Procesamiento Digital de Señales

Bioinformática

Fundamentos Matemáticos1.- Forma Compleja o Exponencial de la Serie de FourierII.- Transformada de FourierIII. -Transformada de Laplace

1

Función periódicaUna Función Periódica f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t.

f(t)=f(t+T) (1)

A la constante mínima para la cual se cumple (1) se la denomina periodo de la función

Aplicando sucesivamente la propiedad se puede obtener:

f(t)=f (t + nT), donde n=0,±1, ± 2, ±3,...

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Forma Trigonométrica de la serie de Fourier

Serie Trigonométrica de Fourier:f(t) = a0 + a1cos(ω0t)+a2cos(2ω0t)+...+

+ b1sen(ω0t)+b2sen(2ω0t)+...

Donde ω0=2π/T.

Es decir,

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Coeficientes de Fourier

Si f (t) está definida en el intervalo –T/2<t<T/2 y es periódica de período T entonces los coeficientes de Fourier se calculan mediante las expresiones:

4 DSP- Bioinformática

Una expresión más compacta para la Serie Trigonométrica de Fourier

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Cálculo del ángulo de fase

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¿ Qué información nos brinda esta representación de la señal?

DSP- Bioinformática7

Su composición en frecuenciaLa señal aparece como una suma de

oscilaciones cosenoidales que se denominan componentes “armónicos”

El término n-ésimo se denomina “armónico n-ésimo”:

¿Qué información brinda a0 ?

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a0 representa el valor promedio de la señal en un intervalo de longitud igual al período.

¿Cómo se representa gráficamente la información que brinda cada armónico?

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Mediante dos gráficos:

Espectro Discreto unilateral de línea

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Espectro Discreto de Magnitud (Amplitud) y Fase

Forma Exponencial o Compleja de la serie de Fourier

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Forma Exponencial de la Serie de Fourier

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Forma Exponencial de la serie de Fourier

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Forma Exponencial de la serie de Fourier

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Forma Exponencial de la serie de Fourier

Series de Fourier. 15 DSP- Bioinformática

Los coeficientes cn son números complejos, y se pueden escribir en forma polar:

Donde ,

Para n=0, c0 es un número real:

Series de Fourier. 16

Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función:

Forma Exponencial de la serie de Fourier

Forma Exponencial de la serie de Fourier

Series de Fourier. 17

Solución.

Series de Fourier18

Forma Exponencial de la serie de Fourier

n distinto de 0

Espectro de amplitud

Series de Fourier. 19

Ejemplo. Para la función ya analizada:

Se encontró que

Por lo tanto,

n distinto de 0

Espectro de amplitud o magnitud

Series de Fourier20

Forma Exponencial de la serie de Fourier

Series de Fourier. 21

Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:

1f(t)

t. . . -T -T /2

0

T/2 T

. . .

p

-p/2 p/2

f t ={0

−T2

<t<−p

2

1− p

2<t<

p2

0p2

<t<T2

}

Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T

Series de Fourier. 2222

Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier en este caso resultan reales:

Gráfica de Cn para cada frecuencia nω0

Series de Fourier23

-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2

0

0.2

0.4

0.6

w=nw0

cn

p=1, T=2

De la Serie de Fourier a la transformada de Fourier

Series de Fourier24

¿ Podemos obtener información de la composición en frecuencia de una señal no periódica?

De la Serie de Fourier a la transformada de Fourier

Series de Fourier. 25

Ejemplo. pulso rectangular

La expresión en el dominio t de la función es

De la Serie de Fourier a la transformada de Fourier

Series de Fourier. 26

Si el periodo del tren de pulsos aumenta:

-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5

p=1, T=2

t

f(t)

t-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5

p=1, T=5

f(t)

-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5

p=1, T=10

t

f(t)

-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5

p=1, T=20

t

f(t)

De la Serie de Fourier a la transformada de Fourier

Series de Fourier. 27

En el límite cuando T→∞, la función tiende al pulso:

¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?

-20 -10 0 10 200

0.5

1

1.5

p=1, T->∞

t

f(t)

Series de Fourier. 28

De la serie a la Transformada de Fourier

29

Transformada de Fourier30

Transformada de Fourier31

f t =1

2 π∫−∞

∞

F ω e jω td ω

F ω =∫−∞

∞

f t e− jω td t

Integral de Fourier y Transformada de Fourier

Series de Fourier. 32

Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente

Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es

-p/2 0 p/2

1f(t)

t

f t ={0 t<

−p2

1− p

2<t<

p2

0p2

<t }

Series de Fourier. 33

Integrando

Usando la fórmula de Euler

.