Post on 27-Dec-2015
Introducción a la programación lineal
La programación lineal facilita la resolución de problemas de producción, economía,
rendimiento, etc. Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar
(maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo, estando las variables
sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de
todas las soluciones posibles se denomina conjunto solución factible. Para resolver problemas
de programación lineal se siguen tres pasos: planteamiento, determinación de la región factible
y determinación de la solución óptima.
Planteamiento
Para plantear la solución de un problema de programación lineal, debemos realizar lo siguiente:
Organizar la información mediante una tabla.
Identificar y representar las incógnitas.
Determinar las restricciones que se crean convenientes.
Plantear la función objetivo.
Ejemplo 1
En una panadería se dispone diariamente de 80 kg de masa y de 24 kg de frutas (secas y
confitadas) para preparar dos tipos de panetones: panetón especial, con 200 g de frutas y 1 kg de
masa, y panetón premium, con 400 g de frutas y 1 kg de masa. Si el panetón especial se vende a
S/. 18 Y el panetón premium a S/. 24, determina las restricciones y plantea la función objetivo
que determina el máximo ingreso.
Del análisis de la información del problema, tenemos:
Dos cantidades de insumos: masa y frutas (secas y confitadas).
Dos tipos de panetón: especial y premium, cada uno con un precio.
Se desea obtener el máximo ingreso por la venta de los panetones.
Organizamos la información en una tabla:
Insumos por panetón Disponibilidad
Especial Premium por día (kg)
Masa (kg) 1 1 80
Frutas (kg) 200 g = 0,2 kg 400 g = 0,4 kg 24
Precio (S/.) 18 24
Identificamos y representamos las incógnitas:
x: número de panetones especiales y: número de panetones premium
Determinamos las restricciones:
De insumos: masa x + y ≤ 80 frutas 0,2x + 0,4y ≤ 24
De no negatividad, x e y son valores enteros no negativos: x ≥0; y ≥0
Como 18x es el ingreso total por la venta de los panetones especiales y 24y por la de los
panetones premium, entonces la función objetivo que determina el máximo ingreso es:
F(x; y) = 18x + 24y.
Determinación de la región factible
La solución de un problema de programación lineal debe estar en la región determinada por las
distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no estar
acotada. Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono con un
número de lados menor o igual que el número de restricciones.
Ejemplo 2
Determina la región factible del problema anterior (ejemplo 1)
El sistema que se va a graficar es:
x ≥0; y ≥0
x + y≤ 80
0,2x + 0,4y≤ 24
x ≥0; y ≥0
x + y≤ 80
x + 2y ≤ 120
Determinamos las soluciones de los seis
sistemas que se forman:
A
A
x =0
y =0
(0; 0)
B
B
x =0
x + y= 80
(0; 80)
E
E
y =0
x + 2y= 120
(120; 0)
C
C
y =0
x + y = 80
(80; 0)
D
D
X =0
x + 2y = 120
(0; 60)
F
F
x + y =80
x + 2y= 120
(40; 40)
La solución es una región factible acotada. Su representación gráfica es el polígono ACFD.
Determinación de la solución óptima
La solución óptima es aquella que maximiza o minimiza la función objetivo F(x, y). Se
encuentra en la frontera de la región factible.
Ejemplo 3
Si la función objetivo es F(x; y) = 18x + 24y (problema del ejemplo 1), determina la
solución óptima.
Identificamos los vértices: A(0; 0), C(80; 0), F(40; 40) y D(0; 60)
Evaluamos la función objetivo en cada punto:
Punto A: F(0; 0) = 18(0) + 24(0) = 0
Punto C: F(80; 0) = 18(80) + 24(0) = 1440
Punto F: F(40; 40) = 18(40) + 24(40) = 1680
Punto D: F(0; 60) = 18(0) + 24(60) = 1440
La solución óptima se obtiene en el punto F, donde la función objetivo F(x; y) = 18x + 24y
obtiene su máximo valor cuando x = 40 e y = 40. Esto quiere decir que para obtener el máximo
ingreso (S/. 1 680 diarios), se necesitan vender 40 panetones especiales y 40 panetones premium
por día.
Tipos de soluciones
Los problemas de programación lineal con dos variables pueden presentar distintos tipos de
soluciones.
Solución única
La solución es única cuando la solución óptima se encuentra solo en uno de los vértices.
Ejemplo 4
En un taller se fabrican estantes y escritorios. En la fabricación de cada estante se requieren 5
pies de madera y 8 horas de trabajo, y en la de un escritorio, 15 pies de madera y 12 horas de
trabajo. En el almacén del taller hay 420 pies de madera y las horas de trabajo disponibles son
480. Si se quiere obtener la máxima utilidad ganando en la venta de cada estante SI. 60 Y de
cada escritorio SI. 110, ¿cuántos muebles de cada tipo deben fabricarse?
Identificamos y representamos las incógnitas:
X: número de estantes y: número de escritorios
Organizamos la información en una tabla:
Estantes Escritorios Disponibilidad
Pies de madera 5 15 420
Horas de trabajo 8 12 480
Precio (S/.) 60 110
Determinamos las restricciones:
Planteamos la función objetivo que permita obtener la máxima utilidad F(x; y) = 60x + 110y
Determinamos los vértices A(O; O), B(O; 28), C(36; 16), D(60; O) y graficamos la región
factible:
x ≥0; y ≥0
5x + 15y ≤420 => x + 3y ≤ 84
8x + 12y ≤ 480 => 2x + 3y ≤ 120
Determinamos la solución óptima:
En A: F(0; 0) = 60(0) + 110(0) = 0
En B: F(0; 28) = 60(0) + 110(28) = 3080
En C: F(36; 16) = 60(36) + 110(16) = 3920 Solución óptima
En D: F(60; 0) = 60(60) + 110(0) = 3600
La máxima utilidad se obtiene en el vértice C (36; 16). Esta solución única indica que deben
fabricarse 36 estantes y 16 escritorios. En tal caso, dicha utilidad es de S/. 3 920.
Una panadería vende tortas chicas a S/. 19 cada una, y tortas grandes a S/. 30 cada una.
La capacidad máxima de elaboración de tortas es de 100 al día, entre grandes y chicas.
Pero por falta de moldes, no se pueden elaborar más de 80 tortas chicas ni más de 60
grandes. Como la panadería vende todo lo que produce, el administrador desea averiguar
cuántas tortas grandes y cuántas chicas deben elaborar para la venta y así obtener el
máximo ingreso posible. Además, quiere saber a cuánto ascendería este ingreso máximo,
Solución Múltiple
La solución es múltiple cuando hay infinitas soluciones que corresponden a los puntos del
segmento que tiene por extremos a dos vértices de la región factible.
Ejemplo 5
Un granjero tiene 480 hectáreas en la que puede sembrar maíz o trigo y dispone de 800 h
de trabajo durante la temporada. Los márgenes de utilidad para cada uno de los productos son
S/. 40 por hectárea y los requerimientos laborales para trabajar en la siembra de maíz son 2 h
por hectárea y en la del trigo, 1 h por hectárea. ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo debe plantar
para maximizar su utilidad? ¿Cuál es la utilidad máxima?
Incógnitas
Organizamos la información en una tabla:
Maíz Trigo Disponibilidad
Superficie 1 hectárea 1 hectárea 480 hectáreas
Requerimiento laboral 2 horas 1 hora 800 horas
Utilidad S/. 40 S/. 40
x: número de hectáreas sembradas de maíz
y: número de hectáreas sembradas de trigo
Determinamos las restricciones: x ≥0; y ≥0; x + y ≤ 480; 2x + y ≤ 800
La función objetivo que maximiza la utilidad es: F(x; y) = 40x + 40y Sus vértices son: A(0; 0), B(0; 480), C(320; 160) y D(400; 0).
Graficamos en el margen la región factible.
Calculamos el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices:
En A: F(0; 0) = 40(0) + 40(0) = 0
En B: F(O; 480) = 40(0) + 40(480) = 19200
En C: F(320; 160) = 40(320) + 40(160) = 19 200
En D: F(400; O) = 40(400) + 40(0) = 16000
La máxima utilidad se obtiene en los vértices B y C, y también en cualquiera de los puntos de
BC. En todos estos casos, su máxima utilidad es S/. 19200.
Solución no acotada
Cuando la función objetivo no tiene valores extremos, la región factible es no acotada.
Ejemplo 6
Maximiza la función objetivo F(x; y) = x + 2y para un problema cuyas restricciones son: x ≥0; y ≥0;
x - 2y :≤ 2; x - y ≥ 4
Resolvemos los sistemas qué se forman y obtenemos: (0;0), (0; -1), (0; -4), (2; 0), (4; 0) y (6; 2)
Graficamos en el margen; la región factible se extiende infinitamente y su único
vértice está en A (6; 2).
En este caso no existe un valor máximo para la función objetivo, por lo que puede decirse
que el problema carece de solución.
Solución no factible Cuando no existe la región por falta de zona común en el sistema de inecuaciones, la solución es no
factible.
Ejemplo 7
Sea un problema en que las restricciones son: x ≥0; y ≥0; x + y ≥ 6; 2x + y ≤ 4. Maximiza la
función objetivo F(x, y) = 4x + 3y
Resolvemos el sistema y obtenemos: (6; 0), (0; 0), (0; 6), (0; 4), (2; 0) y (-2; 8)
Representamos gráficamente el sistema:
Observamos que no existe región factible, ya que no hay zona común en el sistema de
inecuaciones.
Por lo tanto, este problema carece de solución.