SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Vamos a agregar al modelo una ltima complicacin. Colocaremos una masa de inercia M en la punta libre del resorte, y reajustamos la escala de manera que sta lea 0 cuando solamente est actuando la fuerza de la gravedad.

Ahora ha sido generada una tercera fuerza opositora, causada por lareactancia inercial de la masa. De acuerdo con la segunda ley de Newton, esta fuerza es proporcional a la aceleracin, o sea a la segunda derivada del desplazamiento Tendremos entonces.

Donde M es la inercia de la masa. Agregando esta nueva fuerza a las otras dos que ya tenemos, nuestra ecuacin del movimiento se transforma en el siguiente:

Esta ecuacin es una diferencial de segundo orden y el sistema que es as descrito se denomina un sistema de segundo orden.

Una vez ms, resulta conveniente combinar las tres propiedades del sistema, M, R y K, en dos parmetros definidos de la siguiente manera:

Frecuencia angular natural.

Factor de amortiguamiento.

El rigen se seleccionar estos 2 parmetros es el siguiente. Si queremos obtener un parmetro que relacione la dureza del resorte K y la reactancia inercial encontraremos que, si tomamos un resorte al cual sujetamos por un extremo, obtendremos una oscilacin en el sistema. La frecuencia de esta oscilacin es natural, es decir que solo depende de K y M, y se relaciona de acuerdo a las ecuaciones dadas anteriormente.Cuanto ms duro es el resorte, mayor la frecuencia y a la inversa si aumentamos la masa y por lo tanto su reactancia inercial, disminuir la frecuencia. El segundo parmetro se refiere a que tan rpido se amortige este movimiento, lo cual depende de R, o sea el amortiguamiento que en nuestro modelo existe a nivel de las guas.

En trminos de estos paramteros entonces, la ecuacin se transforma en la siguiente:

Emplearemos ahra , para obtener una funcion de transferencia ,otro truco notacional ,haciendo y

la ecuacin anterior queda:

Y resolvindola para y:

DIAGRAMA DE BLOQUES:

Entonces

Luego del anlisis en MatLab se obtiene:

Respuesta a la Frecuencia:

Respuesta a un Funcin STEP: esto es Fuerza constante

CODIGO DE PROGRAMA Y MODELO EN SIMULINK

ARCHIVO M-file

M = 5;K = 2.2;R = 1.5; wn = (K/M)^.5;xi = R/(2*(K*M)^.5); num = [wn^2/K];den = [1 2*wn wn^2]; figure(1);plot(out.Time, out.Data, 'k','LineWidth',2);xlabel('Tiempo (seg)');ylabel('y(t)');title('RESPUESTA A UNA FUERZA EXTERNA');grid on;% analisis de frecuencia y de faseG = tf(num,den)figure(2);bode(Syst1)grid on