Post on 23-Jan-2016
Radicales y sus operaciones
TOMADO DE:Prof. Anneliesse SánchezDepartamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico - Arecibo
Objetivos:
Simplificar radicales. Efectuar operaciones de suma, resta,
multiplicación y división con Números Reales.
Notación
a
La raíz cuadrada de un número a, se representa por La raíz cuadrada de un número a, se representa por
En general, la raíz enésima de a se representa por:
n a
El índice n, es un número natural, n ≥ 2. En el casode n = 2, raíz cuadrada, no hay que escribirlo.
La parte dentro del radical se conoce como radicando.
El símbolo se conoce como radical.
El número pequeño fuera del radical, se conoce como índice.
Definición
ba
La raíz cuadrada de un número no negativo a, es un número no negativo b tal que al elevar b al cuadrado obtenemos a.
si y solo si b2 = a
Por eso decimos que la operación elevar al cuadrado, esinversa a la operación obtener la raíz cuadrada.
Ejemplos:
648864
93392
2
porque
porque
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
3273
4643
2325
4 16
porque 33 = 27
porque (-4)3 = -64
porque (-2)5 = -32
no es real porque ningún número real elevado a la cuarta potencia puede ser negativo.
Ejercicios:
e)
f)
g)
h)
i)
4 81
3 1000
01.
3
8
1
9
4
Propiedad #1:
Si
Demostración:
Ran y Rbn entonces,nnn baba
uan Si entonces, un = a
Si entonces, vn = b vbn
Esto implica que: ab = un vn = (uv)n :aplicando las leyes de exponentes
Por lo tanto, n ba = uv = n a n b
Propiedad #2:
Si Ran Rbn y nn
n
b
a
b
aentonces,
Demostración:
uan Si entonces, un = a
Si entonces, vn = b vbn
Esto implica que: n
n
n
v
u
v
u
b
a
:aplicando las leyes de exponentes
Por lo tanto, n
n
n
b
a
v
u
b
a
Ejemplos:
a)
b)
c)
d)
25
16
25
16
5
4
3
1000
8 3
3
1000
8
10
2
3
3
16
2 3
16
2 3
8
1
2
1
4
16
81 4
4
16
81
2
3
5
1
Ejercicios:
e)
f)
g)
h)
36
9
3 001.0
18
2
4
81
1
Sumas o restas en el radicandoCuando tenemos una suma o una resta en un radicando, hay primero que efectuar la operación de suma o resta, para luego llevar a cabo la radicación.
baba
Esto es así porque:
Bastaría un contraejemplo para demostrarlo:
42244448
Sabemos que 48
por lo tanto, confirmamos lo antes expuesto,
baba
Lo mismo ocurre con la resta y con radicales de otros índices.
Radicales semejantesDecimos que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.
Ejemplos:
Los siguientes pares de radicales son semejantes.
44
33
225
3432
5853
y
y
y
Dos radicales semejantes se pueden combinar, esto es, se pueden sumar o restar. Veamos como:
nnnn aqpqpaaqap )()(
Esto es, usando la propiedad distributiva, o factorizando el término común de ambos términos. Finalmente, p y q se suman, (o se restan si fuese el caso).
Ejemplos:a) 2225
b)
c)
d)
2)25( 23
3333 3133)58(3538
575)34(5354
23352)25(3)32(33222532
*En este último ejemplo, note que combinamos sólo los radicales semejantes.
Suponga que tenemos el siguiente caso:
483752
Como no son radicales semejantes, no podemos combinarlos. Sin embargo, podemos simplificar cada uno de ellos. Veamos:
3532532575
3431631648
Por lo tanto, volviendo al ejercicio original,
483752 )34(3)35(2 312310 322= = =
Ejercicios:e)
f)
g)
h)
3337
535852
253223
3333 310474235
Simplificación de radicales
En ocasiones podemos descomponer un radicando como el producto de otros números de manera que alguno de los factores sea una raíz exacta y por ende pueda salir del radical, esto es, se pueda extraerse la raíz. Veamos el siguiente ejemplo:
31031003100300
Como sabemos que 100 es un cuadrado perfecto, y 100 es un factor de 300, rescribimos 300 como 3 × 100 para poder extraer el 100 de la raíz cuadrada.
Se puede notar, sin embargo que 300 es también 4 × 75, de modo que:
752754754300
Explicación:
Aunque esto también es correcto, no está completamente simplificado porque 75 todavía tiene un factor que es un cuadrado perfecto: 25.
752754754300
Ciertamente, este resultó más largo, pues no hallamos desde el principio el factor de 300 mayor que fuese un cuadrado perfecto.
3103)5(232523252
Para simplificar un radical, debemos factorizar el radicando de manera que alguno de los factores sea una raíz perfecta.
Ejemplos:
a)
b)
3 16 = 3 28 33 28 = 3 22=
720 )10(72 )10)(2(36 )20(36
)5)(4(36 5436 5)2(6 512
En este último caso, note cómo hicimos la descomposición por pasos hasta encontrar todos los cuadrados perfectos que son factores de 720.
Estos pasos pudieron haber sido otros o en otro orden pero siempre vamos a encontrar los mismos cuadrados perfectos.
Probablemente conviene repasar los cuadrados y cubos perfectos.
12 = 1 13 = 1
22 = 4 23 = 8
32 = 9 33 = 27
42 = 16 43 = 64
52 = 25 53 = 125
62 = 36 63 = 216
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
Cuadrados perfectos Cubos perfectos
Ejercicios
Simplifique:
c) 3 24
d) 48
e) 640
f) 3 54
Suma y resta de radicales
Como vimos anteriormente, la suma o la resta de radicales consiste en sumar (o restar) los radicales semejantes. Antes de hacer esto, hay que simplificar los mismos completamente.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplosa) 18782505
2972422255
2972422255
237222255
22124225
221221 0
b) 33 543453165
33 2273593285
3333 2273593285
33 233533225
33 2959210
592193
c) 33 543453165
33 2273593285
3333 2273593285
33 233533225
33 2959210
592193
Ejercicios
2005503327f)
g)
h) 3003126
5042000725 33
Multiplicación de radicales
Anteriormente vimos, con la propiedad #1 que:
nnn baba
Por lo tanto, podemos decir que cuando multiplicamos radicales con el mismo índice, el producto será un radical con el mismo índice y el producto de los radicandos.
Ejemplosa)
b)
c)
6532 6352 1810
2910 2910 2310 230
33 25352 33 25532 3 1256 56 30
6155 6155 23355
2925 2925 235 215
Es importante reconocer que sólo se pueden multiplicar de esta manera, radicales con el mismo índice. Más adelante, en otra sección se verá el procedimiento para multiplicar radicales con distinto índice.
Ejercicios
d)
e)
f)
8562
33 4345
8456
División de radicales
De la misma forma, la propiedad #2
nos indica que:
nn
n
b
a
b
a
Esto en palabras diría que, si tenemos dos radicales con el mismo índice y se están dividiendo, el resultado será un radical con el mismo índice y con la división de los radicandos.
Ejemplos
De la misma forma, tenemos que hacer énfasis en que esto aplica sólo a radicales con el mismo índice.
a)
b)
c)
3
48
3
4816 4
5
152
5
152 32
12
21
43
73
43
73
4
72
7
Ejercicios
10
50
3
245
18
15
d)
e)
f)
Operaciones combinadas
Ahora veamos algunos ejemplos donde se combinan las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de radicales.
Suponga que tenemos el siguiente ejercicio:
)2233)(3523(
En este caso, utilizamos la propiedad distributiva, al igual que la usamos si tuviésemos la multiplicación de dos binomios.
Tenemos entonces,
)2233(35)2233(23
)22)(35()33)(35()22)(23()33)(23(
6109154669
610)3(15)2(669
45126
336
:propiedad distributiva
:multiplicando
:raíces exactas
:términos semejantes
:combinando términos
Ejercicios
a)
b)
c)
d)
e)
732327
3232
7375
55632
52231
Racionalización
La fracción 2
3
representa un número irracional
pues no se puede escribir de forma equivalente como una división de dos números enteros. Aunque el numerador es racional, el denominador es irracional. En ocasiones se necesita que el denominador de una fracción sea racional. Podemos cambiar la fracción a una equivalente con el denominador racional.
Esto podemos hacerlo usando el principio visto anteriormente, en donde
kb
ka
b
a
En otras palabras, podemos multiplicar numerador y denominador por un mismo número (distinto de cero) y la fracción que se obtiene es equivalente.
En este caso, tenemos que buscar por cual número multiplicar el denominador, 2
para que se vuelva entero.
Si multiplicamos
2
3 2
2
2
3
4
23
2
23
queda racionalizado el denominador.
Hay que tener claro, que la fracción seguiría siendo irracional. Antes, había radical en el denominador, y ahora está en el numerador.
A este proceso se le llama racionalizar el denominador.
La razón por la que escogimos multiplicar al numerador y denominador por 2
es porque así sabemos que el denominador sería 24 que es un número racional
porque es entero.
Ejemplos
Racionalice el denominador de las siguientes fracciones:
a) 8
5
28
25
16
25
4
25
En este caso pudimos haber multiplicado por
y también lo lográbamos pero luego tendríamos que simplificar.
Verifíquelo usted mismo.
8
b)
c)
5
3
55
53
25
53
5
53
En el siguiente ejemplo veremos una fracción con raíz cúbica.
3 3
2
33
3
93
92
3
3
27
92
3
92 3
En este caso, no podemos juntar los dos radicales del numerador en una sola fracción porque tienen diferente índice.
Ejercicios
d)
e)
f)
6
4
50
7
3 4
25