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MAT 108 - Calculo IPauta Prueba N3
Viernes 26 de junio,2015.
1. Sea f : [3, 3] R una funcion continua representada en el grafico. f es derivable en elintervalo ] 3, 3[ salvo en dos puntos.
a) Determine los intervalos donde la derivada de f es positiva.
b) Determine los valores de x en el intervalo ] 3, 3 [ en los que la derivada de f es cero.c) Determine los valores de x para los que f alcanza maximos y mnimos locales y maximos
y mnimos globales para 3 x 3. Indique claramente a que corresponde cada punto.d) Determine los intervalos donde f (x) es negativo y la coordenada x del punto de inflexion
de f .
Solucion:
a) La derivada de f es positiva si x ]3,1[ ]0, 25
[ ]85, 52
[Criterios de correccion:
1 punto por identificar cada intervalo. (total: 3 puntos)
b) La derivada de f es cero en x = 1;x = 25;x = 8
5
Criterios de correccion:
1 punto por cada uno. (total: 3 puntos)
c) En x = 3 f tiene un minimo global.
En x = 1 f tiene un maximo local.
En x = 0 f tiene un mnimo local.
En x = 25f tiene un maximo local.
En x = 85f tiene un mnimo local.
En x = 52f tiene un maximo global.
En x = 3 f tiene un mnimo local.
Criterios de correccion:
0.5 punto por identificar cada punto con su respectiva clasificacion. (total: 3.5 pun-tos)
d) f (x) es negativo si x ]3, 0[ ]0, 1[
f tiene un punto de inflexion en x = 1.
Criterios de correccion:
1 punto por cada intervalo.
0.5 punto por identificar el punto de inflexion.
2. El costo total al producir x unidades de un cierto artculo esta dado por
C(x) = x +400
x
dolares, con 1 x 0 si x > 20Luego C es creciente en ]20,+[ y decreciente en ]1, 20[
Criterios de correccion:
1 punto por la derivada de C.
1 punto por cada intervalo.
b) Como C cambia de decreciente a creciente en x = 20, por el criterio de la primera deri-vada, se tiene en x = 20 un valor mnimo local para C, es decir, se deben producir 20artculos para minimizar el costo.
Criterios de correccion:
2 puntos por aplicar algun criterio.
1 punto por determinar el numero de artculos.
c) Estudiando el signo de C (x) =800
x3Como x 1 se tiene que C (x) > 0, es decir C es concava hacia arriba en todo su dominio.
Criterios de correccion:
1 punto por la segunda derivada de C.
1 punto por determinar el signo de la segunda derivada.
1 punto por identificar el intervalo de concavidad.
d) Grafico:
Criterios de correccion:
1 punto porque la grafica sea concava hacia arriba.
1 punto por indicar el valor mnimo en x = 20.
1 punto por considerar el dominio dentro del grafico.
Observacion: Si el alumno no considera el dominio de C y hace los analisis sin considerarx 1 descontar 1 punto en cada tem.
3. Considere la funcion g(x) = x sen(2x) ln(2x + 1)ex
con x > 12, cuyo grafico se muestra en
la figura.
a) Calcule g(x).
b) Determine la aproximacion lineal de g(x) en x0 = 0 y utilcela para aproximar g(18).c) Represente graficamente la aproximacion lineal en la figura.
d) Sabiendo que g tiene una unica inversa local en una vecindad del origen calcule (g1) (0).
Solucion:
a) Se tiene que
g(x) = [x sen(2x)] [
ln(2x + 1)
ex
]
= [sen(2x) + x cos(2x) 2][
(ln(2x + 1)) ex ln(2x + 1) (ex)(ex)2
]
= sen(2x) + 2x cos(2x)[(
22x+1
) ex ln(2x + 1) exe2x
]
= sen(2x) + 2x cos(2x) 2 (2x + 1) ln(2x + 1)ex(2x + 1)
Criterios de correccion:
1 punto por la derivada del producto.
2 puntos por la derivada del cuociente.
b) Se sabe que la aproximacion lineal en x0 = 0 esta dada por
L(x) = g(0)(x 0) + g(0)
Luego, como g(0) = 0 y g(0) = 2 se obtieneL(x) = 2x
As, el valor aproximado de g(18) es
g
(1
8
) L
(1
8
)= 2 1
8=
1
4
Criterios de correccion:
1 punto por escribir la formula de la aproximacion lineal.
1 punto por determinar la ecuacion de L(x).
1 punto por aproximar g en 18.
c) Graficamente,
Criterios de correccion:
3 puntos por graficar correctamente la recta.
d) Utilizando el teorema de la funcion inversa se tiene que
(g1)(0) =1
g(g1(0))
Dado que se conoce g(x) basta determinar g1(0). A partir del grafico, se observa queg1(0) = 0. Luego, g(0) = 2 y por lo tanto
(g1)(0) = 12
Criterios de correccion:
1 punto por escribir la formula de la inversa.
1 punto por determinar la preimagen de 0.
1 punto por obtener la derivada de la inversa en x = 0.
4. Se estima que dentro de t anos la poblacion p de cierta comunidad suburbana sera
p(t) = 10 20(t + 1)2
miles de habitantes. Un estudio ambiental indica que el nivel promedio diario de contaminantesen funcion del numero de habitantes sera:
c(p) =4
5
p2 + p + 139
unidades de contaminantes, cuando la poblacion sea p miles.
a) Calcule e interprete las derivadasdp
dt(1) y
dc
dp(5).
b) A que razon cambiara el nivel promedio diario de contaminantes con respecto al tiempodentro de un ano ?
c) Indique si la cantidad promedio diario de contaminantes c crece o decrece al aumentarel tiempo.
d) En cuanto se estabilizara la cantidad promedio diario de contaminantes pasado muchotiempo ?
Solucion:
a)dp
dt=
40
(t + 1)3y por tanto
dp
dt(1) = 5 e indica que el numero de habitantes aumento en
5000 durante el primer ano.
dc
dp=
2(2p + 1)
5p2 + p + 139
y por tantodc
dp(5) =
22
65e indica que el nivel promedio de conta-
minantes aumenta en22
65cuando la poblacion es de 5000 habitantes.
Criterios de correccion:
1 punto por calcular cada derivada.
0.5 punto por interpretar cada derivada.
b) Usando la regla de la cadena se tiene:dc
dt=dc
dp dpdt
luego,dc
dt(1) =
dc
dp(5)
dp
dt(1) =
22
65 5 = 22
13
Criterios de correccion:
2 puntos por utilizar la regla de la cadena.
2 puntos por calcular la derivada.
c) Comodc
dt=dc
dp
dp
dt=
2(2p + 1)
5p2 + p + 139
40(t + 1)3
cada termino en la expresion es positivo, luego la cantidad promedio diario de contami-nates crece al aumentar el tiempo.
Criterios de correccion:
2 puntos por plantear la derivada dcdt
.
2 puntos por determinar su valor y ver que es positiva en el intervalo.
Observacion: Esto tambien se puede hacer construyendo C en funcion de t. En tal casoasignar 2 puntos por C(t) y 2 puntos por derivar y observar que esta derivada espositiva.
d) La poblacion despues de mucho tiempo se obtiene:
lmt
p(t) = lmt
10 20(t + 1)2
= 10
luego, la cantidad promedio diaria se estabilizara en el valor c(10) 12,6Criterios de correccion:
1 punto por determinar el valor pedido.