Tema 5. Análisis de la Respuesta Frecuencial de Sistemas...

ca Automática

2º Curso del Grado en

Ingeniería en Tecnología Industrial

Tema 5.

Análisis de la Respuesta Frecuencial

de Sistemas LTI

Contenido

TEMA 5.- Análisis de respuesta en frecuencia

5.1. Análisis de sistemas en tiempo continuo en el dominio de la

frecuencia.

5.2. Representación mediante diagramas de Bode.

5.3. Trazado de diagramas de Bode.

5.4. Sistemas de fase no mínima.

5.5. Especificaciones del comportamiento en el dominio de la

frecuencia.

5.6. Análisis de estabilidad. Márgenes de ganancia y de fase.

5.7. Relación de la respuesta en frecuencia con la respuesta

temporal.

5.8. Determinación experimental de la función de transferencia a

partir de la respuesta en frecuencia.

5.9. Compensación en el dominio de la frecuencia.

Análisis en frecuencia de sistemas LTI

Respuesta en frecuencia:

Se entiende por respuesta en frecuencia la respuesta en estado

estacionario de un sistema estable ante una entrada senoidal.

La respuesta en estado estacionario de un sistema LTI ante una

entrada senoidal no depende de las condiciones iniciales, por lo

que se van a suponer condiciones iniciales nulas.

Una de las ventajas que ofrece el estudio de la respuesta en

frecuencia de un sistema es que mediante pruebas sencillas se

puede determinar de forma experimental su función de

transferencia utilizando generadores de onda y equipos de

medición de uso frecuente en los laboratorios.

Función de transferencia senoidal:

La transformada de Laplace de la función seno es:

y la salida será:

Calculando la transformada inversa de Laplace y aplicando el

límite cuando el tiempo tiende a infinito se obtiene la salida en

estado estacionario:

La salida es una señal senoidal de la misma frecuencia que la

señal de entrada pero multiplicada por una ganancia |G(jω)| y

desplazada en la fase por un ángulo G(jω).

Función de transferencia senoidal (cont.):

La respuesta en frecuencia de un sistema con función de

transferencia G(s) se obtiene sustituyendo s=jω, obteniendo la

función G(jω) denominada función de transferencia senoidal:

donde se cumple que Y(jω) = G(jω) X(jω).

Gráficamente:

El módulo de la función de transferencia senoidal se obtiene del

cociente entre las amplitudes de las señales de salida y entrada.

El ángulo de la función de transferencia senoidal, denominado

ángulo de fase, es la diferencia entre los ángulos de las señales

de salida y entrada.

Si el ángulo de fase es positivo, se denomina adelanto de fase,

mientras que si es negativo se denomina atraso retardo de fase.

Ejemplo:

• Entrada: x(t) = sin(4πt)

• Salida 1: y1(t) = 1.5 sin(4πt + π /4) Adelanto de fase.

• Salida 2: y2(t) = 1.5 sin(4πt - π /4) Retardo de fase.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.5

1.5Adelanto y atraso de fase

t (segundos)

traso)

Contenido

frecuencia.

temporal.

Representación mediante diagramas de Bode

Diagrama de Bode

Frequencia (rad/sec)

Diagramas de Bode:

Un diagrama de Bode representa la función de transferencia

senoidal G(jω) mediante dos gráficas distintas, utilizando un eje

de abscisas común en escala logarítmica para la frecuencia ω

(rad/seg) y una escala lineal para los ejes de ordenadas:

• Expresada en dB (20log|G(jω)|) para la gráfica de magnitud.

• Expresada en grados para la gráfica de ángulo de fase.

Representación mediante diagramas de Bode

Diagramas de Bode (cont.):

La utilización de una escala logarítmica para ω permite

representar en un solo diagrama las características de alta y

baja frecuencia de G(jω).

La frecuencia ω se expresa en décadas, donde una década es

la banda de frecuencia desde ω1 a 10ω1 siendo ω1 cualquier

valor de frecuencia.

números en escala logarítmica

La figura muestra el |G(jω)|=|jω|.

En escala logarítmica (3

décadas) la gráfica resultante

es una línea recta de 20

dB/década que pasa por el

punto (1 rad/s, 0dB).

Contenido

frecuencia.

temporal.

Trazado de diagramas de Bode

Factores básicos:

La función de transferencia de un sistema puede representarse

como un producto de factores básicos (en forma normalizada):

1. Ganancia K.

2. Integradores y derivadores con orden de multiplicidad n.

3. Polos y ceros .

4. Polos y ceros ( ).

Para dibujar el diagrama de Bode de cada uno de estos términos,

se calcula la correspondiente función de transferencia senoidal

G(jω) para varias frecuencias y se representan los puntos

gráficamente. El trazado se simplifica utilizando aproximaciones

asintóticas para cada uno de los factores.

Ganancia K:

La curva de magnitud logarítmica para una ganancia constante K

es una recta horizontal cuya magnitud es de 20 log K decibelios.

• si K > 1 recta con valor positivo en dBs.

• si 0 < K < 1 recta con valor negativo en dBs.

El ángulo de fase de la ganancia K es cero grados.

El recíproco de un número difiere de su valor sólo en el signo:

El efecto de variar la ganancia K en la función de transferencia

es que sube o baja la curva de magnitud logarítmica de la

función de transferencia en la cantidad constante

correspondiente, pero no afecta a la curva de fase.

Integradores :

Los valores de la magnitud expresada en dB y del ángulo

expresado en grados son:

Como w se expresa en escala logarítmica, la representación de

la magnitud en dB es una línea recta que pasa por el punto

(1 rad/s, 0 dB) y pendiente de -20 dB/década.

Integradores (cont.):

Derivadores G( jω) = jω:

Los valores de la magnitud expresada en decibelios y del ángulo

expresado en grados son:

La pendiente de la curva de magnitud es de +20 dB/década y el

signo del ángulo de fase cambia de signo (pasa a ser positivo).

Derivadores G( jω) = jω (cont.):

Integradores y derivadores de orden superior a 1:

Los valores de la magnitud expresada en decibelios y del ángulo

expresado en grados serían:

Tanto las pendientes como los ángulos de fase se multiplican por n.

Integradores y derivadores de orden superior a 1 (cont.):

Polo real:

La función de transferencia de un sistema de primer orden con

constante de tiempo T es

El diagrama de Bode de la magnitud se obtiene de la expresión

que se aproxima a:

Polo real (cont.):

La representación de la curva de ganancia es una recta de

pendiente -20 dB/década. Para la frecuencia w=1/T, las

asíntotas de alta y baja frecuencia toman ambas 0 dB,

denominándose frecuencia de cruce, con un error máximo de

¿¿cuál es el polo ?? ¿¿cuál es el polo ??

En su forma normalizada (f.n.)

OJO: En escala logarítmica

Polo real (cont.):

Para representar el ángulo de fase, se utiliza la expresión:

Polo real (cont.):

Diagrama de Bode en magnitud y fase de un sistema con un

polo real.

Cero real:

La asíntota de baja frecuencia del cero, recíproco del polo real,

es de 0 dB y la pendiente de la asíntota de alta frecuencia de

+20 dB/década. El ángulo de fase varía de 0º a +90º con el

punto de inflexión en +45º.

Una ventaja de los diagramas de Bode es que para

factores recíprocos, las curvas de magnitud y ángulo

de fase sólo requieren un cambio de signo.

polo cero?

Cero real (cont.):

Diagrama de Bode en magnitud y fase de un sistema con un

cero real.

Polos complejos conjugados:

En el caso de polos complejos conjugados la función de

transferencia senoidal cuando G(s) expresada en función de ωn y

de ξ es:

El módulo de G(jω) expresado en decibelios viene dada por

que se aproxima a

Ambas asíntotas se cruzan en la frecuencia natural ωn que es la

frecuencia de cruce.

Polos complejos conjugados (cont.):

Mientras que la representación asintótica es independiente de ξ,

la representación exacta de la curva de magnitud depende del

valor de este parámetro, produciéndose un máximo más

acentuado (pico de resonancia) a medida que el valor de ξ es

más pequeño.

La frecuencia a la que se produce el máximo de la curva de

magnitud se denomina frecuencia de resonancia.

Diagrama de Bode en magnitud de sistema con polos complejos

conjugados.

El ángulo de fase de los factores complejos conjugados también

depende de ξ según

Sustituyendo para diferentes valores de w se obtiene

En ingeniería se utiliza la

variante de atan que calcula el

ángulo en 4 cuadrantes (atan2)

Diagrama de Bode en magnitud y fase de sistema con polos

complejos conjugados.

Ceros complejos conjugados:

El diagrama de Bode de magnitud tiene la asíntota de alta

frecuencia de pendiente +40 dB/década y el ángulo de fase varía

de 0º a +180º con el punto de inflexión en +90º.

Trazado de diagramas de Bode.

Procedimiento general:

1. Reescribir la función de transferencia senoidal G(jω) como

producto de los factores básicos.

a. Considerando la forma general de una función de transferencia:

b. se escribe como un producto de factores básicos:

donde la ganancia es:

2. Obtener los trazados individuales de cada factor básico, y

representarlos.

3. Sumar todos los trazados: los de magnitud o módulo entre

sí (en dB) y los de ángulo o fase entre sí (grados).

Ganancia de G(jω) en dB

Ángulo de G(jω) en grados

2. Obtener los trazados individuales de cada factor básico, y

representarlos.

3. Sumar todos los trazados: los de magnitud o módulo entre

sí (en dB) y los de ángulo o fase entre sí (grados).

4. Si se desea registrar una aproximación rápida, se puede

hacer el trazado asintótico.

La curva exacta, se encuentra

cerca de la curva asintótica.

Ejemplo:

Para evitar errores al trazar la curva de magnitud logarítmica, es

conveniente reescribir la función de transferencia en forma

normalizada:

Esta función se compone de los factores siguientes:

1 2 3 4 5

ωn y ξ ?

Ejemplo:

Las frecuencias de corte del tercer, cuarto y quinto términos son

w = 3, w = 2 y wn = , respectivamente.2

Observe que el último

término tiene el factor

de amortiguamiento

relativo de 0.3536.

Contenido

frecuencia.

temporal.

Sistemas de fase mínima y de fase no mínima:

Un sistema de fase no mínima se caracteriza por tener para

altas frecuencias una fase más negativa de lo que era de

esperar por el grado del polinomio del numerador y

denominador de la función de transferencia.

Ejemplos de sistemas de fase no mínima son sistemas con

algún cero positivo y sistemas con retardo de transporte.

Sistemas de fase no mínima

Sistemas de fase mínima y de fase no mínima (cont.):

Ejemplo:

G1 es de fase mínima G2 es de fase no mínima

Ejemplo:

Las curvas de magnitud de

ambos sistemas coinciden,

sin embargo, las curvas de

fase son bien distintas

Ejemplo:

Los sistemas de fase no

mínima son lentos en su

respuesta. En la mayor parte

de los sistemas de control, se

debe tener cuidado en evitar

un atraso de fase excesivo.

Al diseñar un sistema, si una velocidad de respuesta rápida es de

vital importancia, no deben usarse componentes de fase no mínima.

Cómo detectar si un sistema es de fase mínima:

Sabiendo que p y q son los grados de los polinomios del

denominador y numerador, respectivamente, de la función de

transferencia, podemos afirmar que:

1. En cualquier sistema, sea o no de fase mínima, la pendiente de

la curva de magnitud para valores altos de frecuencia verifica la

relación

-20(p-q) dB/década

2. Sólo si el sistema es de fase mínima la curva de ángulos de fase

para valores altos de frecuencia verifica la relación

-90 (p-q) grados

Para detectar si el sistema es de fase NO mínima se examina la

pendiente de la asíntota de la curva del ángulo de fase para

valores altos de frecuencia y se comprueba si verifica, o no, la

expresión del punto 2.

Retardo de transporte:El retardo existente entre la medición y la acción de control da

lugar a un tiempo muerto denominado retardo de transporte.

Ejemplo:Sistema térmico en el que circula aire caliente para conservar

constante la temperatura de una cámara. En este sistema, el

sensor de temperatura se sitúa corriente abajo a una distancia de

L metros del horno. La velocidad del aire es de v m/s por lo que

transcurrirá T = L / v segundos antes de que el termómetro

detecte cualquier cambio en la temperatura del horno.

Sistemas con retardo:

Los sistemas con retardo de transporte tienen un

comportamiento de fase no mínima y presentan un atraso

excesivo de fase sin atenuación para valores altos de frecuencia.

La entrada x(t) y la salida y(t) de un elemento de retardo de

transporte se relacionan mediante:

donde T es el tiempo de retardo.

La función de transferencia se obtiene calculando la

transformada de Laplace:

Los retardos de transporte

están presentes normalmente

en sistemas térmicos,

hidráulicos y neumáticos.

No afecta a la curva de ganancia

Sistemas con retardo (cont.):

El módulo y argumento de la función de transferencia senoidal será:

Sistemas con retardo (cont.):

Comparación entre sistemas con y sin retardo de primer orden:

por qué

fase G3 más

negativa ?

Contenido

frecuencia.

temporal.

Especificaciones del comportamiento en frecuencia

Especificaciones:

Las especificaciones estudiadas en el dominio del tiempo, tales

como la sobreoscilación o el tiempo de subida, no se pueden

utilizar directamente en el dominio de la frecuencia.

Partiendo del diagrama de Bode de la función de transferencia

las especificaciones que se utilizan frecuentemente en la

práctica son:

• Pico de resonancia y frecuencia de resonancia.

• Ancho de banda, frecuencia de corte y razón de corte.

• Margen de fase y de ganancia.Especificaciones

de bucle abierto,

pero ojo, están

relacionadas con

la estabilidad del

sistema en bucle

cerrado.

Especificaciones

de bucle cerrado

Mr(dB)

Especificaciones:

Pico de resonancia

Frecuencia de resonancia

Ancho de banda

Razón de corte

Frecuencia de corte

• Pico de resonancia (Mr):

Es el valor máximo de la curva de magnitud del diagrama de

Bode. Indica la estabilidad relativa de un sistema estable en

bucle cerrado.

Un valor grande de Mr se corresponde en general con una

constante de amortiguamiento pequeña. En la práctica, el valor

deseado se encuentra entre 1.1 y 1.5.

• Frecuencia de resonancia (wr):

Es la frecuencia en la que se produce el pico de resonancia Mr

• Frecuencia de corte (wb):

Es la frecuencia en la cual la magnitud de respuesta en

frecuencia en lazo cerrado está 3 dB debajo de su valor de baja

frecuencia.

• Ancho de banda (BW)

El rango de la frecuencia en el cual la magnitud en

lazo cerrado no desciende a -3 dB se denomina ancho de

banda del sistema.

La especificación del ancho de banda se relaciona con:

1. La capacidad de reproducir la señal de entrada.

2. Las características de filtrado necesarias para el ruido de alta

frecuencia.

Un ancho de banda grande corresponde a un tiempo de subida

pequeño, es decir, a una respuesta rápida. En términos

generales, puede decirse que el ancho de banda es

proporcional a la velocidad de respuesta.

• Razón de corte:

La razón de corte es la pendiente de la curva de magnitud

logarítmica cercana a la frecuencia de corte.

La razón de corte indica la capacidad de un sistema para

distinguir la señal del ruido.

Ejemplo:

Contenido

frecuencia.

temporal.

Análisis de estabilidad en frecuencia

Introducción:

Al diseñar un sistema de control se requiere que el sistema sea

estable. Además es necesario que tenga una estabilidad relativa

adecuada por lo que es necesario conocer su grado de

estabilidad.

En el análisis de estabilidad que se va a realizar, se va a trabajar

con la función de transferencia en bucle abierto G(s)H(s) y con

sistemas de fase mínima.

La función de transferencia en bucle abierto coincide con G(s)

sólo si se considera realimentación unitaria H(s)=1.

La mayor o menor estabilidad de un sistema en bucle cerrado se

suele expresar en términos de margen de fase y de ganancia,

cuyas definiciones son las siguientes cuando se trata de

sistemas de fase mínima.

Margen de ganancia (Mg o Kg):

El margen de ganancia es el recíproco de la magnitud |G(jω)| de

la función de transferencia en lazo abierto en la frecuencia de

cruce de fase.

o bien en decibelios:

donde w1 es la frecuencia de cruce de fase.

La frecuencia de cruce de fase es la frecuencia en la cual el

ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto es

igual a –180º.

Margen de fase (Mf o g ):

El margen de fase es la cantidad de atraso de fase adicional en

la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el

sistema al borde de la inestabilidad:

g = 180º + f

donde f es el ángulo de fase de la función de transferencia en

lazo abierto en la frecuencia de cruce de ganancia.

La frecuencia de cruce de ganancia es la frecuencia en la cual

la magnitud de la función de transferencia en lazo abierto es

unitaria, |G(jω)|=1 (i.e. 0 dBs).

Margen de fase y de ganancia:

En el diagrama de Bode de la función de transferencia en bucle

abierto del sistema, los márgenes de ganancia y de fase se

determinan como indica la figura.

Condición de estabilidad:

Un sistema de fase mínima es estable si los márgenes de fase y

de ganancia deben ser ambos positivos. Basta con que uno de

estos márgenes sea negativo para que el sistema sea inestable.

Los márgenes adecuados de fase y de ganancia aseguran

contra las variaciones de los componentes del sistema y se

especifican para valores de frecuencia definidos.

Para obtener un comportamiento satisfactorio, el margen de

fase debe estar entre 30º y 60º, y el margen de ganancia debe

ser mayor que 6 dB.Con estos valores, un sistema de fase

mínima tiene una estabilidad garantizada,

incluso si la ganancia en lazo abierto y

las constantes de tiempo de los

componentes varían en cierto grado.

Ejemplo 1:

Sistema estable

Ejemplo 2:

Sistema inestable

Ejercicio 1:

Para un sistema de realimentado, la función de transferencia de la

planta es:

y el factor de realimentación es:

Se pide:

1. Estudiar la estabilidad del sistema calculando márgenes de

ganancia y fase.

2. Obtener el ancho de banda del sistema en bucle cerrado.

Ejercicio 1:

Para obtener los márgenes de ganancia y de fase, se trabaja con el

Bode de la función de transferencia en bucle abierto.

Ejercicio 1:

Para obtener el ancho de banda, trabajamos con el Bode de la

función de transferencia en bucle cerrado.

Ejercicio 2:

En la figura se muestra un sistema realimentado donde aparece un

parámetro que es la ganancia K.

También se incluye el diagrama de Bode del sistema para tres

valores diferentes, K=0.1, K=2 y K = 10 (ver siguiente trasparencia).

Se pide:

1. Calcular los márgenes de ganancia y de fase para los tres valores

de K y

2. Determinar la estabilidad del sistema en los tres casos.

Ejercicio 2:

Se puede observar

cómo la curva de fase

es la misma mientras

que la de magnitud

sube o baja en el

diagrama dependiendo

Ejercicio 2:

Para K = 0.1 el

sistema es estable,

pues tanto el margen

de ganancia como el

de fase son positivos.

Ejercicio 2:

Para K = 2 el sistema

está en el límite de la

estabilidad, por tanto

el margen de

ganancia y el de fase

son nulos.

Ejercicio 2:

Para K = 10 el

sistema es inestable,

pues tanto el

margen de ganancia

como el de fase son

negativos.

Ejercicio 2:

Para K = 2 el

sistema está

en el límite de

la estabilidad.

Para K = 0.1

el sistema es

estable.

Para K = 10 el

sistema es

inestable.

Contenido

frecuencia.

temporal.

Relación de la respuesta frecuencial y temporal

Estudio del transitorio de la respuesta temporal:

Se va a estudiar la relación de respuesta en frecuencia con la

temporal para el caso de un sistema prototipo de segundo orden.

La correspondiente función de transferencia senoidal es:

Si el orden es superior a

dos, pero tiene dos polos

complejos conjugados

dominantes las relaciones

también son válidas.

Estudio del transitorio de la respuesta temporal

Operando en la expresión del módulo se obtiene el máximo, que

se producirá en la frecuencia de resonancia, y el valor del

máximo obtenido será el pico de resonancia. Los valores

calculados son:

Estas ecuaciones son validas para valores de la relación de

amortiguamiento 0 < x < 0.707

Observando las ecuaciones se puede deducir que:

a) El pico de resonancia Mr depende sólo del coeficiente x.

b) Si x 0 el pico de resonancia Mr ∞.

c) Cuando aumenta x el pico de resonancia Mr disminuye.

(cont.):

Operando, también se puede obtener la expresión analítica del

ancho de banda para un sistema de segundo orden que es:

y realizando una aproximación lineal de la misma, se obtiene

Observando las ecuaciones se puede deducir que:

a) De la que se puede deducir que el ancho de banda BW es

directamente proporcional a la frecuencia natural wn.

b) Para un valor de la frecuencia natural fijo, el ancho de banda

disminuye a medida que la relación de amortiguamiento xaumenta.

(cont.):

Aumentar la relación de amortiguamiento implica que tanto el

ancho de banda como el valor del pico de resonancia se hacen

más pequeños.

(cont.):

Estudio del estacionario de la respuesta temporal:

Considerando un sistema de control con realimentación unitaria,

las constantes estáticas de error de posición, velocidad y

aceleración describen el comportamiento de baja frecuencia de

los sistemas de tipo 0, tipo 1 y tipo 2, respectivamente.

Para un sistema definido, sólo es finita y significativa una de las

constantes de error estático.

El tipo de sistema determina la pendiente de la curva de

magnitud logarítmica en frecuencias bajas.

La existencia y la magnitud del error en

estado estacionario se determina a partir de

la observación en baja frecuencia de la

curva de magnitud logarítmica

Estudio del estacionario de la respuesta temporal

Para el caso de un sistema de tipo 0, la gráfica de la magnitud

G(jw) logarítmica en baja frecuencia es igual a Kp.

(cont.):

Para el caso de un sistema tipo 1, la intersección del segmento

inicial -20 dB/década (o su extensión) con la línea w = 1 tiene la

magnitud de 20 log Kv.

por tanto

También se puede comprobar que

donde w1 = 1 es la frecuencia a la que |G(jw)|=1.

(cont.):

Para el caso de un sistema tipo 1.

(cont.):

Para el caso de un sistema de tipo 2, dado que a bajas

frecuencias,

se deduce que

Además

donde wa = 1 es la frecuencia a la que |G(jw)|=1.

(cont.):

Para el caso de un sistema de tipo 2

(cont.):

Contenido

frecuencia.

temporal.

Determinación experimental de la función de transferencia

Identificación de sistemas:

Si es posible medir la razón de amplitudes E/S del sistema y el

cambio de fase para un número suficiente de frecuencias dentro

del rango de frecuencias de interés, se puede graficar por

puntos el diagrama Bode.

Posteriormente se puede determinar la función de transferencia

mediante aproximaciones asintóticas.

Identificación de sistemas (cont.):

Para el ajuste experimental es necesario el uso de generadores

de señales senoidales.

Los rangos de frecuencia necesarios para la prueba son,

aproximadamente, 0.001 - 10 Hz para sistemas con constantes

de tiempo grandes y 0.1 - 1000 Hz para sistemas con

constantes de tiempo pequeñas. Las frecuencias han de convertirse a

rad/s antes de calcular las constantes

de tiempo de cada polo o cero.

Consideraciones a tener en cuenta:

1. Por lo general es más fácil obtener mediciones precisas de

la amplitud que de la fase.

2. Los sistemas físicos tienen varios tipos de no linealidades.

Por tanto, es necesario considerar con cuidado la amplitud

de las señales senoidales de entrada:

– Si la amplitud de la señal de entrada es demasiado grande, el

sistema se saturará.

– En cambio, una señal pequeña provocará errores debidos a la

zona muerta.

Es necesario comprobar que la forma de la onda de la salida

sea senoidal y de que el sistema opere en su región lineal

durante el periodo de prueba.

La respuesta en

frecuencia producirá

resultados imprecisos

Pasos para identificar una función de transferencia

1. Determinar la pendiente para bajas frecuencias en la curva de

magnitud (número de polos en el origen).

2. Determinar la pendiente para altas frecuencias en la curva de

magnitud (diferencia del orden del polinomio del denominador y el

numerador (p-q)).

3. Determinar los ángulos en la curva de fases para bajas y altas

frecuencias (detecta si se trata de un sistema de fase mínima o no).

4. Determinar la ganancia de baja frecuencia (Kp, Kv ó Ka).

5. Detectar el número de frecuencias de cruce, su posición y dibujar las

asíntotas. Para los términos de segundo orden estimar la relación de

amortiguamiento.

6. Utilizar el diagrama de fases para en caso de tratarse de un retardo

de transporte y estimar la constante de tiempo del mismo.

7. Calcular la respuesta en frecuencia de la función de transferencia

estimada y compararla con las curvas experimentales iniciales.

8. Iterar y repetir el proceso para afinar la posición de los polos y ceros.

Ejemplo 1:

A partir del diagrama de Bode de la figura, determinar

experimentalmente la función de transferencia del sistema:

Ejemplo 1 (cont.):

Estimación de la pendiente inicial.

Pendiente inicial = -20 dB/década.

Un polo en el origen Tipo 1.

Ejemplo 1 (cont.):

Cálculo de la ganancia estática de un sistema de tipo 1.

15 dB = 20 log(Kv) Kv=5.62

Ejemplo 1 (cont.):

Aproximación asintótica de la curva de ganancia.

wc = 4 wc = 25 wc = 70

Ejemplo 1 (cont.):

Estimación de las caídas de dB/década para cada asíntota.

-20 dB / década

Ejemplo 1 (cont.):

-40 dB / década polo real

wc = 4

Ejemplo 1 (cont.):

-60 dB / década polo real

wc = 25

Ejemplo 1 (cont.):

Estimación de la pendiente final.

Pendiente final = -40 dB / década

cero real (p-q) = 2

wc = 70

Ejemplo 1 (cont.):

¿Es el sistema de fase mínima o no?

wc = 4 wc = 25 wc = 70

-90º (p-q) = -180º

Fase mínima

Ejemplo 1 (cont.):

Como resultado de la identificación del Ejemplo 1 se obtiene la

siguiente función de transferencia senoidal:

y la forma final haciendo el cambio jw=s sería:

Ejemplo 1 (cont.):

¿Es el sistema estable en bucle cerrado?

Mg = 19 dB

Mf = 40ºwcp = 13

wcg = 4

Ejemplo 2:

A partir del diagrama de Bode de la figura, determinar

experimentalmente la función de transferencia del sistema:

Ejemplo 2 (cont.):

Estimación de la pendiente inicial.

Pendiente inicial = 0 dB/década Tipo 0.

Ejemplo 2 (cont.):

Cálculo de la ganancia estática de un sistema de tipo 0.

20 dB = 20 log(Kp) Kp=10

Ejemplo 2 (cont.):

wc = 0.2 wc = 1 wc = 5

Ejemplo 2 (cont.):

-20 dB/décadaPolo real

wc = 0.2

Ejemplo 2 (cont.):

0 dB/década Cero real

wc = 1

Ejemplo 2 (cont.):

Pendiente final = -40 dB/década

Polo complejo conjugado (p-q) = 2

wc = 5

Ejemplo 2 (cont.):

¿Es el sistema de fase mínima o no?

wc = 0.2 wc = 1 wc = 5

-90º (p-q) = -180º

Fase mínima

Ejemplo 2 (cont.):

El valor del pico de la curva de magnitud en wn = 5.0 es

aproximadamente igual a 15 dB, por lo que mirando las curvas

de la figura se puede aproximar una relación de

amortiguamiento igual a ξ = 0.1.

Ejemplo 2 (cont.):

Como resultado de la identificación del Ejemplo 2, se obtiene la

siguiente función de transferencia senoidal:

y la forma final haciendo el cambio jw = s sería:

Determinación experimental de la función de transferencia.

Ejemplo 2 (cont.):

¿Es el sistema estable en bucle cerrado ?

Mg = ∞

Mf = 4º wcp = ?

wcg = 8.5

Contenido

frecuencia.

temporal.

Compensación en el dominio de la frecuencia

Introducción:

El cumplimiento de las especificaciones de funcionamiento de un

sistema conlleva habitualmente el diseño de sistemas de

compensación o control.

La técnica de compensación permite la modificación de la dinámica

del sistema en bucle cerrado con objeto de cumplir dichas

especificaciones, las cuales vienen dadas por requerimientos de

precisión, estabilidad relativa y velocidad de respuesta.

Las especificaciones pueden venir dadas en el dominio del tiempo

(tr, SO, ts,…) o en el dominio de la frecuencia (Mp, Mg, Mr, BW,…).

Compensación:

En general, la función de transferencia del compensador vendrá

dado por una ganancia, ceros y polos cuyas localizaciones

permitan el cumplimiento simultáneo de las especificaciones de

respuesta, que para el caso continuo será

Compensación (cont.):1. En general, se realizará en primer lugar el ajuste de la ganancia

proporcional, lo cual no siempre basta para cumplir el conjunto de

especificaciones.

Un aumento de ganancia produce mejora en la precisión, aumento

en la velocidad de respuesta, pero perjudica la estabilidad relativa

(incluso puede hacer inestable al sistema).

2. Una vez modificada la ganancia se añaden polos y ceros hasta el

cumplimiento de la especificaciones. Particularizando el

procedimiento de compensación en el dominio de la frecuencia, en

tiempo continuo se pueden distinguir 3 tipos:

• Compensador de Adelanto

• Compensador de Atraso

• Compensador Mixto

(Atraso-Adelanto)

TsKsG cc

)1()1()(

sTsTKsG cc

Compensación proporcional:

La compensación proporcional conlleva el uso de Gc(s) = Kc, lo

cual dada la configuración en serie del sistema de control

supone el añadir un término ganancia en 20log(Kc) dB en la

curva de magnitud de la planta Gp(s) y ninguna modificación en

la curva de fase o ángulo.

En general, se produce un mejora en la constantes de error

estático Kp, Kv o Ka (siempre y cuando no sean de valor infinito),

mientras que aumentará la frecuencia de cruce de ganancia y

con ello la velocidad de respuesta, mientras que se reducirán en

general el margen de fase y de ganancia, reduciéndose con ello

la estabilidad relativa.

Ejercicio:

En la figura se muestra un sistema realimentado donde aparece

un parámetro que es la ganancia K. Se pide:

a) Determinar la K crítica (Kc) del sistema y

b) Hallar el rango de K válido que permite obtener un Mp > 75º y

un Mg > 25 dB.

Ejercicio (cont.):

Para determinar la Kc se trazará el diagrama de Bode de bucle

abierto del sistema realimentado.

Phase (

Magnitu

)Bode Diagram

Gm = 6.02 dB (at 1 rad/sec) , Pm = 21.4 deg (at 0.682 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

6.02 dB = 20log(Kc) Kc = 2

K < 2 (sistema estable)

Ejercicio (cont.):

Se comprobará si el sistema está en el límite de la estabilidad

para K = Kc observando la respuesta ante entrada escalón

unitario del sistema realimentado para este valor de K.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Step Response

Time (seconds)

Límite de la

estabilidad

Phase (

Magnitu

)Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Ejercicio (cont.):

Se determina la K para Mg > 25 dB.

(6.02-25) dB = 20log(Klim) K < 0.11= Klim

Klim = 0.11 < 2 = Kc

Mg=6.02 dB

Ejercicio (cont.):

Se comprueba si para 0 < K < 0.11 el Mg > 25 dB determinando

el valor del Mg para el sistema realimentado con K = Klim = 0.11.

Magnitu

Phase (

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Ejercicio (cont.):

Por último, se comprueba si para 0 < K < 0.11 el Mf > 75º

determinando el valor del Mf para el sistema realimentado con

K = Klim = 0.11.

SI K < 0.11

Magnitu

Phase (

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

ca Automática

2º Curso del Grado en

Ingeniería en Tecnología Industrial

Tema 5. Análisis de la Respuesta Frecuencial de Sistemas...

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