128 x 1 + 74 = 202, entonces 202 es un número que en la división por 128 tiene resto 74.

Si sumamos 202 + 54 = 256, tenemos el siguiente múltiplo de 128.

Si sumamos 256 + 32 = 288 tenemos uno de los números que estamos buscando, para obtenerlo sumamos al dividendo, 54 + 32 = 86

128 -74= 54; si sumamos 54 obtenemos un múltiplo de 128, es decir el resto de la división será 0 y el cociente aumenta en 1 porque agregamos otro “ grupo” de 128.

Si sumamos 54+32= 86 obtenemos un número que en la división por 128 tiene resto 32 porque excede en 32 a un múltiplo de 128.

Para que quede resto 32 resto

74 – 42 = 32

si sumamos -42 + 128 = 86 obtenemos un número que sumado al dividendo dado tiene en la división por 128 resto 32.

Dividendo = divisor x cociente + resto D = 128 x c + 74 D + 86 = 128 x c + 74+54+32 D + 86 = 128 x c + 128 + 32 D + 86 = 128 x ( c+1) + 32;

entonces D + 86 es un número que supera en 32 a un múltiplo de 128.

¿Cada cuantos números hay un múltiplo de 128?

¿Cada cuántos números, hay un número que en la división por 128 tiene resto 32?

Si sumamos 86 al dividendo obtenemos un números que en la división por 128 tiene un cociente (c + 1) y un resto 32.

Si sumamos nuevamente 128 , tendremos un número que en la división por 128 tiene cociente (c+2) y resto 32, y así siguiendo.

Podemos sumar entonces números de la forma 86 + 128 n al dividendo para obtener números que en la división por 128 tengan resto 32.

a) Sabiendo que 7051= 28 x 251 + 23, explicar cómo se pueden encontrar el cociente y el resto de

7051 : 28 y de 7051 : 251, sin hacer las cuentas de dividir.

b) Sabiendo que 308502 = 1228 x 251 + 274, explicar cómo se pueden encontrar el cociente y el resto de 308502 : 1228 y de 308502 : 251, sin hacer las cuentas de dividir.

308502 = 1228 x 251 + 251 + 23 = (1228 +1) x 251 + 23 = 1229 x 251 +23

Entonces, en 308502 :1228 , cociente 251 y resto 274 y en 308502 : 251, cociente 1229 y resto 23

Dar si es posible los valores de b para los cuales el número que resulte al hacer 6b+6 sea múltiplo de 2, de 3, de 4 y de 6.

Siempre es múltiplo de 6, se puede escribir como 6 por un número natural (b+1). Por ser múltiplo de 6 es múltiplo de 2 y de 3.

Se puede pensar a como 2(3(b+1)); 2 por “algo”

o como 3(2(b+1)), 3 por “algo”

Analizamos para qué valores de b; es múltiplo de 4.

Valores que damos a b

Valores que toma 6b+6

0 6x0+6=6

1 6x1+6= 12

2 6x2+6= 18

3 6x3+6= 24

4 6x4+6= 30

5 6x5+6= 36

6 6x6+6= 42

Parece que si b es impar el número de la forma resulta múltiplo de 4

Si b impar, se puede escribir como 2a+1

Resulta entonces 6(2a+1)+6 = 12a+ 6+ 6=

12 a + 12= 4(3a+3) que es múltiplo de 4

Si b par e igual a 2a

Resulta 6(2a)+6 = 12a + 6

no es múltiplo de 4

Entonces resulta que sólo los b impares permiten generar números de la forma 6b + 6 que sean múltiplos de 4.

En cada grupo de 6 hay un grupo de 4 y sobran 2 y cada dos grupos de 6 se pueden formar 3 grupos de 4.

Parece que el número de grupos de 6 debe ser par para que puedan reagruparse de a 4 sin que sobre ninguno.