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Sistemas de Control Continuo: Revisin
El objetivo de este captulo es revisar brevemente los principales conceptos del control
continuo sistemas. La presentacin es tal que permitir en una etapa posterior un fcil la
transicin a sistemas de control digitales.
La materia objeto manejado se refiere a la descripcin de los modelos de tiempo continuo
en los dominios de tiempo y frecuencia, las propiedades de los sistemas de circuito
cerrado y PI y los controladores PID.
1.1 Modelos en tiempo continuo
1.1.1 Dominio del Tiempo
Ecuacin 1.1.1 da un ejemplo de una ecuacin diferencial que describe un sencillo sistema
dinmico:
En la Ecuacin 1.1.1 u representa la entrada (o la de control) del sistema e y el de salida.
Esta ecuacin puede ser simulado por medio continuo como se ilustra en Figura 1.1.
La respuesta de paso se ilustra en la Figura 1.1 revela la velocidad de la salida variaciones,
que se caracteriza por la constante de tiempo T, y el valor final, caracterizado por la
ganancia esttica G.
Figura 1.1. Respuestas de simulacin y hora del sistema dinmico descrito por la ecuacin
1.1.1 (I - integrador) Usando el operador diferencial p = d / dt, la ecuacin 1.1.1 se
escribe como
Para los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales como en la Ecuacin 1.1.1 nos
distinguir tres tipos de tiempo de respuesta:
. 1 La respuesta de "libre" : corresponde a la respuesta del sistema a partir de una
condicin inicial y (0) = y0 y por un idnticamente cero de entrada para todo t ( u = 0 ,
t ) .
. 2 La respuesta " forzado " : corresponde a la respuesta del sistema a partir de un
idnticamente cero condiciones iniciales y ( 0 ) = 0 y para una entrada no - cero u (t )
para todo t 0 (u ( t) = 0, t < 0 ; u ( t) 0 , t 0 e y (t ) = 0 para t 0 ) .
. 3 La respuesta "total" : representa la suma de la " libre" y " forzada"
respuestas (el sistema es lineal , se aplica el principio de superposicin ) .
Sin embargo ms adelante vamos a considerar por separado la respuesta "libre" y "
forzada"respuesta .
1.1.2 Dominio de la Frecuencia
Las caractersticas de los modelos de la forma de la ecuacin 1.1.1 tambin se pueden
estudiar en el dominio de la frecuencia . La idea es entonces para estudiar el
comportamiento del sistema cuando el de entrada u es una sinusoidal o una entrada de
cosenoidal que vara en un rango dado de frecuencias .
Recuerde que
y, en consecuencia, se puede considerar que el estudio del sistema dinmico descrito por
una ecuacin del tipo 1.1.1, en el dominio de la frecuencia, corresponde a el estudio de la
salida del sistema para las entradas del tipo u (t) = ejt
Dado que el sistema es lineal, la salida ser una seal que contiene slo el la frecuencia,
la entrada se amplifica o atena (y, posiblemente, un retardo de fase lo har aparecer)
La figura 1.2 ilustra el comportamiento de un sistema para una entrada u (t) = ejt. Sin
embargo no hay nada que nos impida considerar que se forma la entrada por sinusoides y
cosinusoids, que en este caso se escriben amortiguadas o no amortiguadas como
donde s se interpreta como una frecuencia compleja. Como resultado de la linealidad de
la sistema, la salida ser reproducir la seal de entrada, amplificada (o atenuada), con un
retardo de fase o no, dependiendo de los valores de s; es decir, la salida tendr la forma
y debe satisfacer la Ecuacin 1.1.1 para
Figura 1.2. Respuesta de un sistema dinmico a las entradas peridicas
De la ecuacin 1.1.6 se obtiene
e introduciendo la Ecuacin 1.1.7 de la Ecuacin 1.1.1, mientras que teniendo en cuenta
que Se obtiene
1 est es una funcin propia del sistema, ya que sus propiedades funcionales se mantienen
al pasara travs del sistema (slo la amplitud y la fase se modifican).
H (s), que da la ganancia y la desviacin de fase introducida por el sistema de Ecuacin
1.1.1 a diferentes frecuencias complejas, se conoce como la funcin de transferencia.
La funcin H (s) de transferencia es una funcin de slo la variable compleja s. lo
representa la relacin entre la salida del sistema y de entrada cuando la entrada es est
Desde Ecuacin 1.1.8, resulta que, para el sistema descrito por la ecuacin 1.1.1, la
funcin de transferencia es
La funcin H (s) de transferencia generalmente aparece como una relacin de dos
polinomios en s (H (s) = B (s) / A (s)). Las races del polinomio numerador (B (s)) definen los
"ceros" de la funcin de transferencia y las races del polinomio denominador (A (s))
definir los "polos" de la funcin de transferencia. Los "ceros" corresponden a los
complejos frecuencias para las que la ganancia del sistema es nula y los "polos" como las
especifica frecuencias complejas para las que la ganancia del sistema es infinito.
Tenga en cuenta que la funcin de transferencia H (s) se puede obtener tambin por otros
dos tcnicas:
Sustituir p por s en la Ecuacin 1.1.2 y la computacin algebraica de la y / u relacin.
El uso de la transformada de Laplace (Ogata 1990).
El uso de la representacin de los modelos dinmicos en la forma de transferencia
funciones presenta un cierto nmero de ventajas para el anlisis y sntesis de sistemas de
control de bucle cerrado. En particular, la concatenacin de los modelos dinmicos
descrito por funciones de transferencia es extremadamente fcil.
1.1.3 Estabilidad
La estabilidad de un sistema dinmico est relacionada con el comportamiento asinttico
de la sistema (cuando t), a partir de una condicin inicial y por un idnticamente cero de
entrada.
Por ejemplo, considere el sistema de primer orden descrito por el diferencial
Ecuacin 1.1.1 o por la funcin de transferencia dada en la Ecuacin 1.1.9. Considere la
posibilidad de la respuesta libre del sistema dado en la Ecuacin 1.1.1 para y desde una
condicin inicial y (0) = y0:
Una solucin para y ser de la forma
en la que K y s se han de determinar 2. De la Ecuacin 1.1.11 se encuentra
y la ecuacin se convierte en 1.1.10
a partir del cual se obtiene
y respectivamente
La respuesta para T> 0 y T 0, tenemos que s
La respuesta de un sistema estable es generalmente de la forma mostrada en la Figura
1.5.
Figura 1.5. respuesta gradual
La respuesta de paso se caracteriza por un cierto nmero de parmetros:
tr (tiempo de subida): generalmente se define como el tiempo necesario para alcanzar el
90% de la valor final (o como el tiempo necesario para que la salida pasar de 10 a 90% de
el valor final). Para los sistemas que presentan un rebasamiento del valor final, o que
tienen un comportamiento oscilante, solemos definir el tiempo de subida como el tiempo
necesario para alcanzar por primera vez el valor final. Posteriormente se deber en
general, utilizar la primera definicin de tR.
TS (tiempo de sedimentacin): se define como el tiempo necesario para la salida de
alcanzar y permanecer dentro de una zona de tolerancia alrededor del valor final ( 10%,
5% 2%).
FV (valor final): un valor de salida fijo obtenido para t .
M (sobrepaso mximo): expresado como un porcentaje del valor final.
Por ejemplo, considere el sistema de primer orden
La respuesta de paso para un sistema de primer orden est dada por
Dado que la entrada es un paso unitario uno tiene FV = G (ganancia esttica); tR = 2.2 T
tS = 2.2 T (para 10% FV); ts = 3 T (para 5% FV); M = 0 y la respuesta de un sistema de
este tipo est representado en la Figura 1.6. Tenga en cuenta que para t = T, la salida
alcanza 63% del valor final.
Figura 1.6. Respuesta al escaln de un sistema de primer orden
1.1.5 Respuesta de frecuencia
La respuesta de frecuencia de un sistema dinmico se estudi y caracteriz por entradas
peridicas de frecuencia variable pero de magnitud constante. Para continuoustime
sistemas, la caracterstica de ganancia de frecuencias se representa en una doble escala
logartmica y la caracterstica de frecuencia de fase se representa en un escala logartmica
slo para el eje de frecuencia.
Figura 1.7 . respuestas de frecuencia
La ganancia G ( ) = | H ( jw ) | se expresa en dB ( | H ( jw ) | dB = 20 log | H ( jw ) | ) enel
eje vertical y la frecuencia , expresan en rad / s ( = 2 f donde frepresenta la
frecuencia en Hz ) se representa en el eje horizontal . Figura 1.7 da algunas curvas tpicas
de respuesta de frecuencia .
Los elementos caractersticos de la respuesta de frecuencia son :
fB ( B ) ( ancho de banda) : la frecuencia ( frecuencia en radianes ) a partir del cual la
zerofrequency( estado de equilibrio ) de ganancia G ( 0 ) se atena ms de 3 dB ;G ( ) G ( 0
) 3 dB ; B = - (G () 0,707 g ( 0 ) ) B = .
FC ( C ) ( frecuencia de corte ) : la frecuencia ( rad / s ) de la cual la atenuacin
introducido con respecto a la frecuencia cero es mayor que N dB ;Gj G N. dB C ( ) = ( 0) -
.
Q ( factor de resonancia ) : la relacin entre la ganancia correspondiente a lamximo de
la curva de respuesta de frecuencia y el valor G ( 0 ) .
Pendiente: se refiere a la tangente a la caracterstica de frecuencia de ganancia en
uncierta regin . Depende del nmero de polos y ceros y en su distribucin de frecuencias
.
Considrese, como un ejemplo , el sistema de primer orden caracteriza por la
transferencia funcin dada por la Ecuacin 1.1.9 . Para s = jw la funcin de transferencia
de la ecuacin 1.1.9 se reescribe como
donde | H (jw) | representa el mdulo (ganancia) de la funcin de transferencia y ()
la desviacin de fase introducido por la funcin de transferencia. Tenemos, pues,
De la Ecuacin 1.1.17 y de la definicin de la B ancho de banda, se obtiene:
Utilizando la Ecuacin 1.1.18, se deduce que para = B el sistema introduce
una fase desviacin ( B) = -45 . Tambin tenga en cuenta que para = 0, G (0) = G,
(0) = 0 y para , G () = 0, () = -90 .
La figura 1.8 muestra las caractersticas exactas y asintticas de frecuencia a una de
primer orden sistema (ganancia y fase).
Como regla general, cada polo estable introduce una inclinacin de -20 asinttica dB /
diciembre (o 6 dB / octava) y un retardo de fase asinttica de -90 . Por otra parte, cada
uno cero estable introduce una pendiente asinttica de 20 dB / diciembre y un asinttica
desplazamiento de fase de 90 .
De ello se deduce que la pendiente asinttica de la caracterstica de ganancia de
frecuencia en dB, para altas frecuencias, viene dada por
donde n es el nmero de polos y m es el nmero de ceros.
Figura 1.8. Caracterstica de frecuencia de un sistema de primer orden
La relacin
da la desviacin de fase asinttica.
Tenga en cuenta que el tiempo de subida (TR) para un sistema depende de su ancho de
banda (B). nosotros tener la relacin aproximada
1.1.6 Estudio del sistema de segundo orden
La ecuacin diferencial normalizado para un sistema de segundo orden est dada por:
Mediante el operador p = d / dt, Ecuacin 1.1.21 se reescribe como
Dejar que u (t) = est en la Ecuacin 1.1.21, o p = s en la Ecuacin 1.1.22, el normalizado se
obtiene la funcin de transferencia de un sistema de segundo orden:
en la que
0: Frecuencia natural en rad / s (0 = 2 f0)
: factor de amortiguamiento
Las races de la funcin de transferencia de denominador (polos) son
a) | | 0: sistema asintticamente estable
diagrama hace que sea posible determinar tanto la respuesta de un segundo-orden
dado sistema y los valores de 0 y , con el fin de obtener un sistema que tiene un
aumento dado (o resolver) el tiempo y rebasamiento.
Para ilustrar esto, considrese el problema de determinar 0 y de modo que el
aumento tiempo (0 a 90% del valor final) es 2.75s con un sobrepaso mximo 5%.
desde La figura 1.10, se ve que con el fin de garantizar un sobreimpulso 5% debemos
elegir = 0,7. El correspondiente tiempo de elevacin normalizada es: 0 tM 2,75.
Puede ser lleg a la conclusin de que para obtener un tiempo de subida de 2.75s, 0
= 1 rad / seg debe ser tomada.
Figura 1.10. Respuestas de frecuencia normalizada de un sistema de segundo orden a
una entrada escaln
Figura 1.11. Sistema de segundo orden: a) sobreimpulso M mxima como una funcin
de la amortiguacin factor de ; b) tiempo de subida normalizada en funcin de
Con el fin de hacer ms fcil la determinacin de 0 y para un tiempo de subida t _
dado y un dado mxima M sobreimpulso, el grfico de M en funcin de y la grfica de
0 tR como una funcin de se han representado en la figura 1.11a, b. La curva dada
en la figura 1.11a permite elegir el factor de de amortiguacin para un dada mximo
sobreimpulso M. Una vez que el valor de elegido, la figura 1.11b da el valor
correspondiente de tR 0. Esto permite determinar 0 para un aumento dado tiempo
tR.
Las funciones omega_damp.sci (Scilab) y omega_damp.m (MATLAB ) permiten
obtener los valores de 0 y directamente del rebasamiento deseado y aumentando
tiempo.
Figura 1.12. Respuestas de frecuencia normalizada de un sistema de segundo orden
(ganancia) El TS de tiempo de sedimentacin, para diferentes valores de y de la zona
de tolerancia en torno a el valor final, se puede determinar a partir de las respuestas
normalizadas indicadas en la figura 1.10.
Figura 1.12 proporciona las respuestas de frecuencia normalizado para un segundo
orden sistema.
1.1.7 Los sistemas con tiempo de retardo
Muchos procesos industriales exhiben una respuesta de paso de la forma mostrada en
la Figura 1.13. El perodo de tiempo durante el cual la salida no reacciona a la entrada
es llamado retardo de tiempo (indicado por ).
Un sistema dinmico de primer orden con un retraso de tiempo es descrito por la
siguiente ecuacin diferencial:
donde el argumento de u (t - ) refleja el hecho de que la entrada actuar con un
tiempo retraso de . Ecuacin 1.1.27 se va a comparar con la ecuacin 1.1.1.
La funcin de transferencia correspondiente es
en la que E-s representa la funcin de transferencia de la de retardo de tiempo.
Figura 1.13. Respuesta al escaln de un sistema con retardo de tiempo Ecuaciones
1.1.27 y 1.1.28 se puede ampliar sin rodeos a la orden de alto sistemas con retardo de
tiempo.
Tenga en cuenta que para los sistemas con tiempo de retardo del tiempo de subida tR
se define generalmente desde t = .
Las caractersticas de frecuencia del retardo de tiempo se obtienen mediante la
sustitucin de s = jw en e-s. Obtenemos entonces
Con
Por lo tanto un retardo de tiempo no modifica la ganancia del sistema, pero introduce
una fase desviacin proporcional a la frecuencia.
1.1.8 Sistemas para no mnimas de fase
Para los sistemas de tiempo continuo (exclusivamente), sistemas de fase no mnima
tienen una o ceros ms inestables. En el caso de tiempo continuo, el efecto principal
de inestable ceros es la aparicin de un sobreimpulso negativo en el comienzo de la
etapa de respuesta, como se muestra por ejemplo en la Figura 1.14. El efecto de la
inestable ceros no se vean compensadas por el controlador (se debe usar un
controlador inestable).
Figura 1.14. Respuestas de escaln de un sistema de fase no mnima (H (s) = (1-sa) / (1
+ s) (1 0,5 s), A = 1,0.5) Como ejemplo, consideremos el sistema
con a = 1 y 0,5. La figura 1.14 representa la respuesta al escaln del sistema.
1.2 Sistemas de bucle cerrado
La figura 1.15 muestra un sistema de control simple. y (t) es la salida plant4 y
representa la variable controlada, es la entrada (seal de control) se aplica a la planta
por el controlador (variable manipulada) y r (t) es la seal de referencia.
Figura 1.15. sistema de control
Los sistemas de control tienen una estructura de bucle cerrado (la seal de control es
unafuncin de la diferencia entre la referencia y el valor medido de la variable
controlada) y contiene al menos dos sistemas dinmicos (la planta y el controlador).
Examinaremos en esta seccin el clculo de la transferencia a lazo cerrado funcin, el
error de estado estacionario con respecto a la seal de referencia, el rechazo de
disturbios y la estabilidad de los sistemas de circuito cerrado.
1.2.1 Sistemas en cascada
La figura 1.16 representa la conexin en cascada de dos sistemas lineales
caracterizados por las funciones de transferencia H1 (s) y H2 (s).
Figura 1.16. Conexin en cascada de dos sistemas
Si la entrada a H1 (s) es u1 (t) = Est. las siguientes relaciones se encuentran:
el trmino "planta" define el conjunto: actuador, proceso a controlar y el sensor.
y se puede concluir que la funcin de transferencia de dos sistemas en cascada es
o en el caso general de n sistemas en cascada
1.2.2 Funcin de Transferencia de sistemas de circuito cerrado
Considere el sistema de circuito cerrado representado en la figura 1.17.
Figura 1.17. Sistema de circuito cerrado
La salida y (t) del sistema de circuito cerrado en el caso de una referencia externa r (t)
= est se escribe como
Pero u1 (t) viene dada por la relacin
La introduccin de esta relacin en la ecuacin 1.2.5, se tiene
a partir del cual
La estabilidad del sistema de bucle cerrado ser determinado por las partes reales de
la races (polos) de la transferencia de HCL (s) funcin de denominador.
1.2.3 El estado de equilibrio de error
Al llevar a cabo la sntesis de un sistema de circuito cerrado, nuestro objetivo es
obtener una sistema asintticamente estable que tiene un tiempo de respuesta
determinado, un rebasamiento especificada y asegurar un error cero en estado
estacionario con respecto a la seal de referencia. En la figura 1.18, se desea que, en
estado estacionario, y (t) es igual a r (t), es decir, la ganancia de estado estacionario de
el sistema de circuito cerrado entre Y (t) y r (t) debe ser igual a 1.
Figura 1.18. Sistema de circuito cerrado
En la figura 1.18 la funcin de transferencia global de la HOL (s) canal de alimentacin
directa es de la forma
y la funcin de transferencia en bucle cerrado se da por
El estado de equilibrio corresponde a una frecuencia cero (s = 0). La ganancia en
estado estable es obtenido haciendo s = 0 en la funcin de transferencia dada por la
Ecuacin 1.2.10.
en la que Y y R representan los valores estacionarios de la salida y la referencia.
Para obtener una ganancia de estado estacionario unitaria (HCL (0) = 1), es necesario
que
Esto implica que el denominador de la funcin H (s) de transferencia debera ser de la
siguiente forma:
y, respectivamente:
As, para obtener un error de estado estacionario cero en lazo cerrado cuando la
referencia es un paso, la funcin de transferencia del canal de alimentacin hacia delante
debe contener un integrador.
Este concepto se puede generalizar para el caso de diferentes referencias de tiempo como
indica a continuacin el principio de modelo interno: para obtener un estado de equilibrio
cero error, HOL (s) debe contener el modelo interno de la referencia r (t).
El modelo interno de la referencia es la funcin de transferencia del filtro que genera r (t)
a partir del impulso de Dirac. Por ejemplo, paso = (1 / s) Dirac, rampa = (1 / s2) Dirac).
Para ms detalles consulte el Apndice A.
Por lo tanto, para una referencia de rampa, Hol (s) debe contener un doble integrador en
a fin de obtener un error de estado estacionario cero.
1.2.4 Rechazo de perturbaciones
La figura 1.19 representa la estructura de un sistema de circuito cerrado en la presencia
de un perturbacin que acta sobre la salida controlada. HOL (s) es la transferencia global
de bucle abierto funcin (controlador + planta) y est dada por la Ecuacin 1.2.9.
Figura 1.19. Sistema de circuito cerrado en presencia de perturbaciones
En general, preferiramos que la influencia de la perturbacin p (t) en el
salida del sistema sea tan dbil como sea posible, al menos en regiones de frecuencia
dadas. en en particular, preferiramos que la influencia de una perturbacin constante
(paso perturbacin), a menudo llamado "la perturbacin de carga", ser cero durante en
rgimen permanente (t , s 0).
La funcin de transferencia entre la perturbacin y la salida se escribe como:
Syp (s) se llama "funcin de sensibilidad de salida". El rgimen de estado estacionario
corresponde a s = 0.
en la que Y y p representan los valores de estado estacionario de la salida y ,
respectivamente, dela perturbacin.
Syp ( 0 ) debe ser cero para un rechazo perfecta de la alteracin en el estado de
equilibriorgimen. De ello se sigue ( como en la Seccin 1.2.3 ) que , con el fin de obtener
la propiedad deseada ,debemos tener a0 = 0 . Esto implica la presencia de un integrador
en la ruta de acceso directocon el fin de tener un rechazo perfecto de una perturbacin
escaln durante el rgimen de estado estacionario( ver seccin anterior) .
Como regla general , el camino directo debe contener el modelo interno de la
perturbacin con el fin de obtener un rechazo perfecto de una perturbacin determinista
(vase seccin anterior).
Ejemplo: La perturbacin sinusoidal de frecuencia constante .
El modelo interno de la sinusoide es ( la funcin de transferencia de la filtro que , excitado
por un impulso de Dirac , genera una sinusoide ) . Para un rechazo perfecto ( asinttica )
de esta perturbacin, el controlador debe contener la transferencia funcin .
1 / ( 1/2 )0+ S2 1 / ( 1/2 )0+ S2
En general , tambin tenemos que comprobar si no hay una ampliacin de laefecto de
perturbacin en ciertas regiones de frecuencia . Es por eso que tenemos que exigir que el
mdulo de | Syp ( jw ) | ser inferior a un valor dado en todas las frecuencias . Un tpico
valor para esta condicin es
Tambin podemos requerir que Syp (jw) introduce una atenuacin dada en un cierto
rango de frecuencia, si sabemos que una perturbacin tiene su energa concentrada en
este rango de frecuencia.
1.2.5 Anlisis de los Sistemas de circuito cerrado en el dominio de la frecuencia: Nyquist
Terreno Estabilidad y Criterion La funcin de transferencia de la HOL (s) de bucle abierto
(Figura 1.19) se puede representar en el plano complejo cuando vara de 0 a como
El argumento de la funcin de transferencia en este plano se gradu en frecuencias (rad /
s). Esta representacin a menudo se llama un diagrama de Nyquist (o hodgrafa). La figura
1.20 muestra el diagrama de Nyquist para H1 (s) = 1 / (1 + s) y . Tenga en
cuenta que la trama de H2 (s) se corresponde con el caso tpico donde un integrador est
presente en el bucle (para asegurar un error de estado estacionario cero).
Sistemas de control de computadora
En este captulo se presentan los elementos y los conceptos bsicos de ComputerControlled
sistemas. La discretizacin y la eleccin de la frecuencia de muestreo sern
examinado primero, seguido de un estudio de los modelos de tiempo discreto en el tiempo y
dominios de frecuencia, sistemas de tiempo discreto en lazo cerrado y principios bsicos para
el diseo de controladores digitales.
2.1 Introduccin al control por ordenador
El primer enfoque para la introduccin de un ordenador digital o un microprocesador en
un bucle de control se indica en la Figura 2.1 . El error medido entre la referencia y la
salida de la planta se convierte en forma digital por un analgico a digital -(ADC ) , en los
instantes de muestreo k, establecido por el reloj de sincronizacin. La ordenador
interpreta la seal y convertida ( k ) como una secuencia de nmeros , que se procesa
usando un algoritmo de control y genera una nueva secuencia de nmeros { u (k ) }
representa el control . Por medio de un convertidor de digital a analgico ( DAC) , esta
secuencia se convierte en una seal analgica , que se mantiene constante entre los
instantes de muestreo de un mantenedor de orden cero ( ZOH ) . La cascada :
ADCcomputer - DAC debera comportarse de la misma forma que un controlador
analgico (tipo PID ) , lo que implica el uso de una frecuencia de muestreo alta , pero el
algoritmo implementado en el equipo es muy sencillo ( simplemente no hacemos uso de
las potencialidades de la equipo digital! ) .
Un segundo y mucho ms interesante enfoque para la introduccin de un Digital
ordenador o microprocesador en un bucle de control se ilustra en la Figura 2.2 , que
puede ser obtenido a partir de la figura 2.1 moviendo el comparador de referencia - salida
despus de la de analgico a digital . La referencia ahora se especifica en una forma digital
como una secuencia proporcionada por un ordenador .
En la Figura 2.2 el conjunto DAC - planta - ADC se interpreta como un sistema discretizado
,
cuya entrada de control es la secuencia { u ( k ) } generado por el ordenador , la salida
siendo la secuencia { y (k ) } resultante de la conversin A / D de la salida del sistema
y (t ) . Este sistema discretizado se caracteriza por un " modelo de tiempo discreto " , el
cual describe la relacin entre la secuencia de nmeros {u (k)} y la secuencia de
nmeros de {y (k)}. Este modelo est relacionado con el modelo de tiempo continuo de la
planta.
Figura 2.1. Realizacin digital de un analgico controlador de
tipo
Figure 2.2. Digital control system
Este enfoque ofrece varias ventajas. Entre estas ventajas aqu
recordar lo siguiente:
1. La frecuencia de muestreo se elige de acuerdo con el "ancho de banda" de
el sistema de tiempo continuo (que ser mucho menor que para la primera
acercarse).
EDERMquina de escribir
EDERMquina de escribir
EDERMquina de escribirpunto 1
2. Posibilidad de un diseo directo de los algoritmos de control adaptadas a la
discretizado modelos de planta.
3. El uso eficiente de la computadora ya que el aumento del periodo de muestreo
permite la potencia de clculo para ser utilizado con el fin de poner en prctica
algoritmos que son ms rendimiento, pero ms complejo que un PID
controlador, y que requieren un tiempo de clculo ms.
De hecho, si uno realmente quiere tomar ventaja de la utilizacin de un ordenador
digital en
un lazo de control, el "lenguaje" tambin debe ser cambiado. Esto se puede lograr por
la sustitucin de los modelos de sistemas de tiempo continuo de modelos de sistemas de
tiempo discreto, el
controladores de tiempo continuo por los algoritmos de control digital, y mediante el
uso exclusivo
tcnicas de diseo de control.
El cambio a este nuevo "lenguaje" (modelos dinmicos de tiempo discreto)
hace que sea posible el uso de diversas estrategias de alto rendimiento de control que no
se pueden
implementado por los controladores analgicos.
Los detalles de funcionamiento del ADC (convertidor analgico a digital), el DAC
(de digital a analgico) y el ZOH (mantenedor de orden cero) se ilustran en
Figura 2.3.
Figura 2.3. El funcionamiento del convertidor de analgico a digital (ADC), el de digital a
analgico
(DAC) y el mantenedor de orden cero (ZOH)
El convertidor de analgico a digital implementa dos funciones :
1 . Muestreo de la seal analgica: esta operacin consiste en la sustitucin de
la seal continua con una secuencia de valores igualmente espaciados en el
el dominio del tiempo ( la distancia temporal entre dos valores es la
el periodo de muestreo ) , ya que estos valores corresponden a la seal continua
amplitud en instantes de muestreo .
2 . Cuantificacin: esta es la operacin por medio de los cuales la amplitud de
una seal se representa con un conjunto discreto de valores diferentes ( cuantificada
valores de la seal ) , generalmente codifican con una secuencia binaria .
El uso general de los convertidores A / D de alta resolucin ( donde las muestras son
estar con 12 bits o ms ) permite considerar los efectos de cuantificacin como
insignificante , y esta suposicin celebrar en la siguiente . Efectos de cuantificacin se
deben tenerse en cuenta en el Captulo 8 .
El convertidor digital analgico (DAC ) convierte a la toma de muestras instantes una
discreta
seal , codificada digitalmente en una seal continua .
El mantenedor de orden cero ( ZOH ) mantiene constante esta seal continua entre dos
instantes de muestreo (perodo de muestreo ) , con el fin de proporcionar una seal de
tiempo continuo .
2.2 Discretizacin y visin general de los sistemas de datos
muestreados
2.2.1 Discretizacin y Seleccin de Frecuencia de muestreo
La Figura 2.4 ilustra la discretizacin de una sinusoide de frecuencia f0 para varios
frecuencias de muestreo fs.
Cabe sealar que, para una frecuencia de muestreo fs = 8 f0, la naturaleza continua de
La seal analgica se inalterada en la seal muestreada.
Para la frecuencia fs de muestreo = 2 f0, si el muestreo se lleva a cabo en instantes
2 f0 t que no sean mltiplos de , se obtienen an una seal peridica muestreada.
EDERMquina de escribirpunto 2
Sin embargo, si el muestreo se lleva a cabo en los instantes donde 2 f0 t = n, la
secuencia de la muestra correspondiente es idnticamente cero.
Si la frecuencia de muestreo se reduce por debajo del lmite de fs = 2f0, un peridico
todava aparece seal muestreada, pero su frecuencia difiere de la de la continua
seal (f = fs - F0).
Con el fin de reconstruir una seal continua a partir de la secuencia de la muestra, la
frecuencia de muestreo debe verificar la condicin (teorema de Nyquist):
fs > 2 fmax
Figura 2.4. Discretizacin seal sinusoidal
en el que Fmax es la frecuencia mxima a transmitir. La frecuencia fs = 2 fmax
es un lmite terico , en la prctica , se debe elegir una frecuencia de muestreo ms alta .
La existencia de un lmite mximo para la frecuencia que se puede convertir
sin distorsin , para una frecuencia de muestreo dada , tambin es comprensible cuando
se
se observa que el muestreo de una seal continua en el tiempo es una " magnitud
modulacin " de un " " fs la frecuencia portadora ( analoga con la modulacin de la
magnitud en
transmisores de radio ) . El efecto de modulacin se puede observar en la replicacin de la
espectro de la seal moduladora ( en nuestro caso la seal continua ) alrededor de la
frecuencia de muestreo y sus mltiplos .
El espectro de la seal muestreada , si la frecuencia mxima de la
seal continua ( fmax ) es menor que ( 1/2 ) FS , est representado en la parte superior de
Figura 2.5 .
El espectro de la seal muestreada , si fmax > ( media ) FS , est representado en la parte
baja
parte de la Figura 2.5 . El fenmeno de solapamiento ( aliasing ) se puede observar .
Esto corresponde a la aparicin de distorsiones . La frecuencia ( 1/2 ) FS , que
define la frecuencia mxima (fmax ) admiti para un muestreo sin distorsiones ,
que se conoce como " frecuencia de Nyquist " ( o la frecuencia de Shannon ) .
Figura 2.5. Espectro de una seal muestreada
Para una frecuencia de muestreo dada, a fin de evitar el plegado (aliasing) de la
espectro y por lo tanto de las distorsiones, las seales analgicas deben filtrarse antes de
la
muestreo para garantizar que:
Los filtros utilizados son conocidos como "filtros anti-aliasing". Un buen filtro
anti-aliasing
debe tener un mnimo de dos clulas de segundo orden en cascada (fmax
Figura 2.6. Filtro anti-aliasing
En el caso de muy baja frecuencia de muestreo, primero un muestreo a una mayor
frecuencia se lleva a cabo (nmero entero mltiplo de la frecuencia deseada), utilizando
un
filtro anti-aliasing anlogo apropiado. La seal muestreada as obtenido se pasa
a travs de un filtro anti-aliasing digital seguido de un divisor de frecuencia (destruccin)
dando as una seal muestreada que tiene la frecuencia requerida. Este procedimiento es
se muestra en la Figura 2.7. Tambin se emplea cada vez que la frecuencia de los datos
adquisicin es ms alta que la frecuencia de muestreo elegida para el bucle que debe
estar
controlado (la frecuencia de muestreo debe ser un divisor entero de la adquisicin
frecuencia).
Figura 2.7. Anti-aliasing filtrado con submuestreo
2.2.2 Seleccin de la frecuencia de muestreo para los Sistemas de Control
La frecuencia de muestreo para los sistemas digitales de control se elige de acuerdo con la
ancho de banda deseado del sistema de bucle cerrado. Tenga en cuenta que, sin importar
cmo el deseado
actuaciones se especifican, estos siempre pueden estar relacionados con el sistema de
circuito cerrado
ancho de banda.
Ejemplo: Consideremos las actuaciones impuestas en la Seccin 1.1.6 en la
respuesta de paso (mximo rebase el 5%, el tiempo de subida de 2,75 s). La funcin de
transferencia a
ser determinada corresponde a la funcin de transferencia del sistema de bucle cerrado
deseado.
A partir de los diagramas indicados en la figura 1.11 hemos deducido que el bucle cerrado
funcin de transferencia debe ser una funcin de transferencia de segundo orden
normalizado con = 0,7
y 0 = 1 rad / s. Por usar inmediatamente los diagramas indicados en la figura 1.12, puede
ser
observ que el ancho de banda del sistema de bucle cerrado es aproximadamente igual a
La regla utilizada para elegir la frecuencia de muestreo en sistemas de
control es la
siguiente:
donde
fs: frecuencia de muestreo, f CL: cerrado el ancho de banda del sistema de bucle
Regla de la ecuacin 2.2.3 se utiliza igualmente en lazo abierto, cuando se desea
elegir la frecuencia de muestreo con el fin de identificar el modelo de tiempo discreto de
un
planta. En este caso CL se sustituye por una estimacin del ancho de banda de la planta.
B f
A ttulo informativo, la Tabla 2.1 da los perodos de muestreo (Ts = 1/fs) usado
para el control digital de diferentes tipos de plantas.
La regla para la eleccin de la frecuencia de muestreo dada en la Ecuacin 2.2.3 puede ser
conectado a los parmetros de la funcin de transferencia.
Sistema de primer orden
En este caso el ancho de banda del sistema es
(una atenuacin mayor que 3 dB se introduce para frecuencias superiores a 0 =
1/T0 = 2 f0).
Cuadro 2.1. Eleccin del perodo de muestreo para los sistemas de control digital (valores
indicativos)
Mediante la aplicacin de la regla de la Ecuacin 2.2.3 de la condicin para la eleccin de
la toma de muestras
se obtiene perodo (Ts = 1/fs):
Esto corresponde a la existencia de ocho y cincuenta y ocho muestras en el tiempo de
subida de un paso
respuesta.
Sistema de segundo orden
El ancho de banda del sistema de segundo orden depende de 0 y en (vase la figura
1,12).
Por ejemplo:
Mediante la aplicacin de la regla de la Ecuacin 2.2.3, se obtienen las siguientes
relaciones
entre el 0 frecuencia natural y el periodo de muestreo Ts:
0.25 0 Ts 1 ; = 0.7
and
0.4 0 Ts 1.75 ; = 1
Los valores ms bajos corresponden a la eleccin de una frecuencia de muestreo alta y
los valores superiores a la eleccin de una frecuencia de muestreo baja.
Por razones de simplicidad, dado que en circuito cerrado elegido con frecuencia el
comportamiento
como el comportamiento deseado es el de un segundo orden que tiene un factor de
amortiguamiento
entre 0,7 y 1, la siguiente regla se puede utilizar (aproximacin de las ecuaciones
2.2.5 y 2.2.6): 0.25 0 Ts 1.5 ; 0.7 1
2.3 Modelos de tiempo discreto
2.3.1 Dominio del Tiempo
La Figura 2.8 ilustra la respuesta de un sistema de tiempo continuo a una entrada de paso,
un
respuesta que puede ser simulado por un sistema de primer orden (un integrador con un
ganancia de realimentacin se indica en la figura).
Figura 2.8. Modelo de tiempo continuo
El modelo correspondiente se describe por la ecuacin diferencial
o por la funcin de transferencia
donde T es la constante de tiempo del sistema y G es la ganancia.
Si la entrada u (t) y la salida y (t) se muestrean con un muestreo especificada
perodo, las representaciones de u (t) e y (t) se obtuvo en forma de secuencias de nmeros
en
que T (o K) ahora es el tiempo discreto normalizado (en tiempo real dividido por el
perodo de muestreo, t = T / Ts). La relacin entre la secuencia de entrada {u (t)} y la
secuencia de salida {y (t)} puede ser simulado por el esquema de la figura 2.9 por
utilizando un retardo (desplazamiento hacia atrs) operador (simbolizado por q-1: y (t-1) =
q-1 y (t)),
en lugar de un integrador.
Esta relacin se describe en el dominio del tiempo por el algoritmo (conocido como
ecuacin recursiva o ecuacin de diferencia)
y(t) = -a1 y(t-1) + b1 u(t-1)
Figura 2.9. Modelo de tiempo discreto
Pasemos ahora a examinar con mayor detalle el modelo de tiempo discreto dada por la
ecuacin
2.3.3 para una condicin inicial de cero (y (0) = 0) y una entrada escaln unitario en tiempo
discreto:
La respuesta se calcula directamente de forma recursiva utilizando la Ecuacin 2.3.3 de t =
0
(en el caso de los modelos de tiempo discreto que no hay problema con la integracin de la
ecuaciones diferenciales como en tiempo continuo). Vamos a examinar dos casos.
Caso 1. a1 = - 0.5; b1 = 0.5
Los valores de salida para diferentes instantes se dan en la Tabla 2.2 y la
secuencia correspondiente se representa en la figura 2.10.
Cuadro 2.2. Respuesta gradual de un modelo de tiempo discreto de primer orden (a1 = -0.5,
b1 = 0,5)
Figura 2.10. Respuesta gradual de un modelo de tiempo discreto de primer orden (a1
= -0.5, b1 = 0,5)
Se observa que la respuesta obtenida se asemeja a la respuesta de paso de un
sistema de primer orden en tiempo continuo que ha sido muestreada. Un tiempo equivalente
constante para el sistema de tiempo continuo incluso se puede determinar (tiempo de subida
de 0
al 90%: tR = 2,2 T). De la Tabla 2.2, se obtiene entonces
Caso 2. a1 = 0,5; b1 = 1.5
Los valores de salida para diferentes instantes se dan en la Tabla 2.3 y la correspondiente
secuencia est representada en la figura 2.11.
Cuadro 2.3. Respuesta a un escaln de primer orden modelo de tiempo discreto (a1 =
0,5; b1 = 1,5)
Una respuesta amortiguada oscilatoria se observa con un perodo igual a dos de muestreo
perodos. Este tipo de fenmeno no puede ser resultado de la discretizacin de un
sistema de primer orden de tiempo continuo, ya que esta ltima es siempre un-peridica. Se
puede
por lo tanto se concluye que el modelo de tiempo discreto de primer orden corresponde a la
discretizacin de un sistema de tiempo continuo de primer orden slo si a1 es negative1.
Figura 2.11. Respuesta a un escaln de primer orden modelo de tiempo discreto (a1 =
0,5; b1 = 1,5)
Volvemos al mtodo utilizado para describir los modelos de tiempo discreto. la
se utiliza el operador de retardo q-1 para obtener una escritura ms compacta de la
recursiva
(diferencia) ecuaciones que describen modelos de tiempo discreto en el dominio del tiempo
(se
tiene la misma funcin que el operador p = d / dt para sistemas de tiempo continuo). la
relaciones siguientes se cumplen:
Al utilizar el operador q-1, la ecuacin 2.3.3 se reescribe como
(1 + a1 q-1) y(t) = b1 q-1 u(t)
Modelos de tiempo discreto tambin se pueden obtener por la discretizacin del diferencial
ecuaciones que describen los modelos de tiempo continuo. Esta operacin se utiliza para la
simulacin de modelos de tiempo continuo en un ordenador digital.
Consideremos la ecuacin 2.3.1 y aproximar la derivada por
Ecuacin 2.3.1 se puede reescribir como
Multiplicando ambos lados de la Ecuacin 2.3.7 de TS, y con la introduccin de la
t el tiempo normalizado (= T / Ts), se deduce que
que puede ser reescrito ms ampliamente como:
Donde
Cambiando la Ecuacin 2.3.9 en un paso, se obtiene la Ecuacin 2.3.3.
Se seala que, con el fin de representar un modelo continuo de primer orden con
Ecuacin 2.3.9, la condicin a1
que se puede reescribir como
correspondiente a la aproximacin de la operacin de integracin por medio de la
regla rectangular, como se ilustra en la Figura 2.12 (si se utiliza en tiempo continuo, la
ecuacin
2.3.13 se escribe como s (t) = s (t-T) + Ts.y (t)).
2.3.2 Dominio de la Frecuencia
El estudio de los modelos de tiempo continuo en el dominio de la frecuencia se ha llevado a
cabo teniendo en cuenta una entrada peridica de tipo exponencial compleja
Para el estudio de los modelos de tiempo discreto en el dominio de la frecuencia que deber
considerar (la muestra) exponenciales complejas, es decir, secuencias que resultan de
complejas
exponenciales de tiempo continuo evaluados en los instantes de muestreo t = k Ts.
Estas secuencias por lo tanto escribirse como
Dado que los modelos de tiempo discreto que se estn considerando son lineales, si una
seal de un cierto
frecuencia se aplica a la entrada, una seal de la misma frecuencia, pero amplificado o
atenuada de acuerdo con la frecuencia, se encontrar en la salida. es
resume en la Figura 2.13. en la que H (s) es la "funcin de transferencia" del sistema
que expresa la dependencia de la ganancia y la fase de desviacin en el complejo
frecuencia s (s = + jw).
Figura 2.13. Respuesta de frecuencia de un sistema de tiempo discreto
Si la entrada del sistema est en el formes , la salida ser
y respectivamente
Por tanto, se observ que el cambio hacia atrs en un paso es equivalente a multiplicar
Por
Vamos ahora determinar la funcin de transferencia relacionada con la ecuacin recursiva
2.3.3.
En este caso, y la salida ser en la forma de la Ecuacin 2.3.14. por
tambin utilizando la Ecuacin 2.3.15 se obtiene:
de lo que resulta
Consideramos ahora el siguiente cambio de variable:
que corresponde a la transformacin de la semiplano de la izquierda de la s-
avin contra
el interior de la unidad de crculo centrado en el origen en el plano z, como se ilustra por
Figura 2.14.
Figura 2.14. Efecto de la transformacin z = e sTs
Con la transformacin dada por la Ecuacin 2.3.18 la funcin de transferencia dada en
Ecuacin 2.3.17 se convierte en
Tenga en cuenta que la funcin de transferencia en Z-1 se puede obtener directamente a
partir de la recursiva
Ecuacin 2.3.3 mediante el operador de retardo q-1 (vase la Ecuacin 2.3.5), y despus
calculando formalmente la relacin de y (t) / U (t) y la sustitucin de Q-1 con z-1. Este
procedimiento
obviamente se puede aplicar a todos los modelos descritos por ecuaciones en diferencias
lineales
con coeficientes constantes, independientemente de su complejidad. El mismo resultado
puede ser
tambin obtenidas por medio de la z - transformacin (vase el Apndice A, Seccin A.2)
Tambin comentamos que las funciones de transferencia de modelos de tiempo discreto
son a menudo
escrito en trminos de q-1. Se entiende por supuesto que el significado de q-1 vara
de acuerdo con el contexto (retrasar operador o variable compleja). Cuando q-1 es
considerado como un operador de retardo, la expresin H (q-1) se denomina "operador
de transferencia".
Es preciso sealar que la representacin de los operadores de transferencia tambin se
puede utilizar
para los modelos descritos por ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes
variables en el tiempo as. En contraste, la interpretacin de q-1 como una variable
compleja (z-1) es slo
posible que la diferencia de ecuaciones lineales con coeficientes constantes.
Propiedades de la transformacin z = Ests
La transformacin de la Ecuacin 2.3.18 no se biyectiva porque varios puntos de la
plano s se transforman en el mismo punto en el plano z. Sin embargo, estamos
interesado en el plano s est delimitado entre las dos lneas horizontales que cruzan
los puntos [, / 2] s 0 + jw y [/ 2] sj 0 - donde
s = 2 fs = 2 / Ts. Esta regin es
llamada "franja primaria".
Figura 2.15. Efectos de la transformacin en los puntos situados en el "principal
tira "en el plano s
Las bandas complementarias estn fuera del dominio de la frecuencia de inters si el
condiciones del teorema de Shannon (Seccin 2.2.1) se han cumplido.
Figura 2.15 da una imagen detallada de los efectos de la transformacin para
los puntos que estn dentro de la "franja de primaria".
La atencin debe centrarse en un aspecto importante para los de segundo orden
continuas
sistemas en la forma:
para los que la frecuencia resonante amortiguada es igual a la mitad de la frecuencia de
muestreo:
La imagen de sus conjugados polos
a travs de la transformacin corresponde a un nico punto colocado en el
eje real en el plano z y con abscisa negativo.
Uno obtiene:
desde:
Esta es la razn por la cual los modelos de tiempo discreto en la forma de la ecuacin
2.3.3 como
dar oscilante respuestas a un escaln para a1> 0 (amortiguado si | a1 |
modelos de tiempo discreto derivados de los sistemas de tiempo continuo de segundo
orden que tienen un
frecuencia de resonancia amortiguada igual a
s / 2.
2.3.3 Formas generales de modelos lineales en tiempo discreto
Un modelo de tiempo discreto lineal se describe generalmente como
en la que D corresponde a un tiempo de retardo puro, que es un mltiplo entero de la
perodo de muestreo.
Vamos a presentar las siguientes anotaciones:
Al utilizar el operador de retardo q-1 en la Ecuacin 2.3.20 y teniendo en cuenta la
notaciones de las Ecuaciones 2.3.21 a 2.3.24, la Ecuacin 2.3.20 describe el discretetime
sistema se escribe como
o en forma predictiva (multiplicando ambos lados por qd)
Ecuacin 2.3.25 tambin se puede escribir en una forma compacta mediante la
transferencia de impulsos Operador
en el que el operador de la transferencia de impulsos est dada por
La funcin de transferencia de impulsos que caracteriza el sistema descrito por la Ecuacin
2.3.20
se obtiene a partir del operador de transferencia de pulso dada en la Ecuacin 2.3.28
mediante la sustitucin
Transferencia de Pulso Funcin Orden
Para evaluar el orden de un modelo de tiempo discreto representado por la transferencia
de impulsos
funcin de la forma de la Ecuacin 2.3.29, la representacin en trminos de positivo
se necesita poder de z. Si d es el sistema de retardo de tiempo puro expresado como
nmero de
muestras, Na el grado del polinomio A (z-1) y nB el grado de la
polinomio B (z-1), se debe multiplicar el numerador y el denominador de H (z-1) por
zn con el fin de obtener una funcin H de transferencia de pulso proper3 (z) en las
potencias positivas
de Z, donde
2 El operador H de transferencia de pulso (q-1) puede ser utilizado para una
representacin compacta de la entrada-salida
relacin, incluso en el caso de A (q-1) y B (q-1) tienen tiempo dependiendo coeficientes. La
transferencia de impulsos
funcin H (z-1) slo se define para el caso de A (q-1) y B (q-1) son con coeficientes
constantes.
3 Esto significa que el grado denominador es mayor que (o igual a) el grado numerador.
n representa el orden de sistema de tiempo discreto (la mayor potencia de un trmino en
Z en el
transferencia de impulsos funcin denominador).
Ejemplo 1:
Se observa que el orden n de una funcin de transferencia de impulsos irreductible
tambin corresponde
que el nmero de estados para una representacin del sistema de espacio de estado
mnimo asociado
a la funcin de transferencia (vase el apndice C).
2.3.4 Estabilidad de sistemas discretos
La estabilidad de los sistemas de tiempo discreto se puede estudiar, ya sea desde el
recursiva
(diferencias) ecuacin que describe el sistema de tiempo discreto en el dominio del
tiempo, o
de la interpretacin de la diferencia ecuaciones soluciones como sumas de datos discretos
exponenciales. Usaremos ejemplos para ilustrar estos dos enfoques.
Supongamos que la ecuacin recursiva es
que se obtiene de la Ecuacin 2.3.3 cuando la entrada u (t) es idnticamente cero. la
respuesta libre del sistema se escribe como
La estabilidad asinttica del sistema implica
La condicin de estabilidad asinttica por lo tanto el resultado de la Ecuacin 2.3.31. es
necesario y suficiente que
Por otro lado, se sabe que la solucin de la recursiva (diferencia)
ecuaciones es de la forma (para un sistema de primer orden):
Mediante la introduccin de esta solucin en la Ecuacin 2.3.30, y teniendo en cuenta la
Ecuacin
2.3.15, se obtiene
de donde se sigue que
Para que esta solucin sea asintticamente estable, es necesario que = Re s
funcin de transferencia de impulsos relacionados con el sistema descrito por la ecuacin
2.3.3 (ver
Ecuacin 2.3.19).
El resultado obtenido se puede generalizar. Para un sistema de tiempo discreto para ser
asintticamente estable, todas las races de la funcin de transferencia de denominador
deben ser
dentro del crculo unitario (vase la Figura 2.14):
Por el contrario, si una o varias races de la funcin de transferencia son el denominador
en el
regin definida por | z |> 1 (fuera del crculo unidad), esto implica que Re s> 0 y
as el sistema de tiempo discreto ser inestable.
Como para el caso de tiempo continuo, algunos criterios de estabilidad estn disponibles
(Jurado
criterio, el criterio de Routh-Hurwitz aplicado despus de que el cambio de variable
w = (z + 1) / (z-1)) para establecer la existencia de races inestables de un polinomio
en la variable z sin clculo explcito de las races (strm y Wittenmark
1997).
Una herramienta til para probar la estabilidad-Z polinomio se deriva de una necesaria
condicin para la estabilidad de una Z-1-polinomio. Esta condicin indica: las evaluaciones
del polinomio A (z-1) dada por la ecuacin 02/03/37 en z = 1, (A (1)) y en z = -1
(A (-1)) debe ser positivo (el coeficiente de A (q-1) se supone que corresponde a Z0
a ser positivo).
Ejemplo:
2.3.5 Ganancia de estado estable
En el caso de sistemas de tiempo continuo, la ganancia de estado estacionario se obtiene
haciendo
s = 0 (frecuencia cero) en la funcin de transferencia. En el caso discreto, s = 0
corresponde a
y por lo tanto la ganancia de estado estacionario G (0) se obtiene haciendo z = 1 en el
pulso
funcin de transferencia. Por lo tanto para el sistema de primer orden se obtiene:
En trminos generales, la ganancia de estado estacionario viene dada por la frmula
En otras palabras, la ganancia de estado estacionario se obtiene como el cociente entre la
suma de los
coeficientes del numerador y la suma de los coeficientes de denominador. Esta frmula
es muy diferente de los sistemas de tiempo continuo, donde la ganancia de estado
estacionario
aparece como un factor comn del numerador (si el denominador comienza con 1).
La ganancia de estado estacionario tambin puede obtenerse a partir de la ecuacin
recursiva
que describe los modelos de tiempo discreto, el estado estacionario se caracteriza por u
(t) =
const. yy (t) = y (t-1) = y (t-2) ....
De la ecuacin 2.3.3, se deduce que
Y respectivamente
2.3.6 Modelos para Sistemas de datos muestreados con Hold
Hasta este punto hemos estado preocupados con modelos de sistemas de datos
muestreados
correspondiente a la discretizacin de las entradas y salidas de un tiempo continuo
sistema. Sin embargo, en un sistema controlado por ordenador, el control aplica a la
planta
no es continua. Es constante entre los instantes de muestreo (efecto de la zeroorder
mantenga) y vara discontinuamente en los instantes de muestreo, como se ilustra en
Figura 2.16.
Es importante ser capaz de relacionar el modelo del sistema discretizado, la cual
da la relacin entre la secuencia de control (producida por el controlador digital)
y la secuencia de salida (obtenido despus del convertidor de analgico a digital), para la
funcin de transferencia H (s) del sistema de tiempo continuo. El mantenedor de orden
cero, cuya
operacin se revisa en la figura 2.17 presenta una funcin de transferencia en cascada con
H (s).
Figura 2.16. El sistema de control utilizando un convertidor de analgico a digital seguido
de
un mantenedor de orden cero
Figura 2.17. Funcionamiento del mantenedor de orden cero
El asimiento convierte un impulso de Dirac propuesta por el convertidor de digital a
analgico en la
instante de muestreo en un pulso rectangular de duracin Ts, que puede ser interpretado
como
la diferencia entre un paso y el mismo paso desplazado por Ts. A medida que el paso es la
integrante del impulso de Dirac, se deduce que la funcin de transferencia de retencin de
orden cero es
Ecuacin 3.2.40 permite considerar el mantenedor de orden cero como un filtro que tiene
un
respuesta de frecuencia dada por
A partir del estudio de esta respuesta en la regin de frecuencia 0/2 s f f
(0/2 s
), se puede concluir:
1. La ganancia ZOH a la frecuencia cero es igual a: GZOH (0) = Ts.
2. El ZOH introduce una atenuacin a altas frecuencias. Para f = fs / 2 uno
3. El ZOH introduce un retardo de fase que crece con la frecuencia. este
desfase es de entre 0 (para f = 0) y - / 2 (para f = fs / 2) y debe ser
aadido para el retardo de fase debido a H (s).
La funcin global de tiempo continuo de transferencia ser
a la que una funcin de transferencia de pulso se asocia.
Las tablas que dan el equivalente en tiempo discreto de sistemas con una orden cero
bodega estn disponibles. Algunas situaciones tpicas se resumen en la Tabla 2.4.
El clculo de los modelos de la muestra zoh para funciones de transferencia de diferente
pedidos se pueden hacer por medio de las funciones: cont2disc.sci (Scilab) o cont2disc.m
(MATLAB ). El modelo de la muestra correspondiente (con ZOH) para un segundo orden
sistema caracterizado por 0 y se puede conseguir con las funciones ft2pol.sci
(Scilab) o ft2pol.m (MATLAB ) 4.
2.3.7 Anlisis de los sistemas de primer orden con tiempo de retardo
El modelo de tiempo continuo se caracteriza por la funcin de transferencia
donde G es la ganancia, T es la constante de tiempo y es el retardo de tiempo puro. Si Ts
es la
el periodo de muestreo, entonces se expresa como
donde L es el tiempo de retardo fraccional y d es el nmero entero de muestreo
perodos incluidos en la demora y que corresponde a un retraso en la muestra de d-
perodos.
De la Tabla 2.4, se deriva la funcin de transferencia de la correspondiente muestreados
modelo (cuando se utiliza una retencin de orden cero)
Con
El efecto del tiempo de retardo fraccional se puede ver en la aparicin de la
coeficiente de B2 en la funcin de transferencia. Para L = 0, se tiene b2 = 0. Por otro
parte, si L = Ts, se deduce que b1 = 0, que corresponde a un retardo adicional de
un perodo de muestreo. Para L B1. Para L = b1 0.5Ts b2. Por lo tanto, un retardo fraccional introduce un cero en el
funcin de transferencia de impulsos. Para L> 0.5 Ts la relacin | b2 |> | b1 | sostiene y el
cero es
fuera del crculo unitario (cero inestable) 5.
La configuracin de polos y ceros en el plano z para el sistema de primer orden con ZOH
se representa en la figura 2.18. El trmino z-d-1 introduce d 1 polos en el origen
--------------------------------------
La presencia de ceros inestables no tiene ninguna influencia en la estabilidad del sistema,
pero impone limitaciones a la
el uso de tcnicas de diseo del controlador basado en el modelo de cancelacin de ceros
por polos del controlador.
Cuadro 2.4. Funciones de transferencia de pulsos para sistemas de tiempo continuo con
mantenedor de orden cero
La figura 2.19 representa las respuestas a un escaln para un sistema caracterizado por un
pulso funcin de transferencia
Por (ganancia de estado estacionario = 1) para diferentes valores del parmetro
A1:
a1 = -0,2; -0,3; -0,4; -0,5; -0,6; -0,7; -0,8; -0,9
Figura 2.18. Configuracin de polos y ceros del sistema de datos muestreados descrito
por la Ecuacin 02/03/44 (sistema de primer orden con ZOH)
Sobre la base de estas respuestas, es fcil derivar la constante de tiempo de la
sistema de tiempo continuo correspondiente, expresado en trminos del perodo de
muestreo
(la constante de tiempo es igual al tiempo requerido para alcanzar 63% del valor final).
La presencia de un retardo de tiempo igual a un mltiplo entero de la toma de muestras
perodo slo causa un cambio de hora en las respuestas dadas en la Figura 2.19.
Figura 2.19. Respuestas de escaln de la b1 sistema de tiempo discreto z-1 / (1 + A1 z-1)
para diferentes valores
de a1 y [b1 / (1 + a1)] = 1
La presencia de un retardo de tiempo fraccional tiene como consecuencia principal una
modificacin en el comienzo de la respuesta de paso, si se compara con el caso sin
tiempo de retardo fraccional.
Ejercicio. Suponiendo que el modelo de sistema de datos muestreados es
Cul es el modelo de tiempo continuo que corresponde ?
Es interesante analizar la relacin entre la ubicacin del polo
( ) Y el tiempo de aumento del sistema . Figura 2.19 indica que la respuesta
del sistema se vuelve ms lento como el polo del sistema se mueve hacia el punto [ 1 ,
j0 ] , y se hace ms rpido como el polo del sistema se acerca al origen ( z = 0 ) .
Estas consideraciones pueden aplicarse a sistemas con varios polos .
Z = -a1
En el caso de sistemas con ms de uno de los polos , el trmino " polo dominante ( s ) " es
introducido para caracterizar el polo ( o los polos ) que es ( son ) el ms cercano a la
punto [ 1 , j0 ] , es decir, que es el polo ms lento ( s ) .
La figura 2.20 muestra las respuestas de frecuencia ( magnitud y fase ) de la de primer
orden
sistema discreto dada por 2.3.45 para a1 = - 0,8 ; -0,5 ; -0,3 . Se puede observar
que el ancho de banda aumenta cuando el polo del sistema se acerca el origen ( ms
rpido
polos) . Tambin podemos sealar que el retardo de fase en las 0.5fs frecuencia es - 180o
debido a
la presencia de la ZOH ( ver Seccin 2.3.6 ) .
Figura 2.20. Respuestas de frecuencia (magnitud y fase) de el modelo b1-tiempo discreto
z-1 /
(1 + A1 z-1) para diferentes valores de a1 y b1
2.3.8 Anlisis de sistemas de segundo orden
La funcin de transferencia de impulsos que corresponde a la discretizacin con una de
orden cero bodega de un sistema de tiempo continuo de segundo orden normalizado,
caracterizado por una 0 frecuencia natural y una de amortiguamiento , est dada por
donde d representa el nmero entero de periodos de toma de muestras contenidas en el
retraso.
Los valores de a1, a2, b1, b2 como una funcin de 0 y para un retardo de tiempo puro
= d Ts
se dan en la Tabla 2.4.
Es interesante expresar los polos del sistema discretizado como una funcin de
0, y el periodo de muestreo Ts (o la frecuencia de muestreo fs).
De la Tabla 2.4 las siguientes relaciones son fciles de encontrar (por
en consecuencia, simtrica con respecto al eje real. Se caracterizan por una
mdulo y una fase dada por
Figura 2.21. Las curvas de = constante y == SS T / 2 f / f 0 0 constantes en el plano z
para
un sistema de tiempo discreto de segundo orden
Tenga en cuenta que la ubicacin de los postes depende de y 0Ts (o 0/s = f0/fs).
Esto es:
y en el plano z las siguientes curvas se pueden extraer:
Debemos recordar (vase la Figura 1.9) que en el plano s (sistema continuo), el
curvas = constante son lneas rectas que forman un ngulo = cos-1 con el eje real
y las curvas de 0 = constante son crculos con 0 radio (estos dos conjuntos de curvas
son ortogonales). En el plano z las curvas z = f (0 Ts) para = constante son espirales
logartmicas que son ortogonales en cada punto de la curva z: f () para 0 Ts = constante.
La figura 2.21 muestra el conjunto de curvas z = f () para 0 Ts/2 = constante y z =
f (0 Ts/2) para = constante correspondiente a diferentes valores de y 0Ts/2
(f0/fs respectivamente).
Tambin debemos recordar (vase la Seccin 2.3.2) que por
los polos correspondientes en el plano z son
confundidos (Z1, 2 = ), y que se encuentran en el segmento de la eje real (-
1,0) que tiene un eje de abscisas coordenada igual a
El dominio de estabilidad de la de segundo orden sistema de tiempo discreto en el plano
de los parmetros a1 - a2 es un tringulo (ver Figura 2.22). Para los valores de A1, A2
colocado en el interior del tringulo, las races del denominador de la funcin de
transferencia de impulsos son dentro del crculo unitario
Figura 2.22. Dominio de Estabilidad para el sistema de tiempo discreto de segundo
orden
2.4 Closed Loop sistemas discretos de tiempo
2.4.1 sistema de circuito cerrado Funcin de Transferencia
Figura 2.23 da el diagrama de un sistema de tiempo discreto de bucle cerrado. La
transferencia
funcin en el canal de alimentacin directa puede ser el resultado de la cascada de un
Digital
controlador y del grupo DAC + ZOH sistema + ADC-tiempo continuo +
(sistema discretizado).
Figura 2.23. Bucle cerrado sistema de tiempo discreto
Dejar
ser la funcin de transferencia del canal de alimentacin hacia adelante con
donde los coeficientes b1, b2 ... BD puede ser cero si hay un retardo de tiempo de d
perodos de muestreo.
En la misma forma que para los sistemas de tiempo continuo, la transferencia de bucle
cerrado funcin de la conexin de la seal de referencia r (t) a la salida y (t) se escribe
como
El denominador de la funcin de transferencia en lazo cerrado, cuyas races corresponden
a
los polos del sistema en bucle cerrado, tambin se llama polinomio caracterstico de la
cerrada
bucle.
2.4.2 El estado de equilibrio de error
Se obtiene el estado estacionario para r (t) = constante haciendo z = 1, correspondiente a
la frecuencia cero
Se deduce de la ecuacin 2.4.3 que
donde HCL (1) es la ganancia en estado estacionario (ganancia esttica) del sistema de
circuito cerrado. en
a fin de obtener un error cero en estado estacionario entre la seal r de referencia y el
salida Y, es necesario que
HCl (1) = 1 (2.4.5)
De la ecuacin 2.4.4 se derivan las siguientes condiciones:
Con el fin de obtener un (1) = 0, A (z-1) debe tener la siguiente estructura:
Donde
y por lo tanto la funcin de transferencia global del canal de alimentacin hacia delante
debe ser del tipo
De este modo, se observa que el canal de alimentacin hacia delante debe contener un
integrador digital en Para obtener un error de estado estacionario cero en lazo cerrado.
Esta situacin es similar a el caso continuo (vase la Seccin 1.2.3) y el principio de
modelo interno es tambin aplicable a los sistemas de tiempo discreto.
2.4.3 Rechazo de perturbaciones
En la presencia de una perturbacin p (t) que acta sobre la salida controlada (vase la
figura 2.23), el objetivo es reducir su efecto tanto como sea posible, al menos en algunos
regiones de frecuencia.
En particular, el efecto de la perturbacin constante (un paso), a menudo llamado "la
carga perturbacin ", se espera que sea cero en el estado estacionario (t , z 1).
La funcin de transferencia de impulsos, que une la perturbacin a la salida, es
Como para el caso de tiempo continuo, Syp (z-1) se llama "funcin de sensibilidad de
salida".
Se obtiene el estado de equilibrio para z = 1. Resulta que
( donde p es el valor estacionario de la perturbacin ) .
Con el fin de lograr un rechazo de perturbaciones de estado estacionario perfecto , es
necesario que Syp ( 1 ) = 0 y por lo tanto Un ( 1 ) = 0 . Esto implica que A ( z - 1 ) debe tener
la forma dada en la Ecuacin 2.4.7 , correspondiente a la insercin en el integrador de
alimentacin directa canal .
Del mismo modo , para el caso continuo , un rechazo de perturbaciones de estado
estacionario perfecta implica que el canal de alimentacin hacia delante debe contener el
modelo interno de la perturbacin ( la funcin de transferencia que produce p (t ) de un
impulso de Dirac ) .
Como en el caso de tiempo continuo , se debe evitar que una amplificacin de la efecto de
perturbacin se produce en ciertas regiones de frecuencia . Esta es la razn por la cual |
Syp (e- jw ) | debe ser inferior a un valor especificado para todas las frecuencias f = /2
fs / 2 .
Un valor tpico utilizado como lmite superior es | Syp ( e - jw ) | 2 0 fs Adems ,
si se sabe que una perturbacin tiene su energa concentrada en una particular, regin de
frecuencia , | Syp ( ej ) | puede ser obligado a introducir un deseado atenuacin en esta
regin de frecuencia .
2.5 Principios bsicos de los mtodos modernos para el Diseo de digital Controladores
2.5.1 Estructura de los Controladores Digitales
Figura 2.24 da el diagrama de un control analgico de tipo PI. El controlador
contiene dos canales (un canal proporcional y un canal integral) ese proceso
el error entre la seal de referencia y la salida.
En el caso de los sistemas de datos muestreados el controlador es digital, y el nico las
operaciones que puede realizar son adiciones, multiplicaciones, almacenamiento y
desplazamiento. Todo el algoritmos de control digitales tienen la misma estructura. Slo
"la memoria" de la controlador es diferente, es decir el nmero de coeficientes.
Figura 2.25 ilustra la estructura de clculo del control u (t) aplicado a la planta en el
instante t por el controlador digital. Este control es un promedio ponderado de la
produccin medida en los instantes t, t-1, ...., t-nA .., de los valores de los controles
previos de instantes t-1, t-1 ..., t-nb ... y de la seal de referencia en los instantes t, t-1, ...,
los pesos siendo los coeficientes del controlador.
Este tipo de ley de control, incluso se puede conseguir por la discretizacin de un IP o
Controlador analgico PID. Vamos a considerar, como ejemplo, la discretizacin de un IP
controlador. La ley de control para un controlador PI analgico est dada por
Para la discretizacin del regulador PI, P (el operador de diferenciacin) es
aproximada por (1 - q-1) / Ts (vase la Seccin 2.3.1, la Ecuacin 2.3.6). Esto produce
y la ecuacin del regulador PI se convierte
Multiplicando ambos lados de la ecuacin 2.5.4 por (1 - q-1), la ecuacin de la PI digitales
controlador se escribe como
Donde
lo que conduce a el diagrama representado en la Figura 2.26.
Teniendo en cuenta la expresin de S (q-1), la seal de control u (t) se calcula
sobre la base de la ecuacin 2.5.5, por medio de la frmula
u (t) = u (t-1) - R (q-1) y (t) + T (q-1) r (t)
= U (t-1) - r0 y (t) - r1 y (t-1) + r0 r (t) + r1 r (t-1) (2.5.8)
que se corresponde con el diagrama dado en la Figura 2.26.
2.5.2 Controlador de Canonical digital Estructura
Dividiendo por S (q-1) a ambos lados de la ecuacin 2.5.5, se obtiene
de la que deriva la estructura cannica controlador digital presenta en la Figura
2.27 (tres ramificada estructura RST).
En general, T (q-1) en la Figura 2.27 es diferente de R (q-1).
Figura 2.27. Controlador digital estructura cannica
Considerar
como la funcin de transferencia de impulsos de la cascada de DAC + + ZOH de tiempo
continuo + sistema de ADC, a continuacin, la funcin de transferencia del sistema de
bucle abierto se escribe como
y la funcin de transferencia de bucle cerrado entre la seal de referencia r (t) y la salida y
(t), utilizando una estructura cannica controlador digital, tiene la expresin
Donde
es el denominador de la funcin de transferencia de bucle cerrado que define el bucle
cerrado polos del sistema. Tenga en cuenta que T (q-1) introduce un grado ms de
libertad, el cual permite establecer una distincin entre las actuaciones de seguimiento y
regulacin especificaciones.
Tambin observacin de que r (t ) es a menudo sustituida por una " trayectoria deseada "
y * ( t ) , obtenido ya sea mediante el filtrado de la seal de referencia r ( t ) con el llamado
filtro de conformacin o el seguimiento de modelo de referencia , o guardar en la
memoria de la computadora digital de la secuencia de los valores de trayectoria deseada .
El controlador digital representada en la figura 2.27 tambin se define como "digitales RST
controlador " . Est a dos grados de libertad del controlador , lo que permite imponer
diferentes especificaciones en trminos de dinmica deseada para el seguimiento y la
regulacin problemas .
El objetivo del diseo del controlador digital es encontrar la R polinomios , S y T en Para
obtener la funcin de transferencia en lazo cerrado , con respecto a la referencia y seales
de perturbacin , satisfaciendo las actuaciones deseadas .
Esto explica por qu las actuaciones de lazo cerrado deseados se expresarn , (si no, van a
ser convertidos ) en trminos de polos a lazo cerrado deseados , y, finalmente, en
trminos de ceros que desee ( de esta manera la funcin de transferencia en lazo cerrado
ser completamente impuesta ) .
En presencia de perturbaciones ( vase la Figura 2.28 ), hay otros cuatro importantes
transferir funciones a tener en cuenta , en relacin la perturbacin a la salida y la entrada
de la planta .
La funcin de transferencia entre la perturbacin p ( t) y la salida y (t ) (salida funcin de
sensibilidad ) est dada por
Figura 2.28. Sistema de control digital en presencia de perturbaciones y ruido
Esta funcin permite la caracterizacin de las prestaciones del sistema de la punto de vista
de las perturbaciones rechazo. Adems, ciertos componentes de S (z-1) puede ser pre-
especificada con el fin de obtener propiedades satisfactorias de rechazo de
perturbaciones.
Por lo tanto, si se requiere un rechazo de perturbaciones perfecta a una frecuencia
specificada, S (Z-1) debe incluir un cero correspondiente a esta frecuencia. En particular, si
un perfecto carga de rechazo de perturbaciones en el estado estacionario (es decir, la
frecuencia cero) se desea, Syp (z-1) debe incluir un trmino (1 - z-1) en el numerador, que
conduce a un valor de la ganancia igual a cero para z = 1. Esto es coherente con el
resultado dado en la Seccin 2.4.3., porque un cero de Syp (z-1) corresponde a un poste
del sistema de bucle abierto.
La funcin de transferencia entre la perturbacin p (t) y la entrada de la planta u (t)
(funcin de sensibilidad de entrada) est dada por
El anlisis de esta funcin permite evaluar la influencia de una perturbacin
en la entrada a la planta, y para especificar un factor del polinomio R (z-1) si el
controlador no debe reaccionar a las perturbaciones concentrados en una frecuencia
particular regin.
Cuando se aade ruido a la salida medida (ver Figura 2.28), importante la informacin
puede ser recuperada por la funcin de transferencia que relaciona el ruido b (t) a la salida
y la planta (t) (funcin de sensibilidad al ruido de salida).
A medida que la energa de ruido se concentra a menudo en alta frecuencia, la atencin
debe ser pagado con el fin de obtener una baja ganancia de la funcin de transferencia
(jw) S YB e-en este regin de frecuencia.
Para T = R, la funcin de sensibilidad entre r ey (tambin llamada complementaria funcin
de sensibilidad) se define como
Note que
lo que implica una interdependencia entre estas funciones de sensibilidad. Observe que
Sub (z-1), la funcin de transferencia entre el ruido y la entrada a la planta, es igual a Sup
(z-1).
Otra importante funcin de transferencia describe la influencia en la salida de un
perturbacin v (t) en la entrada a la planta. Esta funcin de sensibilidad disturbanceoutput
de entrada funcin de sensibilidad) est dada por
La importancia de esta funcin de sensibilidad es que mejora la posible simplificacin de
los polos de plantas inestables por los ceros de R (z-1). Con el fin de aclarar este punto,
vamos a considerar la hiptesis de R (z-1) = A (z-1) (planta polos de compensacin por los
ceros del controlador) y supongamos que la planta que se desea controlar es inestable (A
(z-1) tiene races fuera del crculo unitario). En este caso
Tenga en cuenta que Syp, Sup, Syb son funciones de transferencia estables si S (z-1) se
elige con el fin de tiene S (z-1) + B (z-1) estable, que es
mientras que la funcin de sensibilidad Syv (z-1) es inestable. Esta observacin se obtiene
con la siguiente declaracin general: El sistema de retroalimentacin se presenta en la
Figura 2.28 es asintticamente estable si y slo si todas las cuatro funciones de
sensibilidad Syp, Sup, SYB (o SYR) y SyV (describiendo las relaciones entre perturbaciones
en una mano y la planta de entrada o de salida en el otra parte) son asintticamente
estable.
El conjunto de cinco funciones HOL de transferencia (Z-1), Syp (z-1), Sup. (z-1), Syb (z-1) (o
Syr (z-1)) y Syv (z-1) tambin juegan un papel importante en el sistema de bucle cerrado
anlisis de robustez.
2.5.3 Sistema de control con controlador digital
PI En esta seccin se ilustra el diseo de controladores PI digitales. La transferencia
(funcin) del operador de la planta discretizado con mantenedor de orden cero viene
dada por
En aras de la uniformidad de la notacin, a menudo utilizaremos, en el caso de la
constante coeficientes, q-1 notacin tanto para el operador de retardo y la variable
compleja z-1.
La notacin z-1 se emplear especialmente cuando una interpretacin de la frecuencia Se
necesita de dominio (en este caso z = e jTs).
El controlador PI digital se caracteriza por los polinomios (vanse las ecuaciones 2.5.6 y
2.5.7):
La funcin de transferencia del sistema de bucle cerrado (con respecto a la referencia r (t))
en el forma general viene dada por la Ecuacin 2.5.12.
El polinomio P caracterstica (q-1), cuyas races son el bucle cerrado deseado polos del
sistema, define esencialmente las actuaciones. Como regla general, se elige como un
polinomio de segundo orden correspondiente a la discretizacin de una de segundo orden
sistema de tiempo continuo con una frecuencia natural 0 especificado y mortiguamiento
(0 y , por ejemplo, y puede ser obtenido sobre la base de los diagramas de los Las
figuras 1,10 o 1,11) a partir de las especificaciones en el dominio del tiempo. la
coeficientes correspondientes al polinomio P (q-1) se obtienen ya sea por tablas de
conversin mencionados en la Tabla 2.4, o por funciones Scilab y MATLAB
dada en la seccin 2.3. En este caso, el perodo de muestreo Ts, 0 frecuencia natural y
amortiguacin debe ser especificado.
Recordamos que la relacin entre 0 y Ts debe ser respetado (vase la seccin 2.2.2,
Ecuacin 2.2.7):
Para una planta que tiene un operador equivalente de tiempo discreto de transferencia
(funcin) dado por Ecuacin 2.5.19, y el uso de un controlador PI digital, los polos del
sistema en lazo cerrado estn dadas por la Ecuacin 2.5.13, y son
Al reordenar los trminos en la Ecuacin 2.5.23 en orden ascendente q-1 potencias,
obtenemos
Para la ecuacin polinmica 2.5.24 a ser verificada, es necesario que el coeficientes de los
mismos q-1 potencias deben ser igual en ambos lados. As, la se obtiene siguiente sistema:
lo que da por r0 y r1 los resultados
Uno puede ver que los parmetros del controlador dependen de la actuacin
especificaciones (los polos de lazo cerrado deseados) y los parmetros del modelo de la
planta. Mediante el uso de la Ecuacin 2.5.7, uno puede obtener los parmetros de la de
tiempo continuo Regulador PI:
2.6 Anlisis de los Closed Loop muestreados-Data Systems en el dominio de la
Frecuencia
2.6.1 Sistemas de Circuito Cerrado de Estabilidad
En el caso de sistemas de tiempo continuo, se demostr en el Captulo 1, Seccin 1.2.5,
cmo utilizar la representacin de funcin de transferencia en lazo abierto en el plano
complejo (el Nyquist) con el fin de analizar la estabilidad del sistema en lazo cerrado y el
robustez con respecto a las variaciones de parmetros (o incertidumbres sobre la valor de
los parmetros). El mismo enfoque puede ser aplicado para el caso de de datos
muestreados sistemas. El diagrama de Nyquist para sistemas de datos muestreados se
puede dibujar utilizando el funciones Nyquist-ol.sci (Scilab) y Nyquist-ol.m (MATLAB ) 6.
La figura 2.29 muestra el diagrama de Nyquist de un sistema de datos muestreados en
lazo abierto incluyendo una planta (representada por la funcin de transferencia
correspondiente H (z-1) = B (z-1) / A (z-1)) y un controlador RST.
En este caso, la funcin de transferencia en bucle abierto est dada por
El vector que une el origen del plano a un punto que pertenece a la traza de Nyquist de la
funcin de transferencia representa HOL (e-jw) para una frecuencia en radianes
normalizada especificada = s = 2 f / fs. El margen que se considera de la variacin
de la radian naturales es la frecuencia entre 0 y (correspondientes a una frecuencia no
normalizada variacin entre 0 y 0,5 FS).
Figura 2.29. Nyquist para una funcin de transferencia del sistema de datos muestreados
y el punto crtico
En este diagrama el punto de [-1, j0] es el "punto crtico". Como muestra la Figura 2.29
con claridad shows, el vector que une el punto [- 1, j0] para el diagrama de Nyquist de HOL
(e-jw) tiene la expresin
Este vector representa la inversa de la funcin de sensibilidad de salida Syp (z-1) (ver
Ecuacin 2.5.14) y los ceros de S-1yp (z-1) se corresponden con el sistema de bucle
cerrado polos (vase la Ecuacin 2.5.13). Con el fin de tener un bucle cerrado
asintticamente estable sistema, es necesario que todos los ceros de S-1yp (z-1) (que son
los polos de Syp (z-1)) estar dentro del crculo unitario (| z |
no rodea el punto crtico (si A (z-1) y S (z-1) tienen sus races en el interior del crculo
unitario).
En el caso de un sistema de bucle abierto inestable, ya sea si A (z-1) tiene algunos polo
fuera del crculo unitario (planta inestable), o si el controlador computarizada es inestable
en lazo abierto (S (z-1) tiene algo de polo fuera del crculo unitario), el criterio de
estabilidad es: El diagrama de Nyquist de HOL (z-1) atravesada en el sentido de las
frecuencias crecientes (de = 0 a = ), deja el punto crtico [-1, j0] a la izquierda y el
nmero de cercos contra las agujas del reloj del punto crtico debe ser igual al nmero
polos de la inestabilidad de la System7 lazo abierto.
Tenga en cuenta que el lugar geomtrico de Nyquist entre 0,5 y fs fs es la simtrica de la
De Nyquist locus entre 0 y 0,5 FS con respecto al eje real. La frmula general criterio de
Nyquist que da la cantidad de rodeos alrededor del punto crtico es
Donde es el nmero de polos inestables de bucle cerrado y es el nmero de polos
inestables en lazo abierto. Los valores positivos de N corresponden a las agujas del reloj
cercos alrededor del punto crtico. Con el fin de que el sistema de circuito cerrado sea
asintticamente estable es necesario que. Figura 2.30 muestra dos interesante loci de
Nyquist.
yo CL P i OL P yo N =-POL Si la planta es estable en bucle abierto y el controlador se calcula
sobre la base de Ecuacin 2.6.3 para obtener una estable deseada cerrado polinomio
bucle P (z-1) (esto significa que el sistema de circuito cerrado nominal es demasiado
estable), entonces, si un diagrama de Nyquist de la se obtiene la forma de la figura 2.30a,
se concluye que el controlador es inestable en lazo abierto. Esta situacin debe ser
generalmente avoided8, y esto se puede lograr por la reduccin de las prestaciones
dinmicas lazo cerrado deseados (modificando P (z-1)).
7 El criterio se mantiene incluso si se produce una cancelacin inestable polo-cero. La
cantidad de rodeos
debe ser igual al nmero de polos inestables sin tener en cuenta las posibles
cancelaciones.
8 Nota que existen algunos patolgica funciones de transferencia B (z-1) / A (z-1) con
polos inestables y / o
ceros que pueden ser slo estabilizados por los controladores que son inestables en lazo
abierto.
Figura 2.30 . Diagramas de Nyquist : a) sistema inestable en lazo abierto , pero estables en
lazo cerrado ;
b ) sistema estable a lazo abierto, pero inestable en lazo cerrado
2.6.2 Sistema de lazo cerrado Robustez
Al disear un sistema de control , hay que tener en cuenta el modelo de la planta
incertidumbres ( incertidumbres de los valores de los parmetros o de la frecuencia
caractersticas , variaciones de los parmetros , etc.) Por lo tanto, es extremadamente
importante para evaluar si la estabilidad del bucle cerrado se garantiza en presencia de las
incertidumbres del modelo de la planta. El circuito cerrado se denomina "robusto" si el
estabilidad est garantizada por un determinado conjunto de incertidumbres del modelo .
La robustez del bucle cerrado est relacionada con la distancia mnima entre el Nyquist
para el modelo de la planta nominal y el " punto crtico ", as como a la caractersticas de
frecuencia del mdulo de las funciones de sensibilidad .
Los siguientes elementos ayudan a evaluar hasta qu punto es el punto crtico [-1, j0 ]
(vase
Figura 2.31 ) :
El margen de ganancia ;
El margen de fase ;
El margen de demora ;
El margen de mdulo .
Margen de ganancia El margen de ganancia ( Delta G ) es igual a la inversa de la ganancia
para la frecuencia correspondiente a un desplazamiento de fase = -180 ( vase la
figura 2.31) .
( Jw )HOL correo El margen de ganancia es a menudo expresada en dB. En otras palabras ,
el margen de ganancia da el incremento mximo admisible de la ganancia de lazo abierto
para la frecuencia
Figura 2.31. Mrgenes de ganancia, fase y mdulo
Los valores tpicos para un buen margen de ganancia son
G 2 (6 dB)[min: 1.6(4 dB)]
Si el diagrama de Nyquist cruza el eje real en varias frecuencias i caracterizado por un
retardo de fase
y las ganancias correspondientes del sistema de bucle abierto se denotan por
entonces el margen de ganancia se define por 9
Margen de Fase
El margen de fase () es la fase adicional que hay que aadir en el cruce frecuencia, para
los que la ganancia del sistema de bucle abierto es igual a 1, con el fin de obtener una
desplazamiento de fase total del = - 180 (vase la figura 2.31).
en el que cr se llama frecuencia de cruce y que corresponde a la frecuencia de que el
diagrama de Nyquist cruza el crculo unitario (vase la Figura 2.31).
9 Tenga en cuenta que si el diagrama de Nyquist cruza el eje real para valores inferiores a -
1 y abandona el punto crtico para la izquierda, hay un valor mnimo del margen de
ganancia en las que el sistema se vuelve inestable.
Los valores tpicos para un buen margen de fase son Si el diagrama de
Nyquist cruza el crculo unitario a varias frecuencias caracterizado por los mrgenes de
fase correspondientes:
a continuacin, el margen de fase del sistema se define como
Delay Margen
Un tiempo de retardo introduce un desplazamiento de fase proporcional a la