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7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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EJ E R C I C I O S R E S U E L T O S Y PR O B L E M A S
PR O P U E S T O S D E C L C U L O D I F E R E N C I A L D E
FU N C I O N E S D E VA R I A S V A R I A B L E S R E A L E S
Ing. Moiss Prez
UDO Monagas
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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2
CAPTULO 1
DOMINIO Y GRFICAS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Objetivo
Dada una funcin de dos variables, determinar su dominio, su representacin grfica
y sus curvas de nivel.
Ejercicios Resueltos
Problema 1
Exprese explcitamente el dominio def
)(sen),((f)
)cos(),((e)
)ln(),((d))ln(),((c)
)(sen
1),((b)
)cos(
1),((a)
xyyxf
xyyxf
yxyxfyxyxf
xyyxf
xyyxf
=
=
+==
=
=
Solucin
+==
+
ZkkxyyxfDom
yxfZkkxyxy
,2
)12(/),(es
),(funcinladedominioeltantolopor,
2
)12(0)cos((a)
2
{ }ZkkxyyxfDomkxyxy == ,/),(;)(0)(sen(b) 2
{ }yxyxfDomyxyx >=>> /),(0(c)
{ }yxyxfDomyxyx >=>>+ /),(;0(d)
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3
0)cos(y0o0)cos(y00)cos((e) xyxyxy por tanto esto se
cumple en ...2
5,
2
3
2,
22
3,
2
5
2
7,
2
9...y0
xy
...2
3,
22,
2
3
2
5,
2
7...y0o
xy
Para ello podemos observar el comportamiento de la funcin dada por u = cos(x).
Segn se observa en la figura n 1, podemos apreciar los intervalos en los cuales
.0cosy0cos xx
Figura n 1: Funcin u= cos (x)
[ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ] [ ] [ ] [ ]{ }...4,32,0,2,3...y0/),(
...3,2,0,23,4...y0/),(
donde.0seny00seny00sen(f)
=
=
=
xyyxB
xyyxA
BAfDomxyxyxy
Problema 2
Identificar geomtricamente y dibujar las curvas de nivel correspondientes af(x,y)
2
),((c)
y)0,0(),(,),((b)
02
1
094),((a)
22
22
22
xyeyxf
yxyxyx
yxyxf
xy
xyx
yxf
=
+=
+
=
+
=
+
=
+==+=
+
),0,0(),(y1dondeen1
1
1
1
1
1)1()1(
2
2
2
2222222
22
22
xC
Cy 1
1+=
representa una familia de rectas que cruzan por (0,0) sin contenerlo
en su dominio. Los valores de la pendiente de las rectas son estrictamente menores
que 1, tal como se puede apreciar en la figura n 3:
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5
x
y
C=1
C=2
C=3
C=4
C=5
C=2
C=5
Figura n 3: Curvas de nivel def(x,y) ( problema 2, inciso b )
)0(lnln(c) 222
>+=== CCxyCxyCe xy . Por tanto obtenemos una
familia de parbolas dadas por .0,lncon2 >=+= CCKKxy Para algunos
valores de C tenemos las siguientes parbolas ver figura n 4:
69,0;69,012ln2/1
07,2;07,28ln8
38,1;38,14ln4
;01ln1
2
2
2
2
====
+====
+====
====
xyKC
xyKC
xyKC
xyKC
Figura n 4: Curvas de nivel def(x,y) ( problema 2, inciso c )
Problema 3
Hallar la grfica (graf f) y curvas de nivelNc(f) de la funcin yxyxf 24),( = .
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Solucin
La grfica de f es un plano cuyas intersecciones con los ejes coordenados son los
puntos: (0,2,0); (4,0,0); (0,0,4). Luego para hallar las curvas de nivel, hacemos
4-x-2y = C, con C=constante. Para cada valor de Ctenemos la ecuacin de una
recta en el planoxy, luego las curvas de nivel def, es decirNc(f), forman una familia
de curvas paralelas, segn se observa en la figura n 5:
Figura n 6: Grafica y curvas de nivel de f(x,y) = 4-x-2y
Problema 4
Hallar la grfica de fpara la siguiente funcin 23),( xyxyxf = si el dominio def
esta restringido de la siguiente manera { }xyxxyxfDom = ;10/),(
Solucin
Para obtener la grfica def(x,y) (graff)podemos utilizar el mtodo de las secciones,
para ello, comenzaremos con las secciones paraxconstante (seccin vertical):
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7
==
====
==
====
8
10
8
10
ejeslosconcortes8
1
2
1Si
10
10ejeslosconcortes11Si
2
2
yz
zy
yzx
yz
zyyzx
Observamos que cortando la grficaf con planos de ecuacin x = c (cconstante), se
obtienen parbolas con vrtices en el segmento que va desde el (0,0,0) (cuandox = 0)
al (1,0,1) (cuando x = 1), segn podemos apreciar en la figura n 6. Adems si
trabajamos con las secciones horizontales (z= constante) tenemos:
xyyxxyxz ==== 00 2223 (rectas en el planoxy).
Graficando, estas secciones horizontales y verticales podemos construir finalmente la
superficie pedida.
Figura n 6: Grfica de23),( xyxyxf =
Problema 5
Seaf(x,y)=1-yP2P. Dibujar la grfica de f (graf def )e identificar las curvas de nivel
(Nc).
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9
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
c = 0
c = 0
c=1
c = -1
c = -1
c = -3
c = -3
Figura 8: Curvas de nivel de
21),( yyxf =
Problema 6
Dibujar la grfica de la superficie cuya ecuacin es 4xP2P-3yP2P+2zP2 P= 0
Solucin
La expresin 4xP2P-3yP2P+2zP2 P= 0 representa una superficie en 3 pero ninguna de las
variables es funcin de las otras (en el sentido de la definicin de funcin que
conocemos) ya que al despejar por ejemplo .),43(2
1 22 xyz = el contradice
la definicin de funcin. Sin embargo, si manipulamos la expresin
222 324 yzx =+
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
3
2
3)2/1(3)2/1(3y
zxy
zx=
+
=+ si normalizamos esta
expresin obtenemos la ecuacin cannica de una elipse 1
2
3
2
32
2
2
2
=
+
k
z
k
x
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en los planosy=kcon eje mayor paralelo al ejez. A medida que k aumenta, las
elipses son ms grandes. Parax= 0se obtienen las lneas rectas ykz
2
3
2
3== .
Con lo cual concluimos que la grfica es una cnica, tal como se muestra en la figura
n 9:
Figura n 9: Grfica de 0234),( 222 =+= zyxyxf
Problema 7
Sea f : 2 tal que yxyxf 36),( 2 = . Construir la grafica de f y las
curvas de nivel con c = 2, 0, 4.
Solucin
yxz 362
= , su interseccin con el plano xy la obtenemos con z= 0
yx 362 = , ecuacin que representa a una parbola simtrica con el ejey y que
corta al eje x en los puntos 0,6 == yx o sea en )0,6(y)0,6( . Las
intersecciones con los planos zx y zy se obtienen haciendo en
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0y0,36 2 === xyyxz obteniendo as: zxxz == 66 22 (parbola
en el planozx,con eje z) y yz 36= (una recta en el planozy). Trazando estas
secciones obtenemos la siguiente grfica (figura n 10):
Figura n 10: Grfica de yxyxf 36),( 2 =
Ahora bien, utilizando secciones de la superficie dada, con los planosz= c, constante,
obtenemos parbolas con vrtices en la recta .36 yz = De esta manera obtenemos
las siguientes parbolas:
Paraz= 0, ;362 yx = paraz= 2, ;342 yx = y para z= -4, 22 310 yx = . Es
decir, las curvas de nivel son las parbolas de ecuaciones cyx = 362 .
Para10,0
3/10,0310,4 2
==
====
xy
yxyxc
Para2,0
3/4,034,2 2
==
====
xy
yxyxc
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Para6,0
2,036,0 2
==
====
xy
yxyxc
Esta familia de curvas las podemos apreciar en la figura n 11:
Figura n 11: Curvas de nivel de yxyxf 36),( 2 =
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Problema Propuestos
1.- Hallar el dominio de las siguientes funciones y represntelo grficamente:
9:R9
),() 2222
>++
= yxyx
xyxfa
0,)22()12(
0,)12(2:Rsen),()
++
+=
ynxn
ynxnxyyxfb
)0(),0(:Rarcsen),()
= xxyxxxyx
x
yyxfc
xyyxyyyxyyxfd 2,0y2,0:R2ln),() 2 +=
,...2,1,0)12(2:R)(sen),() 2222 =+++= kkyxkyxyxfe
)0(/4),0(4/:R)4ln(),() >
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22),() yxyxfc = R: Familias de hiprbolas equilteras con asntotas
comunes xy =
x
yyxfd =),() R: Un haz de rectas con el vrtice en el origen
22 2
1),()
yxyxfe
+= R: Familia de elipses, eje mayor en el ejex.
xyyxff =),() R: Un conjunto de hiprbolas equilateras
)0(),() >= xxyxfg y R: Familia de curvasx
Cy
ln
=
3.- Trace la representacin grfica de las siguientes funciones de dos variables:
2),() yyxfa =
yeyxfb =),()
22
9),() yxyxfc =
2),()
2yx
yxfd
=
xyxfe sen),() =
22),() xyyxff =
221),() yxyxfg ++=
3),()
2xy
yxfh
=
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Respuestas:
a)
x
y
z
Figura 12: Grfica de
2),( yyxf =
b)
x
y
Figura 13: Grfica de
yeyxf =),(
c)
x
y
z
Figura 14: Grfica de
229),( yxyxf =
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d)
x
z
Figura 15: Grfica de2
),(2
yxyxf =
e)
x
y
z
Figura 16: Grfica de xyxf sen),( =
f)
x
y
z
Figura 17: Grfica de
22),( xyyxf =
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g)
x
y
Figura 18: Grfica de
221),( yxyxf ++=
h)
x
z
Figura 19: Grfica de3
),(2
xyyxf =
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CAPTULO 2
LMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Objetivo
Se desea que el estudiante pueda aplicar algunas tcnicas de clculo de lmites de
varias variables por definicin y determinar su continuidad.
Ejercicios Resueltos
Problema 1
Demuestre que 0),(lim)0,0(),(
=
yxfyx
con
=
x
yxyyxf sen),( y 0x .
Solucin
Podemos observar que )()0,0( fDom y sin embargo podemos demostrar que
0),(lim)0,0(),(
=
yxfyx
. (En la definicin de ),(lim),(),( 00
yxfyxyx
el punto ),( 00 yx
puede pertenecer aDom(f) o ser un punto frontera deDom(f)).
Sea un nmero real positivo suficientemente pequeo. Queremos hallar real
positivo y funcin de tal que si
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Pero, ( )222222222 ))(( yxyxyxyxyx +=++= .
Y como nuestra hiptesis es que
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Problema 3
Sea 2:f tal que
=
=
0si0
0si1
sen),(
y
yy
xyxf . Demostrar que
0),(lim)0,0(),(
=
yxfyx
.
Solucin
Si y= 0, por definicin f(x,y) = 0 y por lo tanto 00lim)0,0(),(
=yx
(el lmite de una
constante es ella misma).
Si y = 0, por definicin
=
yxyxf
1sen),( , fijamos real , vamos a hallar
0)( >real tal que, si
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Problema 4
Averiguar si existe o no ),(lim)0,0(),(
yxfyx
con )0,0(),(,1
),(22
2
= yx
yx
eyxf
x
.
Solucin
Podemos estudiar el limf(x,y) a lo largo de un haz de rectas que pasen por (0,0), (y=
mx):)1(
1lim
1lim
1lim
22022;022)0,0(),(
222
mx
e
yx
e
yx
e x
x
x
mxyx
x
yx
=
=
=
Si aplicamos la Regla de LHopital, tenemos que:
}
22020
HopitalL'deRegla
0
0formaladeEs
220 1
1
1lim
)1(2
2lim
)1(
1lim
222
mm
e
mx
xe
mx
e x
x
x
x
x
x =
=
=
44 344 21
y como para cada valor de men el haz se obtendr un valor distinto para el lmite,
podemos concluir en virtud de la unicidad del lmite, que no existe el lmite pedido.
Problema 5
Sea 2:Af tal que22
3),(
yx
xyyxf
+= . Se puede definir f para que
sea continua en (0,0)?
Solucin:
Como )0,0(),(,3
),(22
+
= yxyx
xyyxf . Tenemos que ver cul sera el
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posible valor def(0,0) para poder hacer quefsea continua. A tal efecto necesitamos
saber si existe ),(lim)0,0(),(
yxfyx
.
Si hacemos pasar un haz de rectas por (0,0), tendremos que
01
3lim
3lim
2
2
022,0=
+=
+ mx
mx
yx
xy
xmxyx
Este resultado no asegura que el lmite sea 0, sino, que si existe, debera ser 0.
Por tanto, podemos redefinirf(0,0) = 0 y ahora demostrar que
0)0,0(),(lim )0,0(),( == fyxfyx
Con esas condiciones quedara probada la continuidad def en (0,0). En efecto, dado
0> trataremos de hallar 0)( > tal que si
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Solucin
La respuesta es no, ya que como vimos en la solucin del problema 4 no existe
),(lim)0,0(),(
yxfyx .
Problema 7
Sea
=
+
=
)0,0(),(si0
)0,0(),(si),( 22
22
yx
yxyx
yxxy
yxf
Demuestre quefes continua en (0,0).
Solucin
(i) festa definida en (0,0) conf(0,0) = 0, entonces (0,0) Dom (f)
(ii) faltara ver si existe ),(lim)0,0(),(
yxfyx
y si es igual a 0.
En efecto, dado 0> . Trataremos de hallar 0)( > de tal modo que si
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y con < resulta
=
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Problema 9
Sea
=
+=
0),(si0
)0,0(),(sisen1sen1
),(
yx
yxyx
xyyxf . Demostrar si existe o no
),(lim)0,0(),(
yxfyx
.
Solucin
Para (x,y) = (0,0), tenemos f(0,0), lo que implica que se debera cumplir
00lim),(lim)0,0(),()0,0(),(
== yxyx
yxf
Ahora, si )0,0(),( yx , debemos estudiar
+
=y
xx
ymxyxsen
1sen
1lim0
para 0m , lo cual nos da como resultado
mmmx
mxm
x
x
mmx
xx
mx xx+=
+=
+
1
)(
)(sensen1lim)(sen
1sen
)(
1lim
00
que depende de cada valor de la pendiente m del haz de recta que pasan por (0,0).
Por tanto, no existe ),(lim)0,0(),(
yxfyx
.
Problema 10
Demuestre que el siguiente limite no existe22)0,0(),(
limyx
xyyx +
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Solucin
Nos podemos acercar al origen a travs de las trayectorias mltiples de las rectas
y= mx:
)(11
lim
limlimlim
220
222)0(
)0,0(),(22)(
)0,0(),(22)0,0(),(
mfm
m
m
m
xmx
xmx
yx
xy
yx
xy
x
x
yx
mxy
yxyx
=+
=+
=
+=
+=
+ =
El lmite no existe ya que depende del valor de m. Es decir, segn la recta por la que
nos aproximemos al punto tendramos un valor de lmite siempre distinto.
Problema 11
Calcular el siguiente lmite2
)5(7lim
)2,5(),( +
y
xxyx
Solucin
Podemos hacer una inspeccin rpida para detectar si el lmite no existe, para ello
podemos utilizar una trayectoria mltiple para acercarnos al punto (5,-2). Nos
aproximamos al punto (5,-2) mediante una familia de rectas que pasen por dicho
punto )5(2 =+ xmy , de donde,
)(357
lim)5(
)5(7lim
2
)5(7lim
55)2,5(),( mf
mm
x
xm
xx
y
xxxxyx
===
=
+
Luego el lmite no existe, por depender dem.
Problema 12
Calcular, si existe, el valor del siguiente lmite:xy
xyyx +
+ senlim
)0,0(),(
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Solucin
Si nos aproximamos al punto (0,0) mediante rectasy= mxobtenemos que el lmite,
de existir, debera valer 1. Pero esto no nos permite afirmar que dicho lmite exista
=
=
+
+=
+
+
0
0senlim
senlim
0)0,0(),( xmx
xmx
xy
xyxyx
y al ser de una variable podemos aplicar L`Hopital, con lo cual
1para1
1
1
1
coslim
0 =
+
+=
+
+= m
m
m
m
xmx
Sin embargo, si nos aproximamos al punto (0,0) mediante la cbica xxy = 3
resulta que el lmite de existir, debera de valer
=
=+
+=
+
+
0
0senlim
senlim
3
3
0)0,0(),(xxx
xxx
xy
xyxyx
y al ser de una variable podemos aplicar L`Hopital, con lo cual
6
5
6
cos6lim
6
sen6lim
3
cos13lim
002
2
0 =
=
=
+=
x
x
xx
x
xxxxx
Como hemos obtenido dos resultados distintos a travs de dos trayectorias distintas,
podemos afirmar que el lmite propuesto no existe.
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2ln:R)ln(
lim)22)0,1(y)(x, yx
exh
y
+
+
3.- Demostrar que los siguientes limites no existen:
22)0,0(y)(x,lim)
yx
xya
+
2
2
)0,0(y)(x,lim)
yx
yb
+
24
2
)0,0(y)(x,
2lim)
yx
yxc
+
22
22
)0,0(y)(x,lim)
yx
yxd
+
4.- Verifique que la funciones g(x,y) y h(x,y) no son continuas en (0,0):
=
+
=
)0,0(),(0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yx
yxg
=
+=
)0,0(),(0
)0,0(),(,),( 22
yx
yxyx
xy
yxh
5.- Verifique que la funcinfes continua en (0,0):
=
+=
)0,0(),(0,
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yx
yxf
6.- Es )(sen),( xyyxf = continua en (0,0)?. Justifique su respuesta.
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30
R: fsi es continua en (0,0).
7.- Dada )/(sen),( yxyxg = para 0)0,(,0 = xgy . Es g continua en (0,0)?
R: g no es continua en (0,0).
8.- Determine el valor de Kpara quef(x,y) sea continua en (0,0)
=
+=
)0,0(),(
)0,0(),(,)(sen
),(
2
yxK
yxyx
yx
yxf
Respuesta: K= 0
9.- Determine el valor de Kpara quef(x,y) sea continua en (0,0)
=
++
+
=
)0,0(),(
)0,0(),(1-1),( 22
22
yxK
yxyx
yx
yxf
Respuesta: K= 2
10.- Demostrar que, para la funcin222
22
)(),(
yxyx
yxyxf
+= se tiene que
{ } 0),(limlim),(limlim0000
== yxfyxfxyyx
y a pesar de esto ),(lim)0,0(),(
yxfyx
no existe.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
31/102
31
CAPTULO 3
DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIABILIDAD
Objetivo
Calcular derivadas parciales por definicin y mediante otras tcnicas e identificar si
una funcin de varias variables es diferenciable.
Ejercicios Resueltos
Problema 1
Calcular, por definicin,z
f
y
f
x
f
,, para:
{ }
+=
z
yxzyxfzzyxf
3cos),,(con,0/),,(: 3
Solucin
Sea
+=
z
yxzyxf
3cos),,( las derivadas parciales defson:
h
z
yx
z
yhx
h
zyxfzyhxf
x
f
hh
+
++
=+
=
3cos
3cos
lim),,(),,(
lim00
.3
sen3
1
1
3sen
3
1
lim0
`
+=
++
= z
yx
z
z
yhx
z
h
HopitalL
h
z
yx
z
hyx
h
zyxfzhyxf
y
f
hh
+
++
=+
=
3cos
3cos
lim),,(),,(
lim00
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32
+=
++
= z
yx
z
z
hyx
z
h 3sen
3
1
1
3sen
3
1
lim0
.
Se deja como ejercicio al lector comprobar que:
++=
z
yx
z
yx
z
f
3sen
3 2
Problema 2
Dada ,: 2 Af tal que
+
=
22
22
ln),,(yxx
yxxzyxf , y suponiendo
que existen, calculary
f
x
f
, en (2,1).
Solucin
222
22
22
22
22
22
22
)(
)(1)(1
yxx
yxx
yx
xyxx
yx
x
yxx
yxxxf
+
++
+=
))((
))(())((
222222
22222222
yxxyxxyx
yxxxyxyxxxyx
+
+++=
22222222
22222
))((
))((2
yxyxxyxxyx
yxxxyx
=
+
+=
222
22
22
22
22
22
22
)(
)()(
yxx
yx
yyxx
yx
yyxx
yxx
yxx
y
f
+
+
+=
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34
(b)
e
y
xyxf
= sen),(
y
x
y
x
y
x
y
e
y
x
y
x
y
xe
yy
xef
eee
=
=
,1cossencossen,1
sen
1
2
11
(c)x
yz arctan=
+=++
= xyyx
x
yx
x
yx
y
z ,1
1
1
,
122
2
2
2
2
2
(d)
+
=
22
22
arcsenyx
yxz
Si hacemos2222
22
1,
1
=
=
+= yyxx zz
yxyx .
Por lo tanto,
22
22222
2222
22
22
1
1
)(
)(2)(2
2
1
yx
yxyx
yxxyxx
yx
yxzx
+
+
+
+
=
( )22222
22
2
22
2222
22
22
2
)(2
2
2)(2
4
yx
yxyyx
xy
yx
yyx
yx
yx
xy
+
+
=
++
+
=
2222
2
)(
2
yxyxy
xy
+=
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
35/102
35
De manera similar podemos comprobar que2222
2
)(
2
yxyxy
yxzy
+=
Finalmente,
= xy
yxy
yxxyz ,
)(
)(244
22
(e) ).)()((),,( zyzxyxzyxf =
++= )2)((),2)((),2)((),,( xzyyxzyxzxzyxzyzyxf .
Luego, = 0,1,1),,()1,2,2(
zyxf
Problema 4
Sea
=
+=
)0,0(),(si0
)0,0(),(si),( 22
yx
yxyx
xy
yxf
Esf diferenciable en (0,0)?
Solucin
En el ejercicio 8 del captulo 2 se demostr que f no es continua en (0,0), por lo
tanto al ser f discontinua en (0,0), implica quef no es diferenciable en (0,0).
Problema 5
Para la funcin dada en el problema anterior, demuestre que existen
)0,0(y)0,0( yx ff . Qu conclusin se puede sacar de este problema y el anterior?.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
36/102
36
Solucin
00lim0
lim
00
0
lim)0,0(
00lim
0
lim
00
0
lim)0,0(
00
22
0
00
22
0
==
+
=
==
+
=
hhh
hhh
hh
h
h
y
f
hh
h
h
x
f
De los problemas 4 y 5 podemos concluir que el hecho que exista
)0,0(y)0,0( yx ff no implica diferenciabilidad all.
Problema 6
Sea
=
+=
)0,0(),(si0
)0,0(),(si5
),( 22
22
yx
yxyx
yx
yxf
Es f diferenciable en (0,0)?. Explique. Construya las funciones de
fyxy
f
x
fDom),(,
.
Solucin
Primero, vamos a demostrar que existen yx ff , en (0,0) a partir de la definicin de
derivada parcial:
0
00
05
lim)0,0(0
00
05
lim)0,0(22
22
0
22
22
0=
+
=
=
+
=
h
h
h
x
f
h
h
h
x
f
hh
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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37
Por otro lado, podemos admitir que al ser f funcin racional para )0,0(),( yx
entonces existe222
4
222
4
)(
10),(,
)(
10),(
yx
yxyxf
yx
xyyxf yx
+
=
+
= .
Por lo tanto, tenemos que
=
+=
=
+=
)0,0(),(si0
)0,0(),(si)(
10
)0,0(),(si0
)0,0(),(si)(
10222
4
222
4
yx
yxyx
yx
y
f
yx
yxyx
xy
x
f
Es decir, existen yx ff , en vecindad de (0,0): Si ahora demostramos que tales
derivadas son continuas en (0,0) quedar demostrado, quefes diferenciable en (0,0).
En efecto, bastar probar que 0)0,0(),(limy0)0,0(),(lim)0,0(),()0,0(),(
====
yyyx
xxyx
fyxffyxf .
Podemos comenzar con el primer lmite, dado 0> vamos a encontrar 0> tal que
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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38
(b)Redefinirf para que sea continua en (0,0).
(c)Demuestre que para la funcin redefinida, existenfBxB, fByBen (0,0) y valen 0.
(d)Demuestre que la funcin redefinida no es diferenciable en (0,0).
Solucin
(a)Por definicinf(0,0) =1, pero
0lim10
1
2lim
5
1
)(lim
5
1
)(5lim
02
3
022
2
,022
2
)0,0(),(===
+=
+ x
x
x
yx
yx
yx
yx
xxxyxyx
),(lim)0,0()0,0(),(
yxffyx
. Por lo tanto,f es discontinua en (0,0).
(b)Redefinimos entonces
=
+=
)0,0(),(si0
)0,0(),(si)(5),( 22
2
yx
yxyx
yx
yxf .
Vamos a demostrar que 0),(lim)0,0(),(
=
yxfyx
.
En efecto, dado 0> vamos a hallar 0> tal que:
si +yx y f(0,0) = 0.
Resp.: La funcin si es diferenciable en el punto (0,0).
9.- Comprobar que la funcin xyyxf =),( es continua en el punto (0,0) y tiene
este punto ambas derivadas parciales)0,0(
y)0,0(
y
f
x
f
, sin embargo, no es
diferenciable en el punto (0,0).
10.- Sea la funcin 2:f , dada por
=
+
=
)0,0(),(si0
)0,0(),(si),( 42
322
yx
yxyx
yyx
yxf
a) Es f continua en (0,0)?.
b) Hallar las derivadas parciales de f en (0,0)
c) Es f diferenciable en (0,0)?
Respuesta: a) Si es continua; b) 0)0,0(
y1)0,0(
=
=
y
f
x
f; c) No.
11.- Hallary
f
x
f
)0,0(y
)0,0(, si 3),( xyyxf = . Es esta funcin diferenciable
en (0,0)?.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
45/102
45
Resp.: .0)0,0()0,0(=
=
y
f
x
f La funcin no es diferenciable en (0,0).
12.- Comprobar que la funcin:
=
++=
)0,0(),(si0
0si),(
22
22
yx
yxyx
xy
yxf
es continua y tiene derivadas parciales acotadasy
yxf
x
yxf
),(y
),(en un entorno
del punto (0,0), sin embargo, esta funcin no es diferenciable en el punto (0,0).
13.- Comprobar que la funcin:
=
++
+=
)0,0(),(si0
0si1
sen)(),(
22
22
22
yx
yxyx
yxyxf
tiene derivadas parcialesy
yxf
x
yxf
),(y
),( en un entorno del punto (0,0), las
cuales son discontinuas en ese punto y no estn acotadas en cualquier entorno del
mismo; a pesar de esto, la funcin es diferenciable en (0,0).
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
46/102
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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47
Problema 2
Demostrar que la funcin z definida por )ln( 22 yxyz = satisface la ecuacin
011
2 =
+
y
z
y
z
yx
z
x.
Solucin
Si hacemos yvyxu == ,22 tenemos que uvvufz ln),( ==
)ln(2
1)(ln)2(
20)(ln2
22
22
2
22
yxyx
yuy
u
v
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
yx
xyux
u
v
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
+
=+=
+
=
=+=
+
=
Ahora, 0)ln(
)ln(12211
2
2222
22222 =
+
=
+
y
yxyyx
yyx
y
yx
y
y
z
y
z
yx
z
x
Problema 3
Seat
zrtrytrxez yx
d
dHallar.,sen,coscon
22
=== + .
Solucin
0))(cossen(2)sen)((cos2
)cos(2)sen(2
22
2222
22 =+=
=+=
+
= ++
rr
yxyx
ettrettr
trxetrxedt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
48/102
48
Problema 4
Sea yy xevxeuuvvuz ==+= ,,222 con z, u , v funciones diferenciables
en sus dominios. Utilizar la regla de la cadena para demostrar que
)(2);2(2 22222 yyyy eexy
zeex
x
z +=
+=
Solucin
)2(2
)11(2
)(2)(2)22()22(
22
22
yy
yy
yyyyyyyy
eex
eex
eeexeeexeuvevux
v
v
z
x
u
u
z
x
z
+=
++=
++=+++=
+
=
)(2)11(2
))((2)(2
))(22())(22(
222222 yyyy
yyyyyy
yy
eexeex
xeeexxeeex
xeuvxevuy
v
v
z
y
u
u
z
y
z
+=++=
++=
+++=
+
=
Problema 5
Sea 322),,( zyxzyxf ++= . Mediante sustitucin en coordenadas esfricas
[ ] [ ]).,0,0,20,(cos,sen)sen(,sen)(cos === zyx
Calcular
fff,, evaluadas en )
4,
4,4(),,(
= .
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
49/102
49
Solucin
sen3cos)sen(2cos)(cos2
sen)(cos2sen)sen(2
cos3z)sensen(2sen)(cos2
2
2
zyxz
z
fy
y
fx
x
ff
yxz
z
fy
y
fx
x
ff
yxz
z
fy
y
fx
x
ff
+=
+
+
=
+=
+
+
=
++=
+
+
=
Ahora,
)231(16)4
,4
,4(,0)4
,4
,4(,2124)4
,4
,4( =
=
+=
fff.
Problema 6
Sea )2
,2
(),( y
xy
xfvuf += . Demostrar que si f es diferenciable y
uv
f
vu
f
=
22 entonces
vu
f
y
f
x
f
=
2
2
2
2
2
44 .
Solucin
,2
yxu =
2
yxv +=
1,1queya, =
=
+
=
+
=
y
u
x
u
v
f
u
f
x
v
v
f
x
u
u
f
x
f
2
22
2
2
2
222
2
2
2
222
2
2
2
2
2v
f
vu
f
u
f
v
f
uv
f
vu
f
u
f
x
v
v
f
x
v
uv
f
x
u
vu
f
x
u
u
f
x
v
v
f
u
f
vx
u
v
f
u
f
uv
f
u
f
xx
f
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
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50/102
50
Por otro lado, tenemos que
=
+
=
+
=
u
f
v
f
v
f
u
f
y
v
v
f
y
u
u
f
y
f
2
1
2
1
2
1
+
+
=
+
=
+
=
uv
f
v
f
u
f
vu
f
y
u
uv
f
y
u
v
f
y
u
u
f
y
u
vu
f
y
v
u
f
v
f
vy
u
u
f
v
f
uy
f
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Por lo tanto,
vu
f
v
f
u
f
vu
f
v
f
vu
f
u
f
y
f
x
f
=
+
+
+
+
=
2
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
44
1
4
12
4
1424
Problema 7
Sea
),(),(:
2
yxfyxf , diferenciable con xy
f
yx
f
=
22
; sea
),(),( tststsh += , y )(hfg= . Demostrar quest
g
y
f
x
f
=
2
2
2
2
2
.
Solucin
tsytsx =+= ,
y
f
x
f
s
y
y
f
s
x
x
f
s
g
+
=
+
=
Por lo tanto,
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51
2
2
2
2
2
222
2
2
2
222
2
22
y
f
x
f
y
f
yx
f
xy
f
x
f
t
y
y
f
t
x
yx
f
t
y
xy
f
t
x
x
f
y
f
x
f
tst
g
=
+
=
+
+
+
=
+
=
Problema 8
Sea 2: diferenciable y :z definida por )( 22 yxyz = .
Verificar que2
11
y
z
y
z
yx
z
x=
+
.
Solucin
En este caso es bastante conveniente hacer el siguiente cambio de variable:
)(22 uyzyxu == . Al aplicar la regla de la cadena, tenemos:
u
yu
y
u
u
yux
u
y
x
u
u
y
x
z
=
+=
=
=
22)()(
y
z;2 . Ahora,
)(1
2)(1
22
)(1211 2
uyu
yuyu
yuy
yu
yux
xy
y
z
yx
z
x
=
+
=
+
=
+
Mientras queyy
uy
y
z==
22
)(, con lo cual queda demostrado que
2
11
y
z
y
z
yx
z
x=
+
Problema 9
Si
=
x
yyxw cosln),( ; donde 22 3,1 tytx =+= . Demostrar que
=
6
2tan
3 2x
y
x
y
x
y
t
w
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
52/102
52
Solucin
Si aplicamos la regla de la cadena tenemos:
=
+
=
ty
yw
tx
xw
tw
+
=
++
=
x
y
x
t
t
t
x
y
x
y
t
x
y
xx
y
t
t
x
y
x
y
x
y
t
w
tan6
1
tan
2
6
cos
1sen
1cos
2sen
23
2
3
si sustituimos 12 += tx nos queda
=
=
=
x
y
x
y
x
y
x
t
x
y
x
t
x
y
xx
yt
x
y
x
t
x
y
x
t
x
y
t
w
tan6tan2
tan6
tan2
tan6
tan2
2
23
si sustituimos3yt= obtenemos finalmente:
=
=
6
2tan
36
2tan
322
x
y
x
y
x
y
t
w
x
y
x
y
x
y
t
w
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
53/102
53
Problemas Propuestos
1.- Dada 2cos),( 2rrw = con )/arctan(,,sen,cos 22 xyyxrryrx =+===
R: yy
wx
x
w2,2 =
=
2.- Dada tztytxzezyxw yx =+=== + ),1ln(,lncon,4cos),,( 232 hallart
w
.
R: [ ]tttttttt
w4sen)1(24cos)14()1(2 2222 +++=
3.- Si srr ezseysexzyxw ===++= ,sen,cosconln 222 hallar
s
w
r
w
y .
R: ,22
2
22
2
sr
s
sr
r
ee
e
s
w
ee
e
r
w
+=
+=
4.- Si
+=
22yx
xyfw es una funcin diferenciable de
22yx
xyu
+= compruebe
que 0=
+
y
wy
x
wx .
5.- Si
=
y
yxfz compruebe que 0=
+
y
zy
x
zx .
6.- Si ),( yxyxfw += posee derivadas parciales continuas respecto a yxu +=
y yxv = pruebe que22
=
v
f
u
f
y
w
x
w
7.- Dada vuyvuxyxfw =+== ,con),( compruebe que2
2
2
22
y
w
x
w
vu
w
=
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
54/102
54
8.- Hallar ),(siy vufzy
z
x
z=
donde xyevyxu == ,22 .
R: )2(;2 xyxy xev
fy
u
f
y
zye
v
fx
u
f
x
z
+
=
+
=
9.- Hallarx
yxyuufz
y
z
x
z+==
donde)(siy
R:
+
+=
+
=
x
y
xyfxxy
z
x
y
xyfxyx
z
'
1
;'
1
1 2
10.- Seay
z
x
zxyfz
= yHallar)./( y demostrar que 0=
+
y
zy
x
zx .
R: )/1)(/(');/)(/(' 2 xxyfy
zxyxyf
x
z=
=
11.- Sea ),( tyztxyfw += si hacemos tyzvtxyu +== y
demostrar que 02 =
+
+
+
t
w
z
w
y
w
x
w.
12.- Hallar ),(si
2
xyyxfuyx
u
+=
.
R:y
f
y
fxy
yx
fyx
x
f
yx
u
+
+
++
=
2
22
2
22
)(
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
55/102
55
13.- Comprobar las siguientes igualdades:
)(si)()2
2
222 y
x
yyefezxyz
y
zxy
x
zyxa ==
+
)(3
si0)2
22 xyfx
yzy
y
zxy
x
zxb +==+
[ ])(si)2
22
yxux
u
y
u
yx
u
x
uc +=
=
14.- Si ;senln),(
=
y
xyxw donde 22 3,1 txty =+= . Demostrar que
=
y
x
y
x
y
x
t
wcot
26
3 2
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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56
CAPTULO 5
DERIVADA DIRECCIONAL Y PLANO TANGENTE
Objetivo
Aplicar el concepto de derivada direccional, en relacin con la derivada parcial y el
plano tangente a una superficie en 3 . Determinar las distintas formas de la
ecuacin de plano tangente a una superficie en 3 .
Ejercicios Resueltos
Problema 1
Sea 222),,( zyxzyxf ++= . Cul es la direccin de ms rpido crecimiento de
f en (1,-2,1)?.
Solucin
La direccin de mximo crecimiento def es ).1,2,1( f
Ahora,222222222
,,),,(zyx
z
zyx
y
zyx
xzyxf
++++++=
y == 1,2,16
1
6
1,
6
2,
6
1)1,2,1(f .
Problema 2
Hallar un vector normal unitario a la superficie dada por 01232 =++ zyyx en
(1,2,13).
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57
Solucin
La superficie dada puede ser considerada como
{ }1),,(/),,( 2323 =+== zyyxzyxfzyxS
),,( 000 zyxf es perpendicular a una trayectoria c(t) en S que pasa por
)13,2,1(),,( 000 =zyx . Luego, f es normal a Sen ),,( 000 zyx .
As, >=+===< vav rr
y los dos planos sern
paralelos si y slo si 2,2,641,1,4 321 >=
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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59
Solucin
Queremos hallar el punto de S en el cual el plano tangente es perpendicular a la
recta de interseccin de los planos
=++
=
0zyx
yx
.
Ahora, kji
kji
vvvzyx
vyx 2
111
011
y1,1,10
0,1,1021
2
1 +==
>===< zyxyx
33216160)32
3()
8
1(
2
1)
4
1(
2
1 =+=+ zyxzyx
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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60
Problema 6
Dada la superficie de ecuacin 22 222 =++ zyx , hallar las ecuaciones de los
planos tangentes que sean paralelos al plano de ecuacin 2=++ zyx .
Solucin
Sea .2,2,4),,(,22),,( 222 >=
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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61
Problema 7
Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie de
ecuacin yxz cos)sen(= en el punto )2/1,4/,4/( P .
Solucin
>=
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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62
Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie dada por
2132 222 =++ zyx , que sean paralelos al plano de ecuacin 064 =++ zyx .
Solucin
Si procedemos de forma anloga que en la resolucin del problema 6 nos
encontramos que las ecuaciones de los planos tangentes son 02164 =+++ zyx y
02164 =++ zyx .
Problema 9
Dadas las superficies SB1 By SB2Bdefinidas por las ecuaciones: 42:222
1 =++ zyxS
y yxezS =:2 y el punto P= (1,1,1)
a) Hallar una ecuacin algebraica para el plano tangenteSB1Ben P.
b) Hallar la ecuacin de la recta que pasa por P y es tangente a la interseccin deSB1B
con SB2.
Solucin
a)
==++= 4,2,2)1,1,1(,2,2,2),,(42),,( 222 fzyxzyxfzyxzyxF
el plano tangente viene dado por: 01,1,1)1,1,1( = zyxf , es decir,
0)1(2)1()1( =++ zyx entonces finalmente la ecuacin es 42 =++ zyx .
b) El vector director de la recta que es tangente a 21 SS y pasa por P es:
)1,1,1()1,1,1( gfv =r
, donde yxezzyxg =),,( .
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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63
== 1,1,1)1,1,1(1,,),,( geezyxg yxyx
=
= 4,6,2111422
kji
vr
, pero podemos utilizar un vector vu rr// como vector
director de la recta, = 2,3,1ur
, la ecuacin vectorial utP r+ con t viene
dada por: .21,31,12,3,11,1,1 +=+ tttt
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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64
Ejercicios Propuestos
1.- Calcule la derivada direccional ),( yxfDu de f en el punto P(x,y) y en la
direccin indicada por u :
iuPyeyxfd
uPyxyxfc
jiuPyxyxfb
jiuPx
yyxfa
x ),2/,1(;sen),().
1,5),4/,2(;cos),().
5),2,3(;149),().
32),4,4(;arctan),().
2
22
==
>=
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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65
4.- Hallar la derivada de la funcin 22 yxyxz += en el punto M(1,1) en la
direccin l que forma un ngulo con la direccin positiva del eje Ox. En que
direccin esta derivada: a) alcanza el valor mximo; b) alcanza el valor mnimo; c) es
igual a 0.
R:4
7y
4
3c),
4
5b),
4a);sencos
====+=
l
z
5.- Hallar la derivada de la funcin )ln( 22 yxz += en el punto ),( 00 yxM en la
direccin que es perpendicular a la curva de nivel que pasa por este punto.
R:20
20
2
yx +
6.- Hallar la derivada de la funcin
+=
2
2
2
2
1b
y
a
xz en el punto
2,
2
baM , en
la direccin de la normal interior a la curva 12
2
2
2
=+b
y
a
xen este punto.
R: )(21 22
baab
+
7.- Hallar la derivada de la funcin xyzu= en el punto M(1,1,1), en la direccin
>=< cos,cos,coslr
. A que es igual la magnitud del gradiente de la funcin en
este punto?.
R: 3grad;coscoscos =++= u
lu
8.- Determinar el ngulo formado por los gradientes de la funcin 222 zyxu +=
en los puntos )0,,0(y)0,0,( BA .
R: 2/
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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66
9.- Hallar la derivada de la funcin222 zyx
xu
++= en el punto M (1,2,-2) en
direccin de la recta tangente a la curva 42 2,2, tztytx === en este punto.
R:243
16
10.- Determine las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal de las
siguientes superficies en los puntos indicados:
)1,2,2(puntoelen;822)
)1,1,1(puntoelen;ln)
),,(puntoelen;1a)
)4/,1,1(puntoelen;arctan)
)12,4,3(puntoelen;169)
)5,2,1(puntoelen;)
0
0
0000222
0
0222
022
Mf
Mz
xyze
zyxMczbyxd
Mx
yzc
Mzyxb
Myxza
z
y
z
x
=+
+=
=++
=
=++
+=
Respuestas:
4
122-;04)
21
11
11;02)
;1)
2
4/
1
11-);(
2
1
4)
1243;1691243)
1
5
4
2
2
1;0542)
0
0
0
0
0
0000
===+
==
=+
=
=
=++
=
==
===++
=
=
=+
zyxzyxf
zyxzyxe
cz
zz
by
yy
ax
xxzczybyxaxd
zyxyxzc
zyxzyxb
zyxzyxa
11.- Hallar en la superficie 842232 222 =+++++ yzxzxyzyx los puntos en que
los planos tangentes son paralelos a los planos coordenados.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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67
R: )0,2,4();2,4,2();2,2,22,0( mmm CBA
12.- Hallar los planos tangentes a la superficie 2132 222 =++ zyx que son
paralelos al plano .064 =++ zyx
R: 2164 =++ zyx
13.- Demostrar que los planos tangentes a la superficie )0(2 >= aaxyz forman
con los planos coordenados un tetraedro de volumen constante.
14.- Determine el punto del grfico de 22 2),( yxyxf = donde el plano tangente es
perpendicular a la recta de interseccin de los planos de ecuaciones 1= zyx y
0=zy . Determine tambin la ecuacin de dicho plano tangente.
R:8
742;)
8
7,
4
1,1( =++ zyxP
15.- Dadas las superficies SB1B y SB2 B definidas por las ecuaciones:
yxezSzyxS
==++ :;42:2
222
1
y el punto P(1, 1, 1)
a) Hallar una ecuacin para el plano tangente aSB1B en P.
b) Hallar una representacin de la recta que pasa porPy es tangente a la interseccin
de SB1B con SB2B.
Respuesta: a) 42 =++ zyx ; b) + ttt 21,31,1
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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68
CAPTULO 6
DERIVADAS PARCIALES SUPERIORES Y DERIVACIN IMPLCITA
Objetivo
Calcular derivadas parciales de orden superior y derivadas implcitas.
Ejercicios Resueltos
Problema 1.
Sea 22 yxu += . Calcularxy
u
yx
u
y
u
x
u
y
u
x
u
22
2
2
2
2
,,,,, con ).0,0(),( yx
Solucin
,2222 yx
y
y
u
yx
x
x
u
+=
+=
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )3222
322
22
22
222
22
22
2
2
322
2
322
22
22
222
22
22
2
2
yx
x
yx
yyx
yx
yx
yyyx
y
u
yy
u
yx
y
yx
xyx
yx
yx
xxyx
x
u
xx
u
+=+
+
=+
++
=
=
+=
+
+=
+
++
=
=
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
69/102
69
( ) ( )
( ) ( )322222222
322
222
222
yx
xy
yx
yx
yx
x
u
yxy
u
yx
xy
yx
yx
xy
y
u
xyx
u
+=
+
+=
=
+=
+
+=
=
Problema 2
Demostrar que la funcin222
1),,(
zyxzyxf
++= satisface la ecuacin de
Laplace )0,0,0(),,(02
2
2
2
2
2
=
+
+
zyx
z
f
y
f
x
f.
Solucin
( ) ( ) ( )322232223222;;
zyx
z
z
f
zyx
y
y
f
zyx
x
x
f
++=
++=
++=
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )6222222
2222
3222
2
2
6222
222
2222
3222
2
2
6222
222
2222
3222
2
2
3
3
3
zyx
zyx
zzyxzzyx
z
f
zyx
zyx
y
zyxyzyx
y
f
zyx
zyx
xzyxxzyx
x
f
++
++++++
=
++
++++++=
++
++++++
=
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
70/102
70
As, =
+
+
2
2
2
2
2
2
z
f
y
f
x
f
( ) ( ) ( )( )5222
22222
22222
22222 333
zyx
zyxzzyxyzyxx
++
++++++++
=
( ) ( ) 0)(3)(31 222222
5222
=++++++
= zyxzyxzyx
Por lo tanto, f satisface la ecuacin de Laplace.
Problema 3
Sea ).ln(),( 22 yxyxf += Calcular ,,,,22
2
2
2
2
xy
f
yx
f
y
f
x
f
y demostrar que f
satisface la ecuacin de Laplace: ).0,0(),(,0 =+ yxff yyxx
Solucin
;2
;2
2222yx
y
y
f
yx
x
x
f
+=
+=
;)(
4;
)(
)(2;
)(
)(2222
22
222
22
2
2
222
22
2
2
yx
xy
xy
f
yx
f
yx
yx
y
f
yx
xy
x
f
+
=
=
+
=
+
=
Adems, .0)()(
2 22222222
2
2
2
=++
=
+
yxxy
yxyx
f Por lo tanto f
satisface la ecuacin de Laplace.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
71/102
71
Problema 4
Hallar ay c para que la funcin 4224 3 cyyxaxu += , verifique simultneamente
(a)y
u
x
u
+
sea divisible por x+y.
(b)yx
u
y
u
x
u
+
+
2
2
2
2
2
sea un cuadro de la forma 2)( byax+ .
Solucin
23 64 xyaxx
u=
32 46 cyyx
y
u+=
2233 6644 xyyxcyaxy
u
x
u+=
+
. Para que sea divisible por x+y debe
anularse para y = -x. Por lo tanto, .044 33 == xcacxax
Por otro lado,
xyyaxaxyycxa
xyxcyyaxyx
u
y
u
x
u
12)612()612(12)612()612(
12612612
2222
22222
2
2
2
2
+=+=
+=
+
+
abbaaaybabxyxabyax 212,612,6122)( 2222222 ===++=+
0011661236)612(6,)612(
2222
========
cacaaaabbaa
Finalmente,
las soluciones son a = c= 1 a = c= 0.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
72/102
72
Problema 5
Sea
=
+
=
)0,0(),(si0
)0,0(),(si),( 22
22
yx
yx
yx
yxxy
yxf
(a) Demostrar que existen 0)0,0(,0)0,0( =
=
y
f
x
f.
(b)Admitir que existen )0,0(),(,
yx
y
f
x
f por ser f funcin racional.
Demostrar que existen 1)0,0(y1)0,0(
22
=
=
yx
f
xy
f
.
(c) Demostrar quexy
f
2 es discontinua en (0,0).
Solucin
(a)
00lim0
lim
0)0(0
)0(0)0(0
lim)0,0(
00lim0
lim00)0(
0)0(
0)0(lim)0,0(
00
22
22
0
00
22
22
0
===
++
++
=
===++
+
+=
hhh
hhh
hh
h
hh
y
f
hh
h
h
h
y
f
(b) Admitimos que existen )0,0(),(,
yx
y
f
x
f por ser f una funcin racional,
por lo tanto podemos calcular,
)(
4
)(
4222
4224
222
4224
yx
yyxxx
y
f
yx
yyxxy
x
f
+
=
+
+=
Ahora bien:
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
73/102
73
1lim
0004
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0(
1lim
0040
lim
)0,0()0,0(
lim)0,0(
0
4
4224
00
2
0
4
4224
00
2
==
=+
=
=
=
+
=
+
=
h
h
h
h
hhh
h
yfh
yf
yx
f
h
h
h
h
hhh
h
x
fh
x
f
xy
f
hhh
hhh
(c) Existe )0,0(),(),(2
yxyx
xy
f por ser
222
4224
)(
4),(
yx
yyxxyyx
x
f
+
+=
funcin racional. Por lo tanto,322
422422
2
)(
10)(),(
yx
yyxxyxyx
xy
f
+
++=
.
Ahora, ya demostramos que 1)0,0(2
=
xy
f. Para que
xy
f
2 fuese continua en
(0,0) se necesitara que existiese el siguiente lmite 1),(lim2
)0,0(),(=
yxxy
f
yx, lo
cual no se cumple ya que al estudiar tal limite a lo largo de un haz de rectas de la
forma y = mx, se tiene:
32
422
0326
4424422
0
2
,0 )1(
1)1(lim
)1(
10)1(lim),(lim
m
mmm
mx
mxmxxmxyx
xy
f
xxmxyx +
++=
+
++=
=
32
422
)1(
1)1(
m
mmm
+
++= , que depende del parmetro m, lo que implica que no existe
tal lmite y, por lo tanto,xy
f
2 es discontinua en (0,0).
Problema 6
Sea ).sencos( yxu += Hallar2
3
yx
u
.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
74/102
74
Solucin
)sencos()(cos)sen(sen)sen(
)sencos())(cos(cos))sen(sen)(sen(
))sen(sen)((cos
2
2
2
yxyyxy
yxyyyxyy
u
yxyy
u
++=
++=
+=
Finalmente, ).sen(sen)(cos)sencos()sen( 22
3
yxyyxyyx
u+++=
Problema 7
Dada y definida implcitamente por 053),( 225 =+++= xyyxxyxG , como
funcin diferenciable respecto dex y suponiendo 0
y
G, calcular:
2
2
,dx
yd
dx
dy.
Solucin
Derivando respecto ax, tenemos 012215 24 =++++dx
dyy
dx
dyxxyx
yx
xyx
dx
dy
2
12152
4
+
++= si derivamos nuevamente respecto a la variablex,
0)2(222260 2
223
=++
++++ dx
yd
yxdx
dy
dx
dy
xdx
dy
xyx
yx
yx
xyx
yx
xyxxyx
dx
yd
2
)2(
)1215(2
2
12154260
2
22
24
2
43
2
2
+
+
+++
+
++++
=
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
75/102
75
32
2424223
)2(
)1215(2)2)(1215(4)2)(260(
yx
xyxyxxyxxyxyx
+
++++++++=
Problema 8
La ecuacin 02
1sen =+ yxzz define a z como funcin implcita y
diferenciable respecto dexey. Calcular .,,,,2
2
2
2
2
yx
z
y
z
x
z
y
z
x
z
Solucin
Derivando parcialmente respecto ax:
(a)zx
zzxzzzz xxx
cos0)(cos
+==
Derivando parcialmente respecto a y:
(b)zxzx
zxzzz yyycos
1
cos
101)(cos
=
+
==+
Ahora, derivando (a) parcialmente respecto axtendremoszBxx
0)(cos)sen( =+ xxxxxxxx xzzzzzzzz
3
22
)cos(
sen)cos(2
cos
sen)(2
zx
zzzxz
zx
zzzz xxxx
+
++=
+
+=
Ahora, derivando (b) parcialmente respecto a y tendremoszByy
0)(cos)sen( =+ xyyxyyx xzzzzzzz
3)cos(
sencos
cos
)sen(
zx
zzzx
zx
zzzzz
yxy
xy+
=
+
+=
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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76
Problema 9
Suponiendo que el sistema
=
=+++2
2
axyzu
buzyx define a z y u como funciones
implcitas y diferenciables respecto de xey. Calcular .,,,y
u
y
z
x
u
x
z
Solucin
Derivando parcialmente respecto a x:
(I)
1
0
01
=
+
=
+
=
+
+
=
+
+
yzux
uxyz
x
zxyu
x
u
x
z
x
uxyzu
x
zxyyzu
x
u
x
z
Derivando parcialmente respecto a y:
(II)
1
0
01
=+
=
+
=++
=
+
+
xzuyuxyz
yzxyu
y
u
y
z
yuxyzu
yzxyxzu
y
u
y
z
Finalmente, resolviendo los sistemas (I) y (II), tenemos ),0con( zuxy :
.)(
)(,
)(
)(,
)(
)(,
)(
)(
uzxy
yuxz
y
z
zuxy
yzxu
y
u
uzxy
xuyz
x
z
zuxy
xzyu
x
u
=
=
=
=
Problema 10En los ejercicios a continuacin, las ecuaciones dadas estn bien definidas
implcitamente.
(a) .0= xy yx Calculardx
dy,
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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77
(b) ).,( zyzxfz += Calculary
z
x
z
, .
Solucin
(a) si tomamos logaritmos naturales en ambos lados yxxy lnln = , ahora al
derivar respecto a x:
)ln(
)ln(lnlnln
1ln
xxyx
yyxy
dx
dy
x
yy
dx
dy
y
xx
dx
dy
y
xy
xyx
dx
dy
==
+=+
(b) .,con,
1
,
1
zyvzxu
v
f
u
fv
f
y
z
v
f
u
fu
f
x
z=+=
+
=
+
=
Problema 11
La ecuacin ,02)cos( 22 =+ yxyx define a y como una funcin implcita de
de x?. Explique.
Solucin
22)cos(02)cos( 2222 >++=+=+ yxyxyxyx lo cual es imposible
para ,yx , por lo tanto podemos concluir que la funcin no define ay como
funcin implcita dexcorrectamente.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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78
Problemas Propuestos:
1.- Calcule las segundas derivadas parciales de las siguientes funciones :),( yxf
)ln(),().
32),().
cos),().
8),().
2
223
yxyxfd
xyxyxyxfc
y
xxyxfb
yy
x
xyxfa
+=
+=
=
++=
Respuesta:
22
2
222
2
22
2
2
2
2
2
32
2
22
2
3
2
2
2
4
3
32
2
22
2
2
2
32
2
32
2
)(
2;
)(
1;
)(
)(2).
46;2;46).
cossen2
;cossen2
;cossen2
).
1;;
16).
yx
x
yx
f
yxy
f
yx
xy
x
fd
xyxyxfx
yfyxy
xfc
y
x
y
x
y
x
y
x
yx
f
y
x
y
x
y
x
y
x
y
f
y
x
y
x
y
x
yx
fb
yyx
f
y
x
y
f
xx
fa
+=
+=
+
=
===
=
=
=
=
=
=
2.- Hallar las derivadas parciales de segundo orden de las siguientes funciones:
zy
xud
xy
yxxuc
x
yub
yxxua
=
+=
=+=
).
1arctan).
arctan).
)(sen).
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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79
Respuesta:
lnln)ln1(
);ln1(;)1(
).
0;)1(
2;
)1(
2).
)(;
)(
2;
)(
2).
)(sen)cos(
)(sen);(sen)cos(2).
2
2
2
2
2
2
22
2
2
222
2
222
2
222
222
2222
2
2222
2
2
2
2
2
2
yxxyyzz
u
xzyzuzyy
u
x
yy
x
ud
yx
u
y
y
y
u
x
x
x
uc
yx
yx
yx
u
yx
xy
y
u
yx
xy
x
ub
yxxyxyx
u
yxx
y
uyxxyx
x
ua
zu
zzzz
+=
+=
=
=
+=
+=
+
=
+=
+=
++=
+=
++=
3.- Compruebe la igualdadxy
f
yx
f
=
22si
a) ;32 22 yxyxu =
b)2y
xu=
c)y
xu arccos=
4.- Dadaf(x,y) diga si existe ,)0,0(2
xy
f
(justifique su respuesta)
==
>++=
0si0
0si2
),(
22
22
yx
yxyx
xy
yxf
R: )0,0('' xyf no existe
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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80
5.- Hallar las derivadas parciales indicadas en los siguientes ejercicios:
xyzeuzyx
uc
yzxzxy
xyzzyxu
zyx
ub
xyxu
yx
ua
=
+++=
=
si,)
1arctansi,)
)ln(si,)
3
3
2
3
Respuesta: )3(1);0);0) 22233
2
3
zyxxyzezyx
uc
zyx
ub
yx
ua xyz ++=
=
=
6.- Comprobar que la funcin 22 )()(ln byaxu += (a y b son constantes)
satisface la ecuacin de Laplace 02
2
2
2
=
+
y
u
x
u.
7.- Comprobar que la funcin tabx
eta
u2
2
4
)(
2
1
=
(a y b son constantes) satisface
la ecuacin de calor2
22
x
ua
t
u
=
.
8.- Demostrar que la funcinr
eCeCu
arar21 +=
, donde 222 zyxr ++= y
CB1B, CB2 Bson constantes, satisface la ecuacin de Helmholz
uaz
u
y
u
x
u 22
2
2
2
2
2
=
+
+
9.- Hallar ''e' yy para las funciones y, determinadas por las siguientes
ecuaciones:
222 2). ayxyxa =+
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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81
x
yyxb arctanln). 22 =+
1)(0sen). 0 se verifica la
igualdad 011 22
=
+ y
dy
x
dx.
12.- Hallar, para la funcin ),( yxzz= , las derivadas parciales de primero y
segundo rdenes si:
2222). azyxa =++
zezyxb =++).
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82
22
22 tan).yx
zyxzc
=
)(). zyx
ezyxd ++
=++
Respuesta:
3
22
2
2
3
2
3
22
2
2
;;;;)z
zy
y
z
z
xy
yx
z
z
zx
x
z
z
y
y
z
z
x
x
za
+=
=
+=
=
=
32
22
2
2
)1(;
1
1)
++
++=
=
=
++=
=
zyx
zyx
y
z
yx
z
x
z
zyxy
z
x
zb
222
2
2
2
222
2
222
2
2
2
2222
)(
)(;
)(;;)
yx
zx
y
z
yx
xyz
yx
z
yx
zy
x
z
yx
yz
y
z
yx
xz
x
zc
=
=
=
=
=
0;1)2
22
2
2
=
=
=
=
=
y
z
yx
z
x
z
y
z
x
zd
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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83
CAPTULO 7
VALORES EXTREMOS. CLASIFICACIN DE PUNTOS CRTICOS
Objetivo
Estudiar los puntos crticos de una funcin de varias variables para calcular mximos,
mnimos o puntos de ensilladura.
Ejercicios Resueltos
Problema 1
Hacer el estudio de mximos, mnimos y puntos de ensilladura para las funciones
dadas a continuacin:
(a) xyyxyxf 722),( 22 ++=
(b) 22 242),( yxyxyxf +=
(c) xzzyxzyxf +++= 222),,(
(d)222),( xyeyxf +=
(e) 2323 4164),( yyxxxyxf +=
Solucin
(a) =++=++= 0,074,74),(722),( 22 xyyxyxfxyyxyxf
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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84
=+
=+
047
074
yx
yx Este es un sistema lineal homogneo de dos ecuaciones con dos
incgnitas el cual siempre tiene la solucin obvia (0,0) que ser solucin nica si el
determinante de los coeficientes es distinto de cero 0491647
74= por lo tanto,
hay slo un punto crtico en (0,0). Ahora,
7,4,42
2
2
2
2
=
=
=
yx
f
y
f
x
f Calculamos el hessiano def(x,y) para clasificar
el punto crtico =),( yxfH 049164774
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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85
0),(),( =++ aafkahaf . Lo cual quiere decir que existe un mnimo local
en los puntos de la forma (a,a) y el valor del mnimo de f es f(a,a) = 0.
(c) xzzyxzyxf +++= 222),,(
0y02
02
02
02
02
02,2,2),,( =
=+
=+
=+
=
=+
=++= yzx
zx
xz
y
zx
xzyzxzyxfr
Este sistema de ecuaciones, tiene la nica solucin trivialx = 0, z = 0 por ser
)0,0,0(),,(021
12000 = zyx es el nico punto crtico.
Ahora, en este caso es fcil hacer un estudio local sin recurrir al estudio de mximos
y mnimos para funciones de tres variables. Observemos que,
0)(21)2(
21
2),,(
22222
222
222
++=+++=
+++
+++=
yzxyzxzx
yxzzx
xzzyxzyxf
Como se puede apreciar 0),,( zyxf para todo valor dex,y,zy como f(0,0,0)=0
podemos concluir que (0,0,0) es un punto de mnimo local.
(d)222),( xyeyxf +=
)0,0(),(0,02,2),(222 === + yxyxeyxf xy
;4),42(),42(222222 2
222
2
222
2
2xyxyxy xye
yx
fye
y
fxe
x
f +++ =
+=
+=
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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86
0420
02)0,0(H 2
2
2
0 > 0 Mnimo local
(-4/3,0) > 0 < 0 Mximo Local
(-4/3,8/3) < 0 Ensilladura
Problema 2
Hallar un punto del plano de un tringulo tal que la suma de cuadrados de la distancia
a los vrtices sea mnima.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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87
Solucin
Colocamos un tringulo cualquiera como se indica en el dibujo
Sea (x,y) el punto buscado, y S(x,y) la suma de los cuadrados de distancias desde el
punto(x,y) hasta los puntoA, B y C
22222222222 2)(233)()()(),( cbaayxcbyxycxybxayxyxS ++++=++++++=
=
=
==
=
3
30,0,26),(26
ay
cbx
Sayy
scbx
x
s
0,36),(H0,6,62
22
2
2
2
2
>
==
=
=
x
SyxS
xy
S
y
S
x
S.
De acuerdo con estos resultados podemos concluir que existe un mnimo en el punto
3,
3
acb.
Problema 3
Hallar los puntos crticos de ).(),( 33 yxeyxf yx = + Si el 0),(H 00 =yxf ,
examinar los valores def en un entorno del punto crtico ),( 00 yx .
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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88
Solucin
=
=+=+= +
03
030,03,3),(
233
233233233
xyx
xyxyyxxyxeyxf
yx
)0,0(),(0)(3 22 ==+ yxyx es el nico punto crtico def .
,)66(),66( 3322
2332
2
2
yxyyey
fyxxxe
x
f yxyx +=
++=
++
)33(2332
2
yyxxeyx
f yx
+=
+ por lo tanto, Hf(0,0)=0.
Si hacemos el estudio local:
Sabemos quef(0,0) = 0, ahora bien, para todo punto del ejeX, y= 0, 3)0,( xexf x=
y con x> 0, f(x,0) > 0 y conx< 0, f (x,0) < 0. Por lo tanto, hay un cambio de
signo en la vecindad de (0,0).
Si consideramos el eje Y, x= 0, )(),0( 3yeyf y = se obtendr tambin un cambio
de signo en la vecindad de (0,0). As que hay un punto de ensilladura en (0,0,0).
Problema 4
Hallar los valores extremos locales, absolutos y puntos de ensilladura para
)1(),( 22 yxxyyxf = dentro de la regin [ ] [ ]1,01,0 .
Solucin
En el interior del cuadrado [ ] [ ]1,01,0 tenemos lo siguiente:
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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89
3222 3)2()1( yyxyxxyyxyx
f=+=
2322
3)2()1( xyxxyxyyxxy
f
=+=
===
====
031o00)31(
031o00)31(0,0),(
2222
2222
yxxyxx
yxyyxyyxf
)0,0(0,0 0Pxy == no pertenece al interior del cuadrado.
)1,0(),1,0(031,0
)0,1(),0,1(031,0
'22
22
'1122
==
==
PPyxx
PPyxy
Estos puntos tampoco estn en el interior del cuadrado.
Ahora, de 031,031 2222 == yxyx se tiene 31 22 xy =
2
1.
2
1140)31(31 222 ==== xxxxx se descarta porque no
pertenece al interior del cuadrado, y queda
2
1=x en
=
2
1,
2
1031 3
22Pyx
3P si pertenece al interior del cuadrado.
222
2
2
2
2
331,6,6 yxyx
fxy
y
fxy
x
f=
=
=
Calculamos el hessiano 02
3
2
1,
2
10,2
2
3
2
12
1
2
3
2
1,
2
1H
2
2
=
=
x
ff
Esto nos indica que existe un mximo local en
2
1,
2
1y es
8
1
2
1,
2
1=
f , podemos
apreciar esta regin en la siguiente figura:
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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90
Problema 5
Hallar los puntos extremos de zyxzyxf ++=),,( sometida a la condicin
1222
=++z
a
y
a
x
a con 0,0,0,0 >>>> zyxa .
Solucin
En este problema utilizaremos el teorema de los multiplicadores de Lagrange.
0,0,0,0con01111
),,(,),,( 2 >>>>=
++=++= zyxa
zyxazyxgzyxzyxf
01
,1
,1
),,(222
2
=zyx
azyxg por las condiciones dadas.
Por lo tanto, ===== azyxzyx
agf 1
,1
,1
1,1,1222
2
Con 0y0 a . Entrando en la ecuacin de condicin, queda:
0913
011
,1
,1 22
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
91/102
91
Por lo tanto, 22 39 aaazyx ==== esto implica que existe un nico punto
extremo: 2222 9)(y)3,3,3( aPfaaaP = .
Problema 6
Encuentre todos los tringulos rectngulos con rea dada A, hallar aqul cuya
hipotenusa tenga el valor mnimo.
Solucin
SeaABC el tringulo rectngulo, los catetosAC=x, CB=y y AB= hipotenusa, tal
como se aprecia en la figura:
Ahora, por la relacin pitagrica: 222 yxz += podemos tomar a f como
22),( yxyxf += . Por lo tanto, el problema se reduce a hallar el valor mnimo de f
con la siguiente condicin 2
xyA= dondeAes al rea del tringulo yx ,yson los
catetos. Por otro lado, si 02),(2
=== Axyyxgxy
A .
= 0,0,),( xyyxg puesto quexy yson los catetos del tringulo.
xyyxxyyxgf ==== 2,2,2,2 .
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
92/102
92
De esta forma obtenemos el siguiente sistema:
2,22,2
2
02
02
22 xyyxyxxyyx
Axy
xy
yx
====
=
=
=
Si dividimos estas dos ltimas ecuaciones tenemos 222
2
12
2yx
y
x== .
Pero como 0,0 >> yx por ser las longitudes de los catetos, . yx=
Ahora, como AxxyAyx 22
y 2 === , y por lo tanto Ayx 2== .
Podemos concluir que la hipotenusa tendr valor mnimo si los catetos son iguales a
A2 . En este caso decimos que el tringulo es isorrectngulo.
Problema 7
Hallar la dimensiones de la caja de mayor volumen que est contenida en la regin
limitada por los tres planos coordenados y por el plano dado por 01 =++ czbyax ,
con 0,, >cba . Conociendo que la caja tiene tres de sus caras apoyadas en cada uno
de los planos coordenados y el vrtice que no pertenece a ninguna de esas tres caras
est en el plano antes mencionado.
Solucin
El valor de (x,y,z) vara en el tringulo ABC que es un conjunto cerrado y acotado en
3 (ver figura). Por lo tanto, f alcanza mximo o mnimo en el.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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93
Es obvio que el mnimo es alcanzado para x = 0 y= 0 z= 0, mientras que el
mximo de xyzzyxf =),,( con
{ } Pcbaczbyaxzyxzyx Plano0,,,01/),,(),,( 3 =>=++ , se alcanza
sobre la superficie dada por 01),,( =++= czbyaxzyxg .
Ahora bien, Pzyxcbazyxgooo zyx
),,(si0,0,0,,),,( 000),,( = .
Aplicando el mtodo de multiplicadores de Lagrange:
01con,,,, =++
=
=
=
== czbyax
cxy
bxz
ayz
cbaxyxzyzgf
c
xy
b
xz
a
yz=== como ya descartamos la posibilidad dex = 0 y= 0 z= 0,
nos queda yc
bzy
a
bx == , y sustituyendo en la cuarta ecuacin, tenemos:
byy
c
bcbyy
a
ba
3
11 ==++ y, anlogamente,
cz
ax
3
1,
3
1== .
Por lo tanto,abccbacba
f27
1
3
1
3
1
3
1
3
1,
3
1,
3
1==
es el valor mximo de f.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
94/102
94
Problema 8
Entre todas las cajas paraleleppedas sin tapa superior y volumen dado V = 1372,
hallar la de rea mnima.
Solucin
Las dimensiones de la caja la podemos apreciar en la siguiente figura:
1372,22 ==++= xyzVyzxzxyA
=+=+
=+
=+++=xyyx
xzzx
yzzy
xyxzyzyxzxzyVA
22
2
2
,,22,2,2
(IV)1372con
(III)22
(II)2
(I)2
==
+=
+=
+=
xyzV
xzxzxyz
yzxyxyz
xzxyxyz
Six = 0 y= 0 z= 0 V= 0 el cual esta descartado.
Por lo tanto, 0,0,0 zyx de (I) y (II) se tiene que x=y, as como de (II) y
(III) y= 2z. Sustituyendo en (IV) queda que 7,14,1413722
3
==== zxyy
.
Como ya sabemos queA alcanza mnimo, entonces es en el punto (14, 14, 7) con un
rea 588714271421414 =++=A .
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
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95
Problema 9
Hallar el volumen mnimo limitado por los planos de ecuacionesx= 0, y= 0, z= 0 y
un plano que sea tangente al elipsoide de ecuacin 12
2
2
2
2
2
=++c
z
b
y
a
xen un punto del
octante x> 0, y> 0,z> 0.
Solucin
La ecuacin del plano tangente al elipsoide dado en el punto genrico ),,( 0000 zyxP
es 0)(2
)(2
)(2
020202 =
+
+
zz
c
zyy
b
yxx
a
x
ooo PPP
es decir, la ecuacin del
plano es .0)(2
)(2
)(2
02
002
002
0 =++ zzc
zyy
b
yxx
a
x Los cortes con los ejesx, y, z
se hallan haciendo y=z= 0, x=z= 0, x=y= 0 respectivamente y se obtienen los
siguientes puntos de corte: 0
2
0
2
0
2
,, z
c
zy
b
yx
a
x === .
Por tanto, hay que minimizar la funcinxyz
cbazyxf
222
2
1),,( = con la restriccin
)0,0,0(12
2
2
2
2
2
>>>=++ zyxc
z
b
y
a
x.
Utilizando el mtodo de los multiplicadores de Lagrange se llega a:
=++
=
=
=
=
=
=
1
4
4
4
1
2
12
1
2
12
1
2
12
2
2
2
2
2
2
4223
2423
2243
2
422
2
242
2
224
c
z
b
y
a
x
cbaxyz
cbazxy
cbayzx
xyzcbaz
zxycbay
yzxcbax
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
96/102
96
El ltimo sistema tiene como nica solucin:
4/33,3/,3/,3/ abcczbyax ==== y el valor mnimo de la funcinf
es abc2
33.
Problema 10
Hallar las dimensiones del paraleleppedo rectangular de volumen mximo que puede
inscribirse en el elipsoide 12
2
2
2
2
2
=++ c
z
b
y
a
x
.
Solucin
El volumen del paraleleppedo inscrito esta dado por V(x,y,z) = 8xyz, buscamos un
mximo de sta funcin, pero tambin debe cumplirse la ecuacin del paraleleppedo
12
2
2
2
2
2
=++cz
by
ax . En la grfica podemos apreciar un trozo del paraleleppedo en el
primer octante.
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
97/102
97
Buscamos el extremo de la funcin V(x,y,z) = 8xyz sujeta a la condicin:
01),,(2
2
2
2
2
2
=++=
c
z
b
y
a
xzyxg . El mtodo de los multiplicadores de Lagrange
establece que:
++== 18),,(),,(),,,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
xxyzzyxgzyxVzyxF
Donde los puntos extremos satisfacen las condiciones:
=
=
=
=++=
==
==
==
(iii)4
(ii)4
(i)4
01
02
8
02
8
02
8
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zc
xy
yb
xz
xa
yz
c
z
b
y
a
xF
zc
xyz
F
yb
xzy
F
x
a
yz
x
F
Dividiendo (i) entre (ii) tenemos: 22
22
2
2
x
a
by
y
x
a
b
x
y==
Dividiendo (i) entre (iii) tenemos: 22
22
2
2
xa
cz
z
x
a
c
x
z==
Reemplazando estas dos ltimas ecuaciones en g(x,y,z):
axa
xa
x
cx
a
c
bx
a
b
a
x
3
3
31
301
11 222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
====++
De igual forma despejando tenemos czby3
3,3
3 ==
Por lo tanto, el volumen del paraleleppedo pedido es abcV9
38= .
7/24/2019 Problemas Resueltos y Propuestos de c Lculo Diferencial de Varias Variables
98/102
98
Problemas Propuestos:
1.- Hallar los extremos de las siguientes funciones de varias variables:
)(22
22
2232
22
2
2
2
2
22
2
22
)().
)ln().
)2/0,2/0()cos(cossen).
)368().1).
)0,0(1).
)0,0(2050
).
2).
)1().
yx
yx
eyxzi
yxxyzh
yxyxyxzg
yxyxezfyxze
bab
y
a
xxyzd
yxyx
xyzc
yxyxyxzb
yxza
+
+
+=
+=
++=
+=+=
>>=
>