7/24/2019 Oscilador de Chua

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Oscilador de ChuaDocente: Luis Enrique Avendano

Monitor: Jorge Ivan Padilla

Alumnos: Julian Alexis Quintero Cod. 810060

Juan David Giraldo Cod. 813027†

Mayra Lizeth Villota Pabon Cod. 810080Diseno electronico.

Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales

20 de Mayo del ano 2015

 Resumen—Se analiza un sistema no lineal como es el

oscilador de Chua; se lleva a cabo una descripcion del

circuito que lo constituye y que seccion es la que se encarga

de generar la oscilacion.

Palabras Claves. Oscilador, sistema no lineal, Chua,

caotico.

I. INTRODUCCION

El estudio de los fenomenos no lineales en nuestro medio

ha tomado un aspecto teorico en su mayorıa, y poco a poco

ha crecido el interes por servirse de sus herramientas y

aplicarlas en una variedad de areas. Una forma de llegar

a estos sistemas variables es por medio de la electronica,

con la cual se han elaborado circuitos de comportamientos

“inusuales”.

Un oscilador caotico tiene tres caracterısticas fundamentales:

1. Sensibilidad a sus condiciones iniciales

2. Comportamiento no periodico

3. Irrepetibilidad (esto es, la imposibilidad practica de

obtener la misma trayectoria restableciendo el sistema).

Existen varios circuitos electronicos que al contener un ele-

mento no lineal presentan comportamientos irregulares, uno

de ellos es el circuito  oscilador de Chua.

II. OBJETIVOS

Se estudiara el oscilador de Chua, el cual tiene mucha

importancia en el estudio de los procesos dinamicos que

conducen a un comportamiento caotico.

Obtener por medio del circuito estudiado, las oscilacio-

nes caoticas en el tiempo y la respuesta en el espacio de

la fase.

III. MARCO T EORICO

El oscilador de Chua, constituye un sistema dinamico

no lineal caotico, el cual se ha vuelto un paradigma de la

teorıa del caos, debido a la variedad de comportamientos que

eventualmente pueden conducir a procesos de bifurcacion.

La representacion matematica del oscilador de Chua

esta comprendida por:

x =  α(y − x − f (x))

y =  x − y + z   (1)

z  =  −β (y + γz)

donde  f (x) =  bx + 0,5(a − b)(|x + 1|), y  α,  β ,  γ ,  a  y  b, son

parametros.

En la figura [1], se puede observar la estructura que

comprende el circuito del oscilador de Chua el cual

se caracteriza por dos aspectos: es autonomo, es decir,

no esta alimentado por fuentes de corriente alterna y

esta compuesto por dos partes: una parte que presenta un

comportamiento tıpico de un oscilador amortiguado(dos

condensadores, una resistencia y una bobina), para evitar

tener que construir una bobina la cual ocupa gran espacio se

implementa una red  RC  que la sustituya como el circuito de

Antoniou. La otra parte que constituye el  unico elemento no

lineal denominado   diodo de Chua   (este se realiza utilizando

un convertidor de impedancia negativa). Este elemento

causante de la no linealidad actua como la fuente de energıa

de todo el circuito, se ocupa de retroalimentarlo y lo mantiene

oscilando.

Figura 1. Diagrama esquematico del oscilador de Chua.

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IV. SIMULACIONES

Podemos observar en la figura [1] un circuito esquematico,

donde se llevo a cabo una simulacion en multisim mostrada

en la figura [3]. Por medio de este se obtienen las senales

de salida que genera el oscilador de Chua. En la figura [4]

se puede apreciar la respuesta temporal del sistema, la cual

esta comprendida por oscilaciones sostenidas en intervalos de

tiempo, pues conmutan a valores positivos y negativos delplano.

Figura 2. Circuito del oscilador de Chua.

Figura 3. Oscilaciones caoticas en el tiempo.

Causa de la oscilaci´ on ca´ otica:

La parte del circuito formada por los capacitores,

el inductor, y resistores forman parte de un oscilador

amortiguado y el dispositivo no lineal, que en este caso es

el diodo de Chua, hace autonomo al circuito, por lo que

mantiene retroalimentado y oscilando al circuito. Lo quecausa la oscilacion caotica es la parte del circuito que compete

al diodo de Chua, ademas que existen valores crıticos, como

en el caso de la variacion de los valores de los condensadores

que permiten que el circuito se torne caotico. La no linealidad

del circuito oscilador se origina en el comportamiento del

amplificador operaciones, pues la ley de Ohm se verifica en

el por tramos.

La respuesta en el espacio de fase de la figura [4],

permite observar las conmutaciones a valores positivos y

negativos.

Figura 4. Respuesta en el espacio de fase.

 IV-A. Simulaciones de matlab

Segun la realizacion practica del oscilador de Chua tomada

del libro, los valores que se van a tener en cuenta para

el programa en matlab, y en concordancia con los de lasimulacion en Multisim son:

α = 10

β  = 10

γ  = 0,45

a =  −1,22

b =  −0,7634

f (x) =  bx + 0,5(a − b)(|x + 1| − |x − 1|)

El programa elaborado en Matlab esta comprendido por el

codigo que se encuentra en la seccion de anexo. La simula-

ciones obtenidas se pueden observar a continuacion.

Figura 5. Representacion de la senal en el espacio.

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Figura 6. Representacion de la senal en el espacio.

Figura 7. Representacion de la senal en el espacio.

Figura 8. Representacion de la senal en el osciloscopio

V. PREGUNTAS

V-A. ¿Que es un sistema lineal?

Se denomina ecuacion lineal o sistema lineal a aquella que

tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las

incognitas no estan elevadas a potencias, ni multiplicadas entre

sı, ni en el denominador, y estan definidas sobre un cuerpo oun anillo conmutativo.

V-B. ¿Que es un sistema ca´ otico?

Cuando el sistema no es inestable y si bien dos soluciones

se mantienen a una distancia ”finitacercana a un atractor del

que el sistema dinamico, las soluciones se mueven en torno

al atractor de manera irregular y pasado el tiempo ambas

soluciones no son cercanas, si bien suelen ser cualitativamente

similares. De esa manera, el sistema permanece confinado

en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un

atractor fijo.

Una de las mayores caracterısticas tanto de los sistemasinestables como los caoticos es que tiene una gran dependencia

de las condiciones iniciales (esto diferencia a ambos tipos de

los sistemas estables). De un sistema del que se conocen sus

ecuaciones de evolucion temporal caracterısticas, y con unas

condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente

su evolucion en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas

caoticos, una mınima diferencia en esas condiciones hace

que el sistema evolucione de manera totalmente distinta.

Ejemplos de tales sistemas incluyen el Sistema Solar, las

placas tectonicas, los fluidos en regimen turbulento y los

crecimientos de poblacion.

V-C. ¿Que significa un comportamiento ca´ otico en unsistema?

El comportamiento caotico surge de la no linealidad de las

ecuaciones de evolucion de tales sistemas. Curiosamente, el

origen del caos no requiere de un gran numero de variables

o grados de libertad. Los sistemas caoticos no carecen, sin

embargo, de estructura. Por el contrario, su comportamiento

exhibe una estructura mucho mas rica e interesante que los

sistemas deterministas o integrables.

V-D. ¿Que es un proceso de bifurcaci´ on?

es la accion de separar algo en varias partes, que en el

ambito de las matematicas estudia los cambios en la estructuracualitativa o topologica de una familia determinada.

V-E. Por efectos pr   acticos, ¿que se debe hacer si no

se tiene un circuito de antoniu para implementar un

oscilador de chua?

Se puede tambien implementar dicho oscilador utilizando

redes osciladoras lineales para sustituir la red reactiva induc-

tiva, se tienen pa  esto dos casos, la implementacion en puente

de Wien donde reemplazara el inductor y su resistencia interna

y en puente doble T donde es un oscilador sinusoidal de tercer

orden contriudo con tres resistores y tres capacitores.

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VI. CONCLUSIONES

La implementacion sencilla del oscilador de Chua lo

hace un circuito muy interesante para el estudio del caos.

La utilidad del circuito convertidor general de

impedancia el cual sustituye el diodo de chua es una

pieza clave en el desarrollo del circuito.

La versatilidad de la respuesta de los amplificadores en

el caso de una funcion no lineal esta manifiesta en la

facil construccion del diodo de Chua.

La teorıa de sistemas no lineales es pieza clave para la

instrumentacion f ısica, debido a la caracterısticas de los

metodos y dispositivos utilizados en esta.

REFERENCIAS

[1]   Luis Enrique Avenda ˜ noDise˜ no Electr   onico

[2]   http://http://www.vitutor.com/algebra/sistemas/