8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 1/27

7/4/2012 SUGENG2010 1

METODE NUMERIK 

JURUSAN TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIK 

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

Copyright 1996-98 © Dale Carnegie & Associates, Inc.

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 2/27

Kesalahan (ERROR):

Selisih antara

nilai perkiraan dengan

nilai eksak(nilai sesungguhnya)

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 3/27

Jika ã adalah nilai perkiraan (nilai pendekatan)

a adalah nilai eksak

Maka kesalahan atau error adalah :

ε= ã - aatau

ã = a + ε

nilai pendekatan = nilai eksak + kesalahan

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 4/27

 sedangkan Kesalahan Relatif (εr )

adalahPerbandingan antara kesalahan terhadap nilai

eksak 

εr = eksak nilai

error 

a

aa

a  

~

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 5/27

Contoh soal :

Pada saat mengukur panjang sebuah

 jembatan dan sebuah paku masing-masing 9999cm dan 9cm,jika nilai

eksak masing-masing adalah 10000cm

dan 10cm,hitunglah kesalahan relatif

yang terjadi!

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 6/27

ε jembatan=10000  –  9999 =1cm

εpaku = 10

 – 

9 = 1 cm

maka : 

εr  jembatan =

εr paku =

%01.0

10000

1

%1010

1

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 7/27

Soal 2

Berdasarkan deret Maclaurin :

!n

x.........

!3

x

!2

xx1

n32ex =

Hitung e0,5,jika nilai eksak e0,5=1,648721271

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 8/27

Penyelesaian :

Jika kita melakukan pendekatan dengan hanya

menggunakan dua suku pertama maka:

ex=1+xe0,5=1+0,5 = 1,5

9,02%11,64872127

1,511,64872127εr 

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 9/27

  kar persamaan NonLinear

Pada matematika Rekayasa sering kali kita harus

menentukan akar-akar persamaan sebuah fungsi yangberbentuk f(x)=0,jika dilakukan pendekatan nilai x=smaka f(s)=0 dengan f adalah fungsi yang diberikandan s adalah nilai pendekatan.

Formula yang memberikan nilai-nilai eksak untukmenjawab masalah numerik akan terjadi jika

permasalahan yang ada adalah masalah sederhana.

Pada beberapa kondisi maka diperlukan metode iterasiagar didapatkan hasil pendekatan yang mendekatinilai eksak.

Jadi untuk menentukan nilai x tersebut diatasdilakukan tahap demi tahap mulai darix0,x1,x2,x3,x4……..

Yang perlu dicatat adalah persamaan harus disusunulang menjadi bentuk f(x) = 0

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 10/27

cara yang umum digunakan untuk memecahkan akar-

akar persamaan Non Linier adalah dengan

menggunakan metode :

Newton RaphsonModified Newton Raphson

Bisection

Secant

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 11/27

Bisection MethodAlgoritma penyelesaian:

•   Tetapkan nilai awal xn  dan x

n+1 dengan syarat

f(xn) x f(xn+1) < 0

•   Hitung:

•   Hitung harga f(xr ).Jika,

f(xr ) x f(xn) > 0 maka xn = xr 

f(xr ) x f(xn) < 0 maka xn+1 = xr 

•   Hitung kesalahan

2

1   nnr 

 x x x

1

1

n

nn

 x

 x x

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 12/27

Contoh:

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x

dengan metode bisection

Jawab:

Susun ulang persamaan menjadi x tan x  – 1 = 0

Sehingga f(x) = x tan x  – 1

Dicoba nilai awal : xn = 0,5  f(xn) = -0.72685

xn+1 = 1 

f(xn+1) = 0,55741

x r  = (0,5 + 1 ) / 2 = 0,75  f(xr ) = -0,3013

Karena f(xn) x f(x

r ) > 0 maka x

n = 0,75

Cek error:

Ulangi langkah di atas sampai error mendekati nol

25,01

75,011

n

nn

 x

 x x

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 13/27

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 14/27

Newton-Raphson Method

Algoritma penyelesaian:

•   Tetapkan nilai awal x = xn

•   Hitung:

•   Cek kesalahan:

•   Jika kesalahan > toleransi, ulangi langkah di atas

sampai dengan kesalahan dalam batas toleransi

)('

)(1

n

nnn

 x f  

 x f   x x

1

1

n

nn

 x x x

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 15/27

Contoh Soal :

Tentukan besarnya akar positif dari persamaan berikut :

X3 + √3(x2) - 2x =2√3

JAWABAN :

Dengan menggunakan Formula Newton :

)(')( )(

)(

)1(n

n

nn

 x  f   x  f   x x

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 16/27

f(x)= x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0

f’(x)= 3x2 + 2√3(x) - 2

coba x(0) = 1,7

f(x0) = 3,0545

f’(x0)= 12,559

46,1559,12

0545,37,1)('

)()0(

)0(0)1(

 x f  

 x f   x x

4,1452,942,046,1

)(')()1(

)1(

1)2(

 x f   x f   x x

coba x(1) = 1,46

f(x1) = 0,42

f’(x1)= 9,452

coba x

(2)

= 1,4f(x2) = -0,125

f’(x2)= 8,73

4,173,8

)125,0(4,1)('

)()2(

)2(2)3(

 x f  

 x f   x x

karena x(2) = x(3) maka proses iterasi sudah selesai.

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 17/27

Jika dianggap bahwa akar persamaannya adalah x = 1,4, maka

 jika disubtitusikan ke dalam persamaan semula :

f(x) = x3 + √3(x2) – 2x - 2√3 = 0f(1,4) = (1,4)3 + √3(1,4)2 – 2(1,4) - 2√3

f(1,4) = - 0,125 ~ 0

Catatan : tingkat ketelitian adalah satu angka di belakang koma

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 18/27

Demikian juga jika akan menyelesaikan dua buah persamaan dengan dua

variabel yang tidak diketahui :

f 1 (x1,x2) = 0f 2 (x1,x2) = 0

Maka dengan cara yang sama Metode Newton dapat ditulis sebagai berikut

1

)(

2

)(

11

)(

2

)(

11)(1

)1(1

),(),(

 x

 x x  f   x x  f   x x

nn

nn

nn

2

)(

2

)1(

12

)(

2

)1(

12)(

2

)1(

2),(

,(

 x

 x x  f   x x  f   x x

nn

nn

nn

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 19/27

2x1 – x2 = -3

x1 – 2x2 = -3

Solusi eksak : x1 = -1

x2= 1

f 1(x1,x2) = 2x1 – x2 + 3

f 2(x1,x2) = x1 – 2x2 + 3

2

32

2

32

2),(

2),(

)(2

)1(1)(

2)1(

2

)(

2

)(

1)(

1)1(

1

2

212

1

211

nnnn

nnnn

 x x x x

 x x x x

 x

 x x  f  

 x

 x x  f  

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 20/27

Untuk mencoba awal digunakan :

x1(0) = x2

(0) = 0 dan ω = 1,maka :

x1(1) = -(3/2),x2

(1) = (3/4)

x1(2) = -(9/8),x2

(2) = (15/16)

x1(3) = -(33/32),x2

(3) = (63/64), dst

Sehingga sampai didapat x1(n+1) = x1

(n) = -1

x2(n+1) = x2

(n) = 1 konvergen

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 21/27

Modified Newton-Raphson Method

Untuk sistem persamaan yang panjang,penghitungan nilai turuan yang terus menerus

akan menyebabkan proses hitungan dalamiterasi cukup lama.

Modifikasi metode Newton-Raphson dilakukandengan mengambil nilai turunan pada iterasi

pertama untuk digunakan pada setiap iterasiberikutnya

Misal diambil nilai awal x = x0 mak proses iterasi

menjadi:

)('

)(

0

1 x f  

 x f   x x   n

nn

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 22/27

Contoh:

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x

dengan metode modified newton-raphson

Jawab:

Susun ulang persamaan menjadi x tan x  – 1 = 0

Sehingga f(x) = x tan x  – 1 dan f’(x) = tan x + x sec 2 x

Dicoba nilai awal : x0 = 1  f(x0) = 0,55741

f’(x0) = 4,98293

Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan

98293,4

1tan1

nnnn

 x x x x

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 23/27

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 24/27

Secant MethodAlgoritma penyelesaian:

•   Tetapkan nilai awal xn-1

dan xn

•   Hitung:

•   Hitung kesalahan:

•   Jika ε > toleransi, maka xn = xn+1 dan xn-1 = xn

ulangi langkah di atas sampai dengan akar persamaan x = xn

)()(

))((

1

11

nn

nnnnn

 x f   x f  

 x x x f   x x

1

1

n

nn

 x x x

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 25/27

Contoh:

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan tan x = 1/x

dengan metode secant

Jawab:

Susun ulang persamaan menjadi x tan x  – 1 = 0

Sehingga f(x) = x tan x  – 1

Dicoba nilai awal : xn = 1 dan xn -1 =1,1

Proses iterasi selanjutnya menggunakan persamaan

1tan1tan1tan11

11

nnnn

nnnnnn

 x x x x x x x x x x

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 26/27

8/16/2019 Sistem Persamaan Non Linier .

http://slidepdf.com/reader/full/sistem-persamaan-non-linier- 27/27

 stop