Post on 12-Jan-2017
1 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
RELACIONES USUALES.
1.1. LA RECTA L Es el conjunto de pares ordenados 2,x y tal que rigen mediante la
siguiente regla de correspondencia 0ax by c .
2: , / 0x y ax by c L
Gráficamente:
X
Y
: 0ax by c L
: 0 :a x by c ó y m x b L L
:Dominio Dom L :Rango Rang L
: " "Ángulo de inclinación de la Recta
:Pendiente de la Recta m tg
NOTA (1) Para graficar la recta es necesario tener dos puntos y para hallarlos debemos intersectar
con los ejes coordenados es decir:
; 0 ; 0,
; 0 ; ,0
c cb b
c ca a
Sea x y A
Sea y x B
NOTA (2) Teniendo dos puntos arbitrarios 0 0 0 1 1 1, ,P x y y P x y , podemos hallar la
ecuación general de la recta, es decir:
X
Y
0x 1x
0y
1y
0P
1P
1 0y y
1 0x x
: 0ax by c L
: y m x b L
0
0
: :y y
Ecuación de la recta mx x
L
1 0
1 0
:y y
Pendiente de la recta m tgx x
0 0 0 1 1 1: , ,Puntos de Paso P x y y P x y
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NOTA (3) Debes recordar que la pendiente de la recta " "m da información del ángulo de
inclinación " " , es decir:
2
2
0 0
0
0
" "2
i Si m Pendiente positiva entonces es Agudo
ii Si m Pendiente negativa entonces es Obtuso
iii Si m entonces es Llano
iv Si m no existe entonces es Recto
CASOS PARTICULARES DE LA RECTA
CASO 1: Rectas horizontales (Rectas paralelas al eje X ). Esta relación resulta cuando el
coeficiente de la variable " "x es cero, es decir:
2 2: , / 0 , 0 : , /c
x y by c b c x y y kb
L L
Gráficamente
O
Y
:H y kL
0y
Eje X
k
X
: :HRecta Horizontal y kL
: HDominio Dom L
: 0Pendiente m
: HRango Rang kL
CASO 2: Rectas Verticales (Rectas paralelas al eje Y ). Esta relación resulta cuando el
coeficiente de la variable " "y es cero, es decir:
2 2: , / 0 , 0 : , /c
x y ax c a c x y x ha
L L
Gráficamente
OX
Y x h
0x Eje Y
: :VRecta Vertical x hL
h
: VDominio Dom hL
: VRango Rang L
: " "Pendiente m NO TIENE
2m tg
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(E-2) Realice la gráfica de las siguientes ecuaciones correspondientes a rectas:
1 : 2 0
; 0 ; 2 0, 2
; 0 ; 2 2,0
x y
Sea x y A
Sea y x B
L
0, 2A
2,0B
OX
Y1 : 2 0x y L
2 : 0
; 0 ; 0 0,0
; 1 ; 1 1,1
x y
Sea x y A
Sea x x B
L
1,1B
O AX
Y
1
1
2 : 0x y L
3 : 1 0x R ecta Vertical L
OX
Y 3 : 1 0x L
1
4 : 2 0y Recta Horizontal L
O
X
Y
4 : 3 0y L
2
1
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1.2. LA PARÁBOLA P Es el conjunto de pares ordenados 2,x y tal que la distancia de
un punto que se mueve en un plano a una recta fija es igual a su distancia de un punto fijo
del plano.
2 2 2 2 2 2
1 2
2 22 2
1 2
: , / : , /
: , / : , /
x y y ax bx c x y x ay by c
x y y a x h k x y x a y k h
P P
P P
Caso1: (Parábolas paralelas al eje X)
: 0Parámetro a Se abrehacia arriba 1: ,Rango Rang k P
1:Dominio Dom P
: 0Parámetro a Se abrehacia abajo 1: ,Rango Rang k P
1:Dominio Dom P
22
1 1: :y ax bx c y a x h k P P
: ,Vertice V h k
,V h k
h
k
O
Y
X
0a
,V h k
h
k
O
Y
X
0a
Caso2: (Parábolas paralelas al eje Y)
,V h k
h
k
O
Y
X
0a
: 0Parámetro a Se abrehaciala izquierda 2:Rango Rang P
2: ,Dominio Dom h P
: 0Parámetro a Se abrehaciala derecha 2:Rango Rang P
2: ,Dominio Dom h P
22
2 2: :x ay by c x a y k h P P
: ,Vertice V h k
,V h k
h
k
O
Y
X
0a
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OBSERVACIÓN (1) Para identificar las ecuaciones correspondientes a las parábolas y distinguirla
de los otros lugares geométricos se debe tener en cuenta que en la ecuación una de las variables es de
segundo grado (Puede ser " " " "x ó y ) y la otra debe ser de primer grado.
2 2
1 2: 0 ; : 0a y b y c x d a x b x c y d P P
12 12
OBSERVACIÓN (2) Para saber si la parábola tiene su eje focal paralelo al eje X ó Y se toma en
cuenta a la variable de 1 Grado, es decir:
1. Si la variables " "x es de 1 Grado , entonces su eje focal es paralelo al eje X
2
1 1: 0 / /a y b y c x d Eje Focal de X P P
1
2. Si la variables " "y es de 1 Grado , entonces su eje focal es paralelo al eje Y
2
2 2: 0 / /a x b x c y d Eje Focal de Y P P
1
(E-3) Realice la gráfica de las siguientes ecuaciones correspondientes a parábolas:
2
1 :
: 0,0
: 1
y x
Vertice V
Parámetro a
P
O
X
Y2
1 : y xP
1
1
2
2
2 2
2
2
: 2 4 0
2 2 1 1 0
2 1 2 0
2 1 2
: 2, 1
: 2 0
y y x
y x x
y x
x y
Vertice V
Parámetro a
P
OX
Y
2
2 : 2 4 0y y x P
2
1 2, 1V
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1.3. LA CIRCUNFERENCIA C Es el conjunto de pares ordenados 2,x y que da como
resultado de hacer mover un punto en el plano de tal manera que se conserva siempre a una
misma distancia de un punto fijo (centro).
2 22 2 2 2 2: , / 0 ; : , /x y x bx y dy e x y x h y k r C C
Gráficamente:
: ,Rango Rang k r k r C : ,Dominio Dom h r h r C
2 22 2 2: 0 :x bx y dy e x h y k r C C
: ,Centro C h k : 0Radio r
,C h k
h
k
Y
X
0r
h rh r
k r
k r
OBSERVACIÓN (2) Para identificar la ecuación correspondiente de la circunferencia y
distinguirlas de los demás lugares geométricos, es necesario tener en cuenta las siguientes
condiciones:
1. Las variables " " " "x e y de la regla de
correspondencia ambas deben ser de segundo
grado.
2. Los coeficientes de las variables de 2° grado
deben tener los mismos coeficientes.
2 2: 0x bx y dy e C
" "
2
x e y deben ser
de Grado
Igual coeficiente
EJEMPLOS DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A CIRCUNFERENCIAS
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
3 4
: 1 0 : 4 8 4 13 0
: 4 0 : 2 2 5 0
x y x x y
x x y x x y
C C
C C
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1.4. LA ELIPSE E Es el conjunto de pares ordenados 2,x y tal que describe el
movimiento de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre iguala a una constante, mayor que la
distancia entre los dos puntos.
2 2 2: , / 0
: " " " " .
x y ax bx cy dy e
Donde a y c son coeficientes diferentes y de signos iguales
E
Caso1: Elipses paralelas al eje X // X E
: ,Dominio Dom h a h a E : ,Rango Rang k b k b E
2 2
2 2
2 2: : 0 : 1
x h y kElipse ax bx cy dy e
a b
E E
: ,Centro C h k :Parámetro a b
OX
Y
b
a ,C h k
h
k
h ah a
k b
k b
Rang E
Dom E
Caso 2: Elipses paralelas al eje Y //Y E
: ,Dominio Dom h b h b E : ,Rango Rang k a k a E
2 2
2 2
2 2: : 0 : 1
y k x hElipse ax bx cy dy e
a b
E E
: ,Centro C h k :Parámetro a b
O X
Y
b
a
,C h k
h
k
h bh b
k a
k a
Rang E
Dom E
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OBSERVACIÓN (1) Para identificar la ecuación de una elipse y distinguirlas de los otros lugares
geométricos, es necesario tener en cuenta que:
1. Las variables " " " "x e y de la ecuación
general de la Elipse ambas deben ser de
segundo grado.
2. Los coeficientes de las variables de 2° grado
deben tener diferentes.
2 2: 0a x bx c y dy e E
" "
2
x e y deben ser
de Grado
Diferente coeficiente
EJEMPLO DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A ELIPSES
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
3 4
: 4 4 0 : 8 4 0
: 9 4 36 0 : 4 9 36 0
x y x x y
x y x y
E E
E E
NOTA.- Dada la ecuación de la forma: 2 2 0ax bx cy dy e donde los coeficientes " "a y c
son diferentes pero del mismo signo, se puede expresar mediante el método de completar cuadrados
de la siguiente forma:
2 2
2 21
x h y k
n m
Después de hallar la ecuación anterior, para determinar si la Elipse se extiende en el eje X o en eje
Y , debemos tomar en cuenta lo siguiente:
PRIMERO.- Los valores " "n y m de los denominadores de la ecuación están relacionado con la
variable del numerador, es decir:
2 2
2 21
x h y k
n m
" " " "
" " " "
relacionado
relacionado
n está relacionado con la variable x n x
m está relacionado con la variable y m y
SEGUNDO.- Para identificar los valores de los parámetros de " "a y b correspondientes de la
ecuación se debe tomar en cuenta que, el mayor valor siempre le corresponde al parámetro " "a y
tomando en cuenta lo anterior se puede determinar a qué variable le corresponde y por lo tanto
podemos saber en qué eje se extiende más la gráfica de la Elipse, es decir:
, .
, .
i Si n m entonces n a luego la grafica de la Elipse se extiende en el eje X
ii Si m n entonces m a luego la grafica de la Elipse se extiende en el eje Y
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EJEMPLO : Grafique las siguientes relaciones:
2 2 2 211 ........ 1 ; 1 ........ 2
4 9 16 9
x y x y
SOLUCIÓN: Para la ecuación (1), de acuerdo a la ecuación correspondiente de la Elipse y las consideraciones
hechas en la observación se tiene:
: 3
2
Parametros a Eje Y
b Eje X
2 2
2 2
11
2 3
x y
2 2
2 2
11
2 3
x y
2 21
14 9
x y
n m : 1,0Centro C
En forma análoga para la ecuación (2), de acuerdo a la ecuación correspondiente de la Elipse y las
consideraciones hechas en la observación se tiene:
: 4
3
Parametros a Eje X
b EjeY
2 2
2 21
4 3
x y
2 2
2 21
4 3
x y
2 2
116 9
x y
n m : 0,0Centro C
Gráfica de las Elipse (1) y (2):
O 1,0C
3a
2b
X
Y
1Grafico
2 2
116 9
x y
2 21
14 9
x y
O 0,0C
3b
4a
X
Y
2Grafico
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1.5. LA HIPERBOLA H Es el conjunto de pares ordenados 2,x y tal que describe el
movimiento de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una
cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 22 2 2 2
: , / 0
: " " " " .
: , / 1 ; : , / 1
x y a x bx c y dy e
Donde a y c son de signos diferentes
x h y k y k x hx y x y
a b a b
H
H H
Signos
Caso1: Hipérbola paralela al eje X // X H
O h
k
,C h k
ab
h ah a
Asintotas
X
Y
1: , ,Dominio Dom h a h a H 1:Rango Rang H
2 2
2 2
1 1 2 2: 0 : 1
x h y kax bx cy dy e
a b
H H
: ,Centro C h k :Parámetros a y b
Caso2: Hipérbola paralela al eje Y //Y H
O h
k
,C h k
a
b
h bh b
Asintotas
X
Y
k a
k a 2:Dominio Dom H 2: , ,Rango Rang k a k a H
2 2
2 2
2 2 2 2: 0 : 1
y k x hax bx cy dy e
a b
H H
: ,Centro C h k :Parámetros a y b
11 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
OBSERVACIÓN (1) Para identificar la ecuación de una hipérbola y distinguirlas de los otros
lugares geométricos, es necesario tener en cuenta que:
1. Las variables " " " "x e y de la regla de
correspondencia ambas deben ser de segundo
grado.
2. Los coeficientes de las variables de 2° grado
deben ser de diferente signo.
2 2: 0a x bx c y dy e H
" "
2
x e y deben ser
de Grado
Diferente signo
EJEMPLO DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A HIPÉRBOLAS
2 2 2 2
1 2
2 2 2 2
3 4
: 4 0 : 8 4 0
: 9 4 36 0 : 4 8 9 18 41 0
x y x x y
x y x x y y
H H
H H
NOTA (1) Dada la ecuación de la forma: 2 2 0ax bx cy dy e , donde los coeficientes
" "a y c tienen signos diferentes y transformar en una de las siguientes ecuaciones:
2 2 2 2
2 2 2 21 1
x h y k y k x h
a b a b
De las ecuaciones anteriores se puede determinar si la gráfica correspondiente a las hipérbolas se
desplaza en el eje X o en Y, teniendo en cuenta los siguientes aspectos:
(1) Si
2
2
x h
a
va primero en la ecuación con signo positivo entonces la hipérbola es paralela a X.
(2) Si
2
2
y k
a
va primero en la ecuación con signo positivo entonces la hipérbola es paralela a Y.
NOTA (2) Si los coeficientes " "a y c de la ecuación 2 2 0ax bx cy dy e son iguales, pero de
signos diferentes, en tal efecto la ecuación será de la forma:
2 2 0 *x bx y dy e
NOTA (3) De la ecuación (*), se obtiene que los parámetros " "a y b de las ecuaciones:
2 2 2 2
2 2 2 21 1
x h y k y k x h
a b a b
12 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA
son iguales a b , las cuales son llamadas HIPERBOLA EQUILATERA, cuyas ecuaciones
toman la siguiente forma:
2 2 2 22 2
1 2: ; :x h y k a y k x h a H H
h
ka
a b
/ /Hipérbola Equilatera X H
: ,Centro C h k :Parámetros a b
2 22 2 2
1 1: 0 :x bx y dy e x h y k a H H
/ /Hipérbola Equilatera Y H
: ,Centro C h k :Parámetros a b
2 22 2 2
2 2: 0 :x bx y dy e y k x h a H H
h
ka b
a
NOTA (4) Las hipérbolas equiláteras al trasladarse a un nuevo sistema cuyo origen es
' ,O h k de coordenadas y rotar un ángulo 4
, se tiene una ecuación de la siguiente
forma:
2 2
2
: , / 0
: , / ; 0
x y xy bx cy e
x y x h y k a a
H
H
X
Y
OX
Y
Oh
k
0a
x h
y k ,C h k
x h
y k
0a
,C h k
h
k
: : :Hipérbola Equilatera x h y k a x h y k a H H
: 0
0
Parámetro a I y III Cuadrantes formado por las asíntotas
a II y IV Cuadrantes formado por las asíntotas
: ,Centro C h k
:Dominio om h D H
:Asintotas x h Vertical
y k Horizontal
:Rango ang k R H