Sistemas Automáticos

Tema 5Lugar de las RaícesContenido• Respuesta dinámica de un sistema• Respuesta dinámica de un sistema en bucle cerrado• Definición de Lugar de las Raíces (LR)• Ecuación Característica• Criterio del Argumento• Criterio del Módulo• Reglas de Trazado del Lugar de las Raíces• Ejemplo

El comportamiento dinámico de unsistema viene dado por los polos dela f.d.t. (raíces de la ecuacióncaracterística)

y(t)

Los ceros tambiéninfluyen a través de loscoeficientes (pesos) delos modos transitorios

Respuesta Dinámica de un Sistema

Captador

Σ+

-

U(s)C(s) ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

H(s)

G(s)

Respuesta Dinámica de un Sistemaen Bucle Cerrado

La dinámica del sistemaviene dada principalmente porlas raíces de la ec. característica

Problemas:• Difícil si el orden de la

ec. caract. >=3• Habitualmente,

necesario recalcularlosen función de unparámetro (ej.: K)

Definición de Lugar de las Raíces (LR)

Definición:El L.R. es el lugar geométrico en elplano complejo que ocupan las raícesde la ecuación característica cuandovaría el parámetro K

Captador

Σ+

-

U(s)C(s) ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

K=5 K=10 K=16 K=20

El método del L.R. parte de la ecuación característica factorizada de lasiguiente forma:

Ecuación Característica

Criterio del Argumento

Criterio del Módulo

s-p 1

s-p4 s-p3 s-z1s-p2

p3p4 p2 p1z1

s

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

θpi

Todo punto s del LR debesatisfacer esta condicióngeneral.

Ejemplo:

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

1 2

3

4

Ramas Independientes

Lugar en el eje real

Simetría respecto aleje real

Puntos decomienzo del LR

Puntosfinales del LR

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

θ

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

pi

θp2

θz1θp1

θ

p1

p2

z1

Re

Im

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

Reglas de Trazadodel Lugar de las Raíces

Captador

Σ+

-

U(s)C(s) ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

Función de transferencia en bucle abierto:

-2-5-7-10-20

2

3

14

-2-5-7-10-20

-2-5-7-10-20

-2-5-7-10-20

Centroide, Asíntotas y Punto de Dispersión

centroideσc=10

Asíntotas

Pto. dispersión

Lugar de las Raíces final

-2-5-7-20 -10

+j14.439

-j14.439

Lugares de las Raícesbásicos

LR básicos: 1 polo real

LR básicos: 2 polos reales

LR básicos: 2 polos complejos

LR básicos: 3 polos reales

LR básicos: 3 polos (2 complejos + 1 real)

LR básicos: 4 polos

LR básicos: 1 polo + 1 cero

LR básicos: 2 polos + 1 cero

LR básicos: 3 polos + 2 ceros

LR básicos: 3 polos + 1 cero

LR-i básicos: 1 polo

LR-i básicos: 2 polos reales

LR-i básicos: 3 polos reales

LR-i básicos: 1 polo real + 2 polos complejos

LR-i básicos: 2 polos reales + 1 cero

LR-i básicos: 3 polos reales + 1 cero

Captador

Σ+

-

U(s)C(s)

ε(s)

Ycap(s)

PlantaRegulador

Y(s)K

Determinar el comportamiento del sistema realimentado en funciónde la constante de tiempo, τ, del captador para K=1

Solución:

La ecuación característica será:

Reordenando términos…

El problema queda planteado en términos de un LR:

El LR tiene 3 ceros…

… y dos polos

τ pequeñas:comportamientooscilatorio

τ=0.688:polo dobleamort. crítico τ=1:

3 polos realessobreamort.T = 2.6 seg

τ=10:3 polos realessobreamort.muy lentoT = 32 seg.

ConclusiónVemos cómo un captador lentoinfluye negativamente en elcomportamiento del lazoralentizándolo