AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulos

Prof. Marcio Nascimentomarcio@matematicauva.org

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica

Disciplina: Matematica Basica II - 2014.2

3 de setembro de 2014

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Sumario

1 Angulo

2 Unidade de Medida - Grau

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Sumario

1 Angulo

2 Unidade de Medida - Grau

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Angulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto).

e a figura formada por duas semi-retas de mesma origem.

Notacao: AOB ou BOA−→OA e

−→OB: lados do angulo.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Angulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto).

e a figura formada por duas semi-retas de mesma origem.

Notacao: AOB ou BOA−→OA e

−→OB: lados do angulo.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Angulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto).

e a figura formada por duas semi-retas de mesma origem.

Notacao: AOB ou BOA

−→OA e

−→OB: lados do angulo.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Angulo: palavra que origina do Latim angulum (esquina, canto).

e a figura formada por duas semi-retas de mesma origem.

Notacao: AOB ou BOA−→OA e

−→OB: lados do angulo.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Geralmente sao usadas letras gregas ou letras “de forma”pararepresentar um angulo

α = AOB = O = O

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Geralmente sao usadas letras gregas ou letras “de forma”pararepresentar um angulo

α = AOB = O = O

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Alguns angulos recebem nome especial

Angulo raso: Quando as semirretas tem a mesma direcaomas sentido oposto.

Angulo nulo: Quando as semirretas tem a mesma direcao esentido.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Alguns angulos recebem nome especial

Angulo raso: Quando as semirretas tem a mesma direcaomas sentido oposto.

Angulo nulo: Quando as semirretas tem a mesma direcao esentido.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Alguns angulos recebem nome especial

Angulo raso: Quando as semirretas tem a mesma direcaomas sentido oposto.

Angulo nulo: Quando as semirretas tem a mesma direcao esentido.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Angulo reto: Quando as semirretas sao perpendiculares.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Angulo agudo: Quando o angulo formado e menor que umangulo reto.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Angulo obtuso: Quando o angulo formado e menor que umangulo raso e maior que um angulo reto.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Angulos Complementares: angulos que quando justapostosformam um angulo reto.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Angulo

Angulos Suplementares: angulos que quando justapostosformam um angulo raso.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Sumario

1 Angulo

2 Unidade de Medida - Grau

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Imagine varias semirretas partindo deum mesmo ponto, como mostra afigura ao lado.

Considere que o angulo determinadopor quaisquer duas semirretasconsecutivas e sempre o mesmo.

Se tivermos 360 semirretas, teremos360 angulos iguais. Cada um delessera chamado grau.

Notacao: 10.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Imagine varias semirretas partindo deum mesmo ponto, como mostra afigura ao lado.

Considere que o angulo determinadopor quaisquer duas semirretasconsecutivas e sempre o mesmo.

Se tivermos 360 semirretas, teremos360 angulos iguais. Cada um delessera chamado grau.

Notacao: 10.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Imagine varias semirretas partindo deum mesmo ponto, como mostra afigura ao lado.

Considere que o angulo determinadopor quaisquer duas semirretasconsecutivas e sempre o mesmo.

Se tivermos 360 semirretas, teremos360 angulos iguais. Cada um delessera chamado grau.

Notacao: 10.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Imagine varias semirretas partindo deum mesmo ponto, como mostra afigura ao lado.

Considere que o angulo determinadopor quaisquer duas semirretasconsecutivas e sempre o mesmo.

Se tivermos 360 semirretas, teremos360 angulos iguais. Cada um delessera chamado grau.

Notacao: 10.

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Imagine varias semirretas partindo deum mesmo ponto, como mostra afigura ao lado.

Considere que o angulo determinadopor quaisquer duas semirretasconsecutivas e sempre o mesmo.

Se tivermos 360 semirretas, teremos360 angulos iguais. Cada um delessera chamado grau.

Notacao: 10.

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: De um mesmo ponto,partem 120 semirretas determinandoangulos iguais entre si. Qual amedida, em graus, de cada angulo?

Resposta: 30

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Exemplo: De um mesmo ponto,partem 120 semirretas determinandoangulos iguais entre si. Qual amedida, em graus, de cada angulo?

Resposta: 30

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Exemplo: De um mesmo ponto,partem 120 semirretas determinandoangulos iguais entre si. Qual amedida, em graus, de cada angulo?

Resposta: 30

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

A fracao de 1/60 de um grau e

chamada minuto. Notacao:10

60= 1′

E a fracao de 1/60 de um minuto, e

chamada segundo. Notacao1′

60= 1′′

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Unidade de Medida - Grau

A fracao de 1/60 de um grau e

chamada minuto. Notacao:10

60= 1′

E a fracao de 1/60 de um minuto, e

chamada segundo. Notacao1′

60= 1′′

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

A fracao de 1/60 de um grau e

chamada minuto. Notacao:10

60= 1′

E a fracao de 1/60 de um minuto, e

chamada segundo. Notacao1′

60= 1′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Considere um cırculo de raio R. De seu centro O,partem 175 semirretas determinando angulos iguais entre si.

Qual a medida em graus de cada angulo?

Aproxidamente 2, 060

Qual a medida em minutos de cada angulo?

Aproximadamente 123, 43′

Qual a medida em segundos de cada angulo?

Aproximadamente 7405, 71′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Considere um cırculo de raio R. De seu centro O,partem 175 semirretas determinando angulos iguais entre si.

Qual a medida em graus de cada angulo?

Aproxidamente 2, 060

Qual a medida em minutos de cada angulo?

Aproximadamente 123, 43′

Qual a medida em segundos de cada angulo?

Aproximadamente 7405, 71′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Considere um cırculo de raio R. De seu centro O,partem 175 semirretas determinando angulos iguais entre si.

Qual a medida em graus de cada angulo?

Aproxidamente 2, 060

Qual a medida em minutos de cada angulo?

Aproximadamente 123, 43′

Qual a medida em segundos de cada angulo?

Aproximadamente 7405, 71′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Considere um cırculo de raio R. De seu centro O,partem 175 semirretas determinando angulos iguais entre si.

Qual a medida em graus de cada angulo?

Aproxidamente 2, 060

Qual a medida em minutos de cada angulo?

Aproximadamente 123, 43′

Qual a medida em segundos de cada angulo?

Aproximadamente 7405, 71′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Considere um cırculo de raio R. De seu centro O,partem 175 semirretas determinando angulos iguais entre si.

Qual a medida em graus de cada angulo?

Aproxidamente 2, 060

Qual a medida em minutos de cada angulo?

Aproximadamente 123, 43′

Qual a medida em segundos de cada angulo?

Aproximadamente 7405, 71′′

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Unidade de Medida - Grau

Observacao: Em vez da notacao decimal, algumas vezes einteressante usar graus, minutos e segundos na mesmarepresentacao

2, 50 = 20 + 0, 50 = 20 + (0, 5).60′ = 2030′

3, 120 = 30 + 0, 120 = 30 + (0, 12).60′ = 30 + 7, 2′ =30 + 7′ + 0, 2′ = 307′ + 0, 2(60′′) = 307′12′′

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Unidade de Medida - Grau

Observacao: Em vez da notacao decimal, algumas vezes einteressante usar graus, minutos e segundos na mesmarepresentacao

2, 50 = 20 + 0, 50 = 20 + (0, 5).60′ = 2030′

3, 120 = 30 + 0, 120 = 30 + (0, 12).60′ = 30 + 7, 2′ =30 + 7′ + 0, 2′ = 307′ + 0, 2(60′′) = 307′12′′

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Unidade de Medida - Grau

Observacao: Em vez da notacao decimal, algumas vezes einteressante usar graus, minutos e segundos na mesmarepresentacao

2, 50 = 20 + 0, 50 = 20 + (0, 5).60′ = 2030′

3, 120 = 30 + 0, 120 = 30 + (0, 12).60′ = 30 + 7, 2′ =30 + 7′ + 0, 2′ = 307′ + 0, 2(60′′) = 307′12′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650,

Converta A e B para a notacao grau/minuto/segundo

A ∼= 124023′20′′ e B = 75045′54′′

Expresse A + B, A− B na notacao grau/minuto/segundo

A + B = 200, 1540 ∼= 20009′14′′ eA− B = 48, 6240 ∼= 48037′26′′

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650,

Converta A e B para a notacao grau/minuto/segundo

A ∼= 124023′20′′ e B = 75045′54′′

Expresse A + B, A− B na notacao grau/minuto/segundo

A + B = 200, 1540 ∼= 20009′14′′ eA− B = 48, 6240 ∼= 48037′26′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650,

Converta A e B para a notacao grau/minuto/segundo

A ∼= 124023′20′′ e B = 75045′54′′

Expresse A + B, A− B na notacao grau/minuto/segundo

A + B = 200, 1540 ∼= 20009′14′′ eA− B = 48, 6240 ∼= 48037′26′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 124, 3890 e B = 75, 7650,

Converta A e B para a notacao grau/minuto/segundo

A ∼= 124023′20′′ e B = 75045′54′′

Expresse A + B, A− B na notacao grau/minuto/segundo

A + B = 200, 1540 ∼= 20009′14′′ eA− B = 48, 6240 ∼= 48037′26′′

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,determine:

A + B

69059′58′′

A− B

14055′06′′

A

2+

B

3Aproximadamente 30024′32′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,determine:

A + B

69059′58′′

A− B

14055′06′′

A

2+

B

3

Aproximadamente 30024′32′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,determine:

A + B

69059′58′′

A− B

14055′06′′

A

2+

B

3

Aproximadamente 30024′32′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,determine:

A + B

69059′58′′

A− B

14055′06′′

A

2+

B

3

Aproximadamente 30024′32′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,determine:

A + B

69059′58′′

A− B

14055′06′′

A

2+

B

3Aproximadamente 30024′32′′

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,

Converta A e B para a notacao decimal

A e aproximadamente 42, 460 e B e aproximadamente 27, 540

Expresse A + B, A− B na notacao decimal

A + B ∼= 69, 990 e A− B ∼= 14, 920

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,

Converta A e B para a notacao decimal

A e aproximadamente 42, 460 e B e aproximadamente 27, 540

Expresse A + B, A− B na notacao decimal

A + B ∼= 69, 990 e A− B ∼= 14, 920

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,

Converta A e B para a notacao decimal

A e aproximadamente 42, 460 e B e aproximadamente 27, 540

Expresse A + B, A− B na notacao decimal

A + B ∼= 69, 990 e A− B ∼= 14, 920

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Dados os angulos A = 42027′32′′ e B = 27032′26′′,

Converta A e B para a notacao decimal

A e aproximadamente 42, 460 e B e aproximadamente 27, 540

Expresse A + B, A− B na notacao decimal

A + B ∼= 69, 990 e A− B ∼= 14, 920

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Um relogio marca 2 : 25. Qual o menor angulo entre osponteiros de horas e minutos?

Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maiorpercorre 3600 e o menor, 300.

Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre60 e o menor 0, 50.

Daı, as 2:25, o ponteiro maior tera percorrido (apartir do 12) 25× 60 = 1500 e o menor,25× 0, 50 = 12, 50.

Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, omenor angulo seria de 1500 − 600 = 900, mascomo o ponteiro menor se movimentou 12, 50,segue que o angulo procurado e de 77, 50.

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Um relogio marca 2 : 25. Qual o menor angulo entre osponteiros de horas e minutos?

Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maiorpercorre 3600 e o menor, 300.

Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre60 e o menor 0, 50.

Daı, as 2:25, o ponteiro maior tera percorrido (apartir do 12) 25× 60 = 1500 e o menor,25× 0, 50 = 12, 50.

Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, omenor angulo seria de 1500 − 600 = 900, mascomo o ponteiro menor se movimentou 12, 50,segue que o angulo procurado e de 77, 50.

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Um relogio marca 2 : 25. Qual o menor angulo entre osponteiros de horas e minutos?

Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maiorpercorre 3600 e o menor, 300.

Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre60 e o menor 0, 50.

Daı, as 2:25, o ponteiro maior tera percorrido (apartir do 12) 25× 60 = 1500 e o menor,25× 0, 50 = 12, 50.

Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, omenor angulo seria de 1500 − 600 = 900, mascomo o ponteiro menor se movimentou 12, 50,segue que o angulo procurado e de 77, 50.

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Um relogio marca 2 : 25. Qual o menor angulo entre osponteiros de horas e minutos?

Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maiorpercorre 3600 e o menor, 300.

Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre60 e o menor 0, 50.

Daı, as 2:25, o ponteiro maior tera percorrido (apartir do 12) 25× 60 = 1500 e o menor,25× 0, 50 = 12, 50.

Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, omenor angulo seria de 1500 − 600 = 900, mascomo o ponteiro menor se movimentou 12, 50,segue que o angulo procurado e de 77, 50.

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Um relogio marca 2 : 25. Qual o menor angulo entre osponteiros de horas e minutos?

Lembre que a cada 60 minutos, o ponteiro maiorpercorre 3600 e o menor, 300.

Portanto, em 1 minuto, o ponteiro maior percorre60 e o menor 0, 50.

Daı, as 2:25, o ponteiro maior tera percorrido (apartir do 12) 25× 60 = 1500 e o menor,25× 0, 50 = 12, 50.

Se o ponteiro das horas permanecesse fixo, omenor angulo seria de 1500 − 600 = 900, mascomo o ponteiro menor se movimentou 12, 50,segue que o angulo procurado e de 77, 50.

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:

15:35

102, 50

18:10

1250

16:20

100

12:33

178, 50

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Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:

15:35

102, 50

18:10

1250

16:20

100

12:33

178, 50

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:

15:35

102, 50

18:10

1250

16:20

100

12:33

178, 50

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:

15:35

102, 50

18:10

1250

16:20

100

12:33

178, 50

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:

15:35

102, 50

18:10

1250

16:20

100

12:33

178, 50

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AnguloUnidade de Medida - Grau

Unidade de Medida - Grau

Exemplo: Determine o menor angulo entre os ponteiros de umrelogio as:

15:35

102, 50

18:10

1250

16:20

100

12:33

178, 50

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Origem das palavras

Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau.

Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae

Segundo: segundas menores partes - partes minutae secundae

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Origem das palavras

Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau.

Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae

Segundo: segundas menores partes - partes minutae secundae

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Origem das palavras

Grau: origem do latim - gradu - que significa degrau.

Minuto: primeiras menores partes - partes minutae primae

Segundo: segundas menores partes - partes minutae secundae

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