DESPACHO ECONÓMICO DE LOS

SISTEMA DE POTENCIA

ING. RICARDO MORENO, PHD

AGOSTO DE 2013

1

DESPACHO ECONÓMICO:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

L G1 G2

p1 p2 min max

1 1 1

min max

2 2 2

p p p

p p p

2 2

1 1 1 2 2 2Minimizar C a b p a b p

1 2

max

1 1

min

1 1

max

2 2

min

2 2

Sujeto a:

0

0

0

0

p p L

p p

p p

p p

p p

Restricciones con igualdad

Restricciones con desigualdad

DESPACHO ECONÓMICO:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

p1max p1

min

p2min

p2max

p1

p2

1 2p p L

A

2 2

1 1 1 2 2 2Minimizar C a b p a b p

DESPACHO ECONÓMICO:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

p1max p1

min

p2min

p2max

p1

p2

1 2p p L

A B

'

1 2p p L

2 2

1 1 1 2 2 2Minimizar C a b p a b p

DESPACHO ECONÓMICO:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

p1max p1

min

p2min

p2max

p1

p2

1 2p p L

A B

'

1 2p p L

C

2 2

1 1 1 2 2 2Minimizar C a b p a b p

DESPACHO ECONÓMICO:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

1 2

i 1 2

j 1 2

Minimizar , ,.. ,

sujeto a:

, ,.. , 0 1,...

, ,.. , 0 1,...

n

n

n

f x x x

x x x i m

g x x x j p

1 1 1 1

1

1

1

1

,.. , , ,..., , ,..., , ,

,.. ,

,.. ,

n m p n

m

i i n

i

p

j j n

j

x x f x x

x x

g x x

l K

Función Lagrangiana:

DESPACHO ECONÓMICO:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

L G1 G2

p1 p2

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

minimizar ,

. . , 0

f p p C p C p

s t p p L p p

max

1 1 2 1 1

min

2 1 2 1 1

, 0

, 0

g p p p p

g p p p p

max

3 1 2 2 2

min

4 1 2 2 2

, 0

, 0

g p p p p

g p p p p

min max

2 2 2p p p

min max

1 1 1p p p

1 2 1 2 3 4 1 1 2 2 1 2

max min

1 1 1 2 1 1

max min

3 2 2 4 2 2

, , , , , ,p p C p C p L p p

p p p p

p p p p

l

Condiciones de KKT:

11 2

1 1

23 4

2 2

1 2

0

0

0

dC

p dp

dC

p dp

L x x

l

l

l

DESPACHO ECONÓMICO:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

Condiciones de KKT:

DESPACHO ECONÓMICO:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

max

1 1

1

0p p

l

min

1 1

2

0p p

l

max

2 2

3

0p p

l

min

2 2

4

0p p

l

max

1 1 1 1( ) 0 ; 0p p

min

2 1 1 2( ) 0 ; 0p p

max

3 2 2 3( ) 0 ; 0p p

min

4 2 2 4( ) 0 ; 0p p

DESPACHO ECONÓMICO:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

Caso 1: la solución óptima ocurre en valores que están

en el rango, ningún generador opera en el límite.

Todos los μ’s son iguales a cero, entonces:

1

1 1

2

2 2

1 2

0

0

0

dC

p dp

dC

p dp

L p p

l

l

l

Todos los generadores operan al mismo costo

incremental.

1 2

1 2

dC dC

dp dp

DESPACHO ECONÓMICO:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

Caso 2: la solución optima requiere que el generador 1

opere en su límite superior.

max

1 1 1 2 3 40 0; 0 p p

11

1 1

2

2 2

0

0

dC

p dp

dC

p dp

l

l

11

1

2

2

dC

dp

dC

dp

Los generadores no operan al mismo costo incremental

DESPACHO ECONÓMICO:

OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES

Caso 3: la solución optima requiere que el generador 1

opere en su límite inferior.

min

1 1 2 1 3 40 0; 0p p

Los generadores no operan al mismo costo incremental

12

1 1

2

2 2

0

0

dC

p dp

dC

p dp

l

l

12

1

2

2

dC

dp

dC

dp

EJEMPLO: DESPACHO ECONÓMICO

Una carga L = 800 MW es suplida por tres unidades de

generación.

Las caracteristicas del costo de las tres unidades son

dadas a continuación:

C1 = 100 + 8 P1 + 0.1 P12 [$/h] 230 ≤ P1 ≤ 400 MW

C2 = 200 + 7 P2 + 0.06 P22 [$/h] 100 ≤ P2 ≤ 500 MW

C3 = 250 + 9 P3 + 0.07 P32 [$/h] 100 ≤ P3 ≤ 260 MW

Calcular el despacho ecónomico óptimo

EJEMPLO: FUNCIÓN LAGRANGIANA

=

5 3 6 3( 260) (100 )P P

100 + 8P1 + 0.1P1

2

+200 + 7P2 + 0.06P2

2

+250 + 9P3 + 0.07P3

2

1 2 3( )L P P P

1 1 2 1( 400) (230 )P P

3 2 4 2( 500) (100 )P P

EJEMPLO:

CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Calcular las derivadas parciales de la función

Lagrangiana con respecto a las variables de decisión y

al multiplicador.

1 1 2

1

2 3 4

2

3 5 6

3

1 2 3

8 0.2 0

7 0.12 0

9 0.14 0

0

PP

PP

PP

L P P P

l

l

l

l

(1)

(2)

(3)

(4)

EJEMPLO:

CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Calcular las derivadas parciales de la función

Lagrangiana con respecto a μ’s

1

1

1

2

2

3

400 0

230 0

500 0

P

P

P

l

l

l

EJEMPLO:

CONDICIONES DE OPTIMALIDAD Calcular las derivadas parciales de la función

Lagrangiana con respecto a μ’s

2

4

3

5

3

6

100 0

260 0

100 0

P

P

P

l

l

l

EJEMPLO:

CONDICIONES DE COMPLEMENTO

1 1 1.( 400) 0; 0 P

2 1 2.(230 ) 0; 0 P

3 2 3.( 500) 0; 0 P

4 2 4.(100 ) 0; 0 P

5 3 5.( 260) 0; 0 P

6 3 6.(100 ) 0; 0 P

EJEMPLO:

CASO 1

Asumir que ninguna de las restricciones de desigualdad

esta en el límite. Esto implica que todos los μ‘s son

iguales a cero.

Entonces, reescribiendo las ecuaciones (1) a (3)

1

1

2

2

3

3

8 0.2 0

7 0.12 0

9 0.14 0

PP

PP

PP

l

l

l

1

8

0.2P

2

7

0.12P

3

9

0.14P

EJEMPLO:

CASO 1

Reemplazando en la ecuación (4),

5( 8) 8.33( 7) 7.14( 9) 0L

Con L = 800MW, 46.96 $/MWh

Reemplazando en las ecuaciones (1), (2) y (3)

P1 = 194.8 MW

P2 = 333.0 MW

P3 = 271.2 MW

< P1

min = 230 MW

> P3

max = 260 MW

No es una solución valida

EJEMPLO:

CASO 2

Combinación de restricciones con solución de frontera

6 restricciones de desigualdad 64 posibilidades!

Utilizando información previa,

P1 = P1

min = 230 MW

P3 = P3

max = 260 MW

2 0

5 0

1 3 4 6 0

EJEMPLO:

CASO 2

P1 = P1

min = 230 MW

P3 = P3

max = 260 MW

1 2 3 0 L P P P

2 310 MW P

Ahora deben verificarse que los μ‘s cumplen

con las condiciones

EJEMPLO:

CASO 2

1 3 4 6 0

1 2

1

2

2

3 5

3

8 0.2 0

7 0.12 0

9 0.14 0

PP

PP

PP

l

l

l

2 9.8 $/MWh

44.2 $/MWh

5 1.2 $/MWh

0!

EJEMPLO:

RESUMEN

P1

P2

P3

P1

min

P2

min

P3

min P3

max

P2

max

P1

max

P2

P1

P3

Caso 1:

EJEMPLO:

RESUMEN

Caso 2:

P1

P2

P3

P1

min

P2

min

P3

min P3

max

P2

max

P1

max

P2

P1

P3

EJEMPLO:

CASO 3

min

1 1 230 MW P P 2 0

1 3 4 5 6 0

2

2

3

3

7 0.12 0

9 0.14 0

PP

PP

l

l

1 2 3 0L P P P

l

2

3

44.75 $/MWh

315 MW

255 MW

P

P

EJEMPLO:

CASO 3

1 2

1

8 0.2 0PP

l2 9.25 $/MWh

Solución que satisface todas las condiciones de

optimalidad

1

2

3

230 MW

315 MW

255 MW

P

P

P

44.75 $/MWh

2 9.25 $/MWh

Valor de reducir P1 por 1MW

EJEMPLO:

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Caso 3:

P1

P2

P3

P1

min

P2

min P2

max

P1

max

P2

P1

P3

ANÁLISIS Y FORMULACIÓN DEL

PROBLEMA DE UNIT COMMITMENT

29

CURVA DE DEMANDA

-

1,000.00

2,000.00

3,000.00

4,000.00

5,000.00

6,000.00

7,000.00

8,000.00

9,000.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Dem

an

da N

acio

nal (M

Wh

)

Curva de Carga Diciembre 2012

Promedio Dem. Nac. (MWh)

UNIT COMMITMENT, UN EJEMPLO

• Unidad 1:

• PMin = 250 MW, PMax = 600 MW

• C1 = 510.0 + 7.9 P1 + 0.00172 P12 $/h

• Unidad 2:

• PMin = 200 MW, PMax = 400 MW

• C2 = 310.0 + 7.85 P2 + 0.00194 P22 $/h

• Unidad 3:

• PMin = 150 MW, PMax = 500 MW

• C3 = 78.0 + 9.56 P3 + 0.00694 P32 $/h

¿cúal combinación de las unidades 1, 2 and 3 producirá 550 MW a costo mínimo?

UNIT COMMITMENT, VARIAS

COMBINACIONES

1 2 3 Pmin Pmax P1 P2 P3 Ctotal

Off Off Off 0 0 ------------

Off Off On 150 500 ------------

Off On Off 200 400 ------------

Off On On 350 900 0 400 150 5418

On Off Off 250 600 550 0 0 5389

On Off On 400 1100 400 0 150 5613

On On Off 450 1000 295 255 0 5471

On On On 600 1500 ------------

UNIT COMMITMENT,

PERFIL DE CARGA

Carga (MW)

Tiempo (h) 12 6 0 18 24

500

1000

UNIT COMMITMENT, COMBINACIÓN

ÓPTIMA PARA CADA HORA

Carga Unidad 1 Unidad 2 Unidad 3

1100 On On On

1000 On On Off

900 On On Off

800 On On Off

700 On On Off

600 On Off Off

500 On Off Off

UNIT COMMITMENT,COMBINACIÓN

ÓPTIMA PARA CADA HORA

12 6 0 18 24

Unidad 1

Unidad 2

Unidad 3

Tiempo (h)

Carga (MW)

UNIT COMMITMENT,

111

110

101

100

011

010

001

000

• Ejemplo

– 3 unidades: 8 posibles

estados

– N unidades: 2N posibles

estados

UNIT COMMITMENT,

1 2 3 4 5 6 T=

Optimización en un

horizonte de tiempo

dividido en intervalos.

La solución es un camino.

UNIT COMMITMENT,

1 2 3 4 5 6 T=

¿cuantas soluciones hay?

2 2 2 2 TN N N NK

UNIT COMMITMENT,

DIMENSIONALIDAD DEL PROBLEMA

Ejemplo: 5 unidades, 24 horas

Sin embargo, muchas de estas combinaciones no

satisfacen las restricciones.

24

5 352 2 6.2 10T

N

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

Pmin (MW)

Pmax (MW)

Min up (h)

Min down

(h)

No-carga costo

($)

Costo marginal ($/MWh)

Costo de arranque

($)

Estado inicial

A 150 250 3 3 0 10 1,000 ON

B 50 100 2 1 0 12 600 OFF

C 10 50 1 1 0 20 100 OFF

Características de las unidades

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

0

50

100

150

200

250

300

350

1 2 3

Horas

Carga

Requerimiento de reserva no son considerados

Demanda horaria

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

Combinaciones

Pmin Pmax A B C

1 1 1 210 400

1 1 0 200 350

1 0 1 160 300

1 0 0 150 250

0 1 1 60 150

0 1 0 50 100

0 0 1 10 50

0 0 0 0 0

1 2 3

150 300 200

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

A B C

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

1 2 3

Estado inicial

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

Estado inicial

TD TU

A 3 3

B 1 2

C 1 1

1 2 3

A B C

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

A B C

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

Estado inicial

1 2 3

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0 1

4

3

2

5

6

7

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

Estado Demanda PA PB PC Costo

1 150 150 0 0 1500

2 300 250 0 50 3500

3 300 250 50 0 3100

4 300 240 50 10 3200

5 200 200 0 0 2000

6 200 190 0 10 2100

7 200 150 50 0 2100

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0 1

4

3

2

5

6

7

$1500

$3500

$3100

$3200

$2000

$2100

$2100

Costos de operación

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0 1

4

3

2

5

6

7

$1500

$3500

$3100

$3200

$2000

$2100

$2100

Unidad Costos de

arranque

A 1000

B 600

C 100

$0

$0

$0

$0

$0

$600

$100

$600

$700

Costos de arranque

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0 1

4

3

2

5

6

7

$1500

$3500

$3100

$3200

$2000

$2100

$2100

$1500

$5100

$5200

$5400

$7300

$7200

$7100 $0

$0

$0

$0

$0

$600

$100

$600

$700

Costos acumulados

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

Costos totales

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0 1

4

3

2

5

6

7

$7300

$7200

$7100

UNIT COMMITMENT EJEMPLO

Solución optima

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0 1

2

5

$7100