Post on 01-Jan-2016
description
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 1
REPÀSBIOESTADÍSTICA
II PART
INTERVAL DE CONFIANÇAPROVES D'HIPÒTESIS
COMPARACIÓ DE DUES VARIABLES
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 2
REPÀSINTERVAL DE CONFIANÇA
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 3
Repàs interval de confiança
Interval de confiança d’una mitjana:
σ coneguda
σ desconeguda, n gran (n≥30)
σ desconeguda, n petita (n<30)
nz
2
2X
n
sz
2
2X
n
st
,n
2
21X
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 4
Repàs interval de confiança
Interval de confiança d’una proporció:
n
)p(pzp 00
20
1
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 5
REPÀSPROVES D’HIPÒTESIS
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 6
Repàs proves d’hipòtesi
Una prova d’hipòtesis consta de quatre elements:
Hipòtesis nul·la (H0) Hipòtesis alternativa (Hα) El estadístic de la prova La regió de rebuig o regió crítica
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 7
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a
• El estadístic de la prova (σ coneguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)
Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96
nNX ,:
),(N
n
ZX
10-X-X
2
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 8
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a
• El estadístic de la prova (σ coneguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-∞,zα)
Si α=0.05 z α= z 0.05=1.645
nNX ,:
),(N
n
ZX
10-X-X
2
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 9
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a
• El estadístic de la prova (σ desconeguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si t Є (-∞,-t n-1,α/2) o t Є (t n-1,α/2,∞)
Acceptació de H0 si t Є (- t n-1,α/2,t n-1,α/2)
Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)
n,t:X )n( 1
12
-X-X n
X
t
n
sT
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 10
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a
• El estadístic de la prova (σ desconeguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si t Є (t n-1,α,∞)
Acceptació de H0 si t Є (-∞ ,t n-1,α)
Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)
nNX ,:
12
-X-X n
X
t
n
sT
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 11
Contrastos unilateral i bilateral
La posició de la regió crítica depèn de com es facin les hipòtesis.
Unilateral Unilateral
Bilateral
H0: µ ≤ aH1: µ ≥ a
H0: µ ≥ aH1: µ ≤ a
H0: µ = aH1: µ ≠ a
- z/2 z/2
- z z
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 12
Exercici
Sigui X una variable aleatòria amb desviació estàndar = 2
Volem testar:
• Si la mitjana de X es 40
• Si la mitjana de X es igual o menor que 40
Agafem una mostra de 16 elements.
Calculem la seva mitjana i ens dona 40’90
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 13
Exercici
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = 40 H0: µ ≤ 40
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ 40 Hα : µ > 40
• El estadístic de la prova (σ coneguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa 162,40: NX
)1,0(
162
04-X-X22
N
n
Z
8150
900
162
409040
9040
2'
'
''Z
'X
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 14
Exercici
Pel test bilateral, la regió de rebuig o regió crítica es:
Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)
Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96
Rebuig de H0 si z Є (-∞, -1’96) o z Є (1’96,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-1’96,1’96)
1’80 esta dintre de la regió de acceptació.
Acceptem la hipòtesi nul·la, la mitjana es igual a 40
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 15
Exercici
Pel test unilateral, la regió de rebuig o regió crítica és:
Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-∞ ,zα)
Si α=0.05 z α= z 0.25=1.645
Rebuig de H0 si z Є (1’645,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-∞, -1’645)
1’80 esta dintre de la regió de rebuig.
Rebutgem la hipòtesi nul·la,
Acceptem hipòtesi alternativa, la mitjana es major que 40
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 16
Tipus de error, poder i nivell de confiança
DecisióPoblació real
H0 és falsa H0 és certa
Es refusa la H0 Decisió correcte1- (poder)
Risc (error tipus I)
No es refusa la H0 Risc (error tipus II)
Decisió correcte1- (confiança)
[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00
[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00
[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 17
Contrast per al paràmetre p
n
p1p
ppz
oo
o
- z
1 -
z
1 -
- z/2 z/2
1 -
Hipòtesi nul·la
Ha
Hipòtesi alternativa
Ha
Tipus de contrast
Estadístic de contrast
Regió d’acceptació
P = Po P ≠ pobilater
al
segueix una llei N(0,1)
(-z/2,z/2)
P po P > pounilater
al(-∞,z)
P ≥ po P < ppunilater
al(-z,+∞)
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 18
REPÀSCOMPARACIÓ DUES
VARIABLES
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 19
Resum de la comparació de dues mitjanes observades• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• El estadístic de la prova
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La distribució del estadístic de la prova i la formula del estimador de EE depèn de:
• La mida de les mostres• La normalitat de X en els dos grups• La variança de X sigui igual en els grups
^^
BA XX
EE
d
EE
EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 20
Resum de la comparació de dues mitjanes observadesEstratègia:
coneguda (1) desconeguda
nA i nB 30 (2) nA i/o nB < 30
Distribució Normalvariàncies homogènies (2
A = 2B) (3)
variàncies NO homogènies (2A 2
B)(4) Distribució no Normal proves no paramètriques
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 21
1 coneguda
2 desconeguda, n gran
3 desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2
B
4 desconeguda, n petita, X normal, 2A 2
B
EEBA nnBA 22
+ = EE B
2
A
2
ns
ns BA
EE BA n
sns
22
ˆˆ
2 - +
2BB
2AA
= nn
s1)-n(+s1)-n( s
BA
2
)1,0(NEE
dZ
)1,0()2( _ NnntEE
dT grann
bA
)2( bA nntEE
dT
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 22
Exercici
Un grup de 16 individus que segueix una dieta A te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 4.
Un grup de 13 individus que segueix una dieta B te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 5.
Tenen els dos grups el mateix IMC amb una significació α=0’05 ?
Quin es el grau de significació?
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 23
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• El estadístic de la prova
• Sota la hipòtesi H0 certa
• Situació: desconeguda • n petita, • X normal, 2
A = 2B
^^
BA XX
EE
d
EE
EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes
Exercici
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 24
desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2
B
EE BA n
sns
22
ˆˆ
2 - +
2BB
2AA
= nn
s1)-n(+s1)-n( s
BA
2
)2( bA nntEE
dT
Exercici
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 25
Resultats
Estimació de la variància comuna (2) a partir de la mitjana ponderada pels graus de llibertat de les variàncies s2
A i s2B
'444427
120
2 - 13 165 1)-(134 1)-(16
s2
5;B 23; ;31
4;A 27; ;61
sXn
sXn
2
BB
2
AA
27 2 - 13 16 gl
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 26
+ = EE ns
ns
O
2
P
2
Càlcul de l’Error Estàndard
1'659 13
16
EE 4'4444'444
22
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 27
⇒
-
EE
d t ⇒
- d
tyy
yy
27
O
2
P
2
O P
O P
ns
ns
Càlcul de l’estadístic de contrast: t de Student
2'411 1'659
4 t ⇒
432-72 d
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 28
Resultats
El grau de significació es aquell valor de α tal que
411,22
,27t
La regió critica o de rebuig serRebuig de H0 si t Є (-∞,-t 27,α/2) o t Є (t27,α/2 ,∞)
Acceptació de H0 si t Є (-t27,α/2 ,t27,α/2 )
Si α=0.05 t27,α/2= t27,0.025=2’0518
2’2411 esta en la regió critica,
Rebutgem H0, les mitjanes del IMC en el grup A i el grup B no es poden considerar iguals
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 29
Comparació de dues variables qualitatives
Una taula té f files i c columnesPer cada casilla de la taula calculem
ofc = freqüències observades
efc = freqüències
esperades
Variable 2 Total
1 .... f
Variable 1
1 n 3.
...
f n 1.
Total n.1 n.3 n
n
nne
.ji.
ij
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 30
Comparació de dues variables qualitatives
))1)(1((~
22
1 1
2
∑∑)-(
fcc
i
f
j eij
eijoij
Ho: Les distribucions de les categories de una variable NO SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.
H1: Les distribucions de les categories de una variable SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.
Estadístic de contrast:
Regió crítica:
Rebuig de H0 si X2 > X2 ( α , (c-1)(f-1) )
Acceptació de H0 si X2 < X2 ( α , (c-1)(f-1) )
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 31
Mida de la mostra per comparar dues proporcions observades
BA
BBAAβα
2
pp
p1pp1pzp1p2z-
---2
n
n = nombre d’individus necessaris a cada grup z = valor de z corresponent al risc fixat z = valor de z corresponent al risc fixat pA = valor de la proporció esperada al grup A pB = valor de la proporció esperada al grup B pA-pB = valor mínim de la diferencia que es vol
detectar p = mitjana ponderada de les proporcions pA i pB