Profesor: Javier Chaca Alfaro.

TEORÍA DE FUNCIONES

SE DEBE PARTIR DEL CONCEPTO

DE RELACIÓN

ASOCIACIÓN O ASIGNACIÓNENTRE LOS

ELEMENTOS DE DOS CONJUNTOS

EL PRIMER CONJUNTO SE LLAMA

DOMINIO DE LA RELACIÓN

EL SEGUNDO CONJUNTO SE LLAMA

CODOMINIO DE LA

RELACIÓN

Definida como

EN UNA RELACIÓN CADA ELEMENTO DEL DOMINIO PUEDE TENER ASOCIADO UNO O

VARIOS ELEMENTOS DEL CODOMINIO

La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva

Concepto de función

CONCEPTO DE FUNCIÓN

SE LLAMA FUNCIÓN DE

UN CONJUNTO A EN OTRO B, A

TODA

ASOCIACIÓN O ASIGNACIÓNENTRE LOS

ELEMENTOS DE DOS CONJUNTOS

EL PRIMER CONJUNTO SE LLAMA

DOMINIO DE LA FUNCIÓN

EL SEGUNDO CONJUNTO SE LLAMA

CODOMINIO DE LA

FUNCIÓN

EN UNA FUNCIÓN CADA ELEMENTO DEL DOMINIO SOLO PUEDE TENER ASOCIADO UN

ELEMENTO ÚNICO DEL CODOMINIO

Términos Básicos de una Función

Dominio: Es el primer conjunto que intervienen en la función (conjunto A o X) también se le llama conjunto de partida. Se denota por DOM(f)

Codominio: Es el segundo conjunto que intervienen en la función (conjunto B o Y) también se le llama conjunto de Llegada. Se denota por COD(f).

Rango: los elementos de B que están asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado Rango o Recorrido de la Función. Se denota por Ran(f)

Imagen: si x es un elemento del Dominio, la notación f (x) se utiliza para designar el elemento en el recorrido que corresponde a X en la función f, y se denomina Imagen de X. NOTA: TODA FUNCIÓN ES UNA RELACIÓN, PERO NO TODA RELACIÓN ES UNA FUNCIÓN.

¿ Cuál es Función ?

A B

B

A B

A BA

Dominio y Recorrido en el plano cartesiano

FORMAS DE REPRESENTAR FUNCIONES

2

: (0,0), (1,1), (2,4), (3,9),...

: ( , ) R /

f

f x y y x

x

y

POR FÓRMULAS O ECUACIONES

POR TABLAS DE VALORES

POR DIAGRAMAS SAGITALES

POR DIAGRAMAS CARTESIANOS

POR EXTENSIÓN

POR COMPRENSIÒN

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función?

4 2f x x

24 2y x

DominioRecorrido

2 0x 2x

2;Dom f

4 2y x

24 2y x

4 2y x

Re 4;c f

Buscar condiciones para la variable Buscar condiciones para la variable x y

Y su grafica es

Menú

Tabla de Evaluación

SEGÚN LA FORMADE RELACIONARSUS ELEMENTOS

INYECTIVA O UNO A UNO

(1-1)

SOBREYECTIVASUPRAYECTIVA

O SOBRE

BIYECTIVA

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES(aplicación):

SE CLASIFICAN EN

SITUACIONES ESPECIALES

Función Biyectiva

Función No Inyectiva y No Sobreyectiva

Función Sobreyectiva no

Inyectiva

Función Inyectiva No Sobreyectiva

Ejemplo:

Determine si la función f(x) = 3x + 8 es una función inyectiva.

Solución: 3x1 + 8 = 3x2 + 8

3x1 = 3x2

x1 = x2

Es función inyectiva.

Suma y diferenciaDadas dos funciones f y g se define la función suma f +g por:

(f +g)(x)=f(x)+g(x)Ejemplo 1: Sea f(x)= x+3 y g(x) = x2 + 2x – 4. (f +g)(x)=f(x)+g(x) = x+3 + x2 + 2x – 4 = x2 + 3x – 1. Ejemplo 2: Sea f(x)= 4x+1 y g(x) = x2 + 3x – 1Determinar: (f +g)(x)=f(x)+g(x)

OPERACIONES CON FUNCIONES

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

Y

Suma y diferencia de dos funciones

Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g)• Diferencia: (f g) (x) = f(x) g(x). Por tanto: Dom(f g) = Dom(f) Dom(g)

f(x) = x

1 + x2 : Dom(f) = R

g(x) = 1 x : Dom(g) = R – {0}

(f + g) (x) = f(x) + g(x) =

= x

1 + x2 + 1 x :

Dom(f + g) = R – {0}

Dadas dos funciones f y g se define la función producto f.g así

(f.g)(x)= f(x).g(x)

Ejemplo 1: Sea f(x) = x+3 y g(x)= x2 + 2x – 4. (f.g)(x)=f(x).g(x) = (x+3) .( x2 + 2x – 4) = x3 + 2x2– 4x + 3x2+6x -12 = x3 + 5x2 + 2x – 12Ejemplo 2: Sea f(x)= x+5 y g(x)= x2 + 3x – 2

COCIENTE

Dadas dos funciones f y g se define la función cociente f/g por:

(f/g)(x) = f(x)/g(x), siempre que g(x) sea distinto de 0.

Ejemplo: Sea f(x)= x+3 y g(x)= x2 + 2x – 4

2( x)

f x+3 g x + 2x - 4

Practica calificada

1. Hallar “a + b”, si el conjunto de pares ordenados representa una función.

F = {(1; 3), (2; a - b), (3; 3a + b), (3; 14), (2;2)}

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 62. Si se sabe que f( - 1) = 4 y f(3) = - 2,

donde “f” es una función lineal. Halla la ecuación que define f(x).

3. Halla el dominio, rango y la grafica de las siguientes funciones reales:a. f(x) = 3x + 5

b. f(x) = 4x – 1 x ϵ < -2; 5]

Hallar el dominio, rango y la gráfica de la función.1. g(x)= x2 + 2x – 42. f(x) = x2 – 4x + 33. f(x) = 2x2 – 12x + 5; x ϵ [-1; 4>4. f(x) = – x2 – 6x + 2