Post on 10-Mar-2016
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Movimiento ondulatorio
Segundo parcial
UNIVERSIDAD DEL NORTE DIVISIÓN DE INGENIERÍAS
DPTO. DE FÍSICA
Andrés Cristancho M. Luis Yepes.
Hans Van Strahlen.
RESOLUCION DE PROBLEMAS
PROBLEMA 1 .
Ondas bidimensionales. Una cuerda está estirada en el eje .Se desplaza en las direcciones
y de modo que el desplazamiento trasversal esta dado por
a) Dibuje una gráfica de z contra y para una partícula de la cuerda que está en x=0. La gráfica
mostrará la trayectoria de la partícula vista por un observador que está en el eje y mira
hacia . Indique la posición de la partícula en . b) Obtenga el
vector de velocidad de una partícula que está en una posición arbitraria en la cuerda.
Demuestre que ese vector representa la velocidad tangencial de una partícula que se mueve
en un círculo de radio A con velocidad angular , y demuestre que la rapidez de la partícula es
constante (es decir la partícula está en movimiento circular uniforme). c) Obtenga el vector de
aceleración de la partícula del inciso b). Demuestre que la aceleración siempre eta dirigida
hacia el centro del circulo y que su magnitud es a= . Explique este resultado en términos
de un movimiento circular uniforme. Suponga ahora que el desplazamiento de la cuerda esta
dado por:
Describa en que diferiría el movimiento de una partícula en x del movimiento descrito del
inciso a).
Solución
a) Cuando . y
Tabla 1. Valores de y para los tiempos dados.
0
A 0
0 -A
-A O
0 A
De acuerdo con los datos mostrados en la tabla 1. Graficamos contra
Gráfica de contra para una partícula de la cuerda que está en para unos determinados.
b) Vector velocidad está dado por la derivada de la ecuación del desplazamiento, es decir
La magnitud de la velocidad es la norma del vector velocidad, esto es
La velocidad es constante
Para saber si el vector velocidad es tangencial a la trayectoria de una partícula que se mueve
en un círculo de radio con velocidad angular . El producto punto entre el vector velocidad
y el vector desplazamiento debe ser cero. Esto es
Como el producto punto es igual a cero entonces tenemos que es tangencial a la trayectoria.
c) la aceleración es la derivada parcial de la velocidad con respecto al tiempo entonces
tenemos que:
y
y
La magnitud de la aceleración es la norma de esto es
Ahora aplicamos producto punto entre el vector posición y el vector aceleración para identificar el ángulo que hay entre ellos y determinar la dirección de la aceleración.
Como el radio es igual a la amplitud , r=A entonces
Eso quiere decir que el ángulo entre el radio y a es o 180°, esto es lo mismo que decir que la aceleración está dirigida hacia el centro del círculo
Para y El desplazamiento irá en sentido contrario al del movimiento descrito por las ecuaciones
PROBLEMA 2. Ondas de forma arbitraria. Explique por qué cualquier onda descrita por una función de la forma se mueve en la dirección con rapidez . Demuestre que
satisface la ecuación de onda, sea cual fuere la onda funcional de . Para hacerlo, escriba , donde . Luego, para derivar parcialmente , use la regla de la cadena:
Una pulsación de onda está descrita por , donde son constantes positivas. Calcule la rapidez de esta onda.
Solución
a) para toda onda descrita por la función el signo de la expresión entre y determina hacia dónde se desplaza la onda, es decir para , donde
la onda se propaga hacia la izquierda, el eje , con velocidad para , tenemos que la onda se propaga en el eje , con velocidad .
b) Demostrar que toda función de la forma satisface la ecuación
Sea ; Utilizando regla de la cadena derivamos la expresión con respecto a la
variable y tenemos
Segunda derivada de con respecto a la variable
Derivada de con respecto a la variable
Segunda derivada de con respecto a la variable
Obtenemos una ecuación característica de una onda
c) Una pulsación de onda descrita por . Es de la forma
Hacemos y
Del inciso b) obtuvimos que:
Y también:
Si dividimos las dos expresiones anteriores obtenemos que
PROBLEMA 3. Energía en un pulso triangular. Un pulso ondulatorio triangular en una cuerda tensada viaja en la dirección con rapidez . La tensión en la cuerda es y la densidad lineal de masa de la cuerda es . En , la forma del pulso está dada por
Dibuje la pulsación en . Determine la función de onda en todos los instantes . Calcule la potencia instantánea de la onda. Demuestre que la potencia es cero excepto
cuando – y que es constante en este intervalo. Determine el valor de esta potencia constante.
Solución.
Función de onda Para ,
Teniendo que :
Podemos decir que:
Sabiendo que está dada por
la potencia instantánea es cero solo cuando , donde es constante
PROBLEMA 4. Demuestre que, para una onda en una cuerda, la energía cinética por unidad de la cuerda
es
Donde μ es la masa por unidad de longitud. Calcule para una onda senoidal dada por la ecuación . También hay energía potencial elástica en la cuerda asociada al trabajo requerido para deformar y estirar la cuerda. Considere un segmento corto de la cuerda en la posición cuya longitud no estirada es .
Si despreciamos la (pequeña) curvatura del segmento, su pendiente es . Suponga que el desplazamiento de la cuerda con respecto al equilibrio es pequeño, así que tiene magnitud mucho menor que . Demuestre que la longitud estirada del segmento es aproximadamente
(Sugerencia: use la relación , válida para .) La energía potencial
almacenada en el segmento es igual al trabajo efectuado por la tensión de la cuerda (que actúa a lo largo de la cuerda) para estirar el segmento de su longitud no estirada a la longitud calculada en el inciso . Calcule el trabajo, y demuestre que la energía potencial por unidad de longitud de la cuerda es
Calcule para una onda senoidal dada por la ecuación .
Demuestre que para todo y . Grafique en
función de para ; use los mismo ejes para las tres curvas. Explique por qué y son
máximos donde es cero y viceversa. Demuestre que la potencia instantánea en la onda, dada por , es igual a la energía total por unidad de longitud multiplicada por la rapidez de onda . Explique por que este resultado es lógico.
Solución
Sabemos que la energía cinética está descrita por
En este caso la velocidad es la primera derivada de con respecto al tiempo entonces,
esto es
está definida por unidad de masa sobre unidad de longitud
Si
Entonces derivando con respecto al tiempo queda:
Reemplazando en
Si despreciamos la curvatura de la cuerda
Pero
Luego por Pitágoras. Tenemos que la longitud de la cuerda estirada es:
Dado que la fuerza es constante
Luego
Dado que :
Reemplazando obtenemos que
Para
Se desarrolla
Dado que por consiguiente:
Pero tenemos que entonces
Multiplicamos en ambos lados por
Teniendo que
Lo cual tenemos que sería entonces:
PROBLEMA 5
Potencia instantánea en una onda estacionaria. La rapidez instantánea con que una onda
transmite energía por una cuerda (potencia instantánea) es
Donde F es la tensión. a) evalúe para una onda estacionaria de la forma dada por
. b) Demuestre que para todos los valores de la potencia
media transportada por la onda estacionaria es cero. c) Para una onda estacionaria dada
por la ecuación dibuje una gráfica que muestre y el
desplazamiento Y(x,t) en función de x para, . (Una
positiva implica que la energía fluye en la dirección ; un valor ne3gativo de implica
que la energía fluye en la dirección – ). d) la Energía cinética por unidad de longitud de la
cuerda es máxima donde la cuerda tiene la rapidez transversal más alta, la energía potencial
por unidad de longitud de la cuerda es máxima donde la cuerda tiene la pendiente más
empinada (porque ahí es donde la cuerda está más empinada). Usando estas ideas analice el
flujo de energía a lo largo de la cuerda.
Solución.
Si
Derivamos con respecto a
Ahora con respecto a
Luego
Dado que los valores máximos y mínimos de la potencia son
El valor de la amplitud de la onda de presión está dada por y el valor de
va desde hasta , entonces para poder graficar la onda se reemplazan los valores
dados para y para en la ecuación
Y para la onda de desplazamiento la amplitud está dada por la cual encontramos
remplazando los valores dados para el tiempo y el desplazamiento en la ecuación
En las graficas se ven para cada instante de tiempo la onda de presión y la de
desplazamiento:
------- Onda de presión
_____ Onda de desplazamiento
Para
Para
Para