Post on 30-Jul-2015
Introducción
ÍNDICE
Objetivos
Nociones básicas
FactorizaciónNumérica
Factorización dePolinomios
Profundización
FACTORIZACIÓN
EL PODER DE LA LEY DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA DE NÚMEROS
REALES
Combinación deformas de factorizarpolinomios
INTRODUCCIÓN.
La factorización es un procedimiento fundamental para la simplificación de expresiones algebraicas y
para la solución de ecuaciones. Se basa en un uso adecuado de la propiedad distributiva del producto
respecto de la suma de números reales.
Se propone el estudio de la factorización de números enteros y de polinomios
OBJETIVOS.
• Identificar diversas formas de uso de la ley distributiva del producto respecto de la suma en números
reales
• Utilizar adecuadamente la factorización de un número entero
• Reconocer la propiedad distributiva como fundamento de la factorización de polinomios.
• Establecer una secuencia que posibilite factorizar completamente un polinomio.
• Adquirir habilidad para aplicar en diversos contextos, las formas de factorizar polinomios
Introducción
ÍNDICE
Objetivos
Nociones básicas
FactorizaciónNumérica
Factorización dePolinomios
Profundización
Combinación deformas de factorizarpolinomios
Conceptos necesarios Mapa conceptual
Introducción
ÍNDICE
Objetivos
Nociones básicas
FactorizaciónNumérica
Factorización dePolinomios
Profundización
Combinación deformas de factorizarpolinomios
Conceptos necesarios Mapa conceptual
33 77
278 3
32
278
FACTOR. Cada uno de los elementos de un producto. En 2 (-5) los factores son 2 y -5.
FACTOR O DIVISOR DE UN NÚMERO ENTERO. Si a, b y c son números enteros, a es un divisor o
factor de c si existe un número entero b, tal que c=ab. 4 es un divisor o factor de 28, pues 28=4(7)
FACTOR PRIMO DE UN NÚMERO ENTERO. a es un factor primo de un número entero c, si a es un
número primo y es factor de c. 5 es factor primo de 20, pues 5 es un número primo y 20=4(5)
PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA DE REALES. Si a, b, c son reales entonces a+(b+c)
= (a+b)+c. Note que la ley permite sumar más de dos números naturales. Al aplicar la ley en 2r-4b -5c
+ 15x se puede hacerlo de formas como: (2r-4b) + ( -5c + 15x) , o, 2r +(-4b -5c )+ 15x, etc.
MONOMIO. Producto de un número real y potencias de variables que representan números reales. Los
exponentes de las variables son enteros no negativos. Son monomios: -5x2y ; mn4 ;
NUMERO CUADRADO. Un número real a es un cuadrado, si existe un real b, tal que a = b2. 36 es un
cubo pues 36 = 62. 11 es un cuadrado pues
NUMERO CUADRADO PERFECTO. Para algunos textos o autores: Un número racional a es un
cuadrado perfecto, si existe un racional b, tal que a = b2. es un cuadrado perfecto,
NUMERO CUBO. Un número real a es un cubo, si existe un real b, tal que a = b3. 27 es un cubo pues
27 = 33. 7 es un cubo pues
NUMERO CUBO PERFECTO. Para algunos textos o autores: Un número racional a es un cubo
perfecto, si existe un racional b, tal que a = b3. es un cubo perfecto, pues
NÚMERO PRIMO. Un número natural a es primo si tiene únicamente dos divisores que sean números
naturales. 17 es número primo pues es natural y sus únicos divisores naturales son 1 y 17.
21111
254 2
52
254
7733
27
8
3
2
27
83
Introducción
ÍNDICE
Objetivos
Nociones básicas
FactorizaciónNumérica
Factorización dePolinomios
Profundización
Combinación deformas de factorizarpolinomios
Conceptos necesarios Mapa conceptual
NOCIONES BÁSICAS
ÍNDICE
DEFINICIÓN.
FACTORIZAR es expresar en forma de producto un número entero o un polinomio.
Una factorización de –35 es 7(–5) pues 35=7(-5) . La factorización de 3x2–6x es 3x (x–2) pues 3x2–6x = 3x (x–2)
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO RESPECTO DE LA SUMA DE NÚMEROS REALES.
Si a,b,c son números reales, entonces a(b+c)=ab+ac Es importante identificar las formas de uso de esta propiedad, en diversas
situaciones. De acuerdo a la igualdad arriba escrita se nota que esta propiedad permite expresar un producto en forma de
suma (igualdad aplicada de izquierda a derecha), o una suma en forma de producto. (Igualdad aplicada de derecha a
izquierda). Para las situaciones de factorización se usa la segunda posibilidad.
A continuación se muestran aplicaciones de la propiedad en la segunda situación.
Identifique la manera como se aplica la propiedad distributiva y verifique que cada suma es equivalente con el producto
especificado.
1. 3a+3b–3c = 3(a+b–c)
2. xy–2y = y(x–2)
3. 7m–7 = 7m–7•1 = 7(m–1)
4. 5a2–7a = 5a•a–7a = a(5a–7)
5. 2m3q2–m3q3r2–m2q2r2 = 2m•m•m•q•q–m•m•m•q•q•q•r•r–m•m•q•q•r•r = m•m•q•q(2m–m•q•r•r–r•r) = m2q2(2m–mqr2–r2). Justifique
este procedimiento.
6. 6h2–15hw = 3•2•h•h–3•5•h•w = 3•h(2h–5w)
Definición Propiedad Distributiva Actividad Soluciones y comentarios
NOCIONES BÁSICAS
ÍNDICE
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.1. Son factorizaciones de 48:
a. 3 (2) 8
b. 2 (8) + 32
c. 3(24)
d. 6 (4) 3
e. 6 (22)2
2. Muestre que 3x ( 2x – 5) es factorización de 6x2 – 15x.
3. Es (7a – 3) (2 – 4b) factorización de 12b –28ab – 6+14a?
4. Escriba dos factorizaciones de 120. Justifique con precisión su respuesta.
5. Aplique la propiedad distributiva para determinar la factorización de 5ab –17ac+11abc.
6. De las formas dadas para expresar el polinomio 12a2 –4a3b como producto, la que se debe considerar como la factorización del polinomio es:
a. 2(6a2 – 2a2b)
b. 4a(3a – a2b)
c. 4a2(3 – ab)
d. a2(12 – 4b)
e. 2a(6a-ab)
Definición Ley Distributiva Actividad Soluciones y comentarios
UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN LOS ITEMS: DEFINICIÓN Y PROPIEDAD DISTRIBUTIVA, PARA CONTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS
USE SU CUADERNO PARA EL DESARROLLO, EFECTÚE ANOTACIONES Y CONSULTE POSTERIORMENTE LAS SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
NOCIONES BÁSICAS
ÍNDICE
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. Son factorizaciones de 48:
a. 3 (2) 8
b. 2 (8) + 32
c. 3(24)
d. 6 (4) 3
e. 6 (22)2
2. Muestre que 3x ( 2x – 5) es factorización de 6x2 –15x.
3. Es (7a – 3) (2 – 4b) factorización de 12b –28ab – 6+14a?
4. Escriba dos factorizaciones de 120. Justifique con precisión su respuesta.
5. Aplique la propiedad distributiva para determinar la factorización de 5ab –17ac+11abc.
6. De las formas dadas para expresar el polinomio 12a2 –4a3b como producto, la que se debe considerar como la factorización del polinomio es:
a. 2(6a2 – 2a2b)
b. 4a(3a – a2b)
c. 4a2(3 – ab)
d. a2(12 – 4b)
e. 2a(6a-ab)
Definición Ley Distributiva Actividad Soluciones y comentarios
SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
1. De acuerdo con la definición las posibles factorizaciones
son las expresiones a,c,d,e. Note que la expresión d es
una suma.
Explique por qué razón a,c,e son factorizaciones de 48,
pero la expresión d no lo es
2. Verifique que al efectuar el producto indicado se obtiene
6x2 –15x
3. Proceda de igual forma que en el ítem anterior
4. Una factorización posible es 120 = 60 (2 ). Considera ud
que 120 (1) es una factorización de 120?
5. 5ab –17ac+11abc = a(5b – 17c + 11bc). Justifique por qué
se puede afirmar que 5ab –17ac+11abc tiene dos factores.
Cuáles son dichos factores?
6. Si procede siguiendo los ejemplos 5 y 6 del aparte
denominado propiedad distributiva, debe obtener como
respuesta el ítem c
FACTORIZACIÓN NUMÉRICA
Introducción
ÍNDICE
Objetivos
Nociones básicas
FactorizaciónNumérica
Factorización dePolinomios
Profundización
Combinación deformas de factorizarpolinomios
La FACTORIZACION PRIMA de un natural es la expresión del número mediante factores primos.
La factorización prima de 36 es 2•2•3•3 pues 36 = 2•2•3•3 y los factores 2 y 3 son números primos.
En forma simplificada la factorización dada se escribe 22 •32.. Hay técnicas que permiten determinar la
factorización de un número natural. Consulte acerca de ellas.
Al hallar la factorización prima de dos o más naturales es posible determinar factores comunes a ellos.
Por ejemplo, es correcto afirmar que factores comunes de 24 y 90 son 2 y 3 pues sus
factorizaciones primas son respectivamente 23 •3 y 2 •5 •32.. ¿ 6 es factor común de 24 y 90?
El uso de la factorización prima de un natural en los procedimientos de factorización de polinomios, se
basa en la identificación del MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR de dos o más números naturales.
Esto significa que dos o más números naturales pueden tener varios factores comunes. Muestre
que los factores comunes de 72 y 120 son 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12.
De acuerdo a la última afirmación el mayor factor común de 72 y 120 es 12. Una técnica que permite
identificar el mayor factor común de dos o más naturales se basa en escribir cada natural en forma
factorizada prima y determinar sus factores comunes. En el ejemplo 72 = 2•2•2•3•3 y
120 = 2 •2 •2 •3 •5. Note que los factores comunes son 2, 2 y 3. Luego, se afirma que el mayor
factor común es 2 •2 •3 =12.
En resumen, el MAYOR FACTOR COMUN O MÁXIMO COMÚN DIVISOR de un grupo de números
naturales es el mayor número natural que sea factor o divisor de cada uno de los números del
grupo.
Una extensión de la factorización numérica
Actividad Soluciones y comentariosNociones
FACTORIZACIÓN NUMÉRICA
Introducción
ÍNDICE
Objetivos
Nociones básicas
FactorizaciónNumérica
Factorización dePolinomios
Profundización
Combinación deformas de factorizarpolinomios
La noción de MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR se puede extender a los monomios. Es decir se puede
determinar el MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR de un grupo de monomios, el cual es el producto
entre el mayor factor común de los coeficientes numéricos y el mayor factor común de las variables.
Una forma de proceder es la que se muestra.
Determinar el MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR de 24a3b2c ; 40ab3c2 ; 36a2b2
El MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR de los coeficientes numéricos: 24, 40 y 36 es 4 (Verifíquelo)
Para hallar el mayor factor común de las variables:
a3b2c =a•a•a•b•c ab3c2 = a•b•b•b•c•c a2b2 = a•a•b•b
Es decir el mayor factor común de las variables es ab2 y por tanto el MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR
de los monomios dados es 4ab2
Puede usted sugerir una técnica para hallar el mayor factor común de variables de monomios sin
efectuar la descomposición que se muestra en el ejemplo?
NOTA: Observe que cada uno de los monomios de un grupo de ellos, se puede escribir como el
producto del MÁXIMO COMÚN DENOMINADOR y otro monomio. En el ejemplo se tiene:
24a3b2c = 4ab2 (6a2c)
40ab3c2 = 4ab2 (10bc2)
36a2b2 = 4ab2 (9a)
Puede usted sugerir una forma de hallar cada monomio (escrito en rojo) a partir del MÁXIMO COMÚN
DENOMINADOR de un grupo de monomios.
Una extensión de la factorización numérica
Actividad Soluciones y comentariosNociones
FACTORIZACIÓN NUMÉRICA
Introducción
ÍNDICE
Objetivos
Nociones básicas
FactorizaciónNumérica
Factorización dePolinomios
Profundización
Combinación deformas de factorizarpolinomios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. El mayor factor común de 60, 80 y 100 es:
a. 2
b. 5
c. 10
d. 20
e. 100
2. Es 5x2y3 el mayor factor común de 100x4y2z ; 160x3y2z2 ;
180x2y2? Si es así escriba cada monomio como el producto
del mayor factor común y otro monomio. De lo contrario
halle el mayor factor común de los monomios y realice la
misma aplicación que se pide en el párrafo anterior.
3. Dos monomios se denominan primos si el mayor factor
común de ellos es 1. Construya tres monomios que sean
primos entre sí.
UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN LOS ITEMS: FACTORIZACION NUMERICA Y UNA EXTENSION DE LA FACTORIZACION NUMERICA, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS
USE SU CUADERNO PARA EL DESARROLLO, EFECTÚE ANOTACIONES Y CONSULTE POSTERIORMENTE LAS SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
Consulte acerca de técnicas de factorización y ejercicios en:
Aula VIRTUAL de Algebra.
Una extensión de la factorización numérica
Actividad Soluciones y comentariosNociones
FACTORIZACIÓN NUMÉRICA
Introducción
ÍNDICE
Objetivos
Nociones básicas
FactorizaciónNumérica
Factorización dePolinomios
Profundización
Combinación deformas de factorizarpolinomios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. El mayor factor común de 60, 80 y 100 es:
a. 2
b. 5
c. 10
d. 20
e. 100
2. Es 5x2y3 el mayor factor común de 100x4y2z ; 160x3y2z2 ;
180x2y2? Si es así escriba cada monomio como el producto
del mayor factor común y otro monomio. De lo contrario
halle el mayor factor común de los monomios y realice la
misma aplicación que se pide en el párrafo anterior.
3. Dos monomios se denominan primos si el mayor factor
común de ellos es 1. Construya tres monomios que sean
primos entre sí.
SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
1. El mayor factor común de 60, 80 y 100 es 20. Una forma
de hallarlo es escribiendo los factores de cada número
así:
Factores de 60 = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Factores de 80 = { 1 , 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 80}
Factores de 100 = { 1 , 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50,100}
Se observa que el mayor factor común es 20.
2. No, el mayor factor común de los tres monomios es
20x2y2. El monomio 100x4y2z se expresa como el
producto 20x2y2 (5x2z)
3. – 5a2 ; b ; – 17 son monomios primos
Una extensión de la factorización numérica
Actividad Soluciones y comentariosNociones
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE
EL FACTOR COMÚN COMO FORMA GENERAL DE FACTORIZAR POLINOMIOS
El FACTOR COMÚN de un polinomio es el MAYOR FACTOR COMÚN de cada uno de los términos que lo constituyen. Para
factorizar un polinomio mediante el factor común se hace uso de la ley distributiva y el siguiente razonamiento.
Si 2x3y (3a – 2x) = 2x3y•3a – 2x3y•2x = 6ax3y – 4x4y, es correcto afirmar que 6ax3y – 4x4y = 2x3y•3a – 2x3y•2x = 2x3y (3a – 2x).
Observe que 2x3y es el MAYOR FACTOR COMÚN de los términos 6ax3y ; 4x4y
Por lo tanto, para factorizar 60b3c4z3 – 36b3c2z + 12b2c2 mediante esta forma, se determina el mayor factor común de los tres
términos, el cual es 12b2c2 (Verificarlo!) y se escribe el polinomio de tal manera que cada término sea el producto del mayor
factor común y otro monomio así: 12b2c2•5bc2z3 – 12b2c2•3bz + 12b2c2 •1, para aplicar a continuación la propiedad distributiva
así: 12b2c2(5bc2z3 – 3bz + 1)
NOTA IMPORTANTE: La factorización de un polinomio se soporta en el uso de las propiedades asociativa de la suma y
distributiva del producto respecto de la suma. Con objeto de agilizar los procedimientos se han construido técnicas, las
cuales hay que conocer y manejar, a la vez que se tiene como referente el fundamento anotado.
De acuerdo con la nota, consulte sobre una técnica que asegure que 14bm – 35abn + 63mn = 7(2bm – 5abn + 9mn)
Situaciones de uso del factor común:
1. Factorizar el opuesto del factor común de –72bx2 + 54ax – 90cx3 El opuesto del factor común es –18x, luego es correcto
afirmar que – 72bx2 + 54ax – 90cx3 = – 18x (4bx – 3a + 5cx2) . Explique el procedimiento que permite hallar la factorización
dada.
2. Determinar el factor común de 15k(2b – c) + 10m(2b – c) y factorizar.
3(2b – c) es el factor común. Por qué? 3(2b – c) (5k + 2m) es la factorización del polinomio dado.
Forma general de Factorizar polinomios
Actividad Soluciones y comentariosFormas particulares de Factorizar polinomios
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE Forma general de Factorizar polinomios
Actividad Soluciones y comentariosFormas particulares de Factorizar polinomios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. Justifique cada paso para factorizar 6h(r – y) + r – y
6h(r – y) + r – y =
6h(r – y) + (r – y) =
(r – y) (6h + 1)
2. Justifique el procedimiento para factorizar
2k (5b – 3c) – 5b + 3c.
2k (5b – 3c) – 5b + 3c =
2k (5b – 3c) + (– 5b + 3c) =
Como 5b – 3c y –5b+3c únicamente difieren en los
signos se factoriza – 1 en la segunda agrupación. Por qué?
2k (5b – 3c) – 1(5b – 3c) =
(5b – 3c) (2k – 1)
3. Por qué se puede afirmar que en el binomio
a ( x – 3 )2 – 2 ( x – 3 ) el factor común es ( x – 3 ) ?
Escriba la factorización del binomio dado.
4. Construya un trinomio cuyo factor común sea 5ax2
5. Construya un polinomio de cuatro términos cuyo factor
común sea ( x – 1 )
UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: FORMA GENERAL DE FACTORIZAR POLINOMIOS, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS
USE SU CUADERNO PARA EL DESARROLLO, EFECTÚE ANOTACIONES Y CONSULTE POSTERIORMENTE LAS SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
Consulte acerca de técnicas de factorización y ejercicios en:
Página DESCARTES. Programa del Ministerio de Educación Español
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE Forma general de Factorizar polinomios
Actividad Soluciones y comentariosFormas particulares de Factorizar polinomios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. Justifique cada paso para factorizar 6h(r – y) + r – y
6h(r – y) + r – y =
6h(r – y) + (r – y) =
(r – y) (6h + 1)
2. Justifique el procedimiento para factorizar
2k (5b – 3c) – 5b + 3c.
2k (5b – 3c) – 5b + 3c =
2k (5b – 3c) + (– 5b + 3c) =
Como 5b – 3c y –5b+3c únicamente difieren en los
signos se factoriza – 1 en la segunda agrupación. Por qué?
2k (5b – 3c) – 1(5b – 3c) =
(5b – 3c) (2k – 1)
3. Por qué se puede afirmar que en el binomio
a ( x – 3 )2 – 2 ( x – 3 ) el factor común es ( x – 3 ) ?
Escriba la factorización del binomio dado.
4. Construya un trinomio cuyo factor común sea 5ax2
5. Construya un polinomio de cuatro términos cuyo factor
común sea ( x – 1 )
SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
1. En 6h(r – y) + (r – y) se hace uso de la propiedad
asociativa de la suma para obtener un factor común:
(r – y)
2. En 2k (5b – 3c) + (– 5b + 3c) se aplica la propiedad
asociativa para tratar de obtener un factor común. Note
que la aplicación de la propiedad asociativa tiene la forma
( ) + ( )
El factor común en – 5b + 3c es 1, pero al factorizar el
opuesto de este factor común, se obtiene un factor común
en los dos términos
3. Recuerde que ( x – 3 )2 = ( x – 3 ) ( x – 3 ). Reescriba el
polinomio a factorizar teniendo en cuenta esta afirmación,
e identifique el factor común.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE Factorización por agrupación de términos
ActividadSoluciones y comentarios
Formas particulares de factorizar polinomios
Factorización de trinomios
Factorización de binomios
LA FACTORIZACION POR AGRUPACION DE TERMINOS: UNA FORMA ESENCIAL
Las formas particulares de factorización se intentan aplicar una vez que se ha verificado que el polinomio dado tiene como factor
común 1.
Factorizar 15ax – 3ay + 10bx –2by . Nótese que el
factor común del polinomio es 1.
Se usa la ley asociativa de la suma para agrupar
términos de tal forma que en alguna de las
agrupaciones se identifique un factor común distinto
de 1.
= (15ax – 3ay ) + (10bx –2by)
= 3a (5x – y ) + 2b (5x – y ) Factorización por factor
común (en cada agrupación en este caso)
= (5x – y ) (3a + 2b ) Factorización por factor común.
• Factorizar 4hr –20hs – 3r + 15s. Observe que el
factor común del polinomio es 1. De acuerdo con el
ejemplo anterior, una forma de proceder es:
(4hr –20hs) + ( – 3r + 15s) Ley asociativa de la suma
= 4h ( r – 5s) + 3 (– r + 5s )
No es posible aplicar de nuevo la forma general de
factorización: factor común y que r – 5s y – r +5s
únicamente difieren en los signos. De acuerdo a esto
en alguna agrupación se factoriza el opuesto del
factor común así: 4h ( r – 5s) – 3 ( r – 5s ) y se
continua con el procedimiento antes expuesto.
= ( r – 5s ) (4h – 3 )
NOTA: Si se aplica la ley asociativa con un agrupamiento
diferente y se puede seguir el procedimiento
expuesto, se obtiene la factorización del polinomio.
Muestre que al aplicar la ley asociativa de la suma (como
se ve abajo) en 4hr –20hs – 3r + 15s, se obtiene la
factorización anterior.
4hr –20hs – 3r + 15s = ( 4hr – 3r ) + ( -20hs + 15s )
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE
Formas particulares de factorizar polinomios
Factorización por agrupación de términos
ActividadSoluciones y comentarios
Factorización de trinomios
Factorización de binomios
Como ( 2ab – 5x ) ( 2ab + 5x ) = 4a2b2 + 10abx –10abx + 25x2 = 4a2b2–25x2, es correcto afirmar que:
4a2b2 – 25x2 = ( 2ab – 5x ) ( 2ab + 5x ).
4a2b2 – 25x2 es una diferencia de cuadrados pues 4a2b2 = (2ab)2 y 25x2=(5x)2. Un uso adecuado de la factorización por agrupación
de términos permite factorizar una diferencia de cuadrados.
Factorizar 36x6-25y4z10. Verificar que el binomio es diferencia de cuadrados. 36x6=(6x3)2 y 25y4z10=(5y2z5)2. Entonces:
36x6 – 25y4z10 = 36x6 +30x3y2z5 – 30x3y2z5 – 25y4z10 (Se sumó y restó el producto de los monomios cuyos cuadrados son los términos
de la diferencia que se está factorizando. Cómo justificar esta acción?). A continuación se factoriza por agrupación de términos
(36x6 +30x3y2z5) + (– 30x3y2z5–25y4z10) =
6x3 (6x3+5y2z5) – 5y2z5 (6x3+5y2z5)=
(6x3+5y2z5) (6x3 –5y2z5)
DIFERENCIA DE CUADRADOS
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE
Formas particulares de factorizar polinomios
Factorización por agrupación de términos
ActividadSoluciones y comentarios
Factorización de trinomios
Factorización de binomios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. Muestre que el binomio 64x6 – y12 es factorizable mediante
dos formas diferentes de factorizar binomios.
2. Si 11 es un cuadrado, entonces es correcto afirmar que
11 – 4p6 es una diferencia de cuadrados? Justifique su
respuesta y en caso afirmativo, factorice el binomio.
3. Construya un binomio que sea una suma de cuadrados.
Será posible factorizarlo con un procedimiento similar al de
la factorización de una diferencia de cuadrados? Justifique
su respuesta con un razonamiento adecuado.
4. Consulte acerca de las técnicas existentes para agilizar la
factorización de una diferencia de cuadrados, una suma de
cubos o una diferencia de cubos y trate de explicar el
fundamento de dichas técnicas. Muestre un ejemplo del
funcionamiento de las técnicas.
UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS
USE SU CUADERNO PARA EL DESARROLLO, EFECTÚE ANOTACIONES Y CONSULTE POSTERIORMENTE LAS SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
Consulte acerca de técnicas de factorización y ejercicios en:
Tutoriales de ÁLGEBRA de W. T. A&M University
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE
Formas particulares de factorizar polinomios
Factorización por agrupación de términos
ActividadSoluciones y comentarios
Factorización de trinomios
Factorización de binomios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. Muestre que el binomio 64x6 – y12 es factorizable mediante
dos formas diferentes de factorizar binomios.
2. Si 11 es un cuadrado, entonces es correcto afirmar que
11 – 4p6 es una diferencia de cuadrados? Justifique su
respuesta y en caso afirmativo, factorice el binomio.
3. Construya un binomio que sea una suma de cuadrados.
Será posible factorizarlo con un procedimiento similar al de
la factorización de una diferencia de cuadrados? Justifique
su respuesta con un razonamiento adecuado.
4. Consulte acerca de las técnicas existentes para agilizar la
factorización de una diferencia de cuadrados, una suma de
cubos o una diferencia de cubos y trate de explicar el
fundamento de dichas técnicas. Muestre un ejemplo del
funcionamiento de las técnicas.
SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
1. 64x6–y12 es una diferencia de cuadrados pues
64x6 = (8x3)2 ; y12 = (y6)2
64x6–y12 es una diferencia de cubos pues 64x6 = (4x2)3 ;
y12 = (y4)3
2. 11 es un cuadrado pues 4p6 es un cuadrado
pues 4p6 = ( 2p3)2. Luego 11 – 4p6 es una diferencia de
cuadrados.
21111
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE
Formas particulares de factorizar polinomios
Factorización por agrupación de términos
ActividadSoluciones y comentarios
Factorización de trinomios
Factorización de binomios
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
Como (b–2c)(b2+2bc+4c2) = b3+2b2c+4bc2 – 2b2c – 4bc2 – 8c3 = b3 – 8c3, entonces b3 – 8c3 = (b–2c)(b2+2bc+4c2)
Como (b+2c)(b2–2bc+4c2) = b3 –2b2c+4bc2+ 2b2c– 4bc2 +8c3 = b3 + 8c3, entonces b3 + 8c3 = (b+2c)(b2–2bc+4c2)
Muestre que b3 + 8c3 y b3 – 8c3 son respectivamente una suma de cubos y una diferencia de cubos. Un uso adecuado de la
factorización por agrupación de términos permite factorizar una suma de cubos o una diferencia de cubos.
Factorizar 27c6+125m9. El binomio es una suma de cubos, pues 27c6 =(3c2)3 y 125m9 = (5m3)3. Entonces:
27c6+125m9=27c6 – 45c4m3+75c2m6 +45c4m3 –75c2m6+125m9
Se suman y restan dos cantidades así:
• El producto entre el monomio (cuyo cubo es el primero de los términos dados) y el cuadrado del monomio (cuyo cubo es el
segundo de los términos dados). Verificarlo
• El producto entre el monomio (cuyo cubo es el segundo de los términos dados) y el cuadrado del monomio (cuyo cubo es el
primero de los términos dados). Verificarlo.
Nota: Justifique las acciones de sumar y restar las dos cantidades antes indicadas.
A continuación se factoriza por agrupación de términos, así:
(27c6 – 45c4m3+75c2m6 )+(45c4m3 –75c2m6+125m9 ) =
3c2(9c4-15c2m3+25m6)+5m3(9c4 – 15c2m3+25m6) =
(9c4 – 15c2m3+25m6) (3c2+5m3) que usualmente se escribe
(3c2+5m3)(9c4 – 15c2m3+25m6)
• Muestre que este mismo procedimiento pemite factorizar una diferencia de cubos.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE
Formas particulares de factorizar polinomios
Factorización por agrupación de términos
ActividadSoluciones y comentarios
Factorización de trinomios
Factorización de binomios
Si ( 3x – 5) (2x+3) = 6x2+9x – 10x – 15 = 6x2 – x – 15, entonces es correcto afirmar que 6x2 – 4x – 15 = ( 3x – 5) (2x+3).
Se considera un trinomio de la forma ax2+bx+c, con a, b, c números enteros. La factorización se basa en el siguiente razonamiento:
Si ax2+bx+c es expresable como ( px + r) (qx+s) con p,q,r,s, enteros , entonces ax2+bx+c = ( px + r) (qx+s), luego
ax2+bx+c = pqx2+psx+rqx+rs. Ley distributiva
ax2+bx+c = pqx2+(ps+rq)x+rs Ley asociativa y factor común
a=pq ; b=ps+rq ; c=rs Igualdad de polinomios.
Se tiene que ac=(ps)(rq) y b=ps+rq. Si se nombra ps=m ; rq=n, entonces ac = mn y b=m+n.
Factorizar 10x2 – 17x+3. En este trinomio a=10, b= –17 , c=3
10x2 – 17x+3 = 10x2+mx+nx+3 m, n números enteros tales que m+n= – 17 y mn=30 (Explique la razón de esta afirmación)
m= –15 , n= –2. (Cómo hallar estos enteros?)
10x2 – 17x+3 = 10x2 – 15x – 2x+3. Expresión del trinomio como polinomio de cuatro términos. Se procede a factorizar por agrupación
de términos.
10x2 – 15x – 2x+3 =
(10x2 – 15x) – ( 2x–3) =
5x ( 2x–3) –( 2x–3) =
( 2x – 3) ( 5x – 1) (Verificar el producto obtenido)
FACTORIZACION DEL TRINOMIO DE LA FORMA ax2+bx+c
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE
Formas particulares de factorizar polinomios
Factorización por agrupación de términos
ActividadSoluciones y comentarios
Factorización de trinomios
Factorización de binomios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. Dados los trinomios:
a. –h2 + 3h + 18
b. 6q10 –13q5 –5
c. 5t3 + 6t – 8
d. w2 –6w + 9
e. b2 + 11b +30
f. 2z2 + 3z + 20
Determine cuáles de ellos son trinomios de la forma ax2+bx+c y
cuáles de ellos son factorizables. Muestre la factorización
de estos últimos
2. Algunos autores de textos clasifican los trinomios así:
trinomios cuadrados perfectos, trinomios de la forma
x2+bx+c y trinomios de la forma ax2+bx+c con a diferente
de 1. Además desarrollan técnicas para factorizar estos
trinomios. Consulte sobre esta clasificación y estas
técnicas.
3. Contraste la forma como se asume en esta presentación la
factorización de trinomios de la forma ax2+bx+c y la forma
como se describe en el ítem 2. Describa ventajas y
desventajas
UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS
USE SU CUADERNO PARA EL DESARROLLO, EFECTÚE ANOTACIONES Y CONSULTE POSTERIORMENTE LAS SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
Consulte acerca de técnicas de factorización y ejercicios en:
CURSO VIRTUAL de la Universidad Nacional de Colombia
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
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Formas particulares de factorizar polinomios
Factorización por agrupación de términos
ActividadSoluciones y comentarios
Factorización de trinomios
Factorización de binomios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. Dados los trinomios:
a. –h2 + 3h + 18
b. 6q10 –13q5 –5
c. 5t3 + 6t – 8
d. w2 –6w + 9
e. b2 + 11b +30
f. 2z2 + 3z + 20
Determine cuáles de ellos son trinomios de la forma ax2+bx+c y
cuáles de ellos son factorizables. Muestre la factorización
de estos últimos
2. Algunos autores de textos clasifican los trinomios así:
trinomios cuadrados perfectos, trinomios de la forma
x2+bx+c y trinomios de la forma ax2+bx+c con a diferente
de 1. Además desarrollan técnicas para factorizar estos
trinomios. Consulte sobre esta clasificación y estas
técnicas.
3. Contraste la forma como se asume en esta presentación la
factorización de trinomios de la forma ax2+bx+c y la forma
como se describe en el ítem 2. Describa ventajas y
desventajas
SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
1. El trinomio del ítem c no es de la forma ax2+bx+c, pues t3
no es el cuadrado de t.
De los demás trinomios el trinomio del ítem c no es
factorizable.
El trinomio del ítem d se factoriza así:
w2 –6w + 9 = w2 +mw+nw+ 9, m, n números enteros tales
que m+n = – 6 y mn = 9
Los números que cumplen la condición son m = – 3,
n = – 3, por lo tanto:
w2 –6w + 9 = w2 – 3w – 3w+ 9
= ( w2 – 3w ) + ( – 3w+ 9 )
= w ( w – 3 ) – 3 ( w – 3 )
= ( w – 3 ) ( w – 3 )
= ( w – 3 )2
NOTA: Es importante escribir la factorización como se hizo en
el último renglón, pues esta forma es imprescindible en
varios procedimientos donde se usa la factorización.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE
Formas particulares de factorizar polinomios
Factorización por agrupación de términos
ActividadSoluciones y comentarios
Factorización de trinomios
Factorización de binomios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. Establecer dos términos que deben escribirse en el espacio
para que uno de los factores de la factorización del
polinomio dado sea (2 – d )
Polinomio: 2c + 2d + ____ + _____
2. Dado el polinomio bk – 3b – kc + 3c – dk + 3d, muestre dos
agrupaciones diferentes (una de ellas haciendo grupos de
a dos términos y la otra tomando grupos de a tres
términos ) que permitan factorizar el polinomio.
3. Muestre que la factorización por agrupación de términos
del polinomio 27x6 – 9x4z3 + 6x2z6 – 18x4z3+ 3x2z6 – z9 es
( 3x2 – z3 )3
UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS
USE SU CUADERNO PARA EL DESARROLLO, EFECTÚE ANOTACIONES Y CONSULTE POSTERIORMENTE LAS SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
Consulte acerca de técnicas de factorización y ejercicios en:
Página de matemáticas y ÁLGEBRA.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
ÍNDICE
Formas particulares de factorizar polinomios
Factorización por agrupación de términos
ActividadSoluciones y comentarios
Factorización de trinomios
Factorización de binomios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. Establecer dos términos que deben escribirse en el espacio
para que uno de los factores de la factorización del
polinomio dado sea (2 - d )
Polinomio: 2c + 2d + ____ + _____
2. Dado el polinomio bk – 3b – kc + 3c – dk + 3d, muestre dos
agrupaciones diferentes (una de ellas haciendo grupos de
a dos términos y la otra tomando grupos de a tres
términos ) que permitan factorizar el polinomio.
3. Muestre que la factorización por agrupación de términos
del polinomio 27x6 – 9x4z3 + 6x2z6 – 18x4z3+ 3x2z6 – z9 es
( 3x2 – z3 )3
SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
1. Note que el polinomio dado se puede escribir como
2 ( c + d ) + ____ + _____ , luego se requiere que en los
dos último términos pueda obtener como factor común
c + d y que otro factor sea –d, por tanto un polinomio es:
2 c + 2d – cd – d2 Verificar la afirmación.
Puede determinar otro polinomio que cumpla la
condición?
2. Una agrupación posible es:
( bk – kc– dk ) + (– 3b + 3d + 3c ) que conduce a la
factorización:
( b – 3 ) ( b – c – d ) Realice el procedimiento completo.
COMBINACIÓN DE FORMAS DE FACTORIZAR POLINOMIOS
ÍNDICE Noción ActividadSoluciones y comentarios
FACTORIZACION COMPLETA DE UN POLINOMIO
Se afirma que un polinomio es irreductible cuando no es factorizable por alguna de las formas conocidas.
Se considera que un polinomio esta factorizado completamente cuando cada uno de sus factores es un polinomio irreductible.
Para utilizar la factorización en forma adecuada es imprescindible factorizar completamente un polinomio dado. Veamos
algunas situaciones
Factorizar 24k2w – 76kw + 40w.
De acuerdo con las sugerencias dadas, el factor común de los
monomios es 4w. Al factorizar mediante factor común, se
obtiene:
24k2w – 76kw + 40w = 4w ( 6k2 – 19k + 10 )
El trinomio 6k2 – 19k + 10, es de la forma ax2+bx+c; por lo
tanto hay que intentar factorizarlo. Aquí a=6 , b= –19;
c=10. Por lo tanto,
6k2 – 19k + 10 = 6k2 + mk + nk + 10, con m , n enteros tales
que m + n = – 19 y mn=60. Entonces m= – 15 , n= – 4
6k2 – 19k + 10 = 6k2 – 15k – 4k + 10
=( 6k2 – 15k ) – ( 4k – 10 ) = 3k ( 2k – 5 ) – 2 ( 2k – 5 )
= ( 2k – 5 ) ( 3k – 2 )
Por lo tanto, es correcto afirmar que
24k2w – 76kw + 40w = 4w ( 2k – 5 ) ( 3k – 2 )
Factorizar b2 – 4y2 – 3b+6y
Se observa que el factor común de los monomios que
integran el polinomio es 1. Por tanto, se procede con
formas particulares de factorización. En esta situación
la agrupación de términos es útil, pues:
b2 – 4y2 – 3b+6y =
( b2 – 4y2 ) – (3b + 6y ) =
Note que b2 – 4y2 es una diferencia de cuadrados (Por qué?). Al factorizar en cada agrupación, se obtiene:
( b – 2y ) (b + 2y ) – 3 (b + 2y ) =
(b + 2y ) (( b – 2y ) – 3 ) =
(b + 2y ) ( b – 2y – 3 )
Note que cada uno de los factores hallados es un polinomio irrreductible.
COMBINACIÓN DE FORMAS DE FACTORIZAR POLINOMIOS
ÍNDICE Noción ActividadSoluciones y comentarios
UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: COMBINACIÓN DE FORMAS DE FACTORIZAR, PARA CONSTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS
USE SU CUADERNO PARA EL DESARROLLO, EFECTÚE ANOTACIONES Y CONSULTE POSTERIORMENTE LAS SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
Consulte acerca de técnicas de factorización y ejercicios en:
Página de MATEMÁTICAS con base en FAQ (Frequent asked questions)
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. Muestre que el trinomio 12r2 – 120r +252 es factorizable
completamente usando factor común y el trinomio de la
forma ax2+bx+c. Factorícelo de dos maneras, usando estas
formas en orden diferente. Elabore una conclusión
respecto de una secuencia óptima para factorizar un
polinomio.
2. Muestre que el binomio k6 – 729 es factorizable
completamente de dos maneras diferentes, mediante el
uso de dos formas de factorizar binomios
3. Construya un polinomio de tal manera que para factorizarlo
completamente, sea necesario el uso de tres formas de
factorización.
4. Factorice completamente k3 + 5k2 + 6k + k2r + 5kr + 6r
COMBINACIÓN DE FORMAS DE FACTORIZAR POLINOMIOS
ÍNDICE Noción ActividadSoluciones y comentarios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. Muestre que el trinomio 12r2 – 120r +252 es factorizable
completamente usando factor común y el trinomio de la
forma ax2+bx+c. Factorícelo de dos maneras, usando estas
formas en orden diferente. Elabore una conclusión
respecto de una secuencia óptima para factorizar un
polinomio.
2. Muestre que el binomio k6 – 729 es factorizable
completamente de dos maneras diferentes, mediante el
uso de dos formas de factorizar binomios
3. Construya un polinomio de tal manera que para factorizarlo
completamente, sea necesario el uso de tres formas de
factorización.
4. Factorice completamente k3 + 5k2 + 6k + k2r + 5kr + 6r
SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
1. Una forma de factorizar 12r2 – 120r +252 es así:
12r2 – 120r +252 = 12 ( r2 – 10r + 21 )
Muestre a continuación que r2 – 10r + 21 = ( r – 7 ) ( r – 3 )
2. Note que k6 – 729 , puede ser considerado de dos formas diferentes: como una diferencia de cuadrados o como una diferencia de cubos. Factorice mediante cada una de estas formas y observará que el posible volver a factorizar alguno de los factores obtenidos.
3. Use agrupación de términos. Uno de los factores obtenidos es un trinomio de la forma ax2+bx+c.
ÍNDICE
PROFUNDIZACIÓN
ÍNDICE Noción ActividadSoluciones y comentarios
Las formas de factorizar que han sido estudiadas en otros apartes, son susceptibles de aplicarse a expresiones algebráicas que
tienen similitud con los polinomios. Se muestran algunas situaciones
Factorizar
Por qué esta expresión no es un polinomio ?
Se nota que x es un factor común en la expresión. En este caso se sugiere que la potencia de x que forma parte del factor común,
sea la menor potencia que se encuentre en la expresión. En consecuencia el factor común es .Por lo tanto:
Factorizar ( k – 3 )6 + 9 ( k – 3 )3 – 22
La expresión es un trinomio, luego es pertinente intentar escribirla como un trinomio de la forma ax2+bx+c. Para ello se efectúa la
sustitución w = k – 3 , con lo cual:
( k – 3 )6 + 9 ( k – 3 )3 – 22 =w6 + 9w3 – 22.
Es correcto asumir que el último trinomio tiene la forma deseada pues w6 es el cuadrado de w3. Por tanto se procede a
factorizar el trinomio, así:
w6 +9w3 – 22 = w6 +mw3 +nw3 – 22
m, n enteros tales que m+n= 9 y mn = –22. Los enteros que cumplen la condición son m = 11 y n = –2
w6 + 11w3 – 2w3 – 22 = ( w6 +11w3 ) + (– 2w3 – 22 )
w3 ( w3 + 11 ) – 2 ( w3 + 11 ) = ( w3 + 11 ) (w3 – 2 ) Como w = k – 3, se obtiene que
( k – 3 )6 + 9 ( k – 3 )3 – 22 = (( k – 3 )3 + 11 ) (( k – 3 )3 – 2 )
322232221 4323331269 cxxbxaxxcxbxax
cxbxax 1269 221
3232 4233 cxbaxx
2x3
ÍNDICE
PROFUNDIZACIÓN
ÍNDICE Noción ActividadSoluciones y comentarios
UTILICE LAS NOCIONES DADAS EN EL ITEM: PROFUNDIZACIÓN, PARA CONTESTAR LOS INTERROGANTES PLANTEADOS
USE SU CUADERNO PARA EL DESARROLLO, EFECTÚE ANOTACIONES Y CONSULTE POSTERIORMENTE LAS SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. El trinomio w2 – 13wz3 + 42z6 se puede considerar como un
trinomio de la forma ax2+bx+c, con a = 1, b = – 13z3 ,
c = 42z6 . En consecuencia se puede factorizar mediante el
procedimiento descrito para este tipo de trinomios, así:
w2 – 13wz3 + 42z6 = w2 +mw+nw + 42z6 , con m , n
expresiones algebráicas tales que m+n = -13z3 y mn = 42z6.
Justifique esta última afirmación y factorice el trinomio.
2. Justifique por qué el trinomio del punto 1 puede ser tomado
como un trinomio de la forma ax2+bx+c, con a = 42,
b = -13w y c= w2. y por tanto se puede factorizar mediante
esta forma.
3. Muestre que el binomio z2n – 166m es una diferencia de
cuadrados y factorícelo.
4. Factorizar 9t2 – 6t + 1 – 25y2. Agrupe el trinomio 9t2 – 6t + 1
y factorícelo. Qué forma de factorizar aplicaría a
continuación?
ÍNDICE
PROFUNDIZACIÓN
ÍNDICE Noción ActividadSoluciones y comentarios
INTERROGANTES Y CUESTIONAMIENTOS.
1. El trinomio w2 – 13wz3 + 42z6 se puede considerar como un
trinomio de la forma ax2+bx+c, con a = 1, b = – 13z3 ,
c = 42z6 . En consecuencia se puede factorizar mediante el
procedimiento descrito para este tipo de trinomios, así:
w2 – 13wz3 + 42z6 = w2 +mw+nw + 42z6 , con m , n
expresiones algebráicas tales que m+n = -13z3 y mn = 42z6.
Justifique esta última afirmación y factorice el trinomio.
2. Justifique por qué el trinomio del punto 1 puede ser tomado
como un trinomio de la forma ax2+bx+c, con a = 42,
b = -13w y c= w2. y por tanto se puede factorizar mediante
esta forma.
3. Muestre que el binomio z2n – 166m es una diferencia de
cuadrados y factorícelo.
4. Factorizar 9t2 – 6t + 1 – 25y2. Agrupe el trinomio 9t2 – 6t + 1
y factorícelo. Qué forma de factorizar aplicaría a
continuación?
SOLUCIONES Y COMENTARIOS.
1. Las expresiones algebráicas m, n que cumplen con las
condiciones especificadas son m = -7z3 , n = -6z3, luego
w2 – 13wz3 + 42z6 = w2 +(-7z3 )w+(-6z3) w + 42z6
= w2 – 7z3w – 6z3w + 42z6
= ( w2 – 7z3w ) – ( 6z3w + 42z6 )
= w ( w – 7z3 ) – 6z3 (w – 7z3 )
= ( w – 7z3 ) ( w –6z3 )
3. z2n – 166m es una diferencia de cuadrados porque z2n
= (zn)2 y 166m = ( 43m )2 .
4. Muestre que 9t2 – 6t + 1 = ( 3t – 1 )2 y por tanto
9t2 – 6t + 1 – 25y2 = ( 3t – 1 )2 – 25y2. Este último binomio
es factorizable mediante una diferencia de cuadrados.