Post on 25-Dec-2015
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Tópicos especiales
DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES PI-D
CURSO:
SEMINARIO DE TOPICOS
PROFESOR:
MACHUCA MINES
CICLO : X
NOMBRES Y APELLIDOS:
-ROY PAUCAR QUISPE
-DAVID SAENZ MONTALVAN
-LUIS PANTA VASQUEZ
INTRODUCCION
Se le denomina de esta forma a un proceso controlado por un sistema de compensación en
lazo cerrado, basado en un regulador de acciones proporcional, integral y derivativo o PID,
de tal forma que se logran características dinámicas estables, o dicho de otra forma se
logra que el sistema responda a cambios en sus variables en una forma estable.
Controlador PID .- El regulador PID (Proporcional, Integral y Derivativo) es parte de un
sistema de control realimentado, cuyo propósito es hacer que el error en estado
estacionario, entre la señal de referencia y la señal de salida del proceso, sea cero de
manera asintótica en el tiempo, lo que se logra mediante el uso de la acción integral.
Además el controlador tiene la capacidad de anticipar el futuro a través de la acción
derivativa que tiene un efecto predictivo sobre la salida del proceso.
Los controladores PID son suficientes para resolver el problema de control de muchas
aplicaciones en la industria, particularmente cuando la dinámica del proceso lo permite (En
general, procesos que pueden ser descritos por dinámicas de primer y segundo orden).
El controlador PID es un elemento importante en sistemas de control distribuido, de tal
forma que un gran porcentaje de reguladores utilizados en la industria son del tipo PID, y
más específicamente del tipo PI, demostrando que el usuario busca la simplicidad en los
algoritmos de control.
El regulador PID se utiliza en el control de procesos industriales con mucha frecuencia
como controlador en la implementación de esquemas de compensación en sistemas de
control, por lo regular de un grado de libertad.
-El esquema utiliza un solo regulador, aunque este regulador pueda variar más de un
parámetro de regulación.
-El esquema más utilizado en sistemas de control de procesos industriales es el de
compensación en serie, o cascada.
DISEÑO DE CONTROLADORES DIGITALES PI-D
Sistema de control con PI-D digital en su forma de velocidad
Donde Gp (z )=z{1−e−Tssx
20s2+4 s+20 }
La frecuencia de muestreo es igual a Ws= 60 rad/seg
Para las dos estructuras de control se pide:
a) Determinar las ganancias Kp, Ki, Kd de los controladores para que los polos en lazo
cerrado se ubiquen en el plano Z en z=0.6+0.6j, z=0.6-0.6j, z=0.35, Evaluar las
funciones de transferencia pulso.
b) Mostrar las gráficas de: y(kT), e(kT), u(kT) para una entrada de un escalón unitario en
r(kT) y evalué Mp, td, tp, tr, ts.
c) Mostrar las gráficas de: y(kT), e(kT), u(kT) para una entrada de una rampa unitaria en
r(kT) y evalué analítica y gráficamente ess
SOLUCION
a)
Transformando
clcclose allclear allNus=20;Des=[1 4 20 0];[r,p,k] = residue(Nus,Des)syms s xm=20/(s^3+4*s^2+20*s);
ilaplace(m)
ans =
1 - exp(-2*t)*(cos(4*t) + sin(4*t)/2)
Gp (z )=(1−e−2∗t∗(cos (4∗t )+ sin (4∗t )2 )) z−1z
Gp (z )=(1−e−2∗t∗cos (4∗t )−e−2∗t∗sin (4∗t )
2) z−1z
Gp (z )=(1− 1−e−2 t cos 4 t z−1
1−2e−2 t cos 4 t z−1+e−4 t z−2−12
e−2 t sen 4 t z−1
1−2e−2 t cos 4 t z−1+e−4 t z−2) z−1z
Gp (z )=( 1−2e−2 t cos 4 t z−1+e4 t z−2−1−e−2 t sen 4 t+e−2t cos4 t z−1
1−2e−2 t cos 4 t+e−4 t z−2) z−1z
Gp (z )= e4 t z−2+(−2e−2 t cos 4 t−e−2 t sen4 t−e−2t cos 4 t )−e4 t z−2−(−2e−2 t cos 4 t−e−2 t sin 4 t+e−2t cos 4 t )z−1
1−2e−2 t cos4 t+e−4 t z−2
Se tiene:
Ws=60 rad /segt=0.1047
Reemplazando:
Gp (z )= 0.09414 z+0.0818z2−1.482 z+0.6578
Y ZR z
=(K p+K i
zz−1
)Gp( z)
1+(K p+K izz−1
+KD( z−1 )z
)Gp(z)
Y ZR z
=(K p ( z−1 )+Ki z )Gp(z )
(z−1 )+K p (z−1 )+Kiz+KD (z−1)2
z
xzz
Y ZR z
=(K p z
2−Kpz+Ki z2 )Gp(z)z ( z−1 )+(K ¿¿ p z+Ki z2+KD z2−2 zKD+KD)Gp¿
Y ZR z
=(K p z
2−Kpz+Ki z2 )Gp ( z )
z ( z−1 )+( z2 (k p+Ki+Kd )−z (2kD+Kp )+Kd )Gp
Ko=Kp+Ki
Ki=Kp+Ki+KD=KD+Kp+Ki
K 2=2KD+Kp=2KD+Kp
K 3=KD
K 4=Kp
Y ZR z
=(z2Ko−z K 4 )Gp ( z )
z ( z−1 )+(z2 K1−z K 2+K3 )Gp
Y ZR z
=( z2 K0−z K4 )(0.09414 z+0.0818)
z ( z−1 ) ( z2−1.482 z+0.6578 )+(K1 z2−K2 z+K3 ) (0.09414 z+0.0818 )
Y (z)R (z)
=0.09414 K0 z
3+(0.0818K0−0.09414K 4)z2+0.0818K4 z
z4−(2.482−0.09414K 1) z3+(2.1398+0.0818K1−0.09414K2 ) z2−(0.6578−0.09414K3+0.0818K2 )Z+0.0818K3
P ( z )=(z−0.6−0.6 j)(z−0.6+0.6 j)( z−0.35)(z−z4)
P ( z )=z4−(1.55+z4 ) z3+(1.14+z4 ) z2−(0.252+1.14 z4 )+0.252 z4
a1 a2 a3 a4
a:
2.482−0.09414K1=1.55+z4
2.1398+0.0818K1−0.09414K2=1.14+1.55Z4
0.6568−0.09414K3−0.0818K 2=0.252+1.14 Z4
0.0818K3=0.252 z4
Ordenando:
0.09414K 1+0+0+z4=0.932
0.0818K1−0.09414 K2+0−1.55 z 4=−0.998
0+0.0818K 2−0.09414K3−1.14 z 4=−0.4058
0+0+0.0818K3−0.252 z 4=0
K1=3.950 4
K2=4.8308
K3=1.7255
z 4=0
Por lo tanto:
Kd=1.7255
Kp=1.3798
Ki=0.8451
Ko=Kp+Ki=2.2249
K 4=KD=1.7255
Y (z )R (z )
=(2.2249 z¿¿2+1.255 z)(0.09414 z+0.06578)z4−2.1101 z3+2.0082 z2−0.8905Z+0.1411
¿
Y (z )R (z )
= 0.2094 z3+0.0195 z2+0.1411 zz4−2.1101 z3+2.0082 z2−0.8905Z+0.1411
b)
U (z)R (z)
= 1Gp(z)
xY (z)R (z)
U (z)R (z)
= z2−1.482 z+0.65780.09414 z+0.0818
Y (z)R (z)
U (z)R (z)
=(2.2249 z2−1.7255 z )(0.09414 z+0.0818)
(0.09414 z+0.0818)(z4−2.1101 z3+2.0082 z2+0.1411)
U (z )R (z )
= 2.2249 z4−5.0228 z3+4.0207 z2−1.135 zz4−2.1101 z3+2.0082 z2−0.8905 z+0.144
E ( z)R (z )
=1−Y ( z )R ( z )
E ( z)R (z )
= z4−2.3195 z3+1.9887 z2−1.0316 z+0.1411z4−2.1101 z3+2.0082 z2−0.8905 z+0.144
%ControladorGdz=tf(Kp,1,T)+tf(Ki*[1 0],[1 -1],T)+tf(Kd*[1 -1],[1 0],T)Gaz=tf(Kp,1,T)+tf(Ki*[1 0],[1 -1],T)Gbz=tf(Kd*[1 -1],[1 0],T) GlczY=feedback(Gaz*Gpz,Gdz/Gaz,-1)step(GlczY,5) GlczU=1/Gpz*GlczYHold step(GlczU,5) GlczE=1-GlczY step(GlczE,5)
Respuesta del sistema ante una entrada tipo escalón:
De la última gráfica se obtiene:
Sobreimpulso porcentual MP= 41.04%
Tiempo de pico tp=4.19 seg
Tiempo de subida tr=0.314 seg
Tiempo de establecimiento=2.3 seg.
c)
Se puede establecer las siguientes comparaciones
U(kT) del sistema ante entradas de un escalón
Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
2
2.5Step Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
Respuesta del error ante una rampa de los sistemas
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2Impulse Response
Time (seconds)
Am
plitu
de