Post on 15-Apr-2017
Teoremas de Energía (Teorema de Castigliano)
Cálculo de Deformaciones en Sistemas no Hipostáticos
Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Consideremos una estructura, no hipostática (mecanismo sin movimientos)
IntroducciónConsideremos un sistema de cargas actuando sobre la misma para los cuales, las tensiones y deformaciones estén dentro del régimen elástico. Dichas fuerzas las indicamos con P1 ..... Pj ..... Pn (sistema de fuerzas externas y reacciones de vínculo en equilibrio).
Al actuar las fuerzas creciendo desde cero a su valor final, el cuerpo de deforma y los puntos de aplicación de las mismas se desplazan.
Por ejemplo el punto, 2 pasa a ocupar la posición 2', por lo que cada fuerza realizará un trabajo elástico de valor:
PTe 21
Siendo δ la proyección del desplazamiento Δ sobre la recta de acción de la fuerza.
El trabajo total, debido a todas las fuerzas vale:
Introducción
n
jjje PT
1 211
energía elástica acumulada por el sistema
Si la fuerza Pj, varía en dPj, el trabajo valdrá: jj
ee dP
PTT
variación del trabajo total cuando Pj varía en la unidad
Consideramos ahora que primero se aplique dPj y luego el sistema P1 a Pn. El trabajo total, en este caso resulta:
ejjjj TdPddP 212
trabajo elástico de dPj al aplicar dicha fuerza creciendo desde cero a su valor final
trabajo físico de dPj debido al desplazamiento del sistema P1 a Pn al crecer desde cero a sus valores finales
trabajo elástico del sistema P1 a Pn
Como los estados finales, de los casos (1) y (2) son iguales, debe cumplirse:
Introducción
ejjjjjj
ee TdPddPdP
PTT
21
jjjj
e dPdPPT
j
ej P
T
Se desprecia por ser un diferencial de orden superior
Como el trabajo externo que realiza el sistema de fuerzas P1 a Pn se acumula como energía interna elástica, podemos escribir:
j
i
j
ej P
TPT
"En todo sistema elástico, sometido a un sistema de fuerzas en equilibrio, la variación del trabajo interno para un incremento unitario de la fuerza aplicada en un punto cualquiera del
mismo, representa el desplazamiento del punto proyectado en la dirección de la fuerza, siempre
que el sistema se encuentre en el régimen elástico."
Desarrollemos la expresión del trabajo interno Ti:
IntroducciónDado que los esfuerzos internos están representados por tensiones y las deformaciones por deformaciones específicas, el trabajo interno por unidad de volumen estará expresado de la siguiente manera:
21
21*
iT y por la Ley de Hooke resulta:GE
Ti22
*
21
21
Para obtener el trabajo interno de deformación debemos integrar la expresión en el volumen:
dxdAG
dxdAE
dVTTV ii
22*
21
21
Pero:
IntroducciónLas tensiones normales son producidas por momentos y esfuerzos axiles (M y N), y las tensiones tangenciales por los esfuerzos de corte (Q):
AQ
bJSQ x
0
yJM
AN
y reemplazando:
dxdAAQ
GdxdAy
JM
EdxdAy
JM
AN
EdxdA
AN
ETi 2
222
2
2
2
2
21
211
21
A
dAA
2
A
AdA AdAy 0
AJdAy2donde:
(área) (momento estático de toda la sección)
(momento de inercia de toda la sección)
(coeficiente de forma con: )
por lo tanto:
dxGAQdx
EJMdx
EANTi
222
21
21
21
0bJASx
Apliquemos el Teorema de Castigliano:
Introducciónj
i
j
ej P
TPT
GAdx
PQQ
EJdx
PMM
EAdx
PNN
PT
jjjj
ij
Por lo tanto, resulta:
En adelante y por razones de simplicidad en las expresiones tomaremos solo el trabajo del término debido a los momentos flexores M. Esto equivaler a despreciar los trabajos y por lo tanto las deformaciones debidas a N y Q lo cual es bastante común y aceptable para sistemas de alma llena sometidos a flexión.
EJdx
PMM
PT
jj
ij
Concluimos que, el Teorema de Castigliano:
IntroducciónNos sirve para el cálculo de deflexiones y pendientes en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.
Nos sirve para el cálculo de deflexiones y pendientes en cualquier punto de una viga.
Está diseñado para aplicarlo en vigas que están solicitadas por más de una carga puntual en donde utilizando la derivada parcial de la energía de deformación se pueden calcular las deflexiones y los ángulos de giro.
También se utiliza para calcular la deformación de armaduras en donde la carga P no es considerada como una carga numérica sino como una variable.
Este teorema tiene también un parecido al método del trabajo virtual.
Veamos el siguiente problema:
Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con un momento aplicado en el extremo libre B. Nos planteamos calcular el desplazamiento vertical de C (punto medio de AB).
Datos: longitud de la viga (L) y momento flexor aplicado (M)
Problema de Aplicación (1)
Definamos una fuerza
infinitesimal F…
Problema de Aplicación (1)
… aplicada en C, en la dirección en que se quiere calcular el desplazamiento…
… y grafiquemos los diagramas de momentos flexores del par aplicado (M) y de la fuerza infinitesimal (F):
Aplicando el Teorema de Castigliano
resulta:
Problema de Aplicación (1)
L x
xi
C dxFMM
EJFT
0
1
2;0
0;2
;
2
2
0
2
20
LxdFdM
dFdM
FLxFMMMM
L
L
x
L
x
LLx
L
x
en donde:
L
L
L
L
L
L
L
C dxLMdxxMEJ
dxLxMdxMEJ 2 22
2
0 21
201
4831
22421 2
22
2 LMMLEJ
LLMLLMEJC
EJML
C 8
2
y reemplazando:
Veamos el siguiente problema:
Sea una viga en voladizo, empotrada en A y con una carga aplicada en el extremo libre B. Nos planteamos calcular el giro de la sección C (punto medio de AB).
Datos: longitud de la viga (L) y carga aplicada (P)
Problema de Aplicación (2)
Definamos un momento
infinitesimal m…
Problema de Aplicación (2)
… aplicado en C, en la sentido en que se quiere calcular el giro…
… y grafiquemos los diagramas de momentos flexores del par aplicado (M) y del momento infinitesimal (m):
Aplicando el Teorema de Castigliano
resulta:
Problema de Aplicación (2)
L x
xi
C dxFMM
EJFT
0
1 en donde:
y reemplazando:
1;0
0;;
2
2
0
2
20
L
L
x
L
x
LLx
L
x
dmdM
dmdM
mxPmMxPM
42
11101 22
2
2
0
LLPEJ
dxxPdxxPEJ
L
L
L
C
EJPL
C 83 2
Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko
Muchas Gracias