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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
Profesor:
Mg. Ing. Rafael Bustamante Alvarez
Introducción:
• El procesamiento digital de señales tiene su origen en losaños 60 con el empleo de las primeras computadorasdigitales.
• El desarrollo de la FFT (Fast Fourier Transform) data de1967.
• La guerra fría y la carrera espacial.
• 1980 aparece el primer DSP
Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez
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Procesamiento Digital de Señales
• CONCEPTO.- Es el conjunto de algoritmos lógico matemáticos que se aplican a un conjunto de números (muestras) para obtener ciertos parámetros de una señal digitalizada; ejm, frecuencia, ancho de banda, filtraje digital, espectro de frecuencias, compresión, etc. Es también considerada un área de la ingeniería
que se dedica al análisis y procesamiento de señales.
• Tipos de Procesamiento Digital de señales:
• PDS de TIEMPO REAL
• PDS de TIEMPO DIFERIDO.
Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez
• CAMPOS DE ESTUDIO DEL PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES.
PDS VOZ : Síntesis (Conversión de texto a voz), codificación,
Reconocimiento de voz,
Compresión, Filtraje digital, Encriptación.
PDS AUDIO: Sintetizadores digitales, Filtros digitales, Compresión,
Formatos.
PDS IMÁGENES: Reconocimiento de Imágenes, Detección de
Bordes,Formatos
Digitales, Filtraje Digital, Visión Artificial.
PDS OTROS: Radares, Sonares, Telecomunicaciones, Electrónica de
consumo, BIOMEDICA.
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PDS de Audio
Las freuencias audibles de los seres humanos que está entre los 20 y los 20.000 hercios (Hz), aproximadamente
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Señales Bioléctricas
• Son aquellas señales eléctricas producidas en un organismo vivo en este caso en el ser humano.
• Principalmente:
• ECG provenientes del corazón.
• EMG provenientes de los músculos.
• EEG provenientes del cerebro.
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Onda ECGMg.Ing Rafael Bustamante Alvarez
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Procesamiento de Imágenes
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Procesamiento de Imágenes
• COMPARACIÓN ENTRE EL PROCESADO DIGITAL Y PROCESADO ANALÓGICO.
PROCESADO ANALOGICO:
1.- La reconfiguración en un sistema analógico implica el rediseño de Hardware.
2.- Las tolerancia de los componentes hacen del diseño extremadamente difícil de controlar la precisión.
3.- Es muy difícil hacer operaciones matemáticas sobre señales analógicas.
4.- Mayor costo.
PROCESADO DIGIGITAL
1.- Flexibilidad a la hora de efectuar las operaciones de reconfiguración.
2.- permite mejor control de precisión.
3.- Es muy rutinario.
4.- Bajo costo.
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Redes Neuronales
Procesamiento Digital de Señales
• PDS en TIEMPO REAL.- Es el proceso mediante elcual el sistema obtiene parámetros, o modifica la señal ala salida del sistema casi en forma simultanea a la entradade la señal del sistema. Utiliza poca capacidad dememoria.
• PDS en TIEMPO DIFERIDO.- Es el proceso medianteel cual el sistema obtiene los parámetros de la señalanalizada, luego de un tiempo considerado largo conrespecto a la entrada del sistema.
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Señales Analógicas y Señales Digitales
• SEÑALES DE TIEMPO CONTINUO.- Esta definido para todoslos valores y pueden tomar cualquier valor continuo en el tiempoen un intervalo.
• SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO.- Esta definido paraciertos valores en el tiempo.
• SEÑALES DE VALOR CONTINUO.- Son señales que tomantodos los valores dentro de un intervalo finito como infinito.
• SEÑALES DE VALOR DISCRETO.- Si toma valores de unconjunto finito de valores.
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Señales Analógicas
0 20 40 60 80 100-1
-0.5
0
0.5
1sin(2*pi*f*n), f=40Hz
0 20 40 60 80 100-1
-0.5
0
0.5
1cos(2*pi*f*n), f=40Hz
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Señales Digitales
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.5
0
0.5
1sin(2*pi*(f/fs)*n), f=40Hz fs=1000
0 5 10 15 20 25 30-1
-0.5
0
0.5
1cos(2*pi*(f/fs)*n), f=40Hz fs=1000
Sistema de Procesamiento Digital de Señales• Es un sistema que transforma la señal analógica a digital convirtiendo la señal analógica en datos numéricos conocidos como muestras; a estas muestras se le aplican una serie de algoritmos con fines de filtraje digital, análisis en frecuencia, monitoreo, de las señales.
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Sistemas de Procesamiento Digital de Señales
• Señal continua Señal Cont.
A/D Procesador D/A FiltroFiltro
fc = fs /2
FPL
Res= #bits
Vel= # bps
Tiempo de Pr.
Algoritmos
Res= #bits
Vel= # bps
fc = fs /2
FPL
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Sistemas de Procesamiento Digital de Señales Bioeléctricas
• Aplicaciones: Ejm. en Biomédica
• Monitoreo y registro de las señales del corazón.
Ejemplo monitores cardiacos.
• Monitoreo y registro de las señales del cerebro.
Ejemplo Electroencefalógrafos computarizados.
• Monitoreo y registro de las señales de los músculos
Ejemplo Electromiógrafos y Potenciales Evocados.
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Sistemas de Procesamiento Digital de Señales Bioléctricas
• Etapa de Amplificación y Aislamiento
• Señales a procesar:
• ECG Vin= 0 a 1mv Banda = 0 a 100Hz.
• EEG Vin= -10uv a 100uv Banda= 10Hz a 100Hz
• Vin= 50uv a 1mv Banda= 10- 3000 Hz.
• Amplificadores de instrumentación
• Opto acoplamiento.
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Sistema de Procesamiento Digital
• Filtro PasaBajo (Entrada).- Es un filtro que tiene la finalidad de:
• Limitar en banda la señal a ser digitalizada a una fc= fs/2 fc= frec. Corte
fs= frec. Muestreo.
• Filtrar el ruido de la señal.
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Sistema de Procesamiento Digital de Señales Bioeléctricas•Conversión A/D.- Esta etapa se encarga de convertir una señal analógica en digital.
Características:• Velocidad de muestreo (muestras/seg)
• Resolución: Nº de bits por muestra
• Proceso muestreo, cuantificacion, codificación.
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Conversión A/D
Comprende tres procesos:
* Muestreo* Cuantificación• Codificación
MUESTREO.- Toma de muestras en instantes de tiempo.Conversión de una señal de tiempo discreto a tiempo continuo.
TEOREMA DE MUESTREO
Si la frecuencia más alta contenida en una señal
analógica Xa(t) es Fmax=B y la señal se muestrea a una
velocidad fs≥≥≥≥ 2fmax=2B entonces Xa(t) se puede
recuperar totalmente a partir de sus muestras.
fs ≥≥≥≥ 2fmax
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Sistema de Procesamiento Digital de Señales Bioelectricas• Teorema de muestreo.-
fs>= 2fm (Teoría)
fs>= 2.5fm (Práctica)
fs= 250Hz ECG,EEG 8 bits (muestra)
7500Hz EMG ó 16 bits
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Teorrema de muestreo
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TEOREMA DE MUESTREO
-fs f
fs/2 fs f
• ESPECTRO DE UNA SEÑAL PERIODICA
• Aliasing
-fs/2 fs-fs/2
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CUANTIFICACIÓN
• Es la conversión de una señal de tiempo discreto con valores continuos, a una señal de tiempo discreto con valores discretos. El valor de cada muestra de la señal se representa mediante un valor seleccionado ce un conjunto finito de valores posibles.
L= Niveles de Cuantificación.∆= Escalón de Cuantificación.Xmax-Xmin= Rango Dinámico∆= Rango Dinámico/(L-1)Cuantificador por Redondeo.- Asigna a cada muestra el nivel de cuantificación mas cercano.Cuantificador por Truncamiento.- Asigna a cada muestra el nivel inmediatamente por debajo de la muestra.
Relación de Señal a Ruido de Cuantificación.-SNRQ(dB)=1.76+6.02 bb= resolución del Conversor.
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Cuantificación
3∆4∆
5∆
∆
2∆
0 1 2 3 4 5 6 7Nº de Muestras
Niveles
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CODIFICACIÓN
• Es el proceso mediante el cual cada valor discreto se representa
mediante una secuencia binaria de bits.
0100 0101
0110
0010
0011
0 1 2 3 4 5 6 7
Código Binario
Nº de Muestras
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Sistema de Procesamiento Digital de Señales
• Procesador Digital de Señales: Se ejecutan algoritmos de filtraje digital, analisis en frecuencia (FFT), sobre las muestras provenientes de la etapa de conversión A/D.
• Procesos en tiempo real. (Basados en DSPs).
• Procesos en tiempo diferido.
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Sistema de Procesamiento Digital de Señales
• Procesadores
- Computadoras
- DSP (Texas Instruments, Freescale, Analog Device)
- FPGA (Altera, Xilinx)
- Microcontroladores de gama alta
(TI, DSPIC, Freescale, Atmega).
- ARM (32, 64 bit)
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Aplicaciones
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Sistema de Procesamiento de Señales
A/D D/A
Algoritmo de PDS
1001010100 010111010
FLP FLP
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Aplicaciones
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Multiplier(int, float)
ALU(int, float)
R0-R7 (40-bits)
AddressGeneratorARAU0
AddressGeneratorARAU1
ProgramCache
RAMBlock 0
RAMBlock 1
ROM(boot)
Serial Port 0
Serial Port 1
Timer 0
Timer 1
Internal Buses
CPU
DMA
Expansion BusPrimary
Bus
Peripheral BusAR0-AR712 Control Registers
6
6
1
1
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• Producto de dos vectores:
Repeticion de un bloque de inst.
Instrucciones en paralelo
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Sistema de Procesamiento de Señales Digitales Bioléctricas
• Etapa de conversión Digital Análogo.-Convierte las muestras procesadas en senalescontinuas en el tiempo.
• Componentes:
- Conversor D/A,
- Muestreo y retención (circuito retensor de orden cero que
mantiene fijo el voltaje correspondiente a una muestra hasta que
venga otra y evita el glitch (sobrepico).
• D/A Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez
GLITCH
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Características de un D/A
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Resolución: Es el mínimo cambio incremental de la salida analógica. Su valor es FS/2N, donde N es el número de bits del convertidor. Así, por ejemplo, si se trata de un convertidor unipolar de 8 bits y el fondo de escala es 5V, la resolución sería 5/28=19.5 mV. Es frecuente referirse a la resolución con el número de bits.
Tiempo de conversión o establecimiento (settling time): Es el tiempo que transcurre desde que a la entrada del DAC se presenta una combinación binaria hasta que la señal analógica de salida adquiere el valor que le corresponde,
Conversión unipolar/bipolar: Esta característica indica la posibilidad deque los CDA acepten códigos de entrada unipolares y/o bipolares
Salida analógica: Puede ser en corriente o en tensión.Margen dinámico de la señal de salida: Es el rango de variación de la corriente o la tensión de salida.
Sistema de Procesamiento de Señales Digitales Bioléctricas
• Filtro Pasabajo de Salida (Reconstructor).- Es encargado de suavizar la señal proveniente de la etapa de conversión Digital Análoga. Mantiene las mismas características del filtro Pasabajo de entrada.
• fc=fs/2
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Secuencias de Tiempo Discreto
• 1) Impulso Unitario.-
• 2)Escalón Unitario.-
• 3)Rampa Unitaria.-
• 4)Señal Exponencial.-
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PROPIEDADES DE LOS SITEMAS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
1.-Sistema con Memoria.- Cuando su salida depende de entradas anteriores.
2.-Sistema sin Memoria.- Cuando su salida depende solo de la entrada presente para cada valor de la variable independiente.
X[n] Y[n]=x[n-1]+x[n-2]
x[n]Y[n]=2x[n]
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PROPIEDADES DE LOS SITEMAS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
3.-Causalidad.- Un sistema es causal si en cualquier instante de tiempo depende solo de los valores presente y pasados. Ejm
y(n)=x(n-1) es un sistema causal
y(n)=x(n)-x(n+1) sistema no causal
4.-Estabilidad.- Intuitivamente, un sistema estable es aquel en el que las entradas pequeñas conducen a respuestas que no
divergen ejm.
estable es sistema El Bmax y[n]
Bmax x[n]Si
k]x[n12M
1y[n]
M
Mk
∴=⇒
=
−+
= ∑+
−=
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PROPIEDADES DE LOS SITEMAS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
5.- Invarianza en el Tiempo.- Un sistema es invariante en el tiempo, si un desplazamiento de la señal de entrada causa un desplazamiento en el tiempo en la señal de salida.
TIEMPO. EL EN INVARIANTE es sistema el Entonces
(3) -- k)-y(n k)y(n, :quedemostrar debemos k)],-T[x(n k)y(n,
:como salida laescribir podemos general,En
-(2)--- )kn(y )kn(x
-(1)----- )n(y )n(x
==
−→−
→Τ
Τ
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Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez
PROPIEDADES DE LOS SITEMAS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
6.- Linealidad.- Es aquel que posee la importante propiedad de superposición que dice: Si una entrada consiste en la suma ponderada de varias señales, entonces la salida es solo la superposición, esto es la suma ponderada de las respuestas del
sistema a cada una de las señales.
)]n(x[Ta)]n(x[Ta)]n(xa)n(xa[T 22112211 +=+
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Representación de Sistemas Discretos Mediante Diagramas de Bloques
• A) Sumador:
• B)Multiplicador por una constante
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Representación de Sistemas Discretos Mediante Diagramas de Bloques
C)Multiplicador de señal
D)Retardo de un elemento
Z-1X[n] Y[n]=X[n-1]
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Representación de Sistemas Discretos Mediante Diagramas de Bloques
E) Adelanto de un elemento:
Ejemplo:Y[n]=1/4Y[n-1]+1/2X[n]+1/2X[n-1]
ZX[n] Y[n]=X[n+1]
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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
Profesor:
Mg. Ing. Rafael Bustamante Alvarez
PROPIEDADES DE LOS SITEMAS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
1.-Sistema con Memoria.- Cuando su salida depende de entradas anteriores.
2.-Sistema sin Memoria.- Cuando su salida depende solo de la entrada presente para cada valor de la variable independiente.
X[n] Y[n]=x[n-1]+x[n-2]
x[n]Y[n]=2x[n]
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PROPIEDADES DE LOS SITEMAS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
3.-Causalidad.- Un sistema es causal si en cualquier instante de tiempo depende solo de los valores presente y pasados. Ejm
y(n)=x(n-1) es un sistema causal
y(n)=x(n)-x(n+1) sistema no causal
4.-Estabilidad.- Intuitivamente, un sistema estable es aquel en el que las entradas pequeñas conducen a respuestas que no
divergen ejm.
estable es sistema El Bmax y[n]
Bmax x[n]Si
k]x[n12M
1y[n]
M
Mk
∴=⇒
=
−+
= ∑+
−=
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PROPIEDADES DE LOS SITEMAS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
5.- Invarianza en el Tiempo.- Un sistema es invariante en el tiempo, si un desplazamiento de la señal de entrada causa un desplazamiento en el tiempo en la señal de salida.
TIEMPO. EL EN INVARIANTE es sistema el Entonces
(3) -- k)-y(n k)y(n, :quedemostrar debemos k)],-T[x(n k)y(n,
:como salida laescribir podemos general,En
-(2)--- )kn(y )kn(x
-(1)----- )n(y )n(x
==
−→−
→Τ
Τ
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PROPIEDADES DE LOS SITEMAS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
6.- Linealidad.- Es aquel que posee la importante propiedad de superposición que dice: Si una entrada consiste en la suma ponderada de varias señales, entonces la salida es solo la superposición, esto es la suma ponderada de las respuestas del
sistema a cada una de las señales.
)]n(x[Ta)]n(x[Ta)]n(xa)n(xa[T 22112211 +=+
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Representación de Sistemas Discretos Mediante Diagramas de Bloques
• A) Sumador:
• B)Multiplicador por una constante
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Representación de Sistemas Discretos Mediante Diagramas de Bloques
C)Multiplicador de señal
D)Retardo de un elemento
Z-1X[n] Y[n]=X[n-1]
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Representación de Sistemas Discretos Mediante Diagramas de Bloques
E) Adelanto de un elemento:
Ejemplo:Y[n]=1/4Y[n-1]+1/2X[n]+1/2X[n-1]
ZX[n] Y[n]=X[n+1]
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Secuencias fundamentales
Impulso
Escalon Unitario
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Secuencias fundamentales
Propiedades:
1) δ(n)=x(0) δ(n) 3)
2) δ(n)=u(n)-u(n-1) 4)
Exponenciala>1 Potencial crecientea=1 Secuencia constante1>a>0 Potencial decreciente0>a>-1 Pot. dec. con signo alternoa=-1 secuencia alterna de 1 y -1a<-1 Potenc. decrec. sig. alternos
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Secuencias fundamentalesResolver:
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Secuencias fundamentalesResolver:
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PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
Profesor:
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SISTEMAS DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
Son sistemas LTI.
TEOREMA.- Cada sistema LTI puede ser completamente caracterizado por su respuesta al impulso, esto es la respuesta (salida) de un sistema lineal, frente a una señal de impulso.
Si:
[ ] ( ) ( )∑∞
−∞=
−δ=k
knkxnx
( )[ ] ( ) ( ) ( )knhnh -- nhkn kk −=>=−δΤ
[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−δΤ=
−δ=Τ=
kk
knkxknkxTnxny
( ) ( ) ( )∑∞
−∞=
=k
k nhkxny
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CONVOLUCIÓN
Corolario: Si el sistema es LTI de modo que h[n] es la respuesta al sistema aδ[n] entonces h[n-k] es la respuesta a δ[n-k], luego la secuencia de salidaresulta:
Propiedades:
1)x[n]* δ[n]=x[n]
2)x[n]* δ[n-k]=x[n-k]
3)x[n]*y[n]=y[n]*x[n]
4)x[n]*(y[n]*z[n])=(x[n]*y[n])*z[n]
5)x[n]*(y[n]+z[n])=x[n]*y[n]+x[ n]*z[n]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )nh*nxknhkx nyk
=−= ∑∞
−∞=
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La Transformada Z
Sea: [f(k)]= f(0), f(1), f(2), f(3),........
Cada muestra está asociada a:
Z-k f(k)
Ejm.f(-1) � Zf(-1)f(1) --> Z-1f(1)
-3T -2T -T 0T 1T 2T 3T ..... K
f(k)
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Definición de la Transformada Z
Se puede agrupar [f(k)] como una sumatoria, donde:
[f(k)]=
[f(k)] � F(z)
F(z) es la transformada Z de f(k) y queda definida como:
F(z)= ∑∞
−∞=
−
k
kZ)k(f
∑∞
−∞=
−
k
kZ)k(f
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Transformada Z de Algunas Funciones Conocidas
Secuencia Discreta Transformada ROC1 Todo Z[ ]nδ
[ ] 1Z Z-1
1 n
1-<µ
[ ] 0)(m
0)m (si 0 excepto Z Z m-n -m
<∞
>∀δ
[ ] Z Z-1
1 n
1-n α>
αµα
( ) α>α
αµα Z
)Z-(1
Z nn
21-
-1n
α<α
−−µα− Z Z-1
1 )1n(
1-n
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Secuencia Transformada
[ ] X(Z) nx
[ ] X1(Z) n1x
[ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ]
[ ]dZ
dX(Z)Z- nnx
)X1(Z).X2(Z 2*1
)( Z
)(2aX1(Z) 2 nax1
X2(Z) 2
no-
nxnx
ZXnonx
ZbXnbx
nx
−
++
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LA TRANSFORMADA Z INVERSA
Se trata de hallar la secuencia x(k) a partir de X(z).
Métodos:
1)Por división
Tras dividir:
21
-1
Z2Z31
10Z)Z(X
−− +−=
.............Z150Z7030ZZ10)Z(X 43-21 ++++= −−−
Por inspección se obtiene:X(0)= 0;X(1)=10;X(2)=30;X(3)=70;X(4)=150;.
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2) Por Fracciones parciales:
X(Z)=
X(Z)=
X[k]=
X[k]=
2Z
10
1Z
10
Z
X(Z)
)2Z)(1Z(
Z10
−+
−−
===>−−
−+
−−
−− 11 Z21
110
Z1
110
[ ][ ] [ ][ ]kk k µµ 21010 +−
[ ] .......1,2,3,4,..k k)210(-1 =+ µk
X(0)=0;X(1)=10;X(2)=30;X(3)=70;X(4)=150;
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3)Método de Matlab
[ ] [ ]
[ ] [ ]1,-3,2A ; 0,10B
datos 20 Ejm
.....,01,0,0,0,0,kX
==
=
[ ] X)A,filter(B,kY =
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Filtro DigitalEs un conjunto de operaciones lógico matemáticos que permiten el paso que permiten el pasode una señal a través de un sistema dentro de un rango de frecuencias.
Si se tiene:
[ ] [ ] [ ] [ ]nkxa.....kxamkbmy....kyb n00 −++=−++
.convenciónpor 1b donde o = Zada transformla defunción En
( ) ( )ZxZa......)Z(xa)Z(yZb......zyb nn0
mm0
−− ++=++
( )
=
+ ∑∑ −−
N
n
nn
M
m
mm ZaZxZb1)Z(y
( )
∑
∑
−
−
+
=M
m
mm
N
n
nn
Zb1
Za
)Z(x
Zy
∑
∑
−
−
+
=M
m
mm
N
n
nn
Zb1
Za
)Z(H
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Considerando los coeficientes deldenominador
Clasificación :
1) Filtros IIR (bm≠0)
2) Filtros FIR (bm=0)
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FILTROS IIR
La salida depende tanto de las entradas presentes y previas así como las salidas previas.
bm≠0
Z-1
Z-1
Y(k)X(K)
∑
∑
−
−
+
=M
m
mm
N
n
nn
Zb1
Za
)Z(H
Z=esT � Relación de Z con la ST= periodo de muestreo.
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1
1
1
12−
−
+−
=z
z
Ts
Transformador bilineal
Respuesta en frecuencia de un filtro
Haciendo el respectivo reemplazo en las funciones de transferencia de los filtros Analógicos: Butterworth, Chebyshev, Elliptic, se obtienen sus correspondientes funciones de transferencia digital.
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WWc Ws
|H(w)|
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FILTRO FIR La salida es la suma de las muestras de la señal de entrada previas y presentes
bm=0.
( ) ∑ −=N
n
nn ZaZH
Z-1
x(k) y(k)
[ ] ( ) ( )∑ −=N
k
knxkhny
( ) ( )[ ]( ) TWk
TW-kTsen Wkh
c
cc
Γ−π
Γ=
Ejm: Si 0=Γ
8
W W s
c =sf
1 =Τ
( )
π
π
=k
4
k4
sen
4
1 kh
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Para diferentes tipos de filtros.A)PASA ALTO
B)PASA BANDA
C)PASA BANDA
METODO DE PARKS –Mc CLELLAN
m=[1 1 1 0 0 0];
f= [0 0.1 0.3 0.7 0.8 1];
[ ] ( ) [ ]LPkHP kh1kh −=
[ ] ( )[ ] [ ]LPoBP khTkW2coskh =
co1 W-WW =
[ ] [ ]BPBS 0h-10h =
[ ] [ ]BPBS k-hkh =
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Optimizando la respuesta del filtro firmétodo de ventanas
( ) ( ) ( )kw.khKh =
( )
>
≤=
NK,0
NK 1kW R
( ) ( )
>
≤π
α−+α=
NK ,0
NK ),N
kcos(1
kW H
Hanning de Ventana 56.0
Hamming de Ventana 54.0
=α
=α
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Procesamiento Digital de Señales
Autor:
Ing.Rafael Bustamante Alvarez
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REPRESENTACIÓN EN EL DOMINIO DE LA
FRECUENCIA• Objetivos:
• Introducir los conceptos del dominio en la frecuencia
(Espectros).
• Obtener una representación grafica.
• DTFT, DFS, DTF, FFT,
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DTFT• Es la Transformada de Fourier de una Secuencia Discreta.
• x[n] <−−−> X(w)
• Una condición suficiente para la convergencia de la transformada
• Discreta de Fourier de Tiempo Discreto es que x(n) sea absolutamente
• Sumable:
•
•
• Propiedades:
• 1.-Linealidad. ax1(n)+bx2(n) → aX1(w)+bX2(w)
• 2.-Desplazamiento. x(n-k) → e-jwkX(w)
• 3.-Convolución. x1(n)*x2(n)→X1(w).X2(w)
∞⟨≤≤= ∑∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
− )n(xe)n(xe)n(x)w(Xnn
jwn
n
jwn
Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez
43
DFS
• La representación en el dominio de la frecuencia de una secuencia periódica es denominada Series Discretas de Fourier.
•
•
• Es su transformada
N. periodocon peridodica es )Nn(x)n(x~~
+=
knN
jN
k
~~
enxkX
−−
=∑=
π21
0
).()(
knN
2j1N
0k
~~e).k(X
N
1)n(x
π−
=∑=
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DFT
• Una secuencia x(n) con 0≤ n≤ N-1 muestras no cero, se puede repetir para formar
una versión periódica .
•
≤≤
==caso otro 0
1-Nn0 ,1)n(R donde )n(R).k(X)k(X NN
~
knN
jN
n
enkX
−−
=∑=
π21
0
).(x)(
knN
jN
k
ekXN
nx
−
=∑=
π21
0
).(1
)(
� (DFT)
�(IDFT)
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44
Propiedades de la DFT
• Periodicidad
X(k+N)=X(k) para todo k
• Linealidad
a1x (n)+ a2 x(n) DFT a1X (k)+a2 X(k)
• Simetría
(k)XoI j) (kX
eI j(k) X
oR(k) X
eRX(k)
nnnnnx xxxxo
I
e
I
o
R
e
R
+++=
+++=
b
bb
)(j )(j )( )()( e=par
o=impar
(simetria) par 1-Nn1 nxnNx
)(asimetria impar 1-Nn1 nxnNx
≤≤=−
≤≤−=−
)()(
)()(Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez
EjemploMediante la DFT, determine la convolución de las dos secuencias siguientes: x1={2,1,2,1} y
Solución: x2={1,2,3,4}
jj
nxk
nxk
kXnxkXnx
nxnxnx
eee
e
eee
e
kjkj
kj
n
nkj
kjkj
kj
n
nkj
NDFTNDFT
22)3(X 2)2(X 22)1(X 10)0(X
3 21
0,1,2,3k )()(X
0)3(X 2)2(X 0)1(X 6)0(X
2 2
0,1,2,3k )()(X
4N donde )()(y )()(
)()()(
2222
23
22
3
0
42
22
1111
23
22
3
0
42
11
2,
21,
1
213
4−−=−=+−==
+++=
==
====
+++=
==
= →← →←
⊗=
−−−
=
−
−−−
=
−
∑
∑
πππ
π
πππ
π
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45
Ejemplo
16(3)x 14(2)x 16(1)x 14(0)x
)
0,1,2,3,n kXnx
ekXN
nx es X de IDFT La
X X X X
kXkXkXnxnx
3333
nj
k
nkj
3
knN
jN
k
3
NDFT
e
e
====
−=
==
=→
=−===
= →←⊗
∑
∑
=
−
=
π
π
π
460(4
1
)(4
1)(
).(1
)(
0)3(4)2(0)1(60)0(
)().()()()(
3
0
42
3
21
0
3333
213,
21
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Transformada Rápida de Fourier (FFT)
Enfoque: “Divide y vencerás”Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez
46
Transformada Rápida de Fourier (FFT)-Base 2
x(0)
x(2)
x(1)
x(3)
X(0)
X(1)
X(2)
X(0)-1 -1
-1
-1
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Transformada Rápida de Fourier (FFT) N=8x(0)
x(4)
x(2)
x(6)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)-1 -1
-1
-1
x(1)
x(5)
x(3)
x(7)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)-1 -1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
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47
• Generalización
• Ejercicio: Determinar la FFT de x={2,1,2,1}
Transformada Rápida de Fourier
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Filtros Adaptativos
• Los filtros adaptativos son sistemas variantes en el tiempo de forma que se adaptan a cambios a su entorno , optimizando su funcionamiento de acuerdo a una serie de algoritmos conocidos como algoritmos adaptativos.
+
Sistema adaptativo
Algoritmo adaptativo
+-
e(n)
y(n)x(n)
d(n)
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48
Estructura Directa
e(n)
d(n)
Sistema adaptativo
Sistema Desconocido
+-
y(n)x(n)
Aplicación:
Identificar sistemas
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Estructura Inversa
Sistema adaptativo
Sistema Desconocido
+-
e(n)
y(n)x(n)
d(n)
Aplicación:
Ecualización de canales de comunicación
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49
Estructura Predictor
Sistema adaptativo
Retardo+
-
e(n)
y(n)x(n)
d(n)
Aplicación:
Sistemas de control –Control Adaptativo y neuronal
x(n-p)
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Cancelador activo de ruidoAplicación:
Eliminar ruido solapado a la señal espectralmente
e(n)
Sistema adaptativo
+-
y(n)
d(n)= s(n)+ro(n)
x(n)=r1(n)
21
22)))(()()(())()(()( nrfnrnsnyndn oe −+=−=
Mg.Ing Rafael Bustamante Alvarez
50
Algoritmo Least means square (LMS)222
)))(1()()(())()(()( nrfnrnsnyndn oe −+=−=
vectorial)(notación .)(
.)](),.....1(),0([
)()()(
))()((
)(
1
0
2
2
1
n
T
n
n
T
nnnn
L
k
n
n
nn
xwny
xTLwwww
knxkwny
nyndJ
neJ
a
Jaa
=
−=
−=
−=
=
∂∂
−=
∑−
=
+ µ
)()(2)(
))}({(
)(
)()(
))}()()({(
)(
)(
)(
)()(2
)(
))}({(
)(
}))()()({((}.)({)}({
2
1
0
2
1
21
0
2
knxnekw
neE
kw
J
knxkw
knxkwndE
kw
ne
kw
nene
kw
neE
kw
J
w
Jww
knxkwndExwndEneEJ
nn
n
L
k
n
n
nnn
n
nn
L
k
nn
T
n
−=∂
∂=
∂∂
−−=∂
−−∂=
∂∂
∂∂
=∂
∂=
∂∂
∂∂
−=
−−=−==
∑
∑
−
=
+
−
=
µ
x(n)=r1(n)
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Algoritmo Least means square (LMS)
xneww
nyndne
xw
xneww
knxnewkw
Se
nn
n
T
n
nnn
nnn
)(2
filtros los de escoeficient los deación 4)Actualiz
)()()(
sistema delerror delion Determinac)3
.y(n)
filtro del salida la deación 2)Determin
adaptativo filtro del ecoeficient los deción Inicializa 1)
:entofuncionami de etapas siguientes las tendríaLMS elen basado
adaptativo FIR Filtroun de entofuncionami de etapas Las
)(2
ectorialnotación v utilizando Ahora
1-Lk0 )()(2)(
:que concluye
1
1
1
µ
µ
µ
+=
−=
=
+=
≤≤−+=
+
+
+
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