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“Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas”24 de marzo de 2003, Universidad de La Laguna
Generación Automática de Mallas Tridimensionales para la Simulación Numérica
de Procesos Medioambientales
R. Montenegro, G. Montero, J.M. Escobar, E. Rodríguez y J.M. González-Yuste
Instituto Universitario de Sistemas Inteligentes y Aplicaciones Numéricas en Ingeniería
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
Parcialmente subvencionado por MCYT y FEDER. Proyecto: REN2001-0925-C03-02/CLI
Curso Universitario Interdisciplinar
Generación de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular.
Contenido
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros.
Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento.
Conclusiones y Líneas Futuras.
Optimización de Mallas de Tetraedros: Desenredo y Suavizado.
Dato: Información Digitalizada del Terreno
Definición del Dominio Tridimensional
ab
h
Discretización Adaptada del Dominio 3-D
Etapas Principales del Proceso de Mallado
Discretización de la superficie del terreno(Algoritmo de refinamiento y desrefinamiento en 2-D)
Etapas Principales del Proceso de Mallado
Discretización de la superficie del terreno(Algoritmo de refinamiento y desrefinamiento en 2-D)
Definición de la nube de puntos(Función de espaciado vertical y estrategias)
Etapas Principales del Proceso de Mallado
Discretización de la superficie del terreno(Algoritmo de refinamiento y desrefinamiento en 2-D)
Generación de la malla tridimensional(Triangulación de Delaunay en paralelepípedo auxiliar)
Definición de la nube de puntos(Función de espaciado vertical y estrategias)
Etapas Principales del Proceso de Mallado
Discretización de la superficie del terreno(Algoritmo de refinamiento y desrefinamiento en 2-D)
Generación de la malla tridimensional(Triangulación de Delaunay en paralelepípedo auxiliar)
Optimización de la malla(Algoritmo simultáneo de desenredo y suavizado)
Definición de la nube de puntos(Función de espaciado vertical y estrategias)
Discretización de la Superficie del Terreno
Información topográfica digitalizada de la región rectangular de estudio
Comenzamos con una malla uniforme 2-D de esta región rectangular
(malla base o grosera 1)
a
b
Discretización de la Superficie del Terreno
Realizamos m-1 refinamientos globales usando el algoritmo 4-T de Rivara
T = { 1 < 2 < ... < m }
(a)
(d)
(b)
(c)
Interpolamos la información digitalizada en los nodos de m
Discretización de la Superficie del Terreno
Aplicamos el algoritmo de desrefinamiento con la precisión deseada
T’ = { 1 < ’2 < ... < ’m’ }
K K+1K-1 K K+1K-1
uu
i
h(K)
(K)
( ) ( )h iu K u K El nodo propio K puede ser eliminado si:
(m' m)
Tres subconjuntos:
1
’m’
Frontera superior del dominio
Frontera inferior del dominio
1) Distribución uniforme de 1 para
la frontera superior
2) Distribución adaptada de ’m’
para la frontera inferior
3) Distribución entre ambas capas atendiendo a la función de espaciado vertical
Definición de la Nube de Puntos
Definición de la Nube de Puntos
z zh z
ni i ni 0
0 0 1 2 1 ; , , ,..., ;
Función de espaciado vertical:
Si fijamos d y , obtenemos:
n h zd
LNMM
OQPP01
Si fijamos d y n, obtenemos:
log
log
h zdn
0
Definición de la Nube de Puntos
Si fijamos d y D, obtenemos n resolviendo la ecuación no lineal:
donde
n nk 1
k
h z Dd
h zd
log
log
0
0siendo 0 1 k y 2 0
n
h zd
Teorema del punto fijo
()
() tiene solución única La ecuación
Puesto que: a)
x g x xh z
d
h z
dk2 20 01, ,( )
b) g xh z
dC
k( ) , es contractiva en con cte. de Lipschitz 2
1
20
1
n h zd
LNMM
OQPP
2 0,
El método del punto fijo converge para cualquier aproximación inicial de 2 0,h z
dL
NMM
OQPP
Influencia del nivel j donde el nodo P de ’m’ es propio
• Si j=1 (P es propio de la malla grosera 1), se generan nodos sobre la vertical
de P atendiendo a la función de espaciado vertical para i = 1, 2,…, n-1.
• Si 2 j m’-1, se generan nodos para i = 1, 2,…, min (m’-j,n-1).
• Si j=m’ (P es propio del nivel más fino ’m’ ), no se genera ningún nodo nuevo.
Definición de la Nube de Puntos
Generación de la Malla Tridimensional
Transformación del dominio real al paralelepípedo auxiliar
Triangulación de Delaunay en el paralelepípedo
Transformación inversa al dominio real (compresión de la malla).
Ventaja: Conformidad de la malla con la superficie del terreno
Inconveniente: Posibilidad de cruces en tetraedros de la malla (enredo de la malla)
Estrategia 1: Número de Capas y Grado de Espaciado Vertical Impuestos
El mismo valor de n y es impuesto para cado nodo P de ’m’
Las capas se transforman en planos horizontales en el paralelepípedo auxiliar
Concentración de capas hacia el terreno
El valor de se introduce como dato
Número de capas (n+1)
El valor de n se introduce como dato
Estrategia 2: Número de Capas Fijo y Grado de Espaciado Vertical Variable
El mismo valor de n se impone para cada nodo P de ’m’ , pero depende de P
El valor de se evalúa en función de d :
El máximo valor de n se calcula automáticamente y se impone
log
log
h zdn
0
Número de capas (n+1)
Concentración de capas hacia el terreno
Las capas se transforman en planos horizontales en el paralelepípedo auxiliar
Estrategia 3:Número de Capas Variable y Grado de Espaciado Vertical Fijo
Diremos que para cada nodo P de ’m’ existe un número de capas virtuales
El mismo valor de se impone para cada nodo P de ’m’ , pero n depende de P
El valor de se introduce como dato
El valor de n se evalúa en función de d : n h zd
LNMM
OQPP01
Número de capas (n+1)
Concentración de capas hacia el terreno
Estrategia 4:Número de Capas y Grado de Espaciado Vertical Variables
Diferentes valores de y n se evalúan automáticamente para cada nodo P de ’m’
El valor de se evalúa en función de d :
El valor de n se evalúa en función de d y D :
log
log
h zdn
0
n nk 1 ()
Número de capas (n+1)
Concentración de capas hacia el terreno
Diremos que para cada nodo P de ’m’ existe un número de capas virtuales
Ejemplo del Comportamiento de las Estrategias
A
B
C
D
Sección ABCD
Estrategia 1
Estrategia 4
Estrategia 3
Estrategia 2
Optimización de la Malla
Desenredo y suavizado simultáneo (algoritmo local de recolocación)
Función objetivo, a minimizar, asociada al nodo v :( )
( ) ( )ee N v
r r
( ) :e r
( , , ):x y zr
62
12 3
: longitud de la arista del tetraedro siendo
: "volumen" del tetraedro
si tenemos "buena" calida
( )( )
y )
)
(
2 (
ei
e e
e
e
ei
ie
e
ll
i e
Vh J e
V
V
Vh
r
2 212
d ( )
4 si ( ) con "mala" calidad
eligiendo el valor de tan pequeño como sea posible para cada nodo
e e
e N v
V V e N v
Vector de posición del nodo libre v que pretendemos recolocar
( ) e N vFunción objetivo asociada al tetraedro conectado con v
2 212
Para los tetraedros de "mala" c
( )
alidad
4
e e eh V V V
( )eh V
eV
Optimización de la Malla
Antes Después
Optimización de la Malla: Ejemplo 1
Antes Después
Optimización de la Malla: Ejemplo 2
Evolución de la calidad media y mínima en función del número de iteraciones de optimización
Optimización de la Malla: Ejemplo 2
5 10 15 20 25
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
qmin
qavg
Área rectangular del sur de La Palma
(Islas Canarias) de 45.6 31.2 km
Variación de cotas desde 0 a 2279 m
La frontera superior del dominio ha sido situada a la altitud h = 9000 m
Las cotas topográficas se definen sobre una retícula de 200 200 m
1 : Malla 2-D uniforme con tamaño de elemento aproximado de 2000 2000 m
’m’ : Malla 2-D adaptada después de 4 refinamientos globales sobre 1 y un paso
de desrefinamiento con una precisión = 40 m
Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”
n = 5 (6 capas), = 2, 52945 tetraedros, 11578 nodos, valencia máxima = 21, número de etapas de optimización = 5
Estrategia 1
Malla Generada Malla Optimizada
Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”
Estrategia 1
Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”
n = 5 (6 capas), 52945 tetraedros, 11578 nodos, valencia máxima= 21, número de etapas de optimización = 5
Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”
Estrategia 2
Malla Generada Malla Optimizada
Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”
Estrategia 2
= 1.5, 53432 tetraedros, 11173 nodos, valencia máxima = 26, número de etapas de optimización = 5
Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”
Estrategia 3
Malla Generada Malla Optimizada
Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”
Estrategia 3
D = 1500 m, 57193 tetraedros, 11841 nodos, valencia máxima = 26, número de etapas de optimización = 5
Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”
Estrategia 4
Malla Generada Malla Optimizada
Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”
Estrategia 4
Estrategia 1 Estrategia 2
Estrategia 3 Estrategia 4
Aplicaciones Numéricas: “Isla de La Palma”
Aplicaciones Numéricas: “Superficie Gaussiana Suave”
Estrategia 1 Estrategia 2
1309 nodos 1155 nodos
Número de tetraedros invertidos = 5 Número de tetraedros invertidos = 0
Estrategia 3 Estrategia 4
928 nodos 1180 nodos
Número de tetraedros invertidos = 128 Número de tetraedros invertidos = 111
Aplicaciones Numéricas: “Superficie Gaussiana Suave”
Estrategia 1 Estrategia 2
1364 nodos 1237 nodos
Número de tetraedros invertidos = 43 Número de tetraedros invertidos = 0
Aplicaciones Numéricas: “Superficie Gaussiana Concentrada”
Estrategia 3 Estrategia 4
989 nodos 1249 nodos
Número de tetraedros invertidos = 228 Número de tetraedros invertidos = 248
Aplicaciones Numéricas: “Superficie Gaussiana Concentrada”
Aplicaciones Numéricas: “Volcán”
Estrategia 1 Estrategia 1
3973 nodos 3973 nodos
Número de tetraedros invertidos = 0 Vista de la superficie (1)
3973 nodos 3973 nodos
Vista de la superficie (2) Vista de la superficie (3)
Aplicaciones Numéricas: “Volcán”
Estrategia 1 Estrategia 1
Estrategia 1
3973 nodos
Vista de la superficie (4) Detalle de la malla (“cráter”)
Aplicaciones Numéricas: “Volcán”
Estrategia 1 Estrategia 1
3973 nodos 3973 nodos
Dos vistas opuestas de la malla de tetraedros
Aplicaciones Numéricas: “Volcán”
Estrategia 2
3943 nodos
Número de tetraedros invertidos = 0
Estrategia 3
Estrategia 4
3706 nodos
4013 nodos
Tetraedros invertidos = 430
Tetraedros invertidos = 576
Aplicaciones Numéricas: “Volcán”
Estrategia 1
1542 nodos
Número de tetraedros invertidos = 266 Detalle de la malla
Aplicaciones Numéricas: “Paredes Verticales”
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Utiliza un algoritmo de refinamiento local para mejorar la solucion numerica
Calcula un indicador de error para cada elemento de la mallae e
1,..., Si Max ( ) , siendo [0,1] y el numero de elementos, entonces
el elemento debe ser refinado
e ee n
n
e
El método de elementos finitos adaptables:
Tipo I: Subdivisión en 8-subtetraedros
Tetraedros con 6 nodos nuevos
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Tipo I
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Tetraedros con 5 nodos nuevos
Tipo I
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Tetraedros con 4 nodos nuevos
Tipo I
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Tetraedros con 3 nodos nuevosen caras diferentes
Tipo II: Subdivisión en 4-subtetraedros
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Tetraedros con 3 nodos nuevosen la misma cara
Tipo III.a: Subdivisión en 4-subtetraedros
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Tetraedros con 2 nodos nuevosen caras diferentes
Tipo III.b: Subdivisión en 3-subtetraedros
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Tetraedros con 2 nodos nuevosen la misma cara
Tipo IV: Subdivisión en 2-subtetraedros
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Tetraedros con 1 nodo nuevo
Tipo V: No se subdivide
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Tetraedros con 0 nodos nuevos
El algoritmo ha sido implementado en C++ de manera recursiva.
El proceso de clasificación de los tetraedros se lleva a cabo marcando sus aristas.
La conformidad de la malla se asegura a nivel local mediante un proceso de expansión que comienza en los tetraedros de Tipo I.
Si una arista de un tetraedro transitorio debe ser marcada, debido al indicador de error o para asegurar la conformidad de la malla, entonces todos los tetrahedros transitorios son eliminados de su tetradro padre (proceso de borrado), se marcan todas las aristas del tetraedro padre y este tetraedro se introduce dentro del conjunto de tetraedros Typo I procediéndose a su subdivisión en 8 subtetraedros.
Llamamos tetraedros transitorios a los que resultan de la división de tetraedros de Tipo II, III y IV.
Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros: Comentarios
Aplicación del Refinamiento Local: Malla Inicial
Detalle de la malla
Aplicación del Refinamiento Local: Primera Etapa
Detalle de la malla
Aplicación del Refinamiento Local: Segunda Etapa
Detalle de la malla
Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento
Sea un dominio acotado de frontera3R 1 2
0u : campo de viento obtenido mediante interpolación de datos
experimentales.Objetivo: encontrar un campo de
velocidadesu
que se ajuste a 0u
verificando
Condición de incompresibilidad: Condición de impermeabilidad:
div 0 en u
10 en u n
Entonces, el campou
es la solución del problema: Hallar u
verificando
1
( ) min ( )
; div 0, 0
vJ u J v
v v v n
donde 1
0 02( ) ( ) ( )tJ v v u P v u
Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento
Este problema puede ser formulado introduciendo un multiplicador de Lagrange q.
( , ) ( ) div L v q J v q v
El punto silla del lagrangiano ( , )u verifica:
10( ) en P u
10 1 en P n u
n
20 en
10 en u u P
Tal que finalmente se obtiene el campo de velocidades:
Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento
Malla después de 3 refinamientosMalla inicial
Campo de velocidades a 10 m Campo de velocidades a 500 m
Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento
Aplicación del modelo de campos de viento a la Isla de La Palma a partir de medidas experimentales.
Campo de velocidades a 500 m Líneas de corriente a 500 m
Aplicaciones en Simulación de Campos de Viento
ConclusionesGeneración de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular
Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.
ConclusionesGeneración de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular
Hemos generado una óptima distribución de puntos que capta la información topográfica y decrece su densidad al aumentar la altura con respecto al terreno.
Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.
ConclusionesGeneración de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular
Hemos generado una óptima distribución de puntos que capta la información topográfica y decrece su densidad al aumentar la altura con respecto al terreno.
Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.
Los puntos se generan usando técnicas de refinamiento/desrefinamiento en 2-D, la función de espaciado vertical y las estrategias propuestas.
ConclusionesGeneración de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular
Hemos generado una óptima distribución de puntos que capta la información topográfica y decrece su densidad al aumentar la altura con respecto al terreno.
Con la ayuda de un paralelepípedo auxiliar, hemos planteado un procedimiento basado en la triangulación de Delaunay para construir la malla 3-D que asegura su conformidad con la superficie del terreno.
Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.
Los puntos se generan usando técnicas de refinamiento/desrefinamiento en 2-D, la función de espaciado vertical y las estrategias propuestas.
ConclusionesGeneración de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular
Hemos generado una óptima distribución de puntos que capta la información topográfica y decrece su densidad al aumentar la altura con respecto al terreno.
Con la ayuda de un paralelepípedo auxiliar, hemos planteado un procedimiento basado en la triangulación de Delaunay para construir la malla 3-D que asegura su conformidad con la superficie del terreno.
La distribución de puntos obtenida podría tener interés para generar mallas 3-D con otras técnicas clásicas (avance frontal, normal offsetting, etc.).
Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.
Los puntos se generan usando técnicas de refinamiento/desrefinamiento en 2-D, la función de espaciado vertical y las estrategias propuestas.
Hemos generado una óptima distribución de puntos que capta la información topográfica y decrece su densidad al aumentar la altura con respecto al terreno.
Con la ayuda de un paralelepípedo auxiliar, hemos planteado un procedimiento basado en la triangulación de Delaunay para construir la malla 3-D que asegura su conformidad con la superficie del terreno.
La distribución de puntos obtenida podría tener interés para generar mallas 3-D con otras técnicas clásicas (avance frontal, normal offsetting, etc.).
Hemos propuesto un nuevo procedimiento para optimizar mallas que desenreda y suaviza al mismo tiempo.
ConclusionesGeneración de Mallas de Tetraedros sobre Orografía Irregular
Hemos establecido los aspectos principales para generar mallas de tetraedros adaptadas a las características topográficas de una región rectangular con una mínima intervención del usuario.
Los puntos se generan usando técnicas de refinamiento/desrefinamiento en 2-D, la función de espaciado vertical y las estrategias propuestas.
Conclusiones Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Hemos implementado en C++ un algoritmo de refinamiento local de mallas de tetraedros basado en la subdivisión en 8-subtetraedros.
Conclusiones Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Hemos aplicado este algoritmo de refinamiento a problemas estacionarios.
Hemos implementado en C++ un algoritmo de refinamiento local de mallas de tetraedros basado en la subdivisión en 8-subtetraedros.
Conclusiones Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Hemos aplicado este algoritmo de refinamiento a problemas estacionarios.
Los resultados obtenidos en las aplicaciones son muy eficientes.
Hemos implementado en C++ un algoritmo de refinamiento local de mallas de tetraedros basado en la subdivisión en 8-subtetraedros.
Hemos aplicado este algoritmo de refinamiento a problemas estacionarios.
En futuros trabajos pretendemos implementar el algoritmo de desrefinamiento inverso al algoritmo de refinamiento. Este aspecto es fundamental para la simulación de problemas evolutivos como la dispersión de contaminantes en la atmósfera.
Los resultados obtenidos en las aplicaciones son muy eficientes.
Conclusiones Refinamiento Local de Mallas de Tetraedros
Hemos implementado en C++ un algoritmo de refinamiento local de mallas de tetraedros basado en la subdivisión en 8-subtetraedros.