Post on 06-Nov-2015
description
Tema 2. Topoloxa en Rn.
Departamento de Matemticas
Escola Politcnica Superior
Curso 2013/2014
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Index
1
Xeometra en R3
2
Coordenadas
3
Topoloxa en Rn
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Index
1
Xeometra en R3
2
Coordenadas
3
Topoloxa en Rn
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Vectores no espacio R3
O espacio R3
Os vectores de R3 son ternas (v1
, v2
, v3
) onde v1
, v2
, v3
R.Temos das operacins:
A suma de vectores:
(v1
, v2
, v3
) + (w1
,w2
,w3
) = (v1
+ w1
, v2
+ w2
, v3
+ w3
),
A multiplicacin por escalares:
(v1
, v2
, v3
) = (v1
, v2
, v3
), R.
Propiedades da suma de vectores:
asociativa,
existe elemento neutro: (0, 0, 0),
todo vector ten oposto: o oposto
de (v1
, v2
, v3
) (v1
,v2
,v3
),
conmutativa.
(R3,+) un grupo abeliano.
Propiedades do produto por escalares:
((v1
, v2
, v3
) + (w1
,w2
,w3
)) =(v1
, v2
, v3
) + (w1
,w2
,w3
)
( + )(v1
, v2
, v3
) =(v1
, v2
, v3
) + (v1
, v2
, v3
)
()(v1
, v2
, v3
) = ((v1
, v2
, v3
))
1(v1
, v2
, v3
) = (v1
, v2
, v3
)
(R3,+, R) un espacio vectorial.Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Correspondencia xeomtrica
Identicacin xeomtrica
Identicamos os vectores con segmentos de recta orientados, dicir, con
segmentos de recta cunha frecha no seu extremo.
Propiedades:
Se un vector ten a sa base na orixe, entn as coordenadas do seu
extremo son as sas compoentes.
A suma e a multiplicacin por escalares xeomtricas correspndense coas
mesmas operacins alxbricas.
O vector que une os puntos (x , y , z) e (x , y , z ) represntase polosegmento que une eses puntos e ten coordenadas
(x x , y y , z z ).
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Xeometra en R3
Os vectores smanse pola regra do paralelogramo:
A multiplicacin por un escalar estira ou encolle o vector pola medida do
escalar e cambia o sentido do vector se o escalar negativo:
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Os vectores i , j , k
Introducimos os vectores i , j e k nas direccins dos eixes coordenados:
i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)Estes vectores permiten escribir calquera vector v = (v1
, v2
, v3
) de R3 da formav = v1
i + v2
j + v3
k.
Exemplo: representamos
o vector (2, 3, 2)
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Ecuacins paramtricas da recta
A ecuacin da recta a travs do punto a e na direccin do vector v :
r(t) = a+ t v .
As ecuacins da recta a travs dos puntos (a1
, b1
, c1
) e (a2
, b2
, c2
) son:
x = a1
+ t(a2
a1
)
y = b1
+ t(b2
b1
)
z = c1
+ t(c2
c1
)
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Ecuacin paramtrica do plano
O plano a travs da orixe que contn aos vectores v e w est formado polos
puntos da forma
(x , y , z) = s v + t w ,
onde s e t son parmetros que percorren os nmeros reais.
Se o plano non pasa pola orixe e pasa polo punto a, entn calquera punto do
plano da forma
(x , y , z) = a+ s v + t w ,
onde s e t son parmetros que percorren os nmeros reais.
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Produto escalar de vectores
Denicin
O produto escalar dos vectores v = (v1
, v2
, v3
) e w = (w1
,w2
,w3
) defnese por:
v w = v1
w
1
+ v2
w
2
+ v3
w
3
.
O produto escalar chmase as porque o resultado do produto un escalar,
dicir, un nmero real.
Propiedades: Para vectores u, v ,w e un nmero real cmprese:
v w = w v(u + v) w = u w + v w(v) w = v w
Dous vectores v e w son perpendiculares ou ortogonais se v w = 0.
Exemplo: os vectores (1,2, 3) e (5, 1,1) son perpendiculares, xa que(1,2, 3) (5, 1,1) = 0.
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Norma dun vector
Denicin
A lonxitude ou norma dun vector v :
v = v v =v
2
1
+ v22
+ v23
.
Propiedades:
A norma dun vector sempre positiva ou cero: v 0. Ademais, sev = 0 entn v = (0, 0, 0).v = || vVectores unitarios:
Un vector v dise que unitario se v = 1.Para normalizar un vector v 6= (0, 0, 0) constrese o vector unitario vvDepartamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Distancias e ngulos
Distancia:
A norma dos vectores permtenos medir a distancia entre dous puntos de R3:
a distancia entre os puntos P e Q vn dada pola norma do vector que
une P e Q:
PQ.ngulos:
A seguinte relacin permtenos calcular o ngulo que forman dous vectores
usando a sa norma e produto escalar:
Teorema
Sexan v e w dous vectores no espazo e sexa o ngulo entre eles. Entn:
v w = v w cos , 0 pi.
Desigualdade triangular
Para calesquera dous vectores v e w cmprese:
v + w v+ w
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Produto vectorial
Denicin
O produto vectorial entre dous vectores v = (v1
, v2
, v3
) e w = (w1
,w2
,w3
) ovector dado por:
v w = det(v
2
v
3
w
2
w
3
)i det
(v
1
v
3
w
1
w
3
)j + det
(v
1
v
2
w
1
w
2
)k.
Ou, simblicamente
v w = det
i j k
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
.
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Propiedades do produto vectorial
O produto vectorial de v e w perpendicular a v e a w e est orientado
segundo a lei da man dereita.
Propiedades
v w = 0 v = 0 ou w = 0 ou v ew son paralelos.
v w = w v .v (w + u) = (v w) + (v u).(v) w = (v w).
Teorema
Sexan v e w dous vectores no espazo e sexa o ngulo entre eles. Entn:
v w = v w sen .Esta cantidade representa a rea do paralelogramo enxendrado por v e w .
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3
Ecuacin do plano
Ecuacin do plano:
Se un plano contn o punto P
0
= (x0
, y0
, z0
) e n = (A,B,C) un vector
normal plano, entn un punto P = (x , y , z) estar no plano seP
0
P n = 0,de onde se deduce a ecuacin do plano
A(x x0
) + B(y y0
) + C(z z0
) = 0,
ou, escribindo D = Ax0
By0
Cz0
,
Ax + By + Cz + D = 0.
Distancia de un punto a un plano:
Para calcular a distanci do punto E = (x1
, y1
, z1
) plano anterior, proxectamos
o vector v =P
0
E sobre o vector normal n e calculamos a sa lonxitude:
|v n| = |A(x1 x0) + B(y1 y0) + C(z1 z0)|A
2 + B2 + C 2,
ou |Ax1
+ By1
+ Cz1
+ D|A
2 + B2 + C 2
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Coordenadas
Index
1
Xeometra en R3
2
Coordenadas
3
Topoloxa en Rn
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Coordenadas
Coordenadas polares e cilndricas
Coordenadas polares
As coordenadas polares (r , ) dun punto (x , y) no plano estn dadas por:
x = r cos , y = r sen .
Coordenadas cilndricas
As coordenadas cilndricas (r , , z) dun punto (x , y , z) no espazo son:
x = r cos , y = r sen , z = z .
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Coordenadas
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Coordenadas
Coordenadas esfricas
Coordenadas esfricas
As coordenas esfricas (, , ) dun punto (x , y , z) do espazo estn dadas por:
x = sen cos , y = sen sen , z = cos.
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Coordenadas
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Topoloxa en Rn
Index
1
Xeometra en R3
2
Coordenadas
3
Topoloxa en Rn
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Topoloxa en Rn
Topoloxa en R: intervalos
Denicin
Sexan a, b R.Defnese o intervalo aberto (a, b) como o subconxunto de R dado por:
(a, b) := {x R : a < x < b}
Defnese o intervalo pechado [a, b] como o subconxunto de R dado por:
[a, b] := {x R : a x b}
Defnense os intervalos (a,) e (, a) como(a,) := {x R : a < x}, (, a) := {x R : x < a}
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Topoloxa en Rn
Topoloxa en R
Cotas de A Ra unha cota superior de A se a x para todo x A.a unha cota inferior de A se a x para todo x A.Un conxunto dise acotado se ten unha cota superior e unha cota inferior.
Mximo e mnimo de A RO mximo de A (max(A)) un punto x A tal que x y para todoy A.O mnimo de A (min(A)) un punto x A tal que x y para todoy A.
Supremo e nmo de A RO supremo de A (sup(A)) a menor das cotas superiores, dicir, omenor punto x R tal que x y para todo y A.O nmo de A (inf (A)) a maior das cotas inferiores, dicir, o maiorpunto x R tal que x y para todo y A.Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Topoloxa en Rn
Topoloxa de Rn: bolas abertas.
Denicin
Sexa x
0
Rn e r > 0. Denimos a bola aberta de centro x0
e radio r como o
conxunto:
B
r
(x0
) := {x Rn : x x0
< r}
Exemplos:
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Topoloxa en Rn
Topoloxa de Rn: clasicacin de puntos
Clasicacin de puntos
Sexa A un subconxunto de Rn (A Rn) e x0
Rn.x
0
un punto interior se existe r > 0 tal que Br
(x0
) A.x
0
un punto adherente se para todo r > 0 se cumpre Br
(x0
) A 6= .x
0
un punto fronteira se para todo r > 0 se cumpre Br
(x0
) A 6= eB
r
(x0
) (Rn\A) 6= .
Notacin:
conxunto de puntos interiores de A chammolo o interior de A e
denotmolo por A
,
conxunto de puntos adherentes de A chammolo a adherencia de A e
denotmolo por A,
conxunto de puntos fronteira de A chammolo fronteira de A e
denotmolo por Fr(A).
Temos as seguintes relacins:
A
A A,A = A Fr(A) = A Fr(A), A = A\Fr(A) = A\Fr(A).Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Topoloxa en Rn
Topoloxa en Rn: conxuntos abertos
Conxuntos abertos
Un conxunto A Rn aberto se tdolos seus puntos son interiores, dicir, separa todo punto x
0
A existe r > 0 tal que Br
(x0
) A.Exemplos:
Os intervalos abertos son conxuntos abertos de R.As bolas abertas son conxuntos abertos de Rn.O conxunto baleiro e o total Rn son conxuntos abertos.Un entorno dun punto x Rn un conxunto aberto que contn a x .
Propiedades:
A unin dunha coleccin arbitraria de conxuntos abertos un aberto.
A interseccin dun nmero nito de conxuntos abertos un aberto.
Un conxunto A Rn aberto se e s se A = A. En particular, o interiordun conxunto sempre aberto.
Sexa A Rn. O interior de A a unin de tdolos conxuntos abertoscontidos en A.
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Topoloxa en Rn
Topoloxa en Rn: conxuntos pechados
Conxuntos pechados
Un conxunto B Rn pechado se o seu complementario Rn\B un conxuntoaberto.
Exemplos:
Os intervalos pechados son conxuntos pechados de R.O complementario dunha bola aberta un conxunto pechado de Rn.O conxunto baleiro e o total Rn son conxuntos pechados.
Propiedades:
A unin dun nmero nito de conxuntos pechados un pechado.
A interseccin dunha familia arbitraria de conxuntos pechados un
pechado.
Un conxunto B Rn pechado se e s se B = B. En particular aadherencia dun conxunto sempre un pechado.
Sexa B Rn. A adherencia de B a interseccin de todos os conxuntospechados que conteen a B.
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Topoloxa en Rn
Conxuntos acotados e compactos
Conxuntos acotados
Dicimos que un conxunto A Rn est acotado se existe un radio r > 0 e unpunto x
0
tal que A Br
(x0
).
Exemplos:
Unha bla aberta B
s
(y0
) est acotada.
Un plano non est acotado.
Conxuntos compactos
Dicimos que un conxunto A Rn compacto se pechado e acotado.
Exemplos:
Un intervalo pechado un compacto.
A adherencia dunha bla aberta B
r
(x0
) un compacto.
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Topoloxa en Rn
Tema 2. Topoloxa en Rn.
Departamento de Matemticas
Escola Politcnica Superior
Curso 2013/2014
Departamento de Matemticas Tema 2. Topoloxa en Rn .
Xeometra en R3CoordenadasTopoloxa en Rn