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Diapositiva 1Universidad de Atacama - Departamento de Metalurgia
INGENIERIA DE MATERIALES NIVEL 201
RESISTENCIA DE MATERIALES
PROFESOR: JORGE BRAVO G.
Universidad de Atacama - Departamento de Metalurgia INGENIERIA DE
MATERIALES NIVEL 201
En Ingeniería, se requiere el uso de materiales apropiados para la
construcción de obras civiles, edificaciones y maquinarias.
Sin embargo, se requiere también definir un sistema de unidades de
medida con el que se trabajará.
Introducción
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Existen dos sistemas de unidades principales:
Sistema Métrico: Aceptado internacionalmente, se conoce por el
nombre Sistema Internacional de unidades, el cual se abrevia
SI.
Sistema Inglés: de uso en los EEUU, cuyo nombre es English
Gravitational Unit System (EGU). Lo que significa unidades
gravitacionales inglesas.
Sistemas de Unidades
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Unidades
TABLA Nº 1. DIMENSIONES BÁSICAS EN EL SISTEMA SI Y EGU.
MAGNITUD
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De acuerdo a las Leyes de Newton, a toda acción corresponde una
reacción.
Cuando se aplica una fuerza externa a un cuerpo sólido y este
permanece estático, se produce una reacción interna que equilibra
la fuerza externa.
La magnitud de la reacción interna es el esfuerzo y la consecuencia
inmediata de la existencia de un esfuerzo es la deformación.
Fuerzas
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Efecto de una Fuerza sobre un Sólido
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La magnitud de la reacción en cada enlace depende de la magnitud de
la fuerza aplicada y de la cantidad de partículas que resisten la
acción de esa fuerza.
La cantidad de enlaces que soporta tal fuerza esta directamente
relacionada con el área transversal a la dirección en que actúa la
fuerza.
La magnitud del efecto es directamente proporcional a F e
inversamente proporcional a A
Efecto de una Fuerza sobre un Sólido
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Se ocupa del estudio de los efectos causados por la acción de
cargas externas que actúan sobre un sistema deformable.
Calcula las deformaciones correspondientes y las relaciones que
existen entre la acción de las cargas externas y las fuerzas
internas inducidas.
En base al análisis, concluye si una pieza es capaz de resistir un
sistema de cargas propuesto.
Resistencia de Materiales
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Los principales materiales de construcción son:
Acero: Muy utilizado en instalaciones industriales.
Hormigón Armado: Hormigón con barras de refuerzo de acero. Muy
utilizado en la construcción de edificios.
Madera: Se utiliza en instalaciones provisorias y como parte de la
estructura de viviendas. No tiene un uso masivo en Chile.
Materiales de Construcción y Montaje
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El acero es una aleación de hierro y carbono, donde este último no
supera el 2,1% en peso.
Es un metal muy duro y tenaz, pero también es dúctil, es decir, se
deforma antes de romperse, por lo que es un muy buen material de
construcción.
Existen perfiles normalizados para vigas, columnas, y otros
elementos estructurales.
Su densidad es de alrededor de 7.850 kg/m3.
Acero
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Ejemplo de estructura de acero
Acero
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Hormigón Armado
El hormigón corresponde a una mezcla de cemento, arena, agua y
áridos (piedras) con una dosificación determinada.
El hormigón en masa es un material rígido y duro, que una vez
fraguado resiste esfuerzos de compresión considerables.
No obstante, el hormigón no tiene buena resistencia a la tracción,
por lo que se combina con barras de acero, las que resisten esos
esfuerzos.
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Hormigón Armado
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Madera
La madera es un material estructural caracterizado por su ligereza,
su resistencia y su calidad de recurso renovable.
La madera es un material anisotrópico, es decir, presenta distintas
propiedades en cada dirección.
En la dirección longitudinal a las fibras, su resistencia es mucho
mayor que en dirección transversal.
Sus desventajas son su poca durabilidad en ambientes agresivos y su
baja resistencia al fuego.
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Madera
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a) Estáticos; que simulan el comportamiento del material con
pequeñas velocidades de aplicación de las cargas:
. Tracción
. Compresión
. Dureza
b) Dinámicos; que modelizan el comportamiento frente a cargas
variables con el tiempo:
. Fatiga
. Resiliencia
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Ductilidad: Es la habilidad de un material para deformarse antes de
fracturarse.
Es una característica muy importante en el diseño, puesto que un
material dúctil es usualmente muy resistente a cargas por
impacto.
Tiene además la ventaja de “avisar” cuando va a ocurrir la
fractura, al hacerse visible su gran deformación.
Algunos Conceptos
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Elasticidad: Es la habilidad que tiene un material que ha sido
deformado de alguna manera para regresar a su estado y tamaño
original, cuando cesa la acción que ha producido la
deformación.
Cuando el material se deforma permanentemente, de tal manera que no
pueda regresar a su estado original, se dice que ha pasado su
límite elástico.
Dureza: Mide la resistencia a la penetración sobre la superficie de
un material, efectuada por un objeto duro.
Algunos Conceptos
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Fragilidad: Es lo opuesto de ductilidad.
Un material frágil no tiene resistencia a cargas de impacto y se
fractura aún en cargas estática sin previo aviso.
Tanto la fragilidad como la ductilidad de un material son mediadas
arbitrarias, pero puede decirse que un material con un alargamiento
mayor de 5% es dúctil y menor de 5% es frágil.
Algunos Conceptos
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Maleabilidad: Es la propiedad que permite que un material se
deforme mediante martilleo, rolado o prensado, sin romperse. La
maleabilidad, se aumenta normalmente cuando el metal esta
caliente.
Plasticidad: Es la habilidad de un material para adoptar nuevas
formas bajo la presión y retener esa nueva forma.
Carga: Las cargas son fuerzas externas que actúan sobre las
estructuras. Los tipos de carga más habituales son:
7.1 Los pesos situados sobre las estructuras.
7.2 El peso de la propia estructura.
7.3 La presión del agua.
7.4 La fuerza del viento.
Algunos Conceptos
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Esfuerzo (σ): Fuerza aplicada a un área A conocida (kg/cm2).
Algunos Conceptos
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8.1 Esfuerzo de Tensión o Tracción: Los extremos del material son
estirados hacia afuera para alargar al objeto.
8.2 Esfuerzo de Compresión: Los extremos del material son empujados
para contraer al mismo.
Tracción y Compresión
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8.3 Esfuerzo de Corte: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas
que tienden a cortarlo o desgarrarlo. En este caso, la superficie
de corte es perpendicular a la fuerza aplicada.
Corte
CORTE
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8.4 Esfuerzo de Flexión: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan
fuerzas que tienden a doblarlo. En este caso, una parte del cuerpo
se comprime y la otra se tracciona.
Flexión
FLEXIÓN
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8.5 Esfuerzo de Torsión: Ocurre cuando sobre el cuerpo actúan
fuerzas que tienden a retorcerlo. Un caso es cuando se usa una
llave para abrir una puerta.
Torsión
TORSIÓN
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Esfuerzos en la Práctica
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9. Deformación Unitaria (ε):
Consideremos a la barra de sección constante que soportan una carga
axial P en su extremo.
Bajo la acción de la carga, la barra sufrirá una deformación que
denominaremos con la letra griega (delta)
(épsilon): deformación unitaria
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Deformación Elástica
Deformación restaurable, debido a un esfuerzo aplicado. Se presenta
tan pronto como se aplica la fuerza, permanece mientras se aplica
el esfuerzo y desaparece tan pronto como se retira la fuerza.
Deformación Plástica
Deformación permanente de un material, cuando se quita el esfuerzo,
el material no regresa a su forma original.
Deformaciones
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Ensayo de Tensión en Metales
El Ensayo de Tensión mide la resistencia de un material (metales,
aleaciones y plásticos) a una fuerza estática o aplicada
lentamente,
Este ensayo es utilizado para determinar la resistencia, ductilidad
y elasticidad del metal.
El ensayo de tensión se realiza bajo la norma ASTM E-8 o bien la
norma chilena NCH 200, entre otras.
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Ensayo de Tensión
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Esquema de probetas que se utilizan en el ensayo de tracción
Ensayo de Tensión
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Esfuerzo y Deformación
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Esfuerzo Real y Deformación Real
Curva típica de tracción hasta la fractura, punto F. La resistencia
a la tracción está indicada en el punto M.
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Esfuerzo obtenido con la máxima fuerza aplicada.
Es el esfuerzo máximo, basado en la sección transversal original,
que puede resistir un material.
Es el esfuerzo en el cual comienza la estricción en los materiales
dúctiles.
Resistencia a la Tracción (σmáx)
Estricción: Reducción de la sección de la probeta, momento a partir
del cual las deformaciones continuarán acumulándose hasta la rotura
de la probeta por ese zona. La estricción es la responsable del
descenso de la curva tensión-deformación
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Esfuerzo de Ruptura (σr)
Es el esfuerzo basado en la sección original, que produce la
fractura del material.
La deformación se concentra en la zona del cuello, provocando que
la fuerza deje de subir. Al adelgazarse la probeta por estricción,
la fuerza queda aplicada en menor área, provocando la
ruptura.
Esquema de la secuencia de ruptura de las probetas en un ensayo de
tracción
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Diagrama Tensión-Deformación
Ensayamos a tracción una probeta de un determinado material. Para
distintos valores de la carga medimos la tensión () y la
deformación unitaria (ε) producidas. Representando gráficamente, se
obtiene el siguiente diagrama.
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Conceptos Tensión-Deformación
Zona Elástica: Es la parte donde al retirar la carga el material
regresa a su forma y tamaño inicial.
Zona de Fluencia: Región en donde el material se comporta
plásticamente; es decir, en la que continúa deformándose bajo una
tensión “constante”.
Zona de Endurecimiento: Zona en donde el material retoma tensión
para seguir deformándose; va hasta el punto de tensión
máxima.
Zona de Estricción: En éste último tramo el material se va poniendo
menos tenso hasta el momento de la fractura.
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Conceptos Tensión-Deformación
Límite proporcional: Tensión máxima para la cual la deformación es
proporcional a la tensión.
Módulo de Elasticidad (E): Relación entre la tensión y la
deformación del acero. Válida hasta el límite proporcional.
Tensión de Fluencia: Tensión para la cual el material se comporta
plásticamente, el cual fluye a un valor constante de tensión.
Límite Elástico: Tensión máxima para la cual la deformación es
completamente recuperable. Pasado ese valor, queda una deformación
permanente.
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Diagrama Tensión-Deformación para una aleación de aluminio
Ejemplo Diagrama Tensión-Deformación
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Para materiales sometidos a esfuerzos tensionantes, a relativamente
bajos niveles, el esfuerzo y la deformación son
proporcionales
La constante E es conocida como el Módulo de Elasticidad, o Módulo
de Young. Es una medida de la rigidez de un material.
Es medida en MPa y puede valer de ~4.5 x 104 a 4 x 107 MPa
Ley de Hooke
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Esfuerzo Cortante (τ)
El Esfuerzo Cortante es usado en aquellos casos donde se aplican
fuerzas puramente torsionantes a un objeto y se denota por el
símbolo τ.
La fórmula de cálculo y las unidades permanecen iguales como en el
caso de esfuerzo de tensión.
Se diferencia del esfuerzo de tensión sólo en la dirección de la
fuerza aplicada (paralela para cortante y perpendicular para
tensión).
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Deformación de Corte o Cizalle (γ) es definida como la tangente del
ángulo θ y, en esencia, determina qué extensión del plano fue
desplazado.
Esfuerzo Cortante y Deformación
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El Esfuerzo Cortante y la Deformación se relacionan de manera
similar, pero con una constante de proporcionalidad
diferente.
La constante G es conocida como el Módulo de Corte y relaciona el
Esfuerzo Cortante con la deformación en la región elástica.
Esfuerzo Cortante y Deformación
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Cuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo tensionante, se crea
una deformación acompañante en la misma dirección.
Como resultado de esta elongación, habrá constricciones en las
otras dos direcciones.
El Coeficiente de Poisson (ν) es la relación entre las
deformaciones lateral y axial.
Coeficiente de Poisson (ν)
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Teóricamente, los materiales isotrópicos tienen un valor de
Coeficiente de Poisson de 0.25.
El máximo valor de ν es 0.5
No hay cambio de volumen durante el proceso.
La mayoría de los metales presentan valores entre 0.25 y
0.35.
Se usa además para relacionar los Módulos Elástico y de
Corte.
Coeficiente de Poisson (ν)
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Es la capacidad de un material para absorber energía cuando es
deformado elásticamente y devolverla cuando se elimina la carga
(área bajo la curva elástica).
Módulo de resiliencia: corresponde a la energía de deformación por
unidad de volumen, requerida para llevar el material desde una
tensión cero hasta el límite elástico.
Resiliencia
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Capacidad de absorber energía en el campo plástico, antes de
fracturarse (trabajo de fractura).
Se determina como el área bajo la curva esfuerzo-deformación
ingenieril. Esta superficie es una indicación del trabajo total,
por unidad de volumen que puede realizarse sobre el material sin
que se produzca rotura
Tenacidad
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Convención de Signos
Esfuerzo Axial Simple:
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Tensión Admisible
Es un valor que indica el nivel máximo de solicitación al cual
puede trabajar un material.
La tensión de trabajo no debe sobrepasar la tensión
admisible.
Este valor se determina arbitrariamente, aunque procurando no
sobrepasar el rango elástico del material, pues de otro modo,
podría sufrir deformaciones permanentes
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Factor de Seguridad
Es un valor que permite reducir los niveles de incertidumbre en los
cálculos de Ingeniería. Este coeficiente debe ser mayor a 1.
Este valor relaciona la resistencia que posee el material con las
cargas a las que va a estar sometido.
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Al igual que en el caso lineal, existen módulos de elasticidad de
área y volumen.
Para el caso del módulo de elasticidad de volumen, se tiene lo
siguiente.
Elasticidad Volumétrica
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Corresponde a las variaciones de dimensión en un material producto
de los cambios de temperatura en el mismo. Y la ecuación es la
siguiente:
Expansión Térmica
En donde:
Expansión Térmica
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Coeficiente de expansión térmica (α): es la propiedad de un
material que indica la cantidad de cambio unitario dimensional con
un cambio unitario de temperatura.
Las unidades en que se exprese el coeficiente de expansión térmica
son:
E.U.G
SI
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Deformación que Causa la Expansión Térmica
Esfuerzo Térmico: Estos esfuerzos se generan cuando a un elemento
sometido a cambios de temperaturas se le sujeta de tal modo que
impida la deformación del mismo, esto genera esfuerzos en la
pieza.
Recordando que:
Expansión Térmica
En donde:
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CENTRO DE MASA
El Centro de Masa es el punto en donde se considera que se
encuentra concentrada la masa de un cuerpo.
Es un punto único, independiente de la posición y orientación del
sólido.
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CENTRO DE MASA
Para un conjunto de masas puntuales, el Centro de Masa se
calcula:
m1
m2
m3
m4
m5
m6
y
x
r1
r4
r6
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CENTRO DE MASA
Para una distribución continua de masa, el Centro de Masa se
calcula:
r
y
x
rCM
z
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MOMENTO DE INERCIA
Es la forma en que se distribuye la masa en torno al eje de
giro.
Por ejemplo, para una misma varilla que gira en torno a dos ejes
distintos, los momentos de inercia también son distintos.
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MOMENTO DE INERCIA
Se ha definido el momento de inercia de un objeto con respecto al
eje z como:
Caso Sistema Discreto (masas puntuales)
Caso Sistema Continuo (masa distribuida)
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MOMENTO DE INERCIA: EJEMPLOS
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TEOREMA DE STEINER
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MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS
En general, el momento de inercia es aplicable a cuerpos con una
masa definida que rotan alrededor de un eje.
Sin embargo, el concepto también es aplicable a áreas de secciones
de cuerpos.
En otras palabras, se pueden reemplazar los términos de masa por
términos de superficie cuando lo que rota es una sección completa
(flexión de una viga, por ejemplo).
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MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS
Recordando, en el caso de un sistema distribuido y continuo, el
momento de inercia respecto al eje Z es:
Para el caso de secciones, sólo se reemplaza dm por dA
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MOMENTO DE INERCIA DE SECCIONES PLANAS
Esto significa que si tenemos una superficie o sección completa que
rota alrededor de un eje, los momentos de inercia en X, en Y y en Z
serán los siguientes:
Se debe notar que el momento de inercia en Z corresponde a la suma
de los momentos de inercia en Y y en X.
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MOMENTO POLAR DE INERCIA
A Iz se le denomina “Momento Polar de Inercia”, pues la sección
gira en torno al eje Z, es decir, gira dentro del plano XY.
El momento polar de inercia (M.P.I.) se aplica en caso de Torsión
de un cuerpo (torsión en la sección de un cuerpo).
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TORSIÓN
En el caso en que se aplique torsión sobre un cuerpo, éste no gira
uniformemente alrededor de un eje, sino que el giro varía
linealmente según la longitud del cuerpo.
Ej: Sea un cilindro macizo de sección circular de radio R y
longitud L, sometida a un momento torsor:
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TORSIÓN
Considerando la igualdad de arcos entre los puntos a y b, según el
radio R y la generatriz L, se deduce lo siguiente:
Rθ ≈ γL (1)
Donde θ es el ángulo de torsión, y γ es la deformación angular por
cortante.
Para determinar el esfuerzo cortante máximo τmáx del material, se
puede utilizar la ley elástica de Hooke para la torsión, que
establece:
τmáx = G.γ (2)
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TORSIÓN
Si los esfuerzos cortantes no sobrepasan el límite de
proporcionalidad, dicho esfuerzo se distribuye linealmente, siendo
cero en el eje central de la probeta y logrando un valor máximo en
la periferia.
Así, es posible utilizar otra fórmula para calcular el esfuerzo
cortante máximo, la cual considera el momento torsor T aplicado y
el momento polar de inercia J de la sección de la pieza que resiste
la torsión:
(3)
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TORSIÓN
En el caso de secciones circulares macizas de radio R, el momento
polar de inercia J es:
(4)
Por lo tanto, el esfuerzo cortante en la periferia del cilindro es
igual a:
(5)
(6)
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TORSIÓN
De la ecuación (1) se puede obtener una expresión para el ángulo γ
en función del ángulo de torsión θ, el que se sustituye en la
ecuación (4) para llegar a :
Este valor se sustituye en la ecuación (4) para llegar a :
El valor del ángulo θ es:
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ALGUNOS EJEMPLOS DE M.P.I.
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ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
La flexión induce esfuerzos de tensión en las vigas, los cuales son
muy importantes en Ingeniería.
Consideremos que una viga tiene el siguiente sistema de
coordenadas:
Los ejes Y y Z son los ejes principales de Inercia
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ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
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ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
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ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos para Corte:
Convención de signos para Momento en Z:
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ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos para Momento en Y:
En la práctica, sólo se trabaja con el caso en que n > 0
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ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos
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ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
Convención de signos
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ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
SUPERFICIE NEUTRA:
Al flexionar una viga, las secciones transversales giran y hacen
que las fibras longitudinales, inicialmente rectas, se curven,
alargándose o acortándose según su posición en la viga.
Existen fibras que no se alargan ni se acortan, éstas son las
fibras neutras.
La superficie que forman las líneas neutras se denomina superficie
neutra.
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ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
SUPERFICIE NEUTRA:
La superficie que forman las líneas neutras se denomina superficie
neutra.
El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección de la
viga.
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ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
TENSIONES NORMALES:
Los ejes Y y Z son los ejes principales de Inercia. Si existe
momento en ambos ejes, tendemos que la tensión longitudinal
será:
En el caso en que My = 0:
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ESFUERZOS DEBIDO A FLEXIÓN EN VIGAS
En el caso en que Mz = 0:
Y la distribución de tensiones normales para este caso será:
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RADIO DE GIRO
“El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a
través del CG, es la distancia desde el eje en el cual se puede
concentrar toda la masa del objeto sin cambiar su momento de
inercia”.
El radio de giro es siempre medido desde el CG y se define
como:
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MÓDULO DE RESISTENCIA (W)
Habíamos visto que en el caso en que My = 0:
También tenemos que para las fibra extremas de la sección se
alcanzan las tensiones máximas de tracción y compresión:
Otra forma de expresar la ecuación anterior es la siguiente:
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MÓDULO DE RESISTENCIA (W)
Al denominador de la ecuación anterior le llamamos “Módulo de
Resistencia” (W).
Con lo cual la expresión de la tensión máxima en Z queda así:
Análogamente, la tensión máxima en Y queda expresada de la
siguiente manera:
En que:
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MÓDULO DE RESISTENCIA (W)
Y por tanto:
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MÓDULO DE RESISTENCIA (W)
Y por tanto:
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TENSIONES ADMISIBLES
En numerosos materiales los esfuerzos límites de tracción y de
compresión son diferentes y, en consecuencia, serán diferentes sus
esfuerzos admisibles a tracción σadm,t y a compresión σadm,c.
Para dimensionar una sección transversal solicitada a flexión pura
utilizando este tipo de materiales, se ha de verificar:
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TENSIONES ADMISIBLES
Cuando se utilizan materiales que tienen el mismo esfuerzo límite
de tracción y de compresión y, por tanto, el mismo esfuerzo
admisible, el anterior criterio de dimensionamiento se reduce
a:
σmáx = σadm
siendo σmáx el máximo esfuerzo normal, ya sea de tracción o de
compresión.
Al dimensionar una sección solicitada por el momento flector Mz
utilizando un material que tenga el mismo esfuerzo límite de
tracción que de compresión, el módulo resistente necesario
será:
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TENSIONES ADMISIBLES
De ella se deduce inmediatamente que las secciones más económicas
en flexión serán aquellas que tengan el mayor módulo resistente Wz
con el menor gasto de material, lo que se consigue situando la
superficie de la sección lo más alejada posible del eje
neutro.
Esta es la razón de que en flexión tengan utilización preferente
los perfiles delgados esquematizados en la siguiente figura:
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FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER
Sean DE y CF las trazas de los planos que contienen a dos secciones
rectas indefinidamente próximas de un prisma mecánico, sometido a
flexión pura.
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FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER
Si unas fibras se alargan y otras se acortan, por la continuidad de
las deformaciones existirá una fibra neutra que no experimente
variación de longitud alguna.
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FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER
Sea AB la traza de la superficie neutra, cuyo radio de curvatura es
rz.
Es fácil demostrar que los triángulos MNB y ABO son semejantes, por
lo que se podrá escribir:
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FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER
Como
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FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER
En virtud de la ley de Hooke:
Δdx/dx = ε = σ/E
por lo que:
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FLEXIÓN PURA: LEY DE NAVIER
Como el cociente E/r es constante en cada sección, podemos enunciar
la Ley de Navier:
«En una sección sometida a flexión pura, los módulos de las
tensiones que se ejercen sobre las distintas fibras son
directamente proporcionales a sus distancias a la fibra
neutra».
La representación gráfica de dichas tensiones será lineal y, como
era de esperar, las máximas tensiones de compresión y de tracción
corresponden a las fibras extremas.
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RIGIDEZ A FLEXIÓN
se obtiene que:
Según esta expresión, la curvatura de la elástica es directamente
proporcional al momento flector Mz e inversamente proporcional a la
magnitud EIz , llamada “Rigidez a Flexión”.
Rigidez a Flexión: Oposición que pone el prisma mecánico a
deformarse.
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FLEXIÓN SIMPLE: CONVENIO DE SIGNOS
En una viga apoyada en sus extremos A y B, tal como la indicada en
la figura siguiente, el Momento en una sección mn a distancia x de
A, considerando las fuerzas situadas a su izquierda, será:
Mi(x) = RAx - P(x - a)
Y el esfuerzo cortante:
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FLEXIÓN SIMPLE: CONVENIO DE SIGNOS
Si consideramos las fuerzas situadas a la derecha de la sección, se
tendría:
Md(x) = RB (a + b - x)
Td(x) = -RB
Mi(x) = Md(x)
Ti(x) = Td(x)
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FLEXIÓN SIMPLE: CONVENIO DE SIGNOS
El esfuerzo cortante y el momento flector serán funciones de la
abscisa x de la sección:
T = T(x)
M = M(x)
La representación gráfica de estas funciones da lugar al “diagrama
de esfuerzos cortantes” y al “diagrama de momentos flectores”,
respectivamente.
22.bin
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FLEXIÓN SIMPLE
El dimensionado de una viga, exclusivamente a flexión, exige el
conocimiento de los valores que adopta el momento flector en cada
sección de la viga.
Vamos, por tanto, a determinar los momentos flectores insistiendo
especialmente en su valor máximo.
Como norma general, la determinación de momentos implica el
conocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre el prisma
mecánico.
Se tratarán los siguientes casos de sustentación: viga simplemente
apoyada y viga en voladizo.
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MOMENTOS FLECTORES
Viga simplemente apoyada.
En todos los casos que se estudian a continuación se supone el peso
propio de la viga despreciable respecto a las cargas que actúan
sobre la misma.
23.bin
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MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA
a.-Carga centrada y concentrada.
En primer lugar se determinan las reacciones teniendo en cuenta que
la suma de componentes verticales ha de ser nula:
RA + RB - P = 0
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Tomando momentos respecto del punto medio:
de donde:
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Haciendo uso ahora de las leyes de los momentos flectores:
MOMENTOS FLECTORES CARGA CENTRADA
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El momento flector máximo se presentará en el punto medio de la
viga.
Su valor será:
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MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA
b.-Carga descentrada y concentrada.
En primer lugar se determinan las reacciones imponiendo la
condición de componente vertical nula:
RA + RB - P = 0
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Tomando momentos respecto del extremo B:
RAL - Pb = 0,
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Haciendo uso de las leyes de los momentos flectores:
MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA
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El momento flector máximo tendrá lugar en la sección en la que está
aplicada la carga y su valor se obtiene haciendo x = a en
cualquiera de las ecuaciones de momentos:
MOMENTOS FLECTORES CARGA DESCENTRADA
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MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME
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Representaremos por p la carga por unidad de longitud.
Se suele expresar en toneladas por metro lineal (ton/m).
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME
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La determinación de las reacciones es muy simple, ya que por
simetría:
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME
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En este caso rige una sola ecuación de momentos para toda la
viga:
Es la ecuación de una parábola, por lo que el diagrama de momentos
flectores será un arco de este tipo de cónica.
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME
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El momento máximo será:
MOMENTOS FLECTORES CARGA UNIFORME
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MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO
Vamos a suponerla perfectamente empotrada en un extremo
(imposibilidad de giro en él) en todos los casos que se estudian a
continuación:
47.bin
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MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO
a) CARGA CONCENTRADA EN EL EXTREMO LIBRE
La ecuación de momentos puede escribirse directamente:
M = -Px, válida en 0 ≤ x ≤ L
48.bin
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MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO
El momento flector máximo se dará en el empotramiento y
valdrá:
Mmáx = - pL
49.bin
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MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO
b) CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA.
La ecuación de momentos será:
50.bin
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MOMENTOS FLECTORES EN VIGA EN VOLADIZO
El momento flector máximo se dará en el empotramiento y
valdrá:
y como antes, se trata de un máximo absoluto.
52.bin
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ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA
a) Carga centrada y concentrada sobre viga simplemente
apoyada.
Para una sección mn el valor del esfuerzo cortante será la suma
geométrica de las fuerzas que actúan sobre la viga a uno de sus
lados (consideraremos las fuerzas situadas a la izquierda).
54.bin
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a) Carga centrada y concentrada sobre viga simplemente
apoyada.
Así tendremos:
55.bin
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b) Carga descentrada y concentrada sobre viga simplemente
apoyada.
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA
58.bin
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c) Carga uniformemente repartida sobre viga simplemente
apoyada.
La ley de esfuerzos cortantes será:
La ecuación válida para cualquier sección de la viga.
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA SIMPLEMENTE APOYADA
61.bin
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e) Carga uniformemente repartida.
La ecuación es válida para cualquier sección de la viga.
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA EN VOLADIZO
63.bin
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e) Carga uniformemente repartida.
Tmáx = -pL = -P
ESFUERZOS CORTANTES EN UNA VIGA EN VOLADIZO
64.bin
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RELACIONES ENTRE EL ESFUERZO CORTANTE, EL MOMENTO FLECTOR Y LA
CARGA
65.bin
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VÍNCULOS Y REACCIONES DE VÍNCULO
1) Biela o Cable: Ambos poseen una reacción de vínculo de carga a
lo largo de su eje principal.
2) Apoyo deslizante: Posee una reacción en la dirección
restringida, si se halla en un plano.
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VÍNCULOS Y REACCIONES DE VÍNCULO
3) Articulación o Rótula: Posee dos reacciones de carga en las
direcciones restringidas.
4) Empotramiento: Posee dos restricciones de tipo carga y una de
tipo momento.
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ESTRUCTURAS
Definición: Conjunto de elementos unidos entre sí, destinado a
resistir las fuerzas que actúan entre ellos.
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CONDICIONES DE LAS ESTRUCTURAS
1) Que sea rígida: Es decir, que no se deforme o se deforme dentro
de unos límites. Para conseguirlo, se hace triangulando los
elementos (excepto si es una viga).
2) Que se estable: es decir que no vuelque. Se puede conseguir
haciendo más ancha la base, o colocando tirantes.
3) Debe ser resistente: es decir que cada elemento de la estructura
sea capaz de soportar el esfuerzo al que se va a ver
sometido.
4) Debe ser los más ligera posible, así ahorraremos en material y
tendrá menos cargas fijas.
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EQUILIBRIO
Suma neta de momentos igual a cero.
“ECUACIONES DE EQUILIBRIO ESTÁTICO”.
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DETERMINACIÓN ESTÁTICA
Se habla de que una estructura es ESTÁTICAMENTE DETERMINADA cuando
posee los apoyos necesarios para evitar todos los posibles
movimientos de la estructura.
Cuando la estructura posee menos apoyos de los necesarios para
evitar movimientos en la estructura, se dice que es ESTÁTICAMENTE
INDETERMINADA y se le llama hipostática o “mecanismo”.
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DETERMINACIÓN ESTÁTICA
Cuando una estructura es estáticamente determinada pueden ocurrir
dos casos:
Estructura Isostática: Posee los apoyos estrictamente necesarios
para evitar los movimientos de la estructura. Es sencillo calcular
los esfuerzos, pues hay el mismo número de ecuaciones de equilibrio
que de incógnitas.
Ej:
Viga con un extremo articulado fijo (2 incógnitas) y otro
articulado móvil (1 incógnita). SISTEMA ISOSTÁTICO
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DETERMINACIÓN ESTÁTICA
Estructura Hiperestática: Posee más apoyos de los estrictamente
necesarios para evitar los movimientos de la estructura. En este
caso, existen más incógnitas que ecuaciones, por lo que se deben
ingresar ecuaciones de deformación para calcular los
esfuerzos.
El grado de hiperestaticidad es igual a la diferencia entre el
número de incógnitas y el número de ecuaciones.
Ej:
Viga con dos extremos articulados fijos (4 incógnitas). SISTEMA
HIPERESTÁTICO DE 1° GRADO.
A
F