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CONTENIDO
CRITERIOS DE ESTABILIDAD EN TÉRMINOS DE LADESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ
ESTABILIDAD DE ECUACIONES DINÁMICAS LINEALES
ESTABILIDAD EN EL SENTIDO DE LYAPUNOV
SISTEMAS LINEALES ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES
DR. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ 1
TEMA 8. ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES
CRITERIOS DE ESTABILIDAD EN TÉRMINOS DE LA DESCRIPCIÓN DE ENTRADA-SALIDA
SISTEMAS LINEALES ESTABILIDAD DE SISTEMAS LINEALES
DR. JOSÉ DE JESÚS LIRA PÉREZ 2
Controlabilidad
ObservabilidadImportantes
Estabilidad
Si es estable, se hace esfuerzo para controlar.
Si no es estable, no se intenta controlar.
CRITERIOS DE ESTABILIDAD
Definición
Un sistema en reposo es BIBO estable (limitado en entrada-limitado
en salida, Bounded-Input Bounded-Output) si y sólo si para cualquier
entrada acotada genera una salida limitada
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Considere un sistema SISO Lineal Invariante en el Tiempo (LTI)
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
y t g t u d g u t d
Donde g es la respuesta del sistema al impulso. Se asume que el sistema está
en reposo en t = 0.
Una entrada u(t) se dice que es acotada si u(t) no crece al infinito positivo o
negativo o, equivalentemente, existe una constante um tal que
( ) para todo 0mu t u t
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Teorema
Un sistema SISO Lineal Invariante en el Tiempo (LTI) es BIBO estable si
y sólo si
0
( )g t dt K
Para alguna constante K.
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Ejemplo
u(t)
L
Cy(t)
21 1T
s LCZ sL
sC sC
2 2
1
( )( ) ( )
1 1
U ssCY s U ss LC s LC
sC
2
( )( )
1
u jy j
LC
1Si ( )y j
LC
Para esta frecuencia el sistema no es BIBO estable, para las demás
frecuencias si lo es.
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Algunas consecuencias importantes
Sea
0
( )g t dt K
1) Si u(t) (entrada) es periódica con período T, entonces y(t) es
periódica, con período T.
2) Si u(t) es limitada y tiende a una constante, entonces y(t) también
tiende a una constante.
3) Si u(t) es de energía finita, es decir
1/ 2
2
1
0
( )u t dt K
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Entonces la salida también es de energía finita
1/ 2
2
2
0
( )y t dt K
Colorario de la consecuencia 1
Sea un sistema en reposo de una variable
( )u t ( )y t( )g t
0
( ) ( ) ( )
t
y t g t u d
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Si se cumple
0
( )g t dt K
Y u(t) = sen (ωt) para t ≥ 0
( ) ( ) ( ), y t g j sen t t
1 Im ( )tan y ( ) es g(t)
Re ( )
g jg s
g j
£
Entonces en un sistema BIBO estable una entrada sinusoidal produce
una salida sinusoidal.
Los sistemas LTI (Lineales Invariantes en el Tiempo) se describen en
funciones de transferencia g(s).
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Ejemplo
1( ) ( ) ( )g s g t u t
s
( )g t
t
1
0
( )g t dt K
0
1dt
En todo el lado izquierdo del plano complejo
0
( )g t dt K
Es por eso que es estable
Y del lado derecho
0
( )g t dt
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Teorema
Un sistema de una variable descrito por una función racional propia ĝ(s)
es BIBO estable si y sólo si todos los polos de ĝ(s) están en el lado
izquierdo del plano s, o en forma equivalente tiene parte real negativa.
Si la entrada en el ejemplo anterior es acotada, la salida no lo es, por el
hecho de no ser BIBO estable.
( )u t ( )y t( )g t
u(t) = escalón unitario
2
( ) ( ) ( )
1 1 1
( )
Y s G s U s
s s s
y t t
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Ejemplo
V
θ vs V no es BIBO estable
Pero en cambio
t
ω vs V si es BIBO estable
Lv(t)+
-
i(t)( ) 1
( )
I s
V s sL Un polo en el origen
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GENERALIZACIÓN A MULTIVARIABLE
a) Un sistema en reposo
0
( ) ( ) ( )
t
t t d y g u
Es BIBO estable si y sólo si, hay un número K tal que, para cada
elemento de g se cumple
0
( )ijg t dt K
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b) Un sistema multivariable en reposo
( ) ( ) ( )s s sY G U
Es BIBO estable si todos los polos de cada elemento de G(s)
tienen parte real negativa.
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ceros( )
polosg s
polos s
Polinomio de Hurwitz
Polinomio donde todas las raíces tienen parte real negativa.
Sea un polinomio
1 2
0 1 2 1( ) n n n
n nD s a s a s a s a s a
0 0, ia a
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2
0 0 2( ) n nD s a s a s
1 3
1 1 3( ) n nD s a s a s
( )D s
Renombrando
0 0 2 0 0
0 0 1 ' 1 '( ) n n
n nD s a s a s a s a
1 1 1 3 1
1 0 1 ' 1( ) n n
nD s a s a s a s
Donde
' ( par)2
nn n
1' ( impar)
2
nn n
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Con los coeficientes aik se construye la tabla de Routh-Hurwitz y se definen:
2 1
1 1 1
01 1
0
k k k
i i k i
k
k k
a a a
a
a
0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 ' 1 '
1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 ' 1
2 2 2 2 2 2
0 1 2 3 ' 2
3 3 3 3 3 3
0 1 2 3 ' 2
2 2 2
0 1
1 1
0
0
0
n
n n
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
s a a a a a a
s a a a a a
s a a a a a
s a a a a a
s a a
s a
s a
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TEOREMA DEL CRITERIO ROUTH-HURWITZ
Sea un sistema con una función de transferencia ĝ(s), de la forma
racional irreductible. El sistema es BIBO estable si todos los polos de
ĝ(s) tienen parte real negativa, o de forma equivalente si y sólo si los
términos a0i son todos positivos , y todos los ai
k son distintos de cero.
Ejemplo
Sea7 6 5 4 3 2( ) 3 2 2 3 1.5 1D s s s s s s s s
7 5 3
0
6 4 2
1
( ) 3 2 3 1.5
( ) 2 1
D s s s s s
D s s s s
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7
6
5
4
3
2
1
0
3 2 3 1.5
6 1 1 1
0.5 1.5 0
s
s
s
s
s
s
s
s
2
0
2 0 1
0 1 1 1
0
01 1
0
2
0
0, 0
31.5
2
2 (1.5)(1) 0.5
a i k
a a a
a
a
a
No es un polinomio de Hurwitz y el
sistema con este denominador no
sería BIBO estable.
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4 3 2( ) 2 2 3 2D s s s s s
4
3
2
1
0
2 1 2
2 3
2
s
s
s
s
s
No es polinomio de Hurwitz
4 3 2( ) 2 5 5 2 1D s s s s s
4
3
2
1
0
2 5 1
5 2
21 5 1
17 21
1
s
s
s
s
s
Si es polinomio de Hurwitz
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Sea un sistema LIT
1
( )s s
x Ax Bu
y = Cx
G C I A B
El sistema es BIBO estable si los polos para todos los elementos de Ĝ(s)
tienen parte real negativa
Si la entrada es cero
0( ) tt e
A
x Ax
x = x
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Definición
Un estado xe de una ecuación dinámica es un estado de equilibrio en t0 si
y sólo si xe es una solución de Ax = 0, para todo t > t0, es decir,
0
0 es un estado de equilibrio
e
e
x
x =
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Teorema
Cada estado de equilibrio de es estable en el sentido de Lyapunov
si y sólo si todos los eigenvalores de A tienen parte real no positiva y
aquellos con parte real cero son raíces distintas en el polinomio mínimo de
A.
x Ax
Ejemplo
0 0 0
0 0 0
0 0 1
x x
El sistema
¿es estable?
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1
2
3 3
0
0
x
x
x x
1 1
2 2
3
0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
e
e
x x
x x
x
x1 y x2 pueden ser cualquier valor para ser estado de equilibrio.
Para x3 sólo el valor 0 lo hace estado de equilibrio.
Los eigenvalores de A son 0, 0, -1. Si el sistema tiene
0
5
3
0
x
x0 es un estado de equilibrio.
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Teorema
El estado cero de es asintóticamente estable si y sólo si los
eigenvalores de A tiene parte real negativa
x Ax
Ejemplo
1 0 0
1 1 1
1 1
u
y
x x
x
Sea el sistema
1 1 0 0 1
1 11 1 1 1
ss
s s
G C I A B El polo es -1
y es estable
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Los eigenvalores del sistema son
1 21, 1
La ecuación dinámica no es controlable pero la salida del sistema si lo es.
Si se diagonaliza la matriz de evolución
1 0 0ˆ ˆˆ, , 3 10 1 1
A B C
No es controlable, pero si es observable.
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IMPLICACIONES DEL TEOREMA ANTERIOR
a) Si la ecuación dinámica en estado cero (sin entrada) es asintóticamente
estable , entonces Ĝ(s) es BIBO estable.
b) Si Ĝ(s) es BIBO estable, no implica que la ecuación dinámica lo sea.
Ĝ(s) sólo describe lo controlable y observable.
Teorema
Sea una ecuación dinámica controlable y observable. Los siguientes
enunciados son equivalentes
a) La ecuación dinámica es totalmente estable
b) La respuesta de estado cero es BIBO estable Ĝ(s)
c) El estado cero es asintóticamente estable (u = 0)
d) Todos los polos de Ĝ(s) tienen parte real negativa
e) Todos los eigenvalores de A tienen parte real negativa
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