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CAPTULO N 1NMEROS REALES
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Pg.(51, 52, 53, 54)
NIVEL I
Resolucin 1
Vemos que:*
85
1 6= ,
*
311
0 27= , (Peridico puro)
*
12
0 5= ,
*
13
0 3= , (Peridico puro)
*
815
0 53= , (Peridico mixto) Rpta.: E
B A = 3 8; Rpta.: C
Resolucin 4
Son irracionales: y 7 Hay 2 nmeros irracionales Rpta.: B
Resolucin 7Sea 4 7 13x =Por propiedad: Si a b=
a = b a = bTenemos que:
4x 7 = 13 4x 7 = 134x =13 + 7 4x = 13 + 74x = 20 4x = 6x = 5 x = 32
Luego, tomamos el valor negativo de x
x = 32 Rpta.: D
Resolucin 5
5 2666 5 26 526 5290
, .... ,= =
= =47490
7915
= 5 415 Rpta.: A
Resolucin 6
Si A ; 3= ; B = 2 8;Graficamos los intervalos.
Resolucin 2
IR (V)IN Q (V)
II = (V) VVV Rpta.: C
Resolucin 3
Denso Rpta.: B Resolucin 8
A) =3 3 (verdadero)
B) =4 2 4 2 (verdadero)C) x x= , si x > 0 (verdadero)D) 6 6 0+ = (falso)
Porque: 6 + 6 0E) x x= , si x < 0 (verdadero) Rpta.: D
Resolucin 9
114 2
17 2
114 2
17 2
: =
= =1 7 21 2
12
1
214
= 0,50 Rpta.: B
Resolucin 10I. a5a2 = a10 ........... es falso
ya que: a5a2 = a5+2 = a7 a10II. a a273 3= ........ es falso
ya que: a a a a273273 9 3= =
III. b7b7b7 = b21 ........ es verdaderoya que: b7b7b7 = b7+7+7 = b21
IV. 0 9 0 3, ,= ........ es falso
ya que: 0 99
10310
0 3, ,= =
F F V F Rpta.: D
Resolucin 11
+ = + 125 243 5 33 53 3 b g b g = 83= 2 Rpta.: B
Resolucin 12
A = = =16 64 16 4 433 3 A = 4B = = =6 36 6 6 6 B = 6
Calculamos: (A + B)2 = (4 + 6)2 = 102
(A + B)2 = 100 Rpta.: CResolucin 13
3 12 3 80 4 45 2 27 + 3 4 3 3 16 5 4 9 5 2 9 3 +
3 4 3 3 16 5 4 9 5 2 9 3 + 3 2 3 3 4 5 4 3 5 2 3 3 + 6 3 12 5 12 5 6 3 0 + = Rpta.: E
Resolucin 14
L = + =+
50 218 2
25 2 29 2 2
L = +25 2 29 2 2
L = + = =5 2 23 2 2
6 22
32
12
L = 3 Rpta.: C
= 72
17
= 72 7
77
= 7 72 7
= 72
Rpta.: D
NIVEL II
Resolucin 1I. 3, 15 > 3, 2 es falsoII. 5, 7268 < 5, 7271 es falsoIII. 3,1416 es irracional es falso Relacin correcta: F F F Rpta.: EResolucin 2Por dato: 2r > 7
r < 72 r < 3,5
r: 4; 5; ......... rmax = 4 Rpta.: B
Resolucin 3Graficamos los intervalos dados:
Luego: A B = 2 3; C = ; 3
A B C = b g 2 3 3; ; ={3} Rpta.: D
Resolucin 4Reemplazamos con los valores aproxima-dos al centsimo, obtenemos:
+ 10 13 10e j e j:(3,14 + 3,16) : (3,61 3,16)6,30 : 0,45 = 14,00 Rpta.: C
Resolucin 15
1
7
7 2 7 2 7 12 2 72 14 14
= =
Tenemos que:
1 2 1 2 = e j1 2 2 1 =
2 3 2 3 = e j2 3 3 2 =
Reemplazando en (I) tenemos que:2 1 3 2 + e j e j
2 1 3 2 2 + =
1 2 2 3 2 + = Rpta.: B
Resolucin 72 7 1 26 0x =2 7 1 26x =
Resolucin 5
I. IR ....................... (V)II. 52 IN ................... (F)
ya que: = 5 252 INIII. ( ) =
= . .............. (V)IV. 49 IR ................. (F) Relacin correcta es: V F V F Rpta.: D
Resolucin 6
1 2 2 3 + ........ (I)
como: 1 2 0 2 3 0 < y + 1} R = {(6; 4);(7; 4);(8; 4);(7; 5); (8; 5);(8; 6)}Luego: Dom R = {6; 7; 8}
Ran R = {4; 5; 6} Rpta.: D
Resolucin 18Analizando las altenativas, vemos que nocumple: {(2; 6);(1; 5)}
ya que: 1 A Rpta.: CResolucin 19Tenemos que:
R1 = {(3; 3);(4; 5);(5; 4);(5; 6);(6; 6)}Rpta.: E
Resolucin 21Recuerde: (a; b) = (m; n)
a = m b = n
Luego: 2 1 5 7 3 22xy+ = FHG
IKJ; ;b g
2x + 1 = 7 5 3 22
= y
x = 3 y = 4 x + y = 3 +4 = 7 Rpta.: C
Resolucin 23Tenemos que:R= {(Lima; Per);(Per; x);(Caracas; Z);
(Santiago; Y);(Chile; Santiago)}Recuerde que una relacin R ser simtrica cuando:
(a; b) R (b; a)RLuego: (Lima; Per) R (Per; Lima) R x = Lima (Caracas; Z) R (Z; Caracas)R Z = Caracas (Chile; Santiago)R (Santiago; Chile) R Y = ChileLuego: A= {x; y; Z} A = {Lima; Chile; Caracas} Rpta.: A
Resolucin 22Se tiene: A = {2; 3; 4}Analizaremos cada alternativa:A) {(2; 3);(3; 2);(4; 3)(3; 4);(4; 4)}No es reflexiva ya que le falta: (2; 2) y (3; 3)B) {(2; 3);(2; 2);(3; 3);(4; 4);(4; 3)}Como: (2; 2) R 2 A
(3; 3) R 3 A(4; 4) R 4 A
S es refelexivaAdems: C; D y E no son reflexivas Rpta.: B
Resolucin 25Se tiene:R = {(2; 5);(3; 7);(3; 3);(5; 2)}Definida en: A = {2; 3; 5; 7}Cumple:
Rpta.: CResolucin 26A = {2; 3; 4}En A se define la siguiente relacin:R= {(2; a);(2; 3); (b; 4);(3; c);(3; 2)}y es reflexica (2; a) = (2; 2) a = 2 (b; 4) = (4; 4) b = 4 (3; c) = (3; 3) c = 3Luego: a + b + c = 2 + 4 + 3 a + b + c = 9 Rpta.: DResolucin 27Hallamos los elementos del conjunto A
A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}Se sabe que: R={(a; b) / a = 2b} definida en A R = {(4; 2);(6; 3);(8; 4)
Dom R = {4; 6; 8}Ran R = {2; 3; 4} Rpta.: D
Resolucin 28Analizamos cada relacin:*
R1 ={(x; y) / x es hermano de y}Luego: (x; y) R1 (x; z) R1
(x; z) R1 (s cumple)R1 es transitiva.
*R2 = {(x; y)/x es de la misma raza que y}
Luego: (x; y) R2 (y; z) R2 (x; y) R2 (s cumple)R2 es transitiva.
*R3 = {(x; y)/ x es padre de y}
Luego: (x; y) R3 (y; z) R3pero: (x; z) R3 (No cumple)R3 no es transitiva.
Son transitivas: R1 y R2 Rpta.: D
NIVEL II
Resolucin 1Del conjunto: A={2; 3; 4; 5; 6; 7}*
R1 ={(a; b)/a + 2 = b} R1 = {(2; 4);(3; 5);(4; 6);(5; 7)}
Dom R1= {2; 3; 4; 5} n(DomR1) = 4*
R2 = {(a; b)/a+3=b} R2={(2; 5);(3; 6);(4; 7)}
Ran R2 = {5; 6; 7} n(Ran R2)=3Luego: n(Dom R1) + n(Ran R2)= 4 + 3 = 7 Rpta.: C
Resolucin 3Se tiene: A = {2; 3; 4; 7}como:
R= {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(a; 3);(b; a 1);(c; c)}Es reflexiva (2; 2);(3; 3);(4; 4);(7; 7) R
c = 7
Como: (a; 3) (b; a 1) R b = 2 a = 3 a + b + c = 12Luego, la relacin quedara as:R = {(2; 3);(2; 4);(4; 4);(3; 3);(2; 2);(7; 7)}
como: (2; 3) R (3; 3) R (2; 3) R
como: (2; 4) R (4; 4) R (2; 4) R
Resolucin 2Hallamos los elementos de A
A={5; 7; 9; 11}Se tiene adems que:R={(a; a);(b; b);(c; a);(9; c);(d; d);(c + b 1; 11)}Es reflexiva y simtrica. (5; 5);(7; 7);(9; 9);(11; 11) RLuego, se debe cumplir que: c + b 1= 11
c + b = 12
7 5Adems como:
(a; a); (b; b) ; (d; d) ;(c + b 1; 11) R(9; 9); (5; 5) ; (7; 7) ; (11; 11) R
a = 9 ; b = 5 ; c = 7 a + b + c = 9 + 5 + 7 = 21 Rpta.: A
UVW c = 5
Como: (a; c) (c; a) R (a; a) Rcumple.
Luego: (c; a) (a; c)RPero (c; c) R No es transitiva
Relacin correcta: VVF Rpta.: C
Tenemos que:(2; 2);(3; 3);(4; 4);(5; 5) Ry {2; 3; 4; 5} A R es reflexiva.Adems: (a; b)(b; c)(a; c) R(3; 2)(2; 4)(3; 4)R R es transitiva Rpta.: E
Resolucin 9Se tiene: M = {8; 9; 10}Adems:R = {(c + 5; 2c);(a; 8);(b + 5 ; 9);(c + 3 ; b + 6)}
es reflexiva.Como: (c + 5; 2c)(10; 10) R c + 5 = 10 2c = 10Como: (a; 8)(8; 8) R a = 8
Como: (b + 5; 9)(9; 9)R b + 5 = 9 b = 4 a + b c = 8 + 4 5 = 7 Rpta.: C
Resolucin 10Como:R = {(2; 3);(4; 9);(3; b);(a + b; 9);(9; c + 1)}es simtrica. (2; 3) (3; b) R b = 2 (4; 9) (9; c + 1)R
c + 1 = 4 c = 3Luego, la relacin quedara as:R = {(2; 3);(4; 9);(3; 2);(a + 2; 9);(9; 4)} (9; 9) (a + 2; 9)R
a + 2 = 9 a = 7 a + b + c = 7 + 2 + 3 = 12 Rpta.: C
Resolucin 6
n de relaciones = 2 2 2 = 24 = 16
Rpta.: EResolucin 7I. Si R es una relacin de equivalencia, entonces R es
simtrica ... (Verdadero)II. Dado A={2; 3; 4} en l se pueden definir 512 relaciones
diferentes ... (Verdadero)ya que: # de relaciones = 233 = 29 = 512
III. Dado B = {a; b; c; d} se define RB B tal que R = {(a;c);(b; d);(c; a);(a; a)}Entonces R es transitiva ........ (Falso)
Resolucin 4Se tiene: A ={4; 5; 8; 9}R = {(x; y)/x + y, es nmero par} R = {(4; 4);(4; 8);(8; 8);(8;4);(5; 5);
(5; 9);(9; 5);(9; 9)} n(R) = 8 Rpta.: B
Resolucin 5I. Una relacin R definida en el conjunto A es simtrica
si(x; y) R, entonces (y; x) R ....................... (Verda-dero)
II. Toda relacin de equivalencia es una relacin sim-trica ........... (Verdadero)
III. n(A B) = n(A) n(B) ..... (Verdadero)IV. Toda funcin es una relacin ...........
....................................... (Verdadero) Relacin correcta: VVVV Rpta.: B
Es transitiva Rpta.: A
Resolucin 8Del grfico:
Resolucin 11Como:R = {(4; 4);(a; a);(b; b);(4; 5);(5; c);(5; 6);
(e; e + 2);(6; 4);(d; 5)}es de equivalencia.Como: (6; 4) (4; 5)R
(6; 5)R
Por deduccin: (d; 5) = (6; 5) d = 6
Como: (4; 5) (5; 6)R (4; 6)R
Por deduccin: (e; e + 2) = (4; 6) e = 4
Como: (5; 6) (6;5)R (5; 5)R
Pero hay: (a; a)=(5; 5) a = 5 (b; b) = (6; 6) b = 6
Luego, la relacin quedara as:R = {(4; 4);(5; 5);(6; 6);(4; 5);(5; c);(5; 6);(4; 6);(6; 4);(6; 5)}Notamos que falta: (5; c) = (5; 4)
c = 4
a + b + c + d + e = 5 + 6 +4 + 6 + 4 a + b + c + d + e = 25 Rpta.: E
Resolucin 12Se tiene: R = {(1; 3);(2; 6);(3; 9)}Analizamos las alternativas, vemos que cumple la BR a b ab a b= = +; /b go t4
13 = 1 + 4(3) = 1326 = 2 + 4(6) = 2639 = 3 + 4(9) = 39 Rpta.: B
Resolucin 13
M = {x / 2 x < 2} M = {2; 1; 0; 1}N = {3x 2/ 4 < x < 7 ; x IN } N = {13; 16}Luego: MN = {(2; 13);(2; 16);(1; 13);
(1; 16);(0; 13);(0; 16); (1; 13);(1; 16)}
(2; 5) M N Rpta.: B
Resolucin 14Analizamos cada alternativa:
A) {1; 3} {2; 3; 7} tiene 6 elementosB) {2; 4} {2; 3; 7} tiene 6 elementosC) {1; 2; 3; 4} {4; 6; 8} tiene 12 elementosD) {1; 2; 3; 4} {2; 3; 4; 6; 7; 8}
tiene 24 elementosE) {1; 2; 3; 4} {2} tiene 4 elementos
Rpta.: D
Resolucin 15
S = {6 3x / 5 x < 7 ; x }S = {6 3(5) ; 6 3(6)}S = {9 ; 12}S2 = {(9; 9);(9; 12);(12; 9);(12; 12)}
Rpta.: BResolucin 16Hallamos los elementos de cada conjunto:A = {3x + 4 / 6 < x 1 ; x } A = {11; 8; 5; 2 ; 1; 4; 7}B x x x= < RST
UVW2
26 3/ ;
7 5 3 1B 4; ; 3; ; 2; ; 1; ; 02 2 2 2 =
Hallamos los elememtos de R:
R x y A B y x= = +RSTUVW; /b g
52
R = FHGIKJ
RSTUVW11 3 8
32
5 0; ; ; ; ;b g b g
Rpta.: DResolucin 17Hallamos los elementos de T :
T = {2x2 10 / 3 x < 4 ; x }T = {10; 8; 2; 8}Ahora se sabe que:R = {(x; y) T IN/ y = 4 2x}Hallamos los elementos de la relacin R:R = {(2; 8);(8; 20);(10; 24)} Dom R = {2; 8; 10} Rpta.: EResolucin 18Hallamos los elementos de J :J = {10 x2 / 6 < x 2 ; x }J = {15; 6; 1; 6; 9; 10}Ahora, se sabe que:R = {(x; y) J / y = 30 3x}Hallamos los elementos de la relacin R.R = {(15; 75);(6; 48);(1; 27);(6; 12);
(9; 3);(10; 0)} Ran R = {0; 3; 12; 27; 48; 75}
Rpta.: A
Resolucin 24La ecuacin de la parbola es de la forma:
(x h)2 = 4p(y k) ... ()Donde: vrtice = (h; k)Sea la parbola: y = 2x2 + 4x 1Para hallar el vrtice damos la forma de (), completandocuadrados:
y = 2x2 + 4x 1y = 2(x2 + 2x) 1y = 2[(x + 1)2 1] 1y + 1= 2(x + 1)2 2y + 3 = 2(x + 1)2
(x + 1)2 = 12 (y + 3)
(x (1))2 = 12 (y (3)) (x h)2 = 4p(y k)
Donde: h = 1 k = 3 Vrtice = (1; 3) Rpta.: A
Notamos que:{(1; 1);(5; 2);(9; 0)} no es funcin de A en B.Ya que: 9 A Rpta.: CResolucin 21Sabemos que: f(x) = 4x 1
g(x)= 2x + 13Hallamos: g(7) = 2(7) + 13
g(7) = 1Luego: f(g(7)) = f(1) = 4(1)1 = 5 f(g(7)) = 5 Rpta.: E
Resolucin 22Para graficar: y = 2x + 1Hacemos: x = 0 y = 2(0) + 1
y = 1Obteniendo la coordenada: (0; 1)Hacemos: y = 0 0 = 2x + 1
x = 12
Obteniendo la coordenada: F
HGIKJ
12
0;
Ubicamos dichas coordenadas en el plano cartesiano:
Rpta.: B
Resolucin 23Los valores del rango estn expresadospor los valores que toma y
Tenemos que: h x x( ) = 13
4 ; x 3 6;
y x= 13
4 3 < x 6
Damos forma conveniente a:3 < x 6 < 33 3
63
x
< 13
2x (Restamos: 4)
< 1 43
4 2 4x
5 < y 2 Rango = 5 2; Rpta.: E
Resolucin 19Por dato:{(a; 3b);(a; a + b);(2b; 12)} , es una funcin (a; 3b) = (a; a + b)
3b = a + b 2b = aLuego: (a; 3b) = (2b; 3b) (2b; 3b) = (2b; 12)
3b = 12 b = 4 a = 8
Finalmente: a b = 8 4 = 4 a b = 4 Rpta.: CResolucin 20Hallamos los elementos de los conjuntos:A = {1; 3; 5; 7}B = {0; 1; 2}
Resolucin 25Sea: y = 3x2 12x + 20 (Parbola)Como: 3 > 0 ; la grfica se abrir hacia arriba Las alternativas descartadas.Completamos cuadrados para hallar el vrtice.
y = 3x2 12x + 20y = 3(x2 4x) + 20y 20 = 3[(x 2)2 4]y 20 = 3(x 2)2 12y 8 = 3(x 2)2
(x 2)2 = 13 (y 8)
(x h)2 = 4p(y k)Donde: h = 2 k = 8 Vrtice = (2; 8)Luego, la grfica es:
Rpta.: CResolucin 26Como: f(x) = 3x2 1Hallamos: f(5) = 3(5)2 1 = 3(25) 1
f(5) = 74f(2) = 3(2)2 1 = 3(4) -1 f(2) = 11f 6 3 6 1 3 6 1
2e j e j= = ( )
f 6 17e j =Reemplazamos estos valores hallados en:
f ff5 2
674 11
178517
b g b ge j
+ = + =
f ff5 2
65b g b g
e j+ = Rpta.: A
Resolucin 27Se tiene:
De la grfica, vemos que: f(0) = 9 f(1)= 5 f(2) = 9
Luego:k = f(0)+f(1)+f(2) = (9)+(5)+(9) k = 23 Rpta.: C
Reemplazamos los valores hallados en:
f(2) + (g(4))2 = 23 + 13 2e j f(2) + (g(4))2 = 36 Rpta.: B
Resolucin 28Sea: f(x) = 4x2 2x + 3 f(2) = 4(2)2 2(2) + 3 = 44 + 4 + 3 f(2) = 23Sea: g(x) = x2 3 g 4 4 3 16 32b g = = g 4 13b g =
Resolucin 29El rango viene a ser los valores que toma yAs, tenemos que:
f x xb g = 12
3 x 2 4;
y x= 12
3 2 < x < 4
FHGIKJ < 4m 5 GA(R) = 4m 3Por dato: GA(R) = 25 4m 3 = 25 m = 7 Rpta.: C
Resolucin 11Sea: Q(x) = 3mxm + 6mxm1 + 11mxm2Analizando los exponentes de cada trmino, vemos que:
m > m 1 > m 2 GA(Q) = 6Por dato: G.A(Q) = 6 m = 6El coeficiente de mayor valor ser:
11m = 11(6) = 66 Rpta.: D
Resolucin 12Si: M = a3xa+8 yb-4
N = b2 xb+5 y-a+5
Donde: M y N son trminos semejantes
x a+8 = x b+5
a + 8 = b + 5a b = 3 ........... (I)
y b4 = y a+5b 4= a + 5b + a = 9 ........... (II)
Sumando (II) + (I):b + a = 9 (+)a b = 32a = 6 a = 3
Reemplazando el valor de a=3 en (I) tenemos que:3 b = 3 b = 6
Luego: ab = 36 = 18 Rpta.: B
Resolucin 13 Sea:P(x; y) = 3xa8y6 + 4xa11y5 + 7xa13y20
Analizando los exponentes dex tenemos que:a8 > a 11 > a 13
Resolucin 14 Sea:
Q x y x yaa; b g = 3 62
Q x y x yaa a; b g = 32 62
Q x y x ya
a a; b g = 3
26
2
Por dato: GA(Q) = 9
3
26
29a
a a + =
3 62
9aa
+ =
3a + 6 = 9(a 2)3a + 6 = 9a 1824 = 6a a = 4 Rpta.: B
Resolucin 16 Sea:P(x; y) = 6xm+2 yn+3 + 4xm+1 y2n1
Donde:
*Grado del monomio 6xm+2 yn+3 es:(m + 2) + (n + 3) = m + n + 5
*Grado del monomio 4xm+1 y2n 1 es:(m + 1) + (2n 1) = m + 2n
Como: P(x; y) es homogneo m + n + 5 = m + 2n
n = 5 Rpta.: C
GR(x) = a 8Por dato: GR(x) = 5 a 8= 5 a = 13Luego:P(x; y) = 3x138y6 + 4x1311y5 + 7x1313y20P(x; y) = 3x5y6 + 4x2y5+7y20Donde: Grado del monomio: 3x5y6 es:
5 + 6= 11 Grado del monomio: 4x2y5 es:
2 + 5 = 7 Grado del monomio: 7y20 es:
20
GA(P) = 20 Rpta.: B
Resolucin 15 Reduciendo:
Ex x x
x x
=LNM
OQP
LNM
OQP
5 3 42
3
2 4 53
e j
e j
Ex x x
x x
=5 3 4 2 3
2 4 5 3
Ex x x
x x=
15 4 2 3
8 5 3
Ex x
x=
+
+
15 4 2 3
8 5 3
Ex x
x
x x
x= =
19 2 3
13 3
19 2 3
13 3
= x38 + 3 39 = x2
Grado del monomio =2Rpta.: B
Resolucin 17Reemplazamos los valores de x = 3 e y = 1 en:
xy(2y)xObteniendo: (3)-(-1)(2(1))3 =
=3123 = 38 = 24 Rpta.: B
Resolucin 18Como: a = 2 ; b = 3 ; c = 4 E = (aa + ca ba)a
E = (22 + 42 (3)2 )2E= (4 + 16 9)2 = 112
E = 121 Rpta.: C
Resolucin 19 Sea:P(x) = 4x + 1
P(1) = 4(1) + 1 P(1) = 5 P(2) = 4(2) + 1 P(2) = 9 P(3) = 4(3) + 1 P(3) = 13 P(0) = 4(0) + 1 P(0) = 1
Luego: E P PP P
= ++ =++ =
1 23 0
5 913 1
1414
b g b gb g b g
E = 1 Rpta.: B
Resolucin 20 Sea:P(x5) = 5x + 5
*Si P(1) = P(x5)
1 = x 5 x = 4 P(1) = 5(4) + 5
P(1)
= 25
*Si P(0) = P(x 5)
0 = x 5 x = 5 P(0) = 5(5) + 5
P(0) = 30*
Si P(1) = P(x 5) 1 = x 5 x = 6 P(1) = 5(6) + 5
P(1) = 35*
Si P(2) = P(x 5) 2 = x 5 x = 3 P(2)
= 5(3) + 5P(2) = 20
Luego:R P PP P
= ++ =++ =
1 01 2
25 3035 20
5555
b g b gb g b g
R = 1 Rpta.: BResolucin 21 Sea: P(x) = 2x + 3 P(2) = 2(2)+3 P(2) = 7Luego: P P P2 7b g =Donde: P(7) = 2(7)+ 3
P P P7 17 2b g b g= = P P 2 17b g = Rpta.: D
Resolucin 22 Sea: P(x+1) = x2Hallamos x :
Si P(x+1)
= P(2) x + 1= 2 x = 1 P(2) = (1)2 P(2) = 1Luego: P(P(2)) = P(1)
Hallamos x :
Si P(x+1) = P(1) x + 1= 1 x = 0 P(1) = 02 P(1) = 0
NIVEL II
Resolucin 1 Sea:P(x; y) = (5xn+4y2)5P(x; y) = 55 (xn+4)5 (y2)5P(x; y) = 55 x5(n+4) y10P(x; y)
= 55 x5n + 20 y10
Como el grado del monomio es 40 (5n + 20) + 10 = 40
5n + 30 = 40
n = 2 Rpta.: B
Luego: P P P P P P2 1 0b gc h b g b g= =Hallamos x
Si P(x+1)
= P(0) x + 1 = 0 x = 1 P(0) = (1)2 P(0) = 1Finalmente:
P P P P P P2 1 0 1b gc h b g= = = Rpta.: B
Resolucin 2A = 2mxm+2 y3m+n
B = 3nx3n2 y4m8
Como A y B son trminos semejantes, en-tonces la parte variable tienen los mismosexponentes.As: m + 2 = 3n 2 ........... (I)
3m + n = 4m 8 ......... (II)Sumando: (I) + (II)
m + 2 + 3m + n = 3n 2 + 4m 84m + n + 2 = 3n + 4m 1010 + 2 = 3n n12 = 2n n = 6
Reemplazando: n = 6 en (I):m + 2 = 3(6) 2 m = 14
Reemplazando n=6 y m = 14 en A y B:A = 2(14)x14+2 y3(14)+6
A = 28x16 y48
B = 3(6)x3(6)2 y4(14)8 B = 18x16 y48
Luego: A B = 28x16 y48 18x16 y48 A B = 10x16 y48 Rpta.: B
Resolucin 7Por dato: GA(R) = 3 ........ (I)
Luego: R x yaa= 3 62 3
R x ya a= 3 61
2 3e j
R x ya
a a= 3
2 36
2 3
GA(R)= 32 36
2 3a
a a +
GA(R) = 3 62 3aa
+ ........ (II)
De (I) y (II), tenemos que:3 62 3
3aa
+ =
3a + 6 = 3(2a 3)3a +6 = 6a 9 15 = 3a a = 5
Luego: P = 3x2ay3a1
P = 3x2(5) y3(5)1
P = 3x10 y14
Donde: GA(P) = 10 + 14 GA(P) = 24 Rpta.: CResolucin 8 Sea:
P(x; y) = (5a1xa+2 ya)2P(x; y) = (5a1)2 (xa+2)2 (ya)2P(x; y) = 52(a1) x2(a+2)y2a
Donde: GA(P) = 2(a+2) + 2a = 2a + 4 + 2a
GA(P) = 4a + 4Por dato: GA(P) = 16 4a + 4 = 16
4a = 12 a = 3Reemplazando el valor de: a = 3 El coeficiente del monomio ser:
52(a1) = 52(31) = 52(2) = 54 = 625Rpta.: C
Sumando (I) + (III):3a + b = 11 (+)a + 3b = 94a + 4b = 20
4(a + b) = 20 a + b = 5 Rpta.: BResolucin 4 Si 9xb + 4ax5 = 17x5
Analizando, vemos que para que cumplala igualdad, el exponente de x debe ser 5
b = 5Tambin, los coeficientes deben ser igualesen ambos lados de la igualdad, por lo que:
9 + 4a = 17
4a = 8 a = 2
Luego: 2 2 2 5a b+ = +b g = 9 = 3Rpta.: B
Resolucin 5 Efectuando:A = [(2p 3) (3p + 4q)] [2q(3p + q)p]A = [2p 3 3p 4q] [2q 3p q p]A = [p 4q 3] [q 4p]A = p 4q 3 q + 4p A = 3p 5q 3 Rpta.: BResolucin 6
R x y x x y x x y= + + +3 2 3 2b g b g
R x y x x y x x y= 3 2 3 2R x y x x y x x y= 3 2 3 2R = 3x y 2x x + 3y + 2x + x + y R = 3x + 3y Rpta.: C
UVW
Resolucin 3 Sea:M(x; y) = 10x3a+b ya+3b
Como: GR(x) = 11 3a + b = 11 ........................ (I) Como GA(M) = 20 (3a + b) + (a + 3b) = 20 ...... (II)Reemplazando (I) en (II), tenemos:
(11) + (a + 3b) = 20 a + 3b = 9 ........................... (III)
Resolucin 9 Sea:
P x x xm mb g = 3 234
P x x xmm
b g = 323
4
P x xm
m
b g = +323
4
P x xm m
b g =+9 23
4
P x xm
b g =11
34
P x xm
b g =FHGG
IKJJ
113
14
P x xm
b g =1112
Como el grado de P(x) es 22
1112
22m =
11 22 121 2m =
m = 24 Rpta.: DResolucin 10Reduciendo la expresin:
P xx x
x x
n n
n nb g e j e j
e j=
4 3 4 2
2 4 6
P x x xx x
n n
n nb g =
3 4 8
4 2 6
( )( )
P x x xx x
n n
n nb g =
3 12 8
4 8 6
P x xx
n n
n nb g = + +
3 12 8
4 8 6
P x xx
xn
nn nb g = =
11 1210 8
11 12 10 8( ) ( )
P(x) = x11n1210n + 8P(x) = xn4
Como: P(x)es de cuarto grado, tenemos que:n 4 = 4
n = 8 Rpta.: C
Resolucin 11Reduciendo la expresin:
( ) 3 m 7 n3 n 6 mx yM x; y x y+ =
M(x; y) = x(3+m)(3-n) y(7n)-(6m)M(x; y) =x3+m3+n y7n6+mM(x; y) = xm+n ymn+1
Sabemos que: GR(x) = 5 m + n = 5 ............................... (I)Sabemos que: GA(M) = 7 (m + n) + (m n + 1) = 7 ........ (II)Reemplazando (I) en (II), tenemos que:
5 + (m n + 1) = 7m n = 1 ................................. (III)
Sumando (I) + (III), tenemos que:m + n = 5 (+)m n = 12m = 6 m = 3
Reemplazando m = 3 en: (I), tenemos que:3 + n = 5 n = 2
Luego: 2m + n = 2(3) + 2 2m + n = 8 Rpta.: D
UVW
Resolucin 12 Sea:Q(x; y) = 15x4y3n x4ny6 + 8(x3y2)6nQ(x; y) = 15x4y3n x4ny6 + 8x18n y12n
Como: GR(y) = 24Sabemos que el grado relativo de y es el mayor exponentede y en la expresin.Como:12n > 3n ; n > 0 GR(y) = 12n = 24
n = 2Hallamos el grado relativo de x :Los exponentes de x en la expresin dada son:
4; 4n; 18nReemplazando n = 2, obtenemos:
4; 8; 36
GR(x) = 36 Rpta.: C
Luego: R N R3 1b g =Si: R(x) = 4x + 3 R(1) = 4(1) + 3 = 4 + 3
R(1) = 7
R N 3 7b g = Rpta.: C
Como: A(x) es de tercer grado, tenemos que:2 4
63n + =
2n + 4 = 182n = 14 n = 7
Luego: el coeficiente ser:3(n 1) = 3(7 1) = 3(6)
3(n 1) = 18 Rpta.: C
Grado de Q xb g 5 30= Rpta.: C
Resolucin 17 Si grado de P(x) = 7 grado de P3(x) = 7 3 = 21Si grado de Q(x) = 9 grado de Q2(x) =9 2 = 18Luego: grado de H(x) = P3(x) + Q2(x) ;es el mayor grado de ambos monomios: Grado de H(x) = 21 Rpta.: BResolucin 18Como: F(x) = es un polinomio lineal, serde la forma:
F(x) = ax + b ; a y b constantes F(2) = a(2) + b = 5
2a + b = 5 ......... (I) F(1) = a(1)+ b = 4
a + b = 4 ......... (II)Restamos (I) (II); obteniendo:
2a + b = 5a + b = 4a = 1
Reemplazamos el valor de a = 1 en (II);obteniendo:
1 + b = 4 b = 3Si: F(x) = ax + b = 1x + 3
F(x) = x + 3 F(7) = 7 + 3 F(7) = 10 Rpta.: BResolucin 19Si: N(x) = 2x 5 N(3) = 2(3) 5 = 6 5
N(3) = 1
UVW
0
()
Resolucin 13Reduciendo la expresin:
A x n x xnb g b g= 3 1 2 86
A x n x xnb g b g= 3 1 282
6
A x n x xnb g b g= 3 1 2 46 A x n x nb g b g= +3 1 2 46
A x n xn
b g b g= +
3 12 4
6
Resolucin 14 Sea:P(x) = 3axa+5 + 5axa+6 + 2axa+8
Analizando los exponentes, vemos que:a + 8 > a + 6 > a + 5
GA(P) = a + 8 a + 8 = 17
Por dato: GA(P) = 17 a = 9
Los coeficientes de P(x) son:3a; 5a; 2a
La suma de coeficientes ser:3a + 5a +2a = 10a ; pero: a = 9
10a = 10(9) = 90 Rpta.: E
Resolucin 15 Sea:P(x) = 3x90 27x88 + 3x2 4xP(x) = 3x88(x2 9) + 3x2 4x
P(3) = 3(3)88(32 9) + 3(3)2 4(3)P(3) = 3(3)88(9 9) + 27 12P(3) = 3(3)88(0) + 15
P(3) = 15 Rpta.: C
Resolucin 16 Sea:Q(x) = 5x6 + x4 + x2 + 3x + 6
Donde: el grado de Q(x) = 6Luego: el grado de Q xb g 5 6 5=
Por dato del problema: GR(x) = 10Entonces, tenemos que:
m + 4 = 10 m = 6 Hallamos el grado de cada monomio y el mayor gra-
do ser el grado absoluto del polinomio P(x; y) Hallamos el grado del 1 monomio: (m + 1) + (n 3) = (6 + 1) + n 3
= 7 + n 3 Grado del 1 monomio: n + 4 Hallamos el grado del 2 monomio (m + 3)+(n 4) = (6 + 3)+(n 4)
= 9 + n 4 Grado del 2 monomio: n + 5 Hallamos el grado de 3 monomio: (m + 4) + 2n = (6 + 4) +2n Grado del 3 monomio: 10 + 2n
UVW ()
Resolucin 20Como: R(x) es un polinomio lineal, ser dela forma:
R(x) = ax + b ; a y b constantes R(3) = a(3) + b = 8
3a + b = 8 ......... (I) R(2) = a(2)+ b 6
2a + b = 6 ........ (II)Restamos (II) (I), obteniendo:
2a + b = 6 3a + b = 8
(2a)(3a) = 2 2a + 3a = 2
a = 2
Reemplazando a = -2 en (I):3(2)+b = 86 + b = 8 b = 2
Las constantes sern: a = 2 y b = 2 R(x) = 2x + 2Luego: R(4) = 2(4)+2 R(4) = 10 Rpta.: C
Resolucin 21P(x; y) = 3xm+1 yn3 + 7xm+3 yn4 xm+4 y2nAnalizamos los exponentes de la variable x y vemos que:
m + 4 > m + 3 > m + 1
GR(x) = m + 4
Resolucin 22 Sea:F(3x 1) = 2x + 3P(x) =4x 1
Hallamos x para hallar F(2):Si F(3x 1) = F(2)
Analizamos los grados de cada monomio y vemos que:10 + 2n > n + 5 > n + 4
GA(P)= 10 + 2nPor dato del problema: GA(P) = 16Entonces, tenemos que:
10 + 2n = 162n = 6 n = 3
Reemplazamos: m = 6 n = 3 en:m
n= =6
32
mn
= 2 Rpta.: A
3x 1 = 23x = 3 x = 1
Luego: F(2) = 2(1)+ 3 F(2) = 5Luego: P F P2 5b gc h b g=Si P(x) = 4x 1 P(5)
= 4(5) 1 P(5) = 19 P F 2 19b gc h = Rpta.: B
Resolucin 23 Sea:Q(x) = 2mxm + 4mxm1 + 6mxm2
Analizando los exponentes de x, vemos que:m > m 1 > m 2
Entonces: GA(Q) = m (Dato)Pero: G.A(Q) = 5 m = 5Reemplazando el valor de m en Q(x), tenemos que:
Q(x) = 2(5)x5 + 4(5)x51 + 6(5)x52Q(x) = 10x5 + 20x4 + 30x3
Trmino cbico
El coeficiente del trmino cbico es 30Rpta.: D
2(2) + 1= 7 m 5 = 7 m m = 2
Luego: mn = 22 = 4 mn = 4 Rpta.: BResolucin 27P(x; y) = (6 n)x3 y + mx2 y3 + 5x3y 4x2y3 Factorizando:P(x; y) = (6 n + 5)x3y + (m 4)x2y3Como: P(x; y) es idnticamente nulo: 6 n + 5 = 0 m 4 = 0
n = 11 m = 4Reemplazando estos valores en:
nm = 2 11 22 4 2e j e j
nm =2 32e j Rpta.: B
Resolucin 28P(x) = xa+b + 4xa 7xb + 5
Si P(x) es ordenado y completo de grado 3 a + b = 3 a = 2 b = 1 a2 + b2 = 22 + 12 = 5 Rpta.: CResolucin 292Ax2 + Bx2 Cx + B 8x2 + 5x 4(2A + B)x2 + (C)x + B 8 x2 + 5x + (4)
B = 4 C = 5 C = 5 2A + B = 8
2A + (4) = 82A = 12 A = 6
Luego:A + B + C = 6 +(4) + (5)
A + B + C = 3 Rpta.: B
Reemplazando el valor de m en los exponentes de x,tenemos que:
5m + 2n + 3 =5(3) + 2n + 3 = 18 + 2n4m + 2n + 1 = 4(3) + 2n + 1 = 13 + 2n
3m + 2n = 3(3) + 2n = 9 + 2nDonde: 18 + 2n > 13 + 2n > 9 + 2n
Luego: GR(x) + GR(y) = 43(18 + 2n) + (4m + 5) = 4318 + 2n + 4(3) + 5 = 4318 + 2n + 12 + 5 = 432n = 8 n = 4
Reemplazando m y n en P(x; y); tenemos que:P(x; y) = x26 y7 + x21 y11 + 7x17 y17
GA(P) = 17 + 17 = 34 Rpta.: DResolucin 25P(x; y) = 8x2n+6 3x2n+3 yn+2 + 5y9nPolinomio homogneo es aquel en el que todos sus trmi-nos tienen el mismo grado.Como: P(x; y) es homogneo 2n + 6 = (2n + 3)+(n + 2) = 9 n
2n + 6 = 3n + 5 = 9 n 2n +6 = 3n + 5 n = 1 3n + 5 = 9 n n = 1Los exponentes de y son:*
n + 2 = 1 + 2 = 3*
9 n = 9 1 = 8 GR(y) = 8 Rpta.: B
menor exponentede y
G:R (y)
G:R (x)
Resolucin 24
P(x; y) = x5m+2n+3 y2m+1 + x4m+2n+1y3m+2 + 7x3m+2n y4m+5
*Los exponentes de y son:2m + 1 ; 3m +2 ; 4m + 5
Donde: 2m + 1 < 3m + 2 < 4m + 5
Por dato: 2m + 1 = 72m = 6 m = 3
Resolucin 26
Q(x; y) = 2n 1x + + 6xn+2 yn1 13y7mComo: Q(x; y) es homogneo: n2 + 1= (n + 2) + (n 1) = 7 m
n2 + 1 = 2n +1 = 7 m n2 + 1 = 2n + 1 n = 2 2n + 1 = 7 m
Resolucin 30 Si:
B(x)=x2 + x 1 B(2) = (2)2 + (2) 1
B(2) = 5Luego: A B A2 5b g =
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO(ADICIN Y SUSTRACCIN DE POLINOMIOS). Pg.(143, 144, 145, 146)
NIVEL I
Tambin: Q(x; y) = 3y + x 9Luego:3P(x; y)
+ Q(x; y) = 9x + 3y + 18+ (3y + x 9) = 9x + 3y + 18 3y + x 9
3P(x; y)
+ Q(x; y) = 10x + 9 Rpta.: C
Si: A x xb g = + 12
( ) 5 1A 5 2+=
A(5) = 3
A B 2 3b g = Rpta.: B
Resolucin 1 Sea:P(x; y)
= 3x + y + 6 3P(x; y)
= 3(3x + y + 6)3P(x; y)
= 9x + 3y + 18
Resolucin 2 Si:P(x; y)
= 5x + 3y 3 2P(x; y)
= 2(5x + 3y 3) 2P(x; y)
= 10x + 6y 6Si Q(x; y) = 2y 2x + 5 5Q(x; y) = 5(2y 2x + 5) 5Q(x; y) = 10y 10x + 25Luego:2P(x; y) + 5Q(x; y) = (10x + 6y 6)+(10y 10x + 25)
= 10x + 6y 6 + 10y 10x + 25 2P(x; y) + 5Q(x; y) = 16y + 19 Rpta.: C
Resolucin 3
P(x) Q(x) = (5x2 3x +1) (x2 3) = 5x2 3x + 1 x2 + 3 = 4x2 3x + 4 Rpta.: E
Resolucin 4
P + Q = (4x3 + 2x2 x + 5) + (3x2 + 2x +3)P + Q = 4x3 + 2x2 x + 5 3x2 + 2x + 3P + Q = 4 83 2
4x x x
tr os + +
min
El polinomio resultante tiene 4 trminos Rpta.: B
Resolucin 5
A B = (5x2 + 6x 2) (2x2 + 6x + 1)A B = 5x2 + 6x 2 + 2x2 6x 1A B = 7 32x
s
2 trmino
El polinomio resultante tiene 2 trminos.Rpta.: C
Resolucin 6 Hallamos: (B + C A)
2 4 1 2 3 3 42 2 2x x x x x xB C A
+ + + =e j e j e j
= 2x2 4x + 1 2x x2 3 x2 3x + 4 == 9x + 2 Rpta: D
Resolucin 7 Hallamos: A B + C
( ) ( ) ( )CA B3 3 2 2 34x 2x 1 x 3x 6 x 3x 4 + + + + = = 4x3 2x + 1 x3 + 3x2 6 + x2 3x3 + 4== 4x2 2x 1 Rpta.: C
Resolucin 8
*Sea L el lado del cuadrado
Permetro del cuadrado = 4LComo: L = 3x + 2
Permetro del cuadrado = 4(3x + 2)Permetro del cuadrado = 12x + 8
*Sean a y b los lados del rectngulo
Permetro del rectgulo = 2(a + b)Como: a = 4x 1 b = 5x + 2
Permetro del rectngulo:= 2[(4x 1) + (5x + 2)]=2[4x 1 + 5x + 2]= 2[9x + 1]Permetro del rectngulo = 18x + 2
Resolucin 14R = 3x2{5y +[3x2 + {y (6 + x2)} (x2 + y)]}R = 3x2 {5y +[3x2+{y 6 x2} +x2 y]}R = 3x2 {5y +[3x2 + y 6 x2 + x2 y]}R = 3x2 {5y 3x2 6}R = 3x2 5y + 3x2 + 6 R = 6 5y Rpta.: B
Como: L = 7x + 1 Permetro del cuadrado = 4 (7x + 1)
Permetro del cuadrado = 28x + 4
* Sea el tringulo issceles:
Permetro del hexgono = 6acomo: a = 2x + 1
Permetro del rectngulo = 6(2x + 1)Permetro del
rectngulo = 12x + 6
*Sea L el lado del cuadrado
Permetro del cuadrado = 4LComo: L = 3x 1
Permetro del cuadrado = 4(3x 1)Permetro del
cuadrado = 12x 4Luego:Permetro del
hexgono Permetro delcuadrado = (12x + 6) (12x 4) = 12x + 6 12x + 4 = 10
Excede: en 10 Rpta.: EResolucin 13
*Si el pentgono es regular, entonces sus cinco ladosson iguales.Si el lado del pentgono es L
Permetro del pentgono = 5Lcomo: L = 4x + 3
Permetro del pentgono = 5(4x + 3)Permetro del
pentgono = 20x + 15
*Sean a y b los lados del rectngulo
Permetro del rectngulo = 2(a + b)como: a = 7x + 4 b = 3x + 1
Permetrodelrectngulo
= 2((7x + 4)+(3x + 1)
= 2(10x + 5)Permetrodel
rectngulo = 20x + 10
Luego:
Permetro delpentgono Permetro delcuadrado = (20x + 15)(20x + 10)
= 20x + 15 20x 10 = 5
Excede en 5 Rpta.: D
Permetro deltringulo
= (10x 3)+(10x3)+(7x + 1)
Permetro deltringulo = 27x 5
Luego:Permetro del
cuadrado + permetro del
tringulo = (28x + 4)+(27x 5) = 55x 1
Rpta.: DResolucin 10Sea M la expresin buscada: (5x2 3x +6) + M = 8x2 + 5x 3
M= 8x2 + 5x 3 (5x2 3x + 6)M = 8x2 + 5x 3 5x2 + 3x 6
M = 3x2 + 8x 9 Rpta.: CResolucin 11Sea N la expresin buscada: (16x3 4x2 9) N = 12x3 + 6x 8
(16x3 4x2 9) (12x3 + 6x 8) = N16x3 4x2 9 12x3 6x + 8 = N
N = 4x3 4x2 6x 1 Rpta.: EResolucin 12
*Si el hexgono es regular, entoncessus 6 lados son iguales.Si el lado del hexgono es a
Resolucin 9
*Sea L el lado de cuadrado:
Permetro del cuadrado = 4L
Luego:Permetro del
cuadradopermetro delrectngulo
+ = (12x + 8)+(18x + 2)
= 30x + 10
Rpta.. D
(M 6)x3 + (5 N)x2 3x + 1 = 2 x3 + 3 x2 3x + 1Luego: M 6 = 2 M = 8
5 N = 3 N = 2Entonces: M N = 8 2 M N = 6 Rpta.: B
Resolucin 15
E x x x= + + +3 2 1 2b gE x x x= + +3 2 2 2E = x 3x + 2x 2 2
E = 4 Rpta.: E
Resolucin 16
( ){ }P x 2x y x y z x z= + + + + P x x y x y z x z= + + + + + 2l qP = x + z z
P = x Rpta.: C
Resolucin 17(Ax2 + 5x + 8)+(3x2 + Bx 6)=5x2 + 7x + 2Ax2 + 5x + 8 + 3x2 + Bx 6 = 5x2 + 7x + 2(A + 3)x2 + (5 + B)x + 2 = 5 x2 + 7 x + 2
Luego: A + 3 = 5 A = 25 + B = 7 B = 2
Entonces: A + B = 2 + 2
A + B = 4Rpta.: DResolucin 18(Mx3 + 5x2 +2x + 4) (6x3 +Nx2 + 5x + 3)= 2x3 +3x2 3x + 1Mx3 + 5x2 +2x + 4 6x3 Nx2 5x 3= 2x3 + 3x2 3x + 1
Resolucin 19P + Q R = (x2 + x 3)+(2x2 2x + 1)(3x2 4x + 5)P + Q R = x2 + x 3 + 2x2 2x + 1 3x2 + 4x 5 P + Q R = 3x 7 Rpta.: BResolucin 20(A C)B = ((5x2 x + 4) (2x2 + 5x + 3))(3x2 4x + 1)(A C) B = (5x2 x + 4 2x2 5x 3) 3x2 + 4x 1(A C) B = 3x2 6x + 1 3x2 + 4x 1 (A C) B = 2x Rpta.: B
NIVEL II
Resolucin 1 Si:P(x; y) = 2x2 2x + 3y2 3
2 P(x; y) = 2 (2x2 2x + 3y2 3)2 P(x; y) = 4x2 4x + 6y2 6
Adems: Q(x; y) = 4x 4x2 3y2 + 6Luego:2 P(x; y) + Q(x; y)
= (4x2 4x + 6y2 6) + (4x 4x2 3y2 + 6)
2 P(x; y) + Q(x; y)
= 4x2 4x + 6y2 6 + 4x 4x2 3y2 + 6
2 P(x; y) + Q(x; y) = 3y2 Rpta.: C
Resolucin 2 Sea:
A(x; y) = 8xy2 + 6x2y 3xy + 8Si: B(x; y) = 4xy2 + 2x2y +xy + 5 2B(x; y) = 2(4xy2 + 2x2y + xy + 5)
2B(x; y) = 8xy2 + 4x2y + 2xy + 10Luego:A(x; y) 2B(x; y) = (8xy2 + 6x2y 3xy + 8)
(8xy2 + 4x2y + 2xy + 10)A(x; y) 2B(x; y) = 8xy2 + 6x2y 3xy + 8 8xy2
4x2y 2xy 10 A(x; y) 2B(x; y) = 2x2y 5xy 2 Rpta.: B
Resolucin 3P(x) Q(x) = (4x3 + 2x2 + x + 3) (5x2 4x 4)P(x) Q(x) = 4x3 + 2x2 + x + 3 5x2 + 4x + 4 P(x) Q(x) = 4x3 3x2 + 5x + 7
Rpta.: B
Trmino demayor grado
Trmino demenor grado
Resolucin 4P + Q = (3x3 + 4x2 + 2) + (21x2 + 4x + 1)P + Q = 3x3 + 25x2 + 4x + 3
Luego:Coeficiente deltr o demayor grado
minFHG
IKJ
Coeficiente deltr o demenor grado
minFHG
IKJ = 3 3
= 0
Rpta.: C
Resolucin 9De la figura:
Tambin: AB = CD BC = AD FG = n GE = m
Luego, permetro del rectngulo ABCD es:AB + BC + CD + AD = 32 x
CD + BC + CD + BC = 32x2BC + 2CD = 32x2(BC + CD) = 32xBC + CD = 16x
AD + AB = 16x
Vemos que:DC = AB = 4x + 1QN = PM = 3x + 2BC = AP + MN + QD = 6x + 4
Luego:El permetro de la figura ser:AB + AP + PM + MN + QN + QD + DC + BC= AB + DC + AP + MN + QD + PM + QN + BC
= AB + AB + BC + PM + PM + BC= 2AB + 2BC + 2PM=2(AB + BC + PM)= 2((4x + 1)+ (6x + 4) + (3x + 2))= 2 (13x + 7) = 26x + 14 Permetro = 26x + 14 Rpta.: CResolucin 10Sea la figura:
Vemos que:BC = BF + m BF = BC mCD = ED + n ED = CD n
Luego:
Coeficiente deltr o demayor grado
minFHG
IKJ +
Coeficiente deltr o demenor grado
minFHG
IKJ = (2) + 7
= 5
Rpta.: CResolucin 6P + Q = (5x3 + 2x2 x + 6) + (2x2 + x + 3)P + Q = 5x3 + 2x2 x + 6 2x2 + x + 3P + Q = 5x3 + 9 Polinomio de 2 trminos El polinomio resultante tiene 2 trminos
Rpta.: CResolucin 7A B = (6x4 + 5x3 + 2x2 + x 8)
(5x3 + x + 2x2 + 8)A B = 6x4 + 5x3 + 2x2 + x 8 5x3 x 2x2 8A B = 6x4 16 Polinomio de 2 trminos El polinomio resultante tiene 2 trminos
Rpta.: CResolucin 8Diferencia = (4x3 + 3x 6) (5x3 2x2 + 4x 4)Diferencia = 4x3 + 3x 6 5x3 + 2x2 4x + 4Diferencia = x3 + 2x2 x 2Sea M la expresin pedida: M + diferencia = 2x2 + x - 2
M = (2x2 + x 2) diferenciaM = (2x2 + x 2) (x3 + 2x2 x 2)M = 2x2 + x 2 + x3 2x2 + x + 2M = x3 + 2x
M = x(x2 + 2) Rpta.: B
Trmino demayor grado
Trmino demenor grado
Resolucin 5A B = (5x4 3x3 + 5x + 1) (7x4 + 2x2 6)A B = 5x4 3x3 + 5x + 1 7x4 2x2 + 6A B = 2x4 3x3 2x2 + 5x + 7
Resolucin 11R = [(x)][+(x)] + {(y+z) [+(z)]}R = [x] [x] + {y z [z]}R = x + x + {y z + z }
R = y Rpta.: D
Resolucin 12Q = [3x + (x {2y3})] +{(2x + y) + (x 3)+2(x + y)}Q = [3x + ( x 2y + 3)] +{2x y x 3 + 2 x y}Q = [3x x 2y + 3] + {4x 2y 1}Q = 3x + x + 2y 3 4x 2y 1Q = 4x + 2y 3 4x 2y 1 Q = 4 Rpta.. D
Luego:El permetro de la regin coloreada es:
AD + AB + BF + FG + GE + ED =
= 16x + (BC m) + n + m + (CD n) == 16x + BC m + n + m + CD n == 16x + BC + CD
= 16x + 16x
= 32x Rpta.: B
Resolucin 13 Tenemos que: (Ax2 xy + y2) + (2x2 + Bxy 3y2) (3x2 xy Cy2)= 3x2 + 2xy + y2
Ax2 xy + y2 + 2x2 + Bxy 3y2 3x2 + xy + Cy2= 3x2 + 2xy + y2
Ax2 x2 + Bxy 2y2 + Cy2 = 3x2 + 2xy + y2(A 1)x2 + Bxy + (C 2)y2 = 3x2 + 2xy + y2
Luego: A 1 = 3 A = 4B = 2
C 2 C = 3Entonces:
A + B + C = 4 + 2 + 3 = 9 Rpta.: C
Resolucin 14Tenemos que:[(6x2 + 11x 35) + (3x2 6x)](9x2 + 3x 29) = mx + n[6x2 + 11x 35 + 3x2 6x] 9x2 3x + 29 = mx + n9x2 + 5x 35 9x2 3x + 29 = mx + n
2 x 6 = m x + nEntonces: m = 2 n = 6Luego: m + n = 2+ (6) m + n = 4 Rpta.: B
Resolucin 15 Sea la figura:
Vemos que:El permetro del cuadrado ABCD es:
4(4a) = 16x a = x
El permetro de la regin coloreada es:Permetro deregin coloreada =2(a + 4a)
=2(5a) = 10acomo: a = x
Permetro deregin coloreada = 10x Rpta.: C
Resolucin 16De la figura, podemos observar que:
CD = HG + GF + FNComo: HG = GF = FN CD = 3HG
3x = 3HG HG = x FN = x
Luego: AD = BC = 4x + 3Si: BC = BH + HCComo: BH = HC = FE
Permetro delrectngulo NFED = 6x + 3
Luego: Permetro de laregin coloreada = (6x + 3)+(6x + 3)Permetro de laregin coloreada = 12x + 6
Permetro de laregin coloreada = 6(2x + 1) Rpta.: D
Resolucin 20 Si: A + B = C (ax2 + bx + c) + (6x2 3x + 5) = 9x2 + 2x + 7(a + 6)x2 + (b 3)x + (c + 5)= 9x2 + 2x + 7Entonces: a + 6 = 9 a = 3
b 3 = 2 b = 5c + 5 = 7 c = 2
Luego: a + b + c = 3 + 5 + 2 a + b + c = 10 Rpta.: CResolucin 21 Hallamos: A + B + CA = x3y3 x2y2 + 3x3 + y3B = 2x3y3 + 2x2y2 + x3 y3 (+)C = x3y3 x2y2 + 4x3 A + B + C = 8x3 Rpta.: DResolucin 22Sea la diferencia igual a D D = (4x3 11x + 2) (2x3 x 9)
D = 4x3 11x + 2 2x3 + x + 9D = 2x3 10x + 11
Sea S la cantidad que se debe sumar: D + S = 2x3 + x 5
(2x3 10x + 11) + S = 2x3 + x 5S = 2x3 + x 5 (2x3 10x + 11)S = 2x3 + x 5 2x3 + 10x 11
S = 11x 16 Rpta.: BResolucin 23 Hallamos A + B C :(4x3y2 7x2y3 + 2x2y2) + (2x2y3 5y2x3 6x2y2)
(5x2y2 5x2y3 9x3y2) == 4x3y2 7x2y3 + 2x2y2 + 2x2y3 5y2x3 6x2y2
+5x2y2 + 5x2y3 + 9x3y2 = A + B C = x2y2
Luego: A B C x y xy+ = =2 2 Rpta.: D
UV|W|
BC = 2BH4x + 3 = 2BH
BH x= +4 32
FEx= +4 32
Permetro de laregin coloreada =
Permetro delrectngulo MBHG+
Permetro delrectngulo NFED
Si: Permetro delrectngulo MBHG =24 3
2x
x+ +FHGIKJ
FHG
IKJ
= + +FHGIKJ2
2 4 32
x xb g
Permetro delrectngulo MBHG = 6x + 3
Resolucin 17(A + B)2C = ((3x2 + 6x3 +2x 5) +(x2 4x3 + 5x 7)) 2(x3 x2 + 3x 6)(A + B)2C= (3x2 + 6x3 +2x 5 + x2 4x3 + 5x 7)
2x3 + 2x2 6x + 12(A + B)2C = 2x3 + 4x2 + 7x 12 2x3 + 2x2
6x + 12 (A + B)2C = 6x2 + x Rpta.: DResolucin 18(2P R)+Q = (2(x4 + 3x2 +5x)(2x4 + x2 + x3 3x + 2)) + (x3 13x + 2)(2P R)+ Q = (2x4 + 6x2 + 10x 2x4 x2
x3 + 3x 2) + x3 13x + 2(2P R)+Q = x3 + 5x2 + 13x 2 + x3 13x + 2 (2P R)+ Q = 5x2 Rpta.: C
Resolucin 19
E x y x y x y x y x= + + + +5 2 2 3 1 2b g e j
E x y x y x y x y x= + + + + +5 5 2 2 3 1 2b g
E x y x y y x x= + +5 5 2 2 2 2 2 2b gE x y x y y x x= + +5 5 2 4 4 4 2E = 5x 5y 2x + y 4y + 4x + 4 + 2x E = x 8y + 4 Rpta.: A
Resolucin 24
P + Q + R = (3x2 + 5y2 + 8xy) + (2y2 + 5x2 + xy) + (x2 y2 + xy)
P + Q + R = 9 x2 + 6 y2 + 10 xy
Luego: Suma decoeficientes = 9 + 6 + 10
Suma de coeficientes = 25 Rpta.. B
Coeficientes
Resolucin 25 Hallamos: A + B + CA = 6x2y + 3xy2 12xyB = 4x2y + 2xy2 + 16xy (+)C = x2y 5xy2 + 4xyA + B + C = 3 x2y + 8 xy
Luego: Suma decoeficientes = 3 + 8
Suma de coeficientes = 11 Rpta.: B
Coeficientes
UV|W|
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO(MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS Y PRODUCTOS NOTABLES). Pg.(168, 169, 170, 171)
NIVEL I
Resolucin 12(3x + 2)(2x + 3)(3x + 4)(4x + 3)==2(6x2 + 4x + 9x + 6)(12x2 + 9x + 16x + 12)= 12x2 + 8x + 18x + 12 12x2 9x 16x 12= 26x 25x = x Rpta.: D
Resolucin 2A =(x2 + x + 1)(x2 x + 1)A = ((x2 + 1)+ x)((x2 + 1) x)
Aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2Obteniendo: A = (x2 + 1)2 - x2
A = ((x2)2 + 2(x2)(1)+ 12) x2A = (x4 + 2x2 + 1) x2
A = x4 + x2 + 1 Rpta.: CResolucin 3 Sea:
B = x2 (3x + 1)(3x + 2)+2(2x + 1)2Aplicamos:
(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + ab(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Obteniendo:B = x2 ((3x)2 + (1 + 2)3x + 12)
+2 ((2x)2 + 2(2x)(1) + 12)B = x2 (9x2 + 9x + 2) + 2(4x2 + 4x + 1)B = x2 9x2 9x 2 + 8x2 + 8x + 2
B = x Rpta.: B
Resolucin 4 Sea:M = (x + y + xy)(x y)x2y + y2(x + 1)M = ((x + y)+ xy)(xy)x2y + xy2 + y2
M = (x + y)(x y)+ xy(x y)x2y + xy2 + y2
Aplicamos: (a + b)(a b)= a2 b2Obteniendo:
M = x2 y2 + x2y xy2 x2y + xy2 + y2 M = x2 Rpta.: C
Resolucin 5* Hallamos A :
A = (2x 1)(3x + 2)A = (2x)(3x) + (2x)(2) + (1)(3x) + (1)(2)
A = 6x2 + x 2* Hallamos B :
B = (4x + 3)(x 2)B = (4x)(x) + (4x)(2) + (3)(x) + (3)(2)B = 4x2 5x 6Luego:(A + B) A = ((6x2 + x 2)+(4x2 5x 6))(6x2 + x 2)(A + B)A = (10x2 4x 8)(6x2 + x 2)(A + B)A = (10x2)(6x2) + (10x2)(x) + (10x2)(2)
+(4x)(6x2) + (4x)(x) + (4x)(2) +(8)(6x2) + (8)(x) + (8)(2)
(A + B)A = 60x4 + 10x3 20x2 24x3 4x2 + 8x 48x2 8x + 16
(A + B)A = 60x4 14x3 72x2 + 16 Rpta.: C
9x2 + 5x 35 9x2 3x + 29 = mx + n2x + (6) = mx + n
Comparando trminos, tenemos que: 2x = mx m = 2 n = 6Luego: m + n = 2 + (6) m + n =4 Rpta.: B
Resolucin 7N = (5x3 + 4x2 + 3x)(x + 2)
N = 5x3(x + 2) + 4x2(x + 2) + 3x(x + 2)N = (5x3)(x) + (5x3)(2) + (4x2)(x) + (4x2)(2)+ (3x)(x) + (3x)(2)N = 5x4 + 10x3 + 4x3 + 8x2 + 3x2 + 6x
N = 5 x4 + 14 x3 + 11 x2 + 6 x
Suma de coeficientes = 5 + 14 + 11 + 6 Suma de coeficientes = 36 Rpta.: C
Coeficientes
Menor coeficienteMayor coeficiente
Resolucin 6* Hallamos: P :
P = ( x + 6)(2x 3)P = (x)(2x) + (x)(3) + (6)(2x) + (6)(3)
P = 2x2 + 9x 18*
Hallamos Q :Q = (3x 1)(x + 4)Q = (3x)(x) + (3x)(4) + (1)(x) + (1)(4)
Q = 3x2 + 11x 4* Hallamos R :
R = (x 2)(x + 8)R = x2 + (2 + 8)x + (2)(8)
R = x2 + 6x 16Luego:P + (Q R) = (2x2 + 9x 18) + ((3x2 + 11x 4)
(x2 + 6x 16))P + (Q R) = 2x2 + 9x 18 + (3x2 + 11x 4
x2 6x + 16)P +(Q R) = 2x2 + 9x 18 + 2x2 + 5x + 12 P+(Q R) = 4x2 + 14x 6
Rpta.: B
Resolucin 8 Sea:P = (6x4 3x3 + 2x2 + 5x)(x2 + 3x 1)P = (6x4)(x2) + (6x4)(3x) + (6x4)(1) +(3x3)(x2) + (3x3)(3x)+(3x3)(1) +(2x2)(x2) + (2x2)(3x) + (2x2)(1) + (5x)(x2) + (5x)(3x) + (5x)(1)P = 6x6 + 18x5 6x4 3x5 9x4 + 3x3 + 2x4 + 6x3 2x2 +
5x3 + 15x2 5xP = 6x6 + 15x5 13x4 + 14x3 + 13x2 5xP = 6x6 + 15 x5 + (13) x4 + 14x3 + 13x2 5x
Resolucin 9 Del enunciado:((2x + 7)(3x 5)+ 3x(x 2)) (9x2 + 3x 29) = mx + n((2x)(3x) + (2x)(5) + (7)(3x) + (7)(5) + 3x2 6x) 9x2 3x + 29 = mx + n(6x2 + 11x 35 + 3x2 6x)9x2 3x + 29
= mx + n
Luego:Mayorcoeficiente
FH IK MenorcoeficienteFH IK = 15 (13) = 15 + 13 = 28
Rpta.: D
Resolucin 10Del enunciado, tenemos que:[(3x + 2)(x 4) (2x 4)(x + 6)]+(8x2 + 25x 16)
= ax2 +bx[(3x2 12x + 2x 8) (2x2 + 12x 4x 24)]+(8x2 + 25x 16) = ax2 + bx[(3x2 10x 8) (2x2 + 8x 24)] + 8x2 + 25x 16 = ax2 +
bx[3x2 10x 8 2x2 8x + 24] + 8x2 + 25x 16
=ax2 + bx
[x2 18x + 16] + 8x2 + 25x 16 = ax2 + bxx2 18x + 16 + 8x2 + 25x 16 = ax2 + bx
9x2 + 7x = ax2 + bx
Por comparacin de trminos, tenemos que: 9x2 = ax2 a = 9 7x = bx b = 7Luego: a + b = 9 + 7 a + b = 16 Rpta.: C
Resolucin 11 Sabemos que:rea del cuadrado = (Lado)2rea del rectngulo = (Lado mayor) (Lado menor)
De la figura: rea del cuadrado = (3x + 2)2
rea del cuadrado = ((3x)2 + 2(3x)(2)+ (2)2)
rea del rectngulo = (3x + 6)(3x 2)rea del rectngulo = ((3x)2 + (6 2)(3x)
+ (6)(2))rea del rectngulo = 9x2 + 12x 12
Luego:readelcuadrado
FHG
IKJ readelrectnguloFHG IKJ = (9x2 + 12x + 4)
(9x2 + 12x 12) = 9x2 + 12x + 4 9x2 12x + 12 = 16 Rpta.: E
Resolucin 12 Sabemos que:
rea del rectngulo = LadomayorFH IK LadomenorFH IK
readel tringulorectngulo =
cateto catetob g b g2
De las figuras, tenemos que:
readelrectngulo (x + 2)(8x + 10)
readelrectngulo= 8x
2 + 10x + 16x + 20
readelrectngulo = 8x
2 + 26x + 20
readel tringulo
rectngulo =+ +4 3 2 5
2x xb gb g
readel tringulorectngulo
28x 20x 6x 152
+ + +=
readel tringulorectngulo =
+ +8 26 152
2x x
Luego:
readelrectngulo
FHG
IKJ
FHGG
IKJJ2
readeltringulorectngulo =(8x2 + 26x + 20)
rea del cuadrado = 9x2 + 12x + 4
+ +FHGIKJ2
8 26 152
2x x
= 8x2 + 26x + 20 8x2 26x 15 = 5 Rpta.: C
Resolucin 13P = (x + 1)2 (x + 2)2 (x + 3)2 + (x + 4)2P = (x2 + 2x + 1) (x2 + 4x + 4) (x2 + 6x + 9) + (x2 + 8x + 16)P = x2 + 2x + 1 x2 4x 4 x2 6x 9 + x2 + 8x + 16
P = 10x 10x + 4 P = 4 Rpta.: B
Resolucin 14 Sea:
Q b ab a b ab= + + + 2 2 22 2 2 2 2e j b gAplicamos: m2 n2 = (m + n)(m n)
(m + n)2 = m2 + n2 + 2mn(m n)2 = m2 + n2 2mn
Obteniendo:
Q b ab a b ab a b ab= + + + + + 2 2 2 22 2 2 2 2e je j
Q b ab a b a b= + + + 2 22 2 2b g b gQ = 2b2 + + + 2 2ab a b a bb gb g
Q b ab a b= + + 2 22 2 2 2
Q = 2b2 + 2ab + (a2 b2)Q = 2b2 + 2ab + a2 b2Q = a2 + 2ab + b2
Q = (a + b)2 Rpta.: BResolucin 15
E = (x + 1)(x 1)(x2 + 1) + 1Aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2Obteniendo:
E = (x2 12)(x2 + 1) + 1E = (x2 1)(x2 + 1) + 1E = ((x2)2 (1)2) + 1E = (x4 1) + 1= x4 1 + 1
E = x4 Rpta.: DResolucin 16 Aplicamos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3 A = (z + 1)3
A = z3 + 3z2(1) + 3z(1)2 + (1)3A = z3 + 3z2 + 3z + 1
Aplicamos: (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3 B = (z 1)3
Resolucin 19 Sea:
A x x= + 3 3 33 3e je jA x x= +3 3 33 3e je jA x x= +3 3 33 3e j e jA x x= + +3 3 33 3e je j
Aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2
A x= + FHGIKJ3 3
3 2 2e j e jA = 3 + (x6 3)
A = x6 Rpta.: E
1 1 1 2 1 1 12 2 2
x y x x y y+FHG
IKJ =
FHG
IKJ +
FHG
IKJFHG
IKJ +
FHG
IKJ
1 1 1 2 12
2 2x y x xy y+FHG
IKJ = + + ......... (I)
Pero: x1 + y1 = a
1 1x y
a+ =
Tambin: xy = bReemplazando estos valores en (I), tenemos:
ax b y
22 21 2 1e j = + +
ab x y
22 2
2 1 1 = +
a bb
y xx y
2 2 2
2 22 = +
a bb
y xx y
2 2 2
22 = +
b ga b
by x
b
2 2 2
22 = +
b g
a b x yb
22 2
2 = +
x2 + y2 = b(a2b 2) x2 + y2 = a2b2 2b Rpta.: B
Resolucin 17 Aplicamos:
(a b)3 = a3 b3 3ab(a b)Obteniendo:(x 1)3 x3 + 1 =(x3 13 3(x)(1)(x 1) x3 + 1)
=x3 1 3x(x 1) x3 + 1= 3x(x 1)=3x[(1x)]= 3x(1 x) Rpta.: D
Resolucin 18 Aplicamos:a2 b2 = (a + b)(a b)
Simplificando, obtenemos:
E a a b a ba b a b
= + + b g b gb gb g
2
E = a(a + b)
E = a2 + ab Rpta.: E
B = z3 3(z)2(1) + 3(z)(1)2 (1)3B = z3 3z2 + 3z 1
Luego:B A =(z3 3z2 + 3z 1) (z3 + 3z2 + 3z + 1)B A = z3 3z2 + 3z 1 z3 3z2 3z 1 B A = 6z2 2 Rpta.: D
Resolucin 20 Aplicamos:
a2 b2 = (a + b)(a b) E = + 3 2 3 22 2e j e jE = + + + 3 2 3 2 3 2 3 2e j e j e j e jE = + + + +3 2 3 2 3 2 3 2
E = 2 3 2 2
Resolucin 21 Sabemos que:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Si ab = 4 a + b = 3 (3)2 = a2 + 2(4) + b2
9 = a2 + 8 + b2
a2 + b2 = 1 Rpta.: B
Resolucin 22 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
E = 4 6 E22
4 6= e j E2 = 96 Rpta.: E
Resolucin 23 Sea:
M = FHGIKJ
LNMM
OQPP
3 132
3 3 132
12
( ) ( )23 13 3 3 13M 1
4 2 =
M = 3 13 6 3 13 44
2e j e j
M = + 3 13 18 6 13 44
2e j
M = + 3 13 6 13 224
2e j
Aplicamos: (a b)2 = a2 2ab + b2
M = +FHG
IKJ + 3 2 3 13 13 6 13 22
4
2 2b ge j e j
M = + + 9 6 13 13 6 13 224
e j
M = + 22 6 13 6 13 224
M = 0 Rpta.: A
Resolucin 24 Aplicamos:
(a b)2 = a2 2ab + b2 P = (m 3n)2 4n(2n m) + 8
P = (m2 2(m)(3n)+(3n)2)8n2 +4mn + 8P = m2 6mn + 9n2 8n2 + 4mn + 8P = m2 + n2 2mn + 8P = (m n)2 + 8
Pero: m n = 8 P = (8)2 + 8 = 64 + 8 P = 72 Rpta.. C
Resolucin 25
A) (a + b)2 = (a + b)(a + b) ........ (Verdadero)B) a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2) ...(Verdadero)C) a2 + b2 = (a + b)(a + b)
= (a + b)2 ................. (Falso)D) a2 b2 = (a + b)(a b) ......... (Verdadero)E) a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) ...(Verdadero)
Rpta.: C
Resolucin 26 Sabemos que:
A B A B =Luego, aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2Sea:
Q a b a b a b b= + FHIK FH
IK + 2
Q a b a b a b b= + FHGIKJ FH
IK +e je j 2
Q a b a b b= FHGIKJ FH
IK +2
2 2e j
Q a b a b b= FHIK FH
IK +2 2
Q a b b= FHIK +2
2
Q = a2 b + b Q = a2 Rpta.: BResolucin 27 Sabemos que:
a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)Si a + b = 3 ab = 3 a3 + b3 = (3)(a2 3 + b2)
a3 + b3 = 3(a2 + b2 3) ..... (I)Hallamos: a2 + b2
Sabemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2Si a + b= 3 ab = 3 (3)2 = a2 + 2(3) + b2
9 = a2 + b2 + 6a2 + b2 = 3 ..... (II)
Reemplazamos (II) en (I), obteniendo:a3 + b3 = 3(3 3) = 3(0)
a3 + b3 = 0 Rpta.: AResolucin 28 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
nn
+FHGIKJ =
1 32
n nn n
22
2 1 1 3+ FHGIKJ +
FHG
IKJ =b g
nn
2221 3+ + =
nn
221 1+ =
..... (I)
Aplicamos: (a + b)(a b)= a2 b2
Ex
= 2
12 2 ; pero: x = 5
E =
= =2
5 1
25 1
242e j
E = 12 Rpta.: D
Resolucin 30 Aplicamos:(a + b)2 (a b)2 = 4ab Identidad de Legendre
R n nn
= + 3 36
2 2b g b g
R nn
n
n= =4 3
6126
b gb g
R = 2 Rpta.: B
Resolucin 29 Aplicamos:
(a + b)(a2 ab + b2) = a3 + b3(a b)(a2 + ab + b2) = a3 b3
P = (x + 1)(x2 x + 1)(x 1)(x2 + x + 1)P = (x + 1)(x2 x1 + 12) (x 1)(x2 + x1 + 12)
P = (x3 + 13 ) (x3 13)P = x3 + 1 x3 + 1
P = 2 Rpta.: B
Adems: nn
+FHGIKJ =
1 32
nn
+ =1 3 ...... (II)
Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)
nn
nn
n nn n
33
221 1 1 1+ FHG
IKJ = +
FHG
IKJ +
FHG
IKJ
FHG
IKJ
nn
nn
nn
33
22
1 1 1 1+ = +FHGIKJ + FHG
IKJ
Reemplazamos (I) y (II):n
n3
31 3 1 1 3 0+ = =e jb g b g
nn
331 0+ = Rpta.: B
Resolucin 31 Aplicamos:
(a + b)(a b) = a2 b2
Px X
X= + ++
2 2 952
b gb g
Px
x= ++
2 2
2
2 9
5e j
P xx
x
x= ++ =
++
2
2
2
24 9
555
P = 1 Rpta.: C
Resolucin 32 Aplicamos:
(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)Identidad de Legendre
M x xx
= + + 1 1 22 2
2b g b g
Mx
x= + 2 1 2
2 2
2e j
M xx
x
x= + =2 2 2 2
2
2
2
2
M = 2 Rpta.: EResolucin 33
E x xx x
x x
x x= + + =
+ + +
1 11 1
1 11 1
b g b gb gb g b gb g
Ex x
= +2
1 1b gb g
Resolucin 34 Aplicamos:
(a + b)2 (a b)2 = 4ab A = ((x + y)+1)2 ((x + y) 1)2
A = 4(x + y)(1) A = 4(x + y) Rpta.: A
Resolucin 35R = (x2 7x + 11)2 (x 2)(x 5)(x 3)(x 4)R = (x2 7x + 11)2 (x2 7x + 10)(x2 7x + 12)Hacemos: a = x2 7x + 11 a 1 = x2 7x + 10 a + 1= x2 7x + 12Reemplazamos estos valores en R
R a a aDiferencia decuadrados
= +b g b gb g2 1 1
R = a2 (a2 12)R = a2 a2 + 1
R = 1 Rpta.: C
S = (x2)(5x2)+(x2)(x)+(x2)(4)+(x)(5x2) +(x)(x) + (x)(4) + (2)(5x2) + (2)(x) +(2)(4)S = 5x4 + x3 4x2 5x3 x2 + 4x + 10x2 + 2x 8
S = 5x4 4x3 + 5x2 + 6x 8Rpta.: B
Resolucin 2A = (x2 + x + 1)(x2 x + 1)A = ((x2 + 1) + x)((x2 + 1)x)
Aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2 A = (x2 + 1)2 x2Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 A = ((x2)2 + 2(x2)(1) + 12) x2
A = x4 + 2x2 + 1 x2 A = x4 + x2 + 1 Rpta.: C
NIVEL II
Resolucin 1Reemplazando los valores en:
S = P(Q + R)S = (x2 x + 2)((3x2 x 1)+(2x2 + 2x 3))S = (x2 x + 2)(5x2 + x 4)
Resolucin 3 Reemplazando los valores en:[2A 3B]2 = [2(8x3y2 + 6x2y2 + 3x2y3)
3(4y2x2 + 5x3y2 + 2x2y3)][2A 3B]2 = [16x3y2 + 12x2y2 + 6x2y3
12x2y2 15x3y2 6x2y3][2A 3B]2 = 16x3y2 15x3y2 [2A 3B]2 = x3y2 Rpta.: A
Resolucin 4Sea M la expresin a agregar. Luego, segn el enuncia-do:
(3x + 2)2 + M = (3x + 5)(3x + 7)Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab((3x)2 + 2(3x)(2) + (2)2) + M= (3x)2 + (5 +7)(3x) + 57
(9x2 + 12x + 4) + M = 9x2 + 36x + 35M = 9x2 + 36x + 35 (9x2 + 12x + 4)M = 9x2 + 36x + 35 9x2 12x 4
M = 24x + 31 Rpta.: A
Resolucon 5 Sea N la expresin que se debe restar, se-gn el enunciado tenemos que:
(6x + 5)2 N = (9x + 5)(4x 3)Aplicamos: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2((6x)2 + 2(6x)(5) + (5)2) N = 36x2 7x 15(36x2 + 60x + 25) N = 36x2 7x 15(36x2 + 60x + 25) (36x2 7x 15) = N36x2 + 60x + 25 36x2 + 7x + 15 = N N = 67x + 40 Rpta.: B
Resolucin 6
*(x + 2)(3x 3) = (x + 2)[3(x 1)]= 3(x + 2)(x 1)
*(x + 2)(3x 3) = (2 + x)(3x 3)
*(x + 2)(3x 3) = (2 + x)[(3 3x)]= (2 + x)(3 3x)
*(x + 2)(3x 3) (2 + x)(3 3x)
*(x + 2)(3x 3) = 3x2 + 3x 6
Rpta.: D
Resolucin 7 Efectuando:(a + b)x + (b + c)y[(a b)x-(b c)y]2b(x + y)=(a + b)x + (b + c)y (a b)x+(b c)y 2b(x + y)=x((a + b)(a b)) +y ((b + c) + (b c))2b(x + y)=x(a + b a + b) + y(b + c + b c)2b(x + y)=2bx + 2by 2bx 2by = 0 Rpta.: C
Resolucin 8De la figura, podemos ver que:
Sabemos que:
*rea delcuadrado =(Lado)2
*readelrectngulo =(Lado mayor)(Lado menor)
Luego:
reacoloreada =
readelrectnguloABCD
FHGG
IKJJ
rea delcuadradoQRCP
readelrectngulo =6x
2 + 22x + 20
Luego:reacoloreada =
rea delrectngulo
FHG
IKJ rea deltringulo
FHG
IKJ
= 6x2 + 22x + 20(2(x2 + 4x + 4)) =6x2 + 22x + 20 (2x2 + 8x + 8)
=6x2 + 22x + 20 2x2 8x 8
reacoloreada = 4x
2 + 14x + 12 Rpta.: C
B = 6x4 + 9x3 15x2 4x2 6x + 10 B = 6x4 + 9x3 19x2 6x + 10C = 13x3 20x2 11x + 25Luego: S = A B + C S = (6x4 4x3 + x2 + 6x 15)
(6x4 + 9x3 19x2 6x +10) +(13x3 20x2 11x + 25)
S = 6x4 4x3 + x2 + 6x 15 6x4 9x3 + 19x2 + 6x 10 + 13x3 20x2 11x + 25S = 13x3 + 20x2 + 12x 25 + 13x3 20x2
11x + 25 S = x Rpta.: A
Resolucin 9De la figura podemos ver que:El tringulo BAM es rectngulo e issceles, es decir: AB =AM = 2x + 4
readeltringulo=
AB AMb g b g2
= + +2 4 2 42
x xb gb g = +2 4
2
2xb g
= + +4 16 162
2x x = + +4 4 4
2
2x xe j
readeltringulo = 2(x2 + 4x + 4)
readelrectngulo =(AD)(CD)
=(3x + 5)(2x + 4)
readel cuadradoQRCP = ((4x + 3) (3x + 1))2
=(x + 2)2=x2 + 4x + 4
readel rectnguloABCD = (7x + 2)(4x + 3)
= 28x2 + 29x + 6reacoloreada
=(28x2+29x+6)(x2+4x+4) = 28x2 + 29x + 6 x2 4x 4
reacoloreada = 27x
2 + 25x + 2
Rpta.: A
Resolucin 10Sea M la expresin que hay que sumar, segn el enun-ciado tenemos que:{x(x + y) x(x y)}[2(x2 + y2)3(x2 y2)]+M
= 2x3y + 3xy3
{x((x + y)(x y))}[2x2 + 2y2 3x2 +3y2]+M=2x3y+ 3xy3
Resolucin 11A = (2x2 3)(3x2 2x + 5)A = (2x2)(3x2) + (2x2)(2x)+ (2x2)(5)
+ (3)(3x2) + (3)(2x) + (3)(5)A = 6x4 4x3 + 10x2 9x2 + 6x 15 A = 6x4 4x3 + x2 + 6x 15B = (3x2 2)(2x2 + 3x 5)B = (3x2)(2x2) + (3x2)(3x) + (3x2)(5)
+ (2)(2x2) + (2)(3x) + (2)(5)
{x(x + y x y)}[5y2 x2]+M = 2x3y + 3xy3{2xy}[5y2 x2]+M = 2x3y +3xy3
(10xy3 2x3y)+M = 2x3y + 3xy3M = (2x3y + 3xy3) (10xy3 2x3y)M = 2x3y + 3xy3 10xy3 + 2x3y M = 4x3y 7xy3 Rpta.: A
Resolucin 12E = A(B + 1)+B(1 A) CE = AB + A + B BA C
E = A + B CReemplazando los valores dados:E = (3x2 + 5xy 2y2) + (3y2 4xy + 5x2)
(xy + 5y2 + 8x2)E =3x2 + 5xy 2y2 + 3y2 4xy + 5x2 xy
5y2 8x2E = 8x2 + xy + y2 xy 5y2 8x2 E = 4y2 Rpta.: D
Resolucin 13E = (mx + n)(x2 + x + 1)E = (mx)(x2) + (mx)(x) + (mx)(1) + (n)(x2) + (n)(x) + (n)(1)E = mx3 + mx2 + mx + nx2 + nx + nE = mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + nSegn el enunciado:mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n = 4x3 + Ax2 + Bx + 5Por comparacin de trminos, tenemos que:
m = 4 ; n = 5m + n = A ; m + n = B
A = 4 + 5 ; B = 4 + 5A = 9 ; B = 9
Luego: A + B + m + n = 9 + 9 + 4 + 5 A + B + m + n = 27 Rpta.: B
Resolucin 14R = (ax + b)(x2 x + 1)R = (ax)(x2) + (ax)(x) + (ax)(1) + (b)(x2)
+ (b)(x) + (b)(1)R = ax3 ax2 + ax + bx2 bx + bR = ax3 (a b)x2 + (a b)x + bSegn el enunciado:ax3 (a b)x2+ (a b)x + b =7x3 mx2 + nx + 4
Por comparacin de trminos, tenemos que:a = 7 b = 4
Tambin: m = a b m = 7 4 n = a b n = 7 4
m = 3 n = 3Luego: a + b + m + n = 7 + 4 + 3 + 3 a + b + m + n = 17 Rpta.. C
Resolucin 15
T = + + 3 1 3 1 3 14 4e je je jAplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2
T= + FHGIKJ3 1 3 1
4 2 2e j e j
T = + 3 1 3 1e je jT = 3 12 2e j = 3 1
T = 2 Rpta.: C
Resolucin 16 Aplicamos:
(a b)2 = a2 2ab + b2 (x y)2 = x2 2xy + y2
(x y)2 = (x2 + y2) 2(xy)Pero: x2 + y2 = 26 ; xy = 5 (x y)2 = (26) 2(5)
(x y)2 = 26 10 = 16x y = 4
Luego: x y = =2
42
2 Rpta.: E
Resolucin 17 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = (x2 + y2)+ 2xySi: x + y = 5 x2 + y2 = 11 (5)2 = (11) + 2xy
25 11 = 2xy14 = 2xyxy = 7
Aplicamos: a3 + b3 =(a + b)(a2 ab + b2) x3 + y3 = (x + y)(x2 xy + y2)
x3 + y3 = (x + y)((x2 + y2) xy)Si: x + y = 5
x2 + y2 =11xy = 7
x3 + y3 = (5)((11) 7) x3 + y3 = 20 Rpta.: D
Resolucin 18 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = x2 + y2 + 2(xy)Pero: x + y = 2 xy = 3 (2)2 = x2 + y2 + 2(3)
4 = x2 + y2 + 6
x2 + y2 = 2Aplicamos: a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) x3 + y3 = (x + y)(x2 xy + y2)
x3 + y3 =(x + y)((x2 + y2) xy)Si: x + y = 2
xy = 3x2 + y2 = 2
Aplicamos: (a b)2 = a2 2ab + b2
xx
x xx x
FHGIKJ =
FHG
IKJ +
FHG
IKJ
1 2 1 12
22
b g
xx
xx
FHGIKJ = +
1 1 22
22
Pero: xx
221 7+ =
xx
FHGIKJ = =
1 7 2 52
xx
=1 5
Luego: xx
xx
22
221 1 = FHG
IKJ
Aplicamos: a2 b2 =(a + b)(a b)
xx
xx
xx
221 1 1 FHG
IKJ = +
FHG
IKJ FHG
IKJ
Pero: xx
+ =1 3 x
x =1 5
xx
221 3 5 FHG
IKJ = b g e j
2 21
x 3 5x
= Rpta.: A
Aplicamos: (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2) Identidad de Legendre
Suma dereas = 2(x2 + y2) Rpta.: E
Resolucin 19(x + a)(x 2) = x2 + bx + 6x2 + (a + (2))x + (a)(2) = x2 + bx + 6x2 + (a 2)x + (2a) = x2 + bx + 6(a 2)x + (2a) = b x + 6Por comparacin de trminos, tenemos que:
2a = 5 a = 3a 2 = b
(3) 2 = b b = 5Luego: a b =(3)(5) a b = 2 Rpta.: CResolucin 20
Sabemos que: rea del cuadrado = (Lado)2
Lado del cuadrado 1: x + y rea del cuadrado 1 = (x + y)2 Lado de cuadrado 2: x y rea del cuadrado 2 = (x y)2Suma dereas =
readelcuadrado 1
FHG
IKJ + readelcuadrado 2
FHG
IKJ
Suma de reas = (x + y)2 + (x y)2
x3 + y3 = (2)((2)3)x3 + y3 = 10
Luego: R x yx y
= ++ =
3 3
2 2102
R = 5 Rpta.: D
Resolucin 21 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = x2 + y2 + 2(xy)Reemplazando las ecuaciones (1) y (2), tenemos que:
2 6 2 42 2 2e j b g= + +x y
24 = x2 + y2 + 8x2 + y2 = 16 ........ (3)
Resolucin 22 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
xx
x xx x
+FHGIKJ = +
FHG
IKJ +
FHG
IKJ
1 2 1 12
22
b g
xx
xx
+FHGIKJ = + +
1 1 22
22
Si: xx
+ =1 3 3 1 22 2 2b g = + +x x9 2 12 2 = +x x
xx
221 7+ =
Aplicamos: (a b)2 = a2 2ab + b2(x y)2 = x2 2xy + y2(x y)2 = (x2 + y2) 2(xy)
Reemplazando las ecuaciones (1) ; (2) y (3); tenemos que:(x y)2 = 16 2(4)(x y)2 = 8
x y = 8 Rpta.: E
Resolucin 24 Aplicamos:
(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 (a b)2 = 4abIdentidades de Legendre
Tx y x y
x x x x
x y
x x= + +
+ =
+FHGIKJ
2 3 2 2 3 2
2 2 2 2 2
2 2 3 2
2 2
2
4e j e je j e j
e j e j
Tx y
xx
x y= + = +2 1 2
1 4 6
2
22
4 6
4
e j
Pero: x4 + y6 = 4
T x y= + = =4 6
242
2 Rpta.: B
Resolucin 23 Aplicamos:
(a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2)(a + b)2 (a b)2 = 4abIdentidades de Legendre
R x y x yx y x y
x yx y
= + + + = +b g b gb g b g e j
2 2
2 2 2 24
2
Si x2 + y2 = 3xy
R xy
xyxyxy
= =42 3
42
36b g
R = 2/3 Rpta.: D
Resolucin 25R = (x 3)(x + 2)(x 4)(x + 3)R = (x2 +(3 + 2)x + (3)(2))(x2 + (4 + 3)x +(4)(3))R = (x2 x 6)(x2 x 12)R = ((x2 x)-6)((x2 x) 12)De la condicin: x
x+ =2 1
x
x
2 2 1+ =
x2 + 2 = x x2 x = 2Reemplazamos el valor hallado en R, obteniendo:
R = ((2)6)((2)12)R = (8)(14)
R = 112 Rpta.: C
Resolucin 26La expresin se puede escribir de la manera siguiente:
P = +LNMOQP2 2 1 2 1 41
4e j e j
P = FHGIKJ +
LNMM
OQPP2 2 1 2 1 41
2 2 e j e j
P = +FHIK +
LNMM
OQPP2 2 2 2 1 1 2 1 41
2 22
e j
( ) ( )2P 2 3 2 2 2 1 41 = + ( )( ) ( ) ( )22P 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 41 = + +
P = +2 17 12 2 2 1 41 e je j
P = + +LNMOQP2 17 2 17 12 2 12 2 41
2
P = +2 29 2 17 24 41
P = 2 29 2
P = = =29 2 29 2 582 Rpta.: C
Resolucin 27 Aplicamos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
x x+ = +FH IK12 2
2 2 2e jx2 + 2x x1 + (x1)2 = 2 2 2+x2 + 2 + x2 = 2 2 2+
x2 + x2 = 2 2
x x2 22 2
2 2+ =e j e j(x2)2 + 2(x2)(x2) + (x2)2 = 8x4 + 2 + x4 = 8
x4 + x4 = 6 Rpta.: CResolucin 28 Aplicamos:
a2 b2 = (a + b)(a b)M = (x + 5)(x + 4)(x2 32)(x 2)(x 1)M = (x + 5)(x + 4)(x + 3)(x 3)(x 2)(x 1)M = (x + 5)(x 3)(x + 4)(x 2)(x + 3)(x 1)M = (x2 + 2x 15)(x2 + 2x 8)(x2 + 2x 3)Pero: x2 + 2x = 9M = (9 15)(9 8)(9 3)M = (6)(1)(6) M = 36 Rpta.: C
Luego:
Q x y x yx y x y
= + +
b g b ge j e j
4 4
2 2 2 2 2 22 2
Qx y x y
x y x y=
+ +
b g b ge j e j
2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2
Aplicamos: a2 b2 = (a + b)(a b)(a + b)2 (a b)2 = 4ab
2 2 2 2
Q
x y x y x y x y
x y=
+ + + b g b g b g b ge je j
2 2 2 2
2 24 2
Qx y xy
x y=
+2 48
2 2
2 2e j
M a a= + +6 64 1 1 1e je j
M a= FHGIKJ +
6 2 24 1 1e j b g
M a a= + =124 1241 1 M = a3 Rpta.: B
Resolucin 29La expresin dada se puede escribir de la siguiente mane-ra:
E = + + + 2 3 5 2 3 5 2 6e je j e je jAplicamos: (a + b)(a b)= a2 b2
E = + FHGIKJ 2 3 5 2 6
2 2e j e j
E = + + FHIK 2 2 2 3 3 5 2 6
2 2e je jE = + 5 2 6 5 2 6E = 0 Rpta.: B
Resolucin 30
*rea del cuadrado = (Lado)2
rea del cuadrado = (x + y)2
*
readeltringulo =
base alturab g b g2
readeltringulo=
x y2
Segn el enunciado, tenemos que:
x y x y+ = FHGIKJb g
2 82
(x + y)2 = 4xyx2 + 2xy + y2 = 4xyx2 + 2xy + y2 4xy = 0x2 2xy + y2 = 0(x - y)2 = 0
x y = 0 x = y
Resolucin 31 Aplicamos:
(a b)(a2 + ab + b2) = a3 b3
M a a a a a= + + + + +1 1 1 1 12 3 64 b ge je je j
M a a a= + + +3 3 3 64 1 1 1 1e je je j
M a a a= + + +3 3 64 1 1 1 1e je je jAplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2
M a a= FHGIKJ + +
3 2 2 64 1 1 1e j b g e j
Qxy x y
xy= +8
8
2 2
2e jb g
Q x yxy
= +2 2
; pero: x = y
Q x xx x
x
x= + =
2 2 2
22
Q = 2 Rpta.: B
Resolucin 32La expresin dada se puede escribir de la siguiente manera:
E = + FHIK
FHG
IKJ2 3 2 3
2 3
Aplicamos: (a b)2 = a2 2ab + b2
E = +FHIK +
FH
IK FH
IK +
FH
IK
FHG
IKJ2 3 2 2 3 2 3 2 3
2 2 3
E = + + + FHGIKJ2 3 2 2 3 2 3 2 3
3
e je j
E = + FHGIKJ4 2 2 3 2 3
3e je j
Aplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2
E = FHGIKJ4 2 2 3
2 23
b g e j
E = 4 2 4 3 3e jE = (4 2)3 E = 8 Rpta.: C
(a + b) + (a b) = 2(a + b )
Resolucin 33 Sabemos que:Permetro del cuadrado = 4(Lado)
Permetrodelcuadrado ABCD = 8(2x +1) = 4(Lado)
8 2 14x Lado+ =b g b g
Lado delcuadrado ABCD = 2(2x + 1)
De la figura, podemos ver que:Lado delcuadrado ABCD = 2
Lado delcuadrado EFGD
FH IK
2(2x +1) = 2 Lado delcuadrado EFGDFH IK2 2 1
2x +b g
= Lado delcuadrado EFGD
Lado delcuadrado EFGD = 2x + 1
Luego:
reacoloreada =
readelcuadradoABCD
FHGG
IKJJ +
readelcuadradoEFGD
FHGG
IKJJ
reacoloreada =
Lado delcuadrado
ABCD
FHG
IKJ
2
+ Lado delcuadrado
EFDG
FHG
IKJ
2
reacoloreada = 2 2 1 2 1
2 2x x+ + +b gc h b g
reacoloreada = 4(2x + 1)2 +(2x +1)2
reacoloreada = 5(2x + 1)2
reacoloreada = 5((2x)2 + 2(2x)(1) + 12)
reacoloreada = 5(4x2 + 4x + 1) Rpta.: C
Resolucin 34 Sea:M = (x + y + z)3 (x + y)3 3(x + y + z)(x + y)zHacemos: a = x + y
M = (a + z)3 a3 3(a + z)(a)zM = (a + z)3 a3 3az(a + z)
Aplicamos:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3M = (a3 + 3a2z + 3az2 + z3) a3 3az(a + z)M = a3 + 3a2z + 3az2 + z3 a3 3a2z 3az2
M = z3 Rpta.: CResolucin 35
Sabemos que: 2 = 5 3Luego:La expresin dada se puede escribir de lasiguiente manera:
M = + + + +5 3 5 3 5 3 5 3 32 2 4 4 84 b gb ge je jAplicamos: (a + b)(a b) = a2 b2
M = + + +5 3 5 3 5 3 32 2 2 2 4 4 84 e je je j
M = FHGIKJ + +5 3 5 3 3
2 2 2 2 4 4 84 e j e j e j
M = + +5 3 5 3 34 4 4 4 84 e je j
M = FHGIKJ +5 3 3
4 2 4 2 84 e j e j
M = +5 3 38 8 84
M = =5 584 2 M = 25 Rpta.: E
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO(DIVISIN DE POLINOMIOS Y COCIENTES NOTABLES) Pg.(193, 194, 195, 196)
NIVEL I
Resolucin 1
Sabemos que: D = d q + R .... (I)
Segn los datos :d = (x2 + 1)q = (x + 2)R = (x 3)
Resolucin 8 Aplicamos:a2 b2 = (a + b)(a b)
Mx x x
x x= + + + +
4 6 1
4 7 1
2 2 2
2e j
Mx x x x x x
x x=
+ + + + + + +
4 6 1 4 6 1
4 7 1
2 2
2e je j e je j
Mx x x x
x x= + + + ++ +
4 7 1 4 5 1
4 7 1
2 2
2e je j
M = 4x2 + 5x + 1 Rpta.: E
Residuo = 5x + 14 Rpta.: E
Reemplazando en (I) tenemos que:
D = (x2 + 1)(x + 2) + (x 3)D = x3 + 2x2 + x + 2 + x - 3
D = x3 + 2x2 + 2x 1 Rpta.: BResolucin 2Dividimos entre 4 al dividendo y al divisor
64 36 84
4 14
4 2x x x x + :
16 9 2 14
4 2x x x x + :
Aplicamos el mtodo de Ruffini:
Resolucin 4Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
cociente: 16x3 + 4x2 8x Rpta.: CResolucin 3Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Cociente: x 4Residuo: 8x 4
Luego:
Suma de coeficientesdel residuo = 8 +(4)= 4
Rpta.: D
Cociente = x + 1 Rpta.: A
Cociente = x2 3x 11Residuo = 34x2 + 2x + 12 Rpta.: C
Resolucin 7 Por el teorema delResto: x 1= 0 x = 1Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo:Dividendo = 6x3 5x2 4x + 4Residuo(R) = 6(1)3 5(1)2 4(1) + 4
= 6 5 4 + 4 R = 1 Rpta.: A
Resolucin 5 Por el teorema delResto: x + 3 = 0 x = 3Reemplazamos el valor x = -3, en el dividendoDividendo = x4 2x2 6Residuo(R) = (3)4 2(3)2 6 = 81 2(9) 6 R = 57 Rpta.: DResolucin 6Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 9Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 11Por el teorema del Resto:
x 2= 0 x = 2Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo= x4 2x3 + 4x2 x + 1Residuo(R) = (2)4 2(2)3 + 4(2)2 (2) + 1
= 16 2(8) + 4(4) 2 + 1 R = 15 Rpta.: C
Residuo = 19x (1 + 3k) Por el dato: residuo = 19x 7 19x (1 + 3k) = 19x 7
(1 + 3k) = 71 + 3k = 7
k = 2 Rpta.: D
Resolucin 10La expresin dada se puede escribir de la siguiente mane-ra:
Ex x y x y y
x y= +
3 2 2 34 4e j
E x x y x y yx y
= + 3 2 2 34 4
Ex x y y x y
x y= +
2 2 24b g e j
E x x y y x y x yx y
= + + 2 4b g b gb g
Ex y x y x y
x y= + +
b g b ge j2 4
E = x2 + 4xy + 4y2E = x2 + 2(x)(2y) + (2y)2
E = (x + 2y)2 Rpta.: B
Resolucin 12Por el teorema del Resto:
x 2 = 0 x = 2Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo = 4x5 2x3 + kx 2Como el dividendo es divisible por (x - 2), el residuo debeser cero
Residuo(R) = 4(2)5 2(2)3 + k(2)2 = 0 =4(32) 2(8) + 2k 2 = 0 110 + 2k = 0
110 = 2k k = 55 Rpta.: EResolucin 13Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 14Por el mtodo de Horner, obtenemos:
Como: 5x3 2x2 + ax b es divisible por x2 + 1Entonces, la divisin es exacta.O sea que:i) a 5 = 0 a = 5ii) b + 2 = 0 b = 2 Rpta.: A
Como: residuo = 0 b a = 0 a = b Rpta.: B
Resolucin 15 Como: x3 ax x + b es divisible por x2 + x aEntonces, la divisin debe ser exacta.O sea, el residuo es igual a cero. Dividendo = x3 (a + 1)x + bAplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 16 Sea el cociente notable:
x yx y
n
n
20
5
+Nmero detrminos =
205nn=
20 5 = n2
100 = n2 n = 10 Nmero detrminos =
2010
= 2 Rpta.: A
NIVEL II
Resolucin 1Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 4Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Cociente = x2 + 3x + 2 Rpta.. A
Cociente = x2 + 2x + 3 Rpta.:CResolucin 3Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Cociente = x3 + x2 + 2x + 2Suma de coeficientesdel cociente = 1 + 1 + 2 + 2
Suma de coeficientesdel cociente = 6 Rpta.. A
Residuo = 4x + 2 Rpta.: B
Residuo: 7x + 15 Rpta.: A
4
Resolucin 17Hallamos el nmero de trminos (n):
n = 311 n = 31
Por dato: k = 14 Como "K" es par, eltrminoser negativoFH IK
Luego: Tk = x yn k k 1 T14 = x31-14 y141 T14 = x17 y13 Rpta.: EResolucin 18Por el teorema del Resto:
x 2= 0 x = 2Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo = 2x4 8x2 + 7x 11Residuo(R) = 2(2)4 8(2)2 + 7(2) 11
= 2(16) 8(4) + 14 11 R = 3 Rpta.: AResolucin 19Por el teorema del Resto:
x 4= 0 x = 4Reemplazamos el valor x = 4 en el dividendo:Dividendo = (x 3)8 + 16Residuo(R) = (4 3)8 + 16 = 18 + 16 R = 17 Rpta.: AResolucin 20Por el teorema del Resto:
x + 1 = 0 x = 1Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo:Dividendo = 4x6 + 2x + aResiduo(R) = 4(1)6 + 2(1) + a = 4 2 + a R = 2 + aPor dato: R = 7 2 + a = 7
a = 5 Rpta.: C
Resolucin 2Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 5Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Residuo= (M + 17)x + (N 11)Por dato: Residuo = 2x+ 3 (M + 17)x + (N 11) = 2x + 3Por comparacin de trminos, tenemos:i) M + 17 = 2 M = 15ii) N 11 = 3 N = 14Luego: M + N = (15)+ 14 M + N = 1 Rpta.: B
Resolucin 6Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 7Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Cociente = x3 + x2 + 2x + 3Luego:Suma de coeficientesdel cociente = 1 + 1 + 2 + 3
Suma de coeficientesdel cociente = 7 Rpta.: B
Resto= (A 4)x + (B + 12)Por dato: Resto = 3x + 14 (A 4)x + (B + 12) = 3x + 14Por comparacin de trminos, tenemos que:i) A 4 = 3 A = 7ii) B + 12= 14 B = 2Luego: A + B = 7 + 2
A + B = 9 Rpta.: D
Resolucin 8Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 9Como la divisin es exacta, entonces
Residuo = 0
Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Como residuo = 0i) a + 9 = 0 a = -9ii) b + 9 = 0 b = -9 ab =
=99
1 Rpta.: A
Como la divisin es exacta, residuo = 0 i) m + 8= 0 m= 8
ii) n + 3 = 0 n = 3 mn = (8)(3) = 24 Rpta.. C
Resolucin 10Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 11 Por el teorema del Resto:x + 2= 0 x = 2
Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo = x4 + 3x3 + 2x2 + 5x + 4Residuo(R) = (2)4 + 3(2)3 + 2(2)2 + 5(2)+4
= 16 + 3(8)+2(4)10+4 R = 6 Rpta.. D
Como la divisin es exacta, entonces:R = 0
28 + 4a = 0
a = 7 Rpta.: B
Residuo= (a a3)x + (1 a2)Como el residuo es un polinomioidnticamente nulo, tenemos que:
Resolucin 12Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 15Por el teorema del Resto, tenemos que:
x2 + 1 = 0 x2 = 1Reemplazamos el valor x2 = 1 en el dividendoDividendo = (x2)2 + 2(x2) + 5Residuo(R) = (1)2 + 2(1) + 5 = 1 2 + 5 R = 4 Rpta.: A
Residuo = 6x + 7
TrminoIndependiente = 7 Rpta.. D
Resolucin 13Por el teorema del Resto, tenemos que:
x 2= 0 x = 2Reemplazamos el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo = 2x7 4x6 + 2x + 3Residuo(R)= 2(2)7 4(2)6 + 2(2) + 3
=2(128) 4(64) + 4 + 3 R = 7 Rpta.: CResolucin 14Por el teorema del Resto, tenemos que:
2x + n = 0 x = n2
Reemplazando el valor x = n2 en el dividendo:Dividendo = 2x3 + nx2 4x + nResiduo(R) = 2 FHG
IKJ +
FHG
IKJ
FHG
IKJ +
nn
n nn
2 24
2
3 2
= FHGIKJ +
FHG
IKJ + +2 8 4 2
3 2nn
nn n
= + +n n n3 3
4 43
R = 3nPor dato: R = 15 3n = 15 n = 5 Rpta.: A
Trminoindenpendiente
Cociente = 3x2 + 7x + 6Luego: el cociente disminuido en (3x2) 3x2 + 7x + 6 (3x2) = 7x + 6 Rpta.: CResolucin 18Aplicando el teorema del Resto, tenemos que:
x 2= 0 x = 2Reemplazando el valor x = 2 en el dividendo:Dividendo = 3x4 2x3 + ax2 x 2Residuo(R) = 3(2)4 2(2)3 + a(2)2 2 2
= 3(16)2(8) + 4a 4 R = 28 + 4a
Resolucin 16Por el teorema del Resto, tenemos que:
x 1 = 0 x = 1Reemplazamos el valor x = 1 en el dividendo:Dividendo = x9 + x8 + x2 + x + 1Residuo(R) = (1)9 + (1)8 + (1)2 + (1) + 1
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1
R = 5 Rpta.: DResolucin 17Aplicando el mtodo de Ruffini:Igualamos el divisor a cero:
x 3 = 0 x = 3
Resolucin 19Aplicamos el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 21Por el torema del Resto, tenemos que:
xn + 1 = 0 xn = 1Reemplazamos el valor xn = 1 en el dividendo.Dividendo = x3n + 3xn + 2x4n + 12
= (xn)3 + 3(xn) + 2 (xn)4 + 12Residuo(R) = (1)3 + 3(1) + 2(1)4 + 12
= 1 3 + 2(1) + 12 R = 10 Rpta.: D
Residuo = m 1Como el resto es nulo, entonces:
Residuo = 0 m 1 = 0 m = 1 Rpta.: D
Resolucin 20Por el teorema del Resto, tenemos que:
x a = 0 x = aReemplazamos el valor x = a en el dividendo:Dividendo = (b 2a2)x3 + 2a2x + x5 + ax4
+(a ab)x2 + 5 3a3Residuo(R) = (b 2a2)a3 + 2a2a + a5 + aa4
+(a ab)a2 + 5 3a3 = a3b 2a5 + 2a3 + a5 + a5 + a3 a3b + 5 3a3 = 2a5 + 3a3 + 2a5 + 5 3a3
R = 5 Rpta.: D
i) a a3 = 0 a(1 a2) = 0a = 0 1 a2 = 01 = a2 a = 1
ii) 1 a2 = 0 1 = a2 a = 1 a = 1 Rpta.: C
Resolucin 22Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 23
Si x yx y
n n+
1 3 4
2 es un cociente notable, se debe cumplir:
n n+ = 11
3 42
2(n + 1) = 3n 42n +2 = 3n 4
n = 6 Rpta.: A
Resolucin 24
Nmero detrminos =
3n+ 82
= 2 11
n
3n + 8 = 2(2n 1)3n + 8 = 4n 2
10 = n
Luego: Nmero detrminos = = 2 1
12 10 1
1n b g
Nmero detrminos = 19 Rpta.: D
Resolucin 25
Nmero detrminos =
=4 53
22
n n
4n 5 = 3n n = 5
Luego: Nmero detrminos = = 4 53
4 5 53
n b g
Nmero detrminos = 5 Rpta.: B
Resolucin 26La expresin dada se puede escribir de la manera siguiente:
( ) ( )5 54 320 154 3 4 3
x yx yx y x y
++ =+ +Aplicamos:
x yx y
x x y x y yn n
n n n n++ = + +
1 2 3 2 1 ...
x yx y
4 5 3 5
4 3e j e j+
+ =(x4)4(x4)3(y3) + (x4)2(y3)2
(x4)(y3)3 + (y3)4
x yx y
20 15
4 3++ = x16 x12y3 + x8y6 x4y9
+ y12
Rpta.: B
Resolucin 30Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Cociente = 2x3 4 x2 + 4x + 1
Menorcoeficiente = 4 Rpta.: B
Cociente = 2x2 + 4x 3
Trmino indenpendiente = 3 Rpta.: E
Menorcoeficiente
Trminoindenpendiente
Resolucin 32Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Residuo = 1 Rpta.: C
Residuo = 2x2 + 2x + 1Rpta.: A
Resolucin 27Hallamos el nmero de trminos(n):
n = 311 n = 31
Segn el enunciado: K = 14Como "K" es par el trminoser negativo
FH IKLuego:Tk =
x yn k k 1
T14 = x3114y141 T14 = x17y13 Rpta.: EResolucin 28Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Residuo = 6x2 10x + 7 Rpta.: EResolucin 29Como: P(x) es divisible por q(x)Entonces: Residuo = 0Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Como: Residuo = 0i) n + 3 = 0 n = 3ii) m + 2 = 0 m = 2Luego: m + n = (2) + 3 m + n = 1 Rpta.. E
0 0 0
Resolucin 31Aplicando el mtodo de Horner, obtenemos:
Resolucin 33
FACTORIZACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASEJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (FACTORIZACIN). Pg.(232, 233, 234)
CAPTULO N 5
Resolucin 3 Sea:M = 50n3 2a + 50an2 2n
Ordenamos la expresin adecuadamentey factorizamos.
M = 50n3 2n + 50an2 2aM = 2n25n2 2n + 2a25n2 2a
M = 2n(25n2 1) + 2a(25n2 1)M = (25n2 1)(2n + 2a)
Resolucin 1Aplicando el mtodo del Aspa, tenemos que:I.
x2 + 5x 14 = (x + 7)(x 2)II.
x2 x 2 = (x 2)(x + 1)III.
x2 + 3x 10 = (x + 5)(x 2) Factor comn = x 2 Rpta.: EResolucin 2 Sea:
P = nx 2ny mx + 2myOrdenando adecuadamente, tenemos:
P = nx mx 2ny + 2myP = nx mx (2yn 2ym)P = x(n m) (2y(n m))P = x(n m) 2y(n m)P = (n m)(x 2y)
P = (x 2y)(n m) Rpta.: A
UV|W|
Doble producto de las ra-ces halladas sera:
2(x2)(2y2) = 4x2y2
NIVEL I
Resolucin 4 Sea:Q = (x + 3)2 (x + 1)2
Aplicamos: a2 b2 = (a + b)(a b)Obteniendo:
Q = ((x+ 3)+(x + 1))((x + 3)(x 1))Q = (x + 3 + x + 1)(x + 3 x 1)Q = (2x + 4)(2)Q = (2(x + 2))2
Q = 4(x + 2) Rpta.: E
M n n a= +5 1 22 2b ge j b gc hDiferenciade cuadrados
M = (5n + 1)(5n 1)2(n + a)M = 2(n + a)(5n + 1)(5n 1)
Uno de los factores ser: 5n + 1Rpta.: B
Resolucin 5 Aplicamos: factorizacin por suma y resta
* x x4 2=* 4 24 2y y= x4 + 4y4 = x x y y
T C P
4 2 2 44 4+ +( . . )
- 4x2y2
x4 + 4y4 = ( ) ( )2 22 2Diferencia de cuadrados
x 2y 2xy+
x4 + 4y4 = ((x2 + 2y2)+2xy)((x2 + 2y2 2xy)x4 + 4y4 = (x2 + 2xy + 2y2)(x2 2xy + 2y2) x4 + 4y4 = (x2 2xy + 2y2)(x2 + 2xy + 2y2) Rpta.: C
+
Resolucin 6 Sea:P = 3x2 3x4 + y2 x2y2
Ordenamos la expresin convenientemente y factorizamosP = 3x2 3x2x2 + y2 x2y2P = 3x2(1 x2) + y2(1 x2)P = 1 32 2 2 x x y
Diferenciade cuadrados
e j e j
Resolucin 8Q(X) = 8x2 6ax 12bx + 9abQ(x) = 2x(4x 3a) 3b(4x 3a)Q(x) = (4x 3a)(2x 3b)
Un factor ser: 4x 3a Rpta.: C
P(x; y) = (1 + x2y2) x yDiferenciade cuadrados
2 4e j
P(x; y) = (1 + x2y2) (x + y2) (x y2) G.A = 4 G.A = 3 G.A = 3
Factor primo demayor grado es: 1 + x2y2 Rpta.: E
Resolucin 13Factorizamos por el mtodo del Aspa
A = (a b)(a b) (a b)cA = (a b)((a b)c)
A = (a b)(a b c) Rpta.: D
Diferencia decuadrados
6x2 7x 3 = 3x +1Factores primos
b gb g2 3x
Suma de factores primos:(3x + 1)+(2x 3) = 5x 2
Suma defactores primos = 5x 2 Rpta.: A
Resolucin 14E = (a2 b2)(a c) + (a2 c2)(a b)
E = (a + b)(a b)(a c) + (a + c)(a c)(a b)E = (a b)(a c)((a + b) + (a + c))E = (a b)(a c)(2a + b + c) Factor primo trinomio = 2a + b + c
Rpta.: C
Resolucin 15
A a ab b ac bcT C P
= + +2 22. .
A = (a b)2 c(a b)
Diferencia decuadrados
Diferencia decuadrados
Resolucin 7La expresin dada se puede escribir as:
E = (a4 + a3) (a + a2)Factorizamos:
E = a3(a + 1) a(1 + a)E = (a + 1)(a3 a)E = (a + 1)(a(a2 1))
E = (a + 1)(a(a + 1)(a 1))E = a(a + 1)2 (a 1)
Un factor ser: a 1 Rpta.: D
p = (1 + x)(1 x)(3x2 + y2) P = (3x2 + y2)(1 + x)(1 x) Rpta.: E
Resolucin 9 Sea:M = 3am + 3bm + 3an + 3bnM = 3(am + bm + an + bn)M = 3(m(a + b) + n(a + b))M = 3((a + b)(m + n))M = 3(a + b)(m + n)
Un factor ser: m + n Rpta.: C
Resolucin 10E = ac + ad acd bc bd + bcdE = a(c + d cd) b(c + d cd)E = (c + d cd)(a b)
Un factor ser: a b Rpta.: CResolucin 11
x6 y6 = x yDiferencia decuadrados
3 2 3 2e j e j
x6 y6 = x y x y3 3 3 3+ e je jSuma decubos
Diferenciade cubos
x6 y6 = [(x + y)(x2 xy + y2)][(x y)(x2 + xy + y2)]x6 y6 = (x + y)(x2 xy + y2)(x y)(x2 + xy + y2) Un factor ser: x2 + xy +y2 Rpta.: D
Resolucin 12
P(x; y) = x2 + x4y2 y4 x2y6P(x; y) = (x2 + x4y2) (y4 + x2y6)P(x; y) = x2(1 + x2y2) y4( + x2y2)
Trinomio cuadrado perfecto
Luego:x2 + 2xy + y2 2x 2y 63=(x + y + 7)(x + y 9) Un factor ser: x + y + 7 Rpta.: C
Diferencia de cuadrados
Resolucin 16B = a2b2c2 + ab2c + abc2 + bcB = a2b2c2 + abc2 + ab2c + bcB = abc2(ab + 1)+bc(ab + 1)B = (ab + 1)(abc2 + bc)B = (ab + 1)(bc(ac + 1))B = bc(ac + 1)(ab + 1)
Un factor primobinomio ser ac: + 1 Rpta.: D
Resolucin 17P = 2a6b 4a4b3 + 2a2b5P = 2a2b(a4 2a2b2 + b4)P = 2a2b((a2)2 2(a2)(b2) + (b2)2)
P = 2a2b(a2 b2)2
P = 2a2b((a + b)(a b))2P = 2a2b(a + b)2(a b)2
Un factor primo es: a b Rpta.: CResolucin 18 Empleando aspa doble:
Resolucin 19P(x) = x3 + 3x2 x 3P(x) = x3 x + 3x2 3P(x) = x(x2 1) + 3(x2 1)P(x) = ( )x
Diferenciade cuadrados
2 1
(x +3)
P(x) = (x + 1)(x 1)(x + 3) Rpta.: D
T C P. .
T C P. .
Diferenciade cuadrados
Diferencia
de cuadrados
Resolucin 20Q(x) = ab(x2 + y2) + xy(a2 + b2)Q(x) = abx2 + aby2 + xya2 + xyb2Q(x) = abx2 + xya2 + aby2 + xyb2Q(x) = ax(bx + ay)+ by(ay + bx)Q(x) = (bx + ay)(ax + by)
Un factor primo es: ax + by Rpta.: ENIVEL II
Resolucin 1 Aplicamos:
A2 B2 = (A + B)(A B)P = 4a2b2 (a2 + b2 c2)2P = (2ab)2 (a2 + b2 c2)2P = ((2ab) + (a2 + b2 c2))(2ab (a2 + b2 c2))P = (2ab + a2 + b2 c2 )(2ab a2 b2 + c2)P = (a2 + 2ab + b2 c2)(c2 (a2 (a2 2ab + b2))
P = ((a + b)2 c2)(c2 (a b)2)
P = ((a + b)+c)((a + b)c)(c + (a b))(c (a b))P = (a + b + c)(a + b c)(c + a b)(c a + b) Un factor ser: a + b + c Rpta.: BResolucin 2F = (x4 + x3 + x2 + x + 1)2 x4F x x x x x
Diferencia decuadrados
= + + + + 4 3 2 2 2 21e j e j
F = [(x4 + x3 + x2 + x + 1)+x2] [(x4 + x3 + x2 + x + 1)x2]F = [x4 + x3 + x2 + x + 1 + x2] [x4 + x3 + x2 + x + 1 x2]F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x4 + x3 + x + 1]F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x4 + x + x3 + 1]F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][x(x3 + 1) + (x3 + 1)]F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1][(x3 + 1)(x + 1)]
F = [x4 + x3 + 2x2 + x + 1] [(x + 1)(x2 x + 1)(x + 1)]F = (x4 + x3 + 2x2 + x + 1)(x + 1)2(x2 x + 1) Suma de coeficientes = 1 + 1 + 2 + 1 + 1
Suma de coeficientes deuno de los factores es: 6 Rpta.: A
Suma decubos
Q = (x + y)(x2 xy + y2)(x2 + y2)(x2 y2)
Q = (x + y)(x2 xy + y2)(x2 + y2)(x + y)(x y)
Q x y x xy y x y x y= + + + b g e je jb g2 2 2 2 2Factores primos
Nmero de factores primos = 4 Rpta.: C
Resolucin 7Agrupamos convenientemente:
N = x3 + x2y2 + xz + y2zN = x2(x + y2) + z(x + y2)N = (x + y2)(x2 + z)
Un factor es: x + y2 Rpta.: CResolucin 8Agrupamos la expresin convenientemen-te y resolvemos:P = [(4x + 1)(3x + 1)][(12x + 1)(2x + 1)] 36P = [12x2 + 7x + 1][24x2 + 14x + 1] 36P = [(12x2 + 7x) + 1][2(12x2 + 7x) + 1] 36Reemplazamos: 12x2 + 7x = aP = [a + 1][2a + 1] 36P = 2a2 + 3a + 1 36P = 2a2 + 3a 35Aplicamos el mtodo del Aspa:
Suma decubos
Diferenciade cuadrados
Diferenciade cuadrados
Diferenciade cuadrados
Diferenciade cuadrados
Diferenciade cuadrados
P = (2a 7)(a + 5)Pero: a = 12x2 + 7x
P = (2(12x2 + 7x)7)(12x2 + 7x + 5)P = (24x2 + 14x 7)(12x2 + 7x + 5)
Luego: Producto decoeficientes = 12 7 5
Producto decoeficientes = 420 Rpta.: B