CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS

TEMA 2

LEY DE COULOMB E INTENSIDAD

DE CAMPO ELÉCTRICO

Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez

Ciclo Sep – Dic 2009San Cristóbal, RD

TABLA DE CONTENIDO

1. LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB

3. INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO

5. CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA VOLUMÉTRICA

7. CAMPO DE UNA LÍNEA DE CARGA

9. CAMPO DE UNA LÁMINA DE CARGA

11. LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS

LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB

Coulomb afirmó que la fuerza entre dos objetos muy pequeños separados en el vacío, o en el espacio libre por una distancia comparativamente grande en relación con el tamaño de los objetos, es proporcional a la carga en cada uno e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, o sea:

F es la fuerza [Newtons – N] Q1 y Q2 son las cantidades de carga positiva o negativa [coulombs – C]R es la separación [metros – m]

K es una constante de proporcionalidad

→

1

221

R

QQkF =

Unidades Sistema mks

04

1

πε=k

Aquí de nuevo, …

Qué creen, ¿Es ε0 adimensional?

LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB

ACLARANDO :

ε0 → permitividad del espacio libre →

LEY DE COULOMB

[Forma Escalar]

2

mF912

0 1036

110854.8 −− ×≅×=

πε

22

9120 10

36

110854.8 m

N

C ⋅×≅×= −−

πε

20

21

4 R

QQF

πε=

RECORDANDO :

Carga Electrón → 1.602 x10-19 CCarga 1 Coulomb → 6 x 1018 electronesFuerza 2Q de 1C y R=1m → 9 x 109 N[Casi 1 millón de Toneladas]Masa en Reposo Electrón → 9.109 x 10-31 kgRadio Electrón → 3.8 x 10-15 m

LEY DE COULOMB (CONT.) [Forma Vectorial]

donde a12 es un vector unitario en la dirección de R12, es decir:

Observe la siguiente figura, y verifique que si Q1 y Q2 tienen el mismo signo, el vector fuerza F2 sobre Q2 tiene la misma dirección que el vector R12.

3

LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.)

122120

212 4

aFR

QQ

πε=

12

12

12

12

12

1212 rr

rrRRRa

−−===

R

4

Ejemplo 2.1:

Para ilustrar el uso de la forma vectorial de la Ley de Coulomb ubiquemos una carga Q1 = 3 x 10-4 C en M(1,2,3) y otra carga Q2=-10-4 C en N(2,0,5) en el vacío. Se desea encontrar la fuerza que ejerce Q1 en Q2.

Solución:

•Se determina el vector R12 y su magnitud:

R12 = r2 – r1 = (2-1)ax + (0-2)ay + (5-3)az= ax - 2ay + 2az

•Se determina el vector unitario a12:

•Se determina la fuerza F2:

( ) ( ) ( ) 3221 22212 =+−+=R

zyx 32

32

31 aaa +−==

12

12

R

R12a

LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.)

( )( )

N

N

zyx

zyx

zyx

aaaF

aaaF

aaaF

202010

3

2230

3

22

3103614

10103

2

2

29

44

2

−+−=

+−−=

+−×

−×= −

−−

ππ

5

Algunas Conclusiones sobre la Ley de Coulomb:

3.La fuerza expresada por la Ley de Coulomb es una fuerza mutua, esto es:

8.La Ley de Coulomb es lineal.

10.La fuerza debida a la acción de varias cargas es la suma de las fuerzas que sobre dicha carga ejercerían individualmente cada una de las otras cargas.

LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.)

122120

21212

120

2121 44

aaFFR

QQ

R

QQ

πεπε−==−=

6

D2.1

La carga QA = - 20 μC está en el punto A(-6,4,7), y la carga QB = 50 μC está en el punto B(5,8,-2) en el espacio libre. Si las distancias están dadas en metros, encontrar:

•RAB

•|RAB|

•F vectorial ejercida por QB sobre QA si ε0 es →

•F vectorial ejercida por QB sobre QA si ε0 es →

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:•11ax + 4ay – 9az m•14.76 m•30.76ax + 11.184ay – 25.16az mN

•30.72ax + 11.169ay – 25.13az mN

LA LEY EXPERIMENTAL DE COULOMB (CONT.)

mF910

36

1 −×π

mF1210854.8 −×

Otro más. → Realizar Problema 2.1

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO

7

Campo Eléctrico en una Carga Puntual en el Origen

Campo Eléctrico en una Carga Puntual Fuera del Origen

El vector r′ localiza la carga puntual Q, el vector r determina cualquier punto P (x,y,z) del espacio, y el vector R de Q a P(x,y,z) es entonces R=r- r′.

ttt

t

R

Q

Q 1210

1

4aFE

πε== Fuerza sobre

unidad de carga

( ) ( )3

0

2

0 44 r 'rr 'r

r 'rr 'r

r 'rrE

−−=

−−

−=

πεπεQQ

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)

8

En el escenario de la gráfica, la suma vectorial de las intensidades de campo eléctrico total en P debido a Q1 y Q2 puede hacerse por el carácter lineal de la ley de Coulomb, es decir:

Si se agregan más cargas en otras posiciones del campo debido a n cargas puntuales, entonces:

( ) 22

0

212

0

1

44a

rra

rrrE

21 −+

−=

πεπεQQ

( )

( ) ∑= −

=

−+⋅⋅⋅+

−+

−=

n

mm

m

nn

Q

QQQ

12

0

2

0

22

0

212

0

1

4

444

arr

rE

arr

arr

arr

rE

m

n21

πε

πεπεπε

9

Ejemplo 2.2:

Encontrar E en el punto P(1,1,1) que causan cuatro cargas idénticas de -3 nC localizados en los puntos P1(1,1,0), P2(-1,1,0), P3(-1,-1,0) y P4(1,-1,0), como se verifica en la siguiente figura.

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)

Solución:

•Del gráfico se observa que el vector r = ax + ay + az y r1 = ax + ay deduciendo que : r - r1 = az

•Adicionalmente se confirma que: | r - r1 |= 1, | r - r2 |= √5, | r - r3 |= 3, | r - r4 |= √5.

8.Puesto que

•Entonces resulta :

mVQ

.96.2610854.84

103

4 12

9

0

=××

×= −

−

ππε

( ) ( )m

Vzyx

zyzyxzxz

aaaE

a aa a aa aaE

8.3282.682.6

5

1

53

1

35

1

51

1

196.26 2222

++=

++

+++++=

2222

INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO (CONT.)

10

D2.2

Una carga de – 0.3 μC se encuentra en el punto A(25,-30,15) en cms, y una segunda carga de 0.5 μC en el punto B(-10,8,12) cms. Encontrar E en :

•El origen•En P(15,20, 50) cms

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:•92.3ax – 77.6ay – 94.2az kV/m•11.9ax – 0.519ay + 12.4az kV/m

Y ahora porque no vemos, …

Solución en Ms Excel

CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA

11

Sea ρv la densidad de carga volumétrica en C/m3, entonces la carga para un ∆v se expresa:

Para que la densidad de carga volumétrica corresponda a una distribución suave y continua, se evalúa la expresión anterior mediante un proceso de acercamiento en el límite, es decir:

De lo anterior, se verifica que la carga total dentro de cualquier volumen finito se obtiene por integración sobre todo el volumen, es decir:

vQ v∆=∆ ρv

Qv ∆

∆=ρ

v

Qv

v ∆∆=

→∆ 0limρ

∫ ∆=vol

v vQ ρ

12

Ejemplo 2.3:

Encontrar la carga total contenida en el haz de electrones de un tubo de rayos catódicos de longitud igual a 2 cm, como se muestra a continuación.

Solución:

•De la figura se observa que:

•Se considera el diferencial de volumen en coordenadas cilíndricas para encontrar la carga total, esto es:

13.Integrando respecto a se tiene:

CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.)

3106 5

105m

Ce zv

ρρ −−×−=

∫ ∫ ∫ −−×−=04.0

02.0

2

0

01.0

0

106 5

105π

ρ φρρ dzddeQ z

φ

∫ ∫ −−−=04.0

02.0

01.0

0

105 5

10 dzdeQ z ρρπ ρ

13

Ejemplo 2.3 (Cont.) :

Solución:

3.Integrando respecto a z, se tiene

•Finalmente:

CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.)

( )∫

∫

−−−

=

=

−−

−−=

−−=

01.0

0

400020005

01.0

0

04.0

02.0

105

5

10

10

10 5

ρπ

ρρρπ

ρρ

ρ

deeQ

deQz

z

z

pCQ

eeQ

0785.04000

1

2000

110

4000200010

10

01.0

0

4000200010

=

−−=

−

−−

−=

−

−−−

π

πρρ

14

Si se suman todas las contribuciones de toda la carga dentro del volumen de una región dada y se deja que el elemento de volumen ∆v se aproxime a cero, cuando el número de elementos se hace infinito, entonces dicha suma se convierte en una integral, esto es:

CAMPO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA VOLUMÉTRICA (CONT.)

( ) ( )∫ −

−

−=vol

v dv'

'

'

'

rrrr

rr

rrE 2

0

'

4περ

D2.4

Calcular la carga total dentro de los volúmenes siguientes:

•0.1 ≤ |x|, |y|, |z| ≤ 0.2 y

•0 ≤ ρ ≤ 0.1, 0 ≤ Ф ≤ π, 2 ≤ z ≤ 4; ρv= ρ2z2sin(0.6 Ф)

•En el universo;

333

1

zyxv =ρ

2

2

r

e r

v

−

=ρ

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:e)0f)1.018 mCg)6.28 C

15

Densidad de Carga [C/m].

Para una densidad (lineal y uniforme) en una línea de carga que se extiende desde - ∞ a +∞ a lo largo del eje z, se tiene :

CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA

Lρ

Lρ

• Al variar Ф, con ρ y z contantes, la línea de carga conserva simetría azimutal.

• Si se varía z, con ρ y Ф constantes, la línea de carga conserva simetría axial, por tanto, el campo es independiente de z.

• Si varía ρ, con z y Ф constantes, el campo disminuye cuando ρ se incrementa, debido a la ley de Coulomb.

• Si EФ=0, entonces Ez+ y Ez

- se cancelan.

• Eρ varía únicamente con variación de ρ.

16

De la gráfica se verifica que:

CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA (CONT.)

( )

( )

( ) [ ]∫∫ ⋅−−=⋅⋅−=⋅⋅⋅−=

===

−=

===

==

⋅=

00

00

0

2

0

2

2'

''

'

2

0

'

'2

0

cos4

sin4csc4

sincsc

csccscsin

csc

cotcottan

sinsin4

sin4

πρπρρ

πρ

ρ

ρ

θρπε

ρθθρπε

ρθρπε

θθθρρ

θρρ

θρθ

θθρ

θρρ

θρθ

ρθθπερ

θπε

ρ

aaaE

RzE

RE

LLL

L

L

dd

RR

R

ddz

zz

z

R

dd

z

[ ] ρρ ρπερ

ρπερ aE ⋅=−−−=

00 211

4LL

Observe que el campo decae inversamente a la distancia a la línea de carga, a diferencia del caso puntual donde el campo disminuye con el cuadrado de la distancia.

17

Ejemplo 2.4:

Considere una línea de carga infinita situada a lo largo del eje z. La misma pasa por x=6 y y=8. Se desea encontrar E en un punto P(x,y,z) cualquiera del campo

Solución:

•Reemplazamos R en la ecuación:

Siendo R igual a:

Por tanto,

CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA (CONT.)

ρρ ρπερ aE ⋅=

02L

( ) ( ) 22 86 −+−== yxR ρ

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 220

22

220

86

86

2

86

86

862

−+−−+−

=

−+−

−+−==

⋅−+−

=

yx

yx

yx

yx

yx

yxL

yxR

RL

aaE

aaRRa

aE

περ

περ

Observe que el campo no es función de z

18

D2.5

A lo largo de los ejes x y y (positivo y negativo) en el espacio libre se encuentran líneas de carga uniforme e infinitas de 5 nC/m. Encontrar el valor de E en:

•PA(0,0,4)

•PB(0,3,4)

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:•45az V/m•10.8ay + 36.9az V/m

CAMPO DEBIDO A UNA LÍNEA DE CARGA (CONT.)

19

CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA

Densidad de Carga Superficial [C/m2].

Consideremos una lámina infinita dividida en tiras de ancho infinitesimal, como se muestra a continuación:

sρ

La densidad de carga lineal de una tira es:

La contribución al campo de la tira en el punto P es:

'dysL ρρ =

2'2

'

0

2'20

'

2

coscos2

yx

xdydE

R

x

yx

dydE

sx

sx

+⋅=

=⋅+

=

περ

θθπε

ρ

20

CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA (CONT.)

Recordemos que una integral de la forma:

Por tanto:

Vectorialmente:

∫ −=⋅+ a

udu

ua

a 122

tan

00

'1

02'2

'

02'2

'

0

2222

tan222

ερππ

περ

περ

περ

περ

ssx

sssx

E

x

y

yx

xdy

yx

xdyE

=

−−⋅=

⋅=

+=

+⋅= ∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

−+∞

∞−

Ns aE02ε

ρ=

Observe que el campo es constante en magnitud y dirección

21

CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA (CONT.)

Si el punto que se elige sobre el eje x es negativo, en la ecuación :

el vector unitario aN es normal a la lámina, esto significa que se aleja de ella [hacia afuera].

Sea una lámina con carga ρs. Si se coloca otra lámina con carga ρs , que se sitúa en x=a, el campo total resultante para x>a es:

y

Resultado

Para x<0: ; ;

Para 0<x<a: ; ;

Ns aE02ε

ρ=

xs aE02ε

ρ=+x

s aE02ε

ρ−=−

0=+= −+ EEE

xs aE02ε

ρ−=+x

s aE02ε

ρ=− 0=+= −+ EEE

xs aE02ε

ρ=+x

s aE02ε

ρ=−x

s aE0ε

ρ=

Este es el campo existente entre las placas de un capacitor

22

D2.6

Tres láminas infinitas cargadas uniformemente se localizan en el espacio libre como sigue:

•3nC/m2 en z=-4•6nC/m2 en z=1•-8nC/m2 en z=4

Encontrar E en el punto:

•PA(2,5,-5)

•PB(4,2,-3)

•PC(-1,-5,2)

•PD(-2,4,5)

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:•-56.5az V/m

•283az V/m•961az V/m•56.5az V/m

CAMPO DEBIDO A UNA LÁMINA DE CARGA (CONT.)

23

Representación Gráfica Líneas de Campo en dos Dimensiones

LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS

(a) Un esquema muy pobre.(b) Gráfica correcta.(c) Gráfica correcta.(d) Forma común de una

gráfica de línea de corriente. En esta última gráfica, las flechas representan la dirección del campo en cada punto a lo largo de la línea, y el espaciamiento entre las líneas es inversamente proporcional a la magnitud del campo.

24

Ecuación Líneas de Flujo:Por geometría, se deduce que:

como se verifica en el siguiente gráfico:

LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS (CONT.)

dx

dy

E

E

x

y =

Ejemplo:Considere el campo de una línea de carga uniforme con Resultando

En coordenadas cartesianas se tiene:

Estableciendo la Ec. Diferencial:

Por tanto:

02περ =L

ρρaE 1=

yx yx

y

yx

x aaE2222 +

++

=

x

y

E

E

dx

dy

x

y ==x

dx

y

dy =

CxyCxy =+= lnlnln

Esta es la Ec. De las líneas de flujo

1lnln Cxy +=

25

D2.7.a

Obtener la ecuación de las líneas de flujo que pasan por el punto P(1,4,-2), en donde el campo es

Ejercicio para realizar en el salón.

Respuestas:•x2+2y2=33

LÍNEAS DE FLUJO Y ESQUEMAS DE CAMPOS (CONT.)

yx y

x

y

x aaE2

248 +−=

GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN