Post on 08-Apr-2018
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
1/33
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y SOCIALES
ESCUELA DE ESTADSTICA Y CIENCIAS ACTUARIALES
DEPARTAMENTO DE ESTADSTICA Y PROBABILIDAD
CTEDRA DE PROBABILIDAD E INFERENCIA
PRCTICAS DE TEORA DE LA PROBABILIDAD III
PROF. TWIGGY L. GUERRERO M.
AO 2002
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
2/33
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
3/33
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
4/33
18.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, en el cual X1 y X2 son variables aleatorias independientes condistribucin exponencial de parmetros . Demuestre que las variables aleatorias
212211 /; XXYXXY =+= son independientes.
19.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, en el cual X1 y X2 son variables aleatorias independientes condistribucin chicuadrado con ni grados de libertad, para i = 1, 2. Demuestre que las variables aleatorias
212211 /; XXYXXY =+= son independientes.
20.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, donde cada Xi tiene una distribucin uniforme en el intervalo (0,1) yson independientes, para i = 1, 2. Demuestre que las variables aleatorias
2X2sen
1Xln2
2Y;
2X2cos
1Xln2
1Y == son independientes y con distribucin N(0,1).
21.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por:
( ) ( ) 2x1,0I1x1,0I2x1x42x,1xXf = . Halle la funcin de densidad de222
211 ; XYXY == .
22.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por: ( ) ( )( )( )( )2x1,1I1x1,1I41
2x,
1x
Xf = .
Halle la funcin de densidad de 222211 ; XYXY == .
23.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por: ( )
+
=l.o.t,0
122
x21
x;1
2x,
1x
Xf .
Halle la funcin de densidad de ( )12222
211 /; XXarctgYXXY =+= .
24.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por: ( )
=l.o.t,0
A;k
2x,
1x
Xf , donde A es el
tringulo de vrtices (1,0), (-1,0), (0,1). Halle la funcin de densidad conjunta de
212211 ; XXYXXY =+= .
25.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por: ( )
=l.o.t,0
A;k
2x,
1x
Xf , donde A es
el tringulo de vrtices (0,0), (1,0), (0,3). Halle la funcin de densidad conjunta de
212211 ; XXYXXY =+= .
26.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por: ( ) ( ) 2x1,0I1x1,0I2x,1xXf = . Halle la
funcin de densidad de:a.- 212211 ; XXYXXY =+= . b.- 212211 ; XXYXXY =+= .
27.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por:
( )
>>
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
5/33
28.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, en el cual X1 y X2 son variables aleatorias independientes condistribucin exponencial de parmetro , para i = 1, 2. Halle la funcin de densidad de la variable aleatoria
21
1
XX
XY
+= .
29.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, en el cual X1 y X2 son variables aleatorias independientes condistribucin normal N(i,
2) para i = 1, 2. Demuestre que la variable aleatoria 21 XXY += tiene una
distribucin normal N(1 + 2, 22).
30.- Sea X = (X1, X2, X3) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por:
( ) ( )( )( )( )( )( )3x,0I2x,0I1x,0I3
x2
x1
xe
3x,
2x,
1x
Xf +++
++=
Halle la funcin de densidad conjunta de: 3213321
212
21
11 ,, XXXY
XXX
XXY
XX
XY ++=
++
+=
+
= .
Son Y1, Y2, Y3 independientes?
31.-Sea X = (X1, X2, ...,Xn) un vector aleatorio con funcin de distribucin FX. Sean Mn y Nn las variablesaleatorias definidas por: { }nn XXXmxM ,...,, 21= y { }nn XXXmnN ,...,, 21= . Demuestre que:
a.- ( ) ( )yyyFyF XMn ,...,,= . b.- ( ) ( )yXyXyXPyF nNn >>>= ,...,,1 21
32.-Obtenga las funciones de distribucin para las variables Mn y Nn definidas anteriormente, para el caso enque las v. a. X1, X2, ..., Xn sean independientes.
33.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por: ( ) ( )( ) ( )( )21,011,021, xIxIxxfX = .
Obtenga la distribucin del vector aleatorio definido por:
( )
( )
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
6/33
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y SOCIALESESCUELA DE ESTADSTICA Y CIENCIAS ACTUARIALESDEPARTAMENTO DE ESTADSTICA Y PROBABILIDAD
CTEDRA DE PROBABILIDAD E INFERENCIAMATERIA: TEORA DE LA PROBABILIDAD IIIPROF. TWIGGY L. GUERRERO M.
PRCTICA N 2
1.- Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por:
( )
>>
=
t.o.l;0
02
x,01
x;2x
1x
e2
x,1
xxf
Demuestre que: E(X1X2) = E(X1) E(X2).
2.- Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por:
( )
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
7/33
X1/X2 -1 0 1
-1 h h h
0 h 0 h
1 h h h
a.- Son X1 y X2 incorrelacionadas? b.- Son independientes?
7.- Sean A y B sucesos asociados a un cierto espacio probabilizado, tales que P(A) > 0 y P(B) > 0. Sean lasvariables aleatorias X1 = IA, X2 = IB. Demuestre que si = 0 entonces X1 y X2 son independientes.
8.- Sean los sucesos A y B tales que P(A) =0.25, P(B/A) =0.50 y P(A/B) = 0.75. Sean las variables aleatorias
definida por: X1 = IA, X2 = IB. Halle m10, m01,21 ,
22 , . Son independientes?
9.- Se lanzan en forma independiente dos monedas con caras numeradas 1 y 2. Sean las variables aleatorias
definida por X1: suma de los nmeros y X2: mximo de los nmeros obtenidos. Halle .
10.-Considere una muestra aleatoria de tamao 2 extrada con reemplazamiento (sin reemplazamiento) de unacaja que contiene 4 fichas numeradas del 1 al 4. Sea X1 el menor de los nmeros (o el nmero comn encaso de que coincidan) y X2 el mximo de los nmeros (o el nmero comn en caso de que coincidan).Halle .
11.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de masa dada por:
( )
==
+=
t.o.l;0
0,1x;0,1,2,3x;32
xx
x,xP 21
22
21
21x
Halle Cov(X1, X2). Halle .
12.-Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes. Sean las variables Y1 = X1 + X2, Y2 = X1 X2. Bajo qucondiciones son Y1 y Y2 incorrelacionadas?
13.-Sean X1 y X2 variables aleatorias no correlacionadas con varianzas 21 y22 respectivamente. Sean las
variables Y1 = X1 + X2, Y2 = X1 X2. Halle .
14.-Sean X1, X2 y X3 variables aleatorias no correlacionadas con varianzas iguales. Sean las variables aleatoriasY1 = X1 + X2, Y2 = X1 + X3. Halle
31XYr ,
32XYr y
21YYr .
15.-Sean X1 y X2 los resultados del lanzamiento de dos dados correctos. Sean las variables aleatorias:Y1 = X1 - X2, Y2 = X1 + X2.a.- Halle Cov(Y1, Y2).b.- Calcule P(Y2 = 4), P(Y2 = 4 /Y1 = 3).
c.- Son Y1 y Y2 incorrelacionadas?d.- Son independientes?
16.-Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes tales que E(Xi) = 0 y adems Var(Xi) =2 (i =1,2). Sean
las variables Y1 = a1X1 + a2X2, Y2 = b1X1 + b2X2. Qu relacin deben verificar a1, a2, b1 y b2 para que elcoeficiente de correlacin entre Y1 y Y2 sea 0, 1 y 1?
17.-Demuestre que si X1i es una variable aleatoria con funcin de densidad par (simtrica respecto de cero),
entonces X1 y X2 = 21X son incorrelacionadas.
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
8/33
18.-Sea X1i una variable aleatoria con distribucin uniforme en el intervalo (-1, 1). Halle21XX
r s a) 212 XX = y
b) 312 XX = .
19.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio discreto con funcin de masa positiva en los puntos de interseccin delas curvas: 221 XX = y 21 KXX = (K = 1, 2, ...). No hay masa en el origen. La masa de probabilidad de hay en
cada punto (x1, x2) es inversamente proporcional a 22x , donde x2 es la ordenada del punto. Halle
21XXr .
20.-Demuestre que:
a.-( )XE1
X
1E
. b.- ( ) ( )
2XE1XE +
c.- [ ][ ] ( )21212 XXEX/XEXE = .
21.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de masa definida por:
( )=
t.o.l;0(2,0)(1,1);(0,0);en;/31x,xP 21x
Demuestre que [ ][ ] ( )121 XEX/XEE = . Halle . Son X1 y X2 independientes?
22.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de masa dada por:
X1/X2 -1 0 1 2
-2 h 2h 3h h
-1 3h h 4h 2h
0 h 4h h 2h
1 h 2h h hHalle y demuestre que [ ][ ] ( )121 XEX/XEE = .
23.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por:
( )
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
9/33
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
10/33
b.- Halle las curvas de regresin y las rectas de regresin mnimo cuadrticas.
33.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por:
( ) 2,1i;ix;2
2x2
2x
1x22
1x
2
1
e21
2x,
1x
xf =+
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
11/33
b.- ( ) ( )[ ]122 X/XvarEXvar = si X1 y X2 son independientes.
40.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de masa definida por:
X1/X
20 1 2
0 h h h
1 h 0 2h
2 2h h 6ha.- Son X1 y X2 v.a. incorrelacionadas?b.- Son independientes?c.- Verifique que [ ][ ] ( )121 XEX/XEE = .d.- Obtenga la funcin generatriz de momentos.e.- Obtenga las curvas de regresin y las rectas de regresin mnimo cuadrticas.
f.- Determine el valor de ( ) 1X/X2XE 2221 =+ y de ( ) 2X/XX3XE 14
13
21=+ .
g.- Determine el coeficiente de correlacin entre las variables X2 y ( )[ ]122
X/6X5XE 2 ++ .h.- Calcule el valor de ( ){ }223 X/XXEvar 1 + .
41.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad dada por:
( )
=t.o.l;0
Ane;kx,xf 21x
donde A es el tringulo de vrtices (1, 0), (-1, 0) y (0, 1).a.- Halle K.b.- Halle la densidad de Y1 = X1 + X2, Y2 = X1 X2. Halle .c.- Verifique que Cov(Y1, Y2) = Var(X1) - Var(X2).d.- A qu se debe tal resultado?e.- Son X1 y X2 v.a. incorrelacionadas?f.- Son independientes?g.- Verifique que [ ][ ] ( )121 XEX/XEE = .h.- Obtenga la funcin generatriz de momentos del vector aleatorio.i.- Obtenga las curvas de regresin y las rectas de regresin mnimo cuadrticas.
j.- Determine el valor de ( )[ ]5.0X/XX2E 2211 =+ y de ( )[ ]5.0X/XX3XE 12131 =+ .k.- Determine el coeficiente de correlacin entre las variables X2 y ( ) 122 X/6X5XE 2 ++ .l.- Calcule el valor de ( )[ ]{ }223 X/XXEvar 1 + .
42.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio con funcin de densidad definida por:
( )( )( ) ( )
=t.o.l;0
Dx,xne;2x1xkx,xf
212121x
donde D la regin mostrada en la siguiente figura:
D 4
- 4
- 4
4
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
12/33
a.- Obtenga [ ]21 X/XE .b.- Halle las curvas de regresin y las rectas de regresin mnimo cuadrticas.c.- Halle la funcin generatriz de momentos del vector aleatorio.
43.-Si X = (X1, X2) es un vector aleatorio mixto, X1 discreto y X2 continuo, se define la esperanza de la v.ag(X1, X2) como:
( )[ ] ( ) ( )
+
=1x
221X2121 dxx,xMx,xgX,XgE
siendo MX(x1, x2) la ley de probabilidades del vector X. En virtud de la definicin anterior, obtenga: a) lafuncin generatriz de momentos del vector aleatorio, el coeficiente de correlacin entre X1 y X2 y lascurvas de regresin y las rectas de regresin mnimo, para el vector mixto cuya ley de probabilidades es:
( )( )
=>+
=
t.o.l;0
,...2,1,01
X,02
xne;
!1x
1e1
x
2x
2
x,
1
x
x
M
44.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, tal que [ ]3,01 UX y X2 se distribuye uniformemente en el intervalo[0,X1]. Calcule el coeficiente de correlacin entre las variables X1 y X2 y el coeficiente de correlacin entrelas variables X1 y [ ]12 / XXE .
45.-Si [ ] 2X2
3X/YE = y [ ] 3Y
5
3Y/XE = , obtenga:
a.- El coeficiente de correlacin entre X y Y. b.- X y Y.
46.-Demuestre que 2 = 1 P[X2 = AX1 + B] = 1, para algunas constantes A y B.
47.-Sean X1, X2 variables aleatorias con coeficiente de correlacin . Demuestre que: [ ] ( )= 12YYvar 21 ,
siendo 2,1i;X
Yi
iii =
= .
48.-Sea X = (X1, X2) un vector aleatorio, g y h funciones medibles, a, b, c constantes; demuestre que:a.- [ ] cX/cE 2 = .b.- ( )[ ] [ ] bX/XaEX/baXE 2121 +=+ .
c.- ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]2121211 X/XhbEX/XgaEX/XbhXagE +=+ .
49.-Demuestre las siguientes igualdades:a.- ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]Y/XhEYgY/XhYgE = .
b.- Si X e Y son v.a. independientes entonces ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]XhEYgY/XhYgE = .
c.- ( )[ ] [ ] YY/XEY/YXE +=+ .d.- ( )[ ] [ ]Y/XVarY/YXVar =+ .e.- Si X e Y son v.a. independientes entonces ( )[ ] [ ]XVarY/YXVar =+ .
f.- ( )[ ][ ] ( )[ ]XgEY/XgEE = .g.- ( ) ( )[ ] ( )[ ]Y/XEVarY/XVarEXVar += .
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
13/33
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
14/33
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y SOCIALESESCUELA DE ESTADSTICA Y CIENCIAS ACTUARIALESDEPARTAMENTO DE ESTADSTICA Y PROBABILIDAD
CTEDRA DE PROBABILIDAD E INFERENCIAMATERIA: TEORA DE LA PROBABILIDAD IIIPROF. TWIGGY L. GUERRERO M.
PRCTICA N 3
1.- Sean Xmxn, Ymxn matrices aleatorias, y Apxm, Bnxp matrices constantes; pruebe que:a.- E(X + Y) = E(X) + E(Y).b.- E(AX) = AE(X).
c.- E(XB) = E(X)B.d.- E(AXB) = AE(X)B
2.- Pruebe que si Y N(0, In) entonces las variables Yj, j = 1, ..., n son normales, N(0,1), e independientes.
3.- Demuestre que s X N(, V) entonces: a) E(X) = . b)Var(X) = V.
4.- Demuestre que si Xi y Xj son variables aleatorias con distribucin conjunta normal bivariante, entonces unacondicin necesaria y suficiente para que sean independientes es que ij = 0, i j
5.- Deduzca la funcin generatriz de momentos de un vector normal multivariante de parmetros y V.
6.- Sea X N(, V), si Amxn es una matriz de rango m n y bmx1 un vector columna, pruebe que Y = AX + b sedistribuye normal multivariante de parmetros (A + b, AVAt).
7.- Establezca la manera de obtener y v a partir de la forma cuadrtica Q asociada a un vector normalmultivariante.
8.- Sean Xi y Xj dos variables aleatorias de un vector normal multivariante X. Demuestre que la curva deregresin de Xi sobre Xj coincide con la recta de regresin mnimo cuadrtica de Xi sobre Xj.
9.- Basndose en la definicin de coeficiente de correlacin mltiple, obtenga una expresin para su clculo.
10.-Demuestre que si Xt = (X1, X2) es un vector normal bivariante, su funcin de densidad puede ser escritacomo:
( ) 2Q
e
2121
2
12
X,1
Xf
=
siendo ( )i2i Xvar= , es el coeficiente de correlacin lineal entre X1 y X2,
( )( )
+
=
2
2
22
21
22112
1
112
21
1
XXXXQ
donde i = E(Xi), i = 1, 2. Pruebe adems que: ( )
++++
=2
t1t
2122
2t2
221t2
12
12
t21
t1
e2
t,1t
X
11.-Sea Xt = (X1, X2, ..., Xn) un vector aleatorio. Pruebe que X sigue una distribucin normal multivariante si yslo si nn2211 Xt...XtXt +++ tiene distribucin normal para cualquier vector t
t = (t1, t2, ..., tn). Sugerencia:ver Pg. 235. Rohatgi.
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
15/33
12.-Sea Xt = (X1, X2) un vector aleatorio normal bivariante, con vector de medias el vector nulo. Sean:+= senXcosXW 21 y = senXcosXZ 21 . Determine para que W y Z sean independientes.
13.-Sea Xt = (X1, X2) un vector aleatorio normal bivariante de parmetros y V. Obtenga una condicinnecesaria y suficiente para que 21 XX + y 21 XX sean independientes.
14.-Sea X un vector aleatorio normal multivariante de parmetros y V. Sean Y = c t X y Z = dt X , variablesaleatorias con ct = (c1, c2, ..., cn) y d
t = (d1, d2, ..., dn) vectores reales. Pruebe que Y e Z son independientes sy slo si ct V d = 0.
15.-Dada la forma cuadrtica:
4241312124
23
22
21 XXXXXX2XX4XXX3X6Q +++++++=
asociada al vector normal multivariante X N(, V), obtenga:a.- y V.
b.- la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector Xc.- la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del subvector (X1, X4)t
d.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de los vectores:
d.1.
4
2
3
1 /X
X
X
X. d.2.
1
3
2
4 /X
X
X
X. d.3.
4
3
2
1 /X
X
X
X
e.- los coeficientes de regresin de:e.1. X1 sobre X3 y de X1 sobre X4e.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2e.3. X4 sobre X3 y de X2 sobre X1
f.- los coeficientes de correlacin parcial:f.1. ( )2.12 Xr f.2. ( )4.12 X
r f.3. ( )6.12 Xr
g.- los coeficientes de correlacin mltiple:g.1. ( )21 x
R
g.2. ( )22 xR
g.3. ( )41 xR
g.4. ( )42 xR
g.5. ( )61 xR
g.6. ( )62 xR
h.- los coeficientes de correlacin entre:
h.1. X1 y X4 h.2. 2X1 +X3 y 4X4
16.-Dada la forma cuadrtica:
( )6X4XX6XX2XX2X3X4X2
1Q 3323121
23
22
21 ++++=
asociada al vector normal multivariante X N(, V), obtenga:
a.- y V.b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de los vectores:
b.1. ( )23
1 / XX
X
b.2.( )
1
32 /
X
XX b.3. ( )3
2
1 / XX
X
c.- los coeficientes de regresin de:c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X3c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1
d.- los coeficientes de correlacin parcial:d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 X
r d.3. ( )6.12 Xr
e.- los coeficientes de correlacin mltiple:
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
16/33
e.1. ( )21 xR
e.2. ( )22 xR
e.3. ( )41 xR
e.4. ( )42 xR
e.5. ( )61 xR
e.6. ( )62 xR
f.- los coeficientes de correlacin entre:
f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4
17.-Dada la forma cuadrtica:
( )14X12X16X14XX6XX8XX6X5X3X53
1Q 231323121
23
22
21 ++++++=
asociada al vector normal multivariante X N(, V), obtenga:a.- y V.b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de los vectores:
b.1. ( )23
1 / XX
X
b.2.( )
1
32 /
X
XX b.3. ( )3
2
1 / XX
X
c.- los coeficientes de regresin de:
c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X3c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1
d.- los coeficientes de correlacin parcial:d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 X
r d.3. ( )6.12 Xr
e.- los coeficientes de correlacin mltiple:e.1. ( )21 x
R
e.2. ( )22 xR
e.3. ( )41 xR
e.4. ( )42 xR
e.5. ( )61 xR
e.6. ( )62 xR
f.- los coeficientes de correlacin entre:
f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4g.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:
Yt = (Y1, Y2, Y3), siendo: 3211 XX2XY += , 3212 XXX2Y ++= y 3213 XX3XY += .
18.-Sea X el vector aleatorio con distribucin normal multivariante N(, V), donde:
+
+
=
1
0
1
+++
++
++
=
110
121
012
V
Obtenga:a.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de losvectores:
a.1. ( )23
1 / XX
X
a.2.( )
1
32 /
X
XX a.3.( )
3
12 /
X
XX
b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:Yt = (Y1, Y2), siendo: 3211 23 XXXY += y 312 XXY = .
c.- los coeficientes de regresin de:c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X3c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1
d.- los coeficientes de correlacin parcial:d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 X
r d.3. ( )6.12 Xr
e.-
los coeficientes de correlacin mltiple:
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
17/33
e.1. ( )21 xR
e.2. ( )22 xR
e.3. ( )41 xR
e.4. ( )42 xR
e.5. ( )61 xR
e.6. ( )62 xR
f.- los coeficientes de correlacin entre:
f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4
19.-Sea X el vector aleatorio con distribucin normal multivariante N(, V), donde:
=
4
3
2
1
=
4112
1301
1010
2102
V
Obtenga:a.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de los
vectores:a.1.
4
2
3
1 /X
X
X
Xa.2.
1
3
2
4 /X
X
X
Xa.3.( )
3
12 /
X
XX
b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:Yt = (Y1, Y2, Y3), siendo: 3211 23 XXXY += , 312 XXY = y 243 XXY = .
c.- los coeficientes de regresin de:c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X4c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1
d.- los coeficientes de correlacin parcial:d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 X
r d.3. ( )6.12 Xr
e.- los coeficientes de correlacin mltiple:e.1. ( )21 x
R
e.2. ( )22 xR
e.3. ( )41 xR
e.4. ( )42 xR
e.5. ( )61 xR
e.6. ( )62 xR
f.- los coeficientes de correlacin entre:
f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4
20.-Sea X el vector aleatorio con distribucin normal multivariante N(, V), donde:
++
+
=
30
1
6
=
10200503
2050
0302
V
Obtenga:a.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de losvectores:
a.1.
4
2
3
1 /X
X
X
Xa.2.
1
3
2
4 /X
X
X
Xa.3.( )
3
12 /
X
XX
b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:Yt = (Y1, Y2, Y3), siendo: 3211 23 XXXY += , 312 XXY = y 243 XXY = .
c.- los coeficientes de regresin de:c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X4
c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
18/33
c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1d.- los coeficientes de correlacin parcial:
d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 Xr d.3. ( )6.12 Xr
e.-
los coeficientes de correlacin mltiple:e.1. ( )21 xR
e.2. ( )22 xR
e.3. ( )41 xR
e.4. ( )42 xR
e.5. ( )61 xR
e.6. ( )62 xR
f.- los coeficientes de correlacin entre:
f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4
21.-Sea X el vector aleatorio con distribucin normal multivariante N(, V), donde:
=
1
0
2
1
=
4120
1301
2020
0101
V
Obtenga:a.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de losvectores:
a.1.
4
2
3
1 /X
X
X
Xa.2.
1
3
2
4 /X
X
X
Xa.3.( )
3
12 /
X
XX
b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:Yt = (Y1, Y2, Y3), siendo: 3211 23 XXXY += , 312 XXY = y 243 XXY = .
c.- los coeficientes de regresin de:c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X4c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2
c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1d.- los coeficientes de correlacin parcial:
d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 Xr d.3. ( )6.12 Xr
e.- los coeficientes de correlacin mltiple:e.1. ( )21 x
R
e.2. ( )22 xR
e.3. ( )41 xR
e.4. ( )42 xR
e.5. ( )61 xR
e.6. ( )62 xR
f.- los coeficientes de correlacin entre:
f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4
22.-Sea X el vector aleatorio con distribucin normal multivariante N(, V), donde:
++
=
1
1
0
++
+++++
=
211
131
112
V
Obtenga:a.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de losvectores:
a.1. ( )23
1 / XX
X
a.2.( )
1
32 /
X
XX a.3.( )
3
12 /
X
XX
b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vecto:Yt = (Y1, Y2), siendo: 3211 23 XXXY += y 312 XXY = .
c.- los coeficientes de regresin de:
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
19/33
c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X3c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1
d.- los coeficientes de correlacin parcial:
d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 Xr d.3. ( )6.12 Xr e.- los coeficientes de correlacin mltiple:
e.1. ( )21 xR
e.2. ( )22 xR
e.3. ( )41 xR
e.4. ( )42 xR
e.5. ( )61 xR
e.6. ( )62 xR
f.- los coeficientes de correlacin entre:
f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4
23.-Sea X el vector aleatorio con distribucin normal multivariante N(, V), donde:
+
+
+
=
0
2
1
1
=
3020
0501
2030
0101
V
Obtenga:a.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de losvectores:
a.1.
4
2
3
1 /X
X
X
Xa.2.
1
3
2
4 /X
X
X
Xa.3.( )
3
12 /
X
XX
b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:Yt = (Y1, Y2, Y3), siendo: 3211 23 XXXY += , 312 XXY = y 243 XXY = .
c.- los coeficientes de regresin de:
c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X4c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1
d.- los coeficientes de correlacin parcial:d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 X
r d.3. ( )6.12 Xr
e.- los coeficientes de correlacin mltiple:e.1. ( )21 x
R
e.2. ( )22 xR
e.3. ( )41 xR
e.4. ( )42 xR
e.5. ( )61 xR
e.6. ( )62 xR
f.- los coeficientes de correlacin entre:
f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4
24.-Sea X el vector aleatorio con distribucin normal multivariante N(, V), donde:
+
+
+
=
1
1
0
2
=
5100
1302
0021
0212
V
Obtenga:a.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de losvectores:
a.1.
4
2
3
1 /X
X
X
Xa.2.
1
3
2
4 /X
X
X
Xa.3.( )
3
12 /
X
XX
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
20/33
b.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:Yt = (Y1, Y2, Y3), siendo: 3211 XX2X3Y += , 312 XXY = y 243 XXY = .
c.- los coeficientes de regresin de:c.1. X1 sobre X3 y de X2 sobre X4
c.2. X1 sobre X2 y de X3 sobre X2c.3. X2 sobre X3 y de X2 sobre X1
d.- los coeficientes de correlacin parcial:d.1. ( )2.12 Xr d.2. ( )4.12 X
r d.3. ( )6.12 Xr
e.- los coeficientes de correlacin mltiple:e.1. ( )21 x
R
e.2. ( )22 xR
e.3. ( )41 xR
e.4. ( )42 xR
e.5. ( )61 xR
e.6. ( )62 xR
f.- los coeficientes de correlacin entre:
f.1. X1 y X4 f.2. 2X1 +X3 y 4X4
25.-Dada la forma cuadrtica:8X2X6X2X6XX2XX2XX2X2X3Q 43214321
24
23
22
21 ++++++=
asociada al vector normal multivariante X N(, V), obtenga:a.- y V.b.- la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector X.c.- la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del subvector (X1, X3)
td.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos de losvectores:
d.1.
4
2
3
1 /X
X
X
Xd.2.
1
3
2
4 /X
X
X
X
e.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:Yt = (Y1, Y2, Y3), siendo: 3211 2 XXXY += , 4212 XXXY += , 433 XXY = .
f.- la esperanza, varianza, la funcin de densidad y la funcin generatriz de momentos del vector:
+
+
41
1
31
21
X3X
X/
X3X
X2X
g.- los coeficientes de regresin de:g.1. X1 sobre X3 y de X1 sobre X4g.2. Y1 sobre Y2 y de Y3 sobre Y2g.3. Y3 sobre 2X1 + 3X2 -4X4
h.- los coeficientes de correlacin parcial:h.1.
3;2,1 xxxr h.2.
2,1;4,3 xyxxr h.3.
3;2;3,1 xxyyr
i.- los coeficientes de correlacin mltiple:i.1.
2,13 xxxR
i.2.13 xy
R
i.3.321 ,yyy
R
i.4.3121 ,xxxy
R+
i.5.4,31 xxx
R
i.6.431 ,2 xxx
R
i.7.Existe alguna relacin entre los coeficientes calculados en (i5) e (i6)?j.- los coeficientes de correlacin entre:
j.1. X1 y X4 j.2. 2X1 +X3 y Y2 j.3. X1 y Y3j.4.Guarda alguna relacin el coeficiente calculado en (j3) con el calculado en (i5)?
26.-Sea Xt = (X1, X2, X3) un vector aleatorio normal multivariante. Demuestre que:
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
21/33
=2
3
X,
2
X12
3
X,
1
X1
3x,
2x
3x,
1x
2x,
1x
3x;
2x,
1xr
27.-Sea X un vector normal multivariante, sean X(1) y X(2) subvectores que generan una particin sobre X.
obtenga Cov(Y, X(1)), siendo Y el vector dado por ( ) ( ) ( )[ ]211 X/XEXY = . Son Y e X(2) vectoresindependientes?
28.-Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias independientes con distribucin normal N(, 2). Halle la
distribucin de:a.- Xt = (X1, X2, ..., Xn).
b.- La v.a. =
=n
1i
iXY . c.- La v.a. n
YX = .
29.-Sean los vectores independientes X con distribucin normal multivariante N(x, Vx) e Y N(y, Vy), donde:
=
2
2
2
x
=
211
142
123
Vx
=
2
4
3
y
=
420
242
024
Vy
Halle la distribucin de:
a.- El vector
=Y
XZ . b.- El vector YX .
c.- El vector YX + .d.- El vector
+
=
YX
YXW .
30.-Sean los vectores aleatorios X e Y del ejercicio anterior. Sean las matrices:
++
+=
110
112A
++
++
+++
=
110
011
111
B
Halle la distribucin de:
a.- AX b.- BXc.-
BY
AXd.-
BX
AX
31.-Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias independientes con distribucin Chi-cuadrado con K grados de
libertad. Demuestre que la variable:n
X
X
n
1i
i== sigue una distribucin Gamma
2,
2
nnkG .
32.-Sea T una variable aleatoria con distribucin T de Student con n grados de libertad. Demuestre que:a.- E(T) = 0. b.- Var(T) = E(Fm,n).
c.- T2 sigue una distribucin F1,n.
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
22/33
33.-Sea Z una variable con distribucin Z de Fisher con m y n grados de libertad. Demuestre que:
a.- ( )2n
mZE
= b.- ( ) ( )
( )( )4n2n
2mmZE 2
+=
c.- ( ) ( )( ) ( )4n2n
2nmm2ZVar
2 +=
34.-Sea z una variable aleatoria con distribucin Z de Fisher con m y n grados de libertad. Demuestre que:
a.- La variableZ1
ZX
+= sigue una distribucin Beta
2
n,
2
mB .
b.- La variableZ1
1X1
+= sigue una distribucin Beta
2
m,
2
nB .
35.-Sea X una variable aleatoria con distribucin F de Snedecor con m y n grados de libertad. Demuestre que la
variable 1/X sigue una distribucin F de Snedecor con n y m grados de libertad.
36.-Sea Z una variable aleatoria con distribucin Z de Fisher no central Z(m,n,). Demuestre que:
a.- ( )2n
2mZE
+= . b.- . ( ) ( ) ( )
( )( )4n2n
2m8m2ZE
22
+++=
c.- ( )( )
( )( )( )
( )( )
++
+
=
4n
4m
4n2n
2m
2n
2ZVar
2
.
37.-Sea X una variable aleatoria con distribucin Chi-cuadrado no central 2(n, , 1). Demuestre que:a.- ( ) += 2nXE . b.- ( ) += 8n2XVar .
TG / tg / 2002
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
23/33
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y SOCIALESESCUELA DE ESTADSTICA Y CIENCIAS ACTUARIALESDEPARTAMENTO DE ESTADSTICA Y PROBABILIDAD
CTEDRA DE PROBABILIDAD E INFERENCIAMATERIA: TEORA DE LA PROBABILIDAD IIIPROF. TWIGGY L. GUERRERO M.
PRCTICA N 4
1.- Sea Anxn una matriz aleatoria, demuestre que ( )( ) ( )( )AEtrAtrE =
2.- Sea Xnx1 un vector aleatorio con vector de medias y matriz de varianzas y covarianzas V; demuestre que( ) 'V'XXE +=
3.- Sea Xnx1 un vector aleatorio con vector de medias y matriz de varianzas y covarianzas V; sea Anxn unamatriz real simtrica y Q =XAX su forma cuadrtica asociada; demuestre que: ( ) ( ) += A'AVtrQE
4.- Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, V). Sea Anxn una matriz real simtrica; demuestre que:a.- ( )( ) ( )[ ] = XAXXE ' b.- ( ) = VA2AX'X,XCov
5.- Pruebe que:
( )( ) ( )
( ) G'W'G2
1
ee 21
2n
n21
X'GXW'X2
1
RWdet2dx...dxdx
1
n=
+
6.- Usando el resultado anterior, deduzca la expresin correspondiente a la funcin generatriz de momentos de
la forma cuadrtica Q=XAX.7.- Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, In). Sea Anxn una matriz real simtrica. Demuestre que una
condicin necesaria y suficiente para que Q=XAX 2r es que A sea idempotente y de rango r.
8.- Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, In). Sea Anxn una matriz real simtrica. Demuestre que una
condicin necesaria y suficiente para que Q=XAX '2,r , con2
A' = es que A sea idempotente y de
rango r.
9.- Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, V). Sea Anxn una matriz real simtrica. Demuestre que una
condicin necesaria y suficiente para que Q=XAX '2,r , con 2
A' = es que AV sea idempotente y de
rango r.
10.-Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, V); sean Q = XAX, L = BX, una forma cuadrtica y unaforma lineal, respectivamente, asociadas a X. Demuestre que una condicin necesaria y suficiente para queQ y L sean independientes, es que BVA = .
11.-Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, V); sean Q1 = XAX, Q2 = XBX, dos formas cuadrticasasociadas a X. Demuestre que una condicin necesaria y suficiente para que las formas cuadrticas Q 1 y Q2sean independientes, es que BVA = y AVB = .
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
24/33
12.-Sea el vector aleatorio X con distribucin normal multivariante N(, V). Demuestre que la formacuadrtica:
a.- ( ) ( )= XV'XQ 11 sigue una distribucin2n
b.-
XV'XQ
1
2
= sigue una distribucin
'2
,n . Determine , el parmetro de excentricidad.
13.-Sea el vector aleatorio X con distribucin normal multivariante N(, In). Sean las formas cuadrticasAX'XQ1 = y BX'XQ2 = , donde:
+
+
+
=
211
121
112
3
1A
=
111
111
111
3
1B
Halle:a.- )( 1QE , )( 2QE b.- Distribucin de Q1 y de Q2.c.- Distribucin conjunta de Q1 y Q2.
14.-Sea el vector aleatorio X con distribucin normal multivariante N(, In). Sean las formas cuadrticasAX'XQ1 = y BX'XQ2 = , donde:
=
200
011
011
A
+++
++
++
=
000
011
011
B
Halle:a.- )( 1QE , )( 2QE b.- Distribucin de Q1 y de Q2.c.- Distribucin conjunta de Q1 y Q2.
d.- Distribucin de2
1
Q2Q
15.-Sea el vector aleatorio Y con distribucin normal multivariante N(, In). Sean las formas cuadrticasAYYQ '1 = y BYYQ '2 = , donde: ( ) 'XX'XXA
1= y ( ) 'XX'XXIB 1= con Xnxp (n > p) es una matriz de rangop. Halle:a.- )( 1QE , )( 2QE b.- Distribucin de Q1 y de Q2.c.- Distribucin conjunta de Q1 y Q2.
d.- Distribucin de
2
1
Q
Q
p
pn
16.-Sea el vector aleatorio Y con distribucin normal multivariante N(XM, In), donde Xnxp (n > p) es una matrizde rango p y Mpx1 es un vector de constantes. Sean las formas cuadrticas AYYQ '1 = y BYYQ '2 = , donde:
( ) '' 1XXXXA = y ( ) 'XX'XXIB 1= Halle:a.- Distribucin conjunta de Q1 y Q2.
b.- Distribucin de
2
1
Q
Q
p
pn
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
25/33
17.-Sea Xnx1 un vector normal multivariante N(, 2In); sea
n
X
X
n
i
i== 1 .
a.- Halle la matriz asociada a2
1 XnQ =
b.- Halle la matriz asociada a ( )=
=n
i
i XXQ
1
22
c.- Halle la distribucin de Q1 y de Q2.d.- Halle la distribucin conjunta de Q1 y Q2.
e.- Halle la distribucin de ( )2
11Q
Qn .
f.- Pruebe que XnQ =3 y Q2 son independientes.g.- Halle )( 1QE , )( 2QE )( 3QE ,
18.-Sean X1, X2, ..., Xn, v.a.i.i.d., Xi N(0,2). Obtenga:
a.- La distribucin de la v.a ( )
( )=
=
n
i
i XX
XnnU
1
2
21
b.- La distribucin de
XnQ =1
c.- La distribucin de( )
2
2
21
SnQ
=
d.- La distribucin de ( )
2
21
31
Q
QnQ
=
siendo:n
X
X
n
i
i== 1 ( )
11
2
2
=
=n
XX
S
n
i
i
19.-Sean X1, X2, ..., Xn, v.a.i.i.d., Xi N(,2). Obtenga la distribucin de:
( )S
XnY
=
20.-Sea Ynx1 un vector normal, N(, In), sea Xnxp (n > p) una matriz real de rango p; sea bpx1 un vector real;obtenga la distribucin de:
( )
( )( )YXXXXIYpn
VXbXb
YXbW
'''''
''1
=
21.-Sean X1, X2, ..., Xn, v.a.i.i.d., Xi N(0,1). Obtenga la distribucin de:
= =
=
=n
1i
2n
1i
i2i
2n
1i
i
XXn
X
Y
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
26/33
22.-Sean X1, X2, ..., Xn, v.a.i.i.d., Xi N(1,12). Sean Y1, Y2, ..., Yn, v.a.i.i.d., Yi N(2,2
2). Considere elhecho de que las v.a. Xi son independientes de las v.a Yi. Obtenga la distribucin de:
21
21
22
22
S
S
F
=
TG / tg / 2002
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
27/33
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y SOCIALESESCUELA DE ESTADSTICA Y CIENCIAS ACTUARIALESDEPARTAMENTO DE ESTADSTICA Y PROBABILIDAD
CTEDRA DE PROBABILIDAD E INFERENCIAMATERIA: TEORA DE LA PROBABILIDAD IIIPROF. TWIGGY L. GUERRERO M.
PRCTICA N 5
En los ejercicios del 1 al 10, se considera que X1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria de una poblacin fX conmedia y varianza 2.1.- Demuestre que:
a.-
1
1
22
2
=
=
n
XnX
S
n
i
i
b.-
( ) ( )
1
1
22
2
=
=
n
XnX
S
n
i
i
2.- Demuestre que:
a.- ( ) 0=XE b.- ( )
nXE
22
=
c.- ( )233
nXE
=
d.- ( ) ( )
3
444 13
n
nXE
+=
3.- Demuestre que:a.- ( ) =XE
b.- [ ] 22
2
+=n
XE
c.- [ ] 32233 3 ++= nnXE
d.- [ ] ( ) 422
23
3
444 6413
+++
+=
nnn
nXE
4.- Demuestre que:
a.- ( )jjrr
j
rj
r
=
= '
0
b.- jjrr
jj
r
r
=
=
0
'
5.- Demuestre que:
a.- ( )221 1
+=
= =
nnXXEn
i
n
j
ji b.-22
1
+=
=
nXXEn
i
i
6.- Demuestre que: ( )n
MMqrqr
qr
''''' ,cov
= +
7.- Demuestre que:
a.- ( )nn
XX2
232 2,cov
+= b.- 23
1
2 2,cov +=
=
n
i
iXX
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
28/33
c.- ( )n
SX 32,cov
=
8.- Demuestre que:
a.- ( ) ( )( )442
1
2 1 +=
=
nnXE
n
i
i b.- ( )( )n
nXnE
4442 13 +=
c.- ( ) ( )
( )
n
XE
XXnE
n
i
in
i
i
=
=
=
2
1
2
2
1
2
2
2
d.- ( ) ( )( )1
21 42422+
+=
nn
n
nSE
9.- Demuestre que:
a.- ( ) [ ] 44
42 13var
+
=
n
nXn b.- ( ) ( )44
2
1
var =
=
nX
n
i
i
c.- ( ) ( ) 442
2
1
,cov =
=
XnX
n
i
i d.- ( ) ( )
=
1
31var
4
42
n
n
nS
10.-Demuestre que:
a.- ( ) ( ) 32
1
=
=
n
i
iXXE b.- ( ) ( ) nXXEn
i
i 31
2 =
=
c.- [ ]( )( )
23
321
n
nnME
=
11.-Sea X1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria de una poblacin normal N(, 2). Demuestre que:
( ) 212
21
= n
SnY
12.-Sea X1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria de una poblacin normal N(, 2). Demuestre que:
1/
ntnS
X
13.-Sea X1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria de una poblacin normal N(, 2), calcule:
a.- 44 3 = b.- ( )1
2var
42
=
nS
14.-Sea X1, X2 una muestra aleatoria de una poblacin normal N(, ). Demuestre que:a.- ( ) 2221 = XXE
b.- ( ) ( ) 212221 +=+ XXE
c.- ( ) 2221 8var = XX
d.- ( ) ( ) 418var 2221 +=+ XX
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
29/33
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
30/33
TG / tg / 2002
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
31/33
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS Y SOCIALESESCUELA DE ESTADSTICA Y CIENCIAS ACTUARIALESDEPARTAMENTO DE ESTADSTICA Y PROBABILIDAD
CTEDRA DE PROBABILIDAD E INFERENCIAMATERIA: TEORA DE LA PROBABILIDAD IIIPROF. TWIGGY L. GUERRERO M.
PRCTICA N 6
1.- Sea X1, X2, X3 una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, 1). Halle las funcione de densidad deY1, Y3, Md, R y T.
2.- Sea X1, X2, X3, X4 una muestra aleatoria de una poblacin exponencial de parmetro 1. Calcule P(Y4 > 3).
3.- Sea X1, X2, X3 una muestra aleatoria de una poblacin Beta B(2, 1). Calcule la probabilidad de que el valor
ms pequeo de la muestra exceda a la mediana de la distribucin.
4.- Obtenga una expresin que le permita calcular el percentil 100p de un conjunto de datos muestrales.
5.- Sea X1, X2 una muestra aleatoria de una poblacin Beta B(1, 2). Calcule la probabilidad de que uno de losvalores muestrales sea por lo menos el doble del otro.
6.- Sea X1, X2, X3, X4 una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, 1). Halle la probabilidad de que elrecorrido muestral sea menor que 0.5.
7.- Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin continua cuya mediana es . Demuestre que:
[ ] [ ]
n
nYPYP
=>=< 2
1
11
8.- Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, ). Demuestre que:
a.- [ ]1
3
21
=>
n
TRP b.- ( ) nYYCorr n
1,1 =
9.- Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme ( )21,21U . Demuestre que la densidad
del centro recorrido T viene dada por: ( ) ( ) ( )( )tItntfn
T2
1,21
121
=
10.-
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, 1). Demuestre que Yk tiene unadistribucin beta, B(k, n-k+1).
11.-Sea X1, X2, ..., X2k+1 una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, 1). Demuestre que Md tiene unadistribucin beta, B(k+1, k+1).
12.-Sea X1, X2 una muestra aleatoria de una poblacin normal N(0, 2). Demuestre que: ( ) ( )
== 12 YEYE
13.-Sea X1, X2 una muestra aleatoria de una poblacin normal N(0, 1). Halle E(R).
14.-Sea X1, X2, ..., X2k+1 una muestra aleatoria de una poblacin normal N(, 2). Demuestre que la densidad de
Md es simtrica respecto a , y por lo tanto, E(Md) = .
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
32/33
15.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(0, ). Halle E(R) y Var(R).
16.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(m-3s, m+3s). Halle la densidad
conjunta de R y T. Halle las marginales. Calcule E(R).
17.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme U(1, 2). Demuestre que:
( ) ( )1211
+
=n
nRE
18.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin X. Demuestre que X tiene una distribucin Beta,B(, 1), si y solo si Yn tiene una distribucin beta B(n, 1)
19.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin X. Demuestre que X tiene una exponencial,exp(1/n), si y solo si Y1 tiene distribucin exponencial, exp(1/.)
20.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin X. Deduzca la expresin que le permita obtener:a.- La densidad de Ykb.- La densidad conjunta de (Yr, Ys, Yt), r < s< t
21.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin continua con funcin de densidad f y funcin de
distribucin F. Demuestre que: ( )[ ]1
11 +
=n
YFE
22.-Sea {Xn} una sucesin de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas, con distribucinuniforme, U(0, ).a.- Demuestre que la sucesin {Yn} converge estocsticamente a .b.- Halle la distribucin lmite de la sucesin {Z
n}, donde Z
n= nY
1
23.-Sea {Xn} una sucesin de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas, con funcin dedensidad:
( ) ( ) ( )( )xIxfx
X e += ,
a.- Demuestre que: { }nX converge estocsticamente a ( + 1).b.- Demuestre que: Y1 converge estocsticamente a
24.-Sea X1, X2, X3 una muestra aleatoria de una poblacin Beta B(2, 1). Demuestre que las variables
333
22
2
11 ,, YZ
Y
YZ
Y
YZ === son independientes.
25.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin exponencial, exp(). Demuestre que las variables11 YZ = y 12 YYZ n = son independientes.
26.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin exponencial, exp(1). Demuestre que las variables( )( )11 += rrr YYrnZ , r = 1, 2, ..., n, Y0 = 0 son independientes e idnticamente distribuidas segn una
exponencial, exp(1).
27.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme, U(0, 1). Demuestre que las variables
1+=
r
rr
Y
YZ , r = 1, 2, ..., n, Zn = Yn son independientes.
8/6/2019 Prcticas de Teora de la Probabilidad III
33/33
28.-Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una poblacin uniforme discreta, U{1, 2, ..., }. Obtenga lasfunciones de masa correspondientes a Y1 y Yn.
TG / tg / 2002