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RESISTENCIA DE MATERIALES CURSO 2015-16Convocatoria de Julio 5/7/2016
Fecha de publicacion de la preacta: 21/7/2016Fecha de revision del examen: 28/7/2016 a las 16:00
Problema 1 (10 puntos)
La estructura de la figura esta compuesta
de una viga ABC de seccion variable y
una barra CD, ambas unidas con una
articulacion en C.
i) Si se elimina la barra CD y se aplica
sobre la viga una fuerza puntual F ,
vertical y hacia abajo en C, calcular el
desplazamiento vertical del punto de
aplicacion de la carga.
L/2 L/2
3EI EI
H
EA
A BC
D
ii) Considerando ahora la estructura completa (con la viga y la barra), y sin ninguna fuerza
exterior sobre ella, se somete la barra CD a un salto termico #. Determinar el desplazamiento
vertical de C si el coeficiente de dilatacion termica de CD es ↵.
iii)Determinar el salto termico que hace que la barra CD pandee si su rigidez a flexion es EI.
iv)Demostrar que el resultado de la parte iii) tiene dimension de temperatura, indicando para
ello las dimensiones de todas las constantes que aparecen en dicha expresion.
RESISTENCIA DE MATERIALES - GITI CURSO 2015-16 EXAMEN DE JULIO 5-7-2016 Fecha de publicación de la preacta: 21 de Julio Fecha de revisión: 28 de Julio a las 17:30 horas
PROBLEMA 1 (8 puntos)
En la estructura de la figura, el valor máximo de la carga triangular es 1167 N/m,
puede despreciarse el rozamiento entre la polea y el cable, y tanto las uniones entre
barras como el eje de la polea son pasadores que pueden considerarse exentos de
rozamiento.
Se pide:
1.- Grado de hiperestaticidad, indicando el número de libertades que introduce cada una
de las uniones (0,5 puntos).
2.- Reacciones en el empotramiento C y esfuerzo normal en el cable (1,5 puntos).
3.- Diagramas acotados de esfuerzos en todas las barras (5 puntos).
4.- Acortamiento de la barra BE, sabiendo que es un perfil normalizado L 50.5 (E = 210
GPa) (1 punto).
( ) FMMmFmFM
FRRFF
FRRFF
CZCZCZ
CYCYY
CXCXX
05,105,1·45,0·0
00
00
−=→=++−→=
=→=+−→=
−=→=+→=
∑∑∑
F
F
0,9 m
0,9 m0,6 m0,6 m
A B C
D
E
X
Y
RCY
RCX
MCZ
RESOLUCIÓN 1.- Aislando la polea, se tiene que, por equilibrio de fuerzas, las acciones sobre ésta (que
verifican el equilibrio de momentos respecto al centro), son:
F
F
F
F
Así, el esquema de la estructura, una vez eliminada la polea, es el siguiente:
F
F
A B C
D
E
Hay tres incógnitas externas (reacciones en C), y tres ecuaciones de equilibrio, por
lo que externamente es isostática.
Internamente, el contorno cerrado añade tres incógnitas (esfuerzos en una sección
cualquiera), pero las uniones en A, B y E permiten cada una de ellas un giro relativo de
una de las secciones* con respecto al resto, por lo que cada una añade una libertad.
Internamente es, por tanto, también isostática.
Globalmente es, por tanto, isostática. (0,5 puntos) * A, B y E no son rótulas, puesto que para serlo deberían permitir el giro relativo entre todas las secciones
que unen.
2.- Planteando equilibrio
global en la estructura, se
tiene:
(1 punto)
( ) NVmNmNmVM
NVVF
NHNHF
AABZ
BAY
AAX
75,430·5,3679,0·3502,1·0
03500
35003500
=→=−+→=
=+−−→=
−=→=−−→=
∑∑∑
El esfuerzo normal en el cable (F) tiene por valor el área de la distribución triangular
de carga:
NmmNF 3506,0·1167
21
== (0,5 puntos)
3.- Aislando las tres barras del conjunto, se tiene:
F
F
VE
HE
VA
HA
HA
VA VB
HB
HB
VB
VEHE
350 N
350 N
367,5 N·m
Al aplicar equilibrio de fuerzas en BE, se tiene que HE = HB y VE = VB.
Al aplicar ahora equilibrio de momentos en B, para la barra BE, se tiene que HE = 0
(se comporta como una barra biarticulada sin cargas transversales).
Así, las barras ABC y ADE quedan solo con tres incógnitas, por lo que del equilibrio
en alguna de ellas se obtienen las incógnitas restantes. Escogiendo ABC, se tiene:
HA350 N
350 N
367,5 N·mVBVA
0,6 m0,6 m 0,9 m
350
350
306
44
350
350
367,5
350 306
306
30644
350
306·senα
44
350α
306·cosα350·cosα
350·(cosα+senα)
350·senα
184
44
350
24570
490
Al sustituir VA en la segunda de las ecuaciones, se obtiene VB = 306,25 N. (1 punto)
El esquema de acciones (fuerzas en N y momentos en N·m), sobre cada una de las
barras es, por tanto:
Para todos los diagramas, lo más cómodo es el esquema anterior, excepto en el
normal y el cortante en la barra AE, para los cuales es preciso descomponer parte de las
fuerzas según las direcciones longitudinal y transversal de la barra.
8,09,02,1
2,1cos6,09,02,1
9,02222=
+==
+= ααsen
Así, para las referencias locales y el criterio de signos de la figura siguiente, los
diagramas se muestran a continuación.
x
yx
y
+
xy
x
y
184
254
306
350350
44
245 245
184
367,5
52,5Mz (N·m)
N (N) T (N)(1 punto) (1 punto)
(2 puntos)
4.- El acortamiento de BE se debe al tramo comprimido. Por estar sometido a esfuerzo
normal constante, la expresión es:
EALNL BEBE=Δ
Extrayendo de las tablas de perfiles laminados la sección de la barra, se tiene:
mmmm
mmN
mmNL 3
222
510·7,2
10·8,4·10·1,2
900·306 −−=−
=Δ (1 punto)
PROBLEMA 2 (2 puntos)
En el conjunto de tuberías de PVC de la figura (G = 1,1 GPa, φext = 110 mm,
espesor 2,2 mm), se pide el desplazamiento vertical del extremo de la llave (donde se
encuentra aplicada la carga), debido exclusivamente a la torsión.
RESOLUCIÓN El esquema de barras de la estructura es el siguiente:
AB
CD
E
250N
Se encuentran sometidas a torsión uniforme las barras AB y CD.
El descenso de E debido a la torsión, bajo la hipótesis de la teoría lineal con
pequeños movimientos, se debe a los giros de torsión de B y D (ya que los de A y C son
nulos):
DEDCDB LL ·· θθδ +=
Ambos giros, por ser torsión uniforme, se obtienen como:
00
··GI
LMGI
LM CDTCDC
ABTABB == θθ
Momento de inercia polar: ( ) ( ) 4644440 10·17,26,105110
3232mmI iie =−=−=
πφφπ
Momentos torsores:
MTAB = 250 N·175 mm = 43750 N·mm
MTCD = 250 N·225 mm = 56250 N·mm
Giros: rad
mmmm
NmmmmN
radmm
mmN
mmmmN
c
B
3
462
3
3
462
3
10·1,410·17,2·10·1,1
175··56250
10·4,610·17,2·10·1,1
350··43750
−
−
==
==
θ
θ
Descenso: mmmmmmmmmm 05,293,012,1225·10·1,4175·10·4,6 33 =+=+= −−δ
(2 puntos)
Nota: Al mismo resultado se llega aplicando el método de la carga unidad o el teorema de
Castigliano a la estructura completa, debiendo tener en cuenta la contribución energética
por torsión de las barras AB y CD.