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Tema 2cCálculo de Antitransformadas

yModos Transitorios

Análisis Dinámico de Sistemas2º Ing. Telecomunicación

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Cálculo de Antitransformadasmétodo directoUna posibilidad es el método directo...

El método directo es, a menudo complicado y farragoso

Casi siempre, las funciones F(s) sonexpresiones racionales (un polinomio dividido por otro)

lo que permite aplicar el método dedescomposición en fracciones simples

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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simples

tablas tablas tablas

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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simples

F(s) puede descomponerse en funciones Fi(s) dos tiposcuyas transformadas son conocidas:

se trata de descomponer la expresión racional F(s)en funciones más sencillas cuyas transformadas conocemos por tablas

raíces distintas raíces múltiples

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Aplicando la linealidad de la T. de Laplacese obtiene la expresión de f(t) como suma defunciones fi(t) conocidas

Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simples

tablas tablas tablas

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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces distintas

multiplicando por (s-pi)

evaluando en s=pi

de donde...

1

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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces distintas

Las fracciones resultantes tienen antitransformada conocida:

pudiendo obtenerse ya f(t) por linealidad de la T. de Laplace

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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces distintas (complejas)

aunque dos de las raíces sean complejas,no se trata de ningún caso especial.

Al aplicar Heaviside, nos van a quedardos coeficientes también conjugados (comprobarlo en casa):

En efecto, supongamos dos raíces complejas(siempre vienen en pares conjugados):

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Nota:

Agrupando las dos funciones básicas resultantes por parejasqueda siempre una función real...

Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces distintas (complejas)

Im

Re

...¡que tiene carácter oscilatorio!

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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces múltiples

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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces múltiples

Supongamos:

entonces... 0 0 0

0 0

0

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Cálculo de Antitransformadasdescomposición en fracciones simplesMétodo de Heaviside: raíces múltiples

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Ejemplo 1

EDL-CC?

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Ejemplo 1

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Ejemplo 1Aplicando Heaviside para las raíces s={0,-1,-3}

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Ejemplo 1simulación

EDL-CCy(t)

t

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Ejemplo 2

G(s)?

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Ejemplo 2

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Ejemplo 2Aplicando Heaviside para las raíces s={-1,-2(doble)}

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Ejemplo 2simulación

G(s)y(t)u(t)

t

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Ejemplo 3

Suponiendo que en t=0 el sistema está en equilibrioy que tanto u(0) como y(0) valen cero

a) obtener su función de transferenciab) obtener su respuesta temporal ante una señal de tipo impulso

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Ejemplo 3a) función de transferencia

para calcular la T. de Laplace de las derivadasdky/dtk, dku/dtk que aparecen en la EDL-CC utilizamos

0 (cond. iniciales nulas)

entonces...

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Ejemplo 3b) Respuesta impulsional

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G(s)y(t)

Ejemplo 3Simulación

+ + =

t

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Modos Transitorios

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Modos Transitorios

En general:

• Si pi es real da lugar a una exponencial- si σ > 0 será creciente y no acotada (inestable)- si σ < 0 será decreciente y tenderá a cero- Cuanto mayor sea |σ |, más rápido crece o decrece

• Si pi tiene parte imaginaria dará lugar a modos oscilatorios- crecientes y no acotados si σ > 0- decrecientes (tienden a cero) si σ < 0- cuanto mayor sea ω más frecuencia de oscilación- cuanto mayor sea |σ | más rápido tiende a cero (o a infinito si σ > 0)- La proporción entre σ y ω nos indica el “grado de oscilación”- Para sistemas estables:

� Si σ >>ω se hace cero antes de que le de tiempo a completar un ciclo (poco oscilatorio)� Si ω >>σ oscila muchas veces antes de tender a cero (muy oscilatorio)

Si expresamos la raíz pi como:

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Re

Im

Mapa de la Dinámica en el plano S

+rapidos(se atenúan + rápido)(tienden a cero + rápido)

+osc

ilato

rios

Semiplano derechoMODOS

INESTABLES(contienen e+σt)