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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS POR APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN
SECUNDARIA
RESOLUTION OF TRIANGLES BY TRIGONOMETRIC APPLICATIONS IN
SECONDARY
Diana Isabel Villada Espinosa
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Manizales, Colombia
2020
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS POR APLICACIONES TRIGONOMÉTRICAS EN
SECUNDARIA
Diana Isabel Villada Espinosa
Trabajo de grado presentado como requisito final para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
John Jairo Salazar Buitrago
Magister en Ciencias de la Educación
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Manizales, Colombia
2020
Dedicatoria
A mi familia: mamá, papá, hermano y amor.
Porque son mi fuerza para superar cada reto y la
razón para continuar en constante crecimiento.
“Cualquier momento es perfecto para aprender
algo nuevo”
Albert Einstein
Agradecimientos
A Dios, por darme la sabiduría y la fortaleza para cumplir esta meta.
A Luis Marino por ser un padre ejemplar y por el apoyo incondicional para superarme tanto
laboralmente, como persona con valores.
A Gloria Amparo, una madre que brinda toda su ternura, su amor, su compañía, porque sin ella
nada de esto habría sido posible.
A Sebastian Agudelo, gracias por el amor recibido, la paciencia, la compañía, las palabras de
aliento cuando sentía que no iba a poder alcanzar esta meta.
A mi asesor, Magíster John Jairo Salazar Buitrago, por su paciencia, su apoyo total, por su
excelente forma de orientar y de acompañarme en todo el proceso.
A los profesores de la Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales, por contribuir
en el proceso de mi formación como docente.
A los directivos del colegio Gimnasio Campestre La Consolata, por facilitarme el espacio para
realizar mi estudio.
A mis estudiantes, por su disposición para aprender y su colaboración en el proyecto.
A mis amigos, por sus consejos de fortaleza y motivación.
Resumen y Abstract IX
Resumen
Este trabajo de investigación se realizó con el propósito de fomentar la aplicación de las leyes
de solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, en el planteamiento y resolución de
problemas en contextos de medición de alturas, distancias en general y ángulos; a través de un
trabajo de aula que se cimentó en el diseño de guía basados en problemas y la aplicación de estos
mediante actividades prácticas en un grupos de estudiantes de grado décimo de la Institución
Gimnasio Campestre La Consolata.
En la metodología, se establece que esta propuesta está enmarcada dentro del paradigma
cualitativo de carácter descriptivo y se tomó como principal fuente de información la producción
escrita de los estudiantes al usar guías como instrumentos metodológicos: Pre test, talleres de
resolución de triángulos, de leyes de seno y coseno, actividades prácticas y Pos test, y estableció
las variables, su definición y valoración para la valuación de resultados.
La importancia de esta investigación se fundamentó en la observación de los avances y/o
debilidades individuales y/o colectivas que presentan los estudiantes al aplicar las leyes de seno y
coseno, además de la resolución de todo tipo de triángulos, con la solución de problemas teóricos
y prácticos. Además, se pudo comprobar para el grupo, que fue más fructífero cambiar el orden de
presentación de los temas; ya que, al comprenderse La invariante general, en este caso la ley
estudiada, se hacía mejor y más rápida la aplicación de los casos particulares. Se logró fortalecer
una cantidad importante de conocimientos y procesos definidos por el ministerio de educación
nacional para el grado décimo a través de los estándares básicos de competencia.
Palabras clave: solución de triángulos, razones trigonométricas, solución de problemas en
contexto.
Resumen y Abstract XI
Abstract
This work research was carried out with the purpose of promoting the application of the laws
of solution of right triangles and oblique triangles, in the approach and resolution of problems in
contexts of measurement of heights, distance in general and angles, through a work of classroom
that was based on the design of a guide based on problems and the application of these through
practical activities in a group of tenth grade students of the Institution Gymnastics Campestre La
Consolata.
In the methodology, it was established that this proposal would be framed within the descriptive
qualitative paradigm and the students' written production was used as the main source of
information when using guides as methodological instruments: Pretest, triangle resolution
workshops, laws of sine and cosine, practical activities and Post-test, and established the variables,
their definition and evaluation for the results valuation.
The importance of this research was based on the observation of the progress and / or individual
and / or collective weaknesses that students present when applying the laws of sine and cosine, in
addition to the resolution of all types of triangles, with the solution of problems theoretical and
practical. In addition, it was found for the group, that it was more fruitful to change the order of
presentation of the topics; since when understood the general invariant was understood, in this case
the law studied, the application of particular cases became better and faster. It was possible to
strengthen a significant amount of knowledge and processes defined by the Ministry of National
Education for the tenth grade through the basic standards of competence.
Keywords: solution of triangles, trigonometric ratios, problem solving in context.
Contenido XIII
Contenido
Resumen ................................................................................................................................... IX
Abstract .................................................................................................................................... XI
Lista de Figuras ..................................................................................................................... XVI
Lista de Tablas ...................................................................................................................... XXI
Introducción ............................................................................................................................... 1
1. Planteamiento del problema de investigación ........................................................................ 3
1.1. Descripción del área problemática .................................................................................. 3
1.2. Formulación del problema .............................................................................................. 5
2. Justificación ............................................................................................................................ 7
3. Objetivos .............................................................................................................................. 11
3.1. Objetivo General ........................................................................................................... 11
3.2. Objetivos Específicos .................................................................................................... 11
4. Antecedentes ........................................................................................................................ 13
5. Marco teórico ....................................................................................................................... 15
5.1. La historia de la trigonometría ...................................................................................... 15
5.2. Problemas en contexto .................................................................................................. 20
5.3. Base Orientadora de la Acción (BOA) .......................................................................... 21
5.4. Proceso de Enseñanza Aprendizaje (PEA) ................................................................... 21
5.5. Proceso Docente Educativo (PDE) ............................................................................... 22
XIV Contenido
6. Metodología ......................................................................................................................... 23
6.1. Tipo de trabajo .............................................................................................................. 23
6.2. Variables De Estudio ..................................................................................................... 23
6.2.1. Dimensión instructiva: ........................................................................................... 23
6.2.2. Dimensión educativa: ............................................................................................. 24
SOLIDARIDAD .......................................................................................................... 24
RESPONSABILIDAD ................................................................................................. 25
TOLERANCIA ............................................................................................................ 25
6.2.3. Dimensión desarrolladora. ..................................................................................... 26
6.3. Etapa De Formación Para Realizar Una Base Orientadora De La Acción ................... 27
Etapa de motivación y exposición. ................................................................................... 27
Etapa concreta. ................................................................................................................. 27
Etapa verbal interna. ......................................................................................................... 28
Etapa mental. .................................................................................................................... 28
6.4. Instrumentos metodológicos ......................................................................................... 28
Pre test. ............................................................................................................................. 28
Guías de afianzamiento. ................................................................................................... 29
Post test. ........................................................................................................................... 30
6.5. Población y muestra ...................................................................................................... 31
6.6. Fuentes de información ................................................................................................. 31
Contenido XV
6.7. Hipótesis ........................................................................................................................ 32
6.8. Experimentación: .......................................................................................................... 32
7. Resultados y discusión ......................................................................................................... 33
7.1. Análisis de los resultados .............................................................................................. 33
7.2. Observación ................................................................................................................... 34
8. Referencias ........................................................................................................................... 35
9. Conclusiones y recomendaciones ........................................................................................ 51
9.1. Conclusiones ................................................................................................................. 51
9.2. Recomendaciones .......................................................................................................... 52
10. Bibliografía ........................................................................................................................ 53
Anexos ...................................................................................................................................... 57
Anexo A. Resultados en el pre test .................................................................................. 57
Anexo B. Resultados en la guía “ley de senos”: .............................................................. 69
Anexo C. Resultados en la guía “ley de cosenos”: .......................................................... 81
Anexo D. Resultados en la guía “ley de senos y cosenos” .............................................. 93
Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos”: .................... 101
Anexo F. Resultados en la guía “Planteamiento de problemas”: .................................. 115
Anexo G. Resultados en la guía “Actividades prácticas”: ............................................. 123
Distancia a la cometa (globo) ......................................................................................... 123
Mira la altura. ................................................................................................................. 125
XVI Contenido
El ancho del río .............................................................................................................. 127
Área de un lote irregular ................................................................................................ 128
Ley de las tangentes: ...................................................................................................... 131
Anexo H. Resultados en la guía “Post test”: .................................................................. 135
Lista de Figuras
Figura 1. Pregunta uno del Pre-Test ......................................................................................... 57
Figura 2. Respuestas a pregunta uno del Pre-Test ................................................................... 57
Figura 3. Respuestas de la pregunta dos del Pre-test ............................................................... 58
Figura 4. Pregunta dos del Pre-Test ......................................................................................... 58
Figura 5. Pregunta tres del Pre-test .......................................................................................... 59
Figura 6. Respuestas de la pregunta tres del Pre-test ............................................................... 60
Figura 7. Respuestas de la pregunta cuatro del Pre-test ........................................................... 61
Figura 8. Pregunta cinco del Pre-test ....................................................................................... 61
Figura 9. Respuestas de la pregunta cinco del Pre-test ............................................................ 62
Figura 10. Pregunta seis del Pre-test ........................................................................................ 62
Figura 11. Respuestas de la pregunta seis del Pre-test ............................................................. 63
Figura 12. Respuestas de la pregunta siete del Pre-test ........................................................... 64
Figura 13. Pregunta ocho del Pre-test ...................................................................................... 64
Figura 14. Respuestas de la pregunta ocho del Pre-test ........................................................... 65
Figura 15. Respuestas de la pregunta nueve del Pre-test ......................................................... 66
Figura 16. Pregunta 10 del Pre-test .......................................................................................... 66
Figura 17. Respuestas de pregunta 10 del Pre-test ................................................................... 67
Contenido XVII
Figura 18. Punto uno de la guía "ley de senos". ....................................................................... 69
Figura 19. Respuestas de pregunta uno de la guía "ley de senos". .......................................... 70
Figura 20. Respuestas punto dos de la guía "ley de senos"...................................................... 71
Figura 21. Punto tres de la guía "ley de senos". ....................................................................... 71
Figura 22. Respuestas punto tres de la guía "ley de senos". .................................................... 72
Figura 23. Punto cuatro de la guía "ley de senos". ................................................................... 72
Figura 24. Respuestas punto cuatro de la guía "ley de senos". ................................................ 73
Figura 25. Punto cinco de la guía "ley de senos" ..................................................................... 74
Figura 26. Respuestas punto cinco de la guía "ley de senos". ................................................. 74
Figura 27. Respuestas puntos seis y siete de la guía "ley de senos". ....................................... 76
Figura 28. Punto ocho de la guía "ley de senos". ..................................................................... 77
Figura 29. Respuestas punto ocho de la guía "ley de senos". .................................................. 77
Figura 30. Punto nueve de la guía "ley de senos". ................................................................... 78
Figura 31. Respuestas punto nueve de la guía "ley de senos". ................................................. 78
Figura 32. Punto 10 de la guía "ley de senos". ......................................................................... 79
Figura 33. Respuestas de punto 10 de la guía "ley de senos". ................................................. 80
Figura 34. Respuestas punto uno de la guía "ley de cosenos". ................................................ 81
Figura 35. Punto dos de la guía "ley de cosenos". ................................................................... 82
Figura 36. Respuestas punto dos de la guía "ley de cosenos". ................................................. 82
Figura 37. Respuestas de punto tres de la guía "ley de cosenos". ............................................ 83
Figura 38. Respuestas punto cuatro de la guía "ley de cosenos". ............................................ 85
Figura 39. Respuestas punto cinco de la guía "ley de cosenos". .............................................. 86
Figura 40. Punto seis de la guía "ley de cosenos". ................................................................... 86
XVIII Contenido
Figura 41. Punto siete de la guía "ley de cosenos". .................................................................. 87
Figura 42. Respuestas punto seis de la guía "ley de cosenos". ................................................ 87
Figura 43. Respuestas punto siete de la guía "ley de cosenos". ............................................... 88
Figura 44. Punto ocho de la guía "ley de cosenos". ................................................................. 88
Figura 45. Respuestas punto ocho de la guía "ley de cosenos"................................................ 89
Figura 46. Respuestas punto nueve de la guía "ley de cosenos". ............................................. 90
Figura 47. Punto nueve de la guía "ley de cosenos". ............................................................... 90
Figura 48. Respuestas punto 10 de la guía "ley de cosenos". .................................................. 92
Figura 49. Respuestas punto uno, guía "ley de senos y cosenos". ........................................... 94
Figura 50. Punto dos, guía "ley de senos y cosenos". .............................................................. 95
Figura 51. Respuestas punto dos, guía "ley de senos y cosenos"............................................. 95
Figura 52. Punto tres, guía "leyes de senos y cosenos"............................................................ 96
Figura 53. Respuestas punto tres, guía "ley de senos y cosenos". ........................................... 96
Figura 54. Problema 1 Ley de Senos y Cosenos ...................................................................... 98
Figura 55. Problema 2 Ley de senos y cosenos ....................................................................... 98
Figura 56. Problema 3 Ley de senos y cosenos ....................................................................... 99
Figura 57. Punto uno, guía "resolución de triángulos rectángulos". ...................................... 101
Figura 58. Respuestas punto uno, guía "solución de triángulos rectángulos"........................ 102
Figura 59. Punto dos, guía "resolución de triángulos rectángulos". ...................................... 103
Figura 60. Respuestas punto dos, guía "solución de triángulos rectángulos". ....................... 103
Figura 61. Punto tres, guía "solución de triángulos rectángulos". ......................................... 104
Figura 62. Respuestas punto tres, guía "solución de triángulos rectángulos". ....................... 104
Figura 63. Punto cuatro, guía "solución de triángulos rectángulos". ..................................... 105
Contenido XIX
Figura 64. Respuestas punto cuatro, guía "solución de triángulos rectángulos".................... 106
Figura 65. Punto cinco, guía "solución de triángulos rectángulos". ...................................... 107
Figura 66. Respuestas punto cinco, guía "solución de triángulos rectángulos". .................... 107
Figura 67. Punto seis, guía "solución de triángulos rectángulos". ......................................... 108
Figura 68. Respuestas punto seis, guía "solución de triángulos rectángulos"........................ 109
Figura 69. Punto siete, guía "solución de triángulos rectángulos". ........................................ 109
Figura 70. Respuestas punto siete, guía "solución de triángulos rectángulos". ..................... 110
Figura 71. Punto ocho, guía "solución de triángulos rectángulos". ....................................... 111
Figura 72. Respuestas punto ocho, guía "solución de triángulos rectángulos". ..................... 111
Figura 73. Punto nueve, guía "solución de triángulos rectángulos"....................................... 112
Figura 74. Respuestas punto nueve, guía "solución de triángulos rectángulos". ................... 113
Figura 75. Respuesta punto 10, guía "solución de triángulos rectángulos". .......................... 114
Figura 76. Respuesta 1 "Planteamiento de problemas". ......................................................... 116
Figura 77. Respuesta 2 "Planteamiento de problemas". ......................................................... 116
Figura 78. Respuesta.3.2. "Planteamiento de problemas". ..................................................... 117
Figura 79. Respuesta 3.1. "Planteamiento de problemas". ..................................................... 117
Figura 80. Respuesta 1.1 "Construye aportes". ...................................................................... 118
Figura 81. Respuesta 1.2 "Construye aportes". ...................................................................... 119
Figura 82. Respuesta 2 "Construye aportes". ......................................................................... 119
Figura 83. Respuesta 3 "Construye aportes". ......................................................................... 119
Figura 84. Respuesta 4.1 "Construye aportes". ...................................................................... 120
Figura 85. Respuesta 4.2 "Construye aportes" ....................................................................... 120
Figura 86. Respuesta 4.3 "Construye aportes". ...................................................................... 120
XX Contenido
Figura 87. Construcción de un triángulo elevando una cometa. ............................................ 124
Figura 88. Construcción de un triángulo con un globo de helio. ........................................... 124
Figura 89. Respuesta Actividad 1. ......................................................................................... 125
Figura 90. Construcción de un triángulo para hallar una altura. ............................................ 126
Figura 91. Respuesta Actividad 2. ......................................................................................... 126
Figura 92. Construcción de un triángulo para hallar una distancia. ....................................... 127
Figura 93. Respuesta Actividad 3. ......................................................................................... 128
Figura 94. Marcación del lote por medio de triángulos. ........................................................ 129
Figura 95. Respuesta Actividad 4 (Parte 1). .......................................................................... 130
Figura 96. Respuesta Actividad 4 (Parte 2). .......................................................................... 130
Figura 97. Primera medición del ángulo. ............................................................................... 131
Figura 98. Segunda medición del ángulo. .............................................................................. 132
Figura 99. Respuesta Actividad 5 (Parte 1). .......................................................................... 132
Figura 100. Respuesta Actividad 5 (Parte 2). ........................................................................ 132
Figura 101. Punto uno Post-test. ............................................................................................ 135
Figura 102. Respuesta punto uno Post-test. ........................................................................... 135
Figura 103. Punto dos Post-test. ............................................................................................. 136
Figura 104. Respuestas punto dos Post-test. .......................................................................... 136
Figura 105. Punto tres Post-test. ............................................................................................ 136
Figura 106. Respuestas punto tres Post-test. .......................................................................... 136
Figura 107. Puntos cuatro y cinco Post-test. .......................................................................... 136
Figura 108. Respuestas punto cuatro Post-test. ..................................................................... 136
Figura 109. Respuestas punto cinco Post-test ........................................................................ 136
Contenido XXI
Figura 110. Punto seis Post-test ............................................................................................. 136
Figura 111. Respuestas punto seis Post-test. .......................................................................... 136
Lista de Tablas
Tabla 1. Análisis individual Pre-test ........................................................................................ 35
Tabla 2. PNI Pre-test. ............................................................................................................... 36
Tabla 3. Análisis individual ley de senos ................................................................................. 37
Tabla 4. PNI - Ley de Senos .................................................................................................... 38
Tabla 5. Tabla de Análisis individual Ley de Cosenos. ........................................................... 39
Tabla 6. PNI - Ley de Cosenos. ............................................................................................... 40
Tabla 7. Análisis individual Ley de Senos y Cosenos. ............................................................ 41
Tabla 8. PNI - Ley de Senos y Cosenos. .................................................................................. 42
Tabla 9. Análisis individual Triángulos Rectángulos. ............................................................. 43
Tabla 10. PNI - Triángulos Rectángulos. ................................................................................. 44
Tabla 11. Análisis individual Planteamiento de Problemas. .................................................... 45
Tabla 12. PNI - Planteamiento de Problemas. ......................................................................... 46
Tabla 13. Análisis individual Actividades Prácticas. ............................................................... 47
Tabla 14. PNI - Actividades Prácticas. .................................................................................... 48
Tabla 15. Análisis individual Post-test. .................................................................................... 49
Tabla 16. PNI - Post-test. ......................................................................................................... 50
Introducción
De las matemáticas, se sabe que estas surgieron de las necesidades del ser humano a fin de
realizar actividades en su vida cotidiana. Pues como lo afirma (Rodriguez, 2012) “el hombre a
través de la historia, ha identificado y estudiado diversidad de problemas que se presentan en su
entorno y la necesidad de resolverlos ha sido clave para generar conocimiento” (pág. 17). Esto se
evidencia en la forma como nacieron las ramas de las matemáticas; todas como resultado de
solucionar problemas del día a día; específicamente, la geometría y posteriormente la
trigonometría. Sabemos que todo a nuestro alrededor contiene elementos geométricos y, como es
completamente necesario reconocer el medio en el que nos encontramos, podemos afirmar que su
manejo adecuado puede darse a través de la trigonometría, no solo importante para tener
conocimientos teóricos sino como elemento adicional para estructurar su mundo.
Gracias a la importancia de esta disciplina que ha sido estudiada continuamente en la historia;
grandes matemáticos y filósofos han desarrollado el corpus teórico; con extraordinarios resultados
y hoy día, la trigonometría es útil para desarrollar en las personas habilidades, capacidades de uso
en sus entornos. Resulta entonces muy procedente que los estudiantes, tengan contacto con ella y
el manejo primario de las aplicaciones.
Para lograrlo, es definitivo, implementar una unidad didáctica de tal manera que se desarrolle
el PEA (Proceso Enseñanza Aprendizaje); que incorpore los conocimientos que se tienen hasta el
momento acerca de cómo aprenden los seres humanos. Desarrollando cada una de las etapas de
aprendizaje coherentemente con dicho propósito. Y es precisamente la manera en que sean
definidos los procesos por parte del profesor, cumpliendo con la estructuración adecuada del
sistema de tareas, lo que determina el éxito en los resultados en cuanto: solidez en el aprendizaje,
2 Introducción
grado de despliegue de los procedimientos al aplicarlos, y grado de independencia alcanzado; los
cuales se conjugan adecuadamente al arribar a la etapa mental del aprendizaje.
Es preciso, suscitar el interés, la capacidad de asombrarse e imbricarse con el tema, si además
se tiene en cuenta el juego, será una herramienta fundamental en el PEA (Proceso Enseñanza
Aprendizaje), de cualquier asignatura en la estructura de la disciplina. (Keyla, 2009, p. 2) . La
lúdica despierta interés en los estudiantes por aprender y los lleva a explorar la aplicación de lo
visto en diferentes contextos; logrando así, que se introduzcan más y más en la temática y
adquieran mayor destreza en el momento de enfrentarse a la resolución de sus problemas.
El mundo va cambiando con el paso de los años, es claro que los jóvenes ahora, tienen un
pensamiento más abierto e, inherentemente están en la búsqueda continua de satisfacer sus
necesidades enfrentándose a los estímulos que las nuevas tecnologías traen consigo. Por este
motivo, es necesario que la malla curricular se adecúe a dichos cambios, siempre actualizando las
estrategias para atraer a los alumnos. Los estudiantes necesitan métodos de aprendizaje más
cercanos a su entorno familiar y local, por eso será de gran ayuda que el desarrollo de dicha malla
esté permeado por actividades prácticas con las cuales, se identifique el conocimiento que es
plausible aplicar, se analice cómo aplicarlo, se revise su pertinencia y, se realice su aplicación en
diferentes contextos.
1. Planteamiento del problema de investigación
1.1. Descripción del área problemática
La matemática es una de las áreas que genera prevención en la mayoría de los estudiantes, pues
es vista como dificultosa. A pesar de la multiplicidad en las diversas ramas, es poco frecuente
encontrar estudiantes ansiosos por aprender al menos una y, la trigonometría no es la excepción a
la regla.
Según (Kopke, 2001) durante mucho tiempo se ha observado la gran dificultad que tienen los
estudiantes de educación superior a la hora de describir objetos haciendo uso de la trigonometría.
Una de las razones principales de que esto suceda son las pocas bases que se llevan del colegio y
la forma en que normalmente se abordan los temas. En la actualidad, encontramos jóvenes que no
se conforman con recibir clases magistrales llenas de conceptos y ejercicios en el papel. Entre más
lúdica pueda ser la clase, con mayor seguridad se podrá garantizar que los alumnos la están
disfrutando y lo más importante es que se esté generando un aprendizaje significativo en dichas
actividades.
(Mendoza, Ortiz Colón, Martínez Moreno & Tintorer Delgado, 2009) argumentan que: “La
teoría sociocultural (Cubero & Luque, 2004) entiende el aprendizaje como un proceso distribuido,
interactivo, contextual y que es el resultado de la participación de los alumnos en una comunidad,
donde el profesor actúa como guía para el aprendizaje de los alumnos” (Mendoza, 2009, p. 4) Esto
conlleva a pretender que en adelante el profesor diseñe el sistema de tareas para sus estudiantes
de trigonometría, y realice acompañamiento en las actividades propuestas; mientras ellos a través
del cumplimiento con sus tareas avancen paso a paso en las etapas de aprendizaje.
Como lo afirman (Mendoza et al, 2009) cada vez se nota más la necesidad, que los estudiantes
tengan la capacidad de analizar situaciones problema de manera crítica y objetiva. Además, se
4 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
basen en la teoría histórico cultural de Vigotsky que habla acerca de que los elementos
conceptuales (significados, signos, instrumentos, definiciones...), no llevan al estudiantes a
desenvolverse en una realidad de manera competente; sino que esto se consigue cuando el alumno
interactúa con la realidad en el proceso de aprendizaje. Por lo tanto, la idea de implementar
actividades lúdicas para enseñar trigonometría es precisamente, que los estudiantes apliquen todo
el aprendizaje que van adquiriendo a un contexto de la vida cotidiana.
Ese vacío tan notorio a la hora de analizar y argumentar que se nota en los estudiantes de
educación superior, es lo que nos lleva a buscar diferentes alternativas para desarrollar las
competencias matemáticas. Basándonos en el argumento de (Caicedo, Perry, Camargo, & Molina,
2012), al afirmar que la trigonometría es un instrumento que potencia habilidades; ya que un
estudiante con conocimientos geométricos, tiene la capacidad de implementarlos en el desarrollo
de tareas donde se deben usar herramientas del razonamiento argumentativo, producción de
conjeturas y demostraciones matemáticas. Además, son estudiantes capaces de justificar y sacar
conclusiones que aporten al aprendizaje de un tema o contenido.
Por otro lado (Ferreirós & García-Pérez, 2018) nos hablan de las cogniciones innatas que posee
el ser humano. Una persona de manera innata posee un sistema nuclear de conocimiento espacial,
lo que permite identificar y aplicar las relaciones métricas de ángulos, distancias y sentidos. Por lo
tanto, todo ser humano tiene elementos y aproximaciones al conocimiento del
componente geométrico – espacial; que con un buen diseño de los PEA y los sistemas de tareas,
potencian la formación de capacidades de describir, analizar y calcular objetivamente, situaciones
con menores dificultades.
Se pretende como objetivo desarrollar competencias geoespaciales en los estudiantes desde el
colegio, lo que a su vez mostrará mayor capacidad al abordar problemas propios de la
1. Planteamiento del Problema de Investigación 5
trigonometría; además de mejorar la capacidad de representar y describir diferentes contextos, e
incentivar a los estudiantes de educación media a usar estos conocimientos disciplinares. Sobre
todo, que lo hagan y se les facilite aplicar diferentes habilidades métricas-espaciales.
Una muestra de que todo lo que deseado en esta investigación es viable, es el trabajo realizado
por (Perelman, 2001). Este autor nos muestra diversas alternativas de abordar temas de
matemáticas en general y específicamente de trigonometría, a partir de actividades lúdicas que
despiertan en los estudiantes, la curiosidad y el interés por el área. Además, les permite aprender
fuera del contexto tradicional, lo que es más divertido para ellos.
1.2. Formulación del problema
¿Cómo la formulación y aplicación de una unidad didáctica, influye en el desarrollo del
componente métrico-espacial (trigonométrico), y a su vez generan un aprendizaje significativo en
los estudiantes?
2. Justificación
El trabajo considerado es importante en razón a que, su enmarque en el enfoque histórico
cultural de la enseñanza y el aprendizaje, aunado al sistema de tareas docentes considera la
estructuración de la BOA (Base Orientadora de la Acción), hace un seguimiento detallado del
proceso de adquisición de conocimientos de los alumnos; algo que no ha sido claramente
explorado en nuestro contexto. Esto desde el punto de vista pedagógico didáctico.
Es una innovación desde lo puramente didáctico que consiste en entregar los elementos
conceptuales generales a aprehender desde el inicio, e ir puntualizando en los detalles conforme
aparecen las aplicaciones en el entorno específico; lo que resulta en una variación metodológica
consistente en ir de lo general a lo particular y ver las aplicaciones como específicas.
Considerar así las cosas, implica novedad al cambiar la construcción usual del conocimiento
desde lo específico, a lo general; y trasladarlo a la generalidad a la especificidad, que es una de las
características de la teoría de formación por etapas de las acciones mentales. Cuando en la etapa
de motivación exposición, el profesor habla de las invariantes (estructuras de conocimientos tan
generales, que contienen en sí mismas todas las posibles variaciones de los objetos concretos);
para dar posterior traslado a aplicaciones concretas o concretizadas que van elevándose en cuanto
a su nivel en las etapas posteriores. (De Zayas, 1994)
La autora pretendió estructurar una metodología que permite enseñar el componente métrico
por medio de actividades prácticas y, motivar a la población estudiantil a aprender más sobre
matemáticas.
Es así, como este proyecto se desea realizar por varias razones; una de ellas, a partir de lo que
cuenta Ferreirós & García-Pérez, ellos afirman que: “Los estudios centrados en cognición
geométrica han tenido un desarrollo más tímido, habiendo un menor número de experimentos y
8 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
análisis de las implicaciones teóricas y prácticas de estos. Existe pues un menor consenso en cuanto
a la interpretación de sus resultados” (Ferreirós & García-Pérez, 2018), De aquí la gran necesidad
de crear nuevas metodologías que desarrollen las competencias aplicadas inicialmente en la
geometría, que redundarán posteriormente en la trigonometría, esta última como enfoque principal
de este trabajo de investigación.
Para fundamentar la importancia de un diseño metodológico que permita la asertividad del
aprendizaje basado en el saber hacer en contexto, nos basamos en la afirmación de (Caicedo, Perry,
Camargo, & Molina, 2012) en la cual nos indican que la geometría dinámica lleva a los estudiantes
a desarrollar su pensamiento lógico matemático. Sabemos que es un gran insumo en el estudio de
la trigonometría, pues un estudiante que sea competente, adquiere habilidades para razonar de
manera lógica en trigonometría. Se requiere razonamiento lógico para resolver problemas, es
necesario un pensamiento deductivo para llegar a diferenciar entre la semejanza y la congruencia
de las figuras, de igual forma en el momento afrontar problemas donde tengan que encontrar
propiedades que hagan posible, aplicaciones como área y el volumen de ciertas figuras y sólidos.
Por consiguiente, nos centraremos en las didácticas de enseñanza aprendizaje en torno a los
triángulos, entendiendo que, a pesar de que son figuras geométricas abstractas para los estudiantes,
es importante mostrar las diversas aplicaciones que estos tienen en diferentes disciplinas hoy en
día. Sin embargo, como lo refiere (Castro, 2011), lo más importante es que el alumno logre
desarrollar problemas diferentes que tengan que ver con triángulos rectángulos haciendo un buen
análisis de ellos y sin la necesidad de estar implementando la repetición de procedimientos
mecánicos. Esto indica, el menester de organizar el sistema de tareas y la metodología de
enseñanza para convocar al estudiante a situaciones de análisis que le permitan enfrentarse a
2. Justificación 9
cualquier tipo de problema sin importar cambios en el contexto o peticiones diferentes a las
comunes.
Por este motivo, este trabajo pretende que el estudiante recorra las etapas teórico-prácticas
indispensables para obtener la capacidad de plantear y resolver problemas de solución de
triángulos de cualquier tipo, sin alguna dificultad. Todo esto mediante una serie de guías escritas
y prácticas, pero especialmente basadas en desarrollar la competencia del planteamiento y
resolución de problemas.
El estudio que se desea realizar, es importante para conseguir conocimientos contextuales
acerca de cómo formar estudiantes con diferentes capacidades, con la intención de madurar
habilidades que les sirvan para desenvolverse en diferentes contextos. “Estamos en una necesidad
urgente de formar personas cognitivamente flexibles, culturalmente abiertas y capaces de trabajar
colaborativamente con otros”: (Magro, 2017) . Estas habilidades se pueden desarrollar con
técnicas que se proponen en este trabajo, pues están basadas en la exploración de situaciones
problema, donde se requiere la resolución de triángulos, pero, a su vez, es necesario plantear un
contexto realizando trabajo cooperativo.
El trabajo cooperativo es una herramienta fundamental para la planeación de las prácticas
pedagógicas de la trigonometría en el aula, permitirá la retroalimentación constante de los pares,
la exploración, indagación y resolución a los problemas planteados a través del análisis y aportes
significativos por cada integrante del equipo de trabajo; donde yacen reflexiones que contraste la
teoría con la aplicación de la misma a escenarios de la cotidianidad. Es así, como repensamos una
educación que incite a la construcción de un pensamiento crítico de los estudiantes, para que sean
ellos mismo quienes transformen sus realidades.
3. Objetivos
3.1. Objetivo General
Estructurar y aplicar una Base orientadora de la acción que guíe el Proceso de Enseñanza
Aprendizaje en la resolución de triángulos, a partir de conceptos trigonométricos en el entorno.
3.2. Objetivos Específicos
Plantear y resolver problemas desde la identificación de datos a través del uso de
conceptos trigonométricos que permitan aplicar los conocimientos en situaciones reales.
Promover la incorporación de valores como la solidaridad, la tolerancia y la
responsabilidad, a través de las actividades programadas en la base orientadora de la
acción, que permitan fortalecer su formación holística.
Apostar por el desarrollo de competencias para su autorrealización, mediante la
integración de temas contextuales, empleando la autoevaluación y el conocimiento de
la realidad como estrategias que permitan usar la trigonometría a su integralidad.
4. Antecedentes
A finales del siglo pasado, Nina Talízina hace un estudio donde argumenta que para llegar al
conocimiento o a las acciones mentales es necesario hacer prácticas reales. Es decir, si nos basamos
en que toda acción tiene una reacción, esto se puede aludir a la segunda Ley de Newton. (Serway,
2008). Así, podemos inferir entonces, que si se realizan prácticas que tienen un objetivo y un
motivo, estas van a generan un aprendizaje significativo. Ella afirma que el aprendizaje se consigue
pasando por diferentes etapas, donde el alumno empieza a obtener resultados acompañados de un
maestro, pero termina actuando por sí solo. Mediante tratamientos experimentales, se encontraron
cuatro tipos de Bases Orientadoras de la Acción (BOA), donde se reflejan diferentes resultados,
en algunas se muestran estudiantes preparados que arrojan resultados completos de manera
independiente y en otras se evidencian prácticas escolares de ensayo y error que no dan resultados
muy verídicos. Además, Talízina concluye que la BOA más eficiente es la tercera pues exige
investigación generalizada, completa e independiente por parte del alumno. (TALIZINA, 1988)
Una forma de interacción se da por medio del juego, pues es innato el gusto de los estudiantes
por él. Vigotsky argüía que el juego dirige el aprendizaje. Ya que estas son actividades de tipo
lúdico donde disfrutan y expresan lo que piensan y sienten sin temor. Y de este tipo de aprendizaje
por medio de juegos, Butler hizo una investigación que arrojo diferentes resultados que en general
nos muestran que el juego es una técnica que asegura que los alumnos no sólo obtienen diversión,
sino también motivación por los temas en matemáticas y a la vez están aprendiendo diferentes
temas que los lleva a ser personas con capacidad de análisis y razonamiento. Butler afirma que
usar una metodología de enseñanza basada en los juegos permite mayor interacción entre los
estudiantes y por lo tanto ayuda a incrementar la inclusión de compañeros con capacidades
14 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
especiales, además de que el rendimiento académico mejora ya que hay un mayor interés por
aprender. (Butler, 1988)
Madurar en los estudiantes el componente métrico-espacial no sólo es una herramienta que sirve
para desarrollar diferentes competencias como el planteamiento y resolución de problemas, la
modelación, el razonamiento, entre otras. Coincidiendo con Kopke, diremos que ser hábil para
resolver problemas geométricos permite desarrollar, a grandes rasgos, el hemisferio derecho del
cerebro, debido a que sus funciones están basadas en la recepción de imágenes. Esto asegura la
maduración de ambos hemisferios, ya que en el colegio se desarrolla con mayor facilidad el
hemisferio izquierdo, pues en la mayoría de las asignaturas se llevan procesos magistrales con
poca interpretación de gráficos. Kopke en su investigación implementó la metodología de trabajar
con sólidos, con la intención de interiorizar varios conceptos, como: planos, puntos y rectas.
Términos que normalmente son aprendidos en clases magistrales, lo que es poco entretenido para
los jóvenes. Los resultados mostraron aumentos en la capacidad de describir e interpretar distintos
tipos de gráficos.
5. Marco teórico
5.1. La historia de la trigonometría
La presentación de la historia de la trigonometría que a continuación se expone, está tomada
principalmente de (Gil, 2008) , (Camargo, 2011), (Gonzalez Martinez & Mendoza Rodriguez,
2019)
Como se nombra anteriormente, las primeras nociones matemáticas nacen a partir de las
necesidades básicas de los primeros grupos de personas y civilizaciones. Para llevar su estilo de
vida, estas personas necesitaban contar y medir de forma indispensable. Así mismo, surge la
trigonometría para ser aplicada de manera constante en las actividades que tuvieran que ver con la
construcción de viviendas y otras estructuras.
Hace más de 3000 años aparece la trigonometría en las culturas Babilonia y Egipcia. Para ellos
era indispensable el uso de los ángulos internos de un triángulo y las razones trigonométricas,
usadas en sus actividades de agricultura y construcción de pirámides especialmente egipcias. La
trigonometría también era usada en esa época para la astronomía, específicamente para hacer los
cálculos necesarios que permitieran ubicar los cuerpos celestes y predecir sus órbitas. Por su
utilidad en el hallazgo de posiciones, también tenía una importante aplicación en la navegación.
Por otra parte, se usaba en la creación de calendarios y cálculos del tiempo. Es así como los
egipcios realizaron un aporte muy significativo a la trigonometría, pues a ellos se les atribuye la
notación de ángulos en grados, minutos y segundos; dicha notación, es aún vigente en la actualidad.
Hacia el siglo XII se introduce la trigonometría en el occidente, por medio de la traducción de
los libros escritos en Arabia. Específicamente en Europa llega a manos del matemático astrónomo
alemán, más conocido como Regiomontano o el fundador de la trigonometría moderna. Su libro
“De triangulis omnimodis” compuesto por 5 tomos, muestra el planteamiento de problemas para
16 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
solucionar triángulos que hoy día se usan comúnmente. En la misma época también se introduce
el concepto de función trigonométrica ya no como una longitud de una línea específica, sino como
una proporción, esto se le atribuye a otro astrónomo alemán llamado George Joachim, más
conocido como Retico.
Más adelante, en el siglo XVI, gracias al matemático francés Francois Viete se incorpora el
estudio de la trigonometría esférica. En su libro “Canon matemáticas” indica como representar
algunas funciones trigonométricas con ángulos múltiples en función de otras funciones con
potencias que presentan ángulos más simples. Desde entonces, la trigonometría esférica se ha
unido al algebra de funciones para encontrar grandes resultados.
En el siglo XVII, gracias a la consolidación de la imprenta, se facilita la comunicación y el
intercambio de ideas entre estudiosos de la matemática. Especialmente, se reconocen los trabajos
del matemático escocés John Napier, quien fue el inventor de los logaritmos. Este aportó cálculos
trigonométricos importantes y en sus analogías se concentra en la solución de algunos triángulos
esféricos oblicuos mediante ciertas reglas mnemotécnicas. También sobresale en esta época el
trabajo realizado por Isaac Newton en el cálculo infinitesimal, pues 50 años después de los trabajos
de Napier, Newton encuentra las series infinitas para el sen x, cos x y tan x; las tres similares. Hoy
en día a través del cálculo, se ha introducido las funciones trigonométricas al análisis matemático,
desempeñando papel fundamental en las matemáticas puras y las aplicadas.
Por último, a quien se le atribuye realmente la fundación de la trigonometría moderna, fue al
matemático suizo Leonhard Euler, este convirtió a la trigonometría en una aplicación más de los
números complejos, pues representó las funciones trigonométricas mediante expresiones con
exponenciales de números complejos. Euler demostró que las propiedades básicas de la
trigonometría, no eran otra cosa diferente al producto aritmético de números complejos.
5. Marco Teórico 17
En la historia de Colombia las matemáticas han sido de gran relevancia. Incluso, en los primeros
años escolares, se encontraba establecido como requisito una intensidad de 5 horas de clase
semanales, por encima de las otras asignaturas básicas estipuladas en el currículo. Sin embargo,
según el decreto 2893 de 1945 a partir del grado quinto de bachillerato, conocido hoy como
décimo, desaparecía el área de matemáticas del currículo, es decir la trigonometría no estaba
determinada. Fue hasta el año 1951 cuando el ministerio de educación nacional, por medio del
decreto 2050 del año mencionado que inicia los primeros pasos la trigonometría en Colombia.
Inicialmente, se determinó como necesario 3 horas de geometría y trigonometría semanales.
Es preciso nombrar los aportes del profesor Carlos Eduardo Vasco Uribe a la educación
Colombiana. Pues en el siglo XX, el maestro Vasco fue protagonista e impulsador de las
renovaciones curriculares presentadas. Carlos Vasco llegó a Colombia en 1971 después de realizar
estudios en Alemania, e ingresó como docente de pregrado de Matemáticas en la Universidad
Nacional en el año 1972. El primer curso que ofreció trataba sobre álgebra abstracta, sin embargo,
nadie se inscribió a este, por la complejidad del mismo. Es en este momento, es cuando el maestro
Vasco identifica las deficiencias en el área. Además, se despierta su curiosidad por la naturaleza
de la pedagogía y didáctica que envolvía a las matemáticas. Su primer acercamiento a la educación
primaria, se presenta cuando se une al profesor Dr. Federici, quien dirigía programas de
mejoramiento de la educación matemática y, además, proponía cursos de capacitación para
profesores de primaria que enseñaban matemáticas. Vasco con Federici, empezaron a visitar
escuelas, para indagar a los niños, acerca de lo que pensaban sobre las matemáticas modernas y un
posible cambio en el currículo, y, como fruto de esto, Carlos Eduardo asistió a su primer congreso
de educación matemática y llevó un documento de investigación, realizado en las dichas visitas.
18 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Fue hasta 1974, cuando se publicó una reforma de la educación matemática para los estudiantes
de bachillerato, donde la trigonometría y el cálculo se volvieron obligatorios en el currículo de
quinto y sexto en secundaria. Los docentes de la época tomaron muy bien la reforma, pero sin ser
consciencia de lo que el cambio implicaba, pues debían llevar al aula contenidos y conocimientos
que incluso ellos no poseían. En 1978, Carlos Vasco fue nombrado asesor del ministerio de
educación en el área de matemáticas, lo eligieron porque era de los pocos maestros que no se
preocupaban por agregar muchos contenidos al currículo, sino especialmente, por cómo se debían
enseñar los pocos contenidos importantes del mismo. Es decir, le preocupaba que en Colombia no
estaba diseñada una didáctica para enseñar matemáticas.
Durante su paso por el ministerio de educación, Carlos Eduardo, en su búsqueda de una buena
didáctica que generara verdaderos aprendizajes, optó por agrupar los temas en sistemas
matemáticos, que tuvieran una estructura y fueran dinámicos. En este proceso, creó la teoría
general de sistemas (TGS), que llegó incluso hasta Europa y se pudo dar a conocer en seminarios
de Universidades tan importantes como Harvard. Para la época de los 80’s, ya era posible darle un
mejor manejo al programa de matemáticas de primaria con su didáctica. Sin embargo, para
secundaria siempre se presentaron dificultades, pues los docentes se negaban a salir de una teoría
simbólica para pasar a una concepción más conceptual de las matemáticas, específicamente de la
geometría analítica o trigonometría, pues en quinto y sexto de bachillerato, lo que más importante,
era lo que les iban a preguntar en el ICFES a los estudiantes.
Esta reforma educativa que proponía Vasco, no alcanzó a aplicarse en la educación básica
secundaria, por lo tanto, en la educación media ni siquiera se intentó crear. Además de esto, la ley
115 de 1994 autorizó a los colegios a crear el currículo de cada área y para cada grado. Lo que
impidió crear una resolución que implementara una didáctica para enseñar específicamente
5. Marco Teórico 19
trigonometría y cálculo. Sin embargo, con la construcción de los estándares de excelencia creados
en 1998, se plantearon unos objetivos curriculares, entre los cuales, la trigonometría tenía logros
específicos por alcanzar en quinto y sexto de bachillerato. Con lo que, esta asignatura no volvió a
salir del plan de estudios.
Repensando en este sentido las prácticas pedagógicas en torno a la trigonometría a través de la
historia, se hace indispensable y con mayor acercamiento de estudio, revisar el impacto que han
tenido dichos procesos en el contexto del Gimnasio Campestre La Consolata. Una institución que
está direccionada a mejorar constantemente las didácticas y las prácticas pedagógicas y, cuyo
objetivo va encaminado primeramente a reconocer al educando como un ser holístico;
comprendiendo a su vez, que necesita transformarse para modificar positivamente su entorno y
aportar valorativamente a la sociedad. Seres integrales, con valores y principios, quienes a través
de un crecimiento cognitivo y formativo en criticidad; sean los portadores de un mundo justo,
pacífico, incluyente y feliz.
Es así, como el paso de la trigonometría por las aulas de esta institución, en que se encuentra el
objeto de estudio del presente trabajo investigativo comienza a tener impacto. En el año 2012, se
tuvo la primera experiencia con dicha disciplina en grado décimo, esta fue guiada por la docente
Marta Lucía Muñoz, quien tiempo después abandonó la institución; lo que acarreó transformar el
currículo tomando como base las directrices estipuladas en los lineamientos y estándares creados
en la década de los 90. En este punto, se hace indispensable precisar la pedagogía implementada
en el colegio Gimnasio Campestre La Consolata en dicha época.
El punto de partida para el proceso de enseñanza de la trigonometría se rigió bajo la pedagogía
conceptual. Esta se divide en 4 fases que aborda todas las etapas que vive el estudiante en su paso
20 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
por la escuela, pues comprende unos niveles de pensamiento gradualizados, que según (Vigoya,
2013), se podrían definir como los siguientes:
Pensamiento Nocional: Surge entre los primeros años de vida, y se basa en el proceso que viven
los niños de reconocimiento del entorno por medio de los sentidos. Sin embargo, no logran tener
una definición o idea global de lo que están asimilando.
Pensamiento Proposicional: Aquí las nociones que se adquirieron, sirven para crear
proposiciones que llevan un mayor nivel de complejidad. Además de esto, en esta etapa los niños
logran crear frases con sentido y un valor de verdad.
Pensamiento conceptual: A partir del origen de las cosas, se definen y se conceptualizan dichas
proposiciones planteadas. Conocer el concepto, no es referirse sólo al objeto sino poder explicarlo,
analizarlo y comprenderlo.
Pensamiento Categorial: Este debe ser implementado en los grados décimo y undécimo por su
nivel de complejidad. Aquí es fundamental que el estudiante, prueba, respalde o argumente lo que
dice, además, de que derive aprendizajes significativos. Los pensamientos o ideas que plantee el
estudiante en esta fase, deben están fundamentadas en argumentos válidos y contundentes.
Y es precisamente este último pensamiento el que comprendía a la trigonometría, por eso su
enseñanza en la institución estaba basada en el análisis de las funciones y en el desarrollo constante
del razonamiento como competencia, adaptado a los pensamientos métrico y espacial.
5.2. Problemas en contexto
El desarrollo del planteamiento y resolución de problemas como competencia, es un proceso
general del área. Sin embargo, es una de las más complejas de lograr interiorizar en los estudiantes.
Ahora, según lo estipulado en los lineamientos curriculares (MEN, 1998), esta habilidad le permite
5. Marco Teórico 21
al estudiante relacionar los conocimientos específicos del área con su contexto y, por lo tanto, darle
más sentido y especialmente más aplicación a la matemática. Y es precisamente por esto, que en
este trabajo se abordan problemas de medición de distancias y alturas, mediante la concepción de
leyes de senos y cosenos, con diferentes enfoques.
5.3. Base Orientadora de la Acción (BOA)
Conjunto de actividades que se desarrollan desde lo general, hacia lo específico, teniendo un
objetivo claro por cumplir. Toda acción tiene un conjunto de pasos para su cumplimiento, además,
está acompañado por invariantes que guían el desarrollo. Este proceso tiene tres fases
fundamentales: la orientadora, la ejecutiva y la de control. En la primera se indica cual es el
objetivo y las acciones necesarias para cumplirlo. En la segunda se ejecutan dichas acciones
dirigidas por los métodos planteados en la parte anterior. En la última, es preciso indicar algunas
transformaciones necesarias para mejorar el proceso y se concluye a partir de las funciones ya
realizadas.
5.4. Proceso de Enseñanza Aprendizaje (PEA)
Para definir este proceso, es necesario reflexionar acerca de que tan posible es enseñar y
aprender de forma consecutiva. Según (Lopes & Cáceres Mesa) existen múltiples trabajos que
describen los objetivos del procesos de enseñanza aprendizaje, estos se enfocan en lo que
determina el plan de estudios, de asignatura y de clase. Dichos objetivos han sido trabajados por
profesionales de la psicología, los cuales han llegado a la conclusión que se necesita una
especificidad de los mismos a través del conductismo y neoconductismo. De esto, se llegó a la
conclusión de que debía existir una relación muy estrecha entre los propósitos y los resultados en
22 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
el momento de aprendizaje escolar. Sin embargo, estos objetivos se pueden ir transformando sobre
la marcha con el propósito de llegar a mejores resultados de los esperados inicialmente.
5.5. Proceso Docente Educativo (PDE)
Es un proceso que contiene todos los componentes que aporta el docente para conformar el
proceso de enseñanza aprendizaje en los estudiantes. Estos componentes, deben estar basados en
satisfacer las necesidades de los educandos, en lo que características de los educandos y contexto
social se refiere. El docente debe lograr formar seres integrales y buenos ciudadanos para el país,
en particular para las nuevas generaciones.
Para lograr este objetivo, el estudiante debe formar su pensamiento, para resolver problemas
específicos mediante el dominio de una rama del saber. Esto con el acompañamiento del docente
quien debe mantener la estructura de la componente, basada en el pensamiento lógico para
construir conocimiento, evaluación y rectificación de resultados. (De Zayas, 1994)
6. Metodología
6.1. Tipo de trabajo
Este estudio se realizará en el Gimnasio Campestre La Consolata y la población que nos servirá
para enfocar la aplicación de las estrategias didácticas propuestas en el trabajo de investigación,
serán los alumnos de secundaria.
Dicha investigación se llevará a cabo con el enfoque Histórico Cultural de la Enseñanza y el
Aprendizaje, la teoría de Formación por Etapas de las acciones mentales (teoría de la actividad) y
el sistema de tareas. Estas herramientas se desarrollarán desde un enfoque básicamente cualitativo,
con estadística descriptiva y con algunas mediciones que conlleven a permear a su vez las
estrategias con un diseño de investigación – acción participativa, pues por medio de prácticas se
obtendrán diferentes conclusiones acerca de los resultados.
6.2. Variables De Estudio
6.2.1. Dimensión instructiva:
Las siguientes referencias se definirán a partir de la independencia con la que el estudiante logra
plantear y resolver problemas de manera asertiva.
Excelente: Plantea y resuelve problemas de manera independiente. Identifica fácilmente el
objetivo del problema, define su estrategia de solución, analizando los contextos y las hipótesis
que posee, además, argumenta, reflexiona y comunica conclusiones acerca de la solución.
Bueno: Requiere herramientas como apuntes, con la intención de identificar semejanzas con
problemas resueltos anteriormente, para así, realizar un paso a paso de forma consciente y verificar
una respuesta apropiada, aunque no inmediata.
24 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Regular: Solicita acompañamiento para el reconocimiento de las hipótesis y la elección de una
solución adecuada. Con el fin de aplicar únicamente la ejercitación mecánica de los
procedimientos, sin realizar el análisis de la situación en algún momento.
Deficiente: No dispone de elementos ni los conocimientos necesarios para comprender la
situación que se describe en el problema. Su nivel de dependencia es total, pues requiere
acompañamiento para resolver problemas e incluso ejercicios simples.
6.2.2. Dimensión educativa:
SOLIDARIDAD
Las definiciones del perfil de estudiante solidario se tomaron de lo descrito en el periódico el
tiempo en la enciclopedia de valores. (Gomez, 2002).
RAE: (del latín solidas). Adhesión circunstancial a la causa o a la empresa de otros.
Referencias:
Excelente: Se une a las personas para colaborar, con el fin de conseguir un bien común. Es
entusiasta, leal, generoso, compasivo, fraternal, persigue las causas nobles y justas. Asume grandes
desafíos sin temor y siempre con el objetivo de aportar a otras personas.
Bueno: Es una persona interesada por brindar ayuda, sin embargo, espera algo a cambio sin
manifestarlo. Se preocupa por el bienestar de sus semejantes, siempre y cuando se mantenga en un
nivel superior a ellos.
Deficiente: Es una persona negligente, egoísta, codiciosa, mezquina, indiferente a las
necesidades de sus semejantes, apática a brindar apoyo a las personas que lo rodean. Se niega a
colaborar de manera desinteresada. Es individualista y no comparte sus logros con sus compañeros.
Insensible a las penalidades de otros y apático a hacer algo para aliviarlas.
6. Metodología 25
RESPONSABILIDAD
Las definiciones del perfil de estudiante responsable se tomaron de lo descrito en el periódico
el tiempo en la enciclopedia de valores. (Gomez, 2002).
RAE: (del latín respondere, responder). Obligación de responder por los propios actos.
Cargo u obligación moral que resulta para uno del posible yerro (equivocación pecado) en cosa
o asunto determinado.
Referencias:
Excelente: Es consciente de las consecuencias que se presentan a través de todo lo que hace o
deja de hacer. Lleva a cabo sus tareas con diligencia, seriedad, prudencia, y puntualidad, además,
saca el mayor provecho de ellas. Es juicioso, cumplido, reflexivo, que genera confianza y
tranquilidad entre las personas que lo rodean
Bueno: Es una persona que cumple con sus labores a medias, se conforma con resultados
básicos y realiza las tareas sin el propósito de aprender ni aportar. Es una persona que presenta
excusas para no ejecutar sus deberes a tiempo.
Deficiente: Incumple con sus deberes o los abandona sin dar explicación alguna.
No presta importancia a las cosas ni asume las consecuencias de sus actos. Una persona
irresponsable pocas veces termina lo que empieza o le pone el mínimo empeño y realiza sus labores
de manera mediocre. Se caracteriza por ser negligente, frívolo, torpe, inconsciente, entre otros.
TOLERANCIA
Las definiciones del perfil de estudiante tolerante se tomaron de lo descrito en el periódico el
tiempo en la enciclopedia de valores. (Gomez, El libro de los valores, 2002).
26 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
RAE: (del latín tolerantia) acción y efecto de tolerar.
Respeto o consideración hacia las opiniones o prácticas de los demás, aunque sean diferentes
de las nuestras.
Referencias:
Excelente: Reconoce a sus compañeros como seres humanos que merecen respeto por su
individualidad y su diferencia (raza, cultura, clase social, otra).
Opta por el dialogo para solucionar los conflictos. Se pone en el lugar del otro para comprender
su manera de actuar.
Bueno: Respeta opiniones o culturas diferentes. Sin embargo, evita permanecer en un entorno
formado por personas no semejantes, en pensamiento, prácticas o características físicas.
Deficiente: Impone su voluntad o incluso reacciona con agresividad ante opiniones contrarias
a la suya. Considera distintos o inferiores a aquellos que tienen pensamientos o comportamientos
diferentes a los suyos.
6.2.3. Dimensión desarrolladora.
Aquí se realiza una descripción del perfil del estudiante de acuerdo al nivel de desarrollo
integral, en el cual, se encuentre. La definición de los mismos se describe a continuación:
Excelente: Desarrolla competencias mediante la interiorización de temas abordados en el
entorno académico para la realización de sí mismos en contextos específicos, integrando el proceso
de aprendizaje a su vida cotidiana.
Bueno: Maneja algunas competencias que le permiten comprender la importancia de los temas
abordados para la autorrealización de sí mismos.
6. Metodología 27
Regular: Interpreta competencias de manera superficial que le permiten acercarse a los temas
abordados, sin adecuar de manera consciente los conceptos abordados a la realización personal y
a una comprensión integral de la realidad.
Deficiente: Desconoce las competencias trabajadas en los temas abordados y el concepto de
desarrollo de sí mismo que lo llevan a adecuar la trigonometría y la vida cotidiana como escenario
de crecimiento de sí mismo y realización personal.
6.3. Etapa De Formación Para Realizar Una Base Orientadora De La Acción
Se requiere determinar el nivel que tienen los estudiantes para empezar el proceso de
investigación mediante un pre test, se medirán los pre saberes básicos que requieren los alumnos
para ingresar al objeto de estudio.
Las definiciones descritas a continuación tienen apoyo de (De Zayas, 1994) y (Solovieva, 2019)
Etapa de motivación y exposición.
Es la co-estructuración de la información necesaria. El docente brinda herramientas como.
Definiciones, explicaciones y en general conocimientos propios del contenido o aprendizaje a
estudiar. En esta etapa se marcan conceptos previos invariantes que guiarán el desarrollo de los
instrumentos.
Etapa concreta.
En esta etapa se pone en práctica la elaboración, comparación, y ejercitación de procedimientos.
Esta competencia permite ejecutar e interiorizar los conocimientos expuestos a partir de
ejercicios representativos. Para el desarrollo de dichos ejercicios es importante aplicar la invariante
ya mencionada.
28 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Etapa verbal externa.
Aquí es importante que el estudiante recurra a apuntes o libros para realizar ejercicios y
problemas de un nivel más avanzado. En esta parte es importante que se realice una socialización
de dichos ejercicios, con el objetivo de aclarar dudas y permitir un avance significativo en el
proceso.
Etapa verbal interna.
En esta parte del proceso, el nivel de independencia de los alumnos debe haber avanzado de
manera significativa, con el fin de que los alumnos puedan realizar actividades de aplicación a la
vida real y además se encuentren en la capacidad de demostrar su aprendizaje, por medio del
planteamiento de problemas a partir de contextos reales.
Etapa mental.
En esta etapa se pretende que los objetivos propuestos en el estudio ya se hayan alcanzado.
Aquí los estudiantes ya están en la capacidad de presentar un postest, que tiene el objetivo de medir
los conocimientos alcanzados.
6.4. Instrumentos metodológicos
En las etapas verbal externa y verbal interna, se llevará a cabo la ejecución del trabajo a través
de los siguientes instrumentos que se ejecutarán en su orden:
Pre test. Se aplicó una guía como taller inicial diseñada específicamente para hacer un sondeo
y analizar las bases matemáticas que se requieren para el desarrollo de la investigación.
Posteriormente, la docente reforzará conceptos sobre semejanza y congruencia de triángulos,
6. Metodología 29
además, sobre regla de tres simple, la cual es fundamental para este estudio con el fin de que el
estudiante tenga herramientas para contextualizar lo teórico y aplicarlo en la solución de problemas
Guías de afianzamiento. Una vez, los conceptos básicos acerca de la ley de senos y cosenos
se ha compartido con los estudiantes, se desarrollan una serie de guías, que pretenden implementar
tanto ejercitación de procedimientos como el planteamiento y resolución de problemas. Este
proceso tiene dos fases determinantes para la investigación, que son el desarrollo de guías donde
se aplican los conceptos, y la aplicación de los aprendizajes en prácticas de la vida real. Dentro de
estas guías que comprenden la fase uno, se encuentran:
Guía ley de senos: Esta guía pretende la apropiación de la semejanza y congruencia de
triángulos, pero ahora con funciones trigonométricas, además, se buscó que los alumnos
encontraran la relación de la regla de tres simple con la ley del seno.
Guía ley de cosenos: Esta guía busca que el estudiante infiera las respuestas a partir de
la lógica, o lo requisitos básicos que requieren contextos como distancia, tiempo, entre
otros.
Guía ley de senos y cosenos: Aquí, lo más relevante es que estudiante identifique los
datos, para decidir los momentos apropiados en donde se debe usar cada una de las
leyes. Por otro lado, se pretende que el alumno empiece a plantear problemas, esta vez,
guiándose de los ya planteados en el mismo taller.
Guía resolución de triángulos rectángulos: Este taller tiene el objetivo de mostrar a
la resolución de triángulos rectángulos, como un caso específico de las leyes de senos y
cosenos, pero además, como una alternativa, que aunque es un poco más extensa,
permite solucionar cualquier tipo de triángulo, expresándolo como varios rectángulos.
30 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Guía planteamiento de problemas: Esta guía pretende que los alumnos planteen
problemas que requiera de la resolución de triángulos a partir de una lectura enfocada
en un contexto real, específicamente, la construcción de puentes atirantados. Además,
también se requiere de una buena comprensión de lectura, para desarrollar el taller de
manera exitosa.
La segunda fase de la investigación se vio enfocada en el trabajo colaborativo, con la intención
de que los alumnos encontraran la relación de la topografía y otras disciplinas con las leyes de
senos y cosenos. Para lograr esto se aplicó una guía donde se especificaron los objetivos de las
actividades prácticas y los materiales requeridos para ellas. Dichas actividades fueron adaptadas
a la realidad de la institución, pero incentivadas por (Ricaurte, 2015). Además se asignaron roles
dentro de los grupos de trabajo cooperativo, con el fin de que todo participaran desde la facultad
con la que más se identificaran.
Durante el desarrollo de las guías de afianzamiento la docente muestra de manera general a sus
estudiantes las distintas maneras en las que las leyes para solucionar triángulos, son relevantes en
la solución de problemas de diferentes contextos. Para este proceso se habilitan monitores dentro
del aula que servirán de apoyo para el avance significativo de las guías.
Post test. En esta guía encontrará problemas con mayor nivel de complejidad, entre los cuales
deberá solucionar problemas que requieran leyes de senos y cosenos o razones trigonométricas,
sin embargo, el estudiante, de manera individual, tiene la tarea de identificar cual es el
procedimiento apropiado a seguir.
6. Metodología 31
6.5. Población y muestra
Este trabajo se realizará en la Institución educativa Gimnasio Campestre La Consolata, ubicada
en la ciudad de Manizales, de carácter privado y sector urbano. La población la cual está dirigida
este estudio, corresponde a los 38 estudiantes matriculados en grado décimo de la mencionada
institución, que a su vez están organizados en dos cursos: 10°A y 10°B. La muestra es la misma
población, integrada por 16 mujeres y 22 hombres de edades entre los 15 y 17 años.
Cabe resaltar que la población descrita está ubicada en un estrato social alto, jóvenes que
permanecen la mayor parte del tiempo integrados al proceso escolar, la socialización con sus
familias se da en espacios cortos debido a las ocupaciones que tienen sus padres. Jóvenes que en
espacios extraescolares continúan en formación deportiva o artística aproximadamente en un 40%,
mientras el otro porcentaje llegan a preparar sus deberes de manera autónoma normalmente.
Es importante nombrar que la población a la cual va dirigida la investigación, presenta un bajo
nivel en procesos de comprensión, son jóvenes con características literales, que no suelen ir a
fondo en sus actividades, son conformistas, dificultándose responder a procesos de criticidad e
intertextualidad.
6.6. Fuentes de información
La principal fuente información de este trabajo será por parte de los estudiantes, producto del
desarrollo de cada una de las guías, además, las conclusiones que ellos plantean a partir de la
observación directa, activa, reflexiva y argumentativa. Por otro lado, la interacción entre
estudiantes y el acompañamiento de la docente permite aportar a los resultados del estudio.
32 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
6.7. Hipótesis
A partir de lo consignado en los antecedentes de este trabajo y de lo observado en el colegio se
plantearán unas hipótesis que guiarán al camino correcto, que debe tomarse para abordar esta
investigación. Las hipótesis hasta ahora son:
El ser humano tiene a su alcance conceptos que no han sido aprendidos de manera
formal, sino entendidos a través del contacto y uso con las demás personas; en la
observación de las cualidades y características de las formas en la instrucción
anteriormente recibida, que no han sido ordenadas hasta el momento. Ello resulta
perfectamente consecuente e hilado con el enfoque histórico cultural y la teoría de la
actividad de que se habla), ciertos conocimientos geométricos ya que se está inmerso en
un mundo pletórico de trigonometría.
La trigonometría desarrolla todas las competencias matemáticas, estas son: el
razonamiento, el planteamiento y resolución de problemas, la comunicación, la
modelación y la ejercitación.
6.8. Experimentación:
La experimentación más que puntual fue continua ya que seguía las etapas definidas en la BOA,
para cada uno de los temas cuando estos aparecían.
7. Resultados y discusión
7.1. Análisis de los resultados
El análisis de los resultados obtenidos del proceso de intervención de aula con los estudiantes
durante la solución de las guías se realizará de la siguiente manera:
La guía que actúa como prueba diagnóstica (pre test), se utiliza en general para identificar las
fortalezas y las debilidades de los estudiantes frente al uso y la aplicación de las leyes de solución
de triángulos en diferentes contextos, esta medición se realiza por medio de la resolución de
problemas basados en semejanza de triángulos, suma de ángulos internos de triángulos y
cuadriláteros, equivalencia de ángulos en sistema sexagesimal y sistema de radianes. A diferencia
de las guías de afianzamiento y pos test que se estudiarán teniendo en cuenta los procesos inmersos
en cada uno de los contextos de los problemas resueltos, además de las evidencias de aprendizaje,
que serán objetivo pedagógico del estudio. Dichas evidencias se describen a continuación:
Diferencia los distintos tipos de triángulos, así como conoce las principales propiedades
de sus ángulos y lados.
Aplica el teorema de Pitágoras para resolver triángulos rectángulos.
Reconoce la razón como una comparación entre los comportamientos de las variables
identificadas.
Plantea equivalencias a partir de razones.
Confía en sus propias capacidades para resolver problemas trigonométricos.
Desarrolla la capacidad de explorar e investigar en la resolución de problemas.
Nombra de manera adecuada los lados y los ángulos de un triángulo, a partir de su
relación
Comprende cuando se puede aplicar ley de senos y cósenos.
34 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Aplica la trigonometría en la solución de problemas contextualizados que involucran
triángulos rectángulos y no rectángulos.
7.2. Observación
Aquí se analizará el comportamiento de los estudiantes en el momento de ejecutar tareas
propuestas por el profesor, con el objeto de aprender trigonometría. Su actitud frente a las prácticas
actuales. Se observará e indagará sobre cuán conformes están los estudiantes con las estrategias
utilizadas para el proceso de enseñanza – aprendizaje de la trigonometría en el colegio.
Además se hará un análisis de los resultados obtenidos en los últimos años para identificar los
puntos más débiles de los alumnos, en donde se deben enfocar las prácticas para fortalecer las
habilidades de mayor necesidad, sin dejar las otras a un lado.
Para llevar a cabo este estudio, los estudiantes realizaron 5 guías con una serie de problemas en
diferentes contextos, en los que plantearon diversas situaciones representadas por triángulos
rectángulos y oblicuángulos para encontrar las respectivas soluciones. A continuación, se
presentan los resultados obtenidos durante la ejecución de este trabajo en el siguiente orden:
resultados en el pre test, guías de afianzamiento (ley de senos, ley de cosenos, ley de senos y
cosenos, resolución de triángulos rectángulos, planteamiento de problemas) y pos test. Con el fin
de describir las fortalezas y debilidades individuales presentadas en el desarrollo de cada guía.
Estas guías, fueron realizadas bajo los parámetros y ejercicios planteados por: (Vega, 2016), (SM,
2019), (Janneth Carvajal Alvarado, 2016)
8. Referencias
Instructivo: Excelente (E), Bueno (B), Regular (R), Deficiente (D).
Educativo: Excelente (E), Bueno (B), Deficiente (D).
Desarrollador: Excelente (E), Bueno (B), Regular (R), Deficiente (D).
Tabla 1. Análisis individual Pre-test
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Simón Ramírez Duque
Aldana Grisales, Santiago X X X
Betancourth Aguirre, Juan
Alejandro X X X
Calderon Ospina, Salomé X X X
De La Peña Ferreira, Daniel
Guillermo X X X
Duque Zuluaga, Sofía X X X
Gallego Giraldo, Sergio X X X
Giraldo Muñoz, Nicolás X X X
Grisales Cifuentes, Santiago X X X
Henao Villota, Laura Sofia X X X
Hoyos Muñoz, Federico X X X
Idárraga Cuervo, María José X X X
Jaramillo Giraldo, Valentina X X X
Lasso Legarda, Manuela X X X
Medina Castelblanco, Sara X X X
Montes López, Daniel X X X
Ochoa Muñoz, Santiago X X X
Patiño Paz, Juan David X X X
Ramírez Ramírez, Mateo X X X
Reyes Aguirre, Daniela X X X
Alarcon Quintero, Geronimo X X X
Castaño Sánchez, Juan Esteban X X X
Celis Mejia, Gabriela X X X
Duque Saldarriaga, Juanita X X X
Gallego Hoyos, Laura X X X
Giraldo Velasquez, Juan José X X X
36 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Jaramillo Sierra, Felipe
López Camacho, Juanita X X X
López Uribe, Sara X X X
Marín García, Jacobo
Molina Cárdenas, Thomas X X X
Montes López, Camilo
Muñoz Giraldo, Samuel X X X
Orozco González, Juan
Sebastián X X X
Quintero Valencia, Silvana X X X
Valencia Díaz, Santiago X X X
Valencia González, Antonia X X X
Viña Guerrero, Oscar Andrés X X X
Tabla 2. PNI Pre-test.
POSITIVO NEGATIVO INTERESANTE
En 8 de 10 preguntas, más
del 70% de los estudiantes
obtuvieron la respuesta
correcta. De lo que
podemos concluir, que las
bases requeridas para la
investigación estaban bien
fundamentadas.
En el desarrollo se notó un
nivel de dependencia alto.
Es decir, para abordar la
mayoría de los problemas,
los estudiantes debieron
recurrir con frecuencia a las
instrucciones extras de la
docente.
A pesar de que la semejanza
de triángulos fue un
aprendizaje adquirido en
grado noveno, se notó un
buen manejo en la
aplicación de la propiedad
general de dicho contenido.
8. Referencias 37
Tabla 3. Análisis individual ley de senos
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Simón Ramírez Duque X X X
Aldana Grisales, Santiago X X X
Betancourth Aguirre, Juan Alejandro X X X
Calderon Ospina, Salomé X X X
De La Peña Ferreira, Daniel Guillermo X X X
Duque Zuluaga, Sofía X X X
Gallego Giraldo, Sergio X X X
Giraldo Muñoz, Nicolás X X X
Grisales Cifuentes, Santiago X X X
Henao Villota, Laura Sofia X X X
Hoyos Muñoz, Federico X X X
Idárraga Cuervo, María José X X X
Jaramillo Giraldo, Valentina X X X
Lasso Legarda, Manuela X X X
Medina Castelblanco, Sara X X X
Montes López, Daniel X X X
Ochoa Muñoz, Santiago X X X
Patiño Paz, Juan David X X X
Ramírez Ramírez, Mateo X X X
Reyes Aguirre, Daniela X X X
Alarcon Quintero, Geronimo X X X
Castaño Sánchez, Juan Esteban X X X
Celis Mejia, Gabriela X X X
Duque Saldarriaga, Juanita X X X
Gallego Hoyos, Laura X X X
Giraldo Velasquez, Juan José X X X
Jaramillo Sierra, Felipe X X X
López Camacho, Juanita X X X
López Uribe, Sara X X X
Marín García, Jacobo X X X
Molina Cárdenas, Thomas X X X
Montes López, Camilo X X X
Muñoz Giraldo, Samuel X X X
Orozco González, Juan Sebastián X X X
Quintero Valencia, Silvana X X X
38 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Valencia Díaz, Santiago X X X
Valencia González, Antonia X X X
Viña Guerrero, Oscar Andrés X X X
Tabla 4. PNI - Ley de Senos
POSITIVO NEGATIVO INTERESANTE
Esta guía fue un buen punto
de partida en la
investigación, pues los
estudiantes se
familiarizaron rápidamente
con la ley del seno. A pesar
de que los problemas
mostraban contextos
distintos, no generó mayor
dificultad la aplicación de la
ley.
En algunos casos, se
presentaron errores en el
manejo de la calculadora.
Normalmente, debían
comparar con sus
compañeros para verificar si
estaban ingresando los
datos de forma correcta.
A pesar de que la mayoría
de los estudiantes
resolvieron la guía en su
totalidad, esto llevó más
tiempo de lo esperado.
Inclusive, algunos de los
problemas llevaron más de
15 minutos en la solución.
8. Referencias 39
Tabla 5. Tabla de Análisis individual Ley de Cosenos.
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Simón Ramírez Duque X X X
Aldana Grisales, Santiago X X X
Betancourth Aguirre, Juan Alejandro X X X
Calderon Ospina, Salomé X X X
De La Peña Ferreira, Daniel Guillermo X X X
Duque Zuluaga, Sofía X X X
Gallego Giraldo, Sergio X X X
Giraldo Muñoz, Nicolás X X X
Grisales Cifuentes, Santiago X X X
Henao Villota, Laura Sofia X X X
Hoyos Muñoz, Federico X X X
Idárraga Cuervo, María José X X X
Jaramillo Giraldo, Valentina X X X
Lasso Legarda, Manuela X X X
Medina Castelblanco, Sara X X X
Montes López, Daniel X X X
Ochoa Muñoz, Santiago X X X
Patiño Paz, Juan David X X X
Ramírez Ramírez, Mateo X X X
Reyes Aguirre, Daniela X X X
Alarcon Quintero, Geronimo X X X
Castaño Sánchez, Juan Esteban X X X
Celis Mejia, Gabriela X X X
Duque Saldarriaga, Juanita X X X
Gallego Hoyos, Laura X X X
Giraldo Velasquez, Juan José X X X
Jaramillo Sierra, Felipe X X X
López Camacho, Juanita X X X
López Uribe, Sara X X X
Marín García, Jacobo X X X
Molina Cárdenas, Thomas X X X
Montes López, Camilo X X X
Muñoz Giraldo, Samuel X X X
40 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Orozco González, Juan Sebastián X X X
Quintero Valencia, Silvana X X X
Valencia Díaz, Santiago X X X
Valencia González, Antonia X X X
Viña Guerrero, Oscar Andrés X X X
Tabla 6. PNI - Ley de Cosenos.
POSITIVO NEGATIVO INTERESANTE
Los estudiantes asimilaron
fácilmente los casos en los
cuales se debían aplicar las
fórmulas de la ley del
coseno. Inclusive no se notó
dificultad en la solución de
la mayoría de problemas.
Más del 50% de los
estudiantes erraron en la
solución del problema 10.
Por lo tanto, el
razonamiento o análisis de
situaciones y el
planteamiento en este caso
de gráficos, se evidencia
hasta aquí, en un nivel
regular.
El desarrollo de la guía
llevó muy poco tiempo
comparado con la anterior.
Esto evidencia la
familiarización de los
estudiantes con la ley.
8. Referencias 41
Tabla 7. Análisis individual Ley de Senos y Cosenos.
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Simón Ramírez Duque X X X
Aldana Grisales, Santiago X X X
Betancourth Aguirre, Juan Alejandro X X X
Calderon Ospina, Salomé X X X
De La Peña Ferreira, Daniel Guillermo X X X
Duque Zuluaga, Sofía X X X
Gallego Giraldo, Sergio X X X
Giraldo Muñoz, Nicolás X X X
Grisales Cifuentes, Santiago X X X
Henao Villota, Laura Sofia X X X
Hoyos Muñoz, Federico X X X
Idárraga Cuervo, María José X X X
Jaramillo Giraldo, Valentina X X X
Lasso Legarda, Manuela X X X
Medina Castelblanco, Sara X X X
Montes López, Daniel X X X
Ochoa Muñoz, Santiago X X X
Patiño Paz, Juan David X X X
Ramírez Ramírez, Mateo X X X
Reyes Aguirre, Daniela X X X
Alarcon Quintero, Geronimo X X X
Castaño Sánchez, Juan Esteban X X X
Celis Mejia, Gabriela X X X
Duque Saldarriaga, Juanita X X X
Gallego Hoyos, Laura X X X
Giraldo Velasquez, Juan José X X X
Jaramillo Sierra, Felipe X X X
López Camacho, Juanita X X X
López Uribe, Sara X X X
Marín García, Jacobo
Molina Cárdenas, Thomas X X X
Montes López, Camilo X X X
Muñoz Giraldo, Samuel X X X
42 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Orozco González, Juan Sebastián X X X
Quintero Valencia, Silvana X X X
Valencia Díaz, Santiago X X X
Valencia González, Antonia X X X
Viña Guerrero, Oscar Andrés X X X
Tabla 8. PNI - Ley de Senos y Cosenos.
POSITIVO NEGATIVO INTERESANTE
El gráfico generaba temor
en los estudiantes, pero a la
hora de abordar la solución
de los problemas, estos se
desenvolvieron con
seguridad y eficacia.
No se obtuvo un
planteamiento de problemas
que cumpliera con las
condiciones específicas que
se nombraron en el punto 4.
Según la investigación de la
docente y de los
estudiantes, el gráfico que
se evidencia en este tipo de
problemas donde se
combinan las dos leyes es el
mismo que se presenta en
los problemas 2 y 3
(simultaneidad en
aplicación de leyes de seno
y coseno). Esto sin importar
el contexto del cual se
hable.
8. Referencias 43
Tabla 9. Análisis individual Triángulos Rectángulos.
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Simón Ramírez Duque X X X
Aldana Grisales, Santiago X X X
Betancourth Aguirre, Juan Alejandro X X X
Calderon Ospina, Salomé X X X
De La Peña Ferreira, Daniel Guillermo X X X
Duque Zuluaga, Sofía X X X
Gallego Giraldo, Sergio X X X
Giraldo Muñoz, Nicolás X X X
Grisales Cifuentes, Santiago X X X
Henao Villota, Laura Sofia X X X
Hoyos Muñoz, Federico X X X
Idárraga Cuervo, María José X X X
Jaramillo Giraldo, Valentina X X X
Lasso Legarda, Manuela X X X
Medina Castelblanco, Sara X X X
Montes López, Daniel X X X
Ochoa Muñoz, Santiago X X X
Patiño Paz, Juan David X X X
Ramírez Ramírez, Mateo X X X
Reyes Aguirre, Daniela X X X
Alarcon Quintero, Geronimo X X X
Castaño Sánchez, Juan Esteban X X X
Celis Mejia, Gabriela X X X
Duque Saldarriaga, Juanita X X X
Gallego Hoyos, Laura X X X
Giraldo Velasquez, Juan José X X X
Jaramillo Sierra, Felipe X X X
López Camacho, Juanita X X X
López Uribe, Sara X X X
Marín García, Jacobo
Molina Cárdenas, Thomas X X X
Montes López, Camilo X X X
Muñoz Giraldo, Samuel X X X
44 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Orozco González, Juan Sebastián X X X
Quintero Valencia, Silvana X X X
Valencia Díaz, Santiago X X X
Valencia González, Antonia X X X
Viña Guerrero, Oscar Andrés X X X
Tabla 10. PNI - Triángulos Rectángulos.
POSITIVO NEGATIVO INTERESANTE
Se notó el afianzamiento de
las leyes de senos y
cosenos, en la aplicación de
la resolución de triángulos
rectángulos como caso
particular. Los resultados
fueron mejor de lo
esperado, pues los
estudiantes se
desenvolvieron con
apropiación del tema y con
independencia.
La identificación de los
catetos opuesto y
adyacente, presentó
dificultades para algunos
estudiantes. Lo que llevo, a
tomar más tiempo en la
solución de la guía.
La herramienta didáctica
del “CO CA CO CA H H”
facilitó el proceso de
manera notoria, pues fue
una forma no sólo práctica
de afianzar la memoria, sino
también divertida y
agradable para los alumnos.
8. Referencias 45
Tabla 11. Análisis individual Planteamiento de Problemas.
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Simón Ramírez Duque X X X
Aldana Grisales, Santiago X X X
Betancourth Aguirre, Juan Alejandro X X X
Calderon Ospina, Salomé X X X
De La Peña Ferreira, Daniel Guillermo X X X
Duque Zuluaga, Sofía X X X
Gallego Giraldo, Sergio X X X
Giraldo Muñoz, Nicolás X X X
Grisales Cifuentes, Santiago X X X
Henao Villota, Laura Sofia X X X
Hoyos Muñoz, Federico X X X
Idárraga Cuervo, María José X X X
Jaramillo Giraldo, Valentina X X X
Lasso Legarda, Manuela X X X
Medina Castelblanco, Sara X X X
Montes López, Daniel X X X
Ochoa Muñoz, Santiago X X X
Patiño Paz, Juan David X X X
Ramírez Ramírez, Mateo X X X
Reyes Aguirre, Daniela X X X
Alarcon Quintero, Geronimo X X X
Castaño Sánchez, Juan Esteban X X X
Celis Mejia, Gabriela X X X
Duque Saldarriaga, Juanita X X X
Gallego Hoyos, Laura X X X
Giraldo Velasquez, Juan José X X X
Jaramillo Sierra, Felipe X X X
López Camacho, Juanita X X X
López Uribe, Sara X X X
Marín García, Jacobo X X X
Molina Cárdenas, Thomas X X X
Montes López, Camilo X X X
Muñoz Giraldo, Samuel X X X
46 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Orozco González, Juan Sebastián X X X
Quintero Valencia, Silvana X X X
Valencia Díaz, Santiago X X X
Valencia González, Antonia X X X
Viña Guerrero, Oscar Andrés X X X
Tabla 12. PNI - Planteamiento de Problemas.
POSITIVO NEGATIVO INTERESANTE
Encontrar contextos que
evidencian el contenido
visto, fue motivante para
los estudiantes. Esto mostró
otra forma de llegar a la
aplicación de los
conocimientos sin
necesidad de salir de aula
de clase.
En el planteamiento de
problemas, se notó más
confianza en los problemas
de triángulos rectángulos y
algunos estudiantes dejaron
de lado las otras leyes.
Los estudiantes se
mostraron realmente
interesados en la
construcción de puentes.
Algunos nombraron que
querían visitar los puentes
que habían encontrado de
esta forma, pues estaban en
países muy grandes y
desarrollados.
8. Referencias 47
Tabla 13. Análisis individual Actividades Prácticas.
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Simón Ramírez Duque X X X
Aldana Grisales, Santiago X X X
Betancourth Aguirre, Juan Alejandro X X X
Calderon Ospina, Salomé X X X
De La Peña Ferreira, Daniel Guillermo X X X
Duque Zuluaga, Sofía X X X
Gallego Giraldo, Sergio X X X
Giraldo Muñoz, Nicolás X X X
Grisales Cifuentes, Santiago X X X
Henao Villota, Laura Sofia X X X
Hoyos Muñoz, Federico X X X
Idárraga Cuervo, María José X X X
Jaramillo Giraldo, Valentina X X X
Lasso Legarda, Manuela X X X
Medina Castelblanco, Sara X X X
Montes López, Daniel X X X
Ochoa Muñoz, Santiago X X X
Patiño Paz, Juan David X X X
Ramírez Ramírez, Mateo X X X
Reyes Aguirre, Daniela X X X
Alarcon Quintero, Geronimo X X X
Castaño Sánchez, Juan Esteban X X X
Celis Mejia, Gabriela X X X
Duque Saldarriaga, Juanita X X X
Gallego Hoyos, Laura X X X
Giraldo Velasquez, Juan José X X X
Jaramillo Sierra, Felipe X X X
López Camacho, Juanita X X X
López Uribe, Sara X X X
Marín García, Jacobo X X X
Molina Cárdenas, Thomas X X X
Montes López, Camilo X X X
Muñoz Giraldo, Samuel X X X
48 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Orozco González, Juan Sebastián X X X
Quintero Valencia, Silvana X X X
Valencia Díaz, Santiago X X X
Valencia González, Antonia X X X
Viña Guerrero, Oscar Andrés X X X
Tabla 14. PNI - Actividades Prácticas.
POSITIVO NEGATIVO INTERESANTE
Fue gratificante ver como
disfrutaron los estudiantes
de las prácticas, además,
realizaron un excelente
trabajo en equipo con una
asignación de roles claros y
pertinentes.
El tiempo estipulado para
las actividades se tuvo que
ampliar, pues no se estimó
de manera correcta. Sim
embargo, es bueno aclarar
que el hecho de realizar
muchas actividades
prácticas para los temas en
general de la malla, impiden
un buen avance en la
misma.
Todos los estudiantes
tuvieron la oportunidad de
participar y aportar en las
actividades, inclusive
aquellos estudiantes con
capacidades especiales.
8. Referencias 49
Tabla 15. Análisis individual Post-test.
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Simón Ramírez Duque X X X
Aldana Grisales, Santiago X X X
Betancourth Aguirre, Juan Alejandro X X X
Calderon Ospina, Salomé X X X
De La Peña Ferreira, Daniel Guillermo X X X
Duque Zuluaga, Sofía X X X
Gallego Giraldo, Sergio X X X
Giraldo Muñoz, Nicolás X X X
Grisales Cifuentes, Santiago X X X
Henao Villota, Laura Sofia X X X
Hoyos Muñoz, Federico X X X
Idárraga Cuervo, María José X X X
Jaramillo Giraldo, Valentina X X X
Lasso Legarda, Manuela X X X
Medina Castelblanco, Sara X X X
Montes López, Daniel X X X
Ochoa Muñoz, Santiago X X X
Patiño Paz, Juan David X X X
Ramírez Ramírez, Mateo X X X
Reyes Aguirre, Daniela X X X
Alarcon Quintero, Geronimo X X X
Castaño Sánchez, Juan Esteban X X X
Celis Mejia, Gabriela X X X
Duque Saldarriaga, Juanita X X X
Gallego Hoyos, Laura X X X
Giraldo Velasquez, Juan José X X X
Jaramillo Sierra, Felipe X X X
López Camacho, Juanita X X X
López Uribe, Sara X X X
Marín García, Jacobo X X X
Molina Cárdenas, Thomas X X X
Montes López, Camilo X X X
Muñoz Giraldo, Samuel X X X
50 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Nombre
Instructivo
Planteamiento y
resolución de
problemas
Educativo
Solidaridad,
Tolerancia,
Responsabilidad
Desarrollador
Autoconocimiento
E B R D E B D E B R D
Orozco González, Juan Sebastián X X X
Quintero Valencia, Silvana X X X
Valencia Díaz, Santiago X X X
Valencia González, Antonia X X X
Viña Guerrero, Oscar Andrés X X X
Tabla 16. PNI - Post-test.
POSITIVO NEGATIVO INTERESANTE
Fue satisfactorio el hecho
de que los alumnos
interiorizaran las leyes a tal
punto de identificar
acertadamente los
momentos en los cuales se
debía aplicar cada ley.
Fue inesperado, el hecho de
que algunos estudiantes en
este punto del estudio,
todavía incurrieran en el
error de no verificar los
resultados, a pesar de que
fue una sugerencia
constante durante el
proceso.
Los estudiantes
identificaron la relación
directa entre las leyes de
resolución de triángulos y la
regla de tres simple. Los
que facilitó e hizo más
ameno el proceso. Es
importante que los alumnos
reconozcan que las bases
que conocen en grados
inferiores, son importantes
para el desarrollo de la
educación media e incluso
para la profesional,
dependiendo de su
preferencia.
9. Conclusiones y recomendaciones
9.1. Conclusiones
1. Confrontando los resultados entre Pre test y Pos test y observando los desarrollos
particulares de los estudiantes y los resultados mostrados en el proceso, se puede considerar
que se logró la meta consistente en:
Plantear y resolver problemas desde la identificación de datos a través del uso de conceptos
trigonométricos que permitan aplicar los conocimientos en situaciones reales.
Es de anotar que se establece como referente el grupo que cursó la asignatura en el año
2018; el cual fue trabajado, mediante la metodología tradicional. Sin ser directamente un
grupo control, si ofrece una referencia válida en tanto son alumnos con las mismas
características sociodemográficas, culturales y económicas.
2. Promover la incorporación de valores como la solidaridad, la tolerancia y la
responsabilidad, a través de las actividades programadas en la base orientadora de la acción,
que permitan fortalecer su formación holística.
Esta investigación trató de considerar especialmente los valores de solidaridad,
responsabilidad y tolerancia; sin menoscabo de los demás; el trabajo desarrollado mostró
que se consiguieron ampliamente como puede verse en la ruta de seguimiento en las guías.
3. En el proceso y mediante la metodología adoptada los estudiantes lograron interesarse en la
comprensión, aplicación y desarrollo de problemas que pueden ser adaptados a su realidad
y la de su entorno, cumpliéndose con ello el objetivo de:
Apostar por el desarrollo de competencias para su autorrealización, mediante la integración
de temas contextuales, empleando la autoevaluación y el conocimiento de la realidad como
estrategias que permitan usar la trigonometría a su integralidad.
52 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
4. Con lo anterior, podemos considerar que el objetivo general “Estructurar y aplicar una Base
orientadora de la acción que guíe el Proceso de Enseñanza Aprendizaje en la resolución de
triángulos, a partir de conceptos trigonométricos en el entorno.” se cumplió
satisfactoriamente teniendo como base que la invariante pedagógica utilizada consideró el
cambio en el orden de enseñanza de los temas.
9.2. Recomendaciones
Los resultados de este estudio, permiten realizar las siguientes recomendaciones para
investigaciones a futuro que sean semejantes.
Usar el apoyo de monitores internos que permitan fomentar más la solidaridad y la
tolerancia; además que impulsen el avance del proceso.
Aumentar la cantidad del tipo de problemas en el que se presentaron resultados
deficientes según la definición de las variables para reforzar el desarrollo de
competencias.
Promover la realización de más actividades prácticas donde se apliquen todas las leyes
de solución de triángulos, que permitan motivar a los educandos y generar aprendizajes
significativos.
Fortalecer en todas las clases de matemáticas desde la primaria, el planteamiento y la
resolución de problemas.
Contar con un grupo control para la investigación, que permita comparar resultados de
forma más acertada.
10. Bibliografía
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del modelo del hexágono - Pedagogía conceptual.
Anexos
Anexo A. Resultados en el pre test
Se realizó una prueba tipo diagnóstica, conformada por 10 preguntas que tienen el objetivo de
analizar aquellos conocimientos previos fundamentales para el desarrollo de la investigación. En
dicha prueba, se evalúan conceptos básicos sobre ángulos, suma de ángulos interiores a una figura
geométrica y semejanza de triángulos. A continuación, se realiza una breve descripción de cada
pregunta.
1. La medida de un ángulo de un paralelogramo mostrado en la Figura 1 es A = 65°. Las
medidas de los ángulos restantes son:
a. B = 65°, C = 115°, D = 115°
b. B = 65°, C = 65°, D = 65°
c. B = 115°, C = 65°, D = 115°
d. B = 25°, C = 65°, D = 25°
Figura 1. Pregunta uno del Pre-Test
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 1
Figura 2. Respuestas a pregunta uno del Pre-Test
58 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Esta pregunta, pretende llevar al estudiante a identificar y aplicar propiedades básicas de los
ángulos internos de una figura de 4 lados. Además, de reconocer las características principales de
cuadriláteros fundamentales como el paralelogramo.
La respuesta correcta es la C.
Conclusión: un pequeño porcentaje de los alumnos, no se fijó en la ubicación de los ángulos,
sino, sólo en el valor.
2. Observa la Figura 4 y responde: El ∆ 𝑈𝑅𝑉 es isósceles con base 𝑈𝑉̅̅ ̅̅ . Si los ángulos
𝛼, 𝛽 y 𝛾 tienen la misma medida y 𝑚∡𝑅 = 30°,
¿cuál es el valor de la medida de los ángulos 𝛼, 𝛽 y
𝛾?
a. 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 25°
b. 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 75°
c. 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 15°
d. 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 30°
Figura 4. Pregunta dos del
Pre-Test
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 2
Figura 3. Respuestas de la pregunta dos del Pre-test
Anexo A. Resultados en el pre-test 59
Esta pregunta se realizó con el objetivo de que el estudiante identifique los nombres y las
propiedades de los triángulos según sus lados, además, que maneje el concepto de la suma de los
ángulos interiores de un triángulo. También, se pretende que el estudiante tenga presente todos
aquellos datos suministrados en el ejercicio a la hora de realizarlo.
La respuesta correcta es la A
Conclusión: Algunos estudiantes olvidaron durante el proceso de solución de este punto, el
hecho de que el ángulo U, estaba dividido en tres partes iguales.
3. Laura mide los ángulos interiores de la cerca de su terreno mostrado en la Figura 5 y
obtiene las siguientes medidas:
9𝜋
20𝑟𝑎𝑑, 80° 𝑦 135°
Sin embargo, le faltó medir el último ángulo. ¿Cuánto mide ese ángulo en el sistema
sexagesimal?
a. 𝑋 = 80°
b. 𝑋 = 135°
c. 𝑋 = 81°
d. 𝑋 = 64°
En esta pregunta, se reitera la aplicación de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero.
Por otro lado, se busca que el estudiante plantee de manera correcta la conversión con la cual se
pasa del sistema circular al sistema sexagesimal.
La respuesta correcta es la D
Figura 5. Pregunta tres del Pre-test
60 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Conclusión: Un gran porcentaje de los alumnos que tuvieron la respuesta correcta,
argumentaron que la D era la que más acercaba, pues asumían que sin hacer el procedimiento, el
ángulo en radianes no representaba una gran cantidad de grados.
4. En la Figura 5, ¿Cuál es la medida de los ángulos A, B, C y D en radianes?
a. 𝐴 =9𝜋
20𝑟𝑎𝑑, 𝐵 =
80𝜋
20, 𝐶 =
135𝜋
20, 𝐷 =
64𝜋
20
b. 𝐴 =9𝜋
20𝑟𝑎𝑑, 𝐵 =
80𝜋
360, 𝐶 =
135𝜋
360, 𝐷 =
64𝜋
360
c. 𝐴 =9𝜋
20𝑟𝑎𝑑, 𝐵 = 80𝜋, 𝐶 = 135𝜋, 𝐷 = 64𝜋
d. 𝐴 =9𝜋
20𝑟𝑎𝑑, 𝐵 =
4𝜋
9, 𝐶 =
3𝜋
4, 𝐷 =
16𝜋
45
En este punto, se pretende que el alumno realice las operaciones para convertir grados a radianes
de forma correcta. Con la realización de este procedimiento repetidas veces, se conseguirá que el
alumno interiorice las semejanzas y congruencias entre los dos sistemas de medida.
La respuesta correcta es la D
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 3
Figura 6. Respuestas de la pregunta tres del Pre-test
Anexo A. Resultados en el pre-test 61
Conclusión: El pequeño porcentaje de estudiantes que no realizó este punto, fue porque lo dejó
para el final, pues en general, los alumnos asumieron muy bien la conversión en los sistemas de
medición angular.
5. Teniendo en cuenta que 𝑆𝑒𝑛 30° =1
2 y 𝐶𝑜𝑠 30° =
√3
2. ¿Cuál es la expresión que permite
hallar la hipotenusa de alguno de los triángulos exteriores a la región sombreada de la
Figura 8?
a. 1
2=
6
ℎ
b. √3
2=
6
ℎ
c. √3
2=
ℎ
6
d. 1
2=
ℎ
6
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 4
Figura 7. Respuestas de la pregunta cuatro del Pre-test
Figura 8. Pregunta cinco del Pre-
test
62 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Esta pregunta, busca la aplicación del teorema de Pitágoras a través del uso de las razones
trigonométricas, con el fin de identificar de manera correcta los lados de un triángulo rectángulo.
La respuesta correcta es la B
Conclusión: En este punto, se puede notar, que cierto porcentaje de alumnos evita enfrentarse
a problemas que no tienen una solución inmediata, pues se les dificulta analizar y comprender lo
que les están pidiendo.
6. A partir de la Figura 10 responda ¿Cuál es la expresión que permite hallar y?
a. 450
𝑦=
3500
2500+𝑦
b. 𝑦
450=
3500
2500+𝑦
c. 𝑦
2500+𝑦=
450
3500
d. 450
𝑦=
2500+𝑦
3500
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 5
Figura 9. Respuestas de la pregunta cinco del Pre-test
Figura 10. Pregunta seis del Pre-test
Anexo A. Resultados en el pre-test 63
En esta pregunta, se aspira a que el alumno aplique uno de los criterios de semejanza de
triángulos aplicado a un contexto de la vida real.
La respuesta correcta es la C
Conclusión: Incluso asegurando que los estudiantes conocen y aplican la semejanza de
triángulos, aún se les dificulta plantearlo a partir de una gráfica, pues siguen acostumbrados a
procesos más planos.
7. ¿Cuál es la altura de la montaña, en la Figura 10?
a. 900 m
b. 257,7 m
c. 4155,19 m
d. 2150 m
Esta pregunta tiene la intención de que el estudiante interiorice la aplicabilidad tan frecuente
del teorema de Pitágoras, además de que se apropie de seguir los pasos indicados para realizar un
ejercicio, usando todas las herramientas que le ofrecen en el mismo.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 6
Figura 11. Respuestas de la pregunta seis del Pre-test
64 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
La respuesta correcta es la B
Conclusión: Así como las fracciones, en general los alumnos no se sienten cómodos trabajando
con raíces, esto los llevó a cometer errores en la aplicación de propiedades, llevándolos a una
respuesta incorrecta a algunos de ellos.
8. La forma más recomendable de sentarse frente al computador es esta mostrada en la
Figura 13. ¿A qué distancia horizontal del computador debe estar el ojo?
a. 33 cm
b. 110 cm
c. 36cm
d. 60 cm
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 7
Figura 12. Respuestas de la pregunta siete del Pre-test
Figura 13. Pregunta ocho del Pre-test
Anexo A. Resultados en el pre-test 65
En esta pregunta, además de que es importante que el estudiante aplique el concepto básico de
semejanza de triángulos, también se requiere que maneje propiedades generales de las operaciones
algebraicas.
La respuesta correcta es la C.
Conclusión: El error que tuvieron los estudiantes fue el de no tener en cuenta que el 3 se debía
sumar en la respuesta, esto muestra que un gran porcentaje de los alumnos no verifican que sus
procesos sean apropiados.
9. Los lados de un triángulo escaleno miden 𝑎 = 6 𝑚, 𝑏 = 8 𝑚 y 𝑐 = 15 𝑚. ¿Cuánto
medirán los lados a’ y b’ de un triángulo semejante al primero, si su lado más largo
es 𝑐′ = 10 𝑚?
a. 𝑎′ = 4 𝑚 𝑦 𝑏′ = 3 𝑚
b. 𝑎′ = 2,5 𝑚 𝑦 𝑏′ = 4,5 𝑚
c. 𝑎′ = 4 𝑚 𝑦 𝑏′ = 5, 3 𝑚
d. 𝑎′ = 5 𝑚 𝑦 𝑏′ = 3, 3 𝑚
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 8
Figura 14. Respuestas de la pregunta ocho del Pre-test
En este punto, se requiere que le estudiante aplique el concepto general de semejanza de
triángulos para buscar una incógnita, con el objetivo de que realice despejes básicos.
La respuesta correcta es la C.
Conclusión: Los estudiantes que erraron en este punto, en su afán por terminar pronto,
asumieron que al hacer el procedimiento del lado c y el lado a, ya no era necesario hacer un
tercero, pues no observaron que la opción c, presentaba las mismas respuestas para esos lados.
10. A partir del triángulo mostrado en la Figura 16, indica cuál es la medida de los ángulos
A, B y C.
a. A = 65°, B = 58°, C = 57°
b. B = 65°, A = 58°, C = 57°
c. B = 65°, C = 58°, A = 57°
d. C = 65°, A = 58°, B = 57°
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 9
Figura 15. Respuestas de la pregunta nueve del Pre-test
Figura 16. Pregunta 10
del Pre-test
Anexo A. Resultados en el pre-test 67
Para esta pregunta, se pretende que el alumno asimile fácilmente la forma en la que se deben
organizar los ángulos y los lados de un triángulo, con el fin de que se faciliten ejercicios posteriores
La opción correcta es la D
Conclusión: El error se encontró en que los alumnos que tomaron la opción A, solo se fijaron
en la ubicación del ángulo A, y no verificaron los ángulos restantes. Hubo, también 2 estudiantes
que no realizaron el punto. Estos argumentan que no les alcanzo el tiempo, de lo que deducimos
que tampoco revisan los ejercicios de la guía antes de empezar a resolverlos, porque seguramente
de haberlo hecho, este debía haber sido de los primeros en resolver, por su baja complejidad.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 10
Figura 17. Respuestas de pregunta 10 del Pre-test
Anexo B. Resultados en la guía “ley de senos” 69
Anexo B. Resultados en la guía “ley de senos”:
1. Teniendo en cuenta los datos conocidos en la Figura 18. Si se quiere resolver dicho
triángulo, ¿cuál de las siguientes opciones es correcta?
a. Usar ley del seno, pues se tiene AAL
b. Usar ley del seno, pues se tiene ALA
c. Usar la razón del coseno, pues se conoce el cateto adyacente y la hipotenusa
d. Usar teorema de pitágoras, pues se conocen dos catetos y se debe hallar la
hipotenusa.
Este punto pretende que el estudiante identifique las condiciones necesarias para usar ley de
senos en el momento de resolver un triángulo. Además, aquí es importante que el alumno
diferencie entre las leyes para aplicar en los triángulos rectángulos (teorema de pitágoras) y en los
oblicuángulos (ley del seno para este caso).
La respuesta correcta es la A.
Conclusión: Los alumnos ya manejan el concepto de ubicación de lados y ángulos, lo que
facilitó el proceso en esta pregunta.
Figura 18. Punto uno de la guía "ley de senos".
70 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
2. De la Figura 18, la medida del lado c es:
a. 7,67
b. 8,12
c. 6,25
d. 7,34
Teniendo en cuenta, que están determinados los valores de dos ángulos y un lado opuesto a uno
de ellos, se pretende que el alumno aplique de manera correcta la ley del seno para hallar el valor
requerido. Sin embargo, es importante que el estudiante realice el despeje apropiadamente y haga
un buen uso de la calculadora.
La respuesta correcta es la C.
Conclusión: Los estudiantes siguen mostrando buenos resultados en la ejercitación de
procedimientos.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 1
Figura 19. Respuestas de pregunta uno de la guía "ley de senos".
Anexo B. Resultados en la guía “ley de senos” 71
3. En el triángulo mostrado en la Figura 21, ¿cuál es el valor de los lados 𝑥 y 𝑦?
a. 𝑥 = 60 ; 𝑦 = 30
b. 𝑥 = 2,56 ; 𝑦 = 1,4641
c. 𝑥 = 105 ; 𝑦 = 30
d. 𝑥 = 5,4641 ; 𝑦 = 6,6921
En este ejercicio, es necesario que el estudiante identifique las herramientas disponibles y
busque lo faltante con ayuda de conocimientos previos. Para encontrar los ángulos restantes debe
usar los ángulos suplementarios y recurrir al hecho de que los ángulos internos de un triángulo
deben sumar 180°. Después de obtener los datos suficientes para aplicar la ley de senos, el alumno
podrá continuar con la solución del triángulo como en el ejercicio anterior.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 2
Figura 20. Respuestas punto dos de la guía "ley de senos".
Figura 21. Punto tres de la guía "ley de senos".
72 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
La respuesta correcta es la D
Conclusión: Los estudiantes le dan el uso apropiado a las propiedades de ángulos,
complementarios y suplementarios.
4. En el siguiente triángulo mostrado en la figura 10 de lados a = 8cm y b = 7cm. Calcular
cuánto mide aproximadamente el ángulo 𝛽 sabiendo que el ángulo α mide 45°
a. 𝛽 = 45°
b. 𝛽 = 38°
c. 𝛽 = 105°
d. 𝛽 = 28°
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 3
Figura 22. Respuestas punto tres de la guía "ley de senos".
Figura 23. Punto cuatro de la guía
"ley de senos".
Anexo B. Resultados en la guía “ley de senos” 73
Este ejercicio tiene el propósito de que el alumno recurra a la composición de una función con
su inversa para poder encontrar el ángulo requerido. El despeje se realiza de forma similar a los
ejercicios anteriores, sin embargo, para solucionar el ejercicio es importante que el alumno tenga
en cuenta que el primer despeje no debe darle un resultado menor a -1, ni mayor a 1, debido a que
este no puede salirse del rango de la función inversa.
La respuesta correcta es la B
Conclusión: Sólo un estudiante tuvo problemas con este ejercicio, pues asumió erróneamente
que el triángulo era rectángulo.
5. Andrés quiere atravesar el lago mostrado en la Figura 25 pero antes desea saber que
distancia debe recorrer para preparar todo lo necesario. A partir de los datos
suministrados en la imagen. ¿Cuál es la distancia entre las orillas?
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 4
Figura 24. Respuestas punto cuatro de la guía "ley de senos".
74 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
a. 350 m
b. 300 m
c. 257,89 m
d. 341,1808 m
Para este punto, ya pasamos a una etapa donde el estudiante necesita comparar los datos que le
proveen en una situación determinada y seguir los pasos para resolver un problema, analizando lo
que ya está determinado y lo que está por determinar, para al final resolver el problema de forma
simple usando la suma de ángulos interiores de un triángulo y la ley de seno para hallar un lado
del mismo.
La respuesta correcta es la D.
Conclusión: Los estudiantes logran plantear la ley del seno de manera correcta a partir de un
contexto sencillo.
Figura 25. Punto cinco de la guía "ley de senos"
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 5
Figura 26. Respuestas punto cinco de la guía "ley de senos".
Anexo B. Resultados en la guía “ley de senos” 75
RESPONDE LAS PREGUNTAS 6 Y 7 A PARTIR DEL SIGUIENTE PROBLEMA
Un automóvil viaja a lo largo de una carretera durante 160km hacia el este, luego viaja 160km
en otra carretera en dirección noreste. Teniendo en cuenta que las dos carreteras forman un ángulo
120° y la carretera final con el punto inicial forman un ángulo de 30°
6. Un gráfico que representa la situación anterior es:
a.
b.
c.
d.
76 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
7. ¿Qué tan lejos está de su posición de partida?
a. 305.6789 km
b. 160 km
c. 120 km
d. 277,1281 km
Las preguntas 6 y 7 tienen un propósito claro, además de aplicar la ley del seno. Aquí es
indispensable que el alumno manifieste sus conocimientos básicos en ubicación espacial, para
poder plantear un gráfico de manera correcta, pues, de esto depende el éxito en la respuesta a la
pregunta 7.
Las opciones correctas de respuestas de las preguntas 6 y 7 son la A y la D respectivamente.
Conclusión: Los estudiantes en esta parte, manifiestan un poco de dificultad a la hora de
abordar un problema donde no se les proporciona el gráfico, por eso, se deduce que los resultados
con porcentajes iguales en ambas preguntas son coherentes, pues si no logran plantear bien el
gráfico, difícilmente llegarán a una respuesta correcta.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
Opción
A
Opción
B
Opción
C
Opción
D
NS /
NR
Respuestas pregunta 6
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
Opción
A
Opción
B
Opción
C
Opción
D
NS /
NR
Respuestas pregunta 7
Figura 27. Respuestas puntos seis y siete de la guía "ley de senos".
Anexo B. Resultados en la guía “ley de senos” 77
8. Sobre la costa se encuentran dos faros A y B en la línea norte – sur, separados una
distancia de 1200 m, como se muestra en la Figura 28. Desde un barco, el capitán
observa el faro A con un ángulo de 60°, respecto a la línea norte – sur y observa el faro
B con un ángulo de 45° respecto a la misma línea. ¿A qué distancia aproximadamente
se encuentra el barco de cada uno de los faros?
Tenga en cuenta que las rectas C-Norte y AB
son paralelas.
a. a = 2030 , b = 3056
b. a = 3278 , b = 4015
c. a = 4015 , b = 3278
d. a = 3056 , b = 2030
Para resolver este problema se requiere que el estudiante aplique conocimientos previos acerca
de rectas paralelas, pues es la herramienta para encontrar la medida del ángulo ∡𝐵, que será el
punto de partida para que pueda resolver dicho problema.
La respuesta correcta es la C
Figura 28. Punto ocho de la guía
"ley de senos".
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 8
Figura 29. Respuestas punto ocho de la guía "ley de senos".
78 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Conclusión: Se encuentra que no hay un manejo total de las propiedades de rectas paralelas,
esto los lleva a abandonar la realización del ejercicio, o a hacer procedimientos sin coherencia.
9. Una resbaladilla mostrada en la Figura 30 tiene X pies de de longitud y 46° de
inclinación con respecto al suelo, si la escalera forma un ángulo de 64° con el suelo y
tiene una medida de 14 pies ¿cuál es la medida aproximada de la resbaladilla?
a. 16 m
b. 17,5 m
c. 12 m
d. 14 m
En este problema, es indispensable que el estudiante plantee un gráfico claro para poder usar
los datos que le proveen de forma correcta. En este tipo de problema, el hecho de tener una buena
ilustración, puede asegurar mejores resultados.
Figura 30. Punto nueve de la guía
"ley de senos".
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 9
Figura 31. Respuestas punto nueve de la guía "ley de senos".
Anexo B. Resultados en la guía “ley de senos” 79
La respuesta correcta es la B.
Conclusión: Algunos estudiantes optan por elegir la respuesta que más se acercaba, pues en el
planteamiento del gráfico cometieron un error al ubicar uno de los ángulos.
10. Dos postes de 5 m de altura, inicialmente eran paralelos y estaban separados a una cierta
distancia como se muestra en la Figura 32. Uno de ellos, al ser chocado, se inclinó un
ángulo de 30° respecto al eje vertical. Para sujetarlo se utiliza un cable de 50 m desde
el pie del poste recto hasta la punta del poste inclinado. Calcular el valor aproximado
del ángulo A que forma el cable con respecto al
suelo y la distancia entre los dos postes.
a. ∡𝐴 = 5 ; 𝑐 = 47,3
b. ∡𝐴 = 15 ; 𝑐 = 40
c. ∡𝐴 = 55 ; 𝑐 = 47,3
d. ∡𝐴 = 5 ; 𝑐 = 40
Para este problema es de vital importancia, que se realice un muy buen análisis de la
información para poder plantear el gráfico de forma adecuada. Además se requiere de la aplicación
de ángulos complementarios para encontrar la medida del ángulo en sentido horario que se genera
entre la horizontal y el poste que se inclina.
Figura 32. Punto 10 de la guía
"ley de senos".
80 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
La respuesta correcta es la A
Conclusión: El planteamiento gráfico de este problema fue de gran dificultad para los
estudiantes, lo que impidió un buen desarrollo del mismo.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 10
Figura 33. Respuestas de punto 10 de la guía "ley de senos".
Anexo C. Resultados en la guía “ley de cosenos” 81
Anexo C. Resultados en la guía “ley de cosenos”:
1. La ley del coseno se puede usar para encontrar la medida del lado faltante de un
triángulo, si se conoce L-A-L. Para llegar a esto, es necesario aplicar una raíz cuadrada
en el procedimiento. Teniendo en cuenta esto, ¿cuál es el signo de dicha raíz que se debe
tomar en cuenta y cuál es la razón de esto?
a. Se toma la raíz positiva, pues las raíces negativas no existen.
b. Se toma la raíz positiva, pues una longitud nunca puede ser negativa.
c. Se toma la raíz negativa, pues una longitud nunca puede ser positiva
d. Se toman ambas raíces, pues el signo es irrelevante
El propósito de este punto es que lo alumnos contextualicen las propiedades algebraicas en una
situación determinada, y lleguen a una interpretación acertada.
La respuesta correcta es la B
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 1
Figura 34. Respuestas punto uno de la guía "ley de cosenos".
82 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Conclusión: Debido a la falta de comprensión de lectura de los estudiantes y de el pequeño
vacío en el desarrollo de la comunicación en lenguaje matemático, los alumnos tienden a
confundirse en el significado de una raíz negativa.
2. ¿Cuál es la medida del lado restante del triángulo mostrado en la Figura 35?
a. 7,24
b. 6,36
c. 1
d. 11
En este punto se pretende que el estudiante ubique de manera
correcta los ángulos y los lados del triángulo, para así, aplicar de
manera correcta la ley del coseno.
Figura 35. Punto dos de
la guía "ley de
cosenos".
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 2
Figura 36. Respuestas punto dos de la guía "ley de cosenos".
Anexo C. Resultados en la guía “ley de cosenos” 83
La respuesta correcta es la B
Conclusión: Una vez mas los estudiantes confirman que la ejercitación de procedimientos, no
se les dificulta, mientras se proporcionen todos los datos.
3. Dos remolques están separados por 36metros y tiran de un contenedor. Sí la longitud de
uno de los cables es de 64m y la otra es de 69m. Para poder calcular los ángulos que se
forman entre ellos aplicamos:
a. Ley del seno, porque conocemos los tres lados.
b. Ley del coseno, porque conocemos dos lados.
c. Ley del seno, porque conocemos dos lados.
d. Ley del coseno, porque conocemos tres lados.
Este ejercicio pretende que el alumno identifique los casos en los cuales es posible aplicar la
ley del coseno para solucionar un triángulo oblicuángulo.
La respuesta correcta es la D
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 3
Figura 37. Respuestas de punto tres de la guía "ley de cosenos".
84 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Conclusión: Los estudiantes manifiestan que las respuestas A y C se descartan desde el inicio
y la interpretación de la lectura fue bastante sencilla.
En una construcción, dos vigas de 10m están soldadas por sus extremos y forman un triángulo
con otra viga de 15m.
4. ¿Cuál de los siguientes gráficos, representa la situación?
Este punto tiene el propósito de evaluar en el estudiante la capacidad de interpretar y representar
una situación por medio de un gráfico, con el fin de facilitar el desarrollo de un problema.
La respuesta correcta es la C
Conclusión: El estudiante que no contesto bien la pregunta, argumentó que le faltó observación
y concentración, ya que los demás aseguran que la complejidad del problema era mínimo.
Anexo C. Resultados en la guía “ley de cosenos” 85
5. En el anterior problema,¿Cuál es la medida aproximada de los ángulos que forman las
vigas entre sí?.
a. 60°, 60°, 60°
b. 40°, 40°, 100°
c. 98°, 98°, 41°
d. 41°, 41°, 98°
En este punto se pretende que el alumno infiera el proceso de solución al problema a partir de
la asimilación de que la figura forma un triángulo isósceles, para revisar cuales estudiantes lo usan
a favor o en contra.
La respuesta correcta es la D
Conclusión: en la solución de este problema se notó una mala aplicación de la clasificación de
los triángulos, pues aquellos que respondieron de manera errónea, mostraron que confundieron el
triángulo isósceles con un triángulo equilátero.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 4
Figura 38. Respuestas punto cuatro de la guía "ley de cosenos".
86 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
6. Una embarcación sale del puerto Sol hacia Platino, que está a 300 millas de distancia,
como se muestra en la Figura 40. Lleva una velocidad constante de 20 millas por hora,
pero debido a una corriente después de 3 horas la embarcación está fuera de curso 20°.
¿A qué distancia aproximadamente se encuentra la embarcación del puerto de Platino?
a. 244 millas
b. 60 millas
c. 312 millas
d. 144 millas
7. Dos balsas, A y C que se muestran en la Figura 41 y se mueven en línea recta desde el
punto B, de tal manera que la recta sobre la que se mueve la balsa C forma un ángulo
de 42° con la recta sobre la que se mueve la balsa A, cuya velocidad es el doble de la
balsa C. Determinar la distancia que los separa cuando la balsa C ha recorrido 1,5 km.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 5
Figura 39. Respuestas punto cinco de la guía "ley de cosenos".
Figura 40. Punto seis de la guía "ley de cosenos".
Anexo C. Resultados en la guía “ley de cosenos” 87
a. 3,18 km
b. 2,14 km
c. 3 km
d. 1,5 km
En los problemas 6 y 7 , es importante que el estudiante
infiera el dato faltante en las gráficas a partir de cada texto,
aplicando nociones básicas de velocidad, distancia y
tiempo, si se hace una buena comprensión lectora, el alumno podrá llegar al desarrollo de los
puntos, de lo contrario, no logrará iniciar el proceso.
La respuesta correcta es la A
Conclusión: los estudiantes que erraron en la respuesta, se caracterizan por ser aquellos que no
verfican los procesos, pues al encontrar en las opciones de respuesta el primer dato que hallaron,
determinaron que el procedimiento ya había acabado.
Figura 41. Punto siete de la guía
"ley de cosenos".
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 6
Figura 42. Respuestas punto seis de la guía "ley de cosenos".
88 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
La respuesta correcta es la B
Conclusión: En este problema ocurre algo muy similar al caso del problema 6, sin embargo,
aquí ocurre en un tercio del porcentaje del dicho punto.
8. El valor aproximado de las diagonales del siguiente trapecio cuadrilátero mostrado en
la Figura 44 son:
a. 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 56, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 50
b. 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 53, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 55
c. 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 45, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 55
d. 𝐷𝐵̅̅ ̅̅ = 56, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 55
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 7
Figura 43. Respuestas punto siete de la guía "ley de cosenos".
Figura 44. Punto ocho de la guía "ley de
cosenos".
Anexo C. Resultados en la guía “ley de cosenos” 89
Este problema pretende que el estudiante proponga una solución adecuada para este problema,
teniendo en cuenta que debe plantear dos figuras derivadas de la principal, a las cuales es posible
aplicarles la ley del coseno para encontrar las diagonales. Es importante que el alumno no plantee
el problema como triángulos rectángulos.
La respuesta correcta es la D
Conclusión: Debido a que el procedimiento para resolver este problema era extenso, algunos
estudiantes decidieron dejarlo para el final, por lo tanto, les faltó tiempo para solucionarlo.
9. El ∆𝐴𝐵𝐶 mostrado en la Figura 47 es isósceles, con 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ (≅: 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ). La
única expresión que no permite calcular la medida del lado 𝑏2 es:
a. 2𝑎2(1 − cos(𝐵)
b. 2𝑐2 − 2𝑐2 ∗ cos(𝐵)
c. 2𝑐2(1 − cos(𝐵)
d. 2𝑎 ∗ cos(𝐵)
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 8
Figura 45. Respuestas punto ocho de la guía "ley de cosenos".
90 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
En este punto, se pretende que el estudiante tenga la experiencia de encontrar la respuesta
incorrecta, para desarrollar la capacidad de encontrar los errores. Además, se requiere que el
alumno infiera la solución aplicando el concepto básico de figuras congruentes, que será el paso
contundente para llegar a una conclusión verdadera.
La respuesta correcta es la D
Figura 47. Punto nueve de la guía
"ley de cosenos".
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 9
Figura 46. Respuestas punto nueve de la guía "ley de cosenos".
Anexo C. Resultados en la guía “ley de cosenos” 91
Conclusión: Los alumnos en este problema argumentan que empezaron a descartar respuestas
con tal de llegar a la correcta, ya que no era muy claro para ellos cual era el procedimiento a seguir.
Las opciones A y C fueron descartadas inmediatamente debido a su forma tan similar, sin embargo
algunos escogieron la B, ya que no le veían mucho sentido.
10. ¿Es posible construir un triángulo ABC con medidas ∢𝐴 = 65,8°, 𝑏 = 13,5 𝑐𝑚 y 𝑐 =
4,3 𝑐𝑚?
a. No, pues no es posible hallar la raíz de un número negativo.
b. No, pues para hallar un ángulo en un triángulo, se necesitan la medida de los dos
restantes.
c. Si, porque conocemos datos suficientes con los que se aplica la ley del coseno
para hallar el lado restante y después los ángulos faltantes.
d. Si, pues el lado restante se halla con la suma de los dos lados conocidos, es
decir, la ley del coseno.
Este problema tiene el objetivo de que el estudiante realice el procedimiento, aún cuándo el
enunciado no se lo pide, pues esto, le permitirá llegar a una respuesta correcta. Además, se pretende
que el estudiante interiorice el hecho de que un triángulo no puede tener unas medidas
completamente arbitrarias.
92 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
La respuesta correcta es la C
Conclusión: Ya que el problema 9 requería de tiempo por su complejidad, algunos estudiantes
no alcanzaron a revisar el 10, por otro lado, estan aquellos que mal interpretaron la opción D, pues
la potencia de los lados en la fórmula del coseno.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 10
Figura 48. Respuestas punto 10 de la guía "ley de cosenos".
Anexo D. Resultados en la guía “ley de senos y cosenos” 93
Anexo D. Resultados en la guía “ley de senos y cosenos”
1. Dos automóviles parten del mismo punto a las 8:00 a.m, en dos direcciones que forman un
ángulo de 45°. El automóvil A va a 60 km/h y el automóvil B lleva una velocidad de 40
km/h. si se desesa determinar qué distancia hay entre los dos automólviles cuando han
transcurrido 30 minutos, ¿Cuáles son la representación y la solución correctas?
En este punto se pretende que el estudiante infiera cual es gráfico que representa la situación
planteada correctamente y que a partir de los datos identifique si puede usar la ley del seno o ley
del coseno
94 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
La respuesta correcta es la C
Conclusión: La falta de interpretación del problema afectó, sin embargo, en un porcentaje bajo.
Dos alumnos se olvidaron del tiempo que transcurrió en el problema, por lo tanto, aun no se
interioriza de manera total la importancia de la comprensión de lectura.
2. Desde la playa de un río se quiere medir la distancia entre los puntos C y D situados en la
otra playa. Se toman cuatro puntos:A, B, C y D, como se muestra en la Figura 50. Si la
medida de los ángulos son 𝜃 = 106°, 𝛼 = 51°, 𝛾 = 119° 𝑦 𝛽 = 35°. ¿Cuál es la distancia
aproximada entre entre C y D?
a. 228 m
b. 55 m
c. 45 m
d. 251 m
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 1
Figura 49. Respuestas punto uno, guía "ley de senos y cosenos".
Anexo D. Resultados en la guía “ley de senos y cosenos” 95
Este problema tiene el objetivo de que el estudiante afiance los conocimientos en la resolución
de triángulos, resolviendo un problema que requiere la aplicación de las leyes del seno y del
coseno. Es importante que el alumno identifique datos que conoce para encontrar los momentos
en los cuáles debe aplicar cada ley. Además, debe hacer uso de las propiedades de ángulos
complementarios y suplementarios.
La respuesta correcta es la A
Conclusión: Los resultados reflejan un afianzamiento en la aplicación de las leyes de senos y
cosenos, pues se logra identificar los casos especificos en los cuales estas se deben usar.
Figura 50. Punto dos, guía "ley de senos y cosenos".
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 2
Figura 51. Respuestas punto dos, guía "ley de senos y cosenos".
96 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
3. Dos observadores desde puntos distintos, ven dos globos, que están en el mismo plano
vertical en el cual están ellos. La distancia entre los observadores es de 1 Km como lo
muestra la figura 21. ¿Cuál es la distancia BD aproximadamente entre los globos?
a. 3,6001 km
b. 0,6574 km
c. 1,7125 km
d. 1,8974 km
En este punto se requiere una interpretación muy similar a la del punto 2 por parte del
estudiantes. Sin embargo esta situación tiene algo particular y es el hecho de que muestra la
aplicación de la resolución de triángulos no sólo en el plano (X,Y) sino tambien en el espacio.
La respuesta correcta es la D
Figura 52. Punto tres, guía "leyes de senos y cosenos".
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 3
Figura 53. Respuestas punto tres, guía "ley de senos y cosenos".
Anexo D. Resultados en la guía “ley de senos y cosenos” 97
Conclusión: 3 de los estudiantes que participan en el estudio, no realizaron el problema. Sim
embargo, argumentan que no hicieron una buena organización de su tiempo. Pues en este problema
se encontraba una necesidad muy similar a la del punto 2, el cual manejaron muy bien.
4. En el problema 2, se muestra una situación desarrollada en el plano 2D, mientras en el punto
3, notamos que se hace uso del espacio 3D, pues se asume que los globos están en el aire.
De acuerdo con esto, plantee y resuelva dos problemas donde se evidencien situaciones
aplicadas en el espacio 3D. (Use datos de ángulos y lados diferentes a los problemas 2 y 3).
Una competencia fundamental para desarrollar en los alumnos es el planteamiento y resolución
de problemas, sin embargo, lograr esto tiene dificultades en la mayor parte de los estudiantes. Por
esto, este punto pretende que el alumno muestre el total afianzamiento del tema y muestre el nivel
en el cuál maneja esta competencia.
A continuación compartimos algunas de las respuestas de los estudiantes:
En la Figura 54 se logra notar que el estudiante plantea un gráfico semejante al de los puntos
2 y 3, y realiza los procedimientos de forma similar. De esto, podemos deducir que al alumno se
le dificulta plantear una situación donde se apliquen ambas leyes de resolución de triángulos
oblicuángulos. Esta situación, se notó en varios estudiantes del curso.
98 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
De otro lado, tenemos estas respuestas:
Figura 54. Problema 1 Ley de Senos y Cosenos
Figura 55. Problema 2 Ley de senos y cosenos
Anexo D. Resultados en la guía “ley de senos y cosenos” 99
Conclusión: Estas respuestas evidencian, que para este momento del estudio la resolución de
problemas se encuentra en un nivel eficiente, sin embargo, el planteamiento de los mismos, es un
ámbito en el que no se desenvuelven totalmente. Se nota que se facilita el proceso cuando se trata
de redactar un problema donde se requiera el uso de alguna de las leyes, mas no ocurre lo mismo,
si se pide plantear uno donde se especifique el uso de ambas leyes de manera consecutiva.
Figura 56. Problema 3 Ley de senos y cosenos
Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos” 101
Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos”:
Para la solución de la presente guía, se aportó una herramienta que facilita el proceso de
memorización de las razones trigonométricas.
Esta herramienta consiste en escribir las siglas:
CO CA CO CA H H
En el orden descrito y viceversa, quedando de esta forma:
⇒ CO CA CO CA H H
H H CA CO CA CO ⇐
Quedando esto aclarado, continuamos a hacer el análisis de las respuestas:
1. Observe la siguiente Figura 57. La resolución del triángulo rectángulo equivale a los
siguientes valores:
a. a = 6,2 cm, b = 11,5 cm, β = 6,1°
b. a = 6,1 cm, b = 11,5 cm, β = 62°
c. a = 11,5 cm, b = 1,3 cm, β = 6,1°
d. a = 6,1 cm, b = 62 cm, β = 13°
Figura 57. Punto uno, guía "resolución de triángulos
rectángulos".
102 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
En este punto se espera que el estudiante aplique conceptos básicos de las razones
trigonométricas, identifcando los datos conocidos y los datos por conocer para usar las razones
adecuadas y así encontrar los lados faltantes, además, se debe aplicar la propiedad de la suma de
ángulos internos para encontrar los ángulos faltantes teniendo en cuenta que existe un ángulo recto.
La respuesta correcta es la B
Conclusión: En este punto, los estudiantes argumentan que después de conocer las razones
trigonométricas, solo es necesario realizar una buena aplicación de la regla de 3 y este es un
procedimiento de muy baja complejidad para ellos.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuesta pregunta 1
Figura 58. Respuestas punto uno, guía "solución de triángulos
rectángulos".
Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos” 103
2. Si la medida de los catetos es 12 m y 15 m, respectivamente, entonces la solución del
triángulo rectángulo XYZ mostrado en la Figura 59 es:
a. α = 39°, β = 51°, z = 19,2 cm
b. α = 68°, β = 12°, z = 27 cm
c. α = 19°, β = 71°, z = 51 cm
d. α = 0,8°, β = 51°, z = 27 cm
En este punto se evidencia el otro caso de resolución de triángulos rectángulos, en este se debe
hacer uso de la función inversa para encontrar un ángulo y aplicar suma de ángulos interiores para
encontrar los dos restantes, además, es preciso aplicar el teorema de pitágoras para hallar el valor
del lado faltante.
La respuesta correcta es la A
Figura 59. Punto dos, guía "resolución de triángulos
rectángulos".
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 2
Figura 60. Respuestas punto dos, guía "solución de triángulos
rectángulos".
104 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Conclusión: El teorema de Pitágoras se ha venido interiorizando desde grado séptimo
aproximadamente, y su constante uso, ha permitido, que se aplique con facilidad en diferentes
contextos. Este caso no es la excepción, además, desde el aprendizaje de las leyes de senos y
cosenos, el procedimiento para obtener un ángulo, tampoco refleja mayor dificultad.
3. Observa la Figura 61. Luego, responde. ¿Cuál es el valor de x?
a. 4 cm
b. 5 cm
c. 6 cm
d. 8 cm
Este ejercicio pretende que el alumno, encuentre el lado
que se comparte en ambos triángulos usando el triángulo
inferior para encontrar el lado que se pide en el triángulo
superior.
Figura 61. Punto tres, guía "solución de
triángulos rectángulos".
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 3
Figura 62. Respuestas punto tres, guía "solución de triángulos
rectángulos".
Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos” 105
La respuesta correcta es la C
Conclusión: Los estudiantes manifiestan que se sienten muy cómodos con la resolución de este
tipo de problemas, ya que con la herramienta manifestada al inicio se les facilita seguir con los
procedimientos de forma correcta.
4. Carlos quiere saber la medida del ancho de un río mostrado en la figura 25 sin tener que
desplazarse a la otra orilla, con ayuda de un hipsómetro con láser y ultrasónico determinó
que la medida del ángulo 𝛼 es 32,7°. ¿Cuánto mide el ancho del río aproximadamente?
a. 16 m
b. 32 m
c. 25 m
d. 47 m
Este problema pretende que el alumno identifique uno de los casos más simple de resolución
de triángulos rectángulo, pues allí se conoce un ángulo y un lado del mismo.
La respuesta correcta es la A
Figura 63. Punto cuatro, guía "solución de triángulos rectángulos".
106 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Conclusión: Es la primera presentación de un problema contextualizado en la guía de
resolución de triángulos rectángulos, sin embargo, no se presentan dificultades en la resolución del
mismo.
5. Se va a excavar un túnel horizontal a través de una montaña de 300 m de altura como se
muestra en la Figura 65. Desde los puntos A y B de la entrada al túnel, se observa, con
respecto a la horizontal, la cima de la montaña con ángulos de 42° y 45°, respectivamente.
¿Qué ancho tendrá el túnel AB?
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 4
Figura 64. Respuestas punto cuatro, guía "solución de triángulos
rectángulos".
Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos” 107
a. 333,18 m
b. 300 m
c. 600 m
d. 633,18 m
En este punto se muestra como la resolución de tríangulos rectángulos es un caso específico de
la resolución de triángulos en general, pues de un triángulo oblicuángulo se pueden obtener dos
triángulos rectángulos y así encontrar una solución simple.
La respuesta correta es la D
Figura 65. Punto cinco, guía "solución de triángulos
rectángulos".
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 5
Figura 66. Respuestas punto cinco, guía "solución de triángulos
rectángulos".
108 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Conclusión: Aquí se vuelve a presentar una dificultad de verificación de resultados, pues
algunos estudiantes se quedaron en la mitad de la solución del problema, debido a que encontraron
el primer resultado en las opciones de respuesta. Tambien, se evidencia falta de compresión de
lectura.
6. En un aeropuerto se transporta el equipaje en carritos especiales. Si Lorena debe ubicar su
equipo de fotografía en el espacio restante como se muestra la figura 27, ¿cuál es la longitud
con que cuenta Lorena para ubicar el equipo de
fotografía?
a. 62 cm
b. 50,5 cm
c. 31 cm
d. 29,4 cm
En este punto se debe plantear un ecuación de primer grado para despejar el espació faltante en
la hipotenusa del triángulo que se forma.
Figura 67. Punto seis, guía "solución de triángulos
rectángulos".
Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos” 109
La respuesta correcta es la D
Conclusión: El planteamiento de ecuaciones ha presentado dificultades a la hora de interpretar
un problema, por lo tanto, se nota en este problema que los alumnos que erraron, decidieron poner
la respuesta que creyeron aproximada.
7. Desde la punta de un faro situado sobre un acantilado se observa un barco. La punta del faro
se encuentra a 87 m sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión es de 5° como se muestra
en la Figura 69. ¿A qué distancia se encuentra el barco de la base del acantilado?
a. x = 994,4 m
b. x = 87 m
c. x = 870 m
d. x = 1000,5 m
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 6
Figura 68. Respuestas punto seis, guía "solución de triángulos
rectángulos".
Figura 69. Punto siete, guía "solución de triángulos rectángulos".
110 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
En este problema, la figura muestra la ubicación del ángulo de depresión de 5°, el cuál se repite
en B por la relación entre ángulos alternos internos entre rectas paralelas.
La respuesta correcta es la A
Conclusión: En este problema fue necesario, aplicar propiedades de paralelas, lo cual había
ocurrido en guías anteriores, con lo cual, se puede concluir que ya es un aprendizaje bien
desarrollado.
8. Un topógrafo observa con un teodolito la cima de un faro con un ángulo de elevación de
40° como lo muestra la Figura 71. Si el teodolito tiene una altura de 1,5 m y se encuentra a
12 m del faro, ¿cuál es la altura del faro?
a. 12 m
b. 10,07 m
c. 11,57 m
d. 13,5 m
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 7
Figura 70. Respuestas punto siete, guía "solución de triángulos
rectángulos".
Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos” 111
En este problema, la línea visual del observador representa el ángulo de elevación, este muestra
el ángulo con respecto del cual se debe hallar la razón trigonométrica adecuada para hallar la altura
de la torre. Para el resultado final, se debe tener en cuenta sumar la altura del teodolito.
La respuesta correcta es la C
Figura 71. Punto ocho, guía "solución de triángulos rectángulos".
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 8
Figura 72. Respuestas punto ocho, guía "solución de triángulos
rectángulos".
112 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Conclusión: En este problema, se evidencia un cambio en la tendencia, donde algunos alumnos
olvidaban las condiciones iniciales. Es por esto, que se logra un excelente resultado en la solución.
9. El copiloto del aeroplano representado en la
Figura 73 y que vuela a una altura de 8.000
m sobre el nivel del océano, descubre una
isla. Calcular el ancho aproximado de la
isla.
a. 6916 m
b. 10240 m
c. 2240 m
d. 8000 m Figura 73. Punto nueve, guía "solución de
triángulos rectángulos".
Anexo E. Resultados en la guía “Resolución de triángulos rectángulos” 113
Para este problema es importante que el alumno ponga en práctica la herramienta de los ángulos
alternos internos de rectas paralelas. Además, se le proporciona al estudiante el segundo gráfico
que muestra la forma en la que debe plantear el gráfico para formar triángulos rectángulos.
La respuesta correcta es la A
Conclusión: Se presentaron dificultades en los procedimientos algebraicos para algunos
estudiantes, lo que los llevó a no elegir alguna de las opciones de respuesta.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 9
Figura 74. Respuestas punto nueve, guía "solución de triángulos
rectángulos".
114 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
10. Desde lo alto de un edificio de 24 m de altura, una persona observa un automóvil con un
ángulo de depresión de 30°. ¿A qué distancia del edificio se encuentra el automóvil?
a. 12√2 m
b. 24√2 m
c. 12√3 m
d. 24√3 m
Se espera que la ausencia de la figura en este problema no sea una dificultad para que el alumno
llegue a la solución adecuada, pues tiene todas las herramientas necesarias para encontrarla. Debe
aplicar los datos de la tabla de razones trigonométricas para ángulos notables y aplicar el caso más
simple de factorizacion.
La respuesta correcta es la D
Conclusión: A pesar de que en este problema se debía plantear el gráfico, no se presentaron
dificultades, incluso los estudiantes tuvieron en cuenta racionalizar el resultado para encontrar la
opción de respuesta correcta.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 10
Figura 75. Respuesta punto 10, guía "solución de triángulos
rectángulos".
Anexo F. Resultados en la guía “Planteamiento de problemas” 115
Anexo F. Resultados en la guía “Planteamiento de problemas”:
En esta guía se presenta una lectura contextualizada, la cual, pretende que el estudiante, a partir
de la misma, plantee y resuelva problemas que requieran que de la aplicación de las leyes de
resolución de triángulos.
Dicha lectura fue tomada del libro de Santillana 10 (citar el libro)
Triángulos oblicuángulos en el diseño de puentes innovadores
Un puente se construye con el objeto de traspasar obstáculos naturales, como valles, lagos o
brazos de mar, y obstáculos artificiales, como vías férreas o carreteras. Su diseño y construcción
corresponde a la Ingeniería estructural, que es una rama de la Ingeniería civil.
Las principales clases de puentes estructurales son: colgantes o atirantados, en arco, de viga y
en ménsula. Los puentes atirantados poseen una estructura básicamente formada por cables de
acero que se apoyan en torres y se anclan a grandes bloques de hormigón ubicados en el extremo
del puente.
El puente atirantado de Alamillo en Sevilla tiene un diseño innovador con forma de arpa, fue
diseñado y construido entre 1989 y 1992 por el arquitecto Santiago Calatrava.
Su diseño presenta un solo mástil de140 m de altura, que soporta todo el peso del tablero del
puente, mediante una pareja de tirantes; la longitud del tirante más largo es de 300 m para salvar
una luz (longitud horizontal) de 250 m. Su principio de funcionamiento es el de una balanza en el
que el equilibrio se obtiene mediante el desplome del mástil, en un ángulo de 58° sobre la
horizontal.
116 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Analiza la información
1. ¿Qué clase de triángulos forman los tirantes del puente de Alamillo?
2. ¿Qué altura tiene el mástil del puente de Alamillo?
3. ¿Qué ventajas tiene la construcción triangular en el diseño de un puente?
Estas preguntas pretenden que el alumno realice una lectura consciente, para responder a las
preguntas 1 y 2 a traves de las comprensión de la misma. Además, la contextualización con los
puentes atirantados, permitirá que el estudiante concluya y exponga su posición en la pregunta 3.
Estas son algunas de las respuestas que mostraron los estudiantes:
Estas respuesta no presentaron alguna dificultad, pues la información consignada en ellas fue
extraída directamente de la lectura.
Figura 76. Respuesta 1 "Planteamiento de problemas".
Figura 77. Respuesta 2 "Planteamiento de problemas".
Anexo F. Resultados en la guía “Planteamiento de problemas” 117
Para esta respuesta los estudiantes recurrieron a un poco de información, por eso concluyeron
que se obtenía un equilibrio perfecto en este tipo de puentes.
Construye aportes
De acuerdo con el texto acerca del puente atirantado de Alamillo en Sevilla, realiza:
1. Construye el triángulo que forma el tirante más grande del puente de Alamillo, ubica la
longitud del tirante, el ángulo interno y la luz (longitud horizontal). Luego, calcula la altura
a la cual el tirante más largo (300 m) se ancla al mástil.
2. Si los tirantes son paralelos, calcula la altura a la cual se ancló un tirante de 200 m de
longitud.
3. Consulta cómo se puede utilizar la solución de triángulos en otro puente atirantado hecho
en Colombia o en otra parte del mundo.
4. Plantee y resuelve 3 problemas relacionadas con medidas consultadas sobre puentes
atirantados que apliquen las 3 leyes vistas en clase para solucionar triángulos.
Figura 79. Respuesta 3.1. "Planteamiento de problemas".
Figura 78. Respuesta.3.2. "Planteamiento de problemas".
118 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Esta sección de la guía, tiene el objetivo de que los estudiantes construyan conocimientos, y
aporten resultados basados en la solucion de triángulos por trigonometría. Esto para las preguntas
1 y 2.
La pregunta 3 invita a realizar un proceso de investigación y ampliación del contexto, sin perder
el enfoque principal, que se refiere a la aplicación de la resolución de triángulos en la vida
cotidiana, en este caso, en disciplinas como la arquitectura o la ingeniería civil.
Por otro lado, el punto 4, invita al estudiante a enfrentarse de nuevo al planteamiento de
problemas, esta vez, recopilando la información adquirida en las preguntas anteriores.
A continuación, se analizarán algunos aportes de los alumnos:
En esta solución se cometió el error de asumir que el tirante más largo llegaba hasta la punta
del mastil.
Figura 80. Respuesta 1.1 "Construye aportes".
Anexo F. Resultados en la guía “Planteamiento de problemas” 119
Aquí se tomaron los datos de manera correcta y por eso el resultado fue satisfactorio.
En este punto se realizó el mismo procedimiento del punto uno, tomando correctamente la
medida de los ángulos igual, debido a ser rectas paralelas.
Figura 81. Respuesta 1.2 "Construye aportes".
Figura 82. Respuesta 2 "Construye aportes".
Figura 83. Respuesta 3 "Construye aportes".
120 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Haciendo uso del internet averiguaron sobre otros puentes con la misma forma e incluso
aportaron otras formas de aplicar las leyes sobre ellos
Figura 84. Respuesta 4.1 "Construye aportes".
Figura 85. Respuesta 4.2 "Construye aportes"
Figura 86. Respuesta 4.3 "Construye aportes".
Anexo F. Resultados en la guía “Planteamiento de problemas” 121
En las tres imágenes anteriores se refleja la solución del punto 4, la cual estuvo muy bien
elaborada, pues no sólo llevo a los estudiantes a investigar sino a plantear preguntas tipo problemas
y a usar las leyes de resolución de triángulos para resolverlas.
Conclusión general de la guía: Llevó a los educandos a adentrarse en un tema de interés, para
algunos por cultura, para otros por curiosidad de visitar y a otros por la profesión que desean. Lo
que los incentivó más en la investigación y mostró aprendizajes reveladores.
Anexo G. Resultados en la guía “Actividades Prácticas” 123
Anexo G. Resultados en la guía “Actividades prácticas”:
A continuación, se presentarán, algunas prácticas a desarrollar por los estudiantes, las cuales
requieren del trabajo cooperativo, comunicación asertiva entre pares, asignación de roles. Para
llevar a cabo dichas actividades, no es necesario el uso de materiales ni procesos demasiado
rigurosos. Sin embargo, todas las actividades terminarán siendo resueltas mediante la construcción
de triángulos.
Entre los materiales, se encuentran:
Lana para todas las actividades
Mira o monocular
Base
Transportador de tablero
Lápiz
Papel
Calculadora científica
Cometa o globo de helio
Distancia a la cometa (globo)
En grupos de 3 estudiantes donde uno debe sostener la cometa, otro debe tomar medidas y
realizar cálculos y el último debe sostener la lana que forma el triángulo. Deben elevar una cometa
y mantenerla lo más firme posible, un integrante del grupo debe amarrar la lana a la punta de la
cual se está sosteniendo la cometa y prolongarla de manera horizontal formando la base del
triángulo, obteniendo así dos lados del mismo. El tercer integrante medirá la distancia entre sus
compañeros y sobre la base debe apoyar el transportador de tablero para medir el ángulo de
elevación de la cometa por ambos extremos. Con lo cual se obtendrán los datos A-L-A.
A partir de los datos obtenidos, encuentre la distancia entre los integrantes del grupo que se
encuentran a los extremos y la cometa. (Haga uso de alguna de las leyes de solución de triángulos
trabajadas en clase.
124 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
En esta actividad, es necesario contar con un espacio apto para elevar cometa. La institución,
gracias a ser un colegio campestre, cuenta con una montaña, en la cual es posible realizar este tipo
de actividades con un objetivo pedagógico claro.
A continuación, Imágenes de las prácticas y procedimientos realizados por los alumnos:
Figura 87. Construcción de un triángulo elevando una
cometa.
Figura 88. Construcción de un triángulo con un globo de
helio.
Anexo G. Resultados en la guía “Actividades Prácticas” 125
Conclusión general: El ángulo entre los hilos, se halló con ayuda de un transportador de
tablero, lo cual facilitó el proceso, además decidieron medir las distancias en pies, pues era
complicado medirlo en metros.
La disposición de los alumnos para la actividad fue total y se concibieron resultados correctos,
pues no se presentó dificultad alguna.
Mira la altura.
Escoger una torre, cancha, viga, etc. Con el fin de determinar la distancia desde la punta, hasta
dos sujetos ubicados a dos extremos de la misma. Ubicar a dos integrantes del grupo a extremos
opuestos, de manera que la ubicación de la altura a determina se encuentre en medio de las dos
personas, las cuales deben estar unidas por una lana. Con ayuda de una mira (ver imagen), calcular
el ángulo aproximado que forma entre la punta de la torre, con la horizontal, además de la distancia
entre sus compañeros. Por lo tanto, ya teniendo estos datos, usar la ley correspondiente para
encontrar la longitud entre los compañeros y la punta del objeto elegido.
Esta práctica, muestra una forma aproximada de encontrar alturas, sin embargo, pretende que
los estudiantes saquen conclusiones acerca de los cambios que ocurren si sus estaturas fueran
diferentes, entre otros aspectos que afectarían los resultados.
Figura 89. Respuesta Actividad 1.
126 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
A continuación, Imágenes de la prácticas y procedimientos realizados por los alumnos:
Conclusión general: Los estudiantes optaron por formar un triángulo acomodando un
integrante del grupo a cada lado de la altura escogida. Lo que los llevó a realizar un procedimiento
muy similar al de la altura de la cometa.
Figura 90. Construcción de un triángulo para hallar una altura.
Figura 91. Respuesta Actividad 2.
Anexo G. Resultados en la guía “Actividades Prácticas” 127
El ancho del río
Debido a que el colegio no cuenta con un río, se decidió realizar una simulación de este,
midiendo la distancia entre dos balcones. Para hacer esta actividad, se requiere que un integrante
del grupo se ubique en cada balcón. Cada grupo debe buscar la manera que enviar la lana de
extremo a extremo. Además, un tercer integrante debe ubicarse en un punto externo a los balcones
el cual ellos mismos escogerán, sin embargo, debe existir la facilidad de medir la distancia entre
el punto externo y uno de los balcones.
De aquí identifique si se puede encontrar la medida de algunas partes del triángulo que se forma,
para que con la ley apropiada se encuentre el ancho entre los balcones.
Esta actividad, tiene el objetivo de que el estudiante compruebe que existen casos donde sólo
con la ley del seno se puede conocer la distancia requerida, pues no se tiene como posibilidad
atravesar el rio (en este caso el espacio entre los balcones) con un hilo y tan solo medirlo.
A continuación, Imágenes de las prácticas y procedimientos realizados por los alumnos:
Figura 92. Construcción de un triángulo para hallar una distancia.
128 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Conclusión general: Los estudiantes construyeron un triángulo similar al de uno de los
problemas escritos que habían solucionado, que trataba de encontrar el ancho de un río, con la
intención de poder usar la ley del seno, con la cual se habían familiarizado mucho para esta parte
del estudio.
Área de un lote irregular
Escoger un punto centro, desde el cual saldrán varias líneas. Estas no deben ser del mismo
tamaño, pero si es necesario conocer la longitud total de las mismas. Después de trazar todas las
diagonales, se deben medir los ángulos que se forman con vértice en el centro. Para esto, deben
ayudarse de unos palillos cruzados, los cuales deberán estar sobre un soporte que garantice que los
palillos estén completamente horizontales para medir los ángulos. Los palillos indicarán el
recorrido de los ángulos y este será reflejado en hojas de papel para medir los mismos con un
transportador. Teniendo este dato y la medida de los lados que conforman dichos ángulos, se debe
determinar la medida del tercer lado que conforma el triángulo, usando la ley de solución de
triángulos pertinente.
Figura 93. Respuesta Actividad 3.
Anexo G. Resultados en la guía “Actividades Prácticas” 129
Después de repetir este proceso con cada uno de los triángulos, se debe medir las alturas de los
triángulos conformados para hallar sus áreas, pues la sumatoria de todas las áreas será el área total
del terreno.
En esta práctica se pretende que los alumnos, encuentren una aplicación topográfica en las leyes
de resolución de triángulos, además de que se vayan aprendiendo conceptos básicos de dicha
disciplina para una posible carrera profesional, teniendo en cuenta que los estudiantes están a miras
de una universidad en poco tiempo.
A continuación, Imágenes de las prácticas y procedimientos realizados por los alumnos:
Figura 94. Marcación del lote por medio de triángulos.
130 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Conclusión general: Los alumnos no escogieron un terreno muy grande, pero quedaron
satisfechos con la actividad pues se dieron cuenta que se puede realizar para cualquier tipo de
terreno.
Para medir los ángulos pintaron las cintas con vinilo y asentaron hojas de block para que
quedaran marcados, cuando ya estaban secos, los midieron con el transportador de tablero.
Figura 95. Respuesta Actividad 4 (Parte 1).
Figura 96. Respuesta Actividad 4 (Parte 2).
Anexo G. Resultados en la guía “Actividades Prácticas” 131
Ley de las tangentes:
Desde cierta distancia, avistar la punta de una torre, de la cual hallarán su altura total. Para esto,
deben apoyarse de la mira para tener la punta de la torre bien enfocada y así poder medir su ángulo
de elevación con mayor precisión. La horizontal se tomará a la misma altura de los ojos del
estudiante. 15 metros más adelante en el sentido de la torre, el mismo estudiante u otro compañero
de la misma estatura deberá tomar la medida del ángulo nuevamente. Conociendo estos datos,
deberán encontrar la altura de la torre.
(Tenga en cuenta que no podrá hacer uso del teorema de Pitágoras, pues no tiene los datos
suficientes.)
Esta actividad, pretende que se refleje la especificidad de las leyes de solución de triángulos,
pues se debe trabajar con triángulos rectángulos. Además, se tiene el objetivo de que los
estudiantes obtengan la ley de las tangentes, a partir del uso de las razones trigonométricas, con
las cuales, los alumnos ya se sienten familiarizados.
A continuación, Imágenes de las prácticas y procedimientos realizados por los alumnos:
Figura 97. Primera medición del ángulo.
132 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Figura 98. Segunda medición del ángulo.
Figura 99. Respuesta Actividad 5 (Parte 1).
Figura 100. Respuesta Actividad 5 (Parte 2).
Anexo G. Resultados en la guía “Actividades Prácticas” 133
Conclusión general: En la respuesta, se notó que los estudiantes olvidaron sumar los 100
centímetros que medía el soporte. Nuevamente, se muestra la falta de verificación de los alumnos.
Por ultimo responda las siguientes preguntas, como conclusión de las actividades:
a) ¿Qué dificultades se presentaron en las prácticas?
b) De acuerdo con lo realizado, ¿Qué utilidad o aplicación encontramos en las leyes
de senos y cosenos?
c) Plantee 3 conclusiones de lo aprendido en las prácticas
Aquí pondremos una síntesis de las respuestas de los estudiantes:
Respuesta a) Se presentaron dificultades en algunos procedimientos algebraicos y en la
medición de los ángulos.
Respuesta b) Su aplicación genera es para medir longitudes, sin embargo, se nota que en muchas
disciplinas se pueden implementar estas leyes.
Respuesta c):
Se aprende mejor con actividades fuera del salón
Con materiales cotidianos se pudieron realizar todas las practicas
En general la actividad que más disfrutaron fue la de elevar la cometa.
Anexo H. Resultados en la guía “Post-test” 135
Anexo H. Resultados en la guía “Post test”:
1. Una persona de 6 pies de estatura, está parada a 20 pies de un poste de alumbrado público
y proyecta una sombra de 10 pies de longitud, como se muestra en la Figura 101. ¿Cuál es
la altura del poste?
a. 16 pies
b. 18 pies
c. 26 pies
d. 36 pies
Este problema muestra un gráfico representado por triángulos rectángulos, por lo tanto, se
pretende que los estudiantes recurran a la aplicación de las razones trigonométricas para resolverlo.
Es importante que reconozcan los catetos correspondientes en ambos triángulos.
La respuesta correcta es la B
Figura 101. Punto uno Post-test.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 1
Figura 102. Respuesta punto uno Post-test.
136 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
Conclusión: Algunos estudiantes optaron por usar la semejanza de triángulos, sin embargo, la
mayoría aplicaron la razón trigonométrica de la tangente, lo cual sirvió para comparar sus
respuestas y concluir que ambas herramientas se basan en la regla de tres simple y se puede llegar
a un mismo resultado por ambos caminos.
2. Un árbol de 10 metros proyecta una sombra de 17 metros por una pendiente cuando el
ángulo de elevación del sol es de 42°, como se muestra en la Figura 103. Buscar el ángulo
aproximado de elevación del
terreno.
a. X = 16°
b. X = 42°
c. X = 90°
d. X = 26°
Este problema pretende no sólo que se aplique la propiedad de funciones inversas para hallar el
ángulo, sino tambien requiere que el estudiante plantee una ecuación de primer grado a partir de
la ley del seno. Además, antes de iniciar la solución del problema, es importante que el alumno
identifique un triángulo rectángulo para encontrar la medida del ángulo A, a través de la suma de
ángulos internos.
La respuesta correcta es la A
Conclusión: Algunos de los estudiantes, olvidaron despejar la incógnita de la ecuación, despues
de hallar el angulo y por eso erraron. Esto comprueba que aun hay alumnos que no verfican las
respuestas, sin embargo, cabe resaltar que son una minoría.
Figura 103. Punto dos Post-test.
Anexo H. Resultados en la guía “Post-test” 137
3. Para aproximar la longitud de un pantano, un topógrafo camina 400 metros del punto B al
punto C, luego gira 60° y camina 500 metros al punto A. Aproximar la longitud AB del
pantano. (ver Figura 105)
a. 610.000 m
b. 781 m
c. 900 m
d. 100 m
Este problema, quiere llevar al estudiante a que identifique que debe usar la forma mas sencilla
de la ley del coseno, despues de hacer aplicación de los ángulos suplementarios.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 2
Figura 104. Respuestas punto dos Post-test.
Figura 105. Punto tres Post-test.
138 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
La respuesta correcta es la B
Conclusión: La solución del problema no causó ninguna dificultad, lo cual comprueba la
interiorización satisfactoria de la ley de cosenos.
RESPONDE LAS PREGUNTAS 4 Y 5 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE
INFORMACIÓN
La longitud del lado de un octógono regular
mostrado en la figura 35 es 12 m.
4. ¿Cuál es el radio de la circunferencia
circunscrita?
a. 14,49 m
b. 12 m
c. 22,5 m
d. 15,68 m
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 3
Figura 106. Respuestas punto tres Post-test.
Figura 107. Puntos cuatro y cinco
Post-test.
Anexo H. Resultados en la guía “Post-test” 139
En esta pregunta es indispensable, el reconocimiento de la circunferencia que indican, pues esta
define la razón trigonométrica que se debe usar.
La respuesta correcta es la D
Conclusión: En la solución del problema, sólo un estudiante confundió la circunferencia
circunscrita con la inscrita y por este motivo llegó a una respuesta errónea.
5. ¿Cuál es el área del octágono regular? (Figura 107)
a. 144,9 𝑚2
b. 156,8 𝑚2
c. 695,52 𝑚2
d. 86,94 𝑚2
Esta pregunta tiene la intención de que los alumnos encuentren primero el radio que la
circunferencia inscrita, el cual tiene el papel de la altura de los triángulos que conforman el
octágono, para así hallar el área de uno de ellos y este resultado multiplicarlo por 8, que son el
total de triángulos que conforman el polígono.
0,00%
20,00%
40,00%
60,00%
80,00%
100,00%
120,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 4
Figura 108. Respuestas punto cuatro Post-test.
140 Resolución de Triángulos por Aplicaciones Trigonométricas en Secundaria
La respuesta correcta es la C
Conclusión: en las respuesta se nótó que dos de los estudiantes, encontraron el área del primer
triángulo y no continuaron con el proceso. Ellos argumentan que el procedimiento era largo y en
su afan por terminar, no verficaron la respuesta
6. Un camino recto hace un ángulo de 25° con relación a la horizontal. Desde el punto a sobre
el camino, el ángulo de elevación de un avión es de 57°. En el mismo instante, desde otro
punto B situado a 120 metros de A, el ángulo de elevación es de 63°. Encuentra la distancia
del punto A hasta el avión y la altura a la que vuelva el avión con respecto a la horizontal.
(ver Figura 110)
a. 1022,89 m y 1012,92 m respectivamente.
b. 720 m y 120,57 m respectivamente.
c. 106,92 m y 1022,92 respectivamente.
d. 2034,89 y 1012,89 respectivamente.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 5
Figura 109. Respuestas punto cinco Post-test
Figura 110. Punto seis Post-test
Anexo H. Resultados en la guía “Post-test” 141
Este problema pretende que los alumnos aplique ley de ángulos suplementarios, además de que
usen la ley de senos en dos ocasiones. Lo mas importante para llegar a una solución correcta, es
realizar una buena interpretación del gráfico.
La respuesta correcta es la A
Conclusión: Algunos estudiantes sólo realizaron la mitad del procedimiento y se confiaron por
encontrar este resultados entre las opciones de respuesta. Lo que nos lleva a concluir, que algunos
alumnos se niegan a realizar procedimientos largos, además de que no suelen verficar si obtienen
resultados correctos.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
90,00%
100,00%
Opción A Opción B Opción C Opción D NS / NR
Respuestas pregunta 6
Figura 111. Respuestas punto seis Post-test.