Sistemas de Mezcla Incompleta

Ing. Qco. Mario Alberto Jurado Eraso, MSc.

20 de octubre de 2014

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Sistemas de Mezcla Incompleta

Definicion: Los sistemas de mezcla incompleta o sistemas de mezclaparcial o sistemas distribuidos, son modelos usados para simular ladistribucion de contaminantes en corrientes o estuarios. En estesentido, se hablara de sistemas de flujo piston (PFR) y sistemas deflujo y mezcla (MFR). En los primeros domina la adveccion y en lossegundos son importantes tanto la adveccion como ladifusion/dispersion (molecular y turbulenta).

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Caso de estudio

Un rıo cuya area de seccion transversal Ac = 10m2, longitud-tramoL = 100m, profundiada media (h) = 2 m, velocidad de flujoU = 100m/h, y una constante de degradacion k = 2h−1, tiene unaconcentracion afluente de 1mg/l , determine la distribucion en elespacio de la concentracion del contaminante si: a) se encuentra enestado estable b)en estado transitorio.

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Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)

1 Las EDP normalmente se clasifican en tres grupos: ELIPTICAS,PARABOLICAS e HIPERBOLICAS.

2 Una EDP es una ecuacion en la que intervienen una o masderivadas parciales, es decir la derivada de una funcion o variabledependiente, con respecto a dos o mas variables independientes.

3 En modelacion ambiental,comunmente la variable dependiente esuna concentracion y las variables independientes son el espacio yel tiempo.

4 En una EDP el orden de la derivada mas alta es llamado ordende la ecuacion y una solucion de una EDP es una funcion quesatisface la ecuacion, normalmente c = f(espacio, tiempo).

5 En modelacion ambiental lo mas interesante es el planteamientodel modelo y su analisis, por lo tanto en este curso seusara MATLAB y su toolbox: pdetool para la simulacion desistemas que tengan EDP.

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Ejemplos de EDP

Ejemplo de una EDP lineal de segundo orden en dos variablesindependientes:

A∂2u

∂x2+ B

∂2u

∂x∂y+ C

∂2u

∂y 2+ D

∂u

∂x+ E

∂u

∂y+ F ∗ u = G

donde: A, B, C, D, E, F y G, son funciones de x e y a

aNota: Si G = 0, se dice que la ecuacion es homogenea; en casocontrario se dice que es NO homogenea.

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+ ejemplos:

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2

∂2u

∂2t= a2

∂2u

∂x2

∂2u

∂x2− ∂2u

∂y 2= 0

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Solucion de EDP1 Normalmente se esta interesado en obtener una solucion

particular, es decir con ciertas restricciones de las ecuaciones (OCONDICIONES DE LAS ECUACIONES) y NO en obtenersoluciones generales como es el caso de las solucionesANALITICAS.

2 Existen dos tipos de condiciones:1 Condiciones Iniciales o asociadas a variables temporales2 Condiciones de Contorno o de frontera o asociadas a variables

espaciales.

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Condiciones de Contorno o de frontera

Dentro de este tipo de condiciones se encuentran dos tiposespecialmente utiles en modelacion ambiental:

1 Condiciones de frontera de Dirichlet o de primer tipo

2 Condiciones de frontera de Neumann o de segundo tipo

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Ejemplos de condiciones de contorno o de frontera Dirichlet

Por ejemplo, para la ecuacion diferencial ordinaria (NO diferencial):

d2y

dt2+ 3y = 1

Condiciones Iniciales: 0 ≤ t ≤ 1, (la variable t esta entre 0 y 1).Condiciones de Contorno o de Frontera: y(0) = α1 y y(1) = α2; Esdecir se han especificado unos valores que pueden ser numeros reales(α1 y α2) como valores especıficos que se necesita conocer comorestricciones sobre la variable dependiente. Los valores α1 y α2,podrıan ser tambien funcion de la variable independiente (t), porejemplo y(1) = et .

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Ejemplos de condiciones de contorno o de frontera Neumann

Por ejemplo, para la ecuacion diferencial ordinaria (NO diferencial):

d2y

dt2+ 3y = 1

Condiciones Iniciales: 0 ≤ t ≤ 1, (la variable t esta entre 0 y 1).

Condiciones de Contorno o de Frontera:dy

dt(0) = α1 y

dy

dt(1) = α2;

Es decir se han especificado unos valores que pueden ser condicionesvariables de la variable dependiente (DERIVADAS DE LA VARIABLEDEPENDIENTE). Normalmente lo que indica son cambios que sufrela variable dependiente en los lımites o fronteras fısicas del sistema.Estas variaciones pueden ser numeros reales o funciones de las

variables independientes, por ejemplo:dy

dt(1) = et

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EDP en MATLAB1 Para plantear modelos y llevar a cabo simulaciones de sistemas

con EDP en Matlab, se utiliza la herramienta (toolbox): pdetool(RESTRINGIDA A DOS DIMENSIONES).

2 Para ello se debe considerar la nomenclatura de las EDP:

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Tenga en cuenta que:

−∇(c∇u) = −∇(c(−du

dx− du

dy− du

dz))

−∇(c∇u) = c(d2u

dx2+

d2u

dy 2+

d2u

dz2)

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Condiciones de contorno o de frontera (CF)

1 Las CF Dirichlet: h*u = r; donde r puede ser una funcion de x ey.

2 Las CF Neumann: c(n.∇u) + qu = g ; donde c, q y g pueden servalores reales o funciones de x e y.

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Caso de Estudio

La ecuacion que modela la variacion de la temperatura en una placaplana en dos dimensiones (a lo largo y a lo alto) por efecto de laconduccion de calor es:

∂2T

∂x2+∂2T

∂y 2= 0

Donde:T es la temperatura en ◦Cx e y, son las coordenadas a lo largo y a lo alto en cm

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Caso de estudio

Para el mismo sistema del rıo planteado anteriormente, calcule ladistribucion de la concentracion asumiendo que E = 2000;C0 = 0,7656mg/l y 10000 m2/h; C0 = 0,5063mg/l a) para estadoestable b) para estado transitorio.

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Respuestas obtenidas por un metodo analitico propuesto en: Surfacewater quality modelling de Steven Chapra

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