Post on 05-Sep-2020
POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Teoría del momento unidimensional (Betz, 1926)
Supone que la extracción de energía del viento es realizada por una turbina genérica ideal denominada disco actuador
Se considera un volumen de control (tubo) en el cual el flujo de aire ingresa y egresa sólo por los extremos.
Se asumen las siguientes condiciones:
Fluido en estado estacionario, homogéneo e incompresible
No hay pérdidas por fricción
Número de palas infinito
Fuerza uniforme sobre el disco
No hay rotación en el flujo de aire
A una distancia suficientemente alejada del disco, la presión estática anterior y posterior son iguales.
DIE
C-U
NS
-1
er c
ua
t. 20
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FA
E -
Cla
se
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1
POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Teoría del momento unidimensional (cont.)
Se aplica Bernoulli (conservación de la energía) a los volúmenes de control antes y después del disco actuador
Considerando que (4) está suficientemente alejado del disco , y que se tiene
Restando ambas expresiones resulta
La diferencia de presiones producirá una fuerza de empuje Tsobre el disco actuador de área
2 21 11 1 2 22 2
2 21 13 3 4 42 2
p U p U
p U p U
2 3U U1 4p p
2 21 11 1 2 22 2
2 21 11 4 3 22 2
p U p U
p U p U
2 211 4 2 32
U U p p
2 212 3 1 42
T p p A A U U
2 3A A A
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Teoría del momento unidimensional (cont.)
Por conservación de la cantidad de movimiento a ambos lados del disco, la fuerza de tracción se puede expresar en términos de la variación en la cantidad de movimiento de entrada y salida del tubo
Como se asume flujo estacionario
Entonces
Anteriormente, se obtuvo
Igualando ambas expresiones de T, se tiene la relación de velocidades
1 1 4 4T m U m U
1 4 2 2m m m AU
2 1 4T AU U U
1 42
2
U UU
2 211 42
T A U U
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Teoría del momento unidimensional (cont.)
Definiendo el factor de inducción axial o factor de interferencia aerodinámico
Resulta
y reemplazando en la expresión de la fuerza de tracción
La potencia debido al salto de presión en el disco resulta
1 1 1
2112
1 1 2
1 4
T AU a U U a
AU a a
1 2
1
U Ua
U
2 1
4 1
1
1 2
U U a
U U a
212 1 12
1 4 1P TU AU a aU a
231
124 1P AU a a
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Teoría del momento unidimensional (cont.)
Coeficiente de potencia de la turbina
Valor máximo teórico (límite de Betz)
Idealmente la turbina puede extraer un máximo de 59.26% de la energía del viento
2
4 1p
w
PC a a
P
máx
160.593
27pC
1
3opta
1 min
4 1 1 3 0 1max
3
p
aC
a aa a
2 1
2
3U U 4 1
1
3U U
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Teoría del momento unidimensional (cont.)
Coeficiente de tracción o empuje de la turbina
Observaciones
Para a = 1/3, CP=CPmáx y CT = 0.88
Para a = 0.5, CT = 1 (máximo), v4 = 0
Para a > 0.5, el modelo no es válido (teoría de Betz) y el torque real puede alcanzar valores cercanos a 2.
212
212
4 14 1T
w
AU a aTC a a
T AU
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Teoría del momento unidimensional (cont.)
Coeficientes de potencia y par de la turbina
4 1TC a a 2
4 1pC a a
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Teoría del momento unidimensional (cont.)
En la práctica la potencia extraída por la turbina es inferior al límite de Betz (59.3%).
Los principales efectos que intervienen y que no fueron tenidos en cuenta en la derivación anterior son:
Rotación de la estela detrás del rotor
Número de palas finito
Arrastre aerodinámico no nulo
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Rotación de la estela
El torque que produce el aire al pasar por la turbina requiere de un par igual y opuesto sobre el aire (acción y reacción)
Como consecuencia el aire, luego de pasar por la turbina, además de la componente axial tiene una tangencial que lo hace rotar en sentido opuesto a la turbina.
Disminuye la potencia aprovechada porque parte de la energía se transfiere al movimiento de rotación del aire.
El efecto es mayor cuanto menor es la velocidad de rotación de la turbina.
Se puede extender el análisis anteriorpara incluir este efecto.
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Rotación de la estela (cont.)
Tracción sobre un elemento anular
El volumen de control considerado es un anillo.
El disco se mueve con velocidad angular (Ω) y la impartida al aire (ω) es opuesta a la del disco.
La velocidad angular del aire relativa al disco se incrementa de Ω a Ω+ωmientras que la componente axial permanece constante.
La velocidad tangencial del aire es cero antes del disco y ωr luego del disco.
Considerando que el volumen de control se mueve con la velocidad angular de las palas,se puede aplicar Bernoulli a la sección anterior y posterior al disco, resultando
y el empuje sobre el elemento anular resulta
La representación de la turbina
es ilustrativa, se considera disco
actuador ideal.
212 3 2
p p r
212 3 2
dT p p dA r dA
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Rotación de la estela (cont.)
Tracción sobre un elemento anular (cont.)
Se define el factor de inducción angular o de interferencia rotacional
La fuerza de tracción en función de este parámetro resulta
Además teníamos que
Igualando ambas expresiones se obtiene la relación local de velocidades
En particular, se define el coeficiente de punta de pala o velocidad específica de punta de pala (TSR de tip speed ratio en inglés) como
2a
R
U
1
1r
a ar
U a a
2 21
24 1dT r dA a a
21
24 1dT U dA a a
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Rotación de la estela (cont.)
Torque y potencia sobre un elemento de sección anular
El torque es igual a la variación en el momento angular del aire que lo atraviesa
Entonces la potencia generada en cada elemento anular es
El coeficiente de potencia se obtiene integrando el diferencial a lo largo de todo el rotor
2 21
2
2 23 3 31 1
2 22 2
1 4
81 4 1
p
r r
dC
dP dQ U a a r dA
r dAAU a a AU a a d
U A
2
21
2
vel. tangencial
1 2 1 4
dQ dm r U dA r r
U a dA a r r U a a r dA
3
2
0
81p r rC a a d
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Rotación de la estela (cont.)
Valor máximo del coeficiente de potencia
Se da cuando el producto a’(1-a) es máximo
Para calcularlo se expresa a’ en función de a y λr
Se busca el máximo para cada sección anular.
Luego se expresan λr y dλr en función de a y da y se resuelve la integral en función de a para distintos λ.
El resultado se muestra en la figura, donde se observa que cuanto mayor es λ, el valor máximo de Cp se aproxima más al límite de Betz.
3
2
0
81p r rC a a d
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Rotores reales
Se utilizan perfiles aerodinámicos (airfoils)
Son estructuras con formas geométricas específicas utilizadas para generar fuerzas mecánicas debido al movimiento relativo entre la estructura y el fluido que la rodea.
Las turbinas eólicas usan este principio para capturar la energía del viento, por lo cual la sección de pala tiene forma de perfil aerodinámico (ala).
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Perfiles aerodinámicos
Parámetros característicos
Línea de comba media (mean camber line): puntos equidistantes entre la superficie superior e inferior del perfil.
Línea de cuerda (chord line): línea recta que une los extremos del perfil (bordes de ataque y de fuga). Su longitud se denomina cuerda (c).
Comba o curvatura: distancia máxima entre la línea de cuerda y la línea media. Se mide perpendicular a la cuerda y se da como porcentaje de c.
Grosor: distancia entre la superficie superior e inferior (perpendicular a la cuerda).
Radio del borde de ataque y ángulo del borde de fuga
Ángulo de ataque: ángulo entre la velocidad relativa del aire y la línea de cuerda.
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Perfiles aerodinámicos (cont.)
Ejemplos de perfiles
NACA (National Advisory Committee for Aeronautics): las series originales de 4 y 5 dígitos generan el perfil usando ecuaciones que describen la comba de la línea media y la distribución del espesor.
4 dígitos NACA MPXX
M: define la comba máxima (M=2 comba del 2% de c).
P: define la posición de la máxima comba (P=4 la comba está en el 40% de c).
XX: espesor dividido 100 (XX=12 12% de c).
Simétrico con 12% de espesor
Comba suave con 15% de espesor
Comba mayor con 17% de espesor
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Fuerzas y momentos sobre el perfil
El flujo de aire sobre el perfil produce una variación de la presión en su entorno
El aire se acelera por la curvatura del perfil y se produce un gradiente de presión en la dirección de cada línea de flujo.
Líneas de flujo que se comprimen indican aumento de velocidad y disminución de presión.
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Fuerzas y momentos sobre el perfil (cont.)
Distribución de fuerzas sobre el perfil
Fuerza de sustentación (lift): perpendicular a la dirección del viento.
Se produce por la diferencia de presión entre las superficies superior e inferior.
Fuerza de arrastre (drag): paralela a la dirección del viento.
Se debe a las fuerzas viscosas sobre ambas superficies y a la distribución de presiones desigual a ambos lados.
Momento de ataque o de pitch: actúa sobre un eje perpendicular a la sección del perfil.
α: ángulo de ataque. Es el ángulo
entre la dirección relativa del viento
y la línea de cuerda de la pala.
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Fuerzas y momentos sobre el perfil (cont.)
Coeficientes de fuerza y momento adimensionales
Se pueden definir para objetos 2D o 3D en base a experimentos en túnel de viento (dependen del número de Reinolds)
Coeficiente de sustentación
Coeficiente de arrastre
Coeficiente de momento de ataque
Fuerza de sustentación/longitud
Fuerza dinámica/longitudlC
Fuerza de arrastre/longitud
Fuerza dinámica/longituddC
Momento de ataque
Momento dinámicomC
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Fuerzas y momentos sobre el perfil (cont.)
Coeficientes de fuerza
Para ángulos de ataque relativamente chicos
El coeficiente de sustentación es alto respecto al de arrastre.
Para perfiles simétricos el coeficiente de sustentación es cero cuando el ángulo de ataque es nulo, y crece con este, hasta valores superiores a 1. Se puede incrementar (y el de arrastre disminuir) usando un perfil con comba.
Para ángulos de ataque grandes
La fricción viscosa sobre la superficie desacelera el aire y se separa del perfil, perdiendo sustentación.
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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA
Fuerzas y momentos sobre el perfil (cont.)
El comportamiento puede clasificarse en tres regímenes de operación
Flujo pegado al perfil
Para ángulos de ataque bajos, el flujo de aire se mantiene pegado al perfil y la sustentación aumenta al aumentar el ángulo.
Alta sustentación y comienzo de pérdida
Luego de alcanzar la máxima sustentación comienza a separarse el flujo de la superficie y se inicia la pérdida de sustentación (stall). Se puede utilizar para disminuir la velocidad de rotación de la turbina.
Régimen de pérdida
Para ángulos de ataque de ~45°, los coeficientes de arrastre y sustentación son iguales. Hacia 90° se pierde totalmente la sustentación.
Experimento en túnel: http://www.youtube.com/watch?v=6UlsArvbTeo
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