog¿a>c <+ J
lo<b' si 0<b<l
Ejemplo.- Resolverlas inecuaciones siguientes:
logr(2x + 4) > log, (5x + 3)
Solución
Calculando el campo de existencia de los logarítmicos dados
2x+4>0 n 5x+3>0 dedonde x>-2 ¡ *r-15
como la base es 2 > 1, entonces se tiene:
ta>c si b>llacc si 0<b<l
1
U -< -r.+- >J
log,r(2x+4)>logr(5x+3) e 2x+4>5x+ 3 = "<1JI¡e< --,3 >
252 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Números Rt
. .x+15tog"(--) >.{-l
El logaritmo da
Luego el campo
. .¡+15Iog,(.-) > I'" x-7'
x+I5-x2 +xx-I
dedonde xe <
La solución es:
Resolver la inecu
Aplicando la prol
para nuestro cas(
log,r, (2r + 5) < -
2x+5>9 e 2
Resolver la inecu¿
Aplicando la propi
para nuestro caso
La solución es: .r€< -1,*- > ñ < -*, 1
r=a - I
535
logt(2x+5)<-2l
Solución
Calculando el campo de existencia del logaritmo
2x+5> 0, entonces
Icomo la base es : < 1 -
3
log, (2x+5) <-2 e3
S=.-35
x>2 + xe <2,+->
I3
1
J
55* , -; de donde Q -q -1-,¡a 2
entonces se tiene:
I(2x+5>(-)-2 = 2x+5>9 +
-t
Luego la solución es: x€< -1,*- > ñ < 2.+* >=<2,+* >2
logt(lx- 2l-l)> t ,olución
Calculando el campo de existencia del iogaritmo
l"-21-1>0 + lx-21>l = x-2>1 vx-2<-1 = x>3vx<1
de donde U - <-*,1> u<3,+->
como la base es 2 > 1, entonces se tiene:
logr(lx-21*t;>t = l*-21-I>2r
:+ lx-21>3 = x-2>3 v x-2<-3 = x>5 v x<-1
^ 6 q--,-1) \J (5,+->
La solución es: x € (<--,1> u <3,+->) n (<--,-1> u <5,+->)
S-<--,-1>u<5,+->
Sistema de Números Reales253
. .x+15log-1-¡ t ¡x-l
Solución
El logaritmo dado está bien definida sí x > 0 y
Luego el campo de existencia es U = <1,+*>
x* I ademá, "*l5 tox-7
i
t
I
I
t
Ir
, .x+15. x+15 r x*15logx(-)>l = -, >.r' + -- _--x>0,dedondex-l x-l x_l
x+15-xz +x >0 =+x-1
dedonde xe <1,+-¡ ucl,5>
La solución es: x e (1,+*;, ñ (<--,_3> u <1,5>) = <1,5>
Resolver la inecuación logr,r(2x+5) < _2
Aplicando la propiedad siguiente:
para nuestrocaso 2x+5>0 ==+
Solución
x>0,0<b<1, Ne R,
5x>--2
loguxcN <+ x>bN
Iogr,r(2x+5) < -2 (+
2x+5>9 e 2x>4
Resolver la inecuación
Aplicando la propiedad siguiente:
para nuestro caso se tiene I x-2¡ _
1,t--azx+) > (-) -3
= x> 2 , la solución es: x € <2,+*>
Iogr(l x -21 -t) t r
Solución
x>0, b>1, NER, logux>N €) x>bN
I >0
I
i
;
254 Eduardo Espimoza Rsmos Sistema de Números Reale
La ecuación dada s
2lxl=¡2 -3 €
{+
(+_---_------{
#--3 -/5
l"-al=lx-21
Aplicamos la propi
l*-al=lx-21
l*-zl=13 -2xl
l*-21=13-2xl
2lx+21_l¿**t _11=2
Apiicando la definir
lx+21={:::
l*-21>1 <+ x-2> I v x-2<-1 €) x>3 v x <l
log2(lx-21-t)tl (3 l^-21 - l>2
lx-Zl>3 <+ x-2>3 v x-2<-3 (+ x>5 v x<-1
La solución es x € 4-*,-{¡ u <5,+->
Resolver las siguientes ecuaclones:
lxz +21=2x+l. Solución
Por definición de valor absoluto I x2 +2]i= xz +2 ... (1)
Alreemplazar * l12 +21 =2r¡1 setiene:
x2 +2=2x+1 de donde xz -2x+1=O
(x-I)z = 0 entonces x = 1' Luego la solución es: x = 1
lx2 - x_ 61= x+2Sol.uciQ4
[x+220 A (x2 -x-6= x*2 v x2 -x-6=-x-2)]
1x2 -2x*8=0 v x2 =4)l
(x=4, x=-2 v x=t2)l
\-2,2,4\
lx2 -x_ 6.=x+2 <+
€) lx> -2 lt'
€ [x> -2 lt
La solución es el conjunto
x2 -2lx l-3 = 0
Sistema de Números Reales 255
Solución
La ecuación dada se expresa así:
Zlxl=a2-3 e l*2-3>0 A (Zx=xz-3 v 2x=-x2+3)l
<+ [*'>3 ly (*2 -2x-3=0 v x2 +2x-3=O)]
(:) (r>ó V x<-",61 ,r (x=3,-l V ¡=-3,1)
La solución es-3 _,re" -1 1 v/5 3
l^-al=lx-21Solución
________o
Aplicamos la propiedad:
l"-al=lx-21 <+
(+
{+
l* -21=13 -2xl
l*-21= 3-Zxl
o-
lal=lbl <+ a=b V a=-b
x-4=x-2 Y x-4=-x+2
-4=-2 Y 2x=6
0 V x=3, LasolucióneSx=3
Solución
x-2=3 -2x Y x-2= -3 +2x
-5s"== V x= I. Lasoluciónes: {l.l}33'
{-3,3}
1lx+21 _l l{+l _ | l- 1f,+l r r- tt-L
Solucióq
Aplicando la definición de valor absoluto
-, F {'""'-1| 1 _1x+t
, x>-l, x<-1
I:
256 Eduardo Espinoza Rqmos Sistema de Números Real
analizando en cad
Para x<-3 =
Reemplazando (2.
efectuando y simp
luegocomo x<-l
Para -3 <x<-2
Reemplazando (3)
efectuando operac
luego la solución e
Para -2 1x<2 =
Reemplazando (4)
9-x2 +4-x2 =5
iuego la solución e
para 2 <x<3 =
reemplazando (5) e
efectuando y simpl
- - -\ /- - - -\ +frr
fl x+21=-¡-2Dara x<:2 -r--- " - - ll¡x+l tl -1 nx+lll¿ -tl=t-z
reemplazando en laecuación 2lx+21 -12'*t -ll =2'*r +I, se tiene:
2-x-2 -(l-Zx+t¡-2x+1 +1, simplificando 2-t-2 =2 :=> -x -2= 1 =9 x = -3
Luego x < -2, la solución es x = -3
llx+21 = x+2Para-2<x<-1 = i
||z'*t-'l=l-2**l
reemplazando en la ecuación 2'*2 - (I-2'+l ; - 2x+t + i , simplificando
2"*2 =2 + x+2=l = x=-1, como -2 lx<-1 entonces x=-1 noessolución
llx+2|= x+2Para x>-l :+ {
|| z-*' -ll =2'*t -l
reemplazando en la ecuación se tiene: 2x+2 -12x+1 -l) = 2'*1 +1, simplificando
2x+2-2x+2 t x+2=x*2, VxeR
Luegolasoluciónpara x>-1 es R A[-1,->-[-1.*>
Por 1o tanto la solución de la ecuación es:
lr' -gl+lxz -+1=5Solución
x=-3 y [-1,+->
A la ecuación l r' -gl+l xz - + I = 5 expresaremos en la forma:
lx+3 | l*-3 I +lx-21 lx+2 l=s ...(1)
Sistema de Números Reales 257
11 12 13 14 15
#+-3-223
analizando en cada intervalo I i, i = I,2,3, 4, 5
para x<-3 + {lx+:l=-r-3 ; l*-31 =3-"llx+21 =-x-2 : lx-21=2-x
Reemplazando (2) en (l) se tiene: (-x - 3X3 - x) + (-x - 2)(2 - x) = 5
efectuando y simplificando x2 =9 = x = -t- 3
luegocomo x<-3 lasoluciónes: x€ q--,-3)A {+3i=0
Para-3<x<-2 -+ Jl'+:l=x+: : l'-31 =3-'flx+zl =_x-2 : lr-21 =2-x
Reemplazando (3) en (1) se tiene: (x + 3)(3 - x) - (x + 2)(2 - x) = 5
efectuando operaciones y simplificando: 9-x2 -4+ xz = 5 =+ 5 = 5
luego la solución es: l:3,-2>nR=¡-3,-2-
"' (2',
...(3)
esvalido Vxe R
"' (4\
...(s)
rlx+31=¡r3 ; lx-31=3*¡Para -2<x<2 - IIx+21="i+2 : l*-21=Z-x
Reemplazando (4) en (1) se tiene: (x + 3)(3 - x) + (x + 2)(2 - x) = 5
9-x2 +4-x? =5 1 x=*2
iuego la solución es: l-2,-2> n {t 2} = {-2}
- .. . llx+31 =¡+3 lr-3j¡=3_ *Dara 2 <x<-J + {' tlx+21=x*2 ,lr-21 =x-2
reemplazando (5) en (1) se tiene: (x + 3)(3 - x) + (x + 2)(x _ 2) = J
efectuando y simplificando 5 = 5 es valido V x e R
258 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rea
lx2 +6x+ll =2
Por la propiedad:
lxz +6x+11=2;
(+l
Luego la solución
,3x+8.l_l=g2x-3'
tfi{t='
€)
ll"l-5ir=2x-3
ll" l- 5l=2x-3
Co.o "t1 =)2
Luego la solución es: [2,3> n R= [2,3>
Parax>3:+ Jl"+:l=x+3llx+21=x+2
Reemplazando (6) en (1) se tiene:
efectuando y simplifican do x2 :9
lx-31 = a-3lr*21 =x*2
(x + 3)(x - 3) + (x + 2)(x - 2) = 5
s x=*3
... (6)
Luego la solución es: '[3,+c.> R,{t 3] = {3
Porlo t4nto la solución de la ecuación es: l-3,-2> v {-2} u t2,3> v i3}
,'.. L-3,'2lwl2,3f
l*t -ql=-2x+4
Por la propiedad:
l*' -41 =-2x+4
Solución
lal=U <+ b>0 A (a=b v a=-b)
<+ *2x+4>0 A (r'-4=-2x*4 u ,2 _ 4=2x-4)
€t x<2 ly (x2 +2x-8=0 v ¡2 -2x=0)
<+ x<2 A. ((x+4)(x-2)=0 v x(x*2)=0)
<+ x<2 t\ (x=2,-4 v x=0,2)
Luego {-4,0,2i son las soluciones de la ecuación dada
lxz +31 = l2x+llSolución
Porlapropiedad: lal=lbl <+ u=b v a=-b
lxz +31 = l2x+11 c+ x2 +3=2x+1 v x2 +3=-2x*l
<+ xz *2x+2:0 v xz +2x+4=0
<+ 0vS =Q
La soluciónes élQ puestoque Vxe R, *2 -2*+2>0, x2 +2x+4>0
Sistemq de Números Reales 259
lx2 +6x+ll =2x+6Solución
Porlapropiedad: lal=b <+ b>0 A (a=b v a=-b)
lxz +6x+ll=2x+6 e 2x+6>O lt fxz +6x+l=2x+6 v x2 +6x+l=-2x- 6j
(+ x>-3 1\ (x2 +4x-5=0 v x2 +g¡+7=0)
(+ x>-3 A (x=1,-5 v x=-1,-7)
Luego la solución es {-1,1}
, 3x+8 ,t_t-tt'2x-3'
tfr$t='
Solución
3-r+8v --8.2x -1
3x+ 8 = 8(2x-3) v 3x + 8 = -8(2x -3),
-5-3-11
3¡+8<+ ---g2x-3
ll^l-5|¡=2x-3
I l" l* 5l=2x-3 e 2x* 3 > 0
l(9 x>- t\2
=.x=-2
I3x=3;2 v 19x = 16, Luego la solución es: *=*, ,=*13' 19
Solución
zf (lxl*5=Zx-3 u lxl-5= -2x+3)
(lxl=2x+z V lxl=-2x+8)
3para x*-
Jx*-2
a
Como x>j = l^l=*:+x=2x+2v x=-2x+8¿
8V X=-.3
por lo tanto la solución es8
3
260 Eduurdo Espinoza Rqmos Sistema de Números Real¿
como x e <0,3>
... lsx+al-la+x
Hallar el valor de lr
Aplicando la defini
lsx-201
ahoraparaxe <-3,
como x e <-3,-2>
. lsx-zol-13"x
Resolver la inecuac
Por la propiedad:
lr'-+l<s <+
t_| 5x+
l5x+al=ll_| -5x-t
ahorapara xe <0
@
I sx-,_t- lzo -:
I
l*-al'-5lx-41+6=0
Factorizando se tiene:
Solución
(1"-41-3Xlx-+l-z¡=s
€) l^-al-3=0 v lx-41*2=o
<+ l^-al=3 v lx-41=2
€.l (x-4=3 v x*4=-3) v (x-4=2v x-4=-2)
<+ x=J y x=1 v x=6 v x=2, lassolucionesson:
Hallar el valor de la expresión: lax+1 l-l x-7 | si x e <2,5>
Solüción
Por la definición de valor absoluto se tiene:
{1,2,6,71
I o,*,l+x+tl =l
l-+x -t
ahoraparaxe <2,5> <+ lax+71=4x+J, lx-71=7_ ^
l4x+71-lr-71 4x+7-0-x) 5x
.7st ¡)-- ( -4 , lx-l sl: lx-71=i. 7 ll-* sisr x<--4
x>'1x<7
como xe<2,5> e
lax+71-lx-71 _x
x
5 si xe<2.5>
xx
Hallar el valor de la expresrón: l5x+41-la+3xlx
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto
si x e <0,3>
Sistema de Números Reales 26r
Itlsx++l=l
l-s
ahora para x e
l4+3xl
<0,3> <9
lstcomo xe <0,3> e+
... l5x+al-14+3xl=2 si xe <0,3>x
Hallar el valor de la expresión: lsx-zol-l3x-20lx
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto
lsx-201
ahoraparaxe <-3,-2>
como xe <-3,-2> <+
... lsx-zol-l¡x-zol=_2 si xe <_3._2>x
Resolver la inecuación I xz - +l< S
SoIución
Porlapropiedad: lul.U <+ -b<a<b donde b>0
l*'-41<s <+ -5<xz -4<5
+3¡
-3x
=4+
3x)
t+4-
-4-
xl=
1+3
'X
4
3
(z
+
-l
x
=5x+4, l4
-3" I 5x+4
4-:f
4
=5
4l
"14
+
x
¡)-
x<-
l5xr
+41-
x+4 si
x-4 si
si x> 4 ft*-ro si
: l3x-201 =lsi x<4 |
|.20-3r si
<+ lsx -2ol=20 - 5x, l3x - 2ol =Zo -3x
lsx -zol-l3x -zol 2a - 5x - (20 -3x)
si x e <-3,-2>
.4sl ¡¿)--J
.4sI x<--3
3x
2x
20
J
20
3
lsx-zolzo -s.t
1X.=--=x
a
262 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R
+
xe< --.-l >
Luego la soluc:
Resolver:1
x+
Ix+4
Resolver
'1'u
5t-tz,
r-5 r>rj.l -l¿x- L x-
slx-21 > l2x- |
7xz *32x+33
Como (7x-ll
. *-,111 .-, ¡:-
<+ -r< x2 <g <9 _1< x2 r. *2 <9
e xe R n-3<x<3
<+ -3 < x < 3, Luego la solución.tF?o¡¡tl
le-.x2 l>:Solución
Porlapropiedad lal>b e a>b V aS-b
lo-xz l>-z c+ 9-xz >3 v 9-x2 <3
€+ ,2 <6 v *2 >r2
(+ -J6 < *<J6 u *>^,ltl w *<-Jtz
------1 T-----
Luego la solución es:
,3x-3, -|-l < ¿r+l
Mediante la propiedad:
l3*-31 .z (+ -z<'x+l'
Solución
lul<b e+ -b<a<b
3x-3 _ nx+1
3x-3 3x-3A -<¿
x+l x+1-2<
5"-.1 t o ,t !:: .0, para x * -1x+1 x+I
(5x-1Xx+1)>0 A (x-5)(x+l)<0, x*-1
Sistema de Números Reales 263I
Luego ra sorución ", [tl$
Resolver: -]- . tl.Ux+4 '3
Solución
-! . r1.rl :+ l<--i-<1 :+ t <x+4<3x+4 J 3 x+4
=) -3 < x < -i, luego la solución es x e [-3,-1]
--l-trr---*--trr- *-
-1 1/5
--l-ru!-_--ru. i--1
Resolver I 5 l>l I t'zx-L' - ' x-2'
Solución
| 5 l>l I I *r 5 I
' 2*-r' - ' *-z' WJlt ¿-, v*u
5lx-21> l2x - 11, elevando ai cuadrado ZS(x_ Z)2
7 x2 -32x+33 > 0 <+ (7x-fi )(x - 3) > 0
" * 1
.2 se tiene2'
2 (2x - l)2 efectuando y simplificando:
- l-\r,z- -_- -\,rr: -
11/7 3
como (7x * i lXx - 3) > 0, se toma los iniervalos donde aparecen el signo (+), es decir
. --.T, u [3,+- ¡. Luego la solución es: . *.#, u [3,+* '-tit
264 Eduardo Espinoza RamosSístema de Números R
-x- |_>0 __.;
2*x
de donde (x +
x+1x-2
decir:
Si x20 =+ I
"-1 =o -2-x
si r-l <o .x-2
Entonces (x -
- x-luomo _ <x-2
I-a solución de i
t*t .tt
I I t.tt¡-, ,.1-l_¿-\ - tJ J.
Para x--:.-
Resolver la inecuación: lx-112 +2lx-11-3 < 0
Solución
Completando cuadrados se tiene:
(1"-11+1)2<4 e -2<lx+1 l+1
e -3<lx+ ll< I
. (+ -3<l^+tl,n
{? RA-2<x<0,
l*-3lt -3lx-31-18>o
lx+11<1 (- RA-1<x+1<1. .''.,..,:'.].i4...!.i::..'.::,'.:! ::''.:
la,solüeiéri e-s:l- É <'2
Solución
(l ^- 3 I > 6 A l* - 3l >-3) v (lx- 3l < 6 A
(l*-31>6 AR) v0
(x-3>6 v x-3<-6) A R
(x>9 v x<-3) AR
(x<-3 v x>9)
<2
Factorizando se tiene:
(l "-3 l-6Xl x-3 | + 3) >0 c+ lx-31<-3)
La solución es
l"l-1>o2-x
Solución
I x. x>0Por la definición de valor absoluto I x l= {
[-x. x<0
Si x <0 = I x | = -x, reemplazando en laecuación dada se tiene
Sistema de Números Reales 26s
(+ (x+lXx-2)>0, para x*2
---\ t--- -\ /----+ -\/+dedonde (x+1Xx-2)=0 +
x+lcomo _>0x-2
decir:
-x-1_>0 :e2-x
si "-1 sox-2
-{+l_>0 :+t _'J
x+l-->0x-2
rt =-1 , rz-1 2
la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+) es
xe (<--,-11 U<2,+->) A <-*,01
=¿
Si x>0 = l^l=", reemplazandoenlaecuación
x-l - x-l-_>0 =2-x x-2
...(1)
dada se tiene
*-trr- -- -\,rr ; -
<+ (x-lXx-2)<0 para x*2
Entonces (x-1)(x-2)=0 + ,.1 =1,
Co*o "-l <0 =+ lasoluciónes: xex-2
rz =2 1
[0,+-> L Í,2>=fl,z>
La solución de la inecuación es la unión de (l) y (2) es decir: x e <--,-ll u [1,2>
I I r<r r I'2x+3' ' 3x+7'Solución
,lxI2x_.+3i<lr"n,I =
...(2)
".. (1)Para ¡ - -:,-:. se tiene:
l.l"ll2x+31- l3"r+71
l3x+7 I < I * I l2x+31
266 Eduardo Espinoza Ramos Sistemq de Números Ret
- I -\,r. -i -trr- -_- -tu. *-713 -312
pero como V x e R, 2xz +6x+'7 20
reemplazar
como V x
7 lll:1 =-3x-7a) sr x<-- +
li;l;u.= -2x-3
reemplazando (2) en (1) se tiene: -3x_ 7 3 (-xX-2x - 3) de donde
".. (2)
2xz +6x+'7 >O
...(3)
zxz -7>o
...(4)
d) Si x>0
i 3 fl3x +l l=3x+lb) '' -á -,--t =
tl;:;l= _2x_3
reemplazando (3) en (1) se tiene: 3x +'7 3 -x(-2x - 3) de donde
zxz -i >o + tJl*+J1¡dl*-Ji)>o
la solución es:
La solución es:
-1. r. o2
i7.<..-,-,f>AR=<-T,-i3" 3
---\ t--- -\ r-+\/-Vi--
n ,.--,-fr, u ,
reemplazan
zx2 -"1 > c
I.La solución es:
[ 'l
L
luego la respuest¡
lx-ll-jxlrol-l"l
fl,tr
,t7E Aplicando la defir
a) Si x<0 =
reemplazand
73l2
ICOmO _ )
x+l
fl3x+rl= ll*l=-,
[lzx+3 |
,+* >)
c) Si
=3x+'7
=2x*3
Sistema de Números Reales 267
reemplazando (4) en (1) se tiene: 3x+7 < (-x)(2x + 3) de donde 2x2 itix+710
como V x E R, 2xz + 6x +7 > 0 entonces la solución es:
zxz -"t > o <+ dlx+.11¡1"1-2r- J7l > o
...(s)
2x2 -7 >o
\ r---\ /---- |
,+- >
... (2)
+t-oL+x
. -i,ur L.O =,0
f?t+ll =3x+7d) Si x>o + ]l"l =tt'
Il2x+31 =2x+3
reemplazando (5) en (1) se tiene: 3x + 7 < x(2x + 3) +
nVZ
La solución es:
luego la respuesta es:
lx-11-lxlrnt-l*l
. _*,_!, -. _!._fii _ r
Solución
Aplicando la definición de valor absoluto: I x - 1 |
a) Si x<0 =
reemplazando (2) en la inecuación dada. 1- r - (-x) > 0
1- (-¡)
(+ x+1)0, x+-l <+ x>-1
fx-t.six>l , , I x.six>0=lt-". si x< I
; lrI -l-x. si *<o
0
fl"l =-*[lx-t | = 1-t
1 rox+l
268 Eduardo Espinoza Rqmos Sistema de Números Re
La solución para este caso es: <,i¡o,O> ¡\.<-e;-1) = i-1;0> lzxz *3x-91
<le dc;nde: l?-"
se tiene: l2x +
4xz +l2x+9<
5x<-:: iueso
n̂
1l:-zl<ux
Mediante la prol
1l:-zl.tt €x
mediante la protr
I
-9<:<13 €x
- - -\ ¡*v_14
La solución es:
l3x+21<lz"-
b) Si o<x<l + {l"l=.1 .
llx-11=1-¡
reemplazando (2) en la ecuación dada:
...(3)
... (4)
...(l)
l-x-x ^ 2x-ll-x x-l
ahora mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:
- l-t*r- -_- -tu- - *
1/2
La solución para este caso es:
Por lo tanto la resPuesta es:
l2xr -3x-91.21*'-2.r -3 |
La solución para este caso es:
fl xl=-¡Si x>1 = {:
tlx-ll=¡-1
reemplazando (4) en la inecuación dada:
x-l-x ^ I>U € ->0
c=' x-l>0 para x+1 dedonde x>1.I- x x-l
Solucióu
lz*' -:* -g = (2x + 3)(x - 3)Se conoce que: i' lr'-2x-3=(x*ll(x-31
Reemplazando (l) en la inecuación clada
4;i=rolt1
> A (<*,;l V" .1,i1r. ¡.. r
lIP;'D
Sistema de Números Reales 269
i
I
l2x2 -3x-91 .21*t -2x_31 o I (2x + 3)(x - 3) l< 2l(x+ lXx * 3) |
dedonde: l2x+3 ll*-3 l<21^+ 1 | lx-3 j para x*3
setiene: | 2x+ 3 I <2 I *+ I I, elevando alcuadrado:
4xz +l2x+9 <4x? +8x+4 =+ 4x < -5 de donde:
.. -I; ruego ra sorución ",, lE.,-Agl
1l:-zl<ttx
Solución
Mediantelapropiedad: I u I <b <+ -b < a<b
l1-zl.ll (+ -ll<1-z<nxx
mediante lapropiedad: a<b < c <+
e+ -9.1.t:x
a<b A b<c
-g<1<t¡ {+x -s.1 A 1.t.
9x+1<+ _>0 Ax
\ r---\
13¡-l_>0x
+ +f _- _\rr-
;_A 0 1/13
La solución es: xe 1<--,-1 ) U<0,+* >)n (< -*,0) r..l,*- t)
.,1:l¡¡.i:.¡1.r.,ril.r... :-l:r1:l¡:::..1:,,¡.r¡,.;,,J.,'
.dr9srif¡::1,6]?Y<ñl
l3x+21<12^-ll+lx+31
-1/9 0
Solución
270 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Númeras Re
Como lx+41.
lzx-lJ+r.ox'-2x-3
Por definición de
1
Sí x<a = lz2
Reemplazando en
l-2x+l-----.-<o*2 -z*-3- "
parax*-1,3. Me
Aplicando la desigualdad triangular
Vxe R: l3x+21=l(2x- 1)+(x+3) I <l2x-11+ lx+3 |
Por lo tanto la solución es:
4* +2**3 -9 > oSolución
Seconoce: 4" =22', 2*-3 =8.2*
' 4x +2'*3 -g2o <+ 22* +8.2* -9>o
22* +8.2" -9 > o e ,(2' +9)(2" -l) > o
(2* +9)(2' -l)>0 <a (2* +9>0 A 2'-l>0) V (2'+9<0 A 2"-1<0)
cá (2* >-g L 2* >1) V (2'<-9 A 2'<l)
€ xe (R A[0,+->¡V(OA<--,0])*w@ Demostrarque: Sílx-al<R + x€[a-R,a+R]
Solución
Si lx-al<R + -R<x-a<R
a-R<x<a+R
= x€ [a-R.a+Rl
Demosffar que: Sí lx + 4l< t = lT, ti
Solución
2x+3 2x+3 5A la expresió " x-l ^ x-l x-l
Sistema de Núnneros Reales271
Como lx+41<l -1 < x +4< 1 sumando-5 se tiene:
-6<x-1<-4 invirtiendo
lll
55-; (
-- ( --, sumando 24 x+l 6
+ 3.2+ 5 .1.!x-|64
3 2x+3 7=+ 4x-|4
,2x+3, 7+ I -,_t I <¿
l?*-tl+t.ox'-2x-3
Solución
lr*-, , *> 1
Pordefinicióndevalorabsoluro: l2x-fp] - 2
l-z*, ".fl2
1/2
Sí "<1 -l2x-tl=t- 2x2
Reemplazando en la inecuación dada:
l-2x+l 2x-2-,--:--_.U (+ -----:. _)0 =+ (x-lXx-3Xx+1.¡ >0x'-2x-3 (x-3(x+l)
parax+ -1,3. Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:
---\ r-- -\ /_---\ r---v+V-v+-1
I
272 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R
La solución para este caso es: r € < -€, (< -1,11 U < 3,+- >)
:,'-; ,,r,i,i:tli'>,,',.'.:,:,.
:'¡,;,';..'tlii:;l
Si ">] = l2x- 1l =2x-1, reemplazandoenlainecuacióndada2
1
- / l\
2
- I -\,,- -i -\,,a -_- -t,ra l--1 03
-1> u [0,3 >)
...(2)
*x(l- x) -2 ___l
-x-1
, (¡para x#I, -:-
Luego la soluci
para 0<x<1,
reemplazando (l
x(l- x)-2' >0x-l
pero como V x
xÉ1 =+ x<1,
para x >1 =reemplazando (4
x(x-l\-2' >0x-l
Ahora por el crite
xe [1,+->¡1¡-
III,¡
2x-l+l__;_s0 €x'-2x'-3
" <0 +x(x-3Xx+1)<0,x*-1,3(x-3Xx+1)
La solución para este caso es: te ¡1,a- > n (< -*,'2
Mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:
Por lo tanto la solución de la inecuación es:
lxz -xl-z r_oI ,l-1
Solución
A Ia inecuación expresaremos en la forma
lxz-xl-2ro <+ lxllx-l|-tro ...(1)Irl-1 I'l-1
Ahora aplicamos 1a definición de valor absoluto. _ l_rrr_
__ _\,rr ;
_
I x si x>0l*l=j
l.-r sl r<u[x-1, si ¡>l
lx-ll={It-x. si x<1
parax<'0 +lxl=-¡, l*- I l= 1 -x
Sistema de Números Reales273
--.(:*:¿>o + i,+Í=r :+ (.--+Sll<ox+ i)
para x *t, ('r-2)(!+1) <0.+ x-2<0, x*_lx+1
Luego la solución para este caso es: x € (_e,S¡ n (<__,_1> u <_l,ll)
para 0<x<1, =+ lxl=x, lx_11=1_xreemplazando (3) en (1) se tiene:
x(1-x)-2, ^ *_x2 _2-r >o =+ -tr>o =r
perocomo VxeR, x2-x+2>0 + t =Ox-l
x + 1 =+ x < 1, luego la solución para este caso es:
para x >l = lxl=x, lx_ll=x_lreemplazando (4) en (l) se tiene:
(x-2)rx+t)::+ ---:___________ > 0x-1
=+ (x_2)(x + l)(x_ l) >0, parax* I
Ahora por el criterio de los puntos críticos se tiene
...(q)
...(3)
<0
=+ x- I <0
x e [0,1> ¡ q-*,1) = t0,l> ... (B)
...(y)
x e [1,+-> n ([-1,i> u [2,+->)
-_ -\, l-r r----\ l---V f r/ - .r 4
_1 1z
xz - x+2x-l
ztl Edaardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rt
xe [0,4> n <
para x24 *
reemplazando (
x(x-41-5 >(l-x
paraxtl,(x-
la solución par
La solución gen
lz- xl-x2 .,8x-19-,r2 |
-
A la inecuación
l2- xl-x2' , <l8x-lS-*z ¡
- -
lz- xl-xz <r8x-lS-rz ¡
-'
ahora aplicando
l"+:l ={[-x-:
Por lo tanto la solución general de la inecuación es: la unión de (ct), (0) V (y)
I ¿ <.;,. |;,ú. i.-,i ;Oi:u¡o; tr>, u:[2,+;;
Solucién
A la inecuación dada expresaremos en la forma.
l+*-*2 1-sro = lxllx-al-srot_J *z l- l* I
Aplicando la definición de valor absoluto:
I x si x>0 lx-4l*l=1[-x si x<0 La-"
Parax<0 + lxl=-x, l^-41=4*x
... (1)
\ /----\ +ST
si
x>4x<4
Reemplazando (2) en (t) se tiene: =fi*j>0 +
(x-5Xx+l)x*1
La solución para este caso se tiene: x e <--,0> n [5,+-> = q
Para 0<x<4 + l*l=x, Ix t4l=4*x
Reemplazando (3) en (1) se tiene:
x(4-x)-5 - 4x-x2_ 5 *'-4x+5l-x l-x ¡-l
comoVxeR, x2-4x+5>0 = *=0 =+x-1>0,x+1
entonces x > 1, por lo tanto la solución para este caso es:
...(2)
*2 -4*-5
-->uf+1
.".(g)
.." (3)
Sistema de Números Reales 275
xe [0,4> n <1,+*>
para x>4 * l"l=^, l^*41=^-4reemplazando (4) en (1) se t"iene:
x(x-4)-5 ^ -r2-.{x-51- x
.."(B)
...(4)
*2 -4*-5-->or*t
mediante el criterio de los puntos críticos se tiene:
u. -: -t.r- l-5
ñ ([-1,1> u [5,+-¡)
...(y)
l-x
parax* 1, (x - 5)(x+1Xx-1) >0, ahora
- - -tu- -; -\
la solución
-1 1
para este caso es: x e [4,+->
La solución general es la unión de (a), (F), V (y)
lz- xl-xz .n8x-lS-"2 ¡
- -
Solución
A la inecuación dada se puede expresar en la forma:
12-xl-xz I v-)l-r2' - .'" ¡ ^,
: l0 €3 |_j{-I- < 0 (propiedad del valor absoluto)8x-19 - x¿ I 8 x-l x' -91 "
lZ-*l-t <o (+ lx_21-x2 .n8x-19-x¿ | 8x-lx+3ll*-31- - ...(1)
ahora aplicando la definición de valor absoluto.
lx+31 ={-:.; J:; . t*-2t={;_:
"
:=:, r*-3rx>3x<3
276 Eduordo Espinoza Ramos Sistemq de Números tr
@ -323
Sí x<-3, = lx+31=-x-3, l*-21 =2-x,l^-31=3-x
Ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene:
^2z-x-x ^2z-x-x<0 =
...(2)
x e (<-*,-Q;'
para2<x<3
reemplazando
x-2- x?
8x - ("r + 3)(3 -
como x2 -x1
I-.--..->nx2 +8x-9 - "
dedonde xe.
La solución par
x e <--,-9> u
parax>3 =reemplazando (.
x-2- x2
8x-(x+3Xx-
como *2 *x+'.
1
__<0x'-8x-9
dedonde xe <
<08x - (-r- 3X3 - x)
o---.2__-__---_ " l0 <+8x+9-x'
(¡+2)(x-1) . O <á(x-9X¡+1)
8¡+(3+¡X3-x)
x2 +x-2 .o,2 -8*-g
(x + 2Xx- l)tx -9Xx + I ) < 0. x * -1,9
t,r- - I -\.rr -i -trr. -_- -tu-;
2-1 19de donde x e l-2,-1> u [1,9>
Lasoluciónparaelcasoenquex<-3 es: x e (l-2,-1> u [1,9>) o <-*,-3>=Q
para -3 < x<2 = lx+31="+3, lx-21=2-x, lx-31=:-x "'(3)
reemplazando (3) en (1) se tiene:
2- x- xz '>-.--2 .2*r-)<o = '-o-n.<o + ^- ^ '>o
8r-9+x' x'+8x-98x - (r+ 3X3 - x)
(¡+2Xx-l),O(x+9Xx-1)
\ r---\ r(x +2)(x+9)(x -1)z > 0, x + -9,1 +\/-v
-g -¿
dedonde xe (-e,-9)wl-2,1> U(1,+->
tr-a solución para este caso en que -3 < x < 2 es:
€+ (x + 2Xx - 1Xx + 9Xx - 1) > 0, parax + -9,1
Sistemu de Números Reales 277
x e (<-e,-9;' v l-2,1> LJ <1,+*¡ ¡ l-3,2>
,:. i ¿ F?,tr>:ú<l,z>
para2<x<3 r lx+3 l=x*3, l^-21=x-2, l"_31=3_xreemplazando (4) en (1) se tiene:
^)x- z- x-
...(o)
...(4)
8x-(x+3X3-¡)x-2- x? <o8r-9+x2
x2 - x+2+ _>t)x2 +8x-9- -
<0 =+
como "2 -x+2>0
1_;_>0 +x" +8x-9
1VxeR = -;---->0x' +8x -9
1
;--^; ^>0 =+ (x+9)(x-1)>0, x+_9,1(r+9Xx-l)
- l-\.,- -- -\ +
-9
de donde x e (-*,9) U (1,+-¡
La solución para este caso en que 2 < x < 3 es:
* . q--,-9) rJ (1,+-¡ ^ 12,3> = 12,3>
parax>3 + lx+31=x+3, lx-21=x_ 2, lx-31=¡-3reemplazando (5) en (1) se tiene:
x-2- x2
8x-(x+3)(r-3)<o = l-';*' ,o =) x2-x+2.0
8x-xr +9 x2 -8*-g - -
...(p)
... (s)
- ,-\ /--- -\ r;-T \/ - r/
-1 9
como "2 -x+2>0, Vx = "--1--<0x'-8x-9
I-;--^- <0 <+ (x-9)(x+l)10, x+9,-1x'-8x-9
dedonde xe <1,9>
278 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R,
x;1-llx'+41
Aplicando la pr
x2 +4>0 L
lxz ++l = *' +
X X-.--;-x'+4 xt +x
.1>_J
xllxl-tl-t2 _
I x +21+t
xllx-l l-rz _ I--;-------¿ j
lx+21+t
además como iII
xll xl -tl -tz >.I x+21+l
"tllxl-ll-tz, .----:------21I x +21+t
lx+21+t
La solución para este caso es: x e <-1,9> n [3,+*¡ = [3,9>
la solución es: x € [-2,1> v <1,2> w [2,3> v 13,9>
.'. x e [-2,1> r-¡ <1,9>
...(y)
l#l <4x+3
lf!i <4x+3x+l
3(x>--4
.,'(x>--4
<+ (x>-14
(+ (x>-14
^)puesto que 2x'+4x+3 >0
Solución
v +'lA -4x -3 ¡+1
A r-!'o ,r *f,o,
(4x-3.+ A #.4x+3))
1"*?*4"*3tg A a"*3-"*?tg¡.)
2x¿ +4x+3 - x(2x+3\(_>0 A >u))x+ I x*l
(+ (4x+3 > 0
r---314
¡---+-314
3-r €< --.+@ >
4'
// .,--- ---\/--1¡--17---A(.--é----rn. é,.,,, I b*,,>
\ -1 -stz -1 o
-3/2 -'1
o------o
A <0,+->=<0,+*>
Sistema de Números Reales279
¡ "r-3lxt -r+i ,r.2 +x+4
Solgción
Aplicando la propiedad: V x e R, ,2 > 0 de donde
x2 +4>0 Iy x2 + x+4> 0, entonces
I xz + 4l = ,' + 4 luego reempl azando se tiene:
x 'x-3--;-- . > -------:- €) x(xz + x+ 4) > (x-3)(x2 + 4)x'+4 x'+x+4
Solución
.@F-lF *'-lx{|*r +ve-x )o, entonces
xl I xl -l l-12 _ | | I -"rl-31-Ifitrr l*{i;i>o A e-x>o
xllx-tl-t2o lll-"1-:ll;¡+r '¡:ffi A e-x>o
llr-*l-31_ ^-;----t-i--- ¿ U, ent0nCes:lx-ll+4
'llt-ll-llro ^ x<e dedondeI x-ll+4
>0 A x(9 como lx+Zl+1>0
además como
xll xl-11-t2I x+21+1
xll xl-tl-tzI x+ 2l+t
(+ *3 + *2 +4x> 12 -3*2 +4x-12
(+ *z>-3 =+ VxeR
+Js;>o
entonces
^l4ltl-l-tz I lt -r ¡-¡lx+21+t lx-tl+a
280 Eduurdo Espinoza Ramos Sistemu de Números Reu,
I i-1.-Y+l
r*r.1 - l"l
l"+l - Ñlt
lx + 1l< lx I par
2x+I<0, x*-
l¿lt'-2éjx+3 x+
Completando cui
,l#l-t)"t
t.1l-
t'lrx' +,
xlx-11-r2>o A x<9 ...(1)
f x. x>0Pordefinición: Irl=l enlonces
l.-x, x < 0
six<0 + xl-x-11-12>0 = xlx+11-12>0
I x+l , x2-lcomo lx+ll=1 '- ^ + xe (--,0)-q-*,-l¡u[-1,0>
|.-*-l . x<-1
sixe <--,-1> + lx+ 1 l=-x- 1 como
xlx+11-tZ>O = -x2-x-12>0 =+ x2+x+L2<0
= I x € R, tal que "2
+ x+I2< 0; por 1o tanto Q
si xe [-1,0>+ lx+11=*+l =+ x(x+l)-12 >0
,2 +*-12>0 = (x+4Xx-3)>0- l-\,r- --- -t.r- *
Luego xe [-1,0>A<--,-4]U[3,+-)= Q
Ahorasi x>0 = xlx-11-12>0 A x<9
=+ x(x-I)-12> 0 Ax<9
+ xz -x-12>0 A x<9 +
-4
- l-\,r- -_- -trr- -*
(x-4Xx+3) )0 Ax<9
--¡--*##+t-IA
-34
xe <--,-3]u[4,+-¡ n x<9
xe <-*,-3lu[4,9]
.'. como x>0 nxe (<-*,-31 u[4'9])
Sistema de Números Reales 28t
i
I
I I l< l--j-l'.r+l' '.r/+1r+1'
l-l-t < ¡-- r ¡x+I x- +2x+I
I lxl;-(--* Dara.lx+1 lx+l l'
,l#l-t¡2 >t c+
Soluciéq
I lxllx+11 l.r+112
t-_lx+-l = la'l'1, dedonde
lx+11
lx+ 1l<lil para x+-1 = x2 +2x+1<x2, x+-I
2x+l<0, x* -1 + x<-L, **-t
lill, -2¡"1¡ 'ox+J x+3
Completando cuadrados se tiene:
Solución
l#l'-2 #l+1>1 dedonde
" l+l-r.-r-r+J
, x+l,v | ^l<0-x+J
| "*l l-rtt'x+3'
¡.11¡,zx+3
gJlt,z
*j] -22gx+3
"*5.ox+3
= ,+l ,zx+3
*+1.-zx+3
*+l +z.ox+3
3x+7_<(.)x+3
282 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R
@ Il-¡ll >o
¡l--j- 11 = r
2.,1x -1
o<-+-<2'l x -l
la expresión es
zJx*l = ,
Por lo tanto an
.1sr "T>- ento4
1sr 0(x<-4
[l-xl]>0 =+
como -x)1=
tl-" ll < o
[l-xl]<0 <+
-;-\\.r-_--\ /-;- ,
-l-\ur-_ rur_---s -3 -3 -713
ll5-3" ll = z
Solución
tl5-3" ll = z (+ z<5-3* .3xx
2a5-3x<3 <+ 2a5-3x A 5-3x.,xx
<+ z-5*3* <o A 5-3"-3.0xx
5x-5 - 6x-5 ^e <0 A _>u
---\ r---\ t--.-- - . -\ r---\ t--.-'*'v'-'v'*U+'v-'v'+01
xe< 0,ll n .Í€< --,0 > ,.1,*- t
0 5/6
ost6 1
o--- ----a
Lasolución*' mtl-+- ll = 0
2^l x -L
Sistemu de Números Reales 283
i
I
ll-+-ll=0.= o<24x-l
o<-j-<t c+ o<-j- A --j-<l2J x -l Z'lx *t 2J x -l
la expresión esta definida para ZJi -l* 0 , x > 0
zJl*t+4x*t* *+!4
Por lo tanto analizaremos en: ¡0,1t r.1,** t
$olución
-<r1
44
entonces en (1) se tiene: x > 0 A
x
¿!x-
...(1)
.1sl -r>-4
¡>0
x>0
Solugió¡
c+ -x)1
x e <-*,-1]
x <zJi -t
x-ZJx+t<0
(Ji-t)z<o =xeO
x<0 A (J"-t)'>O
.'. x=0
A
A
si o<x<1 + x<o A x>zJi-t =4
+ x(0 A x>0
tl-¡ ll > o
ll-" ll > s =+ il-r ll > I
como -x>1 = x<-1 9
ll-" ll < o
Solucién
ll -"ll<0 <.+ -x<0+x>0=xe<0,+->
Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R,
¡l xz -zx-zl1
ll xz -zx-zll
o< xz -2x-3
-l-tu'-1
" .otl-x ll
=-l--.0 €tl-x ll
(+
(t
e
x+lxl ¿.
->¿
l" l-tl" ll
Se conoce que
[l2x-t 11 = -3
[lzx-tl]= -z
Solución
-332x-7<-2
-2<2x<-l
I-l(x<-, :+ xe[-1.
2
€
13
I2
tlJi+t11=-1 (+ -t<J¡+1<0. LasolttciónesQ puestoque
ll*2 -z*-t11:L
tlJi+t 11= -1Solución
como Le z =2
tlJ"- tl" ll ll = o
Solución
no tiene solución.
Solución
tl.[1¡"¡ ¡1=6 <+ o<J"-1¡¡ <t
<e 0<x-[lxl]<1
<r tl"ll< *<llrll+1, Vxe R
ll,{2 ll < 15
Solución
tl"r2 ll<15 :+ tlrt ll<16 + *2'<16 = -4<x<4
Jx+1>0
Sistema de Números Reales 285
[lx2-zx-:11=6
llx? -zx-zl1=g
o< x2 -zx-3<l
Salución
é+ 0 < x2 -zx-3 <l
(+ a< x2 -2x-3 Iy x2 -2x-3<l
<+ (x-3)(x+1)>0 A (x-l)z <5
- *-\rr-----\rr-a-- A -G+tcx<.6+1-1 3
é ¡e< --,-11 u [3,+- > rr r€< t-l6,1+.6 >
1-\6 -1 s r*G
<+
{+
C+
x+lxll'l-tl" ll
Se conoce que
(x>o
(x>o
Solución
,r tl-"ll<o) v (x<0 A tl-¡ll>0)
A x>0) V (x<0 A xl-l)
V x<-1)
Solución
x>0¡<0r'F{ "'
[--r, ,
" .otl-" ll
t a0 e lx>otl-x ll
286 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Ret
[l"rtlx 1111 = ¡
Se conoce que I
Esdecir xe Z
Luego: tl"tlx I
[l"t l]=" -
por lo tanto [lx[
tll¡l+lll<2
Aplicando la prop
tlf xl+rll<z +
como [ll"ll]<r
rt3{tr<:JX-¿
Aplicando la propi
ilffiu=: +
3x + I- 4(3x - 2)
3x-2
-9x +9 <0 =3x-2
six>.g + -3:-=<2 <s -{_ <r
x- ll .r- ll ¡ -ll x !l
_{__r<o =) x-¡+[lxll<0 =+ __Ll
.J_i_r0
*-[l"li --" x-tl¡l] ¡-ilxll
liijL<0 <+ ttlxll>0 A x-llrll<0) v (ti^ll<0 \ r-llrll¿r;rx-[l
" l]
<+ (il¡ll>0 A x<tl"ll) v (tl¡ll<6 n [l"l]>')
€ (x)0 A xeZ[ ) \t (¡<1 A xe R)
l
<+ (xeZ[) V (x<1)
<+ x e <--,1>
ii) Six<0, xeZ- = lxl--x
o <2 = O<2 = x<0, xeZ--¡-tl¡ ll
.'.xe Z- u<0,1>
Demosrrar que v x e R: Ir E i/tl*3 ll
.'. xe <0,+-> n (<--,1>)=<0,1>
.'.xe Z-
SolucióJ
Porpropiedad: V x e R, tltll <x<[lxl]+1
Sixe R = ¡3eR,
LuegoV ¡3e R: tl"'ll<"3<¡¡"3¡1+t + [1"'l]<"'
además VxeR: x<lxl= tt'lttl
Luego(2)en(1)setiene: Vxe R, tl"3 il<"t'lr¡3. =
tm< l"l = l*l> Vrl'n F-". -l
(1)
(2)
ll'3 ll < l'l'
Sistema de Números Reales 287
Esdecir xeZ + [l"l]= xeZ = xllxlleZ
Luego: tl"tlx ll ll = " =+ [l r.x 11 = ¡
[l "'l]=".+ *2=* +x(x-l)=0 =+x=0,x-
[l xfl x 11 11 =,¿
Se conoce que [l x l] e Z
Solución
entonces como [l ril¡ l] ll = xe Z
<x<l
Solución
=) x<a+1
3x+1
-__4<03x-2
-1
3x+I-4(3x-2) 3x+I-12x+8<0+ <0JX-Z
-9x +9 <0=3x-2
x-L
->0.3x -2
3x-2
aplicando el criterio de los puntos críticos.
por lo ranro tl¡tl¡ ll lt = ' + liFF',:Kl
tl lx l+1ll < z
Solución
Aplicando la propiedad llx+ nll = ¿+[l xl], n e Z
ll lxl+tll<z * tll;lll+r <2 + Ill"lll<l
como [llrll]<t = l*l<l +
rtfin=z
Aplicando la propiedad Il" ll < o
ilStr=: :+ ffi.+ *
288 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rt
rrrf n-
Calculando los
x-l_>0 Ax
ahora calcularer
ll,+.
+
como ¡2 -x+l
Por lo tanto la sol
log,,, (2x + 5) < -
Aplicando la prop
log, r, (2:r + 5) < -
2x+5>9 + Zx
logr(3-rr+2)-log
\ /----\ +
Como la inecuación es
¡lxz -zx-zl1<tlSqlqcrq!
Porlapropiedad: si tl"ll< a á x<a
¡lx2 -zx-2ll<13 = *2 -2*-2<13 = x? -2x+r<16
(r-l)2<16 =+ -4<x-l<4 * -3<x<5
2llx+rll'? -1Ulx l1< -aSolucién
Como [l r+1 l] =ilxll+1 entonces: Z(ti.rll+t)2 -11t|¡ll s-4 desanollando
2ll*ll7 +allxll+2-l ltl:r ll < -4---\ r---\ r-+\/-
2llrfi2-7tlrll+6s0 + (ztlxll-3Xtlxll-z)<o
x-l*i' 0, entonces la solución es:
como (2[lrl]-3xtl xll_ z) (0 entonces: tlxlle f],zl -
)213
)x€<-x.-)\J(I.*rc)
l
+
3/2
ll xll= 2
2
= 2<x<3
tlzx-l"lll="Solución
Se sabe por propiedad que si Llalle Z lt flall= 6
Luegocomo [l2x-lxll1=¡ + x€ Z + 2x-l
Dedondel*l=* = xeZI
¿ aeZ
xl=x
Sistema de Números Reales 289
r lllI tl^ lj_./a:,1 .J,¿^ vx
Soh¡ción
calculando los valores de x en donde la expresión esta definida, es decir:
x-l
->0 A x>0 dedondex€ll,+->
x
I
ahora calcularemos [l -1- l] cuando x e [1,+->"2x
como x € [,+-¡
1rt)<_<_2xz
Irin-uEt .G = t.-\Ft .Ji = uE.c;¡ r-como {i-1.Ji = +.x + x2-¡+i>o
= x)l = 2x>2 invirtiendo
Il*n=0, por lo tanto:
como x2-r+1>0, VxE R entonces para x e [1,+-¡, xz -x+l>O
Por lo tanto la solución es:
@ bg,,r(2x+5)<-2Soluciéu
Aplicandolapropiedad: logox<b sí 0<acl e x>ab
logr,r(Zx+5) < -2 e 2x+5 > 1!'¡*zJ
2x+5> 9 = 2x>4 + x>2 =rl x;2+*;l
@ bgr(3x+2)_ togrl-2x)>2
290 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números l
Solución
logox>b,a>l a *>ob L*>0
(x-4)(x-1,
x e <--,1> L
log2(3x+ 2) -logr(1-2x) > 2 =á lon.(3"+2) t 2e¿ 1 ^-
-.L- Z.\
A 3x+2 rrzl-2x
3x +2A _-4>0l-2x
llx -2A --<02x-I
7, - t'llos"l_) >'2 e"' l-2x'
3x+2_>oI-2x
3x+2_<02x*l
3x +2
-<(,2x-I
. .x+3rog"(-) >x-l
La variable x r
---\ r---\ t--.--*rr-\/f
- *-\,,--_--t,r-;-Como x>1a
x+3-_>r +x-l
*2 -2*-3--..-.-<0x-I
x e <--,-1> LJ
La solución es:
Hallar el menor
x-9 3
x-6 x-6
-4<x-
213 112
21 2l.re< --.- > r\ ,\'€< -.- >32 ll 2
logr15(2xz -3x+5) < logr¡s (xz +2x+I)
Solución
log, P(.r) <log" QQ) <=+ P(x) > Q(x) A
logr,r(2x2 -3x+5) < logy¡ Qz +2x+1),
2111 1/2
(P(x) >0 A Q(x)>0), 0<a< 1
0.1. t5
2x2 -x+5> *2 +2x+1 ,/Y
x2-5x+4>0 A x*-1
(2xz _3x+5>0 /t xz +2x+l>0)
iá;¿ts<,.;,.!
',,,., t , ?)c
Sístemu de Números Reales 291
(x-4Xx-1)>0 n x*-l
xe <--,1>u<4,+-> xÉ-l
-;-tut -- -tu-; -
- .x+3log"(-) > Ix-l
La variable x debe cumplir
------o
Solución
¡>o ^
x+3x-l >0
-3
Como x > 1 aplicamos la propiedad: log-(1*) > I :+ **1 , *, =," x-l x-l
x+3
-_)-f =9x-l
*2 -z*-3_<0x-l
x-9 3
x-6 x-6
x+3__f>0x-1
(¡ - 3Xx+ l)+ -' '<0x-l
x+3- x2 + x:+ ..-.->0x-l
*E 4_o,_l)u<1,3>
La solución es: x e <1,+-> ñ (<--,-l> u <1,3>)
Hallar el menor de los números M tales que: l*-71 =
u'x-6'
---\ r-- -\ r---\ r---V+V-rr*
-1 13
, síx e [2,5]
Solucién
como xe[2,5] = 2<x<5
-4<x-6<-l + -1< I <-1.u-6 4
292 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Rc
7-(¡-2
2
7-)l--<7
llI
de donde I m=I r.
-
13.41. EJERCTCm
Hallar los valon
l2x+31+4=5
l3x-1j¡=2x+
I x2 t _l*t-tI ------: Ir-l x+4
,x 4tt_t------:t --x-l x
(x-4)z -21*-
l2x+91=*-l
lxz -3x-7 1 =3
,x+8,l-- . | =3x+4
l3x+11=7.-,x-
@
@
@
@
@
@
@
l s¡I2¡< z = [r'l=7|4 'x-6'
Hallar el mayor número M de tal rnanera que:
l=-1=t=4 x-6
f +t< *-9 <z4 x-6
6 x2 +6x+14 30
35- x3 +2.1 - 19
lx2 +6x+14l., *x'+27
Solución
x2+6x+14=(r+3)2+5 entonces: si xe [-2,2] = -2<x<2
1<x+3<5 = 1<(x+3)2<25 dedonde 6<(x+3)2+5<30
61 xz +6¡+14<30
comoxet-2,21 =-2<x<2 = -8<¡3<8
19<x3+27<35 :+ t n =t = 1
35- *s +27 "
19
de (1) y (2) se tiene:
lx2j6x+61,6 * DJlx3+27 -3s 'l'- ¡sl
Hallar el número mayor de m y el número M tal
vt1
*<^''<Mr+3
Solución
-l')
A la exoresión ^ ' ' escribiremos en la forma:x+J
11como xe []-ll + :<x<l sumando3-2"
2
que para todo ".¡!,11
x+2 1
x+3 x+3
sl x€ l-2,21
... (1)
... (2)
se cumple:
Sistema de Números Resles 293
!=r*3<4, invirtiendo i.*<?, multiplicandopor - 1
-3 = ---1-. -1 sumando I7x+34
,-?rr-J=<r-1 enronces 1='*2.27 x+3 4 -----" 7 - x+3- 4
de donde
3.41;,.EJERCICmS', ios.-Hallar los valores de x que satisf'acen a las siguientes ecuaciones.
o@
@
@
o@
@
l2x+31+4=5x
l:x-t l=2x+5
, *2 , lx2-tol'r-t' - x+4
lr t-4t------:t ---{-l x
(x-4)2 -2lx-41-ts=o
lZx+91=*-1
t 2 ^ -tlx -J"t- / l=J
l"*81=3'x+4'
l3x+1l|=7-x.
Rpta. x = Z
Rpta. 1-1,61
LRpta. {-}
Rpta. {2,-2+zJ)}
Rpta. {-i,9}
Rpta. Q
Rpta. {-1,-2,4,5}
Rpta. i-5,-2)
npta. t-+,])
294 Eduurdo Espinoza Ramos Sistema de Números R,
@
@
@
@
@@@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
l4-8xl=l^-l2x+1ll
l:x-Si+x-7=0
lSx-:l=l3x+51
lzx-sl=la-sxl
l6x+31=118+xl
l:x-tl=l5x-1sl
l5x+31=3x-1
llr' -t l-r l = "
lzx-tl+2=lx-61
l3x-11-lx+21=l
lr-al' -5lx-41+6=o
2lxz -zl+5=6lzxz -zl
l6x+31=118+xl
3llr+1l-412 -s llx+11 -41=z
ll*l-31=l3x+21
ll x+2 l-11' -s ll x+2 l-l | -6 =0
lzx-zl-1=lx-31
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
R.pta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
,5 l,'7'a'
{-1,3}
1
{-;'4}
, 2 10,,-1, 7'
{ -3,3 }
{2,7}
0
{L-t+Jz, i*.u6}
{-1,+}J
I,-t.t,
{1,2,6,7 |
txJl, xzi
{ -3,3 }
{-1,-3,1,5}
5lr-;,;j+4
{ -e,s l
'7
{-1.;}J
2 - 5.r+15 |
lx+11+2lx
3lx+1
zll x-sl-1212
Hallar el valor r
lt2+sxl-lt2x
ll x+tol-l5x2x
l9x+8| -l2x-x
l2x+3|l-13- x
x
l6x+41+zl2-12x
lsrl1l:lt5x
lax+11-l x-1|
l7 x+21-l3x+'.x
3l3x-8l- l3¡+2x
@
@
@
@il.
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Sistema de Números Reales 295
@
@
l"ls
l:
llx2 - S"r-+15l-x? +8l= 3"19
lx+ 1l+Zlx*zl=lx-81
3 lx + 1 l- 2 l* -21=2x* t
2ll x -sl-rzl7 -tt ll x*s | -z | +rz = o
Hallar el vaior de las siguientes expresiones:
ll2+5xl-ltz-+xlx
l7x+101-lsx-t0l
Rpta. 11,16¡
*n*. r-j,fr
Rpta.
Rpta. {3,7}
Q,,t
2x
lex+81-l2x*81x
l2x+31-l:-"1x
l6x+ +l+zlz-3xl12x
l6x+32 | -a I B-x I
5¡
l4x+tl-1"-tl
l7 x+21-l3x+21x
3l3x-8l-l3x+241
sí x e <0,1>
sí x e <0,1>
sí x e <1,2>
Rpta. 9
Rpta. 6
Rpta. 11
Rpta. 3
Rpta. i
Rpta. 2
Rpta. 5
Rpta. 4
Rpta. -6
si xe
st x€
<2,31
<-3;2>
sí x e <0,1>
sí x e <0,3>
si x e <-5,-4>2x
296 Edaardo Espinoza Ramos Sistema de Números Re¿
@
III.
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
l5x + 4l -la+ axlx
Resolver cada una de las siguientes inecuaciones.
* t')l^''l<q'2x-3'
, 6-5x, . 1
' 3+*'- 2
I
l4+:| <sx
, 8,lx+-l <óx
>LJ(2,+->
Rpta. <--,j)LJ(1,+->
Rpta. [-4,-2] w [2,a]
Rpta. [-5,-1]
Rpta. < +,+,
Rpta. t-3 - zJr,-3 + zJilr¿ p - zJt S + zJrJ
Rpta. 1
Rpta.
Rpta.
10< -@,--
9
Rpta. < - 1,
Rota. < -l-^2
-1>tr "1,-?,
-1>t-r <-1,-1,
,6x-4, , l¡--=--l >-' --i+.r.'-2
,2r -5 .l-;--l>l4-x
r-r+3, It_t >6-2x' 2
,3x2 -1 .l_l>_6x-2
l*'-+l <-zx+,
, r+3,l--- ^ I <5-x
Y+.,
l3x -tl +zx_,_5>0lx+1f -3x
lx-21<2x
lzx -tl+ 2x_____:.- > olx+tl- 3x -"
f3x-9lcx+1
lx-21.x+3'x+4' x-6
lx2 +3xl+xz - 2>
tx+3, 3l>_'x+16' x-4
l4x2 -8x+4 <q,
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
q5r;,;r
t\$!t=z
¡s-1¡ <rx
¡"+!¡ <ox
1T21.+'¿+ x
l*+31<r' 6-3*' - -
| 2*,r rsr+l
.x-1.l_l>l
x
4-14- xl <oI xl+4
Rpta. < --,0 ) u. O,1t
Rpta. <-1,01
Sistema de Números Reales297
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
,6x-4, 1t_--t>_-)+.T '¿
,2x-5.t_.-.l)r4-x
, x+3 1t_t>_'6-2x'- 2
.2, Jr -t .l-- ^ l>-6x-¿
l*' -41 <-2x+4
| "*3 | <5-x'x+2'
l3x -tl +zx.----:- > 0I x +ll -3x
lx - 2l<2x
l3x-ll+ 2x - ^> ttlx+ll- 3x
l3x-9lcx+1
l*-2 l. x*3'x+4t x-6
lxz +3xl+x2 -z>o
,x+3, 3t_t>_'x+16' x-4
l4xz -8x+41 < 4x+10
Rpta. < *rc.-l t r..-3,11 U 1.* >l-J
Rpta. <-*,11 u [3,4> Lr <4. _>
Rpta. [0,3> u <3. ->
RPta. <--,2) U (2, *>
Rpta. <-4,0>
Rpta. < -*,22-Ji >v<-Z,I+2J, >
Rpta. < --,
Rpta.
1
-t
,,
li.- t
Rpta. < -*,1t3
Rpta. <2,5>
Rpta. <6, *>
Rpta. <--.-3lrtf, €>. 3' '2
Rpta. <--,4¡
npt". ¡1:@.3*'fis t22
298 Eduardo Espinoza Ramos
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Sistemu de Números R
Demostrar que
tlt'+ztlt:
llxl+zl<l*t
I x-zl2 -tl x
Ix-112 +21x-
lx-zl2 -zlx
l"l'*l.l .t2<lxlz +lxl
l"'-tl'-l*'
l r-3lt -3]r *-
l*-Il' + 5l"r
2lx+tl-31,
l*-lltl^l-
l^-31+2lxl
x2 +2lx+3l-
l2x -5|¡-l *-t
@
@
@
@
@
@
@
lx+51>2x-3
a) l?x-tl+t.o!ax - ¿x- 3
b) l+x-: l>x+2
l*t -+l>-2x+4
l2x+Il>Z+x
l4x+31>x+2
l3x+81>Sx-:
Demostrar que:
Rpta. <--,8>
Rpta. <-1,3>
1
Rpta. < -*.; > .J < 5.* >)
Rpta. <--"-4> u <0,2> t) <2, *>
Rpta. <-*,-1lu [1, ->
Rpta. < --,-1 t .r. -1, - t
1lRofa- < ---rl
5
Sí lx -31< I = 2. x+5 .!5x+I3
Sí lx l< 1 = é!)l .z
sí lx-21<1 + l*' -41<5
Sílx-41<1 = 1. I .la*')L A_L
sí lxl<r - tfi*)Sí lx-51<l * 1.J-.1
3 x-3
I ..1.ttx-a+2b 5
b)
d)
f)
h)
i)
r)
Sí
Sí
Sí
Sí
a)
c)
e)
c)
lllSí lx l< 3 --.-- >x-'7 4 10
lxl<2 = l"-31.5'x+4' 2
-r(lx-31<l = li--'l<7'x-l
lxl<3 = l*-31.3'x-4' 4
lx-31<t = f . I .18 x+4 6
k) Sí lx-21
Sabiendo que:
-olr- -a1 allx-21I<- :á
2
b >0 y l^-ul<2b probarque:
Sistema de Números Reales 299
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Demostrar que si x, a e <--,-11U [], -> entonces: I1-1 l<lr-olxa
tlt'*ztlt
llxl+21< l"r
l r-21' -31x-21- 4 < 0
l*-rl'+2lx*t l-3<0
l"-zl' -21*-21-1s>0
l"l'*l'l .l:
2<lxlz +lxl
l"'-rl'-l*' -tl-3<o
l*-31'-3lx-31-18>o
l*-Il' + 5lx-11-36>0
2lx+ t l-3 1 " -21+lx*5 l >x + 2
l*-11>l*l-2
l*-31+2lxl<5
xz +21"r+3l*10 < 0
lzx-sl-l*-21+lxlz >7
Rpta. -1lx<1
Rpta. <--,-21 u [2, * >
Rpta. <-2,6>
Rpta. <0,2>
Rpta. <-3,7>
Rnta. < -1.1t- 2'2
Rpta. <--,-11 u [1, ->
npt". ¡L@,'*-frt22
Rpta. <-*,-3) u <9, -¡
Rpta. <--,-3) rJ <5,+*>
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
< --,-5 t,, U,{f
R
._?.2,J
tr - Jr7,-r +.61
.*,-..6l v[2J],+*>
<Z4
,l
300 Edaardo Espinoza Ramos
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Sistema de Números Re¿
3s ¿"l2x-31 ';t +,
lxlt;61 ';
I x2 -zx-+alt I
lx-
l*l-11+lxl- x
r*t>t*t
l*l > lr+31
x+l I-_lx2+ll-x
lx2 -rc. - *2x+4 -1"-ll
l2x2 +t}xl-]4¡- < 3"r
x+4 x_.,
lx" +4x+41 *, +
I
ll"ll¡ > x-t
lx-x2l-z
@@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
*2 -13*+21+x20
l3x-2l<lx+6|
I x+21 .l *l'
l3x2 -2x+l l t 3l"t +x-71
Rpta. <--,-1) r-t <2,+*>
t+J+sl r-J48r>\J<_Rpta. < -*,22_>-5
l^-11+lx+11<4
l2xz - +i,x - 6l > l2*2 _3x -9 |
lx+6ltl^+91+lx-21
l4x+21>l^-11+3lx+11
l3x3 -2x2 -ix-21 t l"t +6.x2 -9x-r4l
llo-3x+xz lsl*'+x-61
l2x2 +x*Il<12*2 -r-ll
l*-61-l*-31<1"-11
(l¡-11 +lx-2lXl1-xl-lr-21) < "'-u.1 2t_t<_'6-3¡' - lx+31
. x x+12l--l< '- Rpta.x-3 +
2x+l< 3
I x+21
t2
<-2,2>
5. --.il
0
-t + Jl-lI z '-t
Rpta. <--,-2> t-¡ <3, *>
RPta. [4, *>
Rpta. < --.-+ > u. o.] tJ2 J2
Rpta. < *.-zlu ¡!.a- ¡
Rpta. <-*,-ll t-r [3, -¡
Rnta. < --. 15 -lúo r ., t25.36t' 7 3-5 '7 35
3Jx' 6l.r>u<3,4j<-*,- 2luL-T
Rpta. < -*.-)t ,. -2. -5 *-6 t
I2
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Sistema de Números Reales301
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
-t\
l2x-31- xz +x+t
tx1lr-krlt;
2-12- xl -x__*<0lx-x'l-2
l"l ,1l+lxl-x
t*t>t*t
l*l > lx+31
x+l 1
lx2+ll -x
l¡2-tol . *,x+4 -1"-ll
l2x2 +I}xl _ ------------- S J-tlaxl
x+4 x-2lxz +4x+41- x2 +4
1
llxld > x-t
Rpta. <0,1>
Rpta. < -x.4t, t1,l ) Lr < l,+- ¡)
Rpta. [1,+*>
Rpta. R- {-2}
Rpta. < -*.Jt >
nPt"' ¡!'s'/13, -t';t*,
Rpta. < *,-l > u < -l,o, ,. .6-1,1 > u < 1,+* ¡
Rpta. {-6} u <-4,-31 u [4, -¡
Rpta. <2, *>
Rpta. <--,0>u¡!1{,-,
Rpta. t-l-G.f t, t -2 < -.-t+V6 > rJ < 2,- >
Rpra. t-l - J7,-Gl ulr +.,F,2 > vlJ6,+- >
I x-21-6
Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R,
(lxl+DQ xl-til x2 -r 3 ! -4x)
@ r*fr.;@ tllr ,,@ c.,-,q-¡
@ tfft,.@ a:,-r**u.
@ (xl- D(2x+ rXl¡
@ l6x2 +ex-31<l2x
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@ (!,-2!+lx_.3!)(12
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@ I*-al+l2x+s!--1":11_i-- < 2
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l4x2 -gl > ol2x +sl - "
lx+11-21"1+3lx-21<6
3-lx2 -+xl.nlx-51+x2 --
3l2x+6¡-¡x+l¡ <ox
l*'-\u ¡+8GJa) <ox-J 9-x'
I -"-1 l< l-l-lx" -4x+8 x-l
, x+2, 1> l-----:lx x-¿
2-lz- xl-x , nl*'-*l-2 -"
lxl3 -qxz +zo , olxl+l
lox-x2 l-+ -> -l+-l *l
(lx+21+lx-z lXll-x l- l2-" l) >
l"-1 l-l*l*lzx-3 l>x+2
Rpta. V xe R*1-l¡
Rpta. < -*,2- Jil u tr,3l v 12+ Ji ,+* >
Rpta" < --,-31 r f-l-ff ,.9,Ít@1
Rnta. < 1.ll t' 4'2
Rpta. [-4,-3> u <3,5]
Rpta. < --,lt- t'l
Rpta. t-J2,Jzl-tol
Rpta. <-*,-1> w <-I,2>
Rpta. <--,-4lw [-2,2] u [4,+*¡
Rpta. <-4,0> u <0,4> w <5,"7>
*2 -6 Rpta. t-1,31
Rpta. <--,3tu<6,+->5
(Jir{l{-Js-l"--¿lltJ'-rl-:+S-1"-a]l < l"l-6 Rpta. Í4l1
Sistema de Números Reales303
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i
(,rl_r.zl,L! -r)J 12 +4 , ,,. r .- "'qii--r-3I-4_r;Vx-+5
R¡rÍa. <-*.-21 u <1,21 r--l <3,+*>
1
Rpta. q -:^
1
2
Rpta. <-3,5> - {0J
Rpta. < *,lt-el
Rpta. <-3,0> t-¡ <0,5>
Rpta. [-1,-J]rtt,*- '
Rpta. < -1 -1t..r. ?.f t2 4 52
Rpta. ,s > -{3}
Rpta. [-3,-l] u [1,3]
Rpta. g
R.pta. <--,41- {-21
Rpta. < -*,)2r.2,*- t2
Rpta. <0,2>
7
J
(lx | - txzx + lXlx l+ 3) >0
| 6xz + 9 x -3 l<l 2r2 - 9 x + 2 |
lr'-sl'*l*t - sl<12
(l*-21+ lx-.31)(12- rl- l3-" l) >l"t -r I
I x2 - 21+,' ' <3x+2
I *-61-x+lx+21-----_-(-1
x*2
l*-al+l2x+31 , ^
-:Z
lx-11-1
Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números R
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jx+51 -4x+l .
-
I x2 +2i
lx+21-x2' zf
fx+51+8 -"
l3x+zltff +,
-x2 +6x-3
l*-21' _
lx'+41 *(x+
-zl*,l+lrz _.
-
a-r _)r+ó
x2 +3-lx2 -zx
-
ls-x2 l_tt
,. ¡2+l¡l-3l+ l"r I
lx-31+7-x-l;31-t>o
lxlffi='-t
1
mlll >2x+1
l'-l'l L,x-3
l"t-tl+2x+lxlflxr +t j+3
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lr-51+ l:r+11x-1
lx-81-x+lx+al,"-._--<-f -"t1ATL
l¡l-3 2-lrli_____Ls-lxl-l-rl+1
l"-11-l*l*l2x-31>x+2
Rpta. <--,1> u [3,+-¡<3
jRpta. < -*.-2 > (J < l.+- >
2
(J r{ I -: -&t'-+ tttJi "-r I -: +J5- h-4 l) < x-6
\,ll - -2|1-GI;r¡ t,[ r -2|4+ Jo-tr-: | ) < | x-2 | -5
x x--J -
---->o
lxz +41 xz +x+4
Rpta. < *-,-3lrlltr*Jrzl,: > Ult:+ Jn ).+*,
@+.6-*>o! lx-21+s lx+l l+2
14- xl+l2x+31 .,lx-tl-t
t< r <zl" l-1
lxz +2x+31+lx2-tl <e
Rpta. < -5,
Rpta. [4,9]
l12 +21(x2 +x-12)
lxz +x+ll
*2 *3*+lx-11+a
I x-Il+xz +l}x+21
-3r,t9.r'55
Rpta" [4,7]
Rpta. [-3,-2]u [6,9]
<0
<0
xz +3-l15+2x_ x2 |'- - t'- --- '- l zñ
l r'-9 1 -8
J"L,= '"- . (0
lx' +n l 1x'-5x+6t
(x2 _gl(x2 + x+7) > o
lx2+91+3
t 2 ill* -tl .l(x -2)(x- 4)
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Sistema de l{úmeros Reales
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ix+51 -4x+lx-21_-_-.----- , \ l)
l.u' +2 j
¡ ^' )t¡ I ¿t-.{;_i-_ < 0lx+51+8
. /_--l3x+2ltlx¿ +S
--;_-_.."---- > 0
-x'+6x-3
l--ot2 2l^ 4l ¿' xlx' + 4l x(x+2)+2(x+3)
-2lr'l+lx2 -xl+1__=___=;l-:rJ'
x'-5x+6
x2 +3- lx2 -zx-tsll9-x2 l-sx
,.xz+lxl-31+lxl
lx-31+7-x_-+_)oI x+31-2
lxl' ' ( r-lIl*l-ql- "
I;:--;----- > 2X +1llx l+1f
,l-lxl.t-:l >2Jr--J
I "t -t l+2x+l xl -lk{l+31 '
-J
ll.r2+61-3i
@ ll*l- l2x+3 ll.li:r l-lzx+21!
@ l*'-ql+8>Ix-21+4x
@ lx-t l -lx+21+lx+al<8
lx2 -rcl.*, !4x+4 - l"-11
x3 -x2 +4x:--;- > 0I x' -3x+21
(x+2\2 +l x +2l-2
-
I x+21+2
lzt - xz l-zl*'
l*' : "l-2 | x2 cosn.l +1
*z *5, -6cosn
t ¡'*1 |r;'?
-;r+8 I
lxl-l2x-rl ^---.- >ux(x - l)
xz + x+1-l x3 >0
l3x2 +5x+21----------------- < O
r- +-)
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@4<
306 Eduardo Espinoza Rumos
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Sistema de Números )
ry. Encontrar el ¡
2x*x2 <M
l-4x- x2 1,
2_ x2/3 _ xU.
2x2t3 _x4t3 .
l+6x- x2 < I
3+36x-12x2
Encontrar el nÍ
M <z+-L-]*2j
M < x2t5 _xu
M <9x2 -48x
M <5xz -20x
Si 2x+3 €
x+5_<Mx-7
si xe 11.11 .,-2 2'
Sí f e á[<*,1
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x- | x+11- | ;r I lx2+13¡ll < lxl_4l"l
l"-¡2 l.rJi-rrrnJi-0"
116- x7 l-xz > oxz -lz- xl
ll" l-t I
Ji"-31-lr-11.0*'-g
lJi-sl-J;,.l*, _+l - -
lx2+l xll <lxl_4l*l
x2 + x+l- 1"3 -t l> o
3-l xz - 4xl' :'(UI x-5 | +x'
I lx-l1+2l- lx-l12 , oxz +2
lr-aI,_ra-l *l
I x-3 lr +2t¡-3i2 -5 | x-3 | -6 . o(x-2)2 -2lx-21-24
,4x ,xl;-tl.l;-6l+lx-2|
x3 -x2 +4x unlx2 -3x+21
l+¡-¡2 l*5,ol,l-t
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<0
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@ ¡[7-6,+s-31>J3-r
@ lxz -5x+71, *' -1
@ G' -e*+t¡'lrz-¡a,-; 1.s
tl +*- r' | -slJ¡"-l ltr-¡l . ol,l-t
. x2 -6x+J . 2I- _ l<_-J-I r-l
lq- xl+lzr+31 .,lx-11-1
I 3xr + 5.r + 214' ' >or" +5
1 'rr -tn-:>0
Sistemq de Números Reales307
IV.
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@v.
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@
@
@
@
Encontrar el rnenor número M con la propiedad de que para todo x e R se cump{e:
2x-x2<M Rpta. M=l
1-4x-x2 <M Rpta. M=l
2-x2/3 -*t/3 <M Rpta. M =24
2)czt3 -x4/3 < M
l+6x- x2 < M
3+36x-12x2 < M
Encontrar er número mayor M con ra propiedad de que para todo x e R se cumpre:
u sz*Z-!*2x
M < x2/5 _xt/s _2
M <9x2 -4gx-36
M <5xz -20x+16
Si 2x + 3 e [7,11] encontrar el
¡+ -5 <Mx-'J
Rpta.
Rpta. M = I
Rpta. M = l0
Rpta. M = 30
Rpta.
Rpta.
Rpta.
valor M que satisface
Rpta.
M =556
oM =-'
4
M = -100
M=-4
a la siguiente desigualdad
M =-!5
_t 3sr -re l;';r encontrarel mayor varor M que satisface a Ia desiguardad M a *"2^x-./
Rnta. -I"3
Sí le á[< --,1 > (J <2,+*>]. Hallar el menor valor de M tal qu. ¡j:l_¡ < lzx r4r r{uc ¿x + J
308 Eduardo Espinoza Ramos Sistema de Números Ra
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l**5 I .ltt'x+l'
<M
lx3 -2*2 +3x-41< M
l'*2 I < t,t sí ru t1.f rI nl:t" ür ^=12'2t
Ixz -3x+4l < l,t sí x e f 2,21
lxz +4x-31<u si xe [-2,4]
v L¡)
l=l <M sí x e [5,8]x-4
EncontrarunnúmeroMpositivo tal que: lx3 +2x2 *3x-61 <tt't si x e [-2,5]
Encontrar un número M positivo tal que: l xa -2x3 + x2 -3x-51< ru si x e [-3,-1]
Encontrar un nrimero M positivo tal que: ¡ l'--91*l ¡ < v sí re ¡-2.4¡
Enconrrai un número N{ positir o tal que: ,;O;I],. ,i t ,, si x. e I I ,31
Encontiar un número M positivo tal que: 1-:r-'11!J 1 < u sí x e [0,4]' x- -2x-5'
. x2 +6x+14.Hallar el mayor número N tal que: lt- , .;- | > fv si x e l-2,21
12,+*>), Determinar el menor número M tal que ¿:4t < u
Sí lx - 3l < 1. Hallar el número M tal que:
HallarMtalquesí lxl<2 = l#l
Encontrar un número M positivo tal que:
Encontrar un número M positivo tal que:
Encontrar un número M positivo tal que:
Eicontrar un número M positivo tal que:
Encontrar un número M positivo tal que:
sl le (4 --,1> Ux
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@
VI.
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Detenninar el nr
Hallar el menor r
Hallar un númer
Resolver las sigu
[l3xl1= ¡¡2
[l3xl1= 2r¡ 2
ilLl:f!n=s
tl2- l"r I l1 = 1
[l:x-5|]=2x+t
tlJl- *¡7=2
¡¡ l":!!:1¡1=
2
rtl#ltr=-,
tl2xll+tl4xll= 3
rlfrln=s
ill:+l[=3
Sistema de Números Reales309
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vr.
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o@
o@
o@
@
Determinarel númeroMral que: li_l^t < M, Vx e <1,3>
Hallar el menor núrnero M tal que: <M, síxe [-1,2]
HallarunnúmeroMtalque: sílxl<t + l!41 .,x+3
Resolver las siguientes ecuaciones:
[l3xl¡=¡i2
[l3x11= 2*a2
nkflr!n=s
tl2-lrlll=1
tf 3x-5 ll=2x+I
tlJs-*¡1=2
n!11ú=z
ill#llr=-,
tl2xfl+tl 4xll=3
rlljalll=s
rllSlll=¡
Rpta. x = I
Rpta. " = 2.-l
2
Rpta. <-7,-51u [9,il>
Rpta. [-1,0> u <0,1]
Rpta. fo,llt2',
Rpta. <-6,-ll
Rpta. <-9,-61u [8,i1>
Rpta. 0
Rpta. t1.1t- '24
Rpta. [-4.-9tr.-!.-2,5 .7'3'
Rpta. [-3,-2>u<-í,-i,
310 E duardo E spinciza Ramo s Sisterna de Números
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Itl-"ll-tl
tl" -t ll >
tlJi -z*11
[lx2 -t ¡1 <,
tl : *' [.15-x
tl *2 -+ll <
x¡!ff-t
nl"f3-r¡
llzr- 10
lr >x
Ilxllz -zllt
Jl*l-¡17 -r*-I
Jl-¡¡'-tz'
'll;c¡lx2 -2x-3
tlx-2tl¡11 |
r tl" ll-z)J
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@VII.
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112"5*3ll=3
lll2*' -lIll=t
rl*+2 lt:¡Lt - tl -.{+J
¡b]!¡=+tl2 - lx lll = I
rr41n=+x+J
,)l
llxz -zxl1=3
tl2x ll - l" - 1l =2x-3
IIIx2 ll-tl=¡
,tbA!?aYn=,
ll*-1llt +2[lxl17 =57
Resolver las siguientes inecuacic¡nes:
¡¡t4fi.,
¡l+x2 -sx-+11 <t
Lll2*2 + 5x | -2 ll < I
21 I1Rpta. < -;.-rlu16,:->
iTRpra. < -r/r,-t, u {oi u [,
l1Rpta. <:,81
Rpta. [-1,0> u <0,1]
Rpta. [7,9>
Rpta. t-;,-+r
Rpta. < r -..6, -rl u [3,1 + rE >
Rnta. {-2.4.11.0rJJ
Rpta. < -Ji,-zlutz,Ji,
Rpta. < -t,-irrr:,+t.'JJJ
Rpta. [-4,-3>
Rpta. <--,-2> u <-1,3>
1
Rpta. < -.0,t,
Rota. <-3.-1tu<-l.lt22
Sistems de Números Reales 311
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Itl*¡ll-ll<2
ll¡2-tll >o
llJl -z,ll <.6
¡lx2 -t l1 < o
tl:+*[.15-x
[l*'-41] <-t
¡¡ ¡2$-1¡¡1s1
¡¡ l"Jt:
-1¡121
¡¡ z"-19 ¡1 = r
x
tl,ll2 *ztlxl1-z<o
Rpta. <-3,01
.Rpta. <--,-ll u [1.+-2
Rpta. <0,+->
Rpta. < -"D,"|i,
Rpta. <0,5>
Rpta. <-2.2>
)Rpta. < -€.-: > ur < 6,+* >
J
Rpta. <--,-51 u [5,+*>
5Rpta. l-2.0 > ul:.¡*;'
,¿
Rpta. [0,2]
Rpta. < t-zJi,-3lwl3,r+2Ji >
Rpta. <--,-3) t*r <4,+*¡
Rpta. [2,3>
ll*-2ll (;t - x+2)>a
tl-"ll-2>o6-tl¡ll
v, , (Otl x2 -2x-t9ll-
-
úk lf -12(rl " lt' -tl ¡ lt-6) > o
J*l-, .nlIx2 _zx_gl)* '
Il*-2Ílxllll¡z -4) >0
t fl*ll-z>r[lt *zl(xz -4x+3)>a
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312 Edaardo Espínoza Ramos Sistema de Nú,mcrus
r;- !l-t .o
x' -¡l xl1- +( tl ¡ ll - xX:r- 2)(x -3:¡2 > 0
lxl tlx-1ll-e
It\z-*
..8-l*l .nll"'-sll
rtffin=+
logr(2x+6)3
logz
log, l3-4x
-.,losotlTlr-f
')t
log rr-,, {:(_)t6
- 4x-5tos.(1
"_ zll
logu (x * 3..G
log, (3x-5)
logr(x2 -4x3
log2(l x-21.
log ",
(2+ x),
logr(x2)+lo
lxl-l
-<l
tl"ll-t
ll"-tl{l"lll<"
11(l x-5 I +2x + J x - 5 -ll * - 2l¡r+5)tx-*)
5
ffi.a::4n¡i.
<o@
VIII. Resolver la inecuación logarítmica.
JCX
(x2 + 4x + 5)J v4 (2" + sen x)(x + 2)
el*li-;)@' -2x-3)
log,zl2x-31> -3
log"(¡-3Jx+l +3) < I
lon" l".t * o*l*' - o"'xt+1"-51
ro*,¡--4*:11-1s -1- 2x'-4x-6
1or¡P":!-11' 1
log("-+) (3- x) <2
>0
Rpra. < 1+,-t1t
Rpta. [-1,0> u <3,15>
Rpta. Q
Rpta. ¡3,1- ¡
Rpta. ¡2,11) \J < 4,+- ¡
Rpta. < )rJn_z>,r,
Sistemq de Números Reales 313
logr(2x+6)<¿2a
log, l:-+x l> :
tog:i 13-4xl> 2
Y-)log.t lT | +351 > 2
-t-)
' Z4-2x- x2lo9rr_*, ( )>l
(_) l+tó
, 4x-5los"(U-) > I
lo96(x-3Jx+1+3) < 1
log, (3x - 5) > log r(7 - 2x)
logylz -4x+3)> -l;
Iogr(l x-21 -t) t t
, 3-2xlos r l_)>oe lx+t 1 -!"
log ".
(2+ x) <l
logr(xz )+ log, (x4 ) > 3
Rpta. <2,+-
_ 5 tlRpta. <-€.-:)u<1,+->-44
?Rpta. < --.-: > L-r < 3,+- ¡
.2
7Rpta. <-,5>u<5.+->
'2
,i
Rpta. <-3,1> u <3,4>
Rpta. < -l+"./0. 2> w <2.5)
Rpta. [-1,0> u <3,15>
Rnta. < 9.2,' 52
Rpta. [0,1> v <3,4]
Rpta. <--,-1> u <5,->
Rpta. <0,i> r; [2,+-;
log 1 (x2 - 4) > Iog, (4x -7)
2 Z,
log, (8 - 2xj > 3
l
314 Eduardo Espinoza RumosSislema de Números Re
3.42. APLICACIONES,ADMINISTRACION
DE LAS INECUACIONASY ECONO&{IA.-
Tt)A
Muchas veces la resolución cle problemas expresado en palabras nos conducen a
inecuaciones como ilustraremos en los siguiente ejemplos.
El producto lntemo Bruto (PIB) de un país está proyectado en t2 +2t +50 rniles millones
de dólares, donde t se mide en años a partir del año en curso. Determínese el instante en
que el PIB del país sea igual o exceda $ 58 mil millones.
Solución
El (PIB) del país será igual o excederá $ 58 mil millones cuando tz +2t + 502 58
Para obtener la solución de la inecuación expresaremos en la forma: t2 +2t-8>0,
donde al factorizar se tiene (t + 4Xt- 2) > 0.
Aplicando el criterio de los puntos críticos se tiene:
---\ r-- *\ r---*v-v
El conjunto solución de la inecuación es <--'.-41 u [2,*¡ como t clebe ser positivo'
entonces se considera t > 2 es clecir que, el PIB será igual o excederá por vez plinlera a
los $ 58 mil millones, cuanto t = 2 es clecir dentro de dos años'
paia una compañía que fabrica te1'1-nosiatcji., el costr¡ ccnlhinatlo de manr: de obra y
l¡¿iierial es cle $ 5 por terrno;irio. I-o$ cost,:s fijos (ltr c+slc:, ;.1c *i-, pcrioclo dado sin
importar la producción) son de $ 60,000" Si cl precio de ven:il de un tcrinostatt¡ es cle $ 7
¿,CLrántos debe venderse para que la corirpañía obtenga utilidadc¡?
Solución
Como: ganancia = ingreso total -'costó total
Entonces debemos encontrar el ingreso total y el costo total y después determinar cuando
su diferencia es positiva.
-4
Sea q =, el núm
Lugo el costo t
será7qy como:
entonces: 7q -por lo tanto se
utilidades.
El fabricante de
artículo. Gasta
costos adicional
número de unic
$ 1.000 a la sem
Sea x = número
Como el costo tl
(40x + 3,000) dr
60x dólares, por
Utilidad = ingre¡
como debe tener
utilidad > 1000
por lo tanto, el f;
La gerencia de li
de dólares para r
Determinar el dir
de telefónica.
Calculamos la ci
100,000 acciones
Sistemo de Números Reales 315
II
Sea q = el número de termostato que deben ser vendidos entonces su costo es 5q
Lugo el ,costo total para la compañía es 5q + 60,000, el ingreso total de q termostatosserá 7q y como: Ganancia = Ingreso total - costo total > 0
entonces: 7q - (5q + 60,000) > 0, de donde 2q > 60,000 enronces q > 30,000
por lo tanto se deben vender al menos 30,001 termostato para que la compañía obtengautilidades.
El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $ 60 cadaartículo. Gásta $ 40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tienecostos adicionales (fijos) de $ 3,000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre elnúmero de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos
$ I,000 a la semana.
Solución
-Sea x = número de artículos producidos y vendidos a la semana.
Como el costo total de producir x unidades es de $ 3.000 más $ 40 por artícuto. es decir:(40x + 3,000) dólares el ingreso obtenido por vender x unidades a $ 60 cada una será de
60x dólares, por lo tanto
Utilidad = ingresos - costos = 60x - (40x + 3;000) = 20x - 3,000
como debe tener una ganancia de al menos $ 1,000 al mes, tenemos la inecuación:
utilidad> 1000 dedonde 20x-3000> 1000 enronces x>200
por lo tanto, el fabricante debe producir y vender al menos 200 unidades cada semana.
La gerencia de la misma Antamina, un gran consorcio, ha estimado que necesita x miles
de dólares para adquirir 100,000(-l+.[*O¡Of"l acciones de la compañía telefónica.
Determinar el dinero que necesita Antamina para adquirir. un mínimo de 100,000 acciones
de telefónica
Solución
Calculamos la cantidad de dinero que Antamina necesita para adquirir un mínimo de
100,000 iiciones resolviendo la inecuación. ' :
316 Eduardo Espinoza Ramos
100,000(-1+Jr+o¡or"l >100,000 de donde -1afi gJ0úr 2 1
entonces .'/f+0^001" >2 elevando alcuadrado 1 +0.001x > 4 * 0.001x > 3
x > 3000, por lo tanto Antamina necesita al menos $ 3 000,000
Un constructor debe decidir si renta o compra una maquina excavadora. Si rellta la
máquina el pago rnensual sería de $ 600 (con base en un año), y el costo diario (gas'
aceite y conductor) sería de $ 60 por cada día que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo
anual sería de $ 4,000, y los costos por operación y rnantenimiento serían de $ 80 por
cada día que la máquina sea utilizada ¿Cuál es el número mínimo de días al año que
tendría que usarse la máquina para justificar la renta en lugar de la compra?
Solución
Determinaremos expresiones para el costo anual de Ia renta y el de la compra, así
encontrafemos cuándo el costo de la renta es menor que el de la compra.
Sea d = el número de días de cada año en que la máquina es utilizada.
Si la máquina rentada, el costo total anual consistiría en el pago de la renta, que es
(12X600) y los cargos diarios de 60d, si la máquina es comprada, el costo por año será
4000 + 80d, queremos Costo renta < costo compra
12(600) + 60d < 4000 + 80d + 1200 +60d < 4000 + 80d, de donde
3200 < 20d + 160 < d, por 10 tanto, el constrllctor debe utilizar la máqrtina al menos
161 días parajustificar su renta.
Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es P dólares están dadas por
P = 200 * 3x. El costo de producir x unidades del mismo artíctllo es C = (650 + 5x) dólar
¿Cuántas unidades de esre artículo deberán proctucirse de modo quc la utilidad mensual
sea por lo menos de 2,500 dólares?
Solucién
Sea R = el ingreso en $ obtenido por vender x unidades al precio de P dólares por unidad,
es decir: R= x (precio porunidad) =x(p) =x(200- 3x) + f@t.....-..El
Sistema de Números R
C = el costo el
Corno utilidad
como la utilid¿
utilidad >2,50
x2 -65x+105.
(x-30)(x-35
La solución es
Luego para obtvender cualesq
Una compañía
cierta revista e
revista. El ingrr
todos los ejem
revistas que del
Sea q = númen
El ingreso total
(0.10)l(1.aOXq
como utilidad =
1.40q + (0.10)t(
0.04q - 1400 >
Sistemg de Números Reales
C = el costo en $ de fabricar x unidad, es decir: C = 650 + 5x
Corno utilidad = Ingresos - costos = (200x _3xz ) _ (650 + 5x)
=195x-3xz _650
como la utilidad debe ser al menos de $ 2,500, es decir:
urilidad > 2,500, de donde t95x - 3x2 - 650 > Z,SO0 , simplificando
x2 -65x+I050 < 0 , factorizando se tiene:
(x - 30)(x - 35) S 0, aplicando punros críricos
30 35
La solución es 30 < x < 35
Luego para obtener una utilidad de al menos $ 2,500 al mes, el fabricante debe producir yvender cualesquiera unidades de 30 a 35.
Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de unacierta revista es de $ 1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $ 1.40 porrevista. El ingreso por publicidad es de IOTo del ingreso recibido de los distribuidores portodos los ejemplares vendidos por arriba de 10,000 ¿cuál es el número mínimo derevistas que deben ser vendidas de modo que la compañía obtenga utilidades?
Solución
stas vendidas 'i*Sea q - número de revi
El ingreso total recibido de los distribuidores es 1.40q y el recibido por publicidad es
(0.10)l(1.40)(q - 10,000)l el cosro total de ta publicación es 1.50q
como utilidad = ingreso - costo > 0
1.40q + (0.10)t(1.40)(q - 10,000)l - 1.50q > 0 =+ 1.4q + 0.14q - 1400 - l.5q > 0
0.04q-1400>0 =+ 0.04q>1400 + q>35,000
318 Edusrdo E spinoza R.amo s Sistema de Números Re
por lo tanto el número total de revistas debe ser mayor que 35,000, es decir que al menos
35,001 ejemplares deben ser vendidos para garantizar utilidades'
Un peluquero atiende
por cada incremento
deberá fijar de modo
por una tarifa de $ 3?
Solución
Sea x = el número de incremento de $ 0.5 en la tarifa por encima de $ 3
$ (3 + 0.5x) = el Precio del corte
100 - l0x = número de clientes por semana'
Ingreso total a la semana = (número de clientes) precio del corte
= (100 - 10xX3 + 0.5x) dólares
el ingreso correspondiente a 100 clientes son de 100 x $ 3 = 300
Iuego los nuevos ingresos semanales deben ser al menos 300 dólares, es decir:
(100_10x)(3+0.5x)>300.simplificandox(x-4)<0,aplicandopuntoscríticos
---\ r---\ r-+v-¿*
por 1o tanto la solución es 0 < x < 4
esto quiere decir que debería subir a lo más 4 x 0'5 = $ 2
Eipeluquerodeberíacobrarunatarifamáximade$3+$2=$-5porcorte'paraobteneral menos los mismo ingresos que los correspondientes a 100 clientes cobrándoles $ 3 por
corte.
un promedio de 100 clientes a la semana y l'es cobra $ 3 por corte
de $ 0.5 en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientés ¿Qué precio
que los ingresos semanales no sean menores de los que él obtiene
Determine la ga
Determine el co
Determine la gat
La compañía Da
costo unitario de
de unidades que
El administrador
que la empresa
fabricación de Io
mes y el costo de
empaques deberá
empaques?
La publicidad ind
galón en la carrt
Suponga que exi
puede recorrer un
Una mujer de ne
rentar un automó
anual). Bajo este,
carro, el gasto fijcde millas que debr
0
ffi ,r,'B¡6Rgieros.fRoP,.u srss.-
Determine el costo mínimo C (en dólares) dado que 5(C - 25) > I '7 5 + 2 '5C
Rpta. $ 50.70
Sistema de Números Reales 3t9
Determine la ganancia máxima p (en dólares) dado que: 6(p - 2500) s 4(p + z40a)
Rpta. $ r2,300
Determine el cosro mínimo c 1en dólares) dado que: 2(r.sc+ g0) s 2(2.5c - 20)
Rpta. $ 100
Determine la ganancia máxima p (en dólares) dado que: 12(2p -320) < 4(3p + 240)
Rpta. $ 400
La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y uncosto unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $ 600,000, determine el número mínimode unidades que deben ser vendidos para que la compañía tenga utilidades.
Rpta. Al menos 120,001
El administrador de una fabrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques.que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ t.tO cada uno. Lafabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $ g00 almes y el costo del material y de mano de obra será de $ 0.60 por cada empaque ¿cuántosempaques deberá usar la empresa'al mes para justificar la decisión de fabricar sus propiosempaques? Rpta. Producir al menos 1601 empaques al mes
La publicidad indica que cierto auto rinde 20 millas por galón en la ciudad y 27 millas porgalón en la canetera, y que la capacidad del tanque de gasolina es de 1g.1 galones.Suponga que existen las condiciones ideales de manejo y determine la distancia quepuede recorrer un auto de estas características con el tanque lleno.
Rpta. [362,488.7]
Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia enl-re los costos de comprar yrentar un automóvil. Ella puede rentar un automóvil por $ 400 mensual (con una baseanual). Bajo este plan el costo por milla (gasolina y aceite) es de $ 0.10. Si comprarse elcarro, el gasto fijo anual sería de $ 3,000 más $ 0.1g por milia ¿Cuál es el menor númerode millas que deberá conducir por año para que la renta nb sea más cara que la compra?
Rpta. 22,500
320 Eduardo Espinou Ramos Sistema de Números Reak
Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de $ 30 cada una.
Tiene costos fijos de $ 12,000 al mes; y además, le cuesta $ 22 producir artículo ¿Cuántas
unidades debe producir y vender al mes la compañía para obtener utilidades?
Rpta. más de i,500
de l57a de las ventas por arriba de
menos $ 3,000 por mes ¿Cuál es el
Rpta. $ 32,000
El cosrr.¡ de pubiici
ingresos del reore
publicidad coffesp
2,000 ejemplares ,
ingresos semanales
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próximo mes el prr
ingreso total recibir
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Al precio de P por
mercado,conP=É
obtener ingresos po
Un fabricante puedr
(en dólares) de pro
¿Cuántas unidades
utilidad?
Un granjero desea d
Encuentre las dime
yardas cuadradas.
R¡
Un peluquero atien<
por cada increment<
máximo deberá fijar
Un accionista invier
ciento anual. Si el v¡
2 años ¿Qué restricc
La comisión mensual de un agente de ventas es
$ 12,000. Si su objetivo es lograr una comisión de al
volumen mínimo de ventas que debe alcanzar?
El costo unitario de publicación de una revista es de $ 0.65 se vende al distribuidor en
$ 0.60 cada una, y la cantidad que recibe por publicidad es el 107o de la recibida por todas
las revistas vendidas arriba de las 10,000. Encuentre el menor número de revistas que
pueden ser publicadas sin pérdida, esto es, que la utilidad > 0 (suponga que toda la
emisión será vendida) Rpta. 60,000
Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el
ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a $ 2.50 cada unidad. La
fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en $ 1,500 al mes,
pero sólo le costará $ 1.70 fabricar cada corea ¿Cuántas colTeas debe utilizar la empresa
cada mes parajustificar la fabricación de sus propias correas?
Rpta. más de 1,875
Una compañía invierte $ 30,000 de sus fondos excedentes a dos tasas de interés anual: 5 y
6."75ok. Desea una ganancia anual que no sea rnenor al 6.5Vc ¿Cuál es la menor cantidacl
de dinero que debe invertir a la tasa de 6.75 por ciento? R.pta. $ 25,714.29
La fabricante de cierto artículo ha estimado que sri ganancia en rniles de dólares está dado
por la expresi6n -6xz +30x-10 donde x (miles) es el número de unidades producidas.
¿Qué nivei de producción el pemitirá obtener una ganancia de al menos $ 14,000?
Rpta. Entre 1,000 y 4,000 unidades
Una pelota se lanza hacia arriba, de modo que su altura después de t segundo es
l28t-16t2 +4 pies. Determine el tiempo durante el cuál la pelota está arriba de una
altura de 196 pies. Rpta. 4 segundos
Sistema de Números Reales 32r
@
El costo de publicar cada ejemplar de la revista semanal compra y venta es de $ 0.35. Loslngresos del representante de ventas son de $ 0.30 por ejemplar y los ingresos de lapublicidad corresponden al 20Vo de los ingresos obfenidos por ventas que exceden los2'000 ejemplares ¿Cuántas copias deberá publical y vender cada semana para obteneringresos semanales del al menos $ 1,000? Rpta. 112,000, o más
un fabricante tiene 2,500 unidades de un producto cuyo precio unitario es de $ 4. Elpróximo mes el precio por unidad se incrementará en $ 0.50. El fabricante quiere que elingreso total recibido por la venta de las 2,500 unidades no sea menor que $ 10,750 ¿cuáles el número máximo de unidades que puede ser vendido este mes?
Rpta. 1,000
Al precio de P por unidad, x unidades de cierto artículo pueden venderse al mes en elmercado, con F = 600 - 5x ¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de
obtener ingresos por los menos de $ 18,000? Rpta. 60 unidades
Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $ 25 cada una. El costo C
(en dólares) de producir x unidades cada semana está dado por c=3,000+ 2ox-0.1x2
¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener algunautilidad? Rpta. más de 150
Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 yardas de cerco disponible.Encuentre las dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de al menos 2,100yardas cuadradas.
Rpta. 30 < x < 70, si x yardas es la longitud de un lado del terreno.
Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana cobriíndoles $ 4 por cortepor cada increme4to de $ 0.50 en el precio, el peluquero pierde 8 clienres. ¿eué preciomáximo deberá fijar para obtener ingresos semanales por lo menos $ 520?
Rpta. $ 6.50
Un accionista invierte $ 100 a un interés anual del R por ciento y otros $ 100 al 2R porciento anúal. Si el valor de las dos inversiones debe ser de al menos $ 224.80 después de
2 años ¿Qué restricciones deben establecerse sobre R? Rpta. R > 4
Edunrdo Espinoza Ramos Relaciones y Funciones
4.t- INTRODU
a) PARORDE
Llamaremos
llamada la pr
Ejemplo.-
b) IGUALDAI
Los pares or
componentes
Ejemplo.-
Luego direm
correspondie
Ejemplo.- t
Para calcular
ordenados:
E
@
Para producir 1 unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del
material es de $ 2.50 y el de mano de obra de $ 4. El gasto general, sin irnportar el
volumen de ventas, es de $ 5,000. Si el precio para un mayorista es de $ 1 .40 por unidad,
determine el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que la compañía
obtenga utilidades.
El margen de ganancia para un auto usado era de al menos 307o de su precio total al por
mayor. Si el auto fue vendido en $ 6,500 ¿Cuál fue el precio máximo al por mayor?
t minutos después de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el número
de bacierias está dado no, {9Q*2,000. Determine el momento en que el número de' t2+lbacterias esté por debajo de 4,000.
Un editor puede vender 12,000 ejemplares de un libro al precio de $ 25 cada uuo, por
cada dólar de incremento en el precio, las ventas tlajan en 400 ejemplares ¿Qué precio
mínimo deberá fijarse a cada ejemplar con objetivo de lograr ingresos por lo menos de
$ 300,000?
Una fabrica de camisetas produce N camisetas a un costo de mano de obra total de $ l.2N
y un costo total por material de $ 0.3N. Los gastos generales para la planta son $ 6,000. Si
cada camiseta se vende en $ 3 ¿Cuántas camisetas deben venderse para que la compañía
obtenga utilidades?
Suponga que los consumidores comprarán q unidades de un producto al precio ¿. l0-9 * r
q
dólares por unidad ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe ser vendido para que
ei ingreso por ventas sea mayor que $ 5,000?
En cierto estanque se crían peces (se introducen n de ellos allí). Si se sabe que la ganancia
de peso promedio de cada pez es de (600 - 3n) gramos" Determine las restricciones de n
si la ganancia total en peso de todos los peces debe ser mayor que 28,800 gramos.
Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender
rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a P centavos por libra,
venderá x libras, con x = 1000 - 20P ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener
ingresos por lo menos de $ 120?