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1. Distribución Multinomial.
2. Distribución de Pascal.
3. DistribuciónGeométrica.
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Distribución ultinomial
Si una prueba dada puede reducir a los kresultados con las probabilidades entonces ladistribución de probabilidad de las variablesaleatorias que representan el número de
ocurrencias para en n pruebas independienteses
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E%ercicio de Aplicación
" esas elecciones sepresentaron # partidos pol$ticosel P%P% obtuvo un #&' de los
votos( el )*)* el 3&'( el M+M+ el2&' , el -"-" el 1&' restante./u0l es la probabilidad de que
al eleir ciudadanos al aar( 34a,an votado al P%P%( 1 alM+M+ , 1 al -"-"5
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S%-+/678
Sea /antidad de ciudadanos que votaron por
el P%P%
/antidad de ciudadanos que votaron porel )*)* /antidad de ciudadanos que votaron por
el M+M+ /antidad de ciudadanos que votaron por
el -"-" 9a que se distribu,e como una distribución
multinomial tenemos
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Distribución de Pascal
*l número de e;perimentos de .Su ?unción de probabilidad es
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*@ercicio de "plicación
Si la probabilidad de que un niAoe;puesto a una en?ermedadcontaiosa la contraia es de &.#&.
/u0l es la probabilidad de que eldecimo niAo e;puesto a laen?ermedad sea el tercero en
contraerla5
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S%-+/678Sea B la variable aleatoria número de niAos e;puestosa la en?ermedad contaiosa.
/alculando la probabilidad de que el decimo niAoe;aminado sea el tercero en contraer la en?ermedadtenemos
*l :.##' de las veces ocurre que el decimo niAo
e;puesto a la en?ermedad sea el tercero en contraerla.
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*@ercicio de aplicación.
-os reistros de una compaA$aconstructora de poos( indicanque la probabilidad de que uno de
sus poos nuevos( requiera dereparaciones en el término de unaAo es de &.2&. /u0l es laprobabilidad de que el quinto poo
construido por esta compaA$a enun aAo dado sea el primero enrequerir reparaciones en un aAo5.
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S%-+/678
a Sea B E el numero de poo que requierareparación en el termino de un aAoF
-a probabilidad de que el quinto poo sea elprimero en requerir reparación en el termino
de un aAo es del .1H'
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Distribuciones Especiales DeTipo $ontinua
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1.Distribución Gamma.2.Distribución *;ponencial.
3.Distribución /4i/uadrado.#.Distribución I JStudent..Distribución K LKis4er.
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Distribución Gamma+na variable aleatoria B( tiene una distribución
amma( si B representa el tiempo transcurrido4asta obtener un determinado resultado. *s unadistribución con par0metros ( N( si su ?unción dedensidad esta dada por
/uando O& , NO&.
-a distribución amma especial donde 1 sellama distribución e;ponencial.
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*@ercicio de aplicación
Si un componente eléctrico?alla una ve cada 4oras(cu0l es el tiempo medio que
transcurre 4asta que ?allan doscomponentes5 /u0l es laprobabilidad de que transcurran
12 4oras antes de que ?allen losdos componentes5
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S%-+/678Sea B la variable aleatoria Etiempo
transcurrido 4asta la ?alla de 2componentesF
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*l tiempo medio para que ocurra el ?allo de 2
componentes es de 1& 4oras.
PL B O 12 1 Q PL B R 12
*n un 3&.#' de la veces( pasaran mas de 124oras 4asta que ?allen dos componentes.
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*@ercicio de aplicación
-os clientes de un supermercado llean enpromedio de uno por minuto. Talle la probabilidadde que transcurran
a Por lo menos 3U después de la lleada del últimocliente , el pró;imo.b *ntre 2U , #U.c " lo m0s 2 U.
d M0;imo 3U( sabiendo que el penúltimo , el últimollearon con una di?erencia de 2U como m$nimo.Tallar la media , la variana del e@ercicio.
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S%-+/678Sea B Eel tiempo Len minutos transcurridoentre la lleada de 2 clientes.F
a)
*l ' de las veces ocurre que transcurran 3minutos o m0s entre el último cliente , elpró;imo.
b)
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b)
*l 11.V' de las veces transcurre entre2 , # minutos en la lleada del últimocliente , el pró;imo.c)
*l :.#:' de las veces transcurremenos de 2 minutos entre la lleadadel último cliente , la lleada delpró;imo cliente.
d)
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d)
*l :3.21' de las veces transcurre menos de3 minutos( dado que la ultima ve
transcurrió m0s de dos minutos entre lalleada del último cliente , el pró;imo.
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Distribución /4i cuadrada L
-a variable aleatoria continua ; ( tiene unadistribución c4i cuadrada con rados delibertad( su ?unción de densidad esta dada por.
Donde v es un entero positivo.
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*l t d$ ti /4i d d t
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*l estad$stico /4i=cuadrada estadado por
donde n es el tamaAo de la muestra( s2 la varianamuestral , la variana de la población de donde see;tra@o la muestra.
Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada
-os valores de B2 son ma,ores o iuales que &. -a ?orma de una distribución B2 depende del ln=1.
*n consecuencia( 4a, un número inCnito dedistribuciones B2.
*l 0rea ba@o una curva c4i=cuadrada , sobre el e@e4oriontal es 1.
-as distribuciones B2 no son simétricas. Iienen colasestrec4as que se e;tienden a la derec4aW esto es(est0n sesadas a la derec4a.
/uando nO2( la media de una distribución B2 es n=1
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*@ercicio de aplicación
Supona que los tiemposrequeridos para alcanar la
producción de un determinadoproducto ?orman una distribuciónnormal con una desviaciónest0ndar 1 minuto. Si se elie al
aar una muestra de 1V tiempos(encuentre la probabilidad de que lavariana muestral sea ma,or que 2.
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S%-+/678
Primero se encontrar0 el valor de c4i=cuadrada correspondiente a s22 como siue
1 n 1V
32
*l valor de 32 se busca adentro de la
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*l valor de 32 se busca adentro de latabla en el renlón de 1: rados delibertad , se encuentra que a este
valor le corresponde un 0rea a laderec4a de &.&1. *n consecuencia( elvalor de la probabilidad es PLs2O2
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*@ercicio 2 de aplicación
Mediante la tabla para distribuciónc4i=cuadrada obtena el valorrequerido de acuerdo a los rados de
libertad n , la probabilidad o 0reaa %btenerb %btener
c %btener
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S%-+/678a con rados de libertad
b con 23 rados de libertad
c con 1V rados de libertad
Di ib ió d
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Distribución tJstudent
Distribución de probabilidad que sure delproblema de estimar la media deuna distribución normal LX cuando el tamaAode la muestra es pequeAo( , una distribución
c4i cuadrada LB con v rados de libertad.
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*@ercicio de aplicación
-a lonitud de los tornillos?abricados en una determinada?0brica tienen media Y2& mm
, desviación s1 mm( calcularla probabilidad de que en unamuestra de tamaAo n2 ( la
lonitud media del tornillo seain?erior a 2&. mm
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S%-+/678
Para 4allar partimos de
-o cual nos enera
/on
Grados de libertad.
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Por lo tanto para calculartenemos
Por lo tanto
*l HH' de las veces la lonitudmedia de una muestra de 2tornillos ser0 in?erior a 2&. mm
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*@ercicio 2 de aplicación
%btenera /on 1 rados de libertad
PLI1(12b /on 1 rados de libertad PLI=1(##1
c /on rados de libertadPL=1(H2 1(H2
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P t b bilid d PL 1 H2
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c Para esta probabilidad PL=1(H21(H2 con rados de libertad(buscamos el valor de para 1(H2 ,como queremos el 0rea ba@o la curvadesde =1.H2 4asta 1.H2 tenemosque
PL=1(H2 1(H2
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Distribución K de Kis4er
*sta es la distribución de probabilidad de laraón de dos varianas provenientes de dospoblaciones di?erentes. Por mediode esta distribución es posible determinar la
probabilidad de ocurrencia de una raónespec$Cca con v1n1=1 , v2n2=1 radosde libertad en muestras de tamaAo n1, n2(menores que treinta.
Su ?unción de densidad es
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Media , Zariana
-a media de esta distribución e;istesi es ma,or o iual que 3( teniendocomo media
-a variana e;iste si es ma,or o
iual que cinco( teniendo comovalores
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S%-+/678
/alculando los rados de libertad del numeradortenemos
/alculando los rados de libertad del denominador se
tiene
/on 1 rados de libertad en el numerador( 1 en eldenominador tenemos
-a probabilidad de que la raón de varianas seama,or a 1.HV es del 1&'.
-a probabilidad de que la raón de varianas seamenor a 3.2 es del HH'
*@ i i 2 d li ió
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*@ercicio 2 de aplicación.
Por tablas se conoce que para 1& , :( el percentil H&2(H#W el percentil H #(&:./alcular los valores de ladistribución K de : , 1& radosde libertad que de@an a su
iquierda una masa deprobabilidad de &.1 , &.&respectivamente.
S%-+/678
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S%-+/678
/on la in?ormación que tenemos(conocemos que
*ntonces a partir de esto tenemos
Por lo tanto
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68I*\Z"-%S D* /%8K6"8X"
6ntervalos de conCana para una
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6ntervalos de conCana para unapoblación.
a 6ntervalo de conCana para la media.
b 6ntervalo de conCana para laproporción.
c 6ntervalo de conCana para la variana.
6ntervalo de conCana para dospoblaciones.a 6ntervalo de conCana para la di?erencia
de medias.b 6ntervalo de conCana para la di?erencia
de proporciones.c 6ntervalo de conCana para el cociente
de varianas.
6ntervalo de conCana para la
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6ntervalo de conCana para lamedia Luna población
Para 4allar este tipo de intervalo debemostener en cuenta que e;isten tres casosdentro del intervalo de conCana para unamuestra poblacional. *stos son Población normal con variana poblacional
conocida. Población que no es normal( con variana
poblacional desconocida , muestra randeLnO3& Población normal( con variana
poblacional desconocida , muestra
pequeAa Ln]3&
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Población normal con variana poblacional conocida.
Si ^ es la media de una muestra aleatoria de
tamaAo n tomada de una población normal convariana ( un intervalo de conCana al L1= 1&&'para la media poblacional esta dado por
Donde es el valor que limita un 0rea ba@o la curva ala derec4a de Iambién podemos escribirlo en ?orma m0scompacta( es decir como
-os e;tremos in?erior , superior de un intervalo deconCana para la media poblacional m son
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*@ i i d li ió
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*@ercicio de aplicación
Se desea apro;imar el peso promediode los productos elaborados en una?0brica. Se toma una muestra de 2& de
estos productos , se obtiene un pesomedio de ^ 2 ramos. Si sesupone que el peso de estos art$culoses normal con una variana 3 (construir un intervalo de conCanapara el peso promedio de los art$culosproducidos por esta ?0brica con un
rado de conCana del HH'.
S%-+/678
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S%-+/678
+n intervalo de conCana para la media poblacionalba@o las condiciones dadas es
De la tabla de porcenta@es de la curva normalest0ndar tenemos que para &.HH"s$ que al sustituir obtenemos un intervalo para lamedia
/on una conCana del HH' se puede establecer queel peso promedio de los art$culos producidos pordic4a ?abrica va a estar entre 21(: ramos , 2(#
ramos.
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Población que no es normal( con variana poblacionaldesconocida , muestra rande LnO3&
/uando no se conoce la varianapoblacional , por ende la
desviación ( podemos remplaarlapor un valor de la desviaciónest0ndar muestral s( siempre que el
tamaAo de la muestra sea rande(,a que a medida que una muestraaumenta de tamaAo( una buena
apro;imación de es s
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+n intervalo de conCana para la
media poblacional ( esta dado como
%
Donde s es la desviación est0ndar deuna muestra aleatoria de tamaAonO3& tomada de una población no
necesariamente normal con varianadesconocida.
*@ i i d li ió
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*@ercicio de aplicación
/onstruir un intervalo de conCanadel H' para la resistencia media ala ruptura de los bloques de
concreto que se usan en la industriade la construcción( a partir de unamuestra de 1&& bloques de los quese obtiene una resistencia promediode 1 toneladas , una desviaciónest0ndar de 1. toneladas
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Población normal( con variana poblacionaldesconocida , muestra pequeAa Ln]3&
Si , s son la media , desviación est0ndarde una muestra aleatoria de tamaAo n conLn ] 3&( tomada de una población normal
con variana desconocida( un intervalo deconCana al1&&' para la media poblacional es
Donde es el valor que se obtiene de latabla para la variable t de Student conrados de libertad( que limita un 0rea ba@ola curva de a su derec4a.
*@ercicio de aplicación
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*@ercicio de aplicación
+na m0quina produce pieasmet0licas de ?orma cil$ndrica. Setoma una muestra de pieascu,os di0metros son *ncuentreun intervalo de conCana delHH' para el di0metro promedio
de pieas de esta m0quina si sesupone una distribuciónapro;imadamente normal.
S%-+/678
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S%-+/678Debido a que la variana poblacional es desconocida , el tamaAode la muestra es pequeAo( el intervalo de conCana ser0
Para la variable I de Student se obtiene que el valor de con n=1rados de libertad es
/on rados de libertad.
Sustitu,endo estos valores en la ecuación tenemos que
Donde e es el error
/on un nivel de conCana del HH' se puede aCrmar que lam0quina est0 produciendo cilindros con un di0metro entre &.HV
cm , 1.&32 cm con un error de &.&2V cm
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6ntervalo de conCana para la
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pproporción Luna población
Para la proporción poblacional p ( unestimador puntual es , para laconstrucción de un intervalo deconCana( se utilia una estimación
puntual que resulta de una muestraaleatoria de tamaAo n e;tra$da de lapoblación( donde ; es el número de é;itoso de elementos que tienen una mismacaracter$stica en la muestra. -a variablees apro;imadamente normal cuando lamuestra es rande( por lo que la podemos
llevarla a la normal est0ndar X ( donde
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Si es la proporción de é;itos de unamuestra aleatoria de tamaAo n , ( un
intervalo de conCana de L 1&&' para laproporción poblacional p es
% bien ( siempre que el tamaAo de lamuestra sea rande.Se considera como rande el tamaAo de lamuestra( si
*@ercicio de aplicación
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*@ercicio de aplicación
%btener un intervalo deconCana del H2' para laproporción de 4abitantesque utilian un producto queevita la ca$da del cabello enuna localidad. Si en una
muestra aleatoria de 1&& deestas personas 3 lo usan.
S%-+/678
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S%-+/678
"l calcular el valor de la proporción dela muestra nos damos cuenta( que el
tamaAo es rande( ,a que ,*n este caso los productos cumplen con , donde n1&& , podemos utiliar/omo un intervalo de conCana P( quees la proporción real de personas queusan el producto para evitar la ca$da delcabello.
"dem0s por tabla se conoce que
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,a que
*ntonces
Siendo as$ un intervalo de conCana para la verdaderaproporción es
/on un nivel de conCana del H2' se puede decir queentre el 2:.:' , el #3.#' de las personas utilian dic4oproducto para evitar la ca$da del cabello.
6ntervalo de conCana para la
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pvariana Luna población
Para construir un intervalo deconCana de la variana en una
población normal( se utilia lavariable @i 2 o c4iQcuadrada.*sta variable es , tiene una
distribución c4iQcuadrada con nrados de libertad.
P t l t i d t A
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Para una muestra aleatoria de tamaAon ( tomada de una población normal
con variana ( un intervalo deconCana del L 1&&' para la varianaqueda como
Donde es la variana de la muestra( ,de la tabla de la distribución c4i
cuadrada con n rados de libertad
*@ercicio de aplicación
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*@ercicio de aplicación
De una población normal( se e;traeuna muestra aleatoria de tamaAo n1 , resulta que su variana es1.# . *l e;tremo in?erior de unintervalo de conCana para lavariana poblacional es &.V&H.a Determine el rado de conCana
del intervalo.b %btena el valor del e;tremosuperior del intervalo.
S%-+/678
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S%-+/678
a *l e;tremo de un intervalo para la varianaes lueo al iualarlo con &.V&H(tenemos
&.V&H de donde resulta que
9 de la tabla de la distribución c4i=cuadrada
con 1# rados de libertad tenemos que por lotantoPor lo tanto el rado de conCana esKinalmente tenemos el H&' como rado de
conCana.
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b /omo sabemos que es el e;tremo
superior , dado que entonces , con1# rados de libertad ( as$ que el valordel e;tremo superior del intervalo es
Kinalmente quedo que el intervalo deconCana para dic4a variana
poblacional se encuentra entre&(V&H , 3.&H
di?erencia de medias
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di?erencia de mediaspoblacionalesL
Para estos intervalos( necesitamos analiar los
di?erentes casos que se presentan de acuerdo a lascaracter$sticas que presenta las poblaciones. *stoscasos son Dos poblaciones normales con varianas conocidas ,
muestras aleatorias independientes. Poblaciones no normales con con varianas
desconocidas , muestras randes. Dos poblaciones normales con varianas desconocidas
pero iuales , muestras pequeAas e independientes. Dos poblaciones normales con varianas desconocidas
di?erentes , muestras pequeAas e independientes. Poblaciones normales( cuando las muestras no son
independientes o las muestras se presentanapareadas.
D bl i l i id
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Dos poblaciones normales con varianas conocidas ,muestras aleatorias independientes.
Para tenemos que un estimadorpuntual es tal que la variable normalest0ndar queda
Donde son los tamaAos de lasmuestras independientes tomadas de
la población 1 , 2 respectivamente.
"4ora si son las medias de muestras
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"4ora si son las medias de muestrasaleatorias independientes de tamaAo
tomadas de poblaciones normalescon varianas conocidasrespectivamente( un intervalo de
conCana del esta dodo pordonde es el valor de la tabla normalque limita un 0rea de a su derec4a.
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*@ercicio de aplicación
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*@ercicio de aplicación
+na muestra aleatoria de tamaAotomada de una población normal condesviación est0ndar tiene una media
+na seunda muestra aleatoria detamaAo tomada de otra poblaciónnormal con desviación est0ndar
tiene una media%btena un intervalo de conCanadel H#' para
S%-+/678
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S%-+/678
Para el intervalo de conCana del H#'
entonces tenemos
"4ora buscando por tablas tenemosque
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\emplaando en
Ienemos
/on esto el intervalo de conCana
para es L2.H( V(1&1
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S%-+/678
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S%-+/678Marca " L1 Marca < L11
2
/omo las muestras son randes e independientes , laspoblaciones no son normales con varianas desconocidas(
un intervalo de conCana para queda
a4ora como entonces
9 por tabla tenemos que
Kinalmente sustitu,endo en la ecuación tenemos
Por lo que un intervalo de conCana para al H' es
Dos poblaciones normales con varianas desconocidas pero iuales
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p p
, muestras pequeAas e independientes.
*n este caso como las varianaspoblacionales se desconocen( peroson iuales( se usa una estimaciónpuntual de estas( conocida como lavariana ponderada , esta dada por
-a desviación est0ndar ponderadaqueda
Dado que las muestras son pequeAastendremos que usar la variable I de
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tendremos que usar la variable I deStudent con rados de libertad.
De modo que si son las medias demuestras pequeAas independientes detamaAos respectivamente( tomadas a
partir de poblaciones normales convarianas desconocidas pero iualesun intervalo de conCana de para est0dado por
Donde s el valor de la variable I conrados de libertad que limita un 0rea
de a la derec4a
*@ercicio de aplicación
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*@ercicio de aplicación
-os siuientes datos( e;presados en d$as(representan el tiempo de recuperación depacientes tratados al aar con uno de dosmedicamentos( para curar in?ecciones ravesde la ve@ia.
%btena un intervalo de conCana de HH' parala di?erencia en el tiempo promedio derecuperación para los dos ?0rmacos(suponiendo poblaciones normales con varianas
desconocidas pero iuales.
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/omo se nos pide un intervalo para( simplemente cambiamos laestimación puntual ( para tener lo
deseado( es decir"4ora como
Por lo tanto con
Grados de libertad
"dem0s calculando
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Ienemos
"l sustituir tenemos que
Por lo que un intervalo de conCana para ladi?erencia de tiempos promedio derecuperación de los pacientes con los dos
?0rmacos al HH' es ]3(3&
Dos poblaciones normales con varianasdesconocidas di?erentes , muestras
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desconocidas di?erentes , muestraspequeAas e independientes.
Para este caso se usa el estad$stico
*l cual tiene una distribución t con _
rados de libertad( donde
*l valor de _ casi nunca es un
número entero( siempre lo vamos aredondear al entero m0s pró;imo.
Si ( son las medias , varianas demuestras pequeAas independientes de
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muestras pequeAas independientes detamaAos respectivamente( tomadas apartir de poblaciones normales convarianas desconocidas di?erentes unintervalo de conCana de para est0 dadopor
Donde es el valor de la variable I conv rados de libertad( que produce un0rea de ba@o la curva a su derec4a.
*@ercicio de aplicación
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*@ercicio de aplicación
-os siuientes datos representan lostiempos en minutos de duración depel$culas producidas por dos
compaA$as de cine. /ompaA$a 61&3 H# 11& V H/ompaA$a 66 HV 2 123 H2 1V 11 /onstru,a un intervalo deconCana al H&' para di?erencia delos tiempos medios de duración delas pel$culas producidas por las dos
com aA$as Si se considera ue los
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*n este problema no se nos dice nadarespecto a las varianas poblacionalespor lo que se supone que sondesconocidas , di?erentes( adem0s de las
muestras deben ser independientes. Delas dos muestras tenemos que/ompaA$a 1 /ompaA$a 11
4allando los rados de libertad tenemos
"4ora entonces
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Por lo tanto W con V rados delibertad."l sustituir tenemos
Por lo que un intervalo de conCanaal H&' para la di?erencia de lostiempos medios de duración de laspel$culas producidas por estascompaA$as es
Poblaciones normales( cuando lasmuestras no son independientes o las
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pmuestras se presentan apareadas.
+na estimación puntual de la media
ser0 el valor de la media de lasdi?erencias de la muestra en pare@as ,para la variana ser0 la variana de lasdi?erencias de la misma muestra( esdecir
Donde
Si son la media , la desviaciónt0 d d l di? i
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est0ndar de las di?erencias cu,adistribución es normal( n pare@as de
mediciones( un intervalo deconCana de para ser0
Donde se obtiene de la raCca conn=1 rados de libertad.
*@ercicio de aplicación
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@ p
Se aCrma que una nueva dieta reducir0 elpeso de una persona en #. k en promedio(en un periodo de 2 semanas. -os pesos de Vmu@eres que llevaron la dieta se anotaronantes , después de 2 semanas.P. antes . :&.3 :1.V :H.& :#.& :2.: :.VP. después :&.& #.H .1 :2.1 . H.H #.#/onstru,a un intervalo de conCana del H'
para la di?erencia media de los pesos ,decida si la aCrmación es aceptable. Suponaque las di?erencias de pesos se son normales.
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/onsiderando los pesos antes como la muestra6 , los pesos después la muestra 66( calculamoslas di?erencias antes Q después.
. :&.& 1. :&.3 #.H .# lueo :1.V .1 3.:
:H.& :2.1 :.H
:#.& . .:2.: H.H 2.V con : rados de libertad:.V #.# 2.3
Sustitu,endo en
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Por lo tanto un intervalo de conCana
para la di?erencia media de los pesosqueda como
Se puede observar que el intervaloconstruido contiene al valor #.( esto nospermite decir que la aCrmación de quecon la dieta las personas pueden reducirsu peso en promedio #. k en un
periodo de 2 semanas es aceptable 6ntervalo de conCana para la di?erencia
de proporciones poblacionales
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de proporciones poblacionales.
Si tenemos a4ora dos poblaciones conproporciones respectivamente , deseamosun intervalo de conCana para obtenemosuna muestra de cada población( recordando
que su estimador puntual es con
, una buena estimación puntual ser0cuando los tamaAos de las muestrasaleatorias independientes seansuCcientemente randes( es decir ( ( (
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+n intervalo de conCana del
para es
% bien
Donde , con el numero de é;itos delas muestras de tamaAo ,respectivamente.
*@ercicio de aplicación
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@ p
+na empresa que produce bebidasdesea comparar la pre?erencia pordos marcas de re?resco de cola " ,
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S%-+/678
/on
/on
"4ora por lo tanto
Donde por tabla
"4ora remplaando en
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Ienemos
Por lo tanto un intervalo deconCana del H#' es
6ntervalo de conCana para la raónde varianas
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de varianas
/uando se tienen dos poblacionesnormales con varianas Paraconstruir un intervalo de conCana
utiliamos la variable o estad$sticoK que esta e;presada por
/on una distribución K con radosde libertad para el numerador ,denominador respectivamente.
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/onsideremos que -os datos delprimer renlón son la muestra 6 L" ,los del seundo la muestra 66 L
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Sustitu,endo en
Ienemos
Por lo tanto un intervalo deconCana al HH' para es L&.&:3(
.VV
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P\+*
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Prueba de 4ipótesis para la media. Prueba de 4ipótesis para la proporción. Prueba de 4ipótesis para la variana.Pruebas de 4ipótesis para dospoblaciones.
Prueba de 4ipótesis para la di?erenciade medias.
Prueba de 4ipótesis para la di?erencia
de proporciones. Prueba de 4ipótesis para la raón de
varianas.
Prueba de 4ipótesis para la mediaLuna población
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Luna población
Para 4allar esta prueba( debemos tener encuenta que e;isten tres casos dentro de laprueba de 4ipótesis para una muestrapoblacional. *stos son
Población normal con variana poblacionalconocida.
Población que no es normal( con varianapoblacional desconocida , muestra randeLnO3&
Población normal( con varianapoblacional desconocida , muestra
pequeAa Ln]3&
(poblacional desconocida ,A
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muestra pequeAa Ln]3&
Planteamiento de las hipótesis: "qu$ sepueden presentar tres posibles 4ipótesisalternativas para la 4ipótesis nula( a saber
Donde es un valor especiCco.El nivel de signifcancia: este valor seproporciona de ante mano o en su de?ecto
se da como es decir reularmente.\ecordemos que nos da la probabilidad decometer el error tipo 6( al rec4aar la4ipótesis nula .
El estadístico de prueba: *ste tercer elementoresulta ?undamental en la prueba( ,a que ser0 el quenos permita tomar una decisión al respecto de el
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nos permita tomar una decisión al respecto de elrec4ao ó no de la 4ipótesis nula , para podercompararlo con el valor cr$tico( debemos obtener suvalor para una muestra aleatoria particular( lo quesiniCca que el estad$stico de prueba para este casoes
"4ora el valor de este estad$stico de prueba( para unamuestra aleatoria de tamaAo n tomada de lapoblación lo escribimos como
La región de rechazo: Para poder comparar el valordel estad$stico de prueba( debemos contar con unvalor cr$tico( el cual lo obtendremos de la tabla devalores para la curva normal est0ndar( dependiendodel tipo de reión que va,amos a considerar( es decir
de la 4ipótesis alternativa que tenamos en el planteo
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Decisión estadística De acuerdo al valor delestad$stico de prueba , el valor encontrado dela tabla para la normal est0ndar se tomar0n las
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la tabla para la normal est0ndar( se tomar0n lassiuientes decisiones seún la reión de rec4ao
a considerar. Para una reión de rec4ao de cola derec4a( la
4ipótesis nula se rec4aa( si el valor calculadodel estad$stico de prueba , no se rec4aa en
caso contrario Para una reión de rec4ao de cola iquierda(
la 4ipótesis nula se rec4aa( si el valorcalculado del estad$stico de prueba , no se
rec4aa en caso contrario Para una reión de rec4ao de dos colas( la
4ipótesis nula se rec4aa( si el valor calculadodel estad$stico de prueba o bien cuando , no
se rec4aa en caso contrario ,
*@ercicio de aplicación
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+na empresa que ?abrica materiales parala construcción desarrollo un nuevo aditivopara cierto tipo de cemento , aCrma queel coeCciente promedio a la compresión es
de 1&& k por con una desviaciónest0ndar de 12& k por . Desea probar la4ipótesis en contra de la alternativa paraello toma una muestra aleatoria de &pieas de este tipo de cemento , obtieneque k por . Supona que la población esnormal , use un nivel de siniCcancia del
'
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De acuerdo a los datos del problema(
tenemos una población normal condesviación est0ndar , se quiere realiaruna prueba de 4ipótesis de colaiquierda( ,a que se van a contrastar las
siuientes 4ipótesis Planteamiento de las 4ipótesis
8ivel de siniCcancia.
Zalor del estad$stico de prueba
\eión de rec4ao. -a reión es de cola iquierda(de la tabla se determina el valor de con
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Decisión estad$stica. /omo el valor del estad$sticode prueba cae dentro de la reión de rec4ao( ,aque la 4ipótesis nula debe ser rec4aada deacuerdo a los datos obtenidos de la muestra. Por
lo que podemos inclinarnos en aceptar la4ipótesis alternativa( es decir el coeCcientepromedio de compresión es menor que &&& kpor .
Población que no es normal( con variana poblacional desconocida , muestrarande LnO3&
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*n este caso lo único que cambia es el valordel estad$stico de prueba( ,a que los dem0selementos de la prueba son los mismos que elcaso anterior. Por lo tanto solo escribimos de
?orma simbólica los elementos.= Planteamiento de la 4ipótesis
Donde es un valor especiCco.
8ivel de siniCcancia.
Zalor del estad$stico de prueba
\eión de rec4ao. De cola derec4a( cuando
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e co a de ec a( cua do De cola iquierda( cuando De dos colas( cuando Decisión estad$stica.( se rec4aa( si L\eión de rec4ao
de cola derec4a( se rec4aa( si L\eión de rec4ao
de cola iquierda( se rec4aa( si , L\eión de rec4ao
de dos colas
*@ercicio de aplicación
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*n estudios realiados sobre la durea aun determinado metal( se observo queen una muestra aleatoria de n 1&&pieas de este tipo de metal( se ten$auna durea promedio de 1. k( conuna desviación est0ndar de k.*l ?abricante aseura que la durea
promedio de sus pieas que produce essuperior a 1 k( pruebe la 4ipótesisanterior con un nivel de siniCcancia
del 1'
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Planteamiento de la 4ipótesis
8ivel de siniCcancia
Zalor del estad$stico de prueba.
\eión de rec4ao./omo por tabla se conoce que para , la prueba de4ipótesis se pide para la derec4a entonces
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4ipótesis se pide para la derec4a( entoncestenemos
Decisión estad$stica /omo el valor del estad$sticode prueba no cae en la reión de rec4ao( ,a que
la 4ipótesis nula no se puede rec4aar con lain?ormación de esta muestra aleatoria. Por lo que
el ?abricante no tiene raón Población normal( con variana poblacional desconocida , muestra pequeAa
Ln]3&
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Para este caso el estad$stico de pruebaes
el cual tiene una distribución t deStudent con n =1 rados de libertad( loque siniCca que debemos traba@ar conla distribución t de Student , no con la
curva normal est0ndar.-os elementos de la prueba cambian enel valor del estad$stico de prueba , la
reión de rec4ao
Planteamiento de la 4ipótesis
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Donde es un valor especiCco.
8ivel de siniCcancia
Zalor del estad$stico de prueba
\eión de rec4ao L\\
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Donde se obtienen de la distribución t deStudent con n=1 rados de libertad.
Decisión estad$stica.Dependiendo del tipo de reión de rec4ao( setiene la siuiente decisión-a 4ipótesis nula se rec4aa si L\\ de cola
derec4a-a 4ipótesis nula se rec4aa si L\\ de cola
iquierda-a 4ipótesis nula se rec4aa si o L\\ de dos
colas
*@ercicio de aplicación
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De una población normal se e;traeuna muestra de tamaAo , se obtiene(con Pruebe la 4ipótesis nula de que la
media poblacional es iual a V( encontra de la 4ipótesis alternativa deque es di?erente de V. +tilice un nivel
de siniCcancia de
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/on
Planteamiento de 4ipótesis.
8ivel de siniCcancia Zalor del estimador de prueba
\eión de rec4aoDado que la prueba es a dos colas( de la tabla t deStudent con rados de libertad tenemos
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Student con rados de libertad tenemos
Decisión estad$stica /omo se puede observar enla Cura( el valor del estad$stico de prueba no caeen la reión de rec4ao L\\( ,a que Por lo tanto(la 4ipótesis nula no se rec4aa con los datosrecabados de la muestra( al nivel de siniCcancia
del a 1&'
Prueba de 4ipótesis para unaproporción
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Planteamiento de la 4ipótesis.
Donde es un valor especiCco. 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.
Donde es el valor de la proporciónmuestral.
\eión de rec4ao.De cola derec4a( si la alternativa esDe cola iquierda si la alternativa es
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De cola iquierda( si la alternativa esDe dos colas( si la alternativa es Decisión estad$stica. ( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola
derec4a ( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola
iquierda ( se rec4aa si o Lreión de rec4ao de dos
colas
*@ercicio de aplicación
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Se cree que al menos el :&' de losresidentes de cierta 0rea est0n encontra de un nuevo impuesto. `ué se
puede concluir si de 2& 4abitantesde esa ona 1#& no est0n de acuerdocon el nuevo impuesto5 utiliar un
nivel de siniCcancia del '
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Planteamiento de la 4ipótesis al menos el :&' de los residentes est0n en contra menos del :& ' de los residentes est0n en contra
8ivel de siniCcancia
Zalor del estad$stico de prueba
\eión de rec4ao. Por la 4ipótesis alternativa( lareión es de cola iquierda. *l valor cr$tico seobtiene de la tabla de los porcenta@es para la
0
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variable normal est0ndar , es con
Decisión estad$stica. Dado que el valor delestad$stico de prueba no cae en la reión derec4ao( ,a que como se ve en la Cura( seconclu,e que la 4ipótesis nula no se rec4aa , portanto la creencia de que al menos el :&' de losresidentes en esa 0rea est0n en contra del nuevoimpuesto( es aceptable( con un nivel de siniCcancia
del '
Prueba de 4ipótesis para lavariana
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Para la variana poblacional ( se tiene
también su prueba de 4ipótesis. "qu$ seutilia la distribución )i o /4i= cuadrada. Planteamiento de la 4ipótesis.
Donde es un valor especiCco. 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.
Donde es el valor de la variana muestralaleatoria de tamaAo n ( e;tra$da de una
población normal
\eión de rec4ao.De cola derec4a( si la alternativa esDe cola iquierda( si la alternativa es
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De cola iquierda( si la alternativa esDe dos colas( si la alternativa es
Decisión estad$stica. ( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola derec4a
( se rec4aa si Lreión de rec4ao de colaiquierda ( se rec4aa si o Lreión de rec4ao de dos colas
*@ercicio de aplicación
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/uando un proceso de producción est0 ?uncionandoadecuadamente( la variana de las partes producidases iual a cuatro. -as medidas de las partes sedistribu,en normalmente , se considera que el procesode producción en la actualidad se encuentra ?uera de
control Se selecciona una muestra aleatoria de nuevepartes producidas , se obtienen las siuientes medidas.
H( 1&( 12( 13( 12( ( :( 11 , H
Se tiene raón en aCrmar que en la actualidad elproceso de producción est0 ?uera de control5 utilice unnivel de siniCcancia del 1&'
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De acuerdo a la in?ormación cuando la
variana ( el proceso est0 ?uncionandocorrectamente , cuando est0 ?uera decontrol. "s$ que la prueba de 4ipótesis quese realiar0 es para la variana Planteamiento de la 4ipótesis.
8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.*l valor de la variana para la muestra dada
es por lo que tenemos lo siuiente
\eión de rec4ao. Por ser de dos colas se tiene quecon rados de libertad.
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Decisión estad$stica la 4ipótesis nula ( no se rec4aa( ,aque el valor del estad$stico de prueba no cae en lareión de rec4ao ,a que como se puedeobservar en la raCca Por lo que( en base de estos datosel proceso de producción est0 ?uncionando
adecuadamente con una siniCcancia del 1&'
Prueba de 4ipótesis para ladi?erencia de medias
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Para este tipo de prueba e;istes cosos los cuales
son Poblaciones normales con varianas conocidas. Poblaciones no normales con varianas
desconocidas( pero muestras randes e
independientes. Poblaciones normales con varianas
desconocidas pero iuales L , muestraspequeAas e independientes.
Poblaciones normales con varianasdesconocidas pero di?erentes L , muestraspequeAas e independientes.
Poblaciones normales , muestras pequeAas
dependientes Lmuestras apareadas
Poblaciones normales con varianas conocidas.
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Planteamiento de la 4ipótesis.
Donde es un valor especiCco.
8ivel de siniCcancia
Zalor del estad$stico de prueba.
\eión de rec4ao. Seún la4ipótesis alternativaD l d 4 d
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De cola derec4a cuando
De cola iquierda cuandoDe dos colas cuando Decisión estad$stica.
( se rec4aa si Lreión de rec4ao decola derec4a( se rec4aa si Lreión de rec4ao de
cola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4aode dos colas
*@ercicio de aplicación
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+na muestra aleatoria de tamaAoe;tra$da de una población normal condesviación est0ndar tiene una mediamuestral una seunda muestraaleatoria de tamaAo sacada de unapoblación di?erente normal( condesviación est0ndar tiene una media
muestral . Probar la 4ipótesis de que (contra la alternativa ( con un nivel desiniCcancia del :'.
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\eión de rec4ao. Por la 4ipótesis alternativa( la reiónes de dos colas. "l tener tenemos que ,
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Decisión estad$stica /omo el valor del estad$stico deprueba cae dentro de la reión de rec4ao( ,a que la4ipótesis nula debe ser rec4aada. Por lo que( lasmedias de las poblaciones no son iuales( comoresultado de la in?ormación recopilada a partir de estas
muestras aleatorias
Poblaciones no normales con varianas desconocidas(pero muestras randes e independientes.
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Planteamiento de la 4ipótesis.
Donde es un valor especiCco.
8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.
\eión de rec4ao. Seún la4ipótesis alternativa
D l d 4 d
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De cola derec4a cuando
De cola iquierda cuandoDe dos colas cuando Decisión estad$stica.
( se rec4aa si Lreión de rec4ao decola derec4a( se rec4aa si Lreión de rec4ao de
cola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4aode dos colas
*@ercicio de aplicación
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+n ?abricante aCrma que el coeCciente promedioa la tensión de una Cbra E"F e;cede al coeCcientepromedio a la tensión de la Cbra E
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Planteamiento de las 4ipótesis.Si consideramos que es el coeCcientepromedio a la tensión de la Cbra E"F , es elcoeCciente promedio a la tensión de la Cbra
E
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\eión de rec4ao.-a reión es de cola iquierda. *l valorcritico lo sacamos de la tabla normal
est0ndar para donde tenemos que
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Poblaciones normales con varianas desconocidas pero iuales L , muestras pequeAas eindependientes.
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Planteamiento de la 4ipótesis.
Donde es un valor especiCco.
8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.
/on
\eión de rec4ao. . Seún la 4ipótesis alternativaDe cola derec4a cuandoDe cola iquierda cuando
D d l d
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De dos colas cuando
Decisión estad$stica.
( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola derec4a( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4ao de dos colasDonde son valores de la variable I de Student conrados de libertad.
*@ercicio de aplicación
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Se pretende averiuar cual de dosmedicamentos es me@or para reducir la presiónarterial( para ello se seleccionan 2 pacientes alos cuales se les suministra el medicamento 6 ,se obtienen los siuientes resultados . " otros
pacientes se les administra el medicamento 66 ,se obtiene Si suponemos que las poblacionesson normales( con varianas desconocidas peroiuales , que las muestras son
independientes. /on un nivel de siniCcanciadel 1&'( pruebe la 4ipótesis de que elmedicamento 6 es me@or que el medicamento 66
S%-+/678/onsideremos que es la presión
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/onsideremos que es la presión
arterial media producida por losmedicamentos 6 , 66 respectivamente(que el medicamento 6 sea me@or queel medicamento 66( siniCca que Por loque. Planteamiento de la 4ipótesis. los dos medicamentos tienen la misma e?ectividad.
el medicamento 1 es me@or que el medicamento 11. 8ivel de siniCcancia valor del estad$stico de prueba
\eión de rec4ao. -a reión de rec4ao es decola iquierda. 9 por tabla sabemos que conrados de libertad , un
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Decisión estad$stica. Dado que el valor delestad$stico de prueba cae dentro de la reión de
rec4ao( ,a que se rec4aa la 4ipótesis nula .Por lo tanto( el ?abricante de medicamentos notiene raón en su aCrmación de acuerdo a losdatos que proporcionan las muestras aleatorias.
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\eión de rec4ao. . Seún la 4ipótesis alternativaDe cola derec4a cuandoDe cola iquierda cuandoDe dos colas cuando
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De dos colas cuando
Decisión estad$stica.( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola derec4a
( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4ao de dos colasDonde son valores de la variable I de Student con
rados de libertad.
*@ercicio de aplicación
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+na ran ?0brica de automóviles est0 tratando de
decidir si compra llantas E"F o E
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Planteamiento de la 4ipótesis. Dado que
se aCrma que no 4a, di?erencia entrelos dos tipos de llantas( siniCca que lasmedias poblacionales son iuales( encontra de que son di?erentes. -o
anterior traducido en las 4ipótesisqueda de la siuiente manera.
8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba
\eión de rec4ao. *s una reión de dos colas(por lo que tenemos que con rados de libertad.
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Decisión estad$stica *l valor del estad$stico deprueba no cae en la reión de rec4ao( dado que
lueo la 4ipótesis nula no se rec4aa , enconsecuencia no 4a, di?erencia siniCcativa encuanto a los dos tipos de llantas que usar0 en susnuevos modelos( de acuerdo con la in?ormación
obtenida en las muestras
Poblaciones normales , muestras pequeAasdependientes Lmuestras apareadas
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Planteamiento de la 4ipótesis.
Donde es un valor especiCco , es lamedia de las di?erencias poblacionales. 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.
/on , los valores de la media , ladesviación est0ndar de las di?erenciasmuestrales ( respectivamente. "dem0s de
\eión de rec4ao. . Seún la 4ipótesis alternativaDe cola derec4a cuandoDe cola iquierda cuandoDe dos colas cuando
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De dos colas cuando
Decisión estad$stica.( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola derec4a( se rec4aa si Lreión de rec4ao de cola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4ao de dos colasDonde son valores de la variable I de Student con
rados de libertad.
*@ercicio de aplicación* t di i t l i i t d t
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*n un estudio se reistraron los siuientes datos
acerca de la concentración de residuos de acidosórbico en @amón( en partes por millón(inmediatamente después de introducir el @amón porun instante en una solución sórbica , después de :&d$as de almacenamiento.
Si suponemos que las poblaciones son normales(4a, evidencias suCcientes con un nivel desiniCcancia del '( para decir que el periodo dealmacenamiento reduce las concentraciones
residuales de acido sórbico5
S%-+/678"qu$ las muestras la consideramos
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dependientes( ,a que el @amón es el mismo
antes , después del almacenamiento. *lvalor de la media , la desviación est0ndarde las di?erencias son respectivamente.
Planteamiento de la 4ipótesis.*l almacenamiento no reduce laconcentración de acido.
*l almacenamiento si reduce la
concentración de acido. 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.
\eión de rec4ao.*s de cola derec4a( ,a que la 4ipótesis alternaaCrma que , el valor cr$tico en la tabla es conrados de libertad
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rados de libertad.
Decisión estad$stica. /omo el valor del
estad$stico de prueba si cae en la reión derec4ao( ,a que ( la 4ipótesis nula se rec4aa.Por lo que si e;isten evidencias suCcientes deque el periodo de almacenamiento reduce la
t ió d id ó bi l @ ó
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Muestras randes con o bien
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Planteamiento de la 4ipótesis.
Donde 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.
Donde es el valor de la proporción
arupada para las muestras aleatorias de tamaAos (respectivamente. son el número de
é it l t ti
\eión de rec4ao. . Seún la4ipótesis alternativaDe cola derec4a cuando
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De cola derec4a cuando
De cola iquierda cuandoDe dos colas cuando
Decisión estad$stica.( se rec4aa si Lreión de rec4ao de
cola derec4a
( se rec4aa si Lreión de rec4ao decola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4ao
d d l
*@ercicio de aplicación
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+na empresa ?abricante de ciarroselabora dos marcas de este producto.*ncuentra que : de 2&& ?umadores
preCeren la marca E"F , 2H de 1&preCeren la marca E
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-a proporción cruada es
Planteamiento de la 4ipótesis.
Lno 4a, pre?erencia por aluna de las marcas Lla marca " es m0s pre?erida que la marca
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Decisión estad$stica /omo el valor del
estad$stico de prueba cae en la reión derec4ao es decir la 4ipótesis nula se rec4aa.Por lo que si se puede aseurar que la marcaE"F es m0s pre?erida sobre la marca E
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Planteamiento de la 4ipótesis.
Donde 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.
Donde son los valores de las
proporciones para las muestrasaleatorias de tamaAos (respectivamente. Iomadas de su
ti bl ió "d 0 d
\eión de rec4ao. Seún la4ipótesis alternativaDe cola derec4a cuando
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De cola iquierda cuandoDe dos colas cuando
Decisión estad$stica.( se rec4aa si Lreión de rec4ao de
cola derec4a
( se rec4aa si Lreión de rec4ao decola iquierda( se rec4aa si o Lreión de rec4ao
d d l
*@ercicio de aplicación
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+na cl$nica especialista en nutriciónaseura que el porcenta@e de 4ombres quepadece obesidad( es superior en m0s deun 1' sobre la proporción de mu@eres con
este problema. De una muestra aleatoriade 1&& 4ombres # tienen problemas deobesidad( mientras que de una muestraaleatoria de 12& mu@eres 3 son obesas.
Se puede concluir que la cl$nica tieneraón( con una siniCcancia del 1&'5
S%-+/678Si es la proporción de 4ombres , de mu@eres
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Si es la proporción de 4ombres , de mu@eres
con problemas de obesidad( respectivamente(entonces tenemos que Planteamiento de la 4ipótesis-a di?erencia de proporciones es menor o iual
al 1'-a di?erencia de proporciones es superior al1' 8ivel de siniCcancia Zalor del estad$stico de prueba.
\eión de rec4ao es de cola derec4a dondetenemos para
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Decisión estad$stica Dado que el valor del
estad$stico de prueba no cae en la reión derec4ao( ,a que ( la 4ipótesis nula no se rec4aa(es decir la cl$nica no tiene raón en su aCrmaciónde acuerdo con los datos recibidos en lasmuestras.
Prueba de 4ipótesis para la raónde varianas
Planteamiento de la 4ipótesis
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Planteamiento de la 4ipótesis
8ivel de siniCcancia valor del estad$stico de prueba.
Donde son los valores de lasvarianas para las muestras
aleatorias de tamaAorespectivamente( e;tra$das depoblaciones normales.
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*@ercicio de aplicación+ i ti d id l
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+n investiador considera que lavariabilidad en los tiempos deatención v$a tele?ónica en un banco "es superior que en los tiempos de otro
banco
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Si tomamos como la variana de los
tiempos del banco " , del banco
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Decisión estad$stica /omo el valor del estad$stico de
prueba cae en la reión de rec4ao( ,a que se rec4aala 4ipótesis nula es decir el investiador tiene raón enaCrmar que la variabilidad en los tiempos de atenciónv$a tele?ónica del banco "( es ma,or que la del banco
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datos provenientes del estudio es absolutamente
necesario. -a prueba de bondad de a@uste permiteprobar el a@uste de los resultados de une;perimento a una distribución de probabilidadteórica su@eto a un error o nivel de conCana
*l método en cuestión se basa en la comparaciónde las ?recuencias absolutas observadas , las?recuencias absolutas esperadas( calculadas a
partir de la distribución teórica en an0lisis.
Para la prueba de 4ipótesis utiliaremos dosestad$sticos *l /4i=cuadrado , la prueba de
l S i
Zariable aleatoria /4i=/uadrada*s aplicable a distribuciones continuas o
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*s aplicable a distribuciones continuas o
discretas./ompara las ?recuencias observadas con las?recuencias esperadas.Se selecciona una muestra aleatoria de n
observaciones( cada una de las cuales puedeclasiCcarse e;actamente en una de Kcateor$as. Suponamos que el numeroobservado en cada cateor$a es . Si una
4ipótesis nula () especiCca las probabilidadesde que una observación perteneca a cada unade estas cateor$as( los números esperados enlas cateor$as( si se cumple serian
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*@ercicio de aplicación*n cierta m0quina *;pendedora de \e?rescose;isten # canales que e;piden el mismo tipo de
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e;isten # canales que e;piden el mismo tipo de
bebida. *stamos interesados en averiuar si laelección de cualquiera de estos canales se 4ace de?orma aleatoria o por el contrario e;iste alún tipode pre?erencia en la selección de aluno de ellospor los consumidores. -a siuiente tabla muestrael número de bebidas vendidas en cada uno de los# canales durante una semana. /ontrastar la4ipótesis de que los canales son seleccionados alaar a un nivel de siniCcación del '.
!anal "#mero de bebidasconsumidas medianteeste e$pendedor
1 13
2 22
3 1
# 1V
S%-+/678Para realiar el contraste de
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debemos calcular las ?recuencias esperadasde cada suceso ba@o la 4ipótesis deuni?ormidad entre los valores. Si la seleccióndel canal ?uera aleatoria( todos los canalestendr$an la misma probabilidad de selección ,por lo tanto la ?recuencia esperada de bebidasvendidas en cada uno de ellos deber$a serapro;imadamente la misma. /omo se 4anvendido en total V& re?rescos( la ?recuenciaesperada en cada canal es
*l estad$stico de prueba seria
*ste valor debemos compararlo con el
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valor critico de la distribución con L#=13 rados de libertad. *ste valor es
Puesto que el valor del estad$stico L2.3#es menor que el valor critico LV(1( nopodemos rec4aar la 4ipótesis de que
los datos se a@ustan a una distribuciónuni?orme. *s decir( que los canales sonseleccionados aleatoriamente entre losconsumidores.
*@ercicio 2 de aplicaciónSe 4a tomado una muestra aleatoria de #&b t $ 4 i t d d ió A
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bater$as , se 4a reistrado su duración en aAos.*stos resultados se 4a arupado en V clasescomo se muestra.
ZeriCcar con ' de siniCcancia que la duraciónen aAos de las bater$as producidas por este?abricante tiene duración distribuida normalmentecon media 3. , desviación est0ndar &.V
S%-+/678Sea B duración en aAos Lvariable
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L
aleatoria continua
/alculando la probabilidadcorrespondiente a cada intervalo
tenemos
/alculando las ?recuencias esperadas tenemos
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\esumen de datos
Pero como es necesario que se cumpla que entonces tenemo
como resultado solo # clases las cuales son
"4ora deCniendo nuestra reión derec4ao tenemos
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/alculando el estad$stico de prueba
tenemos
Decisión /omo 3.& no es ma,or a
V.1( se dice que no 4a, evidenciasuCciente para rec4aar el modelopropuesto para la población.
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*ste resultado suiere el estad$sticode olmoorov=Smirnov
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`ue proporciona una medida dediscrepancia entre , cu,a
distribución( ( no depende de .*ste resultado es mu, importanteporque si la distribución del
estad$stico dependiera de ser0necesario calcular su distribución ba@opara cada problema en particular.
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*@ercicio de aplicaciónSe 4a realiado una muestra a 1V municipios al
t d l t @ d bl ió ti
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respecto del porcenta@e de población activadedicada a la venta de ordenadores resultandolos siuientes valores
`ueremos contrastarque el
porcenta@e demunicipios para
cada rupoestablecido se
distribu,e
S%-+/678
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4ipótesisnula cadarupodebiera deestar
/ompuestopor el 1&' de
la poblacióndado que
e;istendie rupos"s$ podemosestablecer la tabla
*n la tabla anterior se pudo observar que
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"4ora el estad$stico de prueba olmoorov=Smirnov para un nivel de siniCcancia del 'es
Dado que el estad$stico es menor L&(&:&V que
el valor de la tabla L&(1&1H no rec4aamos la4ipótesis de comportamiento uni?orme de losrupos establecidos al respecto de la poblaciónactiva dedicada a la venta de ordenadores
. libertad a&(&1 a&(& a&(1 a&(1 a&(2
1 &(HH &(HV &(H &(H2 &(H
2 &(H2H &(#2 &(VV: &(V2: &(:#
3 &(2 &(V& &(:#2 &(HV &(2:
# & V33 & :2# & :# & 2 & #H#
Iabla de olmo
orov=Smirnov
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# &(V33 &(:2# &(:# &(2 &(#H#
&(::H &(: &(1 &(#V# &(##:
: &(:1 &(21 &(#V &(#3: &(#1
V &(VV &(#: &(#3 &(#& &(31
&(#3 &(#V &(#11 &(31 &(3
H &(1# &(#32 &(3 &(3: &(33H
1& &(#H &(#&1 &(3: &(3#2 &(322
1 &(# &(33 &(3 &(23 &(2::
2& &(3: &(2H &(2:# &(2: &(231
2 &(32 &(2V &(2# &(22 &(21
3& &(2H &(2# &(22 &(2 &(1H
3 &(2V &(23 &(21 &(1H &(1
#& &(2 &(21 &(1H &(1 &(1V
# &(2# &(2 &(1 &(1V &(1:
& &(23 &(1H &(1V &(1: &(1
recurrencia para nma,or
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*@ercicio de aplicación/onsideremos las observaciones de
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los pesos Lk , las alturas Lcm de uncon@unto de die personas elindividuo 1 tiene 1:1 cm de altura ,
:3 k de peso( el individuo 2 tiene12cm de altura , : k de peso( etc.
Tallar el coeCciente de determinación.
S%-+/678
" partir de la recta de reresión
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p
podemos calcular los valoresestimados , los residuos.
*s mu, conveniente( por comodidad(disponer de los datos , los c0lculos en?orma de tablaW en concreto( por lo
tanto construimos una tabla dec0lculos del coeCciente dedeterminación la cual es
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Por lo tanto tenemos que
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"4ora 4allando el coeCciente dedeterminación
*s coeCciente de determinación nosindica que el :(1V' de la
variabilidad total de los datos ese;plicada por el modelo querepresenta dic4os datos.
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p p p p J p
4ttp.itc4.edu.m;academicindustrialestadistica1cap&3b.4tml
4ttp.virtual.unal.edu.cocursossedesmaniales#&3
&&11leccionescap3capJ3JpaJ12.4tml4ttpecosdelaeconomia.Cles.ordpress.com2&11&
distribucion=amma.pd?
4ttp.itc4.edu.m;academicindustrialsabaticoritaJprivate&VDistr'2&Geometrica.4tm
4ttpes.scribd.comdoc12&:VDistribuciones=Discretas=de=Probabilidad
http://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/sab/rfinsab_acc07.pdfhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.htmlhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://ecosdelaeconomia.files.wordpress.com/2011/05/distribucion-gamma.pdfhttp://ecosdelaeconomia.files.wordpress.com/2011/05/distribucion-gamma.pdfhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/07Distr%20Geometrica.htmhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/07Distr%20Geometrica.htmhttp://es.scribd.com/doc/8120687/Distribuciones-Discretas-de-Probabilidadhttp://es.scribd.com/doc/8120687/Distribuciones-Discretas-de-Probabilidadhttp://es.scribd.com/doc/8120687/Distribuciones-Discretas-de-Probabilidadhttp://es.scribd.com/doc/8120687/Distribuciones-Discretas-de-Probabilidadhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/07Distr%20Geometrica.htmhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/07Distr%20Geometrica.htmhttp://ecosdelaeconomia.files.wordpress.com/2011/05/distribucion-gamma.pdfhttp://ecosdelaeconomia.files.wordpress.com/2011/05/distribucion-gamma.pdfhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_12.htmlhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.htmlhttp://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.htmlhttp://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/sab/rfinsab_acc07.pdfhttp://www.sepi.upiicsa.ipn.mx/sab/rfinsab_acc07.pdf
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