Teoría de errores yTeoría de errores y presentación de...

Teoría de errores yTeoría de errores y presentación de resultados

Campos Electromagnéticos2º Ingeniería Telecomunicación2 Ingeniería Telecomunicación

Curso 2009/2010Dpto. Física Aplicada III Dpto. Física Aplicada III Universidad de SevillaUniversidad de Sevilla

11/45/45

ÍndiceÍndice Unidades Cifras significativas

E l did Error en la medida Expresión de una magnitud con su errorp g

Regla de redondeo

Cálculo de erroresCálculo de errores Medida directa Medida indirecta Medida indirecta

Rectas de mejor ajuste

Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada IIIUniversidad de SevillaUniversidad de Sevilla

22/45/45

Unidades Se recomienda siempre el Sistema

Internacional (SI):Internacional (SI): m, s, kg, A, C, V, Ω, Hz, H, F, T...

Los prefijos pueden usarse con moderación en los resultados finalesmoderación en los resultados finales pF, mA, kHz,... SÍ

V/ A kΩ 1 NO mV/mA, kΩ·μs, μs-1,... NO

Todas las cantidades con dimensiones deben ir acompañadas de sus unidades

de sus unidades33/45/45

Cifras significativasCifras significativas

ú Número de cifras de un dato

Ejemplos:

Cifras significativasDato

Ejemplos:

3318 kg412.45 V

423 30 J30.0321 A

Ambiguo45000 m423.30 J

44/45/45

Error en la medidaError en la medidaMejor llamarlo incertidumbre

Tipos de error (según la causa)á l bl

Sistemático eliminable si se conoce Aleatorio bandas de error

Expresión del error: x ± Ex

Ej: V = 3 2±0 3 VEj: V0 3.2±0.3 VForma compacta: V0=3.2(3) V

El b l i id d El error absoluto tiene unidades Error relativo: εx= Ex/x (¡Adimensional!)Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada III

Universidad de SevillaUniversidad de Sevilla55/45/45

Expresión de la cantidadcon su error

La banda de error limita el número de cifras significativas:g

U = 2.32865±0.312689 JSi l lt d i i t i Si el resultado es incierto en su primera cifra decimal no tiene sentido dar más

U = 2.3±0.312689 J Las primeras cifras del error nos dicen Las primeras cifras del error nos dicen

donde está la incertidumbre

66/45/45

Reglas de redondeog1. Se escriben cantidad y error con todas sus cifras:

2. Se examinan las dos primeras cifras del error: ¿Son ≤25?

R R = 2.83256 = 2.83256 ±± 0.086210.08621ΩΩ

¿Son ≤25? Si: se retienen ambas y se redondea No: se retiene la primera y se redondeaNo: se retiene la primera y se redondea

3. Se toman las cifras significativas que marca el R R = 2.83256 = 2.83256 ±± 0.09 0.09 ΩΩ

error y se redondeaR R = 2.83 = 2.83 ±± 0.09 0.09 ΩΩ

R d d f t l últi if t idRedondeo: afecta a la última cifra retenida• Si la siguiente cifra es <5: se mantiene• Si la cifra siguiente es ≥5: se incrementa una unidad

Si la cifra siguiente es ≥5: se incrementa una unidad77/45/45

Reglas de redondeoReglas de redondeo1 Se escriben la cantidad y su error1. Se escriben la cantidad y su error

con todas sus cifras:

I = 2.30408415 ± 0.002156 AI 2 30408415 ± 0 03674 AI = 2.30408415 ± 0.03674 AI = 2.30408415 ± 0.2036 AI = 2.30408415 ± 2.87 AI = 2.30408415 ± 234 AI = 2.30408415 ± 0.00962 AI = 2.30408415 ± 0.257 A

88/45/45

Reglas de redondeog2. Se examinan las dos primeras cifras

del error: ¿Son ≤25?del error: ¿Son ≤25? Si: se retienen ambas y se redondea

N ti l i d d No: se retiene la primera y se redondea

I = 2.30408415 ± 0.002156 A 0.0022 A0.0022 A

I = 2.30408415 ± 0.2036 AI = 2.30408415 ± 0.03674 A 0.04 A0.04 A

0.20 A0.20 A

I = 2.30408415 ± 234 AI = 2.30408415 ± 2.87 A 3 A3 A

230 A230 AI = 2.30408415 ± 0.00962 AI = 2 30408415 ± 0 257 A

230 A230 A

0 3 A0 3 A0.010 A0.010 A

I 2.30408415 ± 0.257 A 0.3 A0.3 A99/45/45

Reglas de redondeog

3. Se toman las cifras significativas gque marca el error y se redondea

I = 2.30 ± 0.04 AI = 2.3041 ± 0.0022 A

I = 2.30408415 ± 0.04 AI = 2.30408415 ± 0.0022 A

I = 2 ± 3 AI = 2.30 ± 0.20 A

I = 2.30408415 ± 3 AI = 2.30408415 ± 0.20 A

I = 2 304 ± 0 010 AI = 0 ± 230 A

I = 2 30408415 ± 0 010 AI = 002.30408415 ± 230 A

I 2.304 ± 0.010 AI = 2.3 ± 0.3 A

I 2.30408415 ± 0.010 AI = 2.30408415 ± 0.3 A

1010/45/45

Reglas de redondeog

4. Resumiendo...4. Resumiendo...

I = 2.30408415 ± 0.002156A I = 2.3041(22)AI = 2.3041 ± 0.0022A

I = 2.30408415 ± 0.2036AI = 2.30408415 ± 0.03674A

I = 2.3(2)AI = 2.3 ± 0.2AI = 2.30(4)AI = 2.30 ± 0.04A

I = 2 30408415 ± 234AI = 2.30408415 ± 2.87AI 2.30408415 0.2036A

I = 0(230)AI = 0 ± 230AI = 2(3)AI = 2 ± 3AI 2.3(2)AI 2.3 0.2A

I = 2.30408415 ± 0.00962AI = 2.30408415 ± 234A

I = 2.304(10)AI = 2.304 ± 0.010AI = 0(230)AI = 0 ± 230A

I = 2.30408415 ± 0.257A I = 2.3(3)AI = 2.3 ± 0.3A

1111/45/45

Cálculo de erroresCálculo de errores

Estudiaremos diferentes casos: Medida directa Medida directa Una sola medida

V i did Varias medidas

Medida indirecta Función de una sola variable: z = f(x) Función de varias variables: z = f(x y ) Función de varias variables: z = f(x,y,…)

1212/45/45

Error de una medida directaError de una medida directa El error depende de la precisión del p p

aparato (mínimo incremento entre medidas)medidas) Aparatos analógicos (respuesta continua):

se toma como error la mitad de la

Aparatos digitales (respuesta discreta): se

se toma como error la mitad de la precisión. Aparatos digitales (respuesta discreta): se

toma como error la propia precisión. Excepción en el redondeo: 0 1 en vez de 0 10 Excepción en el redondeo: 0.1 en vez de 0.10

Si ha de enrasarse por dos extremos: doble error

doble error1313/45/45

Ejemplos de medidas directasEjemplos de medidas directas Un amperímetro Cursor de un Un amperímetro

analógico Cursor de un

osciloscopio3 4 1

3.6±0.1

Lectura directa:

0.8±0.1V

Cursor de un Amplitud pico a pico

3.2±0.1 3.8±0.10

Cursor de un osciloscopio

Amplitud pico a pico con dos cursores

1Al mover el cursor

1 Directa:1 6±0 2Vel display indica

0.72, 0.76, 0.80:

0 76±0 04 V

1.6±0.2V

Display:1 52±0 08V

0 0.76±0.04 V-1

1.52±0.08V1414/45/45

Error de varias medidas directasError de varias medidas directas Se realizan si existe una incertidumbre no

achacable al aparato de medida:

1 2 3, , ,..., nx x x x Medidas:

1 2 3, , , , n Medidas: Resultado: media aritmética

Error: doble de la desviación cuadrática media de la media de los datos

Si Ex es menor que el errord l i t t d did

2( )iix x del instrumento de medida,

se escoge este último

( )2 2

( 1)ii

x xEn n

1515/45/45

Error de varias medidas directasError de varias medidas directas

Error: cantidades relacionadas σn : desviación estándar 2( )n

de la población (xσn enlas calculadoras)

2( )iin

σn-1 : desviación estándarde la muestra (xσn 1 en

( )iin

x x de la muestra (xσn-1 en

las calculadoras)

1 1n n

1n n1616/45/45

Error de una medida indirectaFunción de una variable

Suponemos: Resultado:

0 con ( )xx x E z f x ( )z f x z f(x)

Resultado:

0 0( )z f xz0 df/dx

Error:0

Ejemplo: sección de un cable:20

4Error de la medida: 0

2s D DDSE E E

1717/45/45

Error de una medida indirectaFunción de una variable

Algunos casos sencillos: Una variable proporcional a otra:

y Kx y x xyE E KEx

Función exponencial:0xx

x E Logaritmo:

xy ae xy x xE ae E yE y xE

Logaritmo:

lny x xy

y xE Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada III

Universidad de SevillaUniversidad de Sevilla

x1818/45/45

Error de una medida indirectaFunción de varias variables

Suponemos:

0 0 0 ; ; x y wx x E y y E w w E ( , , )z f x y w

0 0 0; ;x y wy y 0 0 0 0, ,z f x y w Resultado:

22 2f f f

Error:2 2

2 2 2z x y w

f f fE E E Ex y w

0 00x wyx y w

Válido si las variables son independientesCurso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada III

p1919/45/45

Ejemplos de erroresEjemplos de errores Suma o diferenciaSuma o diferencia

z x y 2 2z x yE E E z x y

Producto o cocientex yzu v

ln ln ln ln lnz x y u v

u v2 2 2 2

z x y u v Estimación: el error relativo de z es del orden del mayor de los errores relativos de sus argumentos

mayor de los errores relativos de sus argumentos2020/45/45

Unidades y erroresUnidades y errores Todos los datos deben ir acompañados de

sus errores, si se conocen, y de susunidades.

Serie de medidas consecutivas17(1) mm – 15(1) mm – 12(1) mm – 8(1) mm

17 – 15 – 12 – 8 ( ±1mm) Tablas:

I(±0.1mA) V(±0.1V)

1.0 2.1

I(mA) V(V)

1.0(1) 2.1(1)

I V(V)

1.03(1) mA 2.1(1)

2.0 4.3

3.2 6.2

2.0(3) 4.3(1)

3.2(2) 6.2(2)

870(1) μA 1.8(1)

640(1) μA 1.3(2)

2121/45/45

Rectas de mejor ajustej j Estudio de la dependencia (lineal) de una variable

con otra Permite:

Verificar relación lineal Determinar una magnitud de forma indirecta

con otra. Permite:

de forma indirectaV

Ajustar una función noI

Interpolación o extrapolación

Ajustar una función no lineal en una región restringidag

I I 2222/45/45

Gráfica de los datosGráfica de los datos

áV(±0.1mV) I(±0.1mA)

Paso 1: gráfica de los datos Permite verificar relación

1.0 2.8

2.0 6.2

2.9 9.1lineal.

Permite eliminar puntos ó

3.9 12.5

5.0 14.7

6 1 18 1 erróneos.6.1 18.1

7.0 21.0

8.2 24.2

9.0 26.5

10.2 30.0

11 1 33 511.1 33.5

11.9 35.9

2323/45/45

Gráfica de los datosGráfica de los datosV(±0.1mV) I(±0.1mA)

V frente a I

1.0 2.8

2.0 6.2

2 9 9 1

122.9 9.1

3.9 12.5

5.0 14.7

V)6.1 18.1

7.0 21.0

8 2 24 2

28.2 24.2

9.0 26.5

10.2 30.00 5 10 15 20 25 30 35 40

I(mA)11.1 33.5

11.9 35.9

2424/45/45

Gráfica de los datosGráfica de los datos Marcar

V frente a I

Marcar claramente datos experimentales (aspas si se

(aspas si se representan a mano)

No señalar

mV) No señalar

datos experimentales en los ejes

2 Magnitudes y

unidades en los ejesD b 0 5 10 15 20 25 30 35 40

I(mA) Debe ocupar

toda la página

2525/45/45

Gráfica de los datosGráfica de los datos Marcar

V frente a I

Marcar claramente datos experimentales (aspas si se

) 12141618

(aspas si se representan a mano)

No señalar

V) No señalar datos experimentales en los ejes

0 10 20 30 40 50

Magnitudes y unidades en los ejesD b 0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 10 20 30 40 50

I(mA) Debe ocupar

toda la página

2626/45/45

Coeficiente de correlaciónCoeficiente de correlación Paso 2: Obtención del coeficiente de

correlación (r) Es una medida del grado de alineacióng r (-1,1)

r ≈ 0 r ≈ 1 r ≈ -1r > 0

Redondeo: hasta la primera cifra distinta de 9.

No tiene error No tiene unidades

Ejemplos r = 0.999678 r = 0.9996r 0 99128 r 0 991 r = 1 099678 ERRÓNEO

cifra distinta de 9.No tiene unidades

r = -0.99128 r = -0.991 r = 1.099678 ERRÓNEO2727/45/45

Pendiente y ordenada en el origen

ó Paso 3: Obtención de pendiente y ordenada en el origen: y = a+bx Tienen unidades que hay que especificar Tienen error: hay que redondear

a y b lo dan lascalculadoras

22 12b

b rEr N

a b xE E x ( )x nx

r = 0.99934675 r = 0.9993

b = 0.3366870 Ω b = R = 0 337 ± 0 008 Ω

Ejemplo:

V=a+bIEb =0.00770058 Ωa = -0.05442597 mVE 0 17030002 V

b = R = 0.337 ± 0.008 Ω

a = -0.05 ± 0.17 mV

V a+bI

Ea = 0.17030002 mV2828/45/45

Trazado de la rectaTrazado de la recta

Paso 4: Trazado de la recta de mejor ajuste sobre la gráficaj g Se realiza a partir de dos puntos Estos puntos NO SE REPRESENTAN Estos puntos NO SE REPRESENTAN Debe observarse si, efectivamente, es la

t d j j trecta de mejor ajuste

2929/45/45

Trazado de la rectaTrazado de la rectaV frente a I

V frente a I

00 10 20 30 40

3030/45/45

Rectas exponenciales: cálculoRectas exponenciales: cálculo En muchas situaciones prácticas p

aparecen funciones de la formaebxz K

Se transforman en rectas tomando l i

logaritmos ln lny z K bx a bx

a y b se hallan de la forma usual y

El factor K se halla eaK K a a

KE E KE

Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada III

K a aa3131/45/45

Rectas l

exponenciales: representación 0

Puede hacerse la gráfica de

la gráfica de y=ln(z) frente a x -1.5

a x.-2

0 2 4 6 8 10

t(µs)

3232/45/45

Rectas l

exponenciales: representaciónp

Empleando papel semi

papel semi-logarítmico pueden

pueden ponerse directamente

directamente las magnitudes

0 2 4 6 8 10

t(µs)

¡Ojo! Se emplean logaritmos decimales

3333/45/45

Rectas potenciales: cálculoRectas potenciales: cálculo En ocasiones se tiene una ley y

potencial de exponente desconocidonz Kt n: exponente

Se transforman en rectas tomando l i

z Kt n: exponente

logaritmos ln ln lny z K n t a bx ln lna K b n x t

a y b se hallan de la forma usual y

El factor K se halla:eaK

KKE E KE

Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada III

K a aE E KEa

3434/45/45

Rectas l

potenciales: representación

Puede hacerse la gráfica de 2

T))la gráfica de

y=ln(z) frente a x ln(t)

1.5ln(B

a x=ln(t).1

-1 0 1 2

ln(x(cm))

3535/45/45

Rectas l

potenciales: representaciónp

Empleando papel log log )papel log-log pueden ponerse

ponerse directamente las magnitudeslas magnitudes

¡Ojo! Se emplean logaritmos decimales

0.1 1 10

3636/45/45

Rectas de mejor ajuste: ejemplosRectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I¡Recta mal

¡calculada

trazada!

La ordenada en el origen

0 5 10 15 20 25 30 35 40

en el origen es incorrecta

3737/45/45

Rectas de mejor ajuste: ejemplosRectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I

0 5 10 15 20 25 30 35 40

¡Punto erróneo!: debe eliminarse

¡Punto erróneo!: debe eliminarse3838/45/45

0 5 10 15 20 25 30 35 400 5 10 15 20 25 30 35 40

¡Faltan etiquetas en los ejes!Curso 2009/2010Curso 2009/2010 Dpto. Física Aplicada IIIDpto. Física Aplicada III

¡Faltan etiquetas en los ejes!3939/45/45

Rectas de mejor ajuste: ejemplosRectas de mejor ajuste: ejemplos¡Recta mal V frente a I¡calculada

o mal 12

trazada!8

La pendiente de la recta es incorrecta

0 5 10 15 20 25 30 35 40

incorrecta

4040/39/39

0 5 10 15 20 25 30 35 40

¡Faltan puntos experimentales y unidades!

¡Faltan puntos experimentales y unidades!4141/45/45

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Para gráficas por ordenador: incluir tramas

Para gráficas por ordenador: incluir tramas4242/45/45

14Datos caso 1R 1

Recta caso 1Datos caso 2Recta caso 2

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Para varias curvas: distintos símbolos y colores

Para varias curvas: distintos símbolos y colores4343/45/45

Rectas de mejor ajusteRectas de mejor ajuste

Re men de p o eg iResumen de pasos a seguir:

Representar los datos experimentales

Obtener el coeficiente de correlación

C l l d l di t l d d Calcular de la pendiente y la ordenada en el origen con su error

Obtener información física

R t l t d j j t Representar la recta de mejor ajuste

4444/45/45

Cosas que nunca hay que olvidarCosas que nunca hay que olvidar

Poner todas las unidades Poner todos los errores Poner todos los errores Redondear correctamente El error absoluto tiene unidades a y b tienen unidades a y b tienen unidades Poner los puntos en las gráficas Poner las unidades en las gráficas

4545/45/45

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