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Taller 1
Juan Carlos Juajibioy OteroUniversidad Nacional de Colombia
August 24, 2012
I. Esbozar la grafica de las siguientes funciones cuadraticas.
(1.) z2 = 4x2 + 9y2 + 36.
(2.) x = 2y2 + 3z2.
(3.) 4x2 + 4z2 24y z + 36 = 0.
(4.) x2 = 2y2 + 3z2.
(5.) y = 2x2 + z2.
(6.) x2 + y2 z2 = 1.
II. Calcular el valor de los siguientes limites
(1.)
lim(x,y)(0,0)
x2 xyxy
(2.)
lim(x,y)(0,0)
2x2y
x4 + y2
(3.)
lim(x,y)(2,3)
(1
x+
1
y
)2(4.)
lim(x,y)(0,0)
x2
x2 + y2
(5.)
lim(x,y)(0,0)
xyx2 + y2
(6.)
lim(x,y)(0,0)
x2yx2 + y2
(7.)
lim(x,y)(0,0)
4x2y
(x + y)2
(8.)
lim(x,y)(0,0)
(x2 + y2) ln(x2 + y2)
III. Se sabe que silim
(x,y)(a,b)f(x, y) = L
ylimxa f(x, y)
ylimyb
f(x, y)
1
existen entonces
lim(x,y)(a,b)
f(x, y) = limxa
{limyb
f(x, y)
}= lim
yb
{limxa f(x, y)
}.
Estos se llaman limites unilaterales.
(1.) Sea f(x, y) = xyx+y si x + y 6= 0. Muestre que
limx0
{limy0
f(x, y)
}= 1
y que
limy0
{limx0
f(x, y)}
= 1
(2.) Sea f(x, y) = x2y2
x2y2+(xy)2 si x2y2 + (x y)2 6= 0. Muestre que
limx0
{limy0
f(x, y)
}= lim
y0
{limx0
f(x, y)}
= 0
pero sin embargolim
(x,y)(0,0)f(x, y)
no existe.
IV. Cuales de las siguientes funciones son continuas en todo R2.
(1.)
f(x, y) =
{x2y2x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0).0, si (x,y)=(0,0)
(2.)
f(x, y) =
{xy x
2y2x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0).
0, si (x,y)=(0,0)
(3.)
f(x, y) =
{sin(x2+y2)x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0).
0, si (x,y)=(0,0)
(4.)
f(x, y) =
{xy4
x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0).0, si (x,y)=(0,0)
V. Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones
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(1.) f(x, y) = 3x 2y4.(2.) f(x, y) = xyx+y .
(3.) f(x, y) =x2 + y2.
(4.) f(x, y) = (x y)ey2x2 .
VI. Evaluar las derivadas anteriores en el punto (1,1).VII. Determine cuales de las siguientes funciones satisfacen la ecuacion
uxx + uyy = 0
(1.) u = x2 + y2.
(2.) u = x2 y2.(3.) u = ln(x2 + y2).
(4.) u = x3 + 3xy2.
VIII. Muestres que si z = xey + yex, entonces z satisface
zxxx + zyyy = xzxyy + yzxxy.
IX. Encontrar una funcion f tal que fx = x + 4y, fy = 3x y.X. Sea
f(x, y) =
{x3yxy3x2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0).
0, si (x,y)=(0,0)
(1.) Encontrar fx, fy en (x, y) 6= (0, 0).(2.) Encontrar fx, fy en (x, y) = (0, 0) usando la definicion.
(3.) Mostrar que fxy(0, 0) = 1 y que fyx(0, 0) = 1XI. Encontrar la ecuacion del plano tangente y la ecuacion de la recta normal
de las siguientes superficies
(1.) z = x2 + 3xy2 en (1, 1).
(2.) z = x2 y2 en (1, 2).(3.) z = ex
2y2 en (0, 0).
(4.) z = sin(x y) cos(x+ y) en (0, 0)
(5.) Encontrar la ecuacion del planto tangente a la grafica de la funcionz = x2 +y2 en (2,1) y calcular la distancia del punto (1, 1) al plano.
(6.) Encontrar la derivada direccional de f(x, y) = 2xy 3y2 en (5, 5) enla direccion v = (4, 3).
(7.) Encontrar la derivada direccional de f(x, y) = 2x2 + y2 en (0, 1) en ladireccion del punto P = (0, 1) al punto Q = (1, 0).
(8.) Encontrar la direccion en que f(x, y) = x2 + sin(xy) tiene derivadadireccional de valor 1 en el punto (1, 0).
(9.) Encontrar la maxima razon de cambio de las siguientes funciones y ladireccion en que ocurre ese crecimiento para cada una de las siguientesfunciones.
(1.) z = y2
x en (2, 4).
(2.) z = sin(xy) en (1, 0).
(3.) z = (x2 + y2) tan(x y) en (1, 1).
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