PROPORCIONALIDAD

Daiana M. VivesDidáctica II

PROPORCIONALIDAD EN CURRICULUM DE PRIMARIA

El tema de proporcionalidad lo encontramos brevemente en el Curriculum de Castilla la Mancha en el tercer ciclo:

Bloque 1:

• La comprensión, representación y uso de los números: operaciones y medida.

Números enteros decimales y fracciones

Uso en situaciones reales del nombre y grafía de los números de más de seis cifras

Números fraccionarios. Expresión de partes utilizando porcentajes. Correspondencia entre fracciones sencillas, decimales y porcentajes

LA NOCIÓN DE RAZÓN

“Un par ordenado de cantidades de magnitudes”

- Hoffer, A. R.

Diferencias Razón Fracción

Comparan elementos Heterogéneos Homogéneos

Notación fraccionalAlgunas no

10 L por m²4:7

4 7

Sí

El 2º componente puede ser 0

Sí,relación 5:0

No

Números racionalesNo siempre

C/D πSí

Operaciones 3:5 + 4:7 = 7:12 3/5 + 4/7 = 41/35

Proporciones. Series proporcionales.

oSituación introductoria: El puzzle.

• Nº medidas de los lados en cm

• Ejercicio: - construir puzzle de mayor tamaño. - el lado de 4 cm debe tener 7 cm

Series proporcionales

Dos series de números son proporcionales si podemos pasar de una serie a la otra multiplicando o dividiendo por el mismo

número

oEjemplo de series proporcionales: En estas situaciones tenemos dos series de números, como se indica en la tabla adjunta, que se dicen son proporcionales entre sí.

Números de barras de pan

1 2 3 4 5 6 7

Precio pagado en euros

0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1

ProporcionesLA PROPORCIONALIDAD

FUNCIÓN

UNA FUNCIÓN RELACIÓN

UNA RELACIÓN SUBCONJUNTO DE UN PRODUCTO CARTESIANO

Cuándo en una situación considerada sólo intervienen dos

pares de números que se corresponden se dice que se

establece una proporción

Una proporción aparece bajo la forma de una igualdad entre dos fracciones, en consecuencia, el producto cruzado de los numeradores y denominadores serán iguales entre sí. Una proporción permite escribir cuatro igualdades equivalentes entre dos fracciones como se resume en este cuadro:

A = C B D

A = BC D

D = CB A

D = BC A

• En la práctica una de las fracciones tendrá el numerador o denominador desconocido y se plantea el problema de encontrar su valor usando la relación de proporcionalidad que se establece.

oEJEMPLO:

La razón de chicos a chicas en una clase es de 2 a 3. Hay 12 chicos ¿cuántas chicas hay?

Solución:

2 = 12 = 3 x 12 = HAY 18 CHICAS3 X 2

o MAGNITUDES PROPORCIONALES

o A doble número de metros de tela, doble precio de tela, a triple número de metros, triple precio… podemos decir que el precio de la tela es proporcional a su longitud. El precio de la tela y su longitud son magnitudes proporcionales.

o A doble número de sacos, doble cantidad de kilos, a triple número de sacos, triple cantidad de kilos… podemos decir que el precio de las patatas es proporcional al número de sacos. El número de sacos y su peso son magnitudes proporcionales.

Magnitudes proporcionales

• Directamente ProporcionalesMagnitudes

• Inversamente ProporcionalesMagnitudes

Proporcionalidad inversa

• Cuando en una razón una cantidad aumenta y la otra disminuye

• Distancia (d) o espacio recorrido es igual al producto de la velocidad por el tiempo empleado d= VxT así se recorre la misma distancia (constante)

Velocidad (Km/h) Tiempo (horas) Resultado

24 4 24x4=96

12 8 12x8=96

48 2 48x2=96

6 16 6x16=96

• 1º: con velocidad de 24km/h empleo 4 horas en recorrer la distancia de 96km.

• 2º: si se reduce a la mitad la velocidad (se dividido entre 2) el tiempo se duplica para la misma distancia (multiplicado por 2).

• 3º: Duplico la velocidad el tiempo obvio es la mitad.• 4º: Reduzco la velocidad en un cuarto por lo tanto

6km/h luego el tiempo aumenta al cuádruple a 16 h.

El razonamiento de la regla de tres

La regla de tres es un procedimiento que se aplica a la resolución de problemas de proporcionalidad

Se conocen 3 de los 4 datos y se debe calcular el cuarto

El algoritmo se reduce a un proceso de multiplicación de dos de los números seguido de una división por el tercero

Los niños manipulan la operación sin saber su sentido

Se aplica de manera indiscriminada en situaciones inadecuadas

o TIPOS DE REGLA DE 3:

PROPORCIONALIDAD DIRECTAhttp://www.youtube.com/watch?v=2suLINgAWQE

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si la razón entre dos cantidades correspondientes de cada una de ellas es siempre la misma, de tal forma que, al aumentar o disminuir una de las magnitudes, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Es decir, la razón es constante.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

La regla de 3 de proporcionalidad directa supone un aumento de un numero A y B en la misma proporción para que la constante permanezca igual.

Así pues, diremos que A es a B igual que X lo es a Y, siendo Y el producto de B x X dividido por A:

Multiplicación cruzada o en cruz

Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?

La solución, aplicando el algoritmo de regla de tres directa sería:

Es evidente que, si dos habitaciones necesitan 8 litros, 5 habitaciones necesitaran mas litros.

AUMENTO EN LA MISMA PROPORCIÓN: C(constante)

oAplicación a la práctica

oGRAFICO DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Constante:

A mas másA menos menos

PROPORCIONALIDAD INVERSA

• En la regla de 3 inversa se cumple que, un aumento de un numero A supone una disminución de un numero B, en función de su constante ( AxB=XxY= c). Se representa así:

• Así pues, podríamos decir que Y es igual al producto de A x B dividido entre X

oAplicación a la practica

Si 8 trabajadores construyen un muro en 10 horas, ¿cuánto tardarán 5 obreros en levantar el mismo muro?

La solución seria, aplicando el algoritmo de la regla de tres inversa:

En este problema es evidente que si 8 trabajadores tardan 10 horas, 5 trabajadores tardaran mas en construir el muro

Aumento de A – disminución de B = misma proporción :

C(constante)

GRAFICO DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Constante:

A mas Menos

A menos Mas

Otras formas de resolución

Hay otras formas hábiles de resolver problemas de proporcionalidad

Propiedades de las funciones lineales

• f( a + b) = f(a) + f(b)• f(ka) = kf(a)

Buscar el precio de un litro de pintura y una vez determinado averiguar la incógnita multiplicando por

el numero de habitaciones

8 : 2 = 4 ; 4 x 5 = 20

Número de litros que se necesitan por habitación

Procedimiento mediante propiedad de la función lineal

El modelo lineal es mas fácil a la hora de

entender la naturaleza del problema por parte de

los niños.

Utilización del algoritmo predeterminado

Resultado final

• MODELO CRUZADO

Porcentajes

Se utiliza en muchas situaciones cotidianas X% = x/100 El concepto de porcentaje, proviene de la necesidad de

comparar dos números no sólo de manera absoluta también relativa

Al situarlo como denominador, su numerador nos indica qué porción sobre 100 representa

La notación de porcentajes y el razonamiento de proporcionalidad, se pone en juego cuando uno de los términos que intervienen toma el valor de 100