FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

CURSO: FUNCIONES Y MODELOSUNIDAD I: FUNCIONES Y TRANSFORMACIONES

(A.RE.10.3.3: Matemáticas en Acción)

J. Pomales / septiembre 2010

RESUMEN

Introducción

• Durante el pasado año usted estudió por lo menos seis (6) modos diferentes de factorizar un polinomio.

• En esta presentación pretendemos hacer un breve resumen de cada una de ellas y prepararte el próximo tema.

CONCEPTOS GENERALES

Detalles importantes

• Los factores de un número son números que se multiplican.

• Nos limitaremos a factores que sean enteros.

• Un número primo es un entero mayor que 1 cuyos únicos factores son el 1 y el mismo número.

Detalles importantes

• Un número positivo mayor que 1 que no es primo se puede expresar como producto de dos números primos en una sola forma, excepto por el orden de los factores.

• La factorización y la simplificación son procesos inversos.

Detalles importantes

• El proceso discutido en clase llamado máximo común divisor (MCD o con sus siglas en inglés GCF) nos ayuda a determinar el factor común mayor de varios números.

• Recuerda: aunque discutamos varios ejemplos siempre podrían existir casos especiales para cada factorización.

FACTORIZACIÓN

MEDIANTE LA PROPIEDAD

DISTRIBUTIVA(FACTOR COMÚN)

FACTOR COMÚN

• Si un monomio es factor de un polinomio, entonces el polinomio es divisible por el monomio.

• El proceso de factorizar usando la propiedad distributiva se conoce como factorizar usando factor común.

FACTORIZACIÓN

FACTOR COMÚN

• Ejemplos:

FACTORIZACIÓN

yxyx

yxyx

yxyx

23

3)(6

36)1

22

3223

3223

FACTOR COMÚN

• Ejemplos:

FACTORIZACIÓN

yxba

baybax

54

54)2

FACTORIZACIÓN

POR AGRUPACIÓN

POR AGRUPACIÓN

• Consiste en usar la propiedades conmutativa y asociativa para relacionar términos dentro de paréntesis y luego aplicar la factorización anterior (factor común)

• Trata de agrupar tomando en consideración algún factor común.

FACTORIZACIÓN

POR AGRUPACIÓN

• Ejemplos:

))((

)()(

)()(

)1

bcxy

xybyxc

bxbycycx

bxcybycx

FACTORIZACIÓN

POR AGRUPACIÓN

• Ejemplos:

)6)(1(

)1(6)1(

)66()(

6)(6)(

66)2

xz

zzx

zxxz

zxxz

zxxz

FACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓN

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

• Para aplicar esta factorización se deben todas estas condiciones:– Tener dos términos

– Una resta o un término negativo

– Cada término debe ser cuadrado perfecto

• La diferencia de dos cuadrados se factoriza como el producto de la suma y la diferencia de dos números.

FACTORIZACIÓN

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

• Ejemplos:

)6)(6(

36)1 2

xx

x

FACTORIZACIÓN

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

• Ejemplos:

)4)(4(2

)16(2

322)22

3

aaa

aa

aa

FACTORIZACIÓN

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

• Ejemplos:

)8)(10(

9)(9)(

9)(9)(

81)()3 22

baba

abaaba

abaaba

aba

FACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓN

CUADRADOS PERFECTOS

CUADRADOS PERFECTOS

• Esta factorización aplica si tienes todas estas condiciones:–Tres términos ordenados en forma

decreciente

–Los términos de los extremos tienen que ser cuadrados perfectos

–El término central sirve para confirmar si has factorizado bien.

FACTORIZACIÓN

CUADRADOS PERFECTOS

• Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio.

FACTORIZACIÓN

• Ejemplos:

2

2

)1(

12)1

x

xx

CUADRADOS PERFECTOSFACTORIZACIÓN

• Ejemplos:

2

2

)7(

4914)2

x

xx

CUADRADOS PERFECTOSFACTORIZACIÓN

• Ejemplos:

2

2

2

)5(2

)2510(2

50202)3

a

aa

aa

CUADRADOS PERFECTOSFACTORIZACIÓN

FACTORIZACIÓN

TRINOMIO DE LA FORMA

cbxx 2

TRINOMIO DE LA FORMA

• Se factoriza como el producto de dos binomios de la forma

(x + m) (x + n) donde

b = m + n y c = m·nEn otras palabras:

Los factores del último término cuando se sumen deben dar el coeficiente del término central pero al multiplicarse entre sí, debe dar el último término.

cbxx 2FACTORIZACIÓN

TRINOMIO DE LA FORMA• Ejemplos:

)2)(5(

107)1 2

xx

xx Los factores de 10 son: 10 · 1 = 10 5 · 2 = 10 (esto es c)Pero al sumarlos: 10 + 1 = 11 5 + 2 = 7 (esto es b)

Como al multiplicar y sumar conseguimos c y b, por eso seleccionamos los

factores 5 y 2, en lugar de 10 y 1.

FACTORIZACIÓN

cbxx 2

TRINOMIO DE LA FORMA• Ejemplos:

)3)(4(

12)2 2

xx

xx Observa que necesitamos dos números cuyo producto sea -12 y la suma sea -1. Por lo tanto, uno debe ser positivo y el otro negativo.

Ensayando con todos los factores de 12, encontramos que solamente -4 y 3, cuando los multiplicamos = -12 y cuando los sumamos = -1. Por esto, esa es la solución.

FACTORIZACIÓN

cbxx 2

FACTORIZACIÓN

TRINOMIO DE LA FORMA

cbxax 2

TRINOMIO DE LA FORMA

• Se factoriza como el producto de dos binomios de la forma

(dx + e) (fx + g)

donde

a = d·f , b = e·f + d·g y c = e·g

• En muchas ocasiones debemos recurrir al método de tanteo y error para encontrar los factores correctos.

cbxax 2FACTORIZACIÓN

• Ejemplo: 20236 2 xx1.Buscamos si existe un factor común.

En este caso no lo hay.

2.Buscamos factores de 6: 1 · 6 , 2 · 3

3.Buscamos factores de 20: 1 · 20 , 2 · 10, 5 · 4

4.Tanteamos (multiplicando forma cruzada) varias combinaciones hasta conseguir el término central

TRINOMIO DE LA FORMAcbxax 2

FACTORIZACIÓN

16

1 = 620 = 20

6 + 20 = 26

TRINOMIO DE LA FORMAcbxax 2

FACTORIZACIÓN

• Ejemplo: 20236 2 xx

20236 2 xx

16

2 = 1210 = 10

12 + 10 = 22

TRINOMIO DE LA FORMAcbxax 2

FACTORIZACIÓN

• Ejemplo: 20236 2 xx

20236 2 xx

)43)(52(20236 2 xxxx

20236 2 xx23

5 = 154 = 8

15 + 8 = 23

Finalmente, al encontrar la combinaciónperfecta escribimos la solución

TRINOMIO DE LA FORMAcbxax 2

FACTORIZACIÓN

• Ejemplo: 20236 2 xx

EN RESUMEN...

PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO

• El proceso debe iniciar buscando si hay factor común.

• Determinando el número de términos del polinomio original facilita la factorización:

–Con dos términos puede ser diferencia de dos cuadrados

PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO

–Con tres términos puede ser:• Cuadrados perfectos

• Trinomios de la forma

x2 + bx + c

ax2 + bx + c

–Con cuatro términos o más podemos agrupar y luego factorizar.

PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO

• Cotejar siempre cada factor de tal modo que esté factorizado completamente.

• Verificar multiplicando los factores entre sí.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

Factoriza, si es posible

Factoriza, si es posible

Factoriza, si es posible

Factoriza, si es posible

Solución

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) No se factoriza en los enteros

9) No se factoriza en los enteros

10)

11)

12)

13)

)6)(6( xx)16(4 2 x)(22 axxa

)8(2 2 xx)6)(5( xx)2)(3( rr

)5)()(( caybyb

)1()1( 2 aa

)4)(23(2 bb

2)37( b)2)(2)(32( aaa

14)

15)

16)

17)

18)

19) No se factoriza en los enteros

20) No se factoriza en los enteros

21) No se factoriza en los enteros

22)

23)

24)

25)

26)

2)21(3 x)6(4 2 xx

)34)(32( aa)2)(2)(( 22 bbca

231 )3( a

)8)(23(3 xxx)2)(3)(3( 2 aaa

)32(3 x)8)(2( xx

ab4

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