Post on 11-Jul-2020
Контрольные задания по темам:
"Неопределенный интеграл", "Определенный интеграл", "Функции нескольких
переменных", "Дифференциальные уравнения"
Вариант 1 (16)
I. Найти первообразную:
1) 24 ln
dx
x x ; 2)
3
2
arctg
1
xdx
x ; 3) sin2
xx dx ; 4)
2
5 7
2 10
xdx
x x
; 5) 5cos sinx xdx .
II. Вычислить определенные интегралы:
1) 4
2
2
sin xdx
; 2) 3
3
1
4 8 1x x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2 4y x x , 2y x ; 2) 6cos3 .
IV. Найти длину дуги линии:
5 sin ,
5 1 cos ,
x t t
y t
если 0 t .
V. Найти область определения функции:
z x y x y .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 22 3 8 4z x y x y в точке 0 1;1;1M .
VII. Найти xz и yz , если 2 2lnz x y .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 26 12 24 48z x x y y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 1 0x ydx x dy ; 2) 2x y dx xdy , если 1 0y ;
3) 4 3 2 5 xy y y x e .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 5 ,
3 .
x x y
y x y
Вариант 2 (17)
I. Найти первообразную:
1) 3sin cosx xdx ; 2)
21 arcsin
dx
x x ; 3) 2ln xdx ; 4)
2
4 1
6 8
xdx
x x
; 5) 3 9
dx
x .
II. Вычислить определенные интегралы:
1) 2
2
0
cos xdx
; 2) 2
2
1
3 6 5x x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2
2
xy , 0y , 2x , 4x ; 2) 4sin2 .
IV. Найти длину дуги линии:
2cos cos2 ,
2sin sin 2 ,
x t t
y t t
если 0 t .
V. Найти область определения функции:
2ln 2z y x .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 28 10 5z x y x y в точке 0 2;1; 25M .
VII. Найти xz и yz , если
y
xz e .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 24 8 6 16 24 5z x x y y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 2 9y dx x ydy ; 2) 3 2 22 2x y y x y , если 1 1y ; 3) 2 4 15y y y x .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: ,
10 .
x x y
y x y
Вариант 3 (18)
I. Найти первообразную:
1) arcsin
21
x dxe
x ; 2) 5sin xdx ; 3) 2 xxe dx
; 4) 2
5 4
8 20
xdx
x x
; 5) 3ln
dx
x x .
II. Вычислить определенные интегралы:
1) 4
0
cos3xdx
; 2) 1
2
2
6 8 3x x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2 4 3y x x , 0y ; 2) 3cos4 .
IV. Найти длину дуги линии: 2
2
cos sin cos ,2
sin cos sin ,2
tx t t t t
ty t t t t
если 0 1t .
V. Найти область определения функции:
1arcsin
xz
y
.
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 42 3 8 5z x y x y в точке 0 2;1;8M .
VII. Найти xz и yz , если 2 1 1sinz
x y
.
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 24 12 8 16 4z x x y y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 2
2
cos
9
yy
x
; 2) 2 2 2y x y x y , если 1 2y ; 3) 2 10 3siny y y x .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 2 ,
3 4 .
x x y
y x y
Вариант 4 (19)
I. Найти первообразную:
1) 7
2
tg 5
cos
xdx
x
; 2) 4 3 cosx xdx ; 3) 3sin cosxe xdx ; 4)
2
5 19
2 17
xdx
x x
;
5) 7sin xdx .
II. Вычислить определенные интегралы:
1) 2
4
sin 4 xdx
; 2) 2
2
2
3 2 15x x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) xy e , 0y , 1x , 2x ; 2) 6sin4 .
IV. Найти длину дуги линии:
2
3
12 ,
2
11 ,
3
x t t
y t
если 1 2t .
V. Найти область определения функции:
2 24z x y x .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 26 4 2 8z x y x y в точке 0 3; 2;48M .
VII. Найти xz и yz , если 3cos 2x yz .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 212 4 16 24 18z x x y y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 2 21 2y x x y ; 2) tgy
x y y xx
, если 16
y
; 3) 7 8 4 xy y y e .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 3 ,
3 .
x x y
y x y
Вариант 5 (20)
I. Найти первообразную:
1) 3
2
5 arcsin
1
xdx
x
; 2) 8cos sinx xdx ; 3) 3 2 sinx xdx ; 4)
2
8 15
6 13
xdx
x x
;
5) 4 2tg sin
dx
x x .
II. Вычислить определенные интегралы:
1) 12
3
cos6 xdx
; 2) 3
4
8 1x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2
1y x , 2 2y x ; 2) 1 cos .
IV. Найти длину дуги линии:
ln ,
arcsin ,
x t
y t
если
11
2t .
V. Найти область определения функции:
2 2ln 9z x y y .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 3ln ln 7z x y y x в точке 0 1;1;7M .
VII. Найти xz и yz , если arctgz x y .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 24 4 8 4z x x y y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 2 22 4x y y y ; 2)
y
xx y y xe , если 1 1y ; 3) 4 3y y x .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 5 ,
20 .
x x y
y x y
Вариант 6 (21)
I. Найти первообразную:
1) 21 arctg
dx
x x ; 2)
1
2 1
xdx
x
; 3) 2xe x dx ; 4)
2
7 3
8 12
xdx
x x
; 5) 2
sin
9 cos
xdx
x .
II. Вычислить определенные интегралы:
1)
2
sin 3cos2 3
x xdx
; 2)
2
3
6 7x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2
2
xy , 1
2
xy ; 2) 4cos6 .
IV. Найти длину дуги линии:
3 cos sin ,
3 sin cos ,
x t t t
y t t t
если 0 2t .
V. Найти область определения функции:
2arcsin
yz
x
.
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности:
2 25z x y x y в точке 0 3;4;13M .
VII. Найти xz и yz , если 2 2ln sin cosz x y .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 22 8 6 4 2z x x y y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 21y x y x y ; 2) x y
yy
, если
11
2y ; 3) 8 20 8 15y y y x .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 3 ,
5 .
x x y
y x y
Вариант 7 (22)
I. Найти первообразную:
1) 2
cos
16 sin
xdx
x ; 2) 2 3
dx
x x ; 3) ln 5x x dx ; 4)
2
8 13
4 40
xdx
x x
; 5) tg
2sin
c x dxe
x .
II. Вычислить определенные интегралы:
1)
2
2
sin 2 cos3
xx dx
; 2)
2
1
8 21x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2 3 2y x x , 2y x ; 2) 1 cos .
IV. Найти длину дуги линии:
2cos cos2 ,
2sin sin 2 ,
x t t
y t t
если 0
2t
.
V. Найти область определения функции:
24z x y x .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 3 9 12z x y x y в точке 0 1; 1; 3M .
VII. Найти xz и yz , если 3 1 1sinz
x y
.
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 24 6 6 12 12 5z x x y y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 1 2 x
y yy
; 2) 2 2x y x y y , если 1
2y
; 3) 9 6 xy y xe .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 5 8 ,
3 3 .
x x y
y x y
Вариант 8 (23)
I. Найти первообразную:
1) 4
2
3ctg 10
sin
xdx
x
; 2)
1 2 5
dx
x ; 3) cos
3
xx dx ; 4)
2
6 7
4
xdx
x
; 5) 5
2 31x x dx .
II. Вычислить определенные интегралы:
1)
3
22
4
cos2
xdx
; 2)
2
3
4 7x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2 6 5y x x , 2 2y x ; 2) 3 1 cos .
IV. Найти длину дуги линии:
sin cos ,
cos sin ,
t
t
x e t t
y e t t
если 0 1t .
V. Найти область определения функции:
ln 1z x y .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 26 4 7z x x y x y в точке 0 2; 1; 1M .
VII. Найти xz и yz , если 2ctg ln lnz x y .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 3 3 3z x y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 2
3
1
y y y
x x
; 2)
yy
x , если 2y e e ; 3) 7sin 5cosy y x x .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 2 ,
4 3 .
x x y
y x y
Вариант 9 (24)
I. Найти первообразную:
1) 2xxe dx ; 2)
4
1 4
x dx
x
; 3) 2ln xdx ; 4)
2
8 16
2 8
xdx
x x
; 5) 2sin 3 1x x dx .
II. Вычислить определенные интегралы:
1) 4
3
2
sin cosx xdx
; 2)
1
3
6 5x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2 2 4y x x , 2y x ; 2) 7cos2 .
IV. Найти длину дуги линии:
2
2
2 sin 2 cos ,
2 cos 2 sin ,
x t t t t
y t t t t
если 0 t .
V. Найти область определения функции:
lnz x y x y .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 24 7 9z x y x y в точке 0 3;1;6M .
VII. Найти xz и yz , если cos 2x yz .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 2 8 10 7z x y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 2 21 1x y dx y x dy ; 2) siny y
yx x
, если 12
y
; 3) 4 4 2 xy y y xe .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: ,
4 5 .
x x y
y x y
Вариант 10 (25)
I. Найти первообразную:
1) 2ln
dx
x x ; 2) 32 xx e dx ; 3) 3 1 cos
2
xx dx ; 4)
2
3 10
3 2
xdx
x x
; 5) 2 7
1 5
xdx
x
.
II. Вычислить определенные интегралы:
1) 2
sin 2 3cos2
xx dx
; 2)
1
2
4 1x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 26 2y x x , 2y x ; 2) 4sin .
IV. Найти длину дуги линии:
sin 2 ,
cos2 ,
x t t
y t t
если
10
2t .
V. Найти область определения функции:
4 1z x y .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 23
6
x yz
точке 0
11;1;
3M
.
VII. Найти xz и yz , если arctgz x y .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 24 4 6 8 6z x x y y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 2arcsin 1 1y xdx x y dy ; 2) 2
2
x y yy
x
, если 1 1y ;
3) 212 20 4 3 5y y y x x .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 5 4 ,
2 3 .
x x y
y x y
Вариант 11 (26)
I. Найти первообразную:
1) 31 ln 1
dx
x x ; 2) 3
1 3
xdx
x
; 3) cos
3
xx dx ; 4)
2
3 5
4 5
xdx
x x
;
5) cos sinxe xdx .
II. Вычислить определенные интегралы:
1) 2
2
0
sin xdx
; 2) 3
2
4 9x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2 2y x x , y x ; 2) 3cos4 .
IV. Найти длину дуги линии:
3cos cos3 ,
3sin sin3 ,
x t t
y t t
если 0
2t
.
V. Найти область определения функции:
2 29z x y x y .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 2
2x yz точке 0 1;1;4M .
VII. Найти xz и yz , если 2 23 3y xz x e y e .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 28 4 16z x x y y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 2
2
9
x yy
x
; 2)
x yy
x y
, если 1 0y ; 3) 4 3 8 5y y y x .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 2 ,
4 .
x x y
y x y
Вариант 12 (27)
I. Найти первообразную:
1) 24 sin 2 3x x dx ; 2) 9
xdx
x ; 3)
5
2
arctg
1
xdx
x ; 4) 2
5 8
6 25
xdx
x x
; 5) 2 xxe dx
.
II. Вычислить определенные интегралы:
1) 4
2
sin3xdx
; 2) 2
2
2
3 4 1x x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2
2
xy , 2y x ; 2) 6sin3 .
IV. Найти длину дуги линии:
cos ,
sin ,
t
t
x e t
y e t
если 0 1t .
V. Найти область определения функции:
arcsin3
x yz
.
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 3 3 9z x y x y точке 0 1;1;9M .
VII. Найти xz и yz , если 2 2
ln x yz e e .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 24 8 12 24 48z x x y y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 1 1x ye e y ; 2) 2cosy y
yx x
, если 14
y
; 3) 4 2 10y y x .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 8 ,
.
x x y
y x y
Вариант 13 (28)
I. Найти первообразную:
1) 2
cos
16 sin
dx
x ; 2) xe dx ; 3) 3sin xdx ; 4)
2
8 5
4 5
xdx
x x
; 5) 2 xxe dx
.
II. Вычислить определенные интегралы:
1)
2
cos2
xdx
; 2) 1
3
8 7x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2 4y x x , 0y ; 2) 3cos4 .
IV. Найти длину дуги линии: 3
3
2cos ,
2sin ,
x t
y t
если 02
t
.
V. Найти область определения функции:
2 24 9z x y .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности:
2 2z x y точке 0 3;4;5M .
VII. Найти xz и yz , если 2tgy
zx
.
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 22 6 10 18z x x y y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 2cos3 siny x y ; 2) 2x yy e , если 0 0y ; 3) 4 15y y x .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 2 ,
3 4 .
x x y
y x y
Вариант 14 (29)
I. Найти первообразную:
1) 10
3 25x x dx ; 2) 2 xx e dx ; 3) 3cos xdx ; 4) 2
6 11
8 15
xdx
x x
; 5) 2
1 2
xdx
x
.
II. Вычислить определенные интегралы:
1)
3
2
4
sin 2 xdx
; 2)
2
1
8 1x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 22 4y x x , 2y x ; 2) sin .
IV. Найти длину дуги линии:
2
arctg ,2
1ln 4 ,
2
tx
y t
если 0 1t .
V. Найти область определения функции:
ln 2z y x .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности: 2 22 5 8 17z x y x точке 0 2;1;14M .
VII. Найти xz и yz , если 2 2arcsin 1z x y .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 2 8 4z x y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 0x y x dx x y y dy ; 2) 2 x
yy
, если 1 2y ; 3) 8 15 siny y y x .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: ,
.
x y
y x
Вариант 15 (30)
I. Найти первообразную:
1) 2 21 arctg
dx
x x ; 2) ln 1 x dx ; 3) 7sin cosx xdx ; 4)
2
3 10
6 25
xdx
x x
; 5)
7
1 7
xdx
x
.
II. Вычислить определенные интегралы:
1) 2
3
sin2
xdx
; 2) 1
3
2 13x dx
.
III. Вычислить площадь:
1) 2 6y x x , 4y x ; 2) 2cos2 .
IV. Найти длину дуги линии:
sin3 ,
cos3 ,
x t t
y t t
если 1 0t .
V. Найти область определения функции:
2 2 1z x y x y .
VI. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности:
2 2z x y x y точке 0 3;4;17M .
VII. Найти xz и yz , если ctg yz x .
VIII. Исследовать функцию на экстремум: 2 22 8 4 16 32z x y x y x y .
IX. Решить дифференциальные уравнения:
1) 2 5
sin 4
xy
y
; 2) 2sin
y yy
x x , если 1
4y
; 3) 39 6 xy y e .
X. Решить систему дифференциальных уравнений: 2 ,
3 2 .
x x y
y x y