Series cronologicas y tendencias 2011

Elaboración Lic. Econ. Miguel A. Becerra Bringas e-mail:

becerrabringas@gmail.com

ESTADÍSTICA EMPRESARIALSERIES CRONOLÓGICAS

SERIES CRONOLÓGICAS O DE TIEMPO

Representación: Y = F ( t ) Y = Variable dependiente

t =Tiempo.

Vtas.S/.

Consiste en una sucesión de observaciones registradas de un fenómeno tomadas en momentos distintos( anual, trimestral, mensual, semanal) que nos permite en el presente tomar decisiones sobre plantación y proyección en el largo plazo.

COMPONENTES DE LA SERIE CRONOLOGICA

Movimientos característicos principales,sobre los cuales se ajustan las

Series de tiempo

Tendencia secular

Movimiento estacional

Movimiento cíclico

Movimiento irregular

TENDENCIA SECULAR (T)

Indica la dirección predominante de la serie de tiempo observada en un largo período de tiempo.

Características:-

Variación sistemática, no periódica, suave y regular.

Presenta pocos mínimos y pocos máximos.

Generalmente es representada por una recta.

Su dirección puede ser ascendente, descendente o constante.

Es irreversible y no cambia tan frecuentemente.

TENDENCIA SECULAR (T)

Ejemplo 1

Variación de los precios de productos de primera necesidad a lo largo de los años, ofrece una clara tendencia al alza.

Ejemplo 2

El rendimiento físico de los deportistas aumenta hasta cierta edad, para luego descender.

MOVIMIENTO ESTACIONAL (E)

Es un movimiento fijo que se presenta en períodos no superiores al año (trimestre, mes, etc). Las principales fuerzas que lo originan son los factores climáticos, las estaciones del año, fiestas y disposiciones legales que entran a regir en determinadas épocas del año, etc. Características:-

Se repiten periódicamente a lo largo del año.

Siguen normas y graficas casi iguales.

Es causal: condiciones climáticas, fiestas, etc.

Originan en economía los ciclos vegetativos que influyen en la producción y ocupación.

No se puede apreciar en series de tiempo anuales.

Ejemplo 1

Venta de panetones en Diciembre de cada año.

panetones

dic dic dic

MOVIMIENTO CICLICO (C)

Son fluctuaciones u oscilaciones a lo largo de la recta de tendencia (expansiones o contracciones) que se repiten cada cierto tiempo (más de un año), siguiendo un patrón de conducta, con algunas diferencias en duración e intensidad.

Características:-

Pueden cambiar o hacer descender a la tendencia.

Pueden ser o no periódicas.

Responden a factores económicos como: niveles de inversión, producción, consumo y gastos del sector público, que originan los intervalos de prosperidad, retroceso, depresión y recuperación de la economía.

Ejemplo 1

El fenómeno del niño.

MOVIMIENTO CICLICO (C)

MOVIMIENTO IRREGULAR (I)

Son variaciones ocasionales o episódicas ( huelgas, guerra, inundaciones, terremotos etc.) que afectan grandemente a la serie de tiempo; pueden identificarse, pero no predecirse.

También hay fuerzas residuales, aleatorios o accidentales que no son identificables y menos predecibles. Su afectación es débil.

Características:-

Son erráticas, accidentales, esporádicos.

Estas variaciones no pueden proyectarse al futuro.

Altera la serie de tiempo de modo apreciable.

Ejemplo 1

Producción de limones en el Norte, disminuyó grandemente debido a inundaciones en los sembríos, no previstos.

limones

inundación

MOVIMIENTO IRREGULAR (I)

ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO

Presentan una tendencia mas o menos definidas alrededor de la cual se desarrollan los diversos componentes.

Al estudiar una serie se hace con el propósito de poder predecir situaciones futuras.

Técnicas de análisis

Descomposición por suma

Y = T + C + E + T

Descomposición por producto

Nota: la mas utilizada

Y = T * C * E * T

Y = f (T,C,E,I)

APLICACIONES

1. Determinar los posibles componentes que pudieran tener las siguientes series cronológicas:

a) Las ganancias bimestrales de “Cementos Andino” de 2009 a 2010. (T, I)

b) Ventas mensuales de útiles de escritorio en la cadena de tiendas “Lau Chun” a nivel nacional. (T,E,I)

c) El número de turistas que visitaron las ruinas de Chan Chan cada mes entre Enero de 1995 a Enero de 1997.(T,C,I)

d) Ventas trimestrales de chocolate “Sublime” durante 2009-2010. (T,E,I)

e) Actividad comercial mensual en la ciudad de Nueva York de Agosto 2002 a Abril de 2004. (T,E,I)

ESTUDIO DE LA TENDENCIA

Determina la dirección a largo plazo de la serie de tiempo, considerando 10 o mas años, para evitar los movimientos cíclicos.

MÉTODOS DE ESTIMACIÓN

1. Promedios móviles

Son las medias aritméticas de los “n” valores de datos mas recientes da cada subconjunto de la serie previamente determinado.

Importancia: Suaviza la tendencia en una serie de tiempo lineal.

Desventaja: No se puede estimar valores futuros.

recientesmasvaloresnPM ___

Ejemplo: Dado la siguiente sucesión de valores: 2, 1, 6, 5, 4, 3, 8

Calcular el PM de orden n=3 y n=4

Datos PM=3 PM=4

Suma M (X) Suma M (X)

6 12 4 14 3.5

5 15 5 16 4

4 12 4 18 4.5

3 15 5 20 5

Aplicación

1. Se tiene a continuación la producción de motoniveladoras en el Perú durante el periodo 2000 al 2007. Se pide:

a) Dibujar en una misma grafica la serie cronológica y la estimación de la tendencia para un movimiento promedio móvil de orden 3 y de orden 4.

Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Unid. 106 112 94 97 103 109 85 94

Años Unidades

PM=3 PM=4

Suma M (X) Suma M (X)

2000 106

102.25

100.75

2001 112 312 104 409

2002 94 303 101 406

2003 97 294 98 403

2004 103 309 103 394

2005 109 297 99 391

2006 85 288 96

2007 94

En PM=4 , La M (X) esta localizada entre los 4 años considerados.

Grafico

Leyenda Unidades PM= 3 PM= 4

2. Método de Semipromedio

Se aplica cuando la tendencia es lineal.

Procedimiento.-

a) Se divide los valores de la serie en dos grupos que tengan el mismo numero de datos.

b) Se halla la media aritmética entre los cuales se traza una recta.

c) Cuando la serie es impar se puede realizar lo siguiente:

i) Agregar la mitad del valor central al valor total da cada parte.

ii) Agregar el valor total al valor total da cada parte.

iii) No considerar este valor central.

Aplicación

1. La adquisición de maquinas hilanderas para la industria textil desde 2001 al 2007 (en millones de nuevos soles) viene dado por la siguiente tabla:

Se pide:

a) Construir la grafica de la serie y aplicar el método de los semipromedios forma ii).

b) Calcular la recta de tendencia.

c) De acuerdo a la tendencia estimar para el 2008 y 2009.

Años 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Nº de Maq.

106 90 95 101 109 96 94

Años X Y Suma de grupos

Media de grupos

2001 0 106

2002 1 90

392 98

2003 2 95

2004 3 101

2005 4 109

400 100

2006 5 96

2007 6 94

Grafico

Leyenda Vta. Mill S/: Semipromedio

b) Recta de tendencia: Y = a +b X

Los puntos son: P(1.5, 98) y Q(4.5, 100)

Para P => 98 = a+1.5b

Para Q => 100 = a+4.5b

Si: a = 98-1.5b ===> Entonces : 100 = 98-1.5b+4.5b

100 = 98+3b

b = 2/3

Por lo tanto: a = 98-1.5(2/3)

a = 98-1 = 97

Y =97+2/3 X (estimado) Interpretación: La industria textil incremento las compras de maquinas hilanderas a razón de 2/3 (S/. 670,000) cada año.

3. Método de mínimos cuadrados.

Es el mejor método para obtener un ajuste lineal a una serie de datos. Es base para la identificación de componentes de tendencia de una serie de tiempo.

Estadísticamente una línea de tendencia no es una línea de regresión puesto que la variable dependiente “Y” no es una variable aleatoria, sino una serie de valores históricos para un periodo dado.

x1 x2 x3

Pto. observado

Pto. estimado

Desviación o error

Y = a + b X

Ecuaciones normales

1) ∑ Y = n * a + b ∑ X => a =( ∑ Y – b ∑ X ) ó a = M (Y) - b M (X)

2) ∑ XY = a ∑ X + b ∑ X2 ===> b = ∑ XY – n M (X) M (Y)

∑ X2 – n * (M (X))2

Ahora, considerando: Y = a + b X , donde x es el tiempo

Tomamos el punto medio de la serie como origen de análisis:

Tenemos : ∑ X = 0.

Nuevas ecuaciones normales

3) ∑ Y = n * a ===> a = ∑ Y / n = M (Y)

4) ∑ XY = b ∑ X2 ==> b = ∑ XY / ∑ X2

Ecuación lineal de tendencia: Y = M (Y) + (∑ XY/ ∑ X2) * X

Elección del origen o acidificación del tiempo

a) Numero impar de periodos

Origen = El año que resulte de la mitad del periodo.

Ejemplo: Serie de 9 años de 1999 a 2007

b) Numero par de periodos

Origen = Entre dos años que resulten del periodo medio.

Ejemplo: Serie de 8 años de 1999 a 2006

99 00 01 02 03 04 05 06 07

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Elección del origen o codificación del tiempo

b) Numero par de periodos

Situaciones:

i. Si deseamos mantener la unidad de tiempo en un año, entonces x para 2002 es -0.5; es decir ½ unidad de origen.

ii. Si unidad de tiempo es igual a 6 meses, cada año es 2 unidades de tiempo, entonces se multiplica la anterior escala.

Nota: Es también valido considerar el origen en el año inicial del periodo, pero se aplicaría para el calculo las formulas de las ecuaciones normales.

99 00 01 02 03 04 05 06

-3.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5

99 00 01 02 03 04 05 06

-7 -5 -3 -1 1 3 3 5

Elección del origen o acidificación del tiempo

Numero par de periodos

Aplicación

1. Se tiene a continuación la producción de Tractores en el Perú durante el periodo 2000 al 2007. Se pide:

a) Dibujar en una misma grafica la serie cronológica y la estimación de la tendencia por mínimos cuadrados según los dos formas:

i) Codificando: 2000=0

ii) Codificando: 2003=0

b) Hacer el pronóstico para 2007 e interprete.

Años 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Unid. 105 97 92 96 80 108 136

Estimación de la tendencia con mínimos cuadrados

a) Origen en el inicio

Se utiliza las ecuaciones normales:

)()( xbMyMa

Años X Y XY X 2̂2000 0 105 0 02001 1 97 97 12002 2 92 184 42003 3 96 288 92004 4 80 320 162005 5 108 540 252006 6 136 816 36Total 21 714 2245 91

2)^3(791)102)(3(7245,2

2))^((2^)()(

XMnXYMXnMXYb

b = 3.679

a = 102-3.679(3)

a = 90.964

Y (estimado)=90.964+3.679XY (2007) = 90.964+3.679(7)=116.72

Estimación de la tendencia con mínimos cuadrados

b) Origen en el medio

Se utiliza las nuevas ecuaciones normales:

Años X Y XY X 2̂2000 -3 105 -315 92001 -2 97 -194 42002 -1 92 -92 12003 0 96 0 02004 1 80 80 12005 2 108 216 42006 3 136 408 9Total 0 714 103 28

679.3b2^X

Y (estimado) = 102 + 3.679 X

Y (2007) = 102 +3.679(4)=116.72

102anYa )

Leyenda Unidades Tendencia (m.c)

Grafico de la tendencia

0 1 2 3 4 5 6

Y= 90.964+3.679X

Leyenda Unidades Tendencia (m.c)

Grafico de la tendencia

1-3 -2 -1 2 3

Y=102+3.679X

Series cronologicas y tendencias 2011

Economy & Finance

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