El algoritmo 1/t, un método eficiente para el calculo de la función de estado en la

física de superficie Rolando Belardinelli, Sergio Manzi y Víctor Pereyra

Universidad Nacional de San LuisFacultad de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales

Departamento de Física Instituto Nacional de Física Aplicada

Simposio sobre Adsorción Adsorbentes y sus Aplicaciones (SAASA). San Luis 2009.

En el marco de la mecánica estadística toda magnitud en equilibrio puede ser obtenida a partir de la función de partición:

BE k TZ e

donde es el estado del sistema, E es la energía correspondiente a , kB es la constante de Bolzman y T es la temperatura.

La función de partición la podemos re-escribir agrupando los sistemas que tienen la misma energía:

donde g(E) es el numero de estados con energía E.

BE k T

E

Z g(E)e

Es una tarea dificultosa calcular directamente la g(E) con precisión en sistemas relativamente grandes.

En el 2001, Wang y Landau presentaron un método de MC el cual calcula la g(E) en tamaños grandes, y con reducido esfuerzo computacional.

Este método permite acceder directamente a la energía libre y entropía, es independiente de temperatura, y es eficaz en el estudio de transiciones de fase de primer y segundo orden.

F. Wang and D. P. Landau, ‘‘Efficient, multiple-range random walk algorithm to calculate the density of states,’’ Phys. Rev. Lett. 86, 2050–2053

El algoritmo se ha usado en diferentes sistemas tales como, modelo de Ising, modelo de Potts, sistemas de espines aleatorios, sistemas cuánticos, fluidos, vidrios binarios de Lennard-Jones, cristales líquidos, polímeros, proteínas, sistemas moleculares, racimos atómicos, problemas de optimización, y teoría de numeración combinatoria...

La g(E) calculada no converge a la

verdadera densidad de estados.

Algoritmo 1/tR. E. Belardinelli, and V. D. Pereyra.“Fast algorithm to calculate density of states”,

Physical Review E 75, 046701 (2007).

R. E. Belardinelli, and V. D. Pereyra.“Wang-Landau algorithm: a theoretical analysis of the saturation of the error”, Journal of Chemical Physics. 127, 184105 (2007).

i fS E S Eii f

f

g Ep E E min 1, min 1,e

g E

Algoritmo 1/t1) Se elige una configuración al azar del sistema; se inicializa S(E)=ln[g(E)]=0; se fija Fo=1 y también Ffinal= 10 -

8.2) Se sortea una partícula adsorbida y se la intenta mover a un lugar vacío de acuerdo a la probabilidad,

3) Se incrementa S(E)S(E)+Fk.4) Luego de 1000 pasos de MC, se verifica que el programa haya visitado todas las energía “E” accesibles del sistema con el mismo Fk, si visito todos entonces se reduce Fk+1 Fk/2.

6) Si Fk<Ffinal el computo termina, sino se vuelve a 2).

5) Si Fk+1 1/t, entonces Fk+1=F(t)=1/t. El paso 4) no se usa mas.

Monómeros en Redes Triangulares

Aplicamos el algoritmo 1/t al modelo de gas de red para la adsorción de partículas sobre una red triangular en el régimen de monocapa. Nos concentraremos en la interacción adsorbato-adsorbato (NN) repulsiva, ya que provoca dos fases bien definidas en la red triangular, una a cubrimiento 1/3 y la otra a 2/3,

Cada sitio de la red podrá ser ocupado por solo un monómero. Sea c1,c2,c3,....,cM la ocupación del sitio 1,2,3...,M respectivamente. Cada ci puede ser 0 o 1 de acuerdo si el sito esta vacío o ocupado por una partícula. El número de sitios ocupados es n, y el cubrimiento es definido como =n/L2. Suponemos solo interacción a primeros vecinos. Definimos el número de interacciones como,

M

i j(i,j)́

NN ccEl Hamiltoniano del sistema puede ser escrito como,

H wNN E donde w es la energía de interacción a primeros vecinos, siendo positiva w>0 para interacciones repulsivas y negativas w<0 para atractivas

Estudiaremos la temperatura crítica de la fase 2/3 en la asamblea canónica, es decir a cubrimiento fijo =2/3.

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00

1000

2000

3000

4000 L 15 30 45 60 75 90 120

S(E)

E/L2

max

min

B

E

E

S E E/ k TEe

U TZ

( )BF k T ln Z=

U T F TS T

T

22TT

2

E EU TC T

T T

0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.501.00

1.05

1.10

1.15

1.20U

(L,T

)/L

2

15 30 45 60 75 90 120

T0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.380

1

2

3

4

5

6

C(L

,T)/

L2

T

0.0 0.2 0.4 0.6 0.80.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

F(L

,T)/

L2

T 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.500.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

S(L

,T)/

L2

T

La Tc es bastante consistente respecto a la Tc reportada por Pasinetti et al., Tc(∞)=0.3354 0.0001.

P. M. Pasinetti, F. Romá, A. J. Ramirez-Pastor and J. L. Riccardo,” Critical behavior of repulsive linear k-mers on triangular lattices” cond-mat/0606391. Phys. Rev. B 74, 155418 (2006).

Dímeros en Redes RectangularesCada sitio de la red podrá ser ocupado por una unidad del dímero. Cada ci puede ser 0 o 1 de acuerdo si el sito esta vacío o ocupado por una partícula. El número de sitios ocupados es n, y el cubrimiento es definido como =n/L2. Suponemos solo interacción a primeros vecinos. Definimos el número de interacciones como,m

i j(i,j)́

NNN nn 2 El Hamiltoniano del sistema puede ser escrito como,

0H wNN N E

donde w es la energía de interacción a primeros vecinos, siendo positiva w>0 para interacciones repulsivas y negativas w<0 para atractivas

w

w

w

0

2

4

6

8

0 5 10 15 201E-5

1E-4

S(E)

exactaalgoritmo 1/t

4x8

(S(E))

E

S(E) log g E

ADSORCIÓN DE DÍMEROS EN SUBSTRATOS BIDIMENSIONALES CON INTERACCIÓN

ANISOTRÓPICAS La Energía de interacción es anisotrópica, es decir que depende de la forma direccional de contacto entre dímeros. Como indica la figura tenemos tres tipos de interacción, una Longitudinal JL, transversal JT y mixta JM =(JT+JL)/2.

El Hamiltoniano del sistema es

L L T T M MH J n + J n + J n

JT

JL

(JT + JL)/2

(( ) / )

0

( , , ) L L T T M M B

L T M

mJ n J n J n k TN

N L T MN n n n

g n n n e

Y la gran función de partición,

(( ) / )

0

ln 1( , , ) L L T T M M B

L T M

mJ n J n J n k TNB

N L T MN n n n

k TN g n n n e

m m

La isoterma de adsorción la podemos calcular a partir de,

JL=5 JT=5

Red 36x36

face ( 4 x 2) face (zig-zag)

face (A) face (B)

face (C)

El valor de la Energía por sitio desde la gran función de partición:

(( ) / )

0

1( ) ( ) ( , , ) L L T T M M B

L T M

mJ n J n J n k TN

L L T T M M N L T MN n n n

E J n J n J n g n n n e

0.0

0.2

0.40.6

0.81.0

0

2

4

6

8

E

43

21

-1-2

-3-4

0

5

J L

-50.0

0.2

0.40.6

0.81.0

-2

0

2

4

6

8

E

43

21

-1-2

-3-4

0

5

J T

-5

JL=5 JT=5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.81.0 -4

-202468101214

16

18

4321

-1-2

-3-4

0

5

qd

J T

-5 0.0

0.2

0.4

0.6

0.81.0 -2

02468

10

12

14

16

18

4321

-1-2

-3-4

0

5

qd

J L

-5JL=5 JT=5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

S

0

4321

-1-2-3-4

5J T

-5

El parámetro de orden lo definimos como = |(NV-NH)/N, donde NV es el numero de dímeros orientados verticalmente, NH horizontalmente y N es la cantidad total de dímeros sobre la red (N = NH+NV).

(( ) / )

0

1( , , ) ( , , ) ( , , ) L L T T M M B

L T M

mJ n J n J n k TN

L T N L T M N L T MN n n n

J J n n n g n n n e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

432

1

-1-2

-3-4

0

5

J L

-5

5045

3015

0

-15

Conclusiones

El calculo de la función densidad de estados es una de las herramientas alternativas para mejorar la eficiencia en el calculo de los observables en equilibrio pues es independiente de la temperatura.

Todo algoritmo donde el parámetro de refinamiento decrezca exponencialmente, es no convergente. En contraste el algoritmo 1/t es convergente. El “Algoritmo 1/t” muestra ser el mas eficiente, simple y preciso en el cálculo de la densidad de estado tanto en sistemas discretos como aproximaciones al continuo.

Los métodos de simulación en donde la probabilidades de transición dependen de la temperatura son poco eficiente.