Probabilidad , Principios Básicos de Conteo & Otros (Cap...

Probabilidad , Principios Básicos de Probabilidad , Principios Básicos de Probabilidad , Principios Básicos de Probabilidad , Principios Básicos de

Conteo & Otros (Cap. 4, 5)Conteo & Otros (Cap. 4, 5)Conteo & Otros (Cap. 4, 5)Conteo & Otros (Cap. 4, 5)

Math. 298Math. 298Math. 298Math. 298

Prof. Gaspar Torres RiveraProf. Gaspar Torres RiveraProf. Gaspar Torres RiveraProf. Gaspar Torres Rivera

Teoría de ConjuntosDef. Un conjunto es una colección de objetos loscuales se denominan elementos del conjunto.Ejs. Conjuntos: Naturales, Reales, Enteros,…

{{{{ }}}} {{{{ }}}}...,9,7,5,3,1imparpositivonúmerounesxxA ========

Conjunto nulo o vacíoΦ or { } es el conjunto queno tiene elementos.

SubconjuntoElementos (pertenece/no pertenece)

BA ⊆⊆⊆⊆

Ba,Aa ∉∉∉∉∈∈∈∈

Intersección, unión y complemento

Intersección:

{{{{ }}}}BxyAxxBA ∈∈∈∈∈∈∈∈====∩∩∩∩

{{{{ }}}} {{{{ }}}} .BAarminDeter.12,11,10,9,8,7,6,5B,10...,,6,5,4,3,2,1ASea ∩∩∩∩========

Unión:

{{{{ }}}} {{{{ }}}} .BAarminDeter.12,11,10,9,8,7,6,5B,10...,,6,5,4,3,2,1ASea ∩∩∩∩========

{{{{ }}}}BóAconjuntoslosdeunoamenosalpertenecex

BxóAxxBA ∈∈∈∈∈∈∈∈====U

{{{{ }}}} {{{{ }}}}{{{{ }}}} {{{{ }}}} .BAarminDeter.10xyNxxB,5xyNxxASea

.BAarminDeter.12,10,8,7B,7,6,4,2ASea

∪∪∪∪<<<<∈∈∈∈====<<<<∈∈∈∈====∪∪∪∪========

Complemento

{{{{ }}}}AxxAorA ∉∉∉∉====′′′′

{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}.10,9,7,6,5,2B,9,6,3A,10...,,6,5,4,3,2,1USea ============

Leyes de Morgan

{{{{ }}}} {{{{ }}}} {{{{ }}}}

.BA,BA,B,AarminDeter

.10,9,7,6,5,2B,9,6,3A,10...,,6,5,4,3,2,1USea

∪∪∪∪∩∩∩∩

============

∩∩∩∩====∪∪∪∪

∪∪∪∪====∩∩∩∩

Experimentos, diagramas y conteoEl espacio de muestra (S) de un experimentoconsiste de todos los eventos simples posibles. Esdecir, el espacio de muestra lo constituyen todos losresultados posibles de un experimento. El evento esun subconjunto del espacio muestral. El puntomuestrales un resultadoindividual. El conteodemuestrales un resultadoindividual. El conteodelos puntos muestrales que componen a S se denotancomo n(S). Un evento simple consiste de unresultado y compuesto si consiste en más de uno.Experimentos:

1) Tirada de una moneda: {{{{ }}}}T,HS ====

Experimentos:2) Tirada de una moneda dos veces:

3) Tirada de una moneda y un dado:(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))){{{{ }}}}T,T,H,T,T,H,H,HS ====

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

====,6,H,5,H,4,H,3,H,2,H,1,H

4) En un estudio médico, los pacientes se clasificande acuerdo al tipo sanguíneo (A, B, AB, O), ytambién de acuerdo con si su presión sanguínea esbaja, normal o alta. ¿En cuántas un paciente puedeclasificarse con el tipo sanguíneo y la presión?

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

====6,T,5,T,4,T,3,T,2,T,1,T

,6,H,5,H,4,H,3,H,2,H,1,HS

Experimentos:5)¿Cuántos arreglos se pueden formar con 3camisas, 2 pantalones y 2 pares de zapatos?

6) Tablillasdelosautos:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))){{{{ }}}}(((( )))) 12)2)(2(3Sn

z,p,c...,,z,p,c,z,p,c,z,p,c,z,p,cS 223221121211111

============

====×××× 33 10266) Tablillasdelosautos:

7) Los pacientes de un hospital fueron clasificadosde acuerdo al sexo, diabético o no es diabético yacorde al cuidado (total, parcial o ninguno). ¿Encuántas un paciente puede clasificarse acorde conlas variables mencionadas?

====×××× 33 1026

Experimentos:8) Los equipos A y B juegan en un torneo debaloncesto. El equipo que gané los primeros dosjuegos, gana el torneo. Encuentre todas las formasposibles en los cuales puede finalizar el torneo.

9) Halle todos los arreglosque se puedenformar9) Halle todos los arreglosque se puedenformarcon una familia de tres hijos acorde con el sexo delos hijos. Asume que es igualmente probable teneruna niña que un niño (varón).

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))82

G,G,G,B,G,G

,G,B,G,B,B,G,G,G,B,B,G,B,G,B,B,B,B,BS

3 ====

Experimentos:10) Una urna contiene las esferas: roja (R), azul(A) y verde (V). Se seleccionan dos esferas,¿cuántos arreglos se pueden formar con reemplazo?¿cuántos arreglos se pueden formar sinreemplazo?

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))93

V,V,A,V,R,V

,V,A,A,A,R,A,V,R,A,R,R,RS

2 ====

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

A,V,R,V

,V,A,R,A,V,R,A,RS

====××××

Experimentos:11) En un experimento se lanzan dos dados: unoblanco y otro negro. Construya el espacio muestralS. ¿Cuántos arreglos se pueden formar conreemplazo? Blanco vs Negro

1 2 3 4 5 6

arreglos36666 2 ====⋅⋅⋅⋅====

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Experimentos:12) Verdadero o Falso. El hábito de fumar es unade las causas principales de cáncer.Selecciónmúltiple : El coeficiente de correlaciónse llama así por:

a. HugoCháveza. HugoChávezb. Carl Gaussc. Karl Pearsond. Pascale. Salvador Allende

Construir el espacio muestral S (todos los arreglosposibles). Utilizar un diagrama de árbol. n(S)=

Principios básicos de conteo:1) m x n2) m x n (Principio generalizado)

Si un experimento está compuesto por k ensayosrealizados en un orden definido, donde el primerotiene resultadosposibles,el segundoposeentiene resultadosposibles,el segundoposee

resultados posibles, etc , entonces el número deresultados posibles para el experimento es:

k321 nnnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Principios básicos de conteo:1) Permutaciones

Es el número de permutaciones de n-objetosformados de un conjunto tomados k a la vez. Elorden es importante. No hay repeticiones.

Ej.Si tres personas (A, B, C) que pertenecen a comitésformados por dos puestos Presidente (P) y Secretario (S),entonces ¿cuántos comités distintos pueden integrarse si esimportante el puesto que desempeñan?

(((( )))) nkyn4321!ndonde!kn

!nPkn ≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−====

Puesto: P-S P-S P-S P-S P-S P-SComités: B-A A-B A-C C-A B-C C-B

Ej. Carrerade 12 autosparalos lugares1er, 2do y

(((( ))))623

6123!1!3

====••••

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========−−−−

Ej. Carrerade 12 autosparalos lugares1er, 2do y3ero:

(((( ))))1320101112

1320121110!9!12

!312!12

====••••••••

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========−−−−

Ej. Si 16 concursantes se someten a una contiendade prueba, ¿en cuántas formas los jueces puedenotorgar 1er premio y 2 do premio?

(((( )))) ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========−−−−

==== 16!!16

!16!16

Notas:

(((( ))))!1n:redondaMesa

!nP:sillasdeFila nn

−−−−

Ej. Suponer que una caja contiene 8 bolitasmarcadas (números). Encuentre el número debolitas ordenadas de magnitud 3.

8888:reemplazocon)a 3====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(((( )))) 336876!5!8

P:reemplazosin)b 38 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========−−−−

Ej. ¿Cuántas tablillas de autos se pueden formar con26 letras del alfabeto Inglés si cada serie consiste dedos letras y no son válidas las repeticiones o sea sinreemplazo?

Ej. ¿Cuántosarreglos se puedenformar con las

(((( )))) 65026!!26

!26!26

P 226 ====⋅⋅⋅⋅========−−−−

Ej. ¿Cuántosarreglos se puedenformar con lasletras {A, B, C, D}? n=4, k=4Ej. A un sujeto se le presentan tres vasos diferentes (refrescos)designados C,D,P. Se le pide que pruebe los tres y que seleccione enorden de preferencia. Suponga que se sirvió el mismo refresco en lostres vasos. ¿Cuántos arreglos se pueden formar? CDP, CPD,DCP,DPC,PCD, PDC

(((( )))) 6123!0!3

P 33 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========−−−−

Principios básicos de conteo:1) Permutaciones2) Combinaciones

Es el número de combinaciones de n-objetosformados de un conjunto tomados k a la vez. Elorden no esimportante. No hayrepeticiones.orden no esimportante. No hayrepeticiones.

(((( ))))

nkyn4321!ndonde!kn!k

≤≤≤≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====−−−−

Ej. ¿En cuántas formas puede seleccionarse uncomité de 4 entre los 72 administradores de unhospital?

(((( )))) 1028790123472717069

!68!4!72

!471!4!72

C472 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========

−−−−====

Ej. ¿En cuántas formas puede Juan invitar a tresde sus 8 amigos (as) a su fiesta? El orden no esimportante.

(((( )))) 1234!68!4!471!4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−

(((( )))) 56123876

!5!3!8

!38!3!8

C38 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========

−−−−====

Ej. Un “guajiro” compra 3 vacas, 2 cerditos y 4gallinas a otro “guajiro” que tiene 6 vacas, 5cerditos y 8 gallinas. ¿Cuántas formas deseleccionar aleatoriamente tiene el “guajiro” ?

Ej. ¿EncuántasformaspuedeJuanseleccionar

482536 CCC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅Ej. ¿EncuántasformaspuedeJuanseleccionardos de 6 cursos de Matemáticas junto con 3cursos de 7 cursos de Estadísticas? El orden noes importante.

525CC 3726 ====⋅⋅⋅⋅

Ej. José tiene 4 camisas, 2 pantalones y 3 paresde zapatos para combinar. ¿Cuántas arreglosdistintos se pueden formar?a) si utiliza un artículo de cada categoría

b) si utiliza unacamisaespecíficay un artículo

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 131214 CCC

b) si utiliza unacamisaespecíficay un artículode las otras de dos categorías

Ej. Álgebra: Triángulo de Pascal y suscombinaciones para sus coeficiente numéricos.

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1312 CC4

Ej. Álgebra: Triángulo de Pascal y suscombinaciones para calcular sus coeficientenuméricos.

1 3 3 1(((( ))))(((( ))))

±±±±±±±±

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

(((( ))))(((( ))))(((( )))) (((( )))) n5

yx...yx

±±±±±±±±±±±±±±±±

Ej. Un departamento consiste de 30 miembros yse requiere un comité de 5 de ellos para realizaruna tarea. ¿Cuántos comités distintos se puedenformar?

(((( )))) 142506!30!30

C530 ================

Ej. Un departamento consiste de 30 miembros yse requiere un comité para realizar una tarea. Elcomité debe estar integrado por dos directores ytres miembros. ¿Cuántos comités distintos sepueden formar? 30C2 x 28C3 =1425060.

(((( )))) 142506!25!!30!

C530 ============−−−−

ProbabilidadDef. La probabilidad de que ocurra un evento es lafrecuencia relativa con la que puede esperarse queel evento ocurra.

Def. La probabilidadP(A) de un eventoA es la∑∑∑∑

==== k

Def. La probabilidadP(A) de un eventoA es larazón del número n(A) de posibles resultados quesatisfacen el evento A con respecto al número n(S)de resultados que tenemos en todo el espaciomuestral S.

(((( )))) (((( ))))(((( )))) MuestralEspacioS,eventoASnAn

AP −−−−−−−−====

ProbabilidadSi tenemos n posibilidades igualmente probables,de las cuales una deberá ocurrir y junto con “s” seconsideran favorables (éxito o triunfo), entonces laprobabilidad de que haya un éxito es

(((( )))) ocurrióquevecesdenúmeros,ns

xP ========

Nota: La probabilidad de que ocurra un eventopuede obtenerse:

1. empíricamente2. teóricamente3. subjetivamente

(((( ))))entosintdenúmeron

ProbabilidadDef. Variable aleatoria (x)=es un valor funcionaldefinido sobre un espacio muestral que puede serdiscreto o continuo. Para S de algún experimento,una variable aleatoria es cualquier asociación concada resultado en S. Su dominio es S y su recorridoesel conjuntodelosnúmerosreales.esel conjuntodelosnúmerosreales.

Ej. Suponga que se selecciona la latitud y la longitud de unlugar. Defina la variable aleatoria “x” como la altura sobreel nivel del mar en el lugar seleccionado.

ProbabilidadEj. ¿Cuál es la probabilidad de un “seis” en latirada de un dado “honesto”?

Ej. Considerarel experimentode lanzardosmonedasuna

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 61

Sn)A(n

APor61

Sn)A(n

6xP ====================

Ej. Considerarel experimentode lanzardosmonedasunavez. Encuentre:a) Espacio Muestral S={(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}b) Sea A el evento de obtener al menos una cara, ¿cuál es la

probabilidad de que ocurra A? ¿no ocurra el evento A?A ={(H, H), (H, T), (T, H)}

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) 25.075.01AP1AP

25.041

Sn)A(n

AP,75.043

Sn)A(n

====−−−−====−−−−====

========================

ProbabilidadEj. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” conla misma probabilidad a un varón que a una niña, entoncescalcular la probabilidad de que una familia con tres hijosconste de un varón y dos niñas. Dibujar el Diagrama deÁrbol.Variable aleatoria x=número de varonesS={(B,B,B), (B,B,G), (B,G,B), (B,G,G),(G,B,B), (G,B,G),S={(B,B,B), (B,B,G), (B,G,B), (B,G,G),(G,B,B), (G,B,G),(G,G,B), (G,G,G)}Evento A=familia con tres hijos conste de un varón y dos niñasA={(B,G,G), (G,B,G), (G,G,B)}

(((( )))) (((( )))) (((( )))) ========================83

1xPor83

Sn)A(n

ProbabilidadEj. En el supuesto de que una mujer puede dar a “luz” conla misma probabilidad a un varón que a una niña, entoncescalcular la probabilidad de que una familia con 4 hijosconste de 4 niñas. Dibujar el Diagrama de Árbol.Variable aleatoria x=número de niñasS={ }EventoA= familia con4 niñasEventoA= familia con4 niñas

(((( )))) (((( )))) (((( )))) ========================161

4xPor161

Sn)A(n

ProbabilidadEj. Se lanzan un par de dados, uno blanco y otro negro. Sila suma de los dados es “6”, encuentre la probabilidad deque la suma sea “6”. Encuentre la probabilidad de que unode los dados sea un “2”. Construir la tabla de S.

S={ }Eventos:Eventos:A=suma sea “6”= {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}B= número sea un “2”= {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5),(2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) ================

================

Sn)A(n

"2"unseanúmeroBP

Sn)A(n

"6"sumaAP

ProbabilidadEj. Una caja tiene 6 bolitas rojas, 4 son blancas y 5 sonazules. Si se selecciona aleatoriamente una bolita,encuentre las probabilidades siguientes:a) A=sea rojab) B=sea blancac) C=sea azuld) A`=no searoja

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) ============

================

15)A(n

Sn)A(n

d) A`=no searojae) D=no sea roja ni blanca(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) ====================

================

Sn)D(n

blancanirojanoDP

Sn)A(n

ProbabilidadEj. Usted tiene que leer libros de Matemáticas: 3 carpetadura y 3 bolsillo, y seis de Ciencias: 3 carpeta dura y 3bolsillo. Considere y calcular la probabilidad de seleccionaraleatoriamente dos libros: uno de bolsillo de los seis librosde Math. y luego seleccionar uno de bolsillo de los seislibros de Ciencias. Construya el espacio muestral S.

dura bolsillo

bolsillo

C1 C2 C3 C4 C5 C6

M1 M1C1 M1C2 M1C3 M1C4 M1C5 M1C6

arreglos36666 2 ====⋅⋅⋅⋅====

Probabilidaddura bolsillo

bolsillo

C1 C2 C3 C4 C5 C6

M5 M5C1 M5C2 M5C3 M5C4 M5C5 M5C6M5 M5C1 M5C2 M5C3 M5C4 M5C5 M5C6

arreglos36666 2 ====⋅⋅⋅⋅====

(((( )))) (((( ))))(((( )))) 25.0

AP ================

ProbabilidadEj. Se lanzan un par de dados, uno blanco y otro negro.Encuentre la probabilidad de que el dado blanco muestreun número menor que “3”. Encuentre la probabilidad deque la suma de ambos dados mayor que “9”. Construir latabla de S.

(((( )))) (((( )))) ================<<<<====112)A(n

3BlanconúmeroAP(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) ================>>>>====

================<<<<====

Sn)A(n

9ambossumaBP

Sn)A(n

3BlanconúmeroAP

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

ProbabilidadEj. Una muestra de pacientes se clasifican por sexo y portipo de diabetes (I or II). Si se selecciona aleatoriamente unpaciente, encuentre las probabilidades de tal pacienteseleccionado sea:a) mujerb) padezca diabetes II c) no padezca diabetes I

Sexo I II Total

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) ====

========

IDiabetesP

Sn)IIDiabetes(n

IIDiabetesP

Sn)M(n

Sexo I II Total

M 25 20

F 35 20

ProbabilidadEj. Una caja tiene 25 piezas, de las cuales 3 sondefectuosas y 22 no son defectuosas. Si se seleccionanaleatoriamente dos piezas (ver cada caso)a) con reemplazob) sin reemplazo

Calcular:Calcular:

(((( ))))(((( ))))(((( )))) ====

========

defectuosaseaningunaP

defectuosaunaeexactamentP

sdefectuosaambasP

inicio

ProbabilidadLey de los Números Grandes

Si un experimento se repite una y otra vez, laprobabilidad de “éxitos” se aproximará a laprobabilidad teórica.Espacios Finitos de ProbabilidadSeaS un espaciomuestralfinito. Un espaciofinitoSeaS un espaciomuestralfinito. Un espaciofinitode probabilidad se obtiene asignando a cada puntouna probabilidad “p”, que satisface:

≤≤≤≤≤≤≤≤

∑∑∑∑====

ProbabilidadDef. Dos eventos A, B son mutuamente exclusivossi no ocurren al mismo tiempo o sea:

Eventos mutuamente exclusivos son eventosdefinidos de tal maneraque la ocurrenciade un

vacíoconjuntoeles:NotaByABA φφφφφφφφ========∩∩∩∩

definidos de tal maneraque la ocurrenciade unevento imposibilita la ocurrencia de cualquier delos otros eventos.

(((( )))) (((( )))) (((( )))) vacíoconjuntoelesdonde0PByAPBAP φφφφ====φφφφ========∩∩∩∩

ProbabilidadReglas básicas de probabilidadLa función de probabilidad P definida en la clase detodos los eventos de un espacio finito deprobabilidad S satisface los axiomas:

(((( )))) [[[[ ]]]](((( )))) (((( ))))

1,0a1AP0,AeventoelPara)i

====φφφφ====∈∈∈∈≤≤≤≤≤≤≤≤

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))AP1AP

1APAP:osComplement)v

ByAPBPAPBoAP

exclusivosmutuamentesonnoeventoslosentonces,BASi)iv

BPAPBoAP

exclusivosmutuamentesoneventoslosentonces,BASi)iii

0Py1SP)ii

−−−−====

====++++

−−−−++++====φφφφ≠≠≠≠∩∩∩∩

++++====φφφφ====∩∩∩∩

====φφφφ====

ProbabilidadReglas básicas de probabilidad

(((( )))) [[[[ ]]]]

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))BPAPBAPBoAP

0Py1SP)ii

++++====∪∪∪∪====φφφφ====∩∩∩∩

====φφφφ====

∈∈∈∈≤≤≤≤≤≤≤≤

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))AP1AP

ByAPBPAPBAPBoAP

BPAPBAPBoAP

−−−−====

====++++

−−−−++++====∪∪∪∪====φφφφ≠≠≠≠∩∩∩∩

++++====∪∪∪∪====

ProbabilidadEj. Si A es el evento de los empleados que apoyanuna huelga y B es el evento de los empleados queno apoyan la huelga y P(A)=0.64 y P(B)=0.21.Encuentre:(Los eventos son mutuamente exclusivos)

(((( )))) (((( )))) (((( ))))++++==== BPAPBoAP)i (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( )))) ====

−−−−====

++++====

BoAP)v

ByAP)iv

AP1AP)iii

ByAP)ii

BPAPBoAP)i

ProbabilidadEj. De un total de 100 estudiantes, 30 son deMatemáticas, 20 son de Química y 10 pertenecen aambas concentraciones. Si se seleccionaaleatoriamente un estudiante, encuentre laprobabilidad de que ese estudiante sea de Math. oQuímica.Química.

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))

(((( )))) ====

========

BoAP)iiI

ByAP)ii

BPAP)i

ProbabilidadEj. Sea A y B eventos y

(((( )))) (((( )))) ======== BP)iiAP)i

(((( )))) (((( )))) (((( )))) :encuentre,41

ByAPy32

BoAP ============

Ej. En un grupo de personas se observa 10 hombresy 20 de los cuales la mitad de los hombres y lamitad de las mujeres tiene ojos color castaño.Calcular la probabilidad de que una personaseleccionada aleatoriamente sea un hombre o tengalos ojos color castaño. P(Ao B)=

ProbabilidadEj. Se lanzan dos dados: uno blanco y otro negro.Hallar la probabilidad de que el dado blanco de seaun número menor que “3” o que la suma de ambosdados sea mayor que “9”.

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 5.021

ByAPBPAPBoAP ============−−−−++++====−−−−++++====

Ej. De 120 estudiantes, 60 estudian Francés, 50estudian Español y 20 estudian ambas asignaturas.Si se selecciona aleatoriamente un estudiante,encuentre las probabilidades de que éste:

i) estudiando Francés o Españolii) no está estudiando ni Francés ni Español

2363636

ProbabilidadEj. Si A y B son eventos mutuamente exclusivos yP(A)=0.5 y P(B)=0.3, entonces calcular lasprobabilidades siguientes:

(((( ))))(((( ))))(((( )))) ====

========

BoAP)iii

BoAP)ii

ByAP)i

Ej. Una moneda está cargada de tal manera que laprobabilidad de que aparezca una cara (H) es eldoble que aparezca una cruz (T). Encuentre P(H),P(T).

(((( ))))(((( )))) ====

ByAP)iv

BoAP)iii

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) .

2x2HP,31

1x31x2xx2HP,xTP

====⋅⋅⋅⋅================⇒⇒⇒⇒====

====⇒⇒⇒⇒====++++⇒⇒⇒⇒========

ProbabilidadEj. Sea A y B eventos y

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))).ByAP,BP,ByAP

:encuentre,85

BoAP,21

AP ============

Ej. Suponga que el 55% de los adultos consumenregularmente café, el 45% consume regularmenterefrescos y el 70% consume regularmente café orefresco. ¿Cuál es la probabilidad de que un adultoseleccionado aleatoriamente consuma café yrefresco?

ProbabilidadEj. Juan asiste a reuniones de su escuela graduada.De los que asisten, 50% son mujeres. Porconocimiento el 88% de las personas son derechas,siendo Juan zurdo. Juan conoce que de unapoblación de personas, sólo el 6% son hombres yzurdos. Si Juan selecciona aleatoriamenteunazurdos. Si Juan selecciona aleatoriamenteunapersona en esa reunión, ¿cuál es la probabilidad deque sea del sexo masculino o zurdo?

(((( )))) (((( )))) (((( )))) ====−−−−++++==== ZyHPZPHP)ZoH(P

)ZyH(zurdosybreshomson%6

)Z(zurdasson%12),D(derechasson%88

Mson%50,Fson%50:Datos

ProbabilidadEj. Una revista de noticias publica tres columnastituladas Arte (A), Libros (B) y Cine (C). Loshábitos de lectura de un lector seleccionadoaleatoriamente con respecto a estas columnas son:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) ,08.0ByAP,37.0CP,23.0BP,14.0AP ================

Calcular: P(Ao B), P(Ao C), P(Bo C),

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) 05.0CyByAPy13.0CyBP,09.0CyAP

,08.0ByAP,37.0CP,23.0BP,14.0AP

============================

(((( ))))(((( ))))(((( ))))(((( )))) ====

CoBoAP

CyByAP

ProbabilidadEj. Un sistema experimenta tres tipos de defectosA, B y C. Suponga las siguientes probabilidades:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) 01.0CyByAPy10.0CoBP,14.0CoAP

,13.0BoAP,05.0CPy07.0BP,12.0AP

============================

¿Cuál es la probabilidad de que el sistema no tengael defecto A?¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga eldefecto A y el defecto B?¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tengatanto el defecto A como B pero no tiene el tipo C?

ProbabilidadEj. En un experimento se lanzan dos dados: unoblanco y otro negro. Los eventos siguientes sedefinen: A=dados suman 3, B=dados suman 6,C=dado blanco sea “1”, D=dado negro sea “1”.Defina los eventos.

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

arreglos36666 2 ====⋅⋅⋅⋅====

ProbabilidadCalcular: P(Cy D), P(Co D), P(Ao B), P(D`).

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 115 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) ============

============

DP1seaNegrodadoP

CP1seaBlancodadoP

BP6sumanP

AP3sumanP

ProbabilidadCalcular: P(Cy D), P(Co D), P(Ao B), P(D`).

+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 115 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

(((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) ============−−−−====−−−−====

========−−−−++++====−−−−++++====

========

1DP1DP

ByAPBPAPBoAP

DyCPDPCPDoCP

Probabilidad (Tablas de Contingencia)

Fármaco antialergia

SeldaneSELDANE (S) PLACEBO (P) Grupo de Control (C) Total

Dolor de cabeza (D) 49 49 24 122

No dolor de cabeza (ND) 732 616 602 1950

Total 781 665 626 2072

La tabla siguiente describe los resultados de la prueba con el fármacoantialergia SELDANE:

Conteste: Si un paciente se selecciona aleatoriamente,1. ¿Cuál es la probabilidad de que ese paciente pertenezca algrupo que recibeel Placebo o al de Control?2. ¿Cuál es la probabilidad de que ese paciente reciba el SELDANE y no tengadolor de cabeza?3. ¿Cuál es la probabilidad de que ese paciente reciba el SELDANE o no tengadolor de cabeza?

ProbabilidadCáncer Fuma cigarrillos (F) No fuma (NF) Total

Sí (I) 0.06 0.03 0.09

No (O) 0.15 0.76 0.91

Total 0.21 0.79 1.00

Unos investigadores de la Oficina del Dr. Torres han estado interesadosdurante mucho tiempo en el estudio de la relación entre fumar cigarrillos ydurante mucho tiempo en el estudio de la relación entre fumar cigarrillos yel cáncer del pulmón. La tabla siguiente muestra los porcentajes de mujeresadultas en un estudio relacionado con lo anterior:Conteste: Si una mujer adulta fue seleccionado aleatoriamente,1. ¿Cuál es la probabilidad de que la seleccionada fuma cigarrillos y tienecáncer?2. ¿Cuál es la probabilidad de que la seleccionada fuma cigarrillos?3. ¿Cuál es la probabilidad de que la seleccionada notiene cáncer?4. ¿Cuál es la probabilidad de que la seleccionada no fuma cigarrillos y notiene cáncer?5. ¿Cuál es la probabilidad de que la seleccionada fuma cigarrillos dado quetiene cáncer? (Condicional)

Probabilidad CondicionalDef. Sea un evento E arbitrario de un espaciomuestral S y P(E) > 0. La probabilidad de que unevento A suceda una vez que E ha ocurrido, es decirla probabilidad condicional de A dado E.

(((( )))) (((( ))))(((( ))))EP

EyAPEAP ====

Notas:1) P(E|E)=1, una vez que E ha ocurrido.2) Cuando los eventos A y E son mutuamente exclusivos

P(A|E)=0. Una vez que E ha ocurrido, A es imposiblede ocurrir.

(((( )))) (((( ))))EPEAP ====

ProbabilidadSi los eventos son independientes, entonces laocurrencia o no de uno no afecta la ocurrencia del otro.P(A y E)=P(A)·P(E)

(((( )))) [[[[ ]]]]

(((( )))) (((( )))) 0Py1SP)ii

====φφφφ====

∈∈∈∈≤≤≤≤≤≤≤≤

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))AP1AP

BPAPBPAPBoAP,ntesindependieeventossonByASi

BAPBPAPBAPBoAP

BPAPBAPBoAP

−−−−====

====++++

⋅⋅⋅⋅−−−−++++====∩∩∩∩−−−−++++====∪∪∪∪====

φφφφ≠≠≠≠∩∩∩∩

++++====∪∪∪∪====φφφφ====∩∩∩∩

Probabilidad CondicionalEj Los registros de la policía muestran que en laciudad XYZ la probabilidad de que se capture a un“asesino” es 0.35 y 0.14 de que ese “asesino” secapture y se condene. ¿Cuál es la probabilidad deun “asesino” seleccionado aleatoriamente seacondenadodadoquesehayacapturado?condenadodadoquesehayacapturado?

(((( )))) (((( ))))(((( )))) 4.0

35.014.0

EPEyAP

EAP ============

ProbabilidadEj. En un experimento se lanzan dos dados: unoblanco y otro negro. Los eventos siguientes sedefinen: E=dados suman 6, A=dado sea un “2”,Defina los eventos.

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

arreglos36666 2 ====⋅⋅⋅⋅====

ProbabilidadProbabilidadEj. En un experimento se lanzan dos dados: unoblanco y otro negro. Los eventos siguientes sedefinen: E=dados suman 6, A=dado sea un “2”,Defina los eventos. ¿Cuál es la probabilidad de queal lanzar el dado aparezca un dosdado que haocurridoquela sumadelosdadossea“6”?ocurridoquela sumadelosdadossea“6”?

Probabilidad+ 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 126 7 8 9 10 11 12

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( )))) ================

================

3611362

APAyEP

EPEyAP

ProbabilidadEj. En un experimento se lanzan dos dados: unoblanco y otro negro. Los eventos siguientes sedefinen: A=dados suman 3, E=dado blanco sea “1”,Defina los eventos. Calcular P(A|E).

1 2 3 4 5 6

(((( ))))1

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

(((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( )))) (((( ))))(((( )))) 2:15.0

362361

APAyEP

366361

EPEyAP

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