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PROCESAMIENTO DE INFORMACIÓN ESTADÍSTICA
PROCESAMIENTO DE INFORMACIÓN ESTADÍSTICA
Lic. René Bazaldúa!
ESTADÍSTICA UNIDAD 1
1.1 IMPORTANCIA DEL ESTUDIO DE LA ESTADÍSTICA
La estadística se ha convertido en el lenguaje universal de las ciencias. Como potencial usuario de ella, necesitas dominar tanto la “ciencia” como el “arte” de usar correctamente la metodología estadística. El uso cuidadoso de los métodos estadísticos nos permitirá obtener información precisa a partir de los datos. Dichos métodos incluyen:!1. Definir cuidadosamente la
situación!2. Recolectar datos!3. Resumir con precisión los datos !4. Derivar y comunicar conclusiones
significativas.!
La palabra estadística tiene diferentes significados para personas de varios antecedentes e intereses. Para algunas personas es un campo de “trucos mágicos” donde una persona trata de abrumar a otros con información y conclusiones incorrectas. Para otros es una forma de recolectar y mostrar información. Y para otros más es una manera de “tomar decisiones ante la incertidumbre”. En la perspectiva apropiada, cada uno de dichos puntos de vista es correcto.!
ACCIDENTES AUTOMOVILÍSTICOS
El campo de la estadística puede subdividirse en dos áreas: !
2. La estadística inferencial, la cual se refiere a la técnica de interpretar los valores que resultan a partir de las técnicas descriptivas, tomar decisiones y extraer conclusiones acerca de la población.!
1. La estadística descriptiva, la cual es en lo que piensa la mayoría de las personas cuando escuchan la palabra estadística. En ella se incluye la recolección, presentación y descripción de datos muéstrales. !
! En ciencias, deben recolectarse y analizarse los datos resultantes de los experimentos.!
Los usos de la estadística son ilimitados. Es mucho más difícil mencionar un campo donde no se use la estadística que mencionar uno en el que la estadística tenga una parte integral; entre los más relevantes se encuentran:!! En educación,
frecuentemente se usa la estadística descriptiva para presentar resultados de exámenes.!
! En el gobierno, todo el tiempo se recolectan muchos tipos de datos estadísticos.!
La población es la colección más completa de individuos u objetos que son de interés para el recolector de la muestra. La población a estudiar debe definirse cuidadosamente y se considera completamente definida sólo cuando se especifica su lista de elementos miembros.!
Terminología
Existen dos tipos de poblaciones: finita e infinita. Cuando la membresía de una población puede (o pudiera) mencionarse físicamente, se dice que la población es finita. Cuando la membresía es ilimitada, la población es infinita. !
! Datos: El conjunto de valores recolectados de la variable para cada uno de los elementos que pertenecen a la muestra. !
! La muestra: consiste en los individuos, objetos o mediciones seleccionados de la población en una determinada investigación. Sus principales características son:!" Representativa!" Adecuada y válida!
! Variable: (o variable de respuesta) Una característica de interés acerca de cada elemento individual de una población o muestra. Las muestras pueden dividirse en los siguientes tipos:!
Variable
Cualita,va o atributo
Nominal
Ordinal
Cuan,ta,va o numérica
Discreta
Con,nua
! Variables cualitativas:!" Variable nominal: Variable cualitativa que caracteriza
(describe o nombra) un elemento de una población. !" Variable ordinal: Variable cualitativa que incorpora
una posición ordenada o clasificación. !! Variables cuantitativas:!
" Variable discreta: Variable cuantitativa que puede asumir un número contable de valores. !
" Variable continua: Variable cuantitativa que puede asumir un número incontable de valores. !
! Valor de datos: El valor de la variable asociado con un elemento de una población o muestra. Este valor puede ser un número, una palabra o un símbolo. !
! Parámetro: Valor numérico que resume todos los datos de una población entera. !
! Experimento Actividad planificada cuyos resultados producen un conjunto de datos. !
1.2 TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y REPRESENTACIONES GRÁFICAS.
La estadística se considera un método utilizado para recoger, organizar, concentrar, reducir, presentar, analizar, generalizar y contrastar los resultados numéricos (datos) de observaciones directas o indirectas de fenómenos reales, así como de la información obtenida a partir de la!experimentación, para estar en condiciones de llevar a cabo tanto evaluaciones como conclusiones adecuadas, y tomar decisiones acertadas y confiables.!Dicho análisis puede verse reflejado en tablas o de una manera más significativa, que es mediante gráficas.!
1.2.1 ASPECTOS BÁSICOS DE EXCEL ¿Qué es Excel?!MICROSOFT EXCEL (MS Excel) es una planilla de cálculo, de gran capacidad y facilidad de uso. Las planillas de cálculo son un tipo de herramienta orientado a manejar información numérica preferentemente, permitiendo realizar sobre ella cálculos y gráficos de diversa complejidad.!
∆ Un Libro de Trabajo es un archivo de trabajo y almacenamiento de datos. Un Libro de Trabajo puede contener una o varias hojas de distintos tipos (hojas de cálculo, hojas de gráfico).!
∆ La hoja de cálculo es la principal base de almacenamiento y manipulación de datos de un Libro de Trabajo. Una hoja de cálculo se divide en filas y columnas, que forma una gran cuadrícula compuesta por un sinnúmero de pequeñas celdas donde se almacenan los datos. Una hoja de calculó siempre formará parte de un Libro de Trabajo. !
Elementos:!
�
FILAS
COLUMNAS
HOJAS
CELDA CELDA
SELECCIONADA FUNCIÓN
HOJA NUEVA
ANCHURA COLUMNA ALTURA
COLUMNA
∆ Una lista es una ordenación de datos similares (registros), por ejemplo, un listado de alumnos y sus respectivas calificaciones de examen. Un Libro MS EXCEL puede contener una lista como una base de datos y proporcionar herramientas estándares para ordenar, filtrar, agregar, eliminar y resumir datos de una lista.!
∆ A partir de dichas listas, se pueden representar gráficamente un conjunto de datos almacenados en una hoja de cálculo y con la posibilidad de elegir entre múltiples y diferentes formatos y tipos; que se agrupan básicamente en los siguientes:!
∆ Gráfica de Barras. Se Utiliza regularmente para la comparación de una serie de datos. Como por ejemplo los resultados de exámenes de algunos alumnos. !
∆ Gráfica Circular. Partiendo de un total, se usa para conocer la distribución de distintos elementos. Como por ejemplo en un convivio, la cantidad de alumnos que deciden por un tipo de comida.!
∆ Gráfica Lineal. Partiendo de un conjunto de dos datos de una misma clasificación, se usa para compararlos. Por ejemplo el promedio bimestral en dos momentos distintos.!
ESP. MAT. CIENCIAS HISTORIA GEOG. CÍVICA ARTÍSTICA ED. FÍSICA 8.1 8.1 8.3 7.8 7.8 8.9 8.7 9.2
1. Un maestro de Quinto Grado clasificó a sus alumnos de acuerdo al promedio de evaluaciones que obtuvieron en el Tercer Bimestre.!
2. En el Cuarto Bimestre obtuvo los siguientes promedios de calificaciones de sus alumnos.!
9 a 10 8 a 9 7 a 8 6 a 7 5 a 6 5 7 9 4 2
3. En el Quinto Bimestre obtuvo los siguientes resultados; pero desea compararlos con los resultados del Cuarto Bimestre. !
ESP. MAT. CIENCIAS HISTORIA GEOG. CÍVICA ARTÍSTICA ED. FÍSICA 8.3 7.8 8.1 8.0 7.7 9.2 9.1 9.5
ACTIVIDAD 1.3
Después de elaborar las gráficas se pasará a elaborar el resumen de resultados en documento de trabajo (Word) con el siguiente formato:!
ESP. MAT. CIENCIAS HISTORIA GEOG. CÍVICA ARTÍSTICA ED. FÍSICA 8.1 8.1 8.3 7.8 7.8 8.9 8.7 9.2
1. Un maestro de Quinto Grado de Primaria obtuvo los siguientes promedios de calificaciones de sus alumnos correspondientes al Cuarto Bimestre. Elabora una GRÁFICA DE BARRAS.!
2. Elabora una GRÁFICA CIRCULAR para la siguiente distribución de promedios de los alumnos:!
9 a 10 8 a 9 7 a 8 6 a 7 5 a 6 5 7 9 4 2
3. Elabora una GRÁFICA DE LINEAL para comparar los promedios del Quinto Bimestre con los del bimestre anterior:!
ESP. MAT. CIENCIAS HISTORIA GEOG. CÍVICA ARTÍSTICA ED. FÍSICA 8.3 7.8 8.1 8.0 7.7 9.2 9.1 9.5
ACTIVIDAD 1.3
1.3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central son valores numéricos que ubican, en cierto sentido, el centro de un conjunto de datos. Con frecuencia, el término promedio se asocia con todas las medidas de tendencia central.!
La media muestral se representa con ("x barra" o "media muestral"). La media se encuentra al sumar todos los valores de la variable x y dividir la suma entre el número de dichos valores, n (el "tamaño muestral"). Esto se expresa en forma de fórmula como:!
suma de todas las x! número de x!
x barra = !
= x ! ∑x! n!
x !
A. Media (media aritmética) !
1 MELISA DENISS 8.6 2 JORGE HERON 8.2 3 KEVIN URIEL 6.5 4 ALEJANDRA ELI 8.9 5 ADAMARIS 8.3 6 JOSUE ALBERTO 9.2 7 MOISES ALBERTO 9.5 8 ARTURO JEANCARLO 9.1 9 MELENY 8.6
10 KEVIN EDUARDO 9.0 11 AXEL MANUEL 7.7 12 CINTHIA GABRIELA 7.7 13 JUAN DE DIOS 7.1 14 ANGELA ABIGAIL 7.8 15 KENIA PAMELA 8.2
EJEMPLO: Un maestro de 3º grado registró las evaluaciones de sus alumnos y quiere obtener la media aritmética para saber el promedio del grupo:!
= x ! ∑x! n!
= x !15!
8.6+8.2+6.5+8.9+8.3+9.2+9.5+9.1+8.6+9.0+7.7+7.7+7.1+7.8+8.1!
= x ! 124.4!15!
= x ! 8.29333!
B. Mediana.!Valor de los datos que ocupan la posición media cuando los datos se clasifican en orden de acuerdo con su tamaño. Para ello, se tendrá que obtener la mediana muestral ( x ).!1. Clasifica los datos.!2. Determina la profundidad de la mediana. La profundidad o
posición (número de posiciones desde cualquier extremo), de la mediana se determina con la fórmula!
La profundidad (o posición) de la mediana se encuentra al sumar los números de posición de los datos más pequeños (1) y los datos más grandes (n) y dividir la suma entre 2 (n es el número de piezas de datos).!
x = ! n+1! 2!
Mediana muestral = ! Tamaño muestral + 1!2!
3. Determina el valor de la mediana. Cuenta los datos clasificados, ubica los datos en la ( x )ésima posición. La mediana será la misma sin importar desde cuál extremo de los datos clasificados (alto o bajo) contaste. De hecho, contar desde ambos extremos servirá como una excelente comprobación.!
4. En el caso de medias pares el resultado será con punto decimal (0.5) lo que implicará la división entre los números enteros subsiguientes; por ejemplo si x = 2.5 en una sucesión de 3,4,5,6 la división sería entre el 4 y el 5 reultando el valor de la mediana 4.5. !
1 CARLOS 6 2 PERLA 9 3 ANA 7 4 CARMEN 8 5 ANDRÉS 6 6 ALBERTO 8 7 MAYRA 7 8 SOFÍA 6 9 AXEL 8
10 MIRIAM 9
EJEMPLO: Un maestro de una escuela de inglés elaboró el listado de edades de sus alumnos, obteniendo los siguientes resultados: !
2!10+1!
11!2!
7.5!
x = ! n+1! 2!
x = !
x = !
x = !
Mediana = !
5.5!
6 , 6 , 6 , 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 9 , 9 !
C. Moda.!En una distribución de datos determinada, es el dato que más se repite.!EJEMPLO: !• En un registro de fechas de nacimiento se encontraron los
siguientes datos en relación al año de nacimiento: 1992, 1993, 1994, 1994, 1995, 1996, 1997, 1997, 1998, 1998, 1998 y 1999. !
• En este caso, la moda sería el número 1998, ya que se repite más veces (3).!
• En el caso hipotético en el que el 1998 se repitiera sólo dos veces se establecería que esa situación no existiría la moda.!
D. Medio Rango.!
EJEMPLO: !• Un maestro registró el número de participaciones de un
alumno durante 5 semanas consecutivas, obteniendo el siguiente dato: 3, 3, 5, 6 y 8.!
Número exactamente a la mitad entre un dato de valor más bajo, (L) y un dato de valor más alto (H). Se encuentra al promediar los valores bajo y alto:!
medio rango = ! Valor bajo + valor alto! 2!
medio rango = !2!
L + H!
medio rango = !2!
L + H!
medio rango = !2!
3 + 8!
medio rango = 5.5 !
E. Aplicaciones de las Medidas de Tendencia Central.!Lógicamente como toda ecuación matemática estadística, las Medidas de Tendencia Central tienen su aplicación práctica. !En lo que corresponde a la media, su uso se ha generalizado debido a que es la que nos arroja el dato más cercano a un promedio. Sin embargo, al usarla debemos de considerar que la serie de datos con la que vamos a trabajar sea lo más homogénea posible, y que su distribución sea lo más equitativa posible.!La elaboración de promedios en evaluaciones educativas utiliza por default este tipo de medida, ya que los datos no varían mucho entre sí y por lo regular son muy homogéneos.!
En este mismo caso, la mediana y la moda serían de $3 000, lo cual reflejaría aún más el ingreso general de cada uno de los miembros de dicho grupo.!
Imaginemos que en grupo de diez personas, nueve de ellas son de escasos recursos económicos que perciben $3 000 al mes, y uno de ellos es un adinerado que gana $600,000 al mes. El promedio de ingreso del grupo sería de $62 700, cifra que no representaría lo que la mayoría gana. !
En lo que se refiera a la mediana y a la moda su utilidad se acentúa cuando la serie de datos no es muy homogénea y/o los datos no están bien distribuidos. !
Cosa inversa ocurre cuando tenemos una situación en donde por ejemplo de tenemos un grupo de diez personas en donde tres de sus integrantes tienen 3 años y que es el valor que más se repite (moda), pero los 7 restantes tienen edades que oscilan entre los 14 y 18 años (3,3,3,14,14,15,16, 17, 17,18). La moda aquí no reflejaría la edad que la mayoría del grupo posee. !O un alumno que obtuvo las siguientes calificaciones: 6,6,6,6,9,10,10. En este caso la mediana sería de 6, pero no sería representativa de todas sus evaluaciones. !
media mediana
En sí, cada una estas medidas tiene un punto bueno y un punto ciego; lo importante o interesante aquí, es que a final de cuentas se complementan, y cuando realmente se desea conocer un dato con mayor certeza el uso de las tres (o 4) medidas de tendencia centra será mejor, que usar sólo una, ya que nos arrojará con mayor precisión el dato más cercano a la situación real. !
1.3.1 Uso de fórmulas en Excel La carta fuerte del Excel definitivamente es el uso de fórmulas, ya que nos da una gran variedad de operaciones matemáticas para los datos que introducimos en el mismo. !Se puede usar Excel para calcular los totales de una columna o una fila de números, pero también puede calcular el pago de una hipoteca, resolver problemas matemáticos o de ingeniería, o dar con la hipótesis más optimista en función de las variables que introduzca.!
Excel realiza estas operaciones usando fórmulas en las celdas. Una fórmula realiza cálculos u otras acciones con los datos de su hoja de cálculo. Una fórmula siempre empieza con un signo igual (=), seguido de números, operadores matemáticos (como los signos de más y menos) y funciones, que pueden ampliar el poder de una fórmula.!Por ejemplo, la siguiente fórmula multiplica 2 por 3 y, después, suma 5 al resultado para dar con la respuesta, 11.!=2*3+5!
Así mismo se puede hacer operaciones en el que se incluya información que se ha ingresado en una o más celdas. !Por ejemplo supongamos que queremos multiplicar lo que contiene la celda A1 por lo que contiene la celda A2 y dividirlo entre lo que tiene la celda A3, la fórmula sería la siguiente: =(A1*A2)/A3. !
Estas son algunas de los tipos de fórmulas que se pueden escribir en una hoja de cálculo.!• =A1+A2+A3 Suma los valores de las celdas A1, A2 y
A3.!• =RAIZ(A1) Usa la función RAIZ para devolver la raíz
cuadrada del valor contenido en A1.!• =HOY() Devuelve la fecha actual.!• =MAYUSC("hola") Convierte el texto "hola" en "HOLA"
mediante la función MAYUSC.!• =SI(A1>0) Comprueba si la celda A1 contiene un valor
mayor que 0.!
Medidas de Tendencia Central en Excel!Para obtener la Media, en Excel debemos de seleccionar los datos (de los que queremos obtenerla) y poner la siguiente fórmula. !
Para esta fórmula se puede anotar esta información en la celda correspondiente o ir seleccionado directamente las celdas que se desean incluir. !
=PROMEDIO(A1,A2,A3,A4,A,5,A6,A7,A8,A9,A10) ó!=PROMEDIO(A1:A10) !
En relación a la Mediana y a la Moda, las fórmulas serían:!=MEDIANA(datos).!=MODA (datos).!
En el caso del Medio Rango, no existe una fórmula específica, por lo que se tendrá que especificar en la celda lo que se desea realizar. Por ejemplo si el dato mayor corresponde a la celda A1 y el Mayor a la celda A10, su fórmula quedaría así !=(A1+A10)/2!
ACTIVIDAD 1.5 1. Obtén la Media Aritmética de cada uno de los 5 Bimestres y de cada una de las Asignaturas. Y un promedio final de todo ello:!
2. Obtén la Mediana y la Moda de cada una de las asignaturas para compararlos con sus respectivos promedios (Media Aritmética). !
3. Obtén el Medio Rango de las siguientes calificaciones. reneb@cmt.edu.mx!
Las medidas de posición se usan para describir la posición que un valor de datos específico posee en relación con el resto de los datos cuando están en orden clasificado. Cuartiles y percentiles son dos de las medidas de posición más populares.!
1.4 MEDIDAS DE POSICIÓN
Son los valores de una variable que dividen al conjunto de datos ordenados en 100 subconjuntos; cada conjunto de datos tiene 99 percentiles. El k-esimo percentil, Pk, es un valor tal que cuando mucho (100-k) % de los datos es mayor. Esto se muestra en el siguiente esquema:!
1% 1% 1% 1%
Min. P1 P2 P3 P4 P5 P6
1% 1% 1%
P97 P98 P99 Max
A. Percentiles!
Así hasta…!
Son los valores de una variable que dividen en cuartos a los datos ordenados; Cada conjunto de datos posee tres cuartiles. El primer cuartil, Q1, es el número tal que cuando mucho el 25% de los datos es menor que el valor de Q1. El segundo cuartil es la mediana. El tercer cuartil, Q3, es un numero tal que cuando mucho el 75% de los datos es menor que Q3. Esto se muestra en el siguiente esquema:!
B. Cuartiles!
25% 25% 25% 25%
Min. Q1 Q2 Q3 Max
El primer cuartil y el 25avo percentil son iguales; es decir, Q1=P25. Tambien, Q3=P75.!La mediana, el segundo cuartil Q2, y el 50avo percentil son iguales, Mediana = Q2 = P50 , así cuando se pida encontrar Q2 o P50, aplique el procedimiento para encontrar la mediana.!
P 10 P 20 P 30 P 40 P 50 P 60 P 70 P 80 P 90
Q 1 Q 2 Q 3
MEDIANA
Cuartiles y Percentiles para datos no agrupados.!El procedimiento para determinar el valor de los cuartiles es el mismo que para los percentiles y se muestran a continuación:!1. Ordenar los datos del menor al mayor.!
3. a). Si el resultado del cálculo anterior ( ) es un número entero, se le deberá sumar 0.5.!
2. Calcular , donde n es el tamaño de la muestra y k la medida de posición buscada (cuartil o percentil). !
nk!100!
nk!100!
4. Con la posición encontrada en el paso anterior, remitirse a los datos ordenados verificar a que valor de nuestros datos le corresponde la posición buscada.!
b). Si el resultado del cálculo anterior ( ) no es un número entero, este se deberá tomar como el siguiente entero más grande. !
nk!100!
Los siguientes datos corresponden al número de autos que llegan a diario al taller de la empresa Dodge para su reparación, durante los meses de marzo y abril (40 días), de lunes a viernes.!Determinar:!a) El 45 percentil P45.!b) Primer cuartil Q1!c) Tercer cuartil Q3!10 17 10 11 12 11 22 18 14 25 19 17 22 10 24 18 15 20 24 21 24 15 21 19 15 20 22 14 25 18 20 13 11 19 20 10 19 17 16 12!Paso 1!Ordenar los datos de menor a mayor.!10 10 10 10 11 11 11 12 12 13 14 14 15 15 15 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19 19 20 20 20 20 21 21 22 22 22 24 24 24 25 25!
Percentil P45.!Paso 2 .!n= 40 datos, k=45!
P45 = ! nk!100!
P45 = !40(45)!100!
1800!100!
= ! 18!= !
Paso 3!Como = el 18 es un número entero, por lo que se deberá de agregar 0.5, entonces el P45 se encuentra en la posición 18.5, entonces está entre 18 y 19avo dato.!
nk!100!
Paso 4 !P45 en este caso está entre 17 y 17 autos, P45= 17; P45= = = 17 !17+17!
2!34!2!
P45=17 autos.!
Cuartil Q1.!Paso 2 .!n= 40 datos, k=25, ya que Q1= P25 (primer cuartil es igual al 25 percentil)!
Q1 = !nk!100!
Q1 = !40(25)!100!
1000!100!
= ! 10!= !
Paso 3!Como = el 10 es un número entero, por lo que se deberá de agregar 0.5, entonces el Q1 se encuentra en la posición 10.5, entonces está entre 10 y 11avo dato.!
nk!100!
Paso 4 !Q1 en este caso está entre 13 y 14 autos, Q1= 13.5; Q1= = = 13.5 !13+14!
2!27!2!
Q1=13.5 autos.!
Cuartil Q3.!Paso 2 .!n= 40 datos, k=75, ya que Q3= P75 (primer cuartil es igual al 75 percentil)!
Q3 = !nk!100!
Q3 = !40(75)!100!
3000!100!
= ! 30!= !
Paso 3!Como = el 30 es un número entero, por lo que se deberá de agregar 0.5, entonces el Q3 se encuentra en la posición 30.5, entonces está entre 30 y 31avo dato.!
nk!100!
Paso 4 !Q3 en este caso está entre 20 y 21 autos, Q3= 20.5; Q3= = = 20.5 !20+21!
2!41!2!
Q3=20.5 autos.!
C. Aplicaciones de las Medidas de posición.!En estadística descriptiva, las medidas de posición no central permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre las más importantes están los cuantiles y percentiles que son aquellos valores de la variable, que ordenados de menor a mayor, dividen a la distribución en partes, de tal manera que cada una de ellas contiene el mismo número de frecuencias; pero también existen los deciles y los quintiles.!
20 21 22 18 32 44 54 21 14 15 18 43 32 45 21 42 32 45 60 22 34 25 39 27 23 24 28 32 45 52 28 35 45 38 42 19 23 45 34 24 24 35 56 32 28 28 34 56
Por ejemplo, en una encuesta acerca del uso de algún aparato electrónico en una semana a 48 personas se obtuvieron las siguientes respuestas:!
Según esa información encontramos que por ejemplo:!▶ Mediana= 32!▶ Percentil 80 = 44.5!▶ 1 Cuartil = 23!Esto quiere decir que por lo menos por lo menos la mitad (14 personas) las entrevistadas le dedican 32 horas a la semana.!Por lo menos el ochenta porciento de las entrevistadas le dedican menos de 44 horas a la semana.!Por lo menos el 25 por ciento de las personas entrevistadas le dedican menos de 23 horas a la semana. !
Medidas de Posición en Excel!La obtención de Cuartiles y Percentiles en Excel es muy similar a la obtención del Promedio, Mediana y Moda. En el caso de los Cuartiles, se tendrá que ingresar el signo de igual (=) seguido de la palabra “cuartil” después de abre paréntesis y se selecciona la muestra a elegir, seguido de un coma, y el número de cuartil a obtener, cerrando así el paréntesis). =CUARTIL(A1:G6,1)!!
En el caso de los percentiles la dinámica es muy similar a la de los cuartiles, sólo con la diferencia de que el número de percentil que se desea obtener se deberá de escribir con punto decimal, por ejemplo si se desea obtener el percentil 75, se deberá de poner 0.75.!=PERCENTIL(A1:G6,0.75)!
ACTIVIDAD 1.7 1. En una encuesta a 60 jóvenes universitarios acerca de las horas de sueño al día se obtuvieron los siguientes datos:!
8 7 4 5 7 8 6 7 8 7 4 5 6 8 6 7 8 6 5 6 7 5 5 6 9 7 5 5 6 5 8 9 5 6 7 8 5 4 7 7 4 5 6 7 8 9 7 6 7 8 8 7 9 6 8 4 5 6 7 9
Ordena los datos de menor a mayor y obtén el Cuartil 3.!
2. En una medición a 32 niños de 8 años en un kinder se obtuvieron los siguientes pesos: !
Ordena los datos de menor a mayor y obtén el Percentil 60.!
15.8 14.3 13.2 18.5 15.5 16.8 14.5 13.3
12.5 14.5 16.2 15.3 18.2 17.7 13.4 14.5
12.9 13.1 17.5 15.4 16.3 15.8 16.2 12.8
13.3 14.5 18.3 16.2 17.5 17.2 18.3 18.1
1.5 MEDIDAS DE DISPERCIÓN Una vez localizado el centro o algún punto en particular de la distribución de un conjunto de datos lo que procede es buscar una medida de dispersión de los datos.!La dispersión o variación es una característica importante de un conjunto de datos porque intenta dar una idea de cuán esparcidos se encuentran éstos.!
Existen diversas medidas de dispersión, algunas de ellas son:!1. Rango. Es la diferencia en valor entre los datos con valor más alto (H) y los datos con valor más bajo, (L). Su fórmula es:!
r= H - L!Por ejemplo, la siguiente muestra (3, 3, 5, 6, 8) tendría un rango de: H-L= 8 – 3= 5. Es decir, r= 5. !
3 5 6 8
rango
L H
2. Desviación de la media. Mide la desviación promedio de valores con respecto a la media del grupo, sin tomar en cuenta el signo de la desviación.!!Cada valor individual de x se desvía de la media por una cantidad igual a (x - ). Esta desviación (x - ) es cero cuando x es igual a la media, . La desviación (x - ) es positiva cuando x es más grande que y negativa cuando x es menor que .!
x ! x !
x ! x !
x ! x !
= x !D Σ!i=1
n (x - )! x !
i n!
x !
x !
Esto se expresa: x - , que es la diferencia entre el valor de x y la media, La fórmula para obtener la Desviación de la media (D ) es:!
= x !D (x - )! x !
1 n!
+! (x - )! x !2 +! (x - )! x !
3 +! (x - )! x !4 +! (x - )! x !
5
= x !D (6 - 5)!
5!+! (3 - 5)!+! (8 - 5)!+! (5 - 5)!+! (3 - 5)!
Considera la muestra 6, 3, 8, 5, 3. Con la fórmula de la media( ), encuentras que la media es 5. Cada desviación, (x - ), se encuentra entonces al restar 5 de cada valor x:!
= x ! ∑x! n! x !
= x !D 8!5!
= x !D 1.6!
= x !D Σ!i=1
n (x - )! x !
i n!
3. Varianza muestral. La varianza muestral, s, es la media de las desviaciones al cuadrado, calculada con n - 1 como el divisor. Su fórmula es:!
2
S = Σ!i=1
n (x - )! x !
i n!
2 2
En el ejemplo anterior (6, 3, 8, 5, 3); tenemos que la media es igual a 5, por lo tanto: !
S = (x - )! x !
1 n!
+! (x - )! x !2 +! (x - )! x !
3 +! (x - )! x !
4 +! (x - )! x !
5 2 2 2 2 2 2
S = (6 - 5)!
5!+! (3 - 5)!+! (8 - 5)!+! (5 - 5)!+! (3 - 5)!2 2 2 2 2
2
S = 18!5!
2
S = 3.6!2
4. Desviación estándar. La desviación estándar de una muestra, S, es la raíz cuadrada positiva de la varianza:!
S = S!2 √ !
S = 3.6!√ !
S = 1.89
En el ejemplo del ejercicio anterior, teniendo el dato de que la varianza (S ) es igual a 3.6: !2
Aplicaciones de las Medidas de disperción.!
En estadística descriptiva, las medidas de disperción nos ayudan entender mejor la distribución de los datos en relación a sus medidas centrales. Por ejemplo, los siguientes datos hacen referencia a las esturas que poseen distintas personas que integran dos grupos diferentes de 12 personas cada uno: !
GPO. ESTATURAS EN CENTÍMETROS DE LAS PERSONAS D
A 150 145 179 150 185 145 185 185 149 152 168 190 165.25 16.75
B 164 163 165 162 165 169 162 165 168 164 169 167 165.25 2.0
x ! x !
Aunque ambos grupos poseen una media de 165.25, la desviación de la Media es muy distinta entre ellos; lo que quiere decir que en el grupo A los datos están muy dispersos, mientras que el el grupo B los datos están muy cercanos.!
Medidas de Dispersión en Excel!
=(A5-A1)!
Después nos posicionamos en una celda en blanco, ponemos el signo de igual (=), abrimos paréntesis y después seleccionamos la celda de mayor valor (A5), seguida del signo de menos (-) y seleccionamos la celda de menor valor (A1) y presionamos ENTER. La fórmula quedaría:!
En primer lugar, Excel no tiene un fórmula específica de Rango, por lo que tenemos que ordenar primeramente los datos con la opción: !!
En el caso de Desviación de la Media, Varianza y Deviación Estándar, Excel tiene una fórmula específica para cada una.!Para obtener la Desviación de la Media se necesita anotar el signo de igual (=) seguido de la palabra: DESVPROM; después se abre paréntesis y se elige la serie de datos que se desea obtener; enseguida se cierra paréntesis y se presiona ENTER. LA fórmula quedaría así: !
=DESVPROM(A1:A5)!
Para obtener la Varianza y la Desviación Estándar se sigue el mismo procedimiento anterior; sólo cambia la frase que se anota después del signo de igual.!La fórmula de Varianza quedaría:!=VAR.P(A1:A5)!La fórmula de Desviación Estándar quedaría:!=DESVEST(A1:A5)!
ACTIVIDAD 1.9
RANGO
2.1 7.5
3.4 4.5
1.5 8.5
4.9 2.3
1.9 9.1
5.5 3.2
4.5 7.2
Desviación de la Media
4.1 10.5 8.4
4.8 12.5 5.3
1.5 9.5 7.7
4.9 4.3 5.0
5.9 9.2 11.5
7.5 4.2 10.0
5.5 9.2 8.4
Varianza
1.0 2.0 1.2
1.8 1.5 0.5
1.5 1.2 1.5
2.0 0.9 1.3
1.9 1.3 1.2
1.5 2.1 1.7
1.5 0.7 1.2
Desviación Estándar
12 82 55 47
27 29 79 53
54 75 17 15
34 45 42 85
10 32 39 92
95 44 33 70
Obtén lo que se te pide de las siguientes tablas numéricas:!!
reneb@cmt.edu.mx
1.6 ESTUDIO DE POBLACIONES CON DATOS BIVARIADOS Los datos bivariados son valores de dos diferentes variables que se obtienen a partir del mismo elemento de población.!Cada una de las dos variables pueden ser cualitativas o cuantitativas. Como resultado, los datos bivariados pueden formar tres combinaciones de tipos de variable:!a. Ambas variables son cualitativas (ambos atributos).!b. Ambas variables son cuantitativas (ambas
numéricas).!c. Una variable es cualitativa (atributo) y la otra es
cuantitativa (numérica).!
Cuando los datos bivariados resultan de dos variables cualitativas (atributo o categórica), con frecuencia los datos se ordenan en una tabla cruzada o de contingencia. !
a. Dos variables cualitativas!
Ejemplo:!30 estudiantes fueron identificados al azar y clasificados de acuerdo con dos variables: género (M/F) y especialización: Humanidades (LA), administración de empresas (BA) y tecnología (T). !
Sujeto Género Especialidad Sujeto Género Especialidad Sujeto Género Especialidad
1 M LA 11 M T 21 M BA
2 F BA 12 M LA 22 F BA
3 M LA 13 F LA 23 M T
4 F LA 14 M T 24 F LA
5 M T 15 F T 25 M T
6 M BA 16 M BA 26 M BA
7 F LA 17 M LA 27 F LA
8 M T 18 M BA 28 F T
9 F BA 19 F LA 29 M BA
10 F BA 20 M T 30 M LA
Especialización Género LA BA T TOTAL
M 5 6 7 18 F 6 4 2 12
TOTAL 11 10 9 30
Esos 30 datos bivariados pueden resumirse en una tabla cruzada 2 x 3:!
Las frecuencias pueden convertirse fácilmente a porcentajes del gran total al dividir cada frecuencia por el gran total y multiplicar el resultado por cien:! ( ) x 100 = 20. 6!
30!Especialización
Género LA BA T TOTAL M 17% 20% 23% 60% F 20% 13% 7% 40%
TOTAL 37% 33% 30% 100%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
LA BA
T
M F
Las frecuencias en la misma tabla de contingencia, tabla 3.3, pueden expresarse como porcentajes de los totales de fila (o género) al dividir cada entrada de fila por el total de dicha fila y multiplicar los resultados por 100.!
Especialización Género LA BA T TOTAL
M 28% 33% 39% 100% F 50% 33% 17% 100%
TOTAL 37% 33% 30% 100%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
M F
LA
BA
T
Especialización Género LA BA T TOTAL
M 45% 60% 78% 60% F 55% 40% 22% 40%
TOTAL 100% 100% 100% 100%
Las frecuencias también pueden expresarse como porcentajes de los totales de columna (o especialización) al dividir cada entrada de columna por el total de dicha columna y multiplicar el resultado por 100. !
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%
LA BA T
M
F
Cuando los datos bivariados son resultado de dos variables cuantitativas, se acostumbra expresar los datos de manera matemática como pares ordenados (x, y), donde x es la variable de entrada (en ocasiones llamada variable independiente) y y es la variable de salida (en ocasiones llamada variable dependiente). Se dice que los datos son ordenados porque un valor, x, siempre se escribe primero. Se llaman emparejados porque, para cada valor x, existe un valor y correspondiente de la misma fuente. !La variable de entrada, x, se mide o controla con la finalidad de predecir la variable de salida y. !
Una situación en la que se trabaja con datos bivariados cuantitativos es medir el grado de correlación que éstos poseen, para ello, se debe de obtener la “r” de correlación de Pearson, en la que:!a. Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice
indica una dependencia total entre las dos variables denominada relación directa: cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en proporción constante.!
b. Si 0 < r < 1, existe una correlación positiva.!c. Si r = 0, no existe relación lineal. Pero esto no necesariamente
implica que las variables son independientes. !d. Si -1 < r < 0, existe una correlación negativa.!e. Si r = -1, existe una correlación negativa perfecta. El índice
indica una dependencia total entre las dos variables llamada relación inversa: cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en proporción constante.!
TALLA (X) PESO (Y) X -‐ X Y -‐ Y (X – X) * (Y – Y) 72 9 5.65 1.4 7.91 76 10 9.65 2.4 23.16 59 6 -‐7.35 -‐1.6 11.76 68 8 1.65 0.4 0.66 60 10 -‐6.35 2.4 -‐15.24 58 5 -‐8.35 -‐2.6 21.71 70 8 3.65 0.4 1.46 65 7 -‐1.35 -‐0.6 0.81 54 4 -‐12.35 -‐3.6 44.46 83 11 16.65 3.4 56.61 64 7 -‐2.35 -‐0.6 1.41 66 7 -‐0.35 -‐0.6 0.21 61 6 -‐5.35 -‐1.6 8.56 66 8 -‐0.35 0.4 -‐0.14 57 5 -‐9.35 -‐2.6 24.31 81 11 14.65 3.4 49.81 59 5 -‐7.35 -‐2.6 19.11 71 9 4.65 1.4 6.51 62 6 -‐4.35 -‐1.6 6.96 75 10 8.65 2.4 20.76
66.35 7.6 290.8
r= covarianza!Sx* Sy!
Para medir el grado de correlación se debe desglosar la siguiente fórmula:!
covarianza= Σ! (X - X) (Y – Y)!n - 1!
covarianza= Σ! (290)!19!
covarianza= 15.30
r= 15.30!8.087* 2.137!
r = 0.885
Esto nos indica que el grado de correlación es positiva y por la relación existente entre estos dos datos es significativa.!
c. Una variable cualitativa y una cuantitativa !Cuando los datos bivariados resultan de una variable cualitativa y una cuantitativa, los valores cuantitativos se ven como muestras separadas y cada conjunto se identifica mediante etiquetas de la variable cualitativa.!Supongamos que deseamos buscar la relación existente entre la edad de un sujeto y el tipo de sociabilidad (relaciones que tiene con otras personas). La edad es un dato meramente cuantitativo, pero la sociabilidad es cualitativo. En este caso lo que se buscará es convertir el dato cualitativo en cuantitativo. !!
En investigación esto se hace por lo regular recurriendo a escalas; en las que se sitúa una característica cualitativa de los individuos en una serie de parámetros que nos arrojarán datos cuantitativos.!Una de las más usadas es la escala tipo Likert, ya que esta permite al individuo situar si situación cualitativa en una serie de opciones preestablecidas.!Por ejemplo:!!“23. Prefiero salir con mis amigos un día por la noche a quedarme en casa a ver televisión…”!!a. Totalmente en desacuerdo!b. En desacuerdo!c. Ni de acuerdo ni en desacuerdo!d. De acuerdo!e. Totalmente de acuerdo!
EJEMPLO:!Para conocer el tipo de sociabilización de los individuos con su respectiva edad se aplicó una escala Likert a 30 personas de edades de entre 15 y 70 años y se obtuvieron los siguientes resultados. !
SUJETO EDAD NIVEL SUJETO EDAD NIVEL SUJETO EDAD NIVEL 1 15 3.5 11 32 3.7 21 48 2.7 2 15 4.7 12 33 4.2 22 53 1.9 3 17 4.5 13 33 4.5 23 54 2.3 4 18 4.8 14 35 3.2 24 58 2.1 5 18 3.8 15 37 3.5 25 58 2.0 6 22 4.5 16 38 2.8 26 62 2.2 7 23 4.2 17 39 3.2 27 64 1.9 8 27 3.6 18 39 2.9 28 65 1.7 9 25 3.5 19 45 3.0 29 68 1.5
10 28 3.9 20 47 2.9 30 70 1.6
0
10
20
30
40
50
60
70
80
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
EDAD
NIVEL
Si intentamos graficar con los datos anteriores obtendríamos una gráfica que no nos mostraría con claridad el tipo de diferenciación:!
Por lo tanto, para poder hacer una comparativa más efectiva es conveniente convertir los valores en porcentajes para lograr graficar bajo una misma premisa. Por ejemplo: !
EDAD NIVEL REAL PORCENTUAL REAL PORCENTUAL 15 21.4 4.1 82
15 21.4 4.7 94
17 24.3 4.5 90
18 25.7 4.8 96
18 25.7 3.8 76
22 31.4 4.5 90
23 32.9 4.2 84
27 38.6 3.6 72
25 35.7 3.5 70
28 40.0 3.9 78
De esta forma podemos graficar y observar la discrepancia de ambos datos:!
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
120.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
EDAD
NIVEL
Obtención de Porcentajes!Para obtener el porcentaje de cierta cantidad, será suficiente con hacer la multiplicación por el porcentaje que deseamos obtener. Por ejemplo, si en la celda A2 tenemos el valor 200 y deseamos obtener el 75% de dicho valor, entonces será suficiente con hacer la multiplicación de ambos de la siguiente manera:!
=A2*B2!
Si se desea obtener el porcentaje en relación a un número en específico; por ejemplo, si quiero saber ¿qué porcentaje representa el 24 de 60, partiendo de que el 60 representa el 100%. La fórmula sería la siguiente:!
=(100*A1)/60!Esto es basándose en el esquema de la regla de tres simples, para obtención de porcentajes.!
60 100
24
r de Pearson!Al igual que otras fórmulas que Excel simplifica, la correlación r de Pearson también posee una fórmula en específico, la cual funciona siempre y cuando poseeamos dos series de datos a comparar (correlacionar); !En este ejemplo, se uso una variación proporcional (de 3) en el que por consiguiente el resultado es 1, haciendo referencia a una correlación positiva perfecta:!
=PEARSON(A1:A10,B1:B10)!
ACTIVIDAD FINAL
4.1 10.5 8.4 5.5
4.8 12.5 5.3 3.8
4.5 9.5 7.7 10.2
4.9 4.3 5.0 4.7
9.9 9.2 11.5 12.3
11.5 4.2 10.0 8.4
2.4 3.5 2.3 2.6
2.3 8.9 8.9 3.1
8.9 7.7 9.8 4.5
5.5 9.2 8.4 3.2
1. Obtén el porcentaje de cada uno los siguientes datos, en donde el dato mayor representa el 100%!!
2. Obtén el coeficiente r de correlación:!!
reneb@cmt.edu.mx EDAD NIVEL EDAD NIVEL EDAD NIVEL
15 3.5 32 3.7 48 2.7 15 4.7 33 4.2 53 1.9 17 4.5 33 4.5 54 2.3 18 4.8 35 3.2 58 2.1 18 3.8 37 3.5 58 2.0 22 4.5 38 2.8 62 2.2 23 4.2 39 3.2 64 1.9 27 3.6 39 2.9 65 1.7 25 3.5 45 3.0 68 1.5 28 3.9 47 2.9 70 1.6
PROBABILIDAD Y MUESTREO UNIDAD 2
2.1 PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD CLÁSICA
La probabilidad, por lo tanto, puede definirse como la razón entre la cantidad de casos prósperos y la cantidad de cuestiones posibles. !
Con origen en el latín probabilĭtas, probabilidad es una palabra que permite resaltar la característica de probable (es decir, de que algo pueda ocurrir o resultar verosímil). Se encarga de evaluar y permitir la medición de la frecuencia con la que es posible obtener un cierto resultado en el marco de un procedimiento de carácter aleatorio.!
La gran aliada de la probabilidad es la llamada teoría de la probabilidad, ya que gracias a lo que esta postula y sostiene, es que los seres humanos podemos anticiparnos a que algunos sucesos potenciales ocurran finalmente. La mencionada teoría es muy utilizada y consultada por disciplinas como pueden ser la estadística, la filosofía, las matemáticas y la ciencia, para sacar conclusiones respecto de los sucesos potenciales que las ocupan.!
La teoría de la probabilidad es un modelo matemático que se ocupa de analizar los fenómenos aleatorios; esto implica la contraposición respecto de los fenómenos ya determinados, que son aquéllos en los cuales el resultado del experimento que se realiza, atendiendo a determinadas condiciones, produce un resultado único y previsible, que se repetirá la cantidad de veces que éste vuelva a hacerse, siempre y cuando se respeten las mismas condiciones.!
El estadista Karl Pearson lanzó una moneda 24000 veces y obtuvo 12012 águilas.!
Se podría decir que la mayoría de los gobiernos, alguna vez, han echado mano de los métodos probabilísticos, para atender a un futuro escenario en el cual el bienestar de su población puede entrar en serio riesgo. Así mismo es también muy aplicada por distintas ciencias, de igualar la idea de probabilidad con el concepto de riesgo. Esto nos puede parecer tremendista, pero resulta ser un fenómeno de utilización muy común en la medicina.!
En investigación también la estadística juega un papel trascendental. En la región de San Luis, en Venezuela, la prevalencia de la enfermedad de Huntington es 700 veces mayor que en Estados Unidos. En una población de 3000 personas aproximadamente, alrededor de 150 individuos la padecen y 1500 más presentan un riesgo elevado de desarrollarla. Esto se debe a que San Luis es el hogar de unas cuantas familias con muchos miembros afectados. !Por mucho, la más extensa de estas familias es la familia Soto, que tiene la mayor concentración que se conoce de la enfermedad de Huntington de cualquier familia en el mundo. Esta incidencia tan alta de la enfermedad en una familia ofrece a los científicos una oportunidad poco común de estudiar este raro trastorno!
La probabilidad es la base sobre la que se construyen los métodos importantes de la estadística inferencial; y la cual se apoya en un simple principio denominado: regla del suceso infrecuente para la estadística inferencial, la cual establece lo siguiente:!Si, bajo un supuesto dado (como un juego de lotería justo), la probabilidad!de un suceso particular observado (como ganar cinco veces consecutivas)!es extremadamente pequeña, concluimos que el supuesto probablemente es!incorrecto.!
Fundamentos...
! El espacio muestral de un procedimiento se compone de todos los sucesos simples posibles. Es decir, el espacio muestral se forma con todos los resultados que ya no es posible desglosar más.!
Al considerar la probabilidad, tratamos con procedimientos (como tirar un dado, contestar una pregunta de opción múltiple en un examen, jugar lotería, etc.) que producen resultados, para lo cual es importante entender:!! Suceso: cualquier conjunto de resultados o consecuencias
de un procedimiento.!! Un suceso simple es un resultado o un suceso que ya no
puede desglosarse en componentes más simples.!
Hay diferentes formas para definir la probabilidad de un suceso. Podemos encontrar por lo menos tres enfoques, para los cuales es importante entender algunas notaciones básicas:!! P denota una
probabilidad.!! A, B y C denotan
sucesos específicos.!! P(A) denota la
probabilidad de que ocurra el suceso A.!
Regla 1: Aproximación de la probabilidad por frecuencias relativasRealice (u observe) un procedimiento un gran número de veces y cuente las ocasiones que el suceso A ocurre en realidad. Con base en estos resultados reales, P(A) se estima de la siguiente forma:!
Número de veces que ocurre A! Número de veces que se repitió el ensayo!
P(A)= !
7! 40!
P(A)= !
0.175!P(A)= !
Por ejemplo: Saber la probabilidad que en un dado caiga el número 6. Si se lanza 40 veces un dado de las cuales cae 7 veces el número 6 podemos aplicar:!
Número de formas en que puede ocurrir A! Número de sucesos simples diferentes!
P(A)= !
Por ejemplo: Saber la probabilidad que en un dado caiga el número 3. !
1! 6!
P(A)= !
0.166!P(A)= !
Regla 2: Método clásico de la probabilidad(requiere resultados igualmente probables)Suponga que un procedimiento dado tiene n sucesos simples distintos, cada uno de los cuales tienen la misma posibilidad de ocurrir. Si el suceso A puede!ocurrir en s de estas n formas, entonces:!
s! n!
= !
Regla 3: Probabilidades subjetivas
P(A), la probabilidad del suceso A, se obtiene simplemente suponiendo o estimando su valor con base en el conocimiento de las circunstancias relevantes.!Por ejemplo: Al lanzar una moneda todos suponemos que tenemos la misma probabilidad de que caiga cara de que caiga águila.!
De los tres métodos mencionados, la regla 2 resulta ser el método más práctico, cuyos resultados se manejan de manera sencilla y efectiva. !La probabilidad de ganar en la lotería, de ser elegido para exponer clase, resultar ganador en un sorteo, sacar un chocolate rojo de una bolsa de m&m´s, son ejemplos claros en donde la regla 2 es muy útil para pronosticar un evento en particular. !
Es muy importante notar que el método clásico (regla 2) requiere resultados igualmente probables. Si los resultados no son igualmente probables, debemos usar el estimado de frecuencias relativas o confiar en nuestro conocimiento de las circunstancias para hacer una conjetura entrenada. !Al calcular probabilidades con el método de frecuencias relativas (regla 1), obtenemos un estimado en lugar de un valor exacto. Conforme el número total de observaciones se incrementa, los estimados correspondientes tienden a acercarse a la probabilidad real. Tal propiedad se enuncia en forma de teorema, al que se conoce comúnmente como la ley de los grandes números.!
Ley de los grandes números Conforme un procedimiento se repite una y otra vez, la probabilidad de frecuencias relativas (regla 1) de un suceso, tiende a aproximarse a la probabilidad real.!
Por ejemplo, es muy fácil que una encuesta de opinión entre sólo una docena de personas seleccionadas al azar resulte errónea en gran medida, pero si se aplica a miles de personas seleccionadas al azar, puede acercarse bastante a los valores reales de la población.!
Esta ley refleja una simple noción fundamentada en el sentido común: un estimado de probabilidad basado en sólo unos cuantos ensayos puede desviarse en cantidades sustanciales; pero, con un número muy grande de ensayos, el estimado tiende a ser mucho más preciso. !
En sí, aunque el método de la regla 2 suele ser más práctico y preciso, la regla 2 se acopla más a posibilidades más realistas, en las que es muy difícil partir de resultados igualmente probables para saber el resultado. !Por ejemplo, en una carrera de automóviles, en donde participan 10 vehículos. Según la regla 2, si se apuesta a un auto en particular, se tiene una probabilidad de 0.1 de ganar. Sin embargo la realidad frecuentemente alejada a este número, ya que no todos los autos parten de las mismas condiciones. !
Ahora, existen también muchas situaciones en las que ni la regla 1, ni la regla 2 nos resultan de mucha utilidad, ya que ambas se alejan de lo real. Por ejemplo, imaginemos que al inicio del torneo mexicano de fútbol y apostamos de que los Tigres serán campeones.!Si nos basamos en la Regla 2 encontramos que la probabilidad de que el equipo gane es 1/18 ó 0.055 (la misma que cada uno del resto de los equipos).!Si consideramos la Regla 1, encontramos que tiene una probabilidad muy similar, que es de 6/40 ó 0.666 (ya que sólo ha ganado 4 de los casi 60).!Es aquí donde la Regla 3 cobra relevancia, ya que el análisis inferencial nos da una probabilidad más cercana a la realidad.!
Redondeo de probabilidades Cuando se expresa el valor de una probabilidad, hay que dar la fracción o el número decimal exactos, o redondear los resultados decimales finales a tres cifras significativas. (Sugerencia: Cuando una probabilidad no sea una fracción simple como 2/3 o 1/5, exprésela como decimal para que el número resulte más claro).!Ejemplos!▶ La probabilidad de 0.021491 tiene cinco dígitos relevantes
(21491), por lo cual puede redondearse a 0.0215, con tres dígitos relevantes.!
▶ La probabilidad de 1/3 puede permanecer como fracción o redondearse a 0.333. No redondee a 0.3.!
▶ La probabilidad de caras en un lanzamiento de una moneda puede expresarse como ½ ó 0.5; ya que 0.5 es exacto, no hay necesidad de expresarlo como 0.500. !
▶ La fracción 432/7842 es exacta, pero su valor no es evidente. Exprésela como el decimal 0.0551.!
Sucesos complementariosAlgunas veces necesitamos calcular la probabilidad de que un suceso A no ocurra, para ello encontramos los sucesos complementarios:!Complemento de un suceso A, denotado por Ā consiste en todos los resultados en los cuales el suceso A no ocurre.!Por ejemplo: En un grupo típico, hay 205 bebés recién nacidos y 105 de ellos son niños. Si un bebé del grupo es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el bebé no sea un niño? La deducción es la siguiente:!
P(Ā)= ! 100! 205!
P(Ā)= 0.488!
Las probabilidades pueden y se expresan en muchas formas; muchas de ellas se ven y escuchan en las noticias casi todos los días (la mayoría de las veces, son probabilidades subjetivas). Las posibilidades son una forma de expresar las probabilidades al especificar el número de formas en que un evento puede ocurrir, comparado con el número de formas en que no puede ocurrir. !El enunciado “hay cuatro veces más probabilidades de que mañana llueva (R) de que no llueva (NR)” es un enunciado de probabilidad que puede expresarse como posibilidades; “las posibilidades son 4 a 1 en favor de lluvia mañana” (también se escribe 4:1)!
Posibilidades
La relación entre posibilidades y probabilidad se muestra a continuación;!
Si las posibilidades en favor de un evento A son a a b (ó a:b), entonces: !1. Las posibilidades en contra del evento A son b a a
(ó b:a).! a! a + b!
b! a + b!
Para ilustrar esta relación, considera el enunciado “las posibilidades en favor de lluvia mañana son 4 a 1 (4:1)”. Con la notación precedente, a = 4 y b = 1. Por tanto, la probabilidad de lluvia mañana es ó = 0.8. Las posibilidades en contra de lluvia mañana son 1 a 4 (1:4) y la probabilidad de que no habrá lluvia mañana es ó = 0.8.!
4! 4+1!
4! 5!
1! 4+1!
1! 5!
2. La probabilidad del evento A es P(A) =!3. La probabilidad de que el evento A no ocurrirá es
P(Ā)=!
Ejemplo. Una ruleta tiene 38 ranuras distintas y sólo una corresponde al número 13. La ruleta se diseñó de manera que las 38 ranuras sean igualmente probables de resultar. Si alguien apuesta a un número 13, tiene una probabilidad de ganar de 0.342 (según la regla 2). Ahora, la posibilidad de ganar sería la podemos desglosar de la siguiente manera:!
Posibilidad (A)=! P(Ā) P(A)!
=! 37/38!1/38!
=! 37!1!
ó! 37:1!
Para la obtención de las posibilidades reales en contra de que ocurra un suceso A son el cociente de P(Ā)/P(A).!
Son dos campos de la matemática, separados pero relacionados. Se ha dicho que “la probabilidad es el vehículo de la estadística”. Esto es: si no fuera por las leyes de la probabilidad, la teoría de la estadística no sería posible.!
Comparación de probabilidad y estadística
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4
Ejemplo: Se sabe que el bote de probabilidad contiene cinco fichas de póquer azules, cinco rojas y cinco blancas. La probabilidad trata de responder preguntas como: “si una ficha se saca al azar de esta caja, ¿cuál es la posibilidad de que será azul?”. Por otra parte, en el bote de estadística no se sabe cuál es la combinación de fichas. Se extrae una muestra y, con base en los hallazgos en la muestra, se hacen conjeturas acerca de lo que se cree hay en la caja. La estadística, por otra parte, te pide extraer una muestra, describir la muestra (estadística descriptiva) y después hacer inferencias acerca de la población con base en la información encontrada en la muestra (estadística inferencial).!
2.2 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO La regla fundamental de conteo se extiende fácilmente a situaciones que impliquen más de dos eventos, y se explica de la siguiente manera:!
Para una secuencia de dos sucesos en la que el primer suceso puede ocurrir de m formas y el segundo suceso puede ocurrir de n formas, los sucesos juntos pueden ocurrir un total de m * n formas.!
Ejemplo: Los sistemas comunes de alarma para casas tienen un código que consta de cuatro dígitos. Los dígitos (0 hasta 9) pueden estar repetidos, aunque deben ingresarse en el orden correcto. Suponga que usted planea tener acceso intentando códigos hasta encontrar el correcto. ¿Cuántos códigos diferentes son posibles?!Hay 10 valores posibles para cada uno de los cuatro dígitos; entonces, el número de códigos posibles distintos es de 10 * 10 * 10 * 10 = 10,000. Aunque los 10,000 códigos pueden intentarse en alrededor de 11 horas, los sistemas de alarma normalmente se diseñaron para que el sistema rechace intentos subsecuentes después de unas cuantas entradas incorrectas!
Ahora, cuando hacemos este tipo de combinaciones también es importante considerar si el orden con el que se hacen es importante o no. De acuerdo a ello podemos tener dos tipos de situaciones:!1. Combinaciones. Aquí el
orden no importa. Por ejemplo: "Mi ensalada de frutas es una combinación de piña, fresa, melón, kiwi, plátano y mango.!
2. Permutaciones. Aquí el orden sí importa. Por ejemplo: "La combinación de la cerradura es 472"" !
Hay dos tipos de permutaciones:!a. Se permite repetir: como la clave
de la cerradura de de un portafolio que podría ser "333".!
a. Donde los números se pueden repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)!
Y dos tipos de combinaciones:!
b. Sin repetición: como los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez..
b. Donde no existe la posibilidad de repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)!
a. Permutaciones con repeticiónSi se tienen n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:!
Esto se explica porque hay n posibilidades para la primera elección, después hay n posibilidades para la segunda elección, y así sucesivamente !
n * n * n ... (r veces) = nr!
Donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (Se puede repetir, el orden importa) !
Por ejemplo En el caso de la cerradura del portafolio, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:!10 * 10 * 10… (3 veces) = 10 = 1000 permutaciones!Así que la fórmula es simplemente:!
3
nr!
b. Permutaciones sin repeticiónEn este caso, se reduce el número de opciones en cada paso. En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso. Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez. Así que la primera elección tiene 16 posibilidades, y la siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:!!
16 x 15 x 14 x 13 ... = 20,922,789,888,000!
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24!7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040!1! = 1 !
16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11…!16! = 20,922,789,888,000!
Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:!
La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:!
LIC. RENÉ BAZALDÚA
En Excel la fórmula sería:!!
=FACT(VALOR)!
c. Combinaciones sin repeticiónPara construir las combinaciones sin repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las combinaciones sin repetición posibles:!! Los grupos (1,2,3) y (1,2,4) son distintos porque tienen un
elemento distinto. !! Los grupos (1,2,3) y (3,2,1) son iguales porque tienen los
mismos elementos aunque estén colocados en distinto orden. !! El grupo (1,1,2) no es válido porque tiene elementos repetidos.
!Permutaciones Combinaciones 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
123
T=6 T=1
n! r!(n-r)!
16! 3!(16-3)! =
16! 6 X 13!
= 20,922,789,888,000 6 x 6,227,020,800
=
560 =
Para la obtención de combinaciones usamos la fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):!
d. Combinaciones con repeticiónCombinaciones con repetición de n elementos tomados de r en r son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los n elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. !Un grupo de niños está jugando a hacer banderas tricolores con 5 colores distintos (Azul, verde, amarillo, blanco y rojo). ¿Cuántas banderas diferentes pueden hacerse?!
(n + r - 1) ! r!(n-1)! =
(5 + 3 - 1) ! 3!(5-1)! =
(7) ! 3!(4)! =
5040 6 (24) =
5040 144
= 35
FÓRMULAS
Permutación sin repetición!
Permutación con repetición!!
Combinación sin repetición!!
Combinación con repetición!!
(n + r - 1) ! r!(n-1)!
n! r!(n-r)!
n! (n-r)!
n! (n ! n !… n ! 1 2 k
2.3 TEORÍA DEL MUESTREO El principal objetivo del muestreo es estimar características de la población usando los datos de una muestra.!Por ejemplo, las encuestas por muestreo a grandes escalas, cuando se realizan de la manera apropiada con un diseño muestral satisfactorio, pueden proporcionar, rápidamente y a un menor costo, información con suficiente precisión para fines prácticos y con la posibilidad de evaluar el margen de incertidumbre con una base objetiva.!
Para un mayor entendimiento del muestreo consideremos los siguientes aspectos:!
! Muestra. Es una parte de una población de interés previamente delimitada, es decir, un subconjunto de ésta.!
! Población de interés. Es un conjunto finito de objetos (elementos) identificables con ubicación en tiempo y espacio.!
Muestra
! Objetivos del muestreo. Las técnicas del muestreo se utilizan para conocer las características generales de la población de interés, al estudiar solo una parte de ésta.!
• Encuestas de opinión!• Ratings de televisión!• Industria. Control de
calidad!• Encuestas INEGI!• Laboratorios. Estudios
en sangre!• Encuestas electorales!• Estudios de mercado!
! Campos de aplicación.!
! Ventajas del muestreo. La rapidez (tiempo) y los costos de inversión en su realización, hacen que el muestreo sea una técnica muy utilizada por gobiernos, empresas e investigadores.!
! Objetivo del muestreo. Seleccionar “buenas” muestras (representativas de la población) de un tamaño “apropiado”, considerando la información que tenemos de la población que estamos estudiando y el presupuesto con que contamos.!
! Tamaño apropiado de la muestra. No existe un determinado porcentaje exacto que deban tener, como regla forma general, todas las muestras; sin embargo hay parámetros que ayudan a dterminar su tamaño: !• La variabilidad de la característica que queremos
estudiar !• La precisión con que queremos hacer la
inferencia!• El presupuesto que tengamos!• El tamaño de la población !Es importante entender que entre mayor sea la muestra en relación a la población, mayor exactitud tendrá su inferencia.!
! Población Objetivo. Conjunto de elementos identificables con ubicación en tiempo y espacio. La población se define al especificar qué elementos son (a veces también cuáles no son) y qué características deben tener.!Por ejemplo: niños y niñas de 5 y 6 años que vivan en el territorio nacional.!
! Elementos del muestreo. Pueden ser personas, escuelas, organizaciones, productos, ciudades, elementos químicos, etc.!
! Tipos de muestra. Básicamente existen dos formas de tomar una muestra:!1. No probabilística.!• A juicio. Se usa la
experiencia del investigador.!• Cuotas.!• Puede resultar una muestra
sesgada !• No hay forma de estimar el
error!
2. Probabilística. Todos los elementos de la población tienen una probabilidad conocida y mayor que cero de ser seleccionados.!• Se tiene apoyo de herramientas de
probabilidad.!• Hay forma de estimar el error.!
2.3 TÉCNICAS DEL MUESTREO
A. MÉTODOS PROBABILÍTICOSLos métodos de muestreo probabilísticos nos aseguran la representatividad de la muestra extraída y son, por tanto, los más!recomendables. Dentro de los métodos de muestreo probabilísticos encontramos los siguientes tipos:!
Existen diferentes criterios de clasificación de los diferentes tipos de muestreo, aunque en general pueden dividirse en dos grandes grupos: métodos de muestreo probabilísticos y métodos de muestreo no probabilísticos.!
1. Muestreo aleatorio simpleEl procedimiento empleado es el siguiente: !1. Se asigna un número a cada individuo de la población.!2. A través de algún medio mecánico (bolas dentro de una
bolsa, tablas de números aleatorios, números aleatorios generados con una calculadora u ordenador, etc.) se eligen tantos sujetos como sea necesario para completar el tamaño de muestra requerido.!
2. Muestreo aleatorio sistema ticoEste procedimiento exige, como el anterior, numerar todos los elementos de la población, pero en lugar de extraer n números aleatorios sólo se extrae uno. Se parte de ese número aleatorio i, que es un número elegido al azar, y los elementos que integran la muestra son los que ocupa los lugares i, i+k, i+2k, i+3k,...,i+(n-1)k, es decir se toman los individuos de k en k, siendo k el resultado de dividir el tamaño de la población entre el tamaño de la muestra: k= N/n. El número i que empleamos como punto de partida será un número al azar entre 1 y k.!
El riesgo este tipo de muestreo está en los casos en que se dan periodicidades en la población ya que al elegir a los miembros de la muestra con una periodicidad constante (k) podemos introducir una homogeneidad que no se da en la población. !Por ejemplo, imaginemos que estamos seleccionando una muestra sobre listas de 10 individuos en los que los 5 primeros son varones y los 5 últimos mujeres, si empleamos un muestreo aleatorio sistemático con k=10 siempre seleccionaríamos o sólo hombres o sólo mujeres, no podría haber una representación de los dos sexos.!
3. Muestreo aleatorio estratificadoTrata de obviar las dificultades que presentan los anteriores ya que simplifican los procesos y suelen reducir el error muestral para un tamaño dado de la muestra. Consiste en considerar categorías típicas diferentes entre sí (estratos) que poseen gran homogeneidad respecto a alguna característica (se puede estratificar, por ejemplo, según la profesión, el municipio de residencia, el sexo, el estado civil, etc.). !
Lo que se pretende con este tipo de muestreo es asegurarse de que todos los estratos de interés estarán representados adecuadamente en la muestra. Cada estrato funciona independientemente, pudiendo aplicarse dentro de ellos el muestreo aleatorio simple o el estratificado para elegir los elementos concretos que formarán parte de la muestra. En ocasiones las dificultades que plantean son demasiado grandes, pues exige un conocimiento detallado de la población. (Tamaño geográfico, sexos, edades,...).!
4. Muestreo aleatorio por conglomerados
ESCUELA
Los tres métodos anteriores están pensados para seleccionar directamente los elementos de la población, es decir, que las unidades muestrales son los elementos de la población. En el muestreo por conglomerados la unidad muestral es un grupo de elementos de la población que forman una unidad, a la que llamamos conglomerado. Las unidades hospitalarias, los departamentos universitarios, una caja de determinado producto, etc., son conglomerados naturales. !
A veces, el muestreo probabilístico resulta excesivamente costoso y se acude a métodos no probabilísticos, aun siendo conscientes de que no sirven para realizar generalizaciones (estimaciones inferenciales sobre la población), pues no se tiene certeza de que la muestra extraída sea representativa, ya que no todos los sujetos de la población tienen la misma probabilidad de se elegidos. !
B. MÉTODOS NO PROBABILÍTICOS
Entre los métodos de muestreo no probabilísticos más utilizados en investigación encontramos los siguientes:!
1. Muestreo por coutasEn este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en un número de individuos que reúnen unas determinadas condiciones. Por ejemplo: 20 individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en Guadalajara. Una vez determinada la cuota se eligen los primeros que se encuentren que cumplan esas características. Este método se utiliza mucho en las encuestas de opinión.!
2. Muestreo intencional o de convenienciaEste tipo de muestreo se caracteriza por un esfuerzo deliberado de obtener muestras "representativas" mediante la inclusión en la muestra de grupos supuestamente típicos. El caso más frecuente de este procedimiento el utilizar como muestra los individuos a los que se tiene fácil acceso como un maestro que utiliza a sus alumnos en cierta investigación!
3. Bola de nieveSe localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos a otros, y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones "marginales", delincuentes, sectas, determinados tipos de enfermos, etc.!
4. Muestreo Discrecional
A criterio del investigador los elementos son elegidos sobre lo que él cree que pueden aportar al estudio.!