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5/17/2018 Tema 1 Vibraciones Mecanicas Parte i - slidepdf.com
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TEMA 1Parte I
Vibraciones libres y amortiguadas
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1.1. Introducción: grados de libertad ymagnitudes características
VIBRACIÓN MECÁNICA:
Oscilación repetida en torno a una posición de equilibrio
- Vibraciones convenientes: péndulo para regular un reloj, cuerda
pulsada de una guitarra
- Vibraciones inconvenientes: vibraciones en estructuras a causa de
terremotos, del viento, circulación de vehículos, máquinas.....
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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1) Fuerza adicional: desplazamiento equilibrio
2) Fuerza recuperadora: vuelta a posición equilibrio
3) Posición equilibrio: velocidad no nula
SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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GRADO DE LIBERTAD:
Variables necesarias y suficientes para especificar la posición
de un sistema mecánico
EJEMPLOS:
- disco que se mueve en el plano: tres grados de libertad
desplazamiento x, y
ángulo de rotación alrededor CM
- sólido rígido: seis grados de libertad
tres traslaciones elementales
tres rotaciones, seis coordenadas
- sistema con un grado de libertad ≠ sistema simple:
motor de automóvil: ángulo de giro del cigüeñal
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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OSCILACIONES PERIÓDICAS Y APERIÓDICAS O ALEATORIAS:
Oscilación periódica:
Periodo (T, τ): tiempo para que se repita el movimiento
Frecuencia (f, ν): número de oscilaciones por segundo
Amplitud (A): desplazamiento máximo
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS:
VIBRACIONES LIBRES: fuerzas gravitatorias o fuerzas elásticas
1) NO AMORTIGUADAS:
- fuerzas de rozamiento (resistencia del aire,viscosidad....) son despreciables
- se repiten indefinidamente
2) AMORTIGUADAS:- fuerzas de rozamiento no despreciables
- tienden a desaparecer
VIBRACIONES FORZADAS:
- compensación de pérdida de energía de la oscilación amortiguada
- fuerzas externas
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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FENÓMENO DE LA RESONANCIA:
- Edificación: oscilador con un conjunto de frecuencias naturales (rigidez,
masa y detalles de la construcción)
- Oscilación forzada: fuerza debida a sacudidas del terreno en terremoto
Diseño y construcción de puentes y edificios:
FRECUENCIA ONDAS SÍSMICAS≈
FRECUENCIA NATURAL EDIFICIO
1. 1. Introducción: grados de libertad y .....
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1.2. Vibraciones libres no amortiguadas
FUERZA RECUPERADORA:
- proporcional al desplazamiento: kx
- dirigida hacia posición de equilibrio
- movimiento periódico: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
- modelo de partida para vibraciones en aplicaciones técnicas
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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MODELO MECÁNICO:
- reposo: posición de equilibrio
- desplazamiento X0: V0
kxF −=
2
2
dt
xd mmaF X X ==
xm
k
dt
xd
dt
xd mkx −=⇒=− 2
2
2
2
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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0202
2
=+ xdt xd ω
m
k
=0ω
FRECUENCIA NATURAL DE OSCILACIÓN
Soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:
c
)cos()( 0 α ω −= t At x : A amplitud o desplazamiento máximo
:α )()( 0 α ω −= t Asent x ángulo o constante de fase
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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)cos()( 0 α ω −= t At x
0
2ω π =T
π
ω
2
0= f
)(0
α ω ω −−== t sen A
dt
dxv
xt Adt
dva
2
0
2)cos( ω α ω ω −=−−==
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:
)cos()(0
α ω −= t At x
ENERGÍA POTENCIAL:
)(cos2
1
2
10
222 α ω −== t kAkx E P
ENERGÍA CINÉTICA:
)(2
1
2
1
2
10
2220
2
2 α ω ω −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== t sen Am
dt dxmmv E C
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:
2200
22200
22
2
1)(
2
1)(cos
2
1 Amt sen Amt kA E E E C P ω α ω ω α ω =−+−=+=
Energía cinética y potencial en función del tiempo:
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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MÉTODOS ENERGÉTICOS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
0)(=
+=⇒=+=
dt
E E d
dt
dE cte E E E PC T
PC T
02
1
2
1 22 =+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+ x xm xkx xmkx
dt
d &&&&&
00)( =+⇒=+ kx xm x xmkx &&&&&
EJEMPLO:
0=+ xm
k x&&
1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas
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1.3. Vibraciones libres amortiguadas
- VIBRACIONES NO AMORTIGUADAS: idealización
pérdidas de energía por rozamiento pequeñas
intervalos de tiempo cortos
- FUERZAS RESISTIVAS: proporcional a la velocidad y en sentido
opuesto
Oscilación en un fluido: aire, agua....
vF r λ −=
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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Modelo mecánico:
2
2
dt
xd mmaF X X ==
2
2
dt xd m
dt dxkxvkx =−−=−− λ λ
02
2
=++ kxdt
dx
dt
xd m λ
02202
2
=++ x
dt
dx
dt
xd ω γ
m
λ γ =2
m
k =0ω
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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02202
2
=++ xdt
dx
dt
xd ω γ
Teoría ecuaciones diferenciales:
t Det x
λ =)(
022
0
2 =++ ω γλ λ
D, λ: ecuación diferencial y condiciones iniciales
ω γ γ ω γ ω γ γ λ ii ±−=−±−=−±−= 22
0
2
0
2
2,1
2
222
04mm
k λ γ ω ω −=−=
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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t t e De Dt x 21
21)(
λ λ +=
ω γ λ i±−=2,1 )()(21
t it it e De Det x
ω ω γ −− +=
D1, D2: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad
t isent e t i ω ω ω += cos
22
0 γ ω ω −=Tres tipos de comportamiento según :
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS:
γ ω f0 0220 fγ ω ω −=
α i Ae D
−=1
α i Ae D =2
La solución física debe ser siempre real:
)()()( 21t iit iit t it it e Aee Aeee De Det x ω α ω α γ ω ω γ −−−−− +=+=
)cos()( α ω γ −= − t Aet x t
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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)cos()( α ω γ −= − t Aet x t
AMPLITUD:
FRECUENCIA:
t Ae
γ −
220 γ ω ω −=
1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS:
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS:
No tiene periodo en el sentido definido para las vibraciones libres:
ω
π 2=T π
ω
2= f
Magnitudes constantes, aunque no lo es la amplitud
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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2) SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS:
γ ω =0 0=ω
El sistema no oscila:
t eCt Bt x γ −+= )()(
B,C: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad
- amortiguamiento crítico: menor amortiguamiento para no oscilación
- vuelta a la posición de equilibrio siguiendo curva exponencial- no se puede redefinir periodo y frecuencia
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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2) SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS:
0ω
γ ξ =
Ejemplo en el que este amortiguamiento es interesante:amortiguadores de los coches
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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3) SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS:
γ ω p0 022
0 pγ ω ω −=
Medio altamente viscoso:
m
k
ms −=−=
2
22
0
2
4
λ ω γ
t st st
e Be Aet xγ −−
+= )()(
A, B: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad
- vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar
- no es posible redefinir periodo y frecuencia
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas
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Ejemplos de movimiento subamortiguado, sobreamortiguado y
críticamente amortiguado:
1. 3. Vibraciones libres amortiguadas