Post on 16-Jan-2016
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
Lab. Cálculo por Elementos Finitos – MC516-D
TRACCIÓN SIMPLE
Alumno Código
HUAMAN CHIPILI, jose elvis 20120065G
Docente: Ing. Ronald Cueva
Ciclo: 2015-I
1
2
PRIMERA PRÁCTICA
(TRACCIÓN SIMPLE)
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
De la siguiente placa triangular de espesor constante, t=150mm.
Calcular:
Los esfuerzos en cada elemento finito y la reacción en el apoyo. Utilizar
tres elementos finitos.
Sabiendo que:
P =30000 N
T (espesor) = 150 mm
E = 3.0x105 N/mm2
γ = 8.0 gr-f/cm3 = 7,848x10-5 N/mm3
SOLUCIÓN:
3
1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Consideramos tres elementos finitos de longitud de 250, 250 y 500
mm desde la base hasta la punta.
El ancho de cada elemento lo calculamos tomando el punto medio
de cada elemento finito:
b1=(800+400 )2
=600 mm
b2=(400+200 )2
=300 mm
b3 =2002
=100 mm
Luego
4
Conectividad:
e
NODOS GDL
le
(mm)
Ae
(mm2)
(1)
Prime
r
nodo
(2)
Segund
o
Nodo
1 2
1 1 2 Q1 Q2 250 90000
2 2 3 Q2 Q3 250 45000
3 3 4 Q3 Q4 500 15000
2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES .- (GDL)
(VECTOR DESPLAZAMIENTO)
En el siguiente gráfico se muestran los vectores desplazamientos
nodales globales
5
El vector de desplazamiento será:
Q∫¿ =¿ [0 ¿ ] [Q 2¿ ] [Q3¿ ] ¿
¿¿¿
¿
Donde Q1= 0 debido a que la placa esta empotrada y los demás
desplazamientos son incógnitas donde procederemos a
calcularlos.
3. VECTOR CARGA
6
Analizando las fuerzas en cada elemento finito:
F11=
y ( Axl )12
+R1 =−882 .9 + R1 N
F21=y ( Axl )12
=−882.9N
F22=
y (Axl )22
=−441 .45N
F32 =
y (Axl )22
+P =−30441 .5N
F33 =
y (Axl )32
=−294 .3N
F43 =
y (Axl )32
=−294 .3 N
Analizando las fuerzas para todo el cuerpo:
7
F1= F11 =−882 .9+ R1 N
F2= F21 + F2
2 =−1324 .35 N
F3 = F32 + F3
3 =−30735 .8NF4 =F4
3 =−294 .3N
Entonces, el vector carga se expresaría de la siguiente manera
F1= ¿ [F 1¿ ] [F 2¿ ] [F3 ¿ ] ¿¿
¿
4. MATRIZ DE RIGIDEZ
A continuación pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que
está determinada por la siguiente ecuación:
Ki∫¿= (AEl )1 ¿
[1 −1 0 0 ¿ ] [−1 1 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ]¿¿
¿¿
+ ( AEl )2¿ [0 0 0 0 ¿ ] [0 1 −1 0 ¿ ] [ 0 −1 1 0 ¿ ]¿
¿¿− ( AEl )
3¿ [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 1 −1 ¿ ]¿
¿¿
Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de
conectividad obtenemos:
8
Ki∫¿= (90000 x3 x105250 )
1¿
[1 −1 0 0 ¿ ] [−1 1 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ]¿¿
¿¿+ (45000 x 3x 105250 )2¿ [0 0 0 0 ¿ ] [0 1 −1 0 ¿ ] [ 0 −1 1 0 ¿ ]¿
¿¿
+ (15000 x3 x105500 )3¿ [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 0 0 ¿ ] [ 0 0 1 −1 ¿ ]¿
¿¿
Finalmente:
Ki∫¿= 3x 10
5x ¿
[ 360 −360 0 0¿ ] [−360 540 −180 0 ¿ ] [ 0 −180 210 −30 ¿ ] ¿¿
¿¿
5. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO
La ecuación de rigidez está determinada por la siguiente ecuación:
F i = Ki∫ Q∫¿
¿
Con nuestros valores calculados tenemos:
[−882 .9 + R1¿ ] [−1324 .35¿ ] [−30735 .8¿ ]¿¿
¿¿= 3x 105 x ¿ [ 360 −360 0 0 ¿ ] [−360 540 −180 0 ¿ ] [ 0 −180 210 −30¿ ]¿¿
¿
Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:
9
¿ [−1324 .35 ¿ ] [ −30735.8 ¿ ] ¿¿
¿=3 x 105 x ¿ [ 540 −180 0¿ ] [ −180 210 −30 ¿ ]¿¿
¿Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:
Q2 =−29 .9578 x10−5 mm
Q3 =−87 .421 x 10−5 mm
Q4 =−90 .691 x10−5 mm
Para obtener la reacción en el empotramiento tómanos la
siguiente submatriz:
[−882 .9 + R1] = 3x 105 x [360 −360 0 0 ] ¿ [0 ¿ ] [Q2 ¿ ] [Q3 ¿ ] ¿¿
¿Resolviendo obtenemos:
R1= 33237 .3 N
6. ESFUERZOS
Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos
la siguiente ecuación:
σ e=( El )e
[−1 1 ] ¿ [ Qi ¿ ] ¿¿
¿
Y obtenemos lo siguiente:
σ 1= ( 3 x 105250 )1
[−1 1 ] ¿ [ 0 ¿ ] ¿¿
¿
σ 2= ( 3 x 105250 )
2[−1 1 ] ¿ [−29 .9578¿ ]¿
¿¿
10
σ 31= ( 3 x 105500 )
3[−1 1 ] ¿ [ −87 .421 ¿ ]¿
¿¿
7. RESULTADOS
R1 =−33237 .3 N
σ1 =−0 .3594 N
mm2
σ 2=−0 ,6895 N
mm2
σ 3=−0.03924 N
mm2
8. DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
INGRESO DE DATOSCONSTANTES : E, f, tVECTORES: L, A, P
CALCULO DE VECTORES
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F=
[AL1γ2
+R1
AL2γ2
+ AL1γ2
AL3 γ2
+ AL2 γ2
+PA
AL3 γ2
] ; K=
[EA1
L1−EA1
L10 0
−EA1
L1EA2
L2+EA1
L1−EA2
L20
0 −EA2
L2EA3
L3+EA2
L2−EA3
L3
0 0 −EA3
L3EA3
L3]
TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL
[AL1 γ2
AL2γ2
+ AL1γ2
AL3 γ2
+ AL2 γ2
+PA
AL3 γ2
]=
[−1 −EA1
L10 0
0EA2
L2+EA1
L1−EA2
L20
0 −EA2
L2EA3
L3+EA2
L2−EA3
L3
0 0 − EA3
L3EA3
L3] [R1Q2Q3Q4
]
CALCULO DE ESFUERZOS
σ e=( El )e
[−1 1 ] ¿ [ Qi ¿ ] ¿¿
¿
12
β
β
IMPRESIÓN DE RESULTADOS
R1 , Q2 , Q3 , Q4 , e1 , e2 , e3
9. DIGITACIÓN EN MATLAB
clear all clc%Ingresando los datos del ProblemaH=input('Ingrese el valor de la altura de la placa(mm) = ');B=input('Ingrese el valor de la base de la placa(mm) = ' );E=input('Ingrese el valor del Modulo de Elasticidad(N/mm^2) = ');P=input('Ingrese el valor de la fuerza P en Newton= ');D=input('Ingrese el valor de la densidad del cuerpo gr-f/cm^3 = ');t=input('Ingrese el valor del Espesor (mm)= ');h=[H/4 H/4 H/2];b=[(B+3*B/4)/2 (3*B/4 + B/2)/2 (B/4)];d=D*9.81*10^-6;w=zeros(4);K=zeros(4);for i=1:3 a(i)=b(i)*t; w(i,i)=1;w(i,i+1)=-1;w(i+1,i)=-1;w(i+1,i+1)=1; K=K+(a(i)*E/h(i))*w; w=w-w;endf=[];f(1)=-(a(1)*h(1)/2)*d;f(2)=-[(d*a(2)*h(2)/2)+d*a(1)*h(1)/2];f(3)=-[(d*a(2)*h(2)/2) + (d*a(3)*h(3)/2)]+P;f(4)=-d*a(3)*h(3)/2;f=f';K=K';Q=zeros(4,1);Q(2:4,1)=inv(K(2:4,2:4))*f(2:4,1); % Matriz de desplazamientosR1= K(1,1:4)*Q - f(1); %Valor de la Reaccion donde x=0 , en el apoyoe=[] ; %Matriz de esfuerzosfor i=1:3 e(i)=(E/h(i))*[-1 1]*Q(i:i+1,1);ende=e';f(1)=f(1)+R1;f=f;disp(' ')disp('RESULTADOS OBTENIDOS')disp('La Matriz de K es :')disp(K)disp('Matriz de Fuerzas es : ' )
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FIN
disp(f)disp('La reaccion en el punto de apoyo es (N) : ')disp(R1)disp('Matriz de desplazamientos(mm) es :')disp(Q)disp('Matriz de esfuerzos en (MPa) es e[e1 ; e2 ; e3] : ')disp(e)
Resultados obtenidos en Matlab:
Ingrese el valor de la altura de la placa (mm) = 1000Ingrese el valor de la base de la placa (mm) = 800Ingrese el valor del Módulo de Elasticidad(N/mm^2) = 3*10^5Ingrese el valor de la fuerza P en Newton= 30000Ingrese el valor de la densidad del cuerpo gr-f/cm^3 = 8Ingrese el valor del Espesor (mm)= 150
RESULTADOS OBTENIDOS:
La Matriz de K es:
126000000 -126000000 0 0 -126000000 216000000 -90000000 0 0 -90000000 108000000 -18000000 0 0 -18000000 18000000
Matriz de Fuerzas es:
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1.0e+004 * -2.6321 -0.1766 2.8676 -0.0589
La reacción en el punto de apoyo es (N):
-2.5291e+004
Matriz de desplazamientos (mm) es:
1.0e-003 * 0 0.2089 0.5210 0.4883
Matriz de esfuerzos en (MPa) es e[e1 ; e2 ; e3] :
0.2507 0.3745 -0.0196
10. CONCLUSIONES
Los esfuerzos calculados en los elementos son negativos lo que
nos indica que dichos esfuerzos son esfuerzos de compresión
respecto a nuestro sistema de referencia.
La fuerza neta total que se ejerce sobre el cuerpo, es en contra
del sistema de referencia (opuesta al eje x), y es igual al
volumen total del cuerpo (V=6x107 mm3) por su Peso específico
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(γ=7,848x10-5 N/mm3) más la Fuerza aplicada (P=30000N), lo
que da de resultado un valor de 33237.3N.
Teóricamente este resultado 33237.3 sería el valor de la
reacción en el nodo (1).
El error del cálculo de la reacción en el nodo (1) es casi cero,
con lo que podemos afirmar que la aproximación del cuerpo a 3
elementos finitos es casi exacta, si consideramos menos
elementos finitos el error aumentará y asimismo, si
aumentamos el número de elementos, el error tendería a cero.
Para otras figuras, la precisión será directamente proporcional al número
de elementos finitos en que se divida, pues entre más se escojan, menor
error en los cálculos.
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