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Sec.
Prueba de
hipótesis para la
media poblacional
(𝝁)
10.3
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Para probar una hipótesis con respecto a la media
poblacional, cuando la desviación estándar
poblaciónal es desconocida, usamos una
distribución-t en vez de una distribución-Z.
El estadístico,
sigue una distribución-t de Student, con n –1
grados de libertad.
n
s
xt
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Criterios para la prueba de hipótesis para la
media poblacional (𝝁)
Para hacer una prueba de hipótesis para la media poblacional (𝝁), la muestra debe cumplir los siguientes criterios:
Es una muestra aleatoria simple.
La muestra no contiene datos extremos
La población de donde se obtiene la muestra se distribuye normalmente o la muestra es suficientemente grande (n ≥ 30).
Los valores de la muestra son independientes entre si.
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Paso 1: Determinar la hipótesis nula y la alterna
usando una de las siguientes formas:
Pasos para la prueba de hipótesis para la
media poblacional (𝝁)
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Paso 2: Seleccionar un nivel de significancia,
α, basado en la gravedad de cometer un error
Tipo I.
Hipótesis No rechazar Rechazar
nula Ho Ho
Ho es cierta
Ho es falsa
Decisión
correcta Error
Tipo I
(a)
Error
Tipo II
(b)
Decisión
correcta
Nivel de significancia
es la probabilidad
máxima de cometer un
error de Tipo I. Los
niveles de significancia
que se utilizan con
mayor frecuencia son
0.01, 0.05 y 0.10.
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Paso 3: Calcular el estadístico de prueba
que sigue una distribución-t de Student con n – 1
grados de libertad.
t0
x
0
s
n
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Para tomar decisiones en base a una prueba de
hipótesis existen dos alternativas muy utilizadas:
a) Método tradicional o clásico: se basa en
utilizar el valor crítico del estadístico de
prueba (t0)
b) Un método más moderno emplea el valor p,
que es la probabilidad de que el valor del
estadístico calculado se deba al azar.
Paso 4: Formular la regla de decisión.
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Método clásico o tradicional
Usar la Tabla VI para determinar el valor crítico.
Paso 4: Formular la regla de decisión (cont.)
Valor Crítico: Es el punto que divide la
región donde la hipótesis nula es
rechazada de aquella donde no se
rechaza.
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El método clásico
Prueba bilateral o
de dos colas
Prueba unilateral a
la izquierda o de
una cola
Prueba unilateral a
la derecha o de
una cola
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El método clásico
Comparar el valor crítico con el estadístico de
prueba.
Paso 4: Formular la regla de decisión (cont.)
La toma de decisión se basa en lo siguiente:
a) si el estadístico de prueba cae dentro de la
región de rechazo, se rechaza la hipótesis nula.
b) si el estadístico de prueba está en la región de
aceptación, no se rechaza de hipótesis nula.
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Paso 4: Formular la regla de decisión (cont.)
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Paso 5: Enunciar la conclusión.
a) si la decisión es “rechazar la H0” diga así : “la
muestra aporta suficiente evidencia al nivel de
significancia 𝛼 para demostrar que… (se completa
con la expresión estadística correspondiente a la
hipótesis alternativa)”
b) si la decisión es “no rechazar la H0” diga así :
“la muestra no aporta suficiente evidencia al nivel
de significancia 𝛼 para demostrar que … (se
completa con la expresión estadística
correspondiente a la hipótesis alternativa)”
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Ejemplo 1: Prueba de hipótesis para una media poblacional
(muestras grandes)
Supongamos que la razón metabólica en reposo (RMR) de los varones saludables y en completo silencio es 5710 kJ / día.
Los investigadores midieron el RMR de 45 hombres sanos que estaban escuchando música clásica tranquila y encontraron que su media RMR era 5708.07 con una desviación estándar de 992.05.
A un nivel de significancia de α = 0.05, ¿existe evidencia para concluir que la media de los hombres que escuchaban música clásica tranquila es diferente a 5710 kJ/día?
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Solución
Consideraciones iniciales:
Se trata de una prueba de dos colas, ya que
estamos interesados en determinar si la RMR es
diferente a 5710 kJ / día.
Dado que el tamaño de la muestra es grande,
podemos asumir que la población se distribuye
normalmente.
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Solución (cont.)
Paso 1: Determinar la hipótesis nula y la alterna
H0: μ = 5710 versus H1: μ ≠ 5710
Paso 2: Seleccionar un nivel de significancia, α,
el nivel de significancia es α = 0.05.
Paso 3: Calcular el estadístico de prueba
Con 𝒙 = 5708.07 y s = 992.05.
El estadístico de prueba es
0t ?
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Solución (cont.)
Paso 4: Formular la regla de decisión.
Nivel de significancia de α = 0.05 con
n –1 = 45 – 1 = 44 grados de libertad.
–t0.025 = y t0.025 = .
Paso 5: Comparar t0 con t0.025 y – t0.025
.
? ?
Paso 6: Conclusión
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Regla de decisión usando el valor p
Otro método que se puede usar para sacar una
conclusión de la prueba de hipótesis se basa en una
probabilidad llamada valor p.
El valor p es la probabilidad de encontrar un valor para
el estadístico de prueba tan improbable como el que se
ha calculado durante la prueba de hipótesis.
Usamos la Table VI para aproximar el valor p.
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Usando el valor p
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Usando el valor p
Paso 4: Formular la regla de decisión
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El procedimiento es robusto, lo que significa que
desviaciones menores de normalidad no afectará
negativamente los resultados de la prueba. Sin
embargo, para muestras pequeñas, si los datos
tienen valores extremos, el procedimiento debe
no ser utilizado..
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Ejemplo 1: Prueba de hipótesis para una media poblacional
(muestras grandes) 2do método
Supongamos que la razón metabólica en reposo (RMR) de los varones saludables y en completo silencio es 5710 kJ / día.
Los investigadores midieron el RMR de 45 hombres sanos que estaban escuchando música clásica tranquila y encontraron que su media RMR era 5708.07 con una desviación estándar de 992.05.
A un nivel de significancia de α = 0.05, ¿existe evidencia para concluir que la media de los hombres que escuchaban música clásica tranquila es diferente a 5710 kJ/día?
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Solución: Usando valor-p
Paso 4: Formular la regla de decisión
Como esta prueba es bilateral, el valor p es el área bajo
la distribución t (con 44 grados de libertad) hacia la
izquierda de –t0.025 = ? y hacia la derecha de t0.025 = ?
Esto es que: valor p = P(t < ?) + P(t > ?)
= 2 P(t > ?).
Usamos la tabla VI.
Buscamos en la fila donde los grados de libertad están lo
más cercano a 44,
y buscamos el valor en esa fila más cercano al
estadístico calculado.
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valor p = 2 P(t > 0.013).
= ?
Paso 5:
Comparar 𝑡𝛼2 y 𝑡0
Solución: Usando valor-p (cont.)
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Solución: Usando valor-p (cont.)
Paso 6: La muestra aporta suficiente evidencia, a un
nivel de significancia de α = 0.05, para concluir que la
RMR media de hombres saludables que escuchan
música clásica tranquila difiere de 5710 kJ/día.
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Ejemplo 2: Prueba de hipótesis para una muestra pequeña
De acuerdo con el fabricante de monedas en circulación de los Estados Unidos, pesetas pesan 5.67 gramos. Un investigador está interesado en determinar si el las pesetas conmemorativas a los estado tienen un peso diferente a 5.67 gramos. Se seleccionan al azar 18 pesetas conmemorativa, se pesan y se obtiene los siguientes datos.
5.70 5.67 5.73 5.61 5.70 5.67
5.65 5.62 5.73 5.65 5.79 5.73
5.77 5.71 5.70 5.76 5.73 5.72
A un nivel de significancia de α = 0.05, ¿existe evidencia para concluir que las pesetas conmemorativas tienen un peso diferente a 5.67 gramos?
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Solución
Se trata de una prueba de dos colas, ya que estamos
interesados en determinar si el peso es diferente a 5.67
gramos.
Dado que el tamaño de la muestra es pequeño, hay que
verificar que los datos provienen de una población que
se distribuye normalmente y que no existen valores
atípicos antes de proceder a los pasos 1-6.
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Parece razonable asumir normalidad.
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No existen datos extremos.
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Solución
Paso 1: Determinar la hipótesis nula y la alterna.
H0: μ = 5.67 vs H1: μ ≠ 5.67
Paso 2: Determinar nivel de significancia
α = 0.05.
Paso 3: Calcular el estadístico
𝒙 = s =
El estadístico:
?t0
? ?
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Solución: Método tradicional
Paso 4: Nivel de significancia α = 0.05 con
n –1 = 18 – 1 = 17 grados de libertad.
–t0.025 = ? y t0.025 = ?
.
Paso 5: Encontrar el valor p. Comparar p con ∝
Paso 6: Conclusiones
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Esto es que: valor p = ?
Solución: Usando valor-p (cont.)
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Cuando una muestra grande se utiliza en una
prueba de hipótesis, los resultados podrían
ser estadísticamente significativos a pesar de
que la diferencia entre el estadístico y la
media poblacional indicada en la hipótesis
nula no tenga importancia práctica.
Diferencia significativa
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Ejemplo: Diferencia estadística vs. significado práctico
En 2003, la edad media de mujeres en el momento de
tener su primer hijo era 25.2. Para determinar si la edad
media ha aumentado, se toma una muestra aleatoria de
1200 mujeres con almenos un hijo, y se determina que la
edad media de la muestra es 25.5 con una desviación
estándar muestral de 4.8. Determine si la edad media ha
aumentado, a un nivel de significancia de α = 0.05.
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Solución
Paso 1: Determinar la hipótesis nula y la alterna.
.
Paso 2: Determinar nivel de significancia
.
Paso 3: Calcular el estadístico
Paso 4: Formular la regla de decisión
Paso 5: Comparar
Paso 6: Concluir
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Comentarios:
Aunque hemos encontrado una diferencia estadística
significativa, no hay un significado práctico entre estas
edades. Esto puede ocurrir con muestras muy grandes.