T-Student

RECORDANDO ……

DISTRIBUCION t STUDENT

Con el trabajo del Químico y Matemático ingles, WilliamSealeyGosset, escrito bajo el seudónimo de “Student”, se dispone de otra distribución conocida como distribución t de student, abreviada como distribución t”La distribución esta dada por la cantidad:

nsxt

n-1 G.L

PROPIEDADES: Tiene µ=0 La variable t va de - ∞ hasta + ∞ Es una familia de distribuciones

30 gl

5 gl

2 gl

< Variabilidad

> Variabilidad

µ =0

Es menos espigada y las colas mas alargadas.En comparación con la normal

Distribución normal

Distribución t student

µ =0

PRUEBA t STUDENT Comparación de dos poblaciones

independientes. Variable dicotómica y continua.

SUPUESTOS

Normalidad: En cada grupo Varianza desconocida: Iguales o

diferentes

Normalidad

Estadísticas descriptivas

Gráficos

Test de normalidad

Continuación …….sum pad if fuma==0,d presion arterial diastolica (mmHg)------------------------------------------------------------- Percentiles Smallest 1% 46.35056 46.35056 5% 57.5482 55.0555110% 61.07764 57.41988 Obs 7725% 71.8108 57.5482 Sum of Wgt. 7750% 79.01965 Mean 79.3093 Largest Std. Dev. 12.726575% 88.69038 100.060690% 96.8728 102.9899 Variance 161.963995% 100.0606 106.0554 Skewness .015276799% 108.78 108.78 Kurtosis 2.752186

. sum pad if fuma==1,d presion arterial diastolica (mmHg)------------------------------------------------------------- Percentiles Smallest 1% 71.04926 71.04926 5% 73.80067 73.8006710% 77.62933 77.62933 Obs 2325% 79.18894 78.72028 Sum of Wgt. 2350% 87.62447 Mean 87.70633 Largest Std. Dev. 9.01378975% 94.48155 99.3406290% 99.43048 99.43048 Variance 81.2483895% 100.4205 100.4205 Skewness -.039837499% 102.0454 102.0454 Kurtosis 1.918243

. histogram pad if fuma==0, frequency normal bin(10) title(Presion Arterial Diastolica en no fumadores)

. histogram pad if fuma==1, frequency normal bin(8) title(Presion Arterial Diastolica en fumadores)

Continuación …….0

12

34

Freq

uenc

y

70 80 90 100 110presion arterial diastolica (mmHg)

Presion Arterial Diastolica en fumadores

05

1015

20Fr

eque

ncy

40 60 80 100 120presion arterial diastolica (mmHg)

Presion Arterial Diastolica en no fumadores

bysort fuma: swilk pad

-> fuma = 0

Shapiro-Wilk W test for normal data Variable | Obs W V z Prob>z-------------+--------------------------------- pad | 77 0.99243 0.503 -1.501 0.93330

-> fuma = 1

Shapiro-Wilk W test for normal data Variable | Obs W V z Prob>z-------------+--------------------------------- pad | 23 0.96218 0.989 -0.022 0.50883

Continuación …….

Ho: La variable pad tiene distribución normal

H1: La variable pad no tiene distribución normal.

Varianzas iguales o diferentes

22

21

ss

RV

. sdtest pad,by(fuma)

Variance ratio test

Group | Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval]---------+--------------------------------------------------- 0 | 77 79.3093 1.45032 12.7265 76.42074 82.19786 1 | 23 87.70633 1.879505 9.013789 83.80847 91.60418---------+---------------------------------------------------combined | 100 81.24062 1.245008 12.45008 78.77025 83.71098------------------------------------------------------------- ratio = sd(0) / sd(1) f = 1.9934Ho: ratio = 1 degrees of freedom = 76, 22

Ha: ratio < 1 Ha: ratio != 1 Ha: ratio > 1 Pr(F < f) = 0.9648 2*Pr(F > f) = 0.0703 Pr(F > f) = 0.0352

1: 22

21

0

H 1: 22

21

1

H

Dos formas de realizar la prueba t student:Prueba t student para varianzas iguales

211

21

222

2112

nn

SnSnS p

Donde:

2

2

1

202121

nS

nS

XXt

pp

g.l.221 nn

Ho: La presión arterial diastólica es igual entre los fumadores y los no fumadores.H1: La presión arterial diastólica no es igual entre los fumadores y los no fumadores.

en stata:. ttest pad, by(fuma)

Two-sample t test with equal variances------------------------------------------------------------------------------ Group | Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- 0 | 77 79.3093 1.45032 12.7265 76.42074 82.19786 1 | 23 87.70633 1.879505 9.013789 83.80847 91.60418---------+--------------------------------------------------------------------combined | 100 81.24062 1.245008 12.45008 78.77025 83.71098---------+-------------------------------------------------------------------- diff | -8.397025 2.849947 -14.05265 -2.741399------------------------------------------------------------------------------ diff = mean(0) - mean(1) t = -2.9464Ho: diff = 0 degrees of freedom = 98

Ha: diff < 0 Ha: diff != 0 Ha: diff > 0 Pr(T < t) = 0.0020 Pr(|T| > |t|) = 0.0040 Pr(T > t) = 0.9980

Continuación …….

“Con una probabilidad de 0.0040 se concluye que la presión arterial diastolica es diferente en cada grupo de tabaquismo.”

Continuación …….

Prueba t student para varianzas diferentes

2

22

1

21

02121

nS

nSXX

t

21

2211)2/(1

ttt

)2/(11 tt1

21

1 nS

2

22

2 nS

)2/(12 ttDonde:

para n1-1 grados de libertad

para n2-1 grados de libertad

. ttest pad, by(fuma) unequal

Two-sample t test with unequal variances------------------------------------------------------------------------------ Group | Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval]---------+-------------------------------------------------------------------- 0 | 77 79.3093 1.45032 12.7265 76.42074 82.19786 1 | 23 87.70633 1.879505 9.013789 83.80847 91.60418---------+--------------------------------------------------------------------combined | 100 81.24062 1.245008 12.45008 78.77025 83.71098---------+-------------------------------------------------------------------- diff | -8.397025 2.374019 -13.16355 -3.630498------------------------------------------------------------------------------ diff = mean(0) - mean(1) t = -3.5371Ho: diff = 0 Satterthwaite's degrees of freedom = 50.7872

Ha: diff < 0 Ha: diff != 0 Ha: diff > 0 Pr(T < t) = 0.0004 Pr(|T| > |t|) = 0.0009 Pr(T > t) = 0.9996

en stata: Continuación …….

“Concluimos que la presión arterial diastólica es diferente entre los fumadores y los no fumadores”.

¿Cómo compararía las medias entre tres o mas grupos o categorías?

OJO...........En términos de la prueba t student.

………….. ENTONCES

Comparando 2 poblaciones a la vez

Continuación …….

■ Por ejemplo: Comparar 5 poblaciones (suponiendo que son iguales)

5C2 =10

HACER 10 PRUEBAS t STUDENT

CONCLUSIÓN FALSA.

Cuando se comparan dos medias a nivel de significación α, la probabilidad de cometer un error de tipo I es α.

Cuando se comparan de a dos a medias tenemos comparaciones posibles.

Probabilidad de cometer un erro tipo I:1-[(1-α) ]

aC2

aC2

Para 5 grupos tenemos 10 comparaciones posibles, para un α = 0,05 :

P(x>0)=1-[(1-0,05)^10]= 0,40 Probabilidad de no rechazar una hipótesis

de no diferencia en cada caso seria de 0.95.(0.95)10 = 0.5987

Rechazar la hipótesis nula: Error tipo I

Lo mas grave: Muestras no independientes.

Necesitamos un mejor método para comparar mas de 2 poblaciones.

ANOVA